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第二章计算流体力学的基本知识流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。
这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。
2.1计算流体力学简介2.1.1计算流体力学的发展流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。
20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。
数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。
从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。
数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。
数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。
自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。
最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。
航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。
流体运动的规律由一组控制方程描述。
计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。
但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。
计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力学这门交叉学科。
计算流体力学是一门用数值计算方法直接求解流动主控方程(Euler或Navier-Stokes方程)以发现各种流动现象规律的学科。
流体动力学基本方程
“流体动力学基本方程”是将质量、动量和能量守恒定律用于流体运动所得到的联系流体速度、压力、密度和温度等物理量的关系式。
对于系统和控制体都可以建立流体动力学基本方程。
系统是确定不变的物质的组合；而控制体是相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称为控制面。
流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体建立的。
主要有连续方程、动量方程、动量矩方程和能量方程。
1、连续方程：ρ1v1A1=ρ2v2A2，式中ρ1、v1、ρ
2、v2分别为A1和A2截面上的流体平均密度和速度。
2、动量方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制面和控制体上的外力之和，等于控制体内动量的增加。
3、动量矩方程：单位时间内，流入控制体的动量与作用于控制体和控制面上的外力对某一参考点的动量矩之和，等于控制体内对同一点的动量矩的增加。
4、能量方程：单位时间内，流入控制体的各种能量与外力所作的功之和，等于控制体内能量的增加。
第二节 流体流动的基本方程式化工厂中流体大多是沿密闭的管道流动，液体从低位流到高位或从低压流到高压，需要输送设备对液体提供能量；从高位槽向设备输送一定量的料液时，高位槽所需的安装高度等问题，都是在流体输送过程中经常遇到的。
要解决这些问题，必须找出流体在管内的流动规律。
反映流体流动规律的有连续性方程式与柏努利方程式。
1-2-1 流量与流速一、流量单位时间内流过管道任一截面的流体量称为流量。
若流体量用体积来计量，称为体积流量，以V s 表示，其单位为m 3/s ；若流体量用质量来计量，则称为质量流量，以w s 表示，其单位为kg/s 。
体积流量与质量流量的关系为：w s =V s ·ρ (1-16) 式中 ρ——流体的密度，kg/m 3。
二、流速单位时间内流体在流动方向上所流经的距离称为流速。
以u 表示，其单位为m/s 。
实验表明，流体流经管道任一截面上各点的流速沿管径而变化，即在管截面中心处为最大，越靠近管壁流速将越小，在管壁处的流速为零。
流体在管截面上的速度分布规律较为复杂，在工程计算中为简便起见，流体的流速通常指整个管截面上的平均流速，其表达式为： A V u s = （1-17）式中 A ——与流动方向相垂直的管道截面积，m 2。
流量与流速的关系为：w s =V s ρ=uA ρ （1-18） 由于气体的体积流量随温度和压强而变化，因而气体的流速亦随之而变。
因此采用质量流速就较为方便。
质量流速，单位时间内流体流过管路截面积的质量，以G 表示，其表达式为：ρρu A V A w G s s === （1-19）式中 G ——质量流速，亦称质量通量；kg/（m 2·s ）。
