搜索树

搜索树的基本操作方法
搜索树是一种有序的二叉树数据结构，常用于存储和搜索数据。

基本的操作方法包括插入、删除和查找。

1. 插入操作(insert)：向搜索树中插入新节点。

从根节点开始遍历搜索树，如果待插入节点值小于当前节点值，则继续向左子树搜索；如果待插入节点值大于当前节点值，则继续向右子树搜索；直到找到一个空位置，将待插入节点插入到该位置。

2. 删除操作(delete)：删除指定节点。

先在搜索树中找到待删除节点，根据不同情况进行处理：
a) 如果待删除节点没有子节点，直接删除它。

b) 如果待删除节点只有一个子节点，将子节点替代待删除节点的位置。

c) 如果待删除节点有两个子节点，则寻找待删除节点的前驱节点或后继节点来替代该节点。

前驱节点是指比待删除节点值小的最大节点，后继节点是指比待删除节点值大的最小节点。

可以选择使用前驱节点或后继节点来替代待删除节点。

3. 查找操作(search)：在搜索树中查找指定值的节点。

从根节点开始遍历搜索树，如果要查找的值等于当前节点值，则返回该节点；如果要查找的值小于当前节点值，则继续向左子树搜索；如果要查找的值大于当前节点值，则继续向右子树搜索。

如果找到了匹配节点，则返回节点；如果搜索到空节点（未找到匹配节点），则返回空值。

以上是搜索树的基本操作方法，对于不同的搜索树实现，可能会有一些其他特定的操作方法。

二叉搜索树定义二叉搜索树（Binary Search Tree，简称BST）是一种常用的数据结构，它是一个二叉树，其中每个节点的值都大于其左子树中的任意节点的值，且小于其右子树中的任意节点的值。

BST的定义如下：1. 每个节点最多有两个子节点，分别为左子节点和右子节点；2. 若某节点的左子树不为空，则其左子树中的每个节点值都小于该节点的值；3. 若某节点的右子树不为空，则其右子树中的每个节点值都大于该节点的值；4. 没有重复节点的情况下，所有左子树的节点值都小于右子树的节点值。

