高三数学双曲线

高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，其中点位于第一象限内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，，理由祥见解析．【解析】（1）由已知首先得到，再由离心率为２可求得的值，最后利用双曲线中基本量的关系求出值，从而就可写出所求双曲线的标准方程；（2）设直线的方程为：，与双曲线方程联立，消去得到关于的一个一元二次方程；再设，则由韦达定理就可用的式子表示出，再用点Ｐ，Ｑ的坐标表示出直线ＡＰ及ＡＱ的方程，再令就可写出点Ｍ，Ｎ的坐标，进而就可写出向量的坐标，再计算得，即证明得；（3）先取直线的斜率不存在的特列情形，研究出对应的的值，然后再对斜率存在的情形给予一般性的证明：不难获得，从而假设存在使得恒成立，然后证明即可．试题解析：（1）由题可知： 1分2分∴双曲线C的方程为： 3分（2）设直线的方程为：，另设：4分5分又直线AP的方程为，代入 6分同理，直线AQ的方程为，代入 7分9分（3）当直线的方程为时，解得. 易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也即：. 10分下证：对直线存在斜率的情形也成立.11分12分13分∴结合正切函数在上的图像可知， 14分【考点】1．双曲线的标准方程；2．直线与双曲线的位置关系；３．探索性问题．2.已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________.【答案】x2－＝1【解析】由已知，一条渐近线方程为，即又，故c＝2，即a2＋b2＝4，解得a＝1，b＝3双曲线方程为x2－＝1考点:双曲线的渐近线，直线与直线的垂直关系，点到直线距离公式3.若点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是________．【答案】10【解析】依题意得，点F1(－5,0)，F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|(|PF2|＋1)－(|PF1|－1)|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10．4.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.5.设的离心率为,则的最小值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，所以.【考点】双曲线及重要不等式.6.设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足：：= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由：：= 4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.7.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是() A．(1，＋∞)B．(1,2)C．D．【答案】B【解析】由AB⊥x轴，可知△ABE为等腰三角形，又△ABE是锐角三角形，所以∠AEB为锐角，即∠AEF<45°，于是|AF|<|EF|，，即，解得，又双曲线的离心率大于1，从而，故选B。

高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1【答案】A【解析】由x2＋y2－6x＋5＝0知圆心C(3,0)，半径r＝2．又－＝1的渐近线为bx±ay＝0，且与圆C相切．由直线与圆相切，得＝2，即5b2＝4a2，①因为双曲线右焦点为圆C的圆心，所以c＝3，从而9＝a2＋b2，②由①②联立，得a2＝5，b2＝4，故所求双曲线方程为－＝1，选A．2.若实数满足，则曲线与曲线的（）A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等【答案】D【解析】，则，，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.【考点】本题考查双曲线的方程与基本几何性质，属于中等题.3.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.4.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为A．B．C．D．3【答案】B【解析】因为是双曲线上一点，所以，又所以，，所以又因为，所以有，，即解得：（舍去），或；所以，所以故选B.【考点】1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质.5.已知A1，A2双曲线的顶点，B为双曲线C的虚轴一个端点.若△A1BA2是等边三角形，则双曲线的离心率e等于．【答案】2【解析】由题意可知，解得，即，所以.则.【考点】双曲线的简单几何性质.6.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标为，因此双曲线的右焦点的坐标也为，所以，解得，故双曲线的渐近线的方程为，即，因此双曲线的焦点到其渐近线的距离为，故选A.【考点】1.双曲线的几何性质；2.点到直线的距离7.已知双曲线="1" 的两个焦点为、，P是双曲线上的一点，且满足，（1）求的值；（2）抛物线的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|.【答案】(1) (2)16【解析】（1）根据题意，又，，，又|P F|•|PF|="|" F F|=， |P F|<4，得在区间（0,4）上有解，所以因此，又，所以（2）双曲线方程为=1，右顶点坐标为（2,0），即所以抛物线方程为直线方程为由（1）（2）两式联立，解得和所以弦长|AB|==168.设F是抛物线的焦点，点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为_______.【答案】【解析】由抛物线方程，可得焦点为，不妨设点在第一象限，则有，代入双曲线渐近线方程，得，则，所以双曲线离率为.故正确答案为.【考点】1.抛物线；2.双曲线.9.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由于M(1，m)在抛物线上，∴m2＝2p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－的距离也为5，∴1＋＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，＝，而双曲线的渐近线方程为y＝±，根据题意得，双曲线的左顶点为A(－，0)，∴kAM＝，∴a＝．10.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。

高三复习数学双曲线知识点推论在高中数学的学习中，双曲线是一个重要的知识点。

双曲线不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在物理学和工程学中也有着重要的地位。

高三学生即将面临数学高考，这时候复习双曲线的知识点和推论就显得尤为关键。

双曲线是一类特殊的曲线，其定义是在平面上选取两个不相交的直线l1和l2作为双曲线的渐近线，然后取一个定点F（称为焦点），对于双曲线上的任意一点M，其到焦点F的距离与到直线l1的距离之差等于到直线l2的距离之差。