必须指出，任何一个平均值都不能全面代表一个物理量的分布。
式1-17所表示的平均流速在流量方面与实际的速度分布是等效的，但在其它方面则并不等效。
一般管道的截面均为圆形，若以d 表示管道内径，则 24d V u s π= 于是 uV d sπ4=（1-20） 流体输送管路的直径可根据流量及流速进行计算。
流体力学最基本的三个方程流体力学是研究流体运动及其相关物理现象的学科。
它的基础有三个最基本的方程，即连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
本文将详细介绍这三个方程的含义和应用。
一、连续性方程：连续性方程，也称为质量守恒方程，描述了流体运动中质量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂ρ/∂t+∇·(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示向量的散度。
连续性方程的物理意义是说，质量在流体中是守恒的，即单位体积内的质量永远不会改变。
这是由于流体是连续的，无法出现质量的增减。
这个方程告诉我们，流体在流动过程中的速度变化与流体密度变化是相关的。
当流体流动速度较大时，密度通常会变小，反之亦然。
连续性方程的应用十分广泛。
在管道流动中，我们可以利用连续性方程来推导流速和截面积之间的关系。
在天气预报中，连续性方程被用来描述气象现象，如大气的上升和下沉运动，以及风的生成和消散等。
二、动量守恒方程：动量守恒方程描述了流体运动中动量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·(μ∇v) + ρg其中，p是流体的压强，μ是流体的黏度，g是重力加速度。
动量守恒方程可以理解为牛顿第二定律在流体力学中的推广。
它表示流体在外力作用下的加速度与压力梯度、黏性力、重力的平衡关系。
动量守恒方程的物理意义是说，流体的运动与施加在流体上的各种力密切相关。
当外力作用于流体时，会引起流体的加速度，也即速度的变化。
这个方程告诉我们，流体的加速度是与外力、黏性力和重力共同作用而产生的。
动量守恒方程的应用十分广泛。
在飞行器设计中，我们可以利用动量守恒方程来研究气动力的产生和改变。
在水力学中，动量守恒方程可以用来分析水流的运动、喷流和冲击等。
三、能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体运动中能量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(κ∇T) + ρg·v +q其中，E是单位质量流体的比总能量（包括内能、动能和位能），T是流体的温度，κ是流体的热传导系数，q是单位质量流体的热源项。
流体力学的运动方程流体力学是研究流体的运动以及与周围环境的相互作用的科学领域。
在流体力学中，运动方程是描述流体运动的基本方程。
它们可以基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律来推导。
1. 质量守恒方程质量守恒方程也称为连续性方程，它描述了流体质量在空间和时间上的守恒。
质量守恒方程的数学表达式如下：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·是散度操作符。
这个方程说明流体质量在空间和时间上保持不变，即流体在任何给定的区域内的质量是恒定的。
方程右边的项表示流体质量的流入和流出。
2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体运动的动力学行为，它说明流体受外力作用下的加速度以及在流体中传递的动量。
动量守恒方程的数学表达式如下：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·是散度操作符，p是流体的压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
这个方程表示了流体受外力作用下的动力学变化。
方程右边的第一项是压力梯度产生的力，第二项是应力产生的力，第三项是重力产生的力。
方程左边的第一项是流体速度的变化率，第二项是流体动量的传递率。
3. 能量守恒方程能量守恒方程描述了流体能量的守恒情况，它说明了流体在运动过程中能量的变化与能量转化。
能量守恒方程的数学表达式如下：∂(ρe)/∂t + ∇·(ρve) = -p∇·v + ∇·(k∇T) + ρv·g + τ:∇v其中，ρ是流体的密度，t是时间，e是单位质量的内能，v是流体的速度矢量，∇·是散度操作符，p是流体的压力，k是热传导系数，T是温度，g是重力加速度，τ是应力张量。
这个方程描述了流体能量随时间的变化。
方程右边的第一项是压力和速度梯度之积产生的功，第二项是热传导产生的能量变化，第三项是重力势能的转化，第四项是应力张量和速度梯度之积产生的功。
第二章 流体运动方程组§1.连续方程§2.作用于流体上的力§3.流体运动方程及其简化形式 §4.能量方程§5.Naver-Stokes 方程的简单解本章重点：流体的三大守恒定律，作用在流体上的力，Naver-Stokes 方程。