下面我们来详细讨论BST的特性和示例。

BST的特性：1. 在BST中，对于任意一个节点，其左子树中的所有节点都小于它的值，右子树中的所有节点都大于它的值。

2. 由于BST是一个二叉树，因此对于每个节点，其左子树和右子树都是BST。

3. BST的中序遍历结果是一个递增的有序序列。

4. 对于BST的搜索、插入和删除操作，平均时间复杂度为O(logn)，其中n为树中节点的数量。

示例：下面是一个示例的BST：```5/ \3 7/ \ \2 4 9```在这个示例中，根节点的值为5，它的左子节点为3，右子节点为7。

左子节点的左子节点为2，右子节点为4。

右子节点的右子节点为9。

根据BST的定义，我们可以观察到该树的每个节点的值都符合左<根<右的规律。

对于这个BST，其中序遍历的结果为2, 3, 4, 5, 7, 9，它们正好是递增的有序序列。

BST的使用场景：BST常用于需要快速搜索、插入和删除操作的场景，比如在数据库中存储有序数据，或者在构建字典、索引等数据结构时都可以使用BST。

在红黑树和AVL树等平衡二叉搜索树中，也是以BST为基础进行的扩展和优化。

总结：二叉搜索树是一种常用的数据结构，其定义明确了每个节点与其子节点的大小关系。

在BST中，左子树的节点值都小于根节点的值，右子树的节点值都大于根节点的值。

BST的特性使得它非常适用于搜索、插入和删除等操作，同时其中序遍历结果是有序的。

动态规划-最优⼆叉搜索树摘要： 本章介绍了⼆叉查找树的概念及操作。

主要内容包括⼆叉查找树的性质，如何在⼆叉查找树中查找最⼤值、最⼩值和给定的值，如何找出某⼀个元素的前驱和后继，如何在⼆叉查找树中进⾏插⼊和删除操作。

在⼆叉查找树上执⾏这些基本操作的时间与树的⾼度成正⽐，⼀棵随机构造的⼆叉查找树的期望⾼度为O(lgn)，从⽽基本动态集合的操作平均时间为θ(lgn)。

1、⼆叉查找树 ⼆叉查找树是按照⼆叉树结构来组织的，因此可以⽤⼆叉链表结构表⽰。

⼆叉查找树中的关键字的存储⽅式满⾜的特征是：设x为⼆叉查找树中的⼀个结点。

如果y是x的左⼦树中的⼀个结点，则key[y]≤key[x]。

如果y是x的右⼦树中的⼀个结点，则key[x]≤key[y]。

根据⼆叉查找树的特征可知，采⽤中根遍历⼀棵⼆叉查找树，可以得到树中关键字有⼩到⼤的序列。

介绍了⼆叉树概念及其遍历。

⼀棵⼆叉树查找及其中根遍历结果如下图所⽰：书中给出了⼀个定理：如果x是⼀棵包含n个结点的⼦树的根，则其中根遍历运⾏时间为θ(n)。

问题：⼆叉查找树性质与最⼩堆之间有什么区别？能否利⽤最⼩堆的性质在O(n)时间内，按序输出含有n个结点的树中的所有关键字？2、查询⼆叉查找树 ⼆叉查找树中最常见的操作是查找树中的某个关键字，除了基本的查询，还⽀持最⼤值、最⼩值、前驱和后继查询操作，书中就每种查询进⾏了详细的讲解。

（1）查找SEARCH 在⼆叉查找树中查找⼀个给定的关键字k的过程与⼆分查找很类似，根据⼆叉查找树在的关键字存放的特征，很容易得出查找过程：⾸先是关键字k与树根的关键字进⾏⽐较，如果k⼤⽐根的关键字⼤，则在根的右⼦树中查找，否则在根的左⼦树中查找，重复此过程，直到找到与遇到空结点为⽌。

例如下图所⽰的查找关键字13的过程：（查找过程每次在左右⼦树中做出选择，减少⼀半的⼯作量）书中给出了查找过程的递归和⾮递归形式的伪代码：1 TREE_SEARCH(x,k)2 if x=NULL or k=key[x]3 then return x4 if(k<key[x])5 then return TREE_SEARCH(left[x],k)6 else7 then return TREE_SEARCH(right[x],k)1 ITERATIVE_TREE_SEARCH(x,k)2 while x!=NULL and k!=key[x]3 do if k<key[x]4 then x=left[x]5 else6 then x=right[x]7 return x（2）查找最⼤关键字和最⼩关键字 根据⼆叉查找树的特征，很容易查找出最⼤和最⼩关键字。