数学中常用的双曲线有两种，分别是正双曲线和负双曲线。

首先，我们来讨论一下双曲线的基本性质。

正双曲线的两个渐近线之间的距离是一个常数，我们称之为双曲线的长轴。

长轴的一半称为双曲线的半长轴。

正双曲线的焦点到中心的距离称为焦距。

对于负双曲线，定义同样适用，只是焦点到中心的距离是负值。

这些概念在解题时非常重要，可以帮助我们快速确定双曲线的一些性质。

双曲线还有一个重要的性质是对称性。

以双曲线的中心为原点，双曲线的对称轴对于双曲线上的任意一点M，M关于对称轴的对称点M'仍然在双曲线上。

这个性质可以方便我们求解一些求对称点坐标的问题。

另外，双曲线还有一个重要的应用就是求解双曲线的标准方程。

对于给定的双曲线，我们可以通过已知焦点、渐近线或者顶点等信息来确定双曲线的方程。

这在高考中也是一个常考的问题。

记住双曲线的标准方程和相关的公式是非常有必要的。

除了基本性质和标准方程，我们在学习双曲线时还需要了解一些重要的推论。

其中一条重要的推论是双曲线的渐近斜率。

对于一条正双曲线，其渐近斜率等于±b/a，其中a和b分别表示双曲线的半长轴和半焦距。

这个推论的应用广泛，可以方便我们在图中确定渐近线的方程。

双曲线的离心率也是一个重要的推论。

对于正双曲线，离心率的定义是e=c/a，其中c表示焦距，a表示半长轴。

离心率可以帮助我们判断双曲线的形状，并在解题时起到重要作用。

在解题中，我们还可以通过双曲线的性质和推论来求解一些问题。

高中高三数学双曲线方程知识点
高中高三数学双曲线方程知识点
广大高中生要想顺利通过高考，接受更好的教育，就要做好考试前的复习准备。

小编带来高三数学双曲线方程知识点，希望大家认真阅读。

1. 双曲线的第一定义：
⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.
⑵①i. 焦点在x轴上：
顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或
ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .
②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)
长加短减原则：
构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)
⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
以上就是高三数学双曲线方程知识点的全部内容。

也祝愿大家都能愉快学习，愉快成长!。

高三数学知识点总结双曲线双曲线是高中数学中的重要内容之一，在数学中应用广泛，所以熟练掌握双曲线的性质和运用方法对于高三学生来说非常重要。

本文将对高三数学知识点中的双曲线进行总结和归纳，以便帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。

1. 双曲线的定义和性质双曲线是指平面上满足一定关系式的点的集合。

具体而言，设F1和F2是平面上两个固定点，且F1F2的距离是2a（a>0）。

对于平面上的任意点P，其到F1和F2的距离之差的绝对值等于常数c（c>0），即|PF1 - PF2| = 2a。

双曲线的主轴是连接两个焦点的直线段F1F2，在主轴上的点P到两个焦点的距离之差为0。

双曲线的离心率定义为e = c/a，离心率是表征双曲线形状的重要参数。

2. 双曲线的方程和图像双曲线的一般方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b都是正实数。

由于a和b的取值不同，双曲线可以表现出不同的形状。

当a > b时，双曲线的中心在原点O，焦点在x轴上，x轴称为双曲线的对称轴，y轴称为双曲线的渐近线。

这种双曲线的形状是开口向左右两侧的。

当b > a时，双曲线的中心在原点O，焦点在y轴上，y轴成为双曲线的对称轴，x轴称为双曲线的渐近线。

这种双曲线的形状是开口向上下两侧的。

3. 双曲线的性质和运用双曲线有许多重要的性质和应用，下面列举其中几个重要的：（1）双曲线的渐近线：对于双曲线 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1，当x 取绝对值较大的正值或负值时，方程右边的项趋近于0。

因此，当x趋近于正无穷或负无穷时，方程左边的项也趋近于0，即y趋近于±a/bx。

因此，双曲线的渐近线方程为y = ±a/bx。

（2）焦点和准线的坐标：对于双曲线 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1，焦点的坐标为(F1, 0)和(-F1, 0)，其中F1 = √(a^2 + b^2)；准线的方程为x = a/e，其中e为离心率。

高三数学双曲线知识点总结归纳双曲线是高中数学中重要的一章，它不仅在数学理论体系中具有重要作用，还在实际生活中有广泛的应用。

下面是对高三数学双曲线知识点的总结与归纳。

一、双曲线的定义和基本形态双曲线是平面上各点到两个定点的距离之差等于常数的轨迹。

双曲线由两个分离的支线组成，其基本形态可以分为两种类型：横轴双曲线和纵轴双曲线。

横轴双曲线的中心在横轴上，纵轴双曲线的中心在纵轴上。

二、双曲线的方程1. 横