作为物体的形态之一，流体也遵循基本的物理规律：质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律，其分别对应本章的连续方程、运动方程和能量方程。
§1.连续方程1. 连续方程 设流体块体积δτδδδ=x y z ，则质量δρδτm =。
由于质量守恒，有：()dd δm =0t （2.1）()d d ρδτ=0t（2.1´）’展开：()d d d d δτρδτρ+=0t t（2.2） 同除δτ，得：()d d d d δτρρδτ+=0t t（2.3）∵()d d δτδτ∇⋅ =1V t（体胀速度）∴（2.3）式可变为:——连续方程（速度散度形式） （2.4）∵d d ρρρ∂⋅∇∂+=V t t，而()ρρ⋅∇∇⋅∇⋅ +ρ V V =V ，则（2.4）式可改写为:——连续方程（质量散度形式） （2.5） 其中称为（速度）散度，表示单位体积的流体通量。
而∇⋅V ()ρ∇⋅V 称为质量散度，表示单位体积的流体质量通量。
质量有净流入,→()ρ∇⋅V <0ρ∂∂>0t（密度增大）；质量有净流出,()ρ∇⋅ V >0→ρ∂∂<0t（密度减小）。
2. 有关流体密度的几种近似 1） 若d d ρ=0t，即const ρ()x,y,z,t =，称为不可压(缩）流体。
∵d d ρ=0t →∇⋅ V =0，∴不可压流体＝（三维）无辐散流体。
2）若d d ρ=0t，且各处的ρ（常数）也一样， const ρ=（不随而异），称为均质（均匀）不可压（缩）流体。
x,y,z,t 3）若ρ∂∂=0t ，则ρ与无关，称为（密度）定常流体（不同于定常流场）。
第2章 流体运动的基本方程流体运动极其复杂，但也有其内在规律。
这些规律就是自然科学中通过大量实践和实验归纳出来的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热力学定律以及物体的物性。
它们在流体力学中有其独特的表达形式，组成了制约流体运动的基本方程。
本章将根据上述基本定律及流体的性质推导流体运动的基本方程，并给出不同的表达形式。
2.1 连续方程2.1.1 微分形式的连续方程质量守恒定律表明，同一流体的质量在运动过程中保持不变。
下面从质量守恒定律出发推导连续性方程。
在流体中任取由一定流体质点组成的物质体，其体积为V ，质量为M ，则⎰=VdV M ρ根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立0==⎰VdV dt ddt dM ρ (2-1) 应用物质体积分的随体导数公式（1-15b ），则0dV )]v (div t [dV )v div Dt D (dV dt d V V V⎰⎰⎰=+∂∂=+=ρρρρρ 因假定流体为连续介质，流体密度和速度均为空间和时间的连续函数，被积函数连续，且体积V 是任意选取的，故被积函数必须恒等于零，于是有0v div DtD =+ρρ （2-2a ） 或0)v (div t=+∂∂ρρ （2-3a ） 上式亦可以写成如下形式0x u Dt D ii =∂∂+ρρ（2-2b ） 或0x )u (t ii =∂∂+∂∂ρρ （2-3b ）式（2-2）和式（2-3）称为微分形式的连续性方程。
在直角坐标系中，微分形式的连续性方程为0z)u (y )u (x )u (t z y x =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ρρρρ （2-4） 微分形式的连续性方程适用于可压缩流体非恒定流，它表达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件。
其物理意义是，流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
由式（2-2）可对不可压缩流体给出确切定义。
不可压缩流体的条件应为0=DtD ρ（2-5） 即密度应随质点运动保持不变。
第2章 流体运动的基本方程流体运动极其复杂，但也有其内在规律。
这些规律就是自然科学中通过大量实践和实验归纳出来的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热力学定律以及物体的物性。
它们在流体力学中有其独特的表达形式，组成了制约流体运动的基本方程。
本章将根据上述基本定律及流体的性质推导流体运动的基本方程，并给出不同的表达形式。
2.1 连续方程2.1.1 微分形式的连续方程质量守恒定律表明，同一流体的质量在运动过程中保持不变。
下面从质量守恒定律出发推导连续性方程。