人工智能中的蒙特卡罗树搜索算法随着人工智能的不断发展，各种算法也不断涌现。

其中，蒙特卡罗树搜索算法是一种在游戏和决策中广泛应用的算法。

本文将会介绍蒙特卡罗树搜索算法的基本原理和应用场景。

1. 蒙特卡罗树搜索算法的基本原理蒙特卡罗树搜索算法是一种基于蒙特卡罗模拟的搜索算法，能够在感知时间内找到每个可能的行动，以及每个行动的可能结果。

该算法依赖于随机化计算，通过大量模拟实验获取每个决策的成功率及其期望回报。

蒙特卡罗树搜索算法是通过创建搜索树，不断拓展每个节点来实现的。

该算法的基本步骤如下：首先，我们需要构建搜索树。

搜索树的根节点表示我们的当前状态，每个子节点表示我们执行某一行为后的状态。

其次，我们需要进行蒙特卡罗模拟。

在每个节点处，我们需要使用随机数生成器模拟一些行动，通过大量模拟实验获取每个决策的成功率及其期望回报。

随后，我们要从当前的节点开始扩展搜索，以生成搜索树的枝条。

我们在树叶处运行模拟，所得的奖励值将传递回已经访问的各级节点。

最后，根据得到的每个子节点期望价值，我们可以选择选择最优的子节点行为。

当我们选择子节点时，需要计算每个子节点的平均值，并考虑平均值约束的置信度，以便更好地选择下一个子节点。

2. 蒙特卡罗树搜索算法的应用场景蒙特卡罗树搜索算法具有广泛的应用场景。

最常见的应用之一是在游戏中，特别是在棋类游戏中。

例如，中国象棋和围棋都可以通过蒙特卡罗树搜索算法进行智能对弈。

此外，在决策问题中也可以采用蒙特卡罗树搜索算法。

例如，在互联网广告中，需要确定哪些广告应该在哪些位置上展示，以最大化投资回报。

蒙特卡罗树搜索算法可以通过生成树来搜索各种广告组合，以找到最佳结果。

总之，蒙特卡罗树搜索算法已经成为了人工智能中的重要算法之一。

它的基本原理是通过随机化计算，获取每个决策的成功率及其期望回报，并通过搜索树在时间感知的条件下找到每个可能的行动以及每个行动的可能结果。

在游戏、决策等领域中广泛应用。

B+树（B+-tree）是一种平衡的多路搜索树，广泛应用于数据库和文件系统等领域。

B+树的特点是在每个内部节点上存储一定数量的关键字，并将节点分为多个子树。

通过这种方式，B+树能够保持相对平衡，使得查找、插入和删除等操作的时间复杂度接近于O(log n)。

B+树查找原理如下：
1.从根节点开始，按照B+树的结构特性，沿着树的路径向下查找。

2.根据待查找的关键字与节点中关键字的比较结果，选择合适的子树进行查
找。

3.重复步骤2，直到找到目标节点或者查找到叶子节点。

4.如果在叶子节点上找到了目标关键字，则返回该关键字。

如果未找到，则
返回空或者表示查找失败。

B+树的查找过程是自顶向下的，每次查找都会访问一定数量的节点。

在B+树中，所有记录节点都是按键值的大小顺序存放在同一层的叶节点中，并且各叶节点指针进行连接。

这种设计使得B+树在查找过程中能够快速定位到目标关键字所在的叶子节点，并利用指针连接关系进一步查找其他相关记录。

因此，B+树的查找性能相对稳定，不会出现像链表那样的最坏情况。

AVL树数据结构的特点与使用场景AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，它在插入或删除节点时会通过旋转操作来保持树的平衡，以确保树的高度始终保持在较小的范围内。

AVL树得名于其发明者Adelson-Velsky和Landis，是一种高度平衡的二叉搜索树，具有快速的查找、插入和删除操作的特点。

在本文中，将介绍AVL树数据结构的特点以及其在实际应用中的使用场景。

一、AVL树的特点1. 自平衡性：AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，任何时刻，AVL 树的任意节点的左右子树的高度差不超过1。

当插入或删除节点后，AVL树会通过旋转操作来保持树的平衡，以确保树的高度始终保持在较小的范围内，从而保证了查找、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)。

2. 高度平衡：由于AVL树的自平衡性，使得树的高度相对较低，这样在进行查找操作时，平均查找时间较短，提高了搜索效率。

3. 严格平衡：AVL树是一种严格平衡的二叉搜索树，任何时刻，AVL树的任意节点的左右子树的高度差不超过1，这种严格平衡性保证了AVL树的高度始终保持在较小的范围内，使得其在各种操作下都能保持高效性。

4. 插入和删除操作复杂度低：由于AVL树的自平衡性，插入和删除节点时需要进行旋转操作来保持树的平衡，但这些旋转操作的时间复杂度为O(log n)，因此插入和删除操作的复杂度仍然为O(log n)，保证了操作的高效性。

二、AVL树的使用场景1. 数据库索引：在数据库系统中，AVL树常被用作索引结构，用于加速数据库的查找操作。

由于AVL树具有快速的查找、插入和删除操作，能够保持树的平衡，因此在数据库索引中得到广泛应用。

2. 编辑器中的自动补全功能：在文本编辑器或代码编辑器中，常常需要实现自动补全功能，AVL树可以用来存储单词或代码片段，通过快速查找实现自动补全功能，提高编辑效率。

