苏教版高中数学必修4三角函数的周期性

苏教版必修四第一章三角函数1.6 三角函数的周期性（习题+解析）②从f （x ＋T ）＝f （x ）来看，应强调是自变量x 本身加的常数才是周期，如f （2x ＋T ）＝f （2x ）中，T 不是周期，而应写成(2)2()(2)2T f x T f x f x ⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦，则2T 是f （x ）的周期。

③对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。

今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是它的最小正周期。

④并不是所有的周期函数都存在最小正周期。

例如常数函数()(f x C C =为常数），其周期T 是任意实数，没有最小正数。

⑤周期函数的周期不是唯一的，如果T 是函数f （x ）的周期，那么kT （k ∈Z ，k ≠0）也一定是函数的周期。

【核心归纳】如何利用定义判断函数是不是周期函数？（1）首先看定义域若x 是定义域D 内的一个值，则且,(Z k kT x ∈+)0≠k 也一定属于定义域D ，因此周期函数的定义域D 一定是无限集，而且定义域D 一定无上界且无下界。

（2）其次看恒等式是否成立对于定义域D 内任意一个x ，是否有()()f x f x T =+恒成立。

如果成立，则是周期函数。

否则，不是周期函数。

二、sin()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的周期一般地，函数y ＝A sin （ωx ＋φ）和y ＝A cos （ωx ＋φ）（其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0）的周期T ＝ωπ2。

【规律总结】求三角函数的周期，通常有三种方法。

（1）定义法；（2）公式法，对y ＝A sin （ωx ＋φ）或y ＝A cos （ωx ＋φ）（A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0），T ＝||2ωπ； （3）图象法。

三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1。

课题：三角函数的周期性一、教学目标：1.了解周期函数的定义，学会简单三角函数周期求法；2.通过实例分析来认识周期和周期函数;通过讨论比较（与函数其他性质比较）使学生理解和掌握函数周期的概念；二、教学过程（一）问题情境根据单位圆中三角函数线，正弦、余弦值呈现什么样的现象?sin(2π+x)=sinx,cos(2π+x)=cosx,问题1、若记f(x)=sinx，则f(x+2π)=_______1.概念1 周期函数：对于函数f(x),如果存在一个________T，使得当x 取定义域内的______ 时，都有_______________, 那么函数f(x)就叫着__________.T叫做这个函数的_________.问题2、如果T是周期函数f(x)的一个周期，nT(n∈Z且n≠0)是否是这个函数的周期？问题3、一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？2.概念2:对于周期函数()f x，如果所有周期中存在一个最小正数，则这个最小________叫做最小正周期.函数()sinf x x=最小正周期是=最小正周期是_______,余弦函数()cosf x x____.练习1 正切函数中，tan(π+x)=tanx，正切函数的最小正周期是______。

问题2 已知函数f(x)=c, x∈R，该函数是周期函数吗? 它有没有最小正周期？练习3 已知f(x+1)= f(x-1)，则该函数是否是周期函数？如果是，它的最小正周期是___。

（二)典型例题例１ 求下列函数的周期（１）f(x)=cos2x ； （2）g(x)=2sin(12 x-3)定理：函数y=Asin(ωx+ϕ)及y=cos(ωx+ϕ)（其中A,ω, ϕ为常数，且A≠0,ω>0）的周期T=2πω问题4 函数y=Atan(ωx+ϕ)（其中A,ω,j 为常数，且A≠0,ω>0）的周期是______.练习：1、函数()sin()3f x kx π=+的最小正周期是23π，则正数k=_________. 2、函数()cos()3f x kx π=+的最小正周期是23π，则实数k=_________. 3、函数()tan()3f x kx π=+的最小正周期是23π，则实数k=_________. 例2、已知函数f(x)=|sinx|+|cosx|,证明函数f(x) 是周期函数.问题5 （1）已知f(x+1)= -f(x)，则该函数是否是周期函数？如果是，它的最小正周期是多少？（2） 已知函数y=f(x)，满足f(x+4)= - 1f(x) ，问该函数是否是周期函数？若是,周期多少？三、回顾反思四、课后作业。

高中数学第1章《三角函数》三角函数的周期性教学案苏教版必修4教学目标：了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期。

教学重点：周期函数的定义，正弦、余弦、正切函数的周期性教学难点：周期函数的概念教学过程：一、问题情境：日出日落，寒来暑往……自然界中有许多按一定规律周而复始的现象，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。

三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么这种周而复始的基本特征又体现在哪里呢？问题：单位圆中的三角函数线如何变化？二、学生活动：探究：1、sin(x+2π)=________, cos(x+2π)=_________.2、记f(x)=sinx，则有f(x+2π)=______________,如何用数学语言刻画？三、知识建构：1、正、余弦函数的周期性：2、周期函数：思考：（1）正、余弦函数的周期有多少个？（2）周期函数的图像具有什么特征？3、最小正周期：思考：正切函数是否为周期函数？若是，周期为多少？四、知识运用：例1、若钟摆的高度h( mm )与时间t( s )之间的函数关系如图所示：（1）求该函数的周期；（2）求t=10 s 时钟摆的高度。