在流体中任取由一定流体质点组成的物质体，其体积为V ，质量为M ，则⎰=VdV M ρ根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立0==⎰VdV dt ddt dM ρ (2-1) 应用物质体积分的随体导数公式（1-15b ），则0dV )]v (div t [dV )v div Dt D (dV dt d V V V⎰⎰⎰=+∂∂=+=ρρρρρ 因假定流体为连续介质，流体密度和速度均为空间和时间的连续函数，被积函数连续，且体积V 是任意选取的，故被积函数必须恒等于零，于是有0v div DtD =+ρρ （2-2a ） 或0)v (div t=+∂∂ρρ （2-3a ） 上式亦可以写成如下形式0x u Dt D ii =∂∂+ρρ（2-2b ） 或0x )u (t ii =∂∂+∂∂ρρ （2-3b ）式（2-2）和式（2-3）称为微分形式的连续性方程。
在直角坐标系中，微分形式的连续性方程为0z)u (y )u (x )u (t z y x =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ρρρρ （2-4） 微分形式的连续性方程适用于可压缩流体非恒定流，它表达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件。
其物理意义是，流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
由式（2-2）可对不可压缩流体给出确切定义。
不可压缩流体的条件应为0=DtD ρ（2-5） 即密度应随质点运动保持不变。
0=∂∂t ρ只是指密度是恒定不变的，但流体质点密度还可以在流动中随位置发生变化。
只有满足式（2-5），质点密度才能保持不变。
但不能排除各个质点可以具有各自不同的密度。
如海水在河口淡水下面的入侵（图2-1），含细颗粒泥沙的浑水在水库的清水下面沿库底的的运动（图2-2），都是具有不同密度的不可压缩流动。
在这种流动中，因密度不同形成不同的流层，常称为分层流动。
图2-1 河口的海水入侵[1]图2-2 水库中的浑水异重流[1]对不可压缩均质流体，则不但0=DtD ρ，而是在全流场和全部时间内ρ＝常数，因此，连续性方程简化为0=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u zy x （2-6a ）以张量形式表示0x u ii=∂∂ （2-6b ） 以矢量表示0v div =（2-6c ））即速度v的散度为零。
或写为0v =⋅∇（2-6d ）对不可压缩流体二元流，连续性微分方程可写为0=∂∂+∂∂yu x u yx （2-7）微分形式的连续性方程也可通过下面的方法推导。
设想在流场中取一空间微分平行六面体（图2-3），六面体的边长为dz dy dx ,,，其形心为A(x,y,z)，A 点的流速在各坐标轴的投影为z y x u u u ,,，A 点的密度为ρ。
图2-3 微分平行六面体分析该六面体流体质量的变化。
经一微小时段dt ，自左面流入的流体质量为dydzdt xu u dxx x x )2dx)(2(∂∂-∂∂-ρρ；自右面流出的流体质量为 dydzdt x u u dxx x x )2dx)(2(∂∂+∂∂+ρρ，故dt 时段内沿x 方向流入与流出六面体的流体质量差为dxdydzdt xu dxdydzdt x u x u x x x∂∂-=∂∂+∂∂-)()(ρρρ同理，在dt 时段内沿y 和z 方向流进与流出六面体的流体质量之差分别为dxdydzdt yu y ∂∂-)(ρ 和 dxdydzdt zu z ∂∂-)(ρ 因此，在dt 时段内流进与流出六面体总的流体质量的变化为dxdydzdt z u y u x u z y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-)()(ρρ因六面体内原来的平均密度为ρ，总质量为dxdydz ρ；经dt 时段后平均密度变为dt t ∂∂+ρρ，总质量变为dxdydz dt t)(∂∂+ρρ，故经过dt 时段后六面体内质量总变化为 dxdydzdt tdxdydz dxdydz dt t ∂∂=-∂∂+ρρρρ)(在同一时段内，流进与流出六面体总的流体质量的差值应与六面体内因密度变化所引起的总的质量变化相等，即dxdydzdt z u y u xu dxdydzdt t z y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂)()()(ρρρρ两端除以dxdydzdt 后即得式（2-4）。
2.1.2 积分形式的连续方程对式（2-1）应用物质体积分的随体导数公式（1-15a ），则有0dS u dV t V S n =+∂∂⎰⎰ρρ（2-8）这就是积分形式的连续性方程。
对于圆管或明渠一维恒定流动，因0=∂∂tρ，则式（2-8）简化为 0dS u Sn=⎰ρ （2-9）上式的物理意义是，单位时间内流入和流出某一管段或某一明渠段的流体质量必相等。
这个条件可简单地表示为2211A v A v ρρ= （2-10a ）或2211A v A v = （2-10b ）式中1A 和2A 为管段或明渠段的流入断面和流出断面的面积，1v 和2v 为上述两断面的平均速度。
式（2-10）即为水力学中经常用到的总流的连续性方程。
该式说明，在不可压缩流体总流中，任意两个过流断面所通过的流量相等。
也就是说，上游断面流进多少流量，下游任何断面也必然流出多少流量。