3. 路由表：在网络路由中，需要快速查找目标地址对应的路由信息，AVL树可以用来存储路由表，通过快速查找实现高效的路由转发，提高网络传输效率。

B树与B树数据结构中的多路搜索树B树是一种常见的数据结构，被广泛应用于数据库和文件系统中，用于高效地存储和检索大量数据。

B树是一种多路搜索树，其特点是每个节点可以拥有多个子节点，相比于二叉搜索树，B树能够减少树的高度，减少查找所需的IO次数，提高检索效率。

一、B树的基本概念B树是一种平衡的多路搜索树，其每个节点可以包含多个子节点。

B树的定义如下：1. 根节点至少有两个子节点。

2. 每个非叶子节点有m个子节点，其中m满足：[m/2] ≤ 子节点个数≤ m。

3. 每个非叶子节点的子节点个数比关键字个数多1。

4. 所有叶子节点都在同一层。

B树的节点结构包含关键字和指向子节点的指针。

通过这种结构，B树能够在每个节点存储更多的关键字，减少树的高度，提高检索效率。

二、B树的插入操作在B树中插入一个新的关键字时，需要按照以下步骤进行：1. 从根节点开始，沿着树向下查找插入位置。

2. 如果插入位置所在节点的关键字数量未达到上限，则直接插入。

3. 如果插入位置所在节点的关键字数量已达到上限，则进行节点分裂操作：a. 将该节点的关键字按中间位置分成两部分，中间位置的关键字上移至父节点。

b. 将左右两部分关键字分别作为两个新节点的关键字。

c. 更新父节点的指针，指向新的子节点。

4. 重复以上步骤，直到插入到叶子节点。

B树的插入操作保持了树的平衡性，确保了树的高度始终在可接受范围内。

三、B树的删除操作在B树中删除一个关键字时，需要按照以下步骤进行：1. 从根节点开始，沿着树向下查找待删除关键字所在位置。

2. 如果待删除关键字在非叶子节点上，则找到其前驱或后继关键字替换，并递归删除替换关键字。

3. 如果待删除关键字在叶子节点上：a. 直接删除该关键字。

b. 如果删除后节点关键字数量小于下限，则进行节点合并操作：- 如果相邻兄弟节点关键字数量大于下限，则从兄弟节点借一个关键字。

- 如果相邻兄弟节点关键字数量也小于下限，则进行节点合并，合并后删除父节点中的关键字。

7.3 B-树1m叉搜索树的定义及性质2B-树的定义及性质3B-树的搜索4B-树的插入5B-树的删除PART ONE m叉搜索树的定义及性质m叉搜索树43 783947 53 649936四叉搜索树图中的方块代表空树。

空树也称为失败结点，因为这是当搜索某个关键字值不在树中时到达的子树。

失败结点中不包含元素，失败结点不是叶子结点！m叉搜索树的递归定义定义m叉搜索树或者是空m叉搜索树，或者是一棵满足下列特性的树：⑴根结点最多有m棵子树，并具有如图所示结构：其中Pi 是指向子树的指针，ki是元素的关键字值，n表示该结点所含元素的个数，且1≤n<m。

⑵Ki <K i+1, 1 ≤ i<n (结点中的关键字是有序递增的)⑶子树Pi 上的所有关键字值都大于Ki，小于Ki+1, 0<i<n。

⑷子树P0上的所有关键字值都小于K1，子树Pn 上的所有关键字值都大于Kn。

⑸子树Pi （0 ≤ i≤ n）也是m叉搜索树。

k1k2 … k i k i+1…. k nP0P1P2P i+1P nP i43 783947 53 649936m(m=4)叉搜索树示例从定义中可以得到：（1）一个m 叉搜索树的结点中，最多存放m-1个元素和m 个指向子树的指针；（2）每个结点中包含的元素个数比它包含的指针数少1。

12 30 45 56 77 84 92(a)结点示例(b) 结点结构k 1k 2 … k i k i+1…. k nP 0P 1P 2P i+1P nP i为什么要有m叉搜索树？内搜索:当集合足够小，可以驻留在内存中时，相应的搜索方法称为内搜索。

外搜索：如果文件很大，以至于计算机内存容不下时，它们必须存放在外存中。

在外存中搜索给定关键字值的元素的方法称为外搜索。

内存中集合用二叉平衡树表示。

外存中，集合可以用一种特殊的m叉搜索树--B-树来表示。

典型的磁盘存取时间是1ms ~10ms，而典型的内存存取时间是10ns~100ns。

树结构是一种在计算机科学和数学中常见的数据结构，它由节点（node）和连接节点的边（edge）组成。

树结构具有层次性、分支性和唯一性的特点。

以下是一些常见的树结构的种类：1. 二叉树（Binary Tree）：-每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

-二叉树可以是空树，也可以是非空树。

2. 二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）：-二叉树的一种特殊形式，对于每个节点，其左子树的所有节点都小于该节点，右子树的所有节点都大于该节点。

-这种性质使得在BST 中进行搜索、插入和删除操作具有较高的效率。

3. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree，A VL树）：-一种二叉搜索树，保持平衡性，即任何节点的左右子树的高度差不超过1。

- A VL树的平衡性确保在进行搜索、插入和删除操作时，树的高度保持较小，提高了性能。

4. B树（B-tree）：-一种多路搜索树，常用于数据库和文件系统中，具有良好的平衡性能。

-每个节点可以包含多个子节点，B树的阶数定义了每个节点中子节点的最大数量。

5. 红黑树（Red-Black Tree）：-一种自平衡的二叉搜索树，确保在进行插入和删除操作后树的高度保持相对较小。

-节点被标记为红色或黑色，通过一些规则保持平衡性。

6. Trie树（字典树，Trie Tree）：-一种树形结构，用于存储关联数组，其中的键通常是字符串。

- Trie 树的每个节点表示一个键的字符，从根节点到某个节点的路径构成一个键。

7. 哈夫曼树（Huffman Tree）：-一种用于数据压缩的二叉树，通过树的形状和编码规则实现对频率较高的字符使用较短的编码，提高压缩效率。

8. N叉树（N-ary Tree）：-每个节点可以有多个子节点，而不仅限于两个子节点。

-常见的例子是XML文档的表示和文件系统的目录结构。

这些树结构的种类在不同的场景和应用中具有不同的优势，选择适合特定问题的树结构对于解决问题和提高算法效率非常重要。