小结：例2、求下列函数的周期：（1）f( x )=cos2x （2）g( x )=2sin(1x 26π-)结论：一般地，函数y=Asin(x ωϕ+)及y=Acos(x ωϕ+)(其中A ，ω，ϕ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T=__________.练习：书P25 1-4五、回顾反思：知识： 思想方法：六、作业布置：书P44 习题1.3 1。

1.3.1 三角函数的周期性一、课题：三角函数的周期性二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；2.会求正、余弦函数的最小正周期。

三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。

四、教学过程：（一）引入：1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：自变量x 2π- 32π- π- 2π- 0 2π π 32π 2π 函数值sin x0 1 0 1- 0 1 0 1- 0正弦函数()sin f x x =性质如下：文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

（二）新课讲解：1．周期函数的定义对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．– – π 2π 2π- 2π 5π π- 2π- π- O x y 1 1-时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明：（1）T 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。

【思考】（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+） 2．最小正周期的定义对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。

三角函数的周期性三角函数知多少正弦函数作代表赣榆区赣马高级中学李春利一、教学目标及分析1知识与技能1、了解周期函数的概念2、会判断一些简单、常见的函数的周期3、会求一些简单三角函数的周期2过程与方法1、通过组织学生从生活实际周期现象出发，逐步抽象出函数周期性的定义，不断增强学生分析问题、解决问题的能力2、通过本节的学习，归纳正弦函数、余弦函数的最小正周期，使学生进一步体会观察、比拟、归纳、分析等一般科学方法的运用3、通过对例2的学习，使学生进一步理解周期函数的定义和正弦函数、余弦函数的最小正周期，通过观察、归纳、类比方法的运用得出一般情况：3情感、态度与价值观1 通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，让学生体会数学律，体会从感性到理性的思维过程，2 在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对三角函数周期性的理解，让学生在亲身经历数学研究的过程中，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

二、学情分析三角函数是必修4整本教材的核心内容，虽然初中学生已对三角函数有了一定的了解，但那只局限在直角三角形中，对三角函数的特征还很茫然。

进入高中后学生学习了三角函数的定义，诱导公式，让学生具备了有一定能力去进行深入的研究，而周期性是三角函数的重要性质之一，在高中数学课程编排中是以三角函数为载体引出周期性这一概念的，理解三角函数周期性的本质对于函数周期性的后续学习起到至关重要的作用。

正弦、余弦函数作为最重要的两类三角函数，对其周期性的学习对后面它们的图像和性质的探究和学习起到了非常关键的作用。

因此本节课的学习至关重要。

三、教学重点和难点，教学方法分析重点：1、周期函数的概念2、求一些简单三角函数的周期难点：周期函数的概念的理解教学方法：引导发现法、观察归纳法，合作讨论法依据：为了把发现创造的时机还给学生,把成功的体验让给学生,为了立足于学生思维开展,着力于知识建构,就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的时机;为了激发学生学习的积极性和创造性,分享到探索知识的方法和乐趣,使数学教学成为再发现,再创造的过程．四、教学过程〔一〕、问题情境问题1: 年复一年，日复一日，潮汐潮落、、、、、、，这些事物呈现一种什么现象？你能再举一些这样的例子吗？设计意图：是从简单的问题出发，可以让学生立即进入上课的状态。

三角函数的周期性（说课稿）江苏省常州高级中学周洁使用教材：普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）第1章《三角函数》1.3.1 三角函数的周期性一、教材分析(一)教材内容及地位分析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，有着广泛的实践意义和理论价值，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数。

《三角函数的周期性》位于本章的第三节，通过此前两节的学习，学生对任意角、弧度以及任意角的三角函数有了基本的认识，本节开始研究三角函数的图象和性质，周期性是其中第一个研究点。

本节的主要内容包括周期函数的定义，正弦、余弦、正切函数的周期性，经过复合的三角函数的周期并形成结论。

老教材以及现行的人教版、湘教版教材关于三角函数的性质以并列的形式呈现，但事实上对于学生而言，各条性质的学习在难易程度上是有很大区别的。

必修1中学习的基本初等函数都不具备周期性，使学生没有任何经验可供类比，加之周期函数的概念比较抽象，是一个学习难点。

而对三角函数周期性的理解，又关系到后续的单调性等性质的学习。

因此，苏教版教材的编排顺序突出了三角函数周期性的地位，更符合学生的认知规律。

另一方面，在整个高中数学的学习中，周期性与单调性、奇偶性相比，无论是出现的频率还是知识的综合程度，要求都不高，因此，从课本内容的编排来看，并没有过多地纠缠于周期函数这一抽象的概念，而是偏重于对具体的三角函数周期性的认识，并且形成了相应的结论，今后只需直接用结论即可，因此，在教学中，教师应注意教学重心的把握。