2.2 运动方程连续性方程是控制流体运动的基本方程之一，它只限于流体运动必须遵循的一个运动学条件。
因此，还须从动力学角度提出流动必须满足的条件，即运动方程(equation of motion ），这样才组成求解流动的最基本方程组。
2.2.1 应力表示的运动方程以图1-9所示的流体中的微小六面体作为隔离体进行分析。
微小六面体的质量为dxdydz ρ。
作用在六面体上的表面力每面有三个：一个法向应力，两个切应力。
设法向应力沿外法线方向为正，设包含A 点的三个面上的切应力为负向，则包含H 点的三个面上的切应力必为正向。
根据牛顿第二定律写出x 方向的动力平衡方程式dtdu dxdydz dz)dxdy z ( dxdy dxdz )dy y ( dxdz dydz )dx xp p (dydz p Xdxdydz x zx zx zx yx yxyx xxxx xx ρττττττρ=∂∂++-∂∂++-∂∂++-化简后得x 方向的方程。
同理可得z y ,方向的方程。
则⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+dt du )y x (1)z p (1Z dt du )z x (1)y p (1Y dt du )z y (1)x p (1X z yzxz zz y zy xy yy x zxyx xx ττρρττρρττρρ（2-11a ）上式就是以应力表示的粘性流体的运动微分方程式。
这是流体运动方程最一般的表达形式。
写成张量形式jiji i x p 1F dt du ∂∂+=ρ （2-11b ） 写成矢量形式P ρρdiv F dtvd += (2-11c ）式中，dtvd ρ表示单位体积上的惯性力；F ρ表示单位体积上的质量力；而P div 则表示单位体积上的应力张量的散度。
于是运动方程（2-11c ）表明单位体积上的惯性力等于单位体积上的质量力加上单位体积上应力张量的散度。
上述推导表明，流体运动方程即是牛顿第二定律在流体运动中的应用。
因牛顿第二定律就是动量定律，因此运动方程有时也称动量方程。
流体运动方程也可从动量定理直接导出，下面进行推导。
任取一体积为V 的流体，它的边界为S 。
根据动量定理，体积V 中流体动量的变化率等于作用在该体积上的质量力和表面力之和。
以F表示作用在单位质量上的质量力分布函数，而n p 为作用在单位面积上的表面力分布函数，则作用在V 上和S 上的总质量力和表面力为⎰VdV Fρ及S d p Sn ⎰，其次，体积V 内的动量是⎰VdV vρ。
于是动量定理可写成下列表达式⎰⎰⎰+=VV Sn dS p dV F dV v dt dρρ (2-12)对上式左端项，利用质量守恒定律，有下式成立dV dt v d dm dt dv dm dt v d dm v dt d dV v dt d VV V V V ⎰⎰⎰⎰⎰=+==ρρ 对上式右端第二项应用奥高定理，有下式成立⎰⎰⎰=⋅=SSVn dV div dS n dS p P P其中P 是应力张量。
于是式（2-12）变为0dV div F dt v d V =⎪⎭⎫⎝⎛--⎰P ρρ因V 任意，且假定被积函数连续，因此被积函数恒为零，得P ρρdiv F dtv d += （2-11c ） 上式也称为微分形式的动量方程，一般称为运动方程。
2.2.2 纳维－斯托克斯方程将不可压缩牛顿流体的本构方程式)3,2,1,(,2=+-=j i p p ij ij ij μεδ （1-41a ）代入式（2-11b ），并应用ij ε变形率张量)x u x u (21ijj i ij ∂∂+∂∂=ε （1-23）则有)x u x u (x x p 1F dt du jii j j i i i ∂∂+∂∂∂∂+∂∂-=ρμρ （2-13） 对于不可压缩流体，0x u jj =∂∂，则0)x u (x )x u (x jji i j j =∂∂∂∂=∂∂∂∂ 而i 22ji 2j j i 2j i j u x u x x u )x u (x ∇=∂∂=∂∂∂=∂∂∂∂ 其中，=∂∂+∂∂+∂∂=∇2322222122x x x 222222z y x∂∂+∂∂+∂∂为拉普拉斯（Laplace ）算子。
将上式代入式（2-13），得i 2ii i u x p1F dt du ∇+∂∂-=νρ （2-14a ） 上式即是纳维－斯托克斯(Navier-Stokes)方程，简称N-S 方程。
式中ν为运动粘滞系数，ρμν=。
或写成以下形式v p 1F dt v d 2∇+∇-=νρ （2-14b ） v gradp 1F dt v d 2∇+-=νρ（2-14c ） 2ji 2i i j i j i x u x p1F x u u t u ∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρ （2-14d ） 式中，ii x e z k y j x i∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇是哈密顿（Hamilton ）算子，gradp 是压强梯度。