(二)教学目标了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。

根据学生的生活经验创设情境，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，从具体到抽象建立周期函数的概念，研究三角函数的周期，体会数形结合和化归转化的数学思想方法。

使学生感受到数学与生活的密切了解，体会从感性到理性的思维过程，培养学生勇于探索、勤于思考的科学素养。

苏教版三角函数的周期性在我们学习苏教版数学的旅程中，三角函数是一个重要且有趣的部分。

而其中，三角函数的周期性更是其独特而关键的特性之一。

首先，咱们来聊聊什么是周期。

简单来说，周期就是指一个函数在经过一定的区间后，会重复出现相同的函数值。

就好像四季的更替，春夏秋冬不断循环，这就是一种周期现象。

对于三角函数而言，周期性是它们的固有属性。

以正弦函数y ＝sin(x) 为例。

它的图像是一条波浪线，从原点开始，先上升到最高点 1，然后下降到最低点－1，再上升回到原点，完成一个完整的周期。

这个周期的长度是2π。

也就是说，当 x 增加2π 时，sin(x) 的值会重复出现。

余弦函数 y ＝ cos(x) 也具有类似的周期性，其周期同样是2π。

不同的是，余弦函数的图像是从最高点 1 开始，先下降，再上升回到 1 完成一个周期。

那为什么三角函数会有周期性呢？这其实与它们的定义和几何意义有关。

从单位圆的角度来看，正弦函数和余弦函数分别表示了单位圆上点的纵坐标和横坐标。

当角的大小增加2π 时，点在单位圆上的位置会重复，从而导致函数值的重复，也就形成了周期性。

了解了三角函数的周期性，它有什么用呢？这可大有用处！在物理学中，比如交流电的电压和电流变化、机械振动等都可以用三角函数的周期性来描述。

在数学中，利用周期性可以简化很多计算和问题的解决。

比如说，要求解 sin(2x ＋π/3) 的周期。

根据周期的性质，对于正弦函数 sin(ax ＋ b)，其周期 T ＝2π ／｜a| 。

所以在这个例子中，a ＝ 2，那么周期 T ＝2π ／ 2 ＝π 。

再来看一个稍微复杂点的例子，f(x) ＝2sin(3x π/6) ＋ 1 。

它的周期同样是 2π ／ 3 。

而且由于函数进行了上下平移和伸缩变换，其最大值不再是 1，而是 2 ＋ 1 ＝ 3 ，最小值是－2 ＋ 1 ＝－1 。

三角函数的周期性还能帮助我们更好地理解函数的性质。

比如奇偶性，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

1.3.三角函数的周期性-苏教版必修4教案一、教学目标1.理解三角函数的周期性概念，掌握正弦函数、余弦函数的基本周期的计算方法；2.了解正切函数、余切函数的周期性特点，掌握其图像变化规律；3.能够运用三角函数的周期性解决实际问题。

二、教学重点1.正弦函数、余弦函数的基本周期的计算方法；2.正切函数、余切函数的周期性特点和图像变化规律。

三、教学难点1.运用三角函数的周期性解决实际问题。

四、教学过程1. 概念讲解1.周期性概念：定义正弦函数和余弦函数的周期的概念，引导学生从函数图像出发，自行寻找规律，并介绍周期函数的相关定义；2.基本周期：给出正弦函数、余弦函数的基本周期的计算方法，并通过具体例题演示如何计算。

2. 特点与规律1.正切函数和余切函数的周期性特点：给出正切函数和余切函数的周期性特点，并通过具体例题演示如何计算；2.图像变化规律：根据函数的周期性特点，讲解正切函数和余切函数的图像变化规律，并通过绘制函数图像加深学生的理解。

3. 运用解题1.运用三角函数的周期性解决实际问题：通过实际问题的分析，引导学生发现问题中的周期性特点，并通过运用三角函数的周期性进行解决。

五、讲评及作业布置1.讲评：对教学过程中的重点知识点进行讲解和梳理，确保学生对知识点的掌握情况；2.作业布置：布置相关的课后作业和习题。

六、教学反思通过本节课的教学，学生对三角函数的周期性有了更深刻的理解，能够更好地掌握正弦函数和余弦函数的基本周期的计算方法，也了解了正切函数、余切函数的周期性特点和图像变化规律。

在教学中，我采用了讲解、演示和练习的方式，不断加深学生的理解和掌握程度。

但是，教学中也存在一些问题，需要在今后的教学中予以改进，如布置的作业量过多，学生完成较为困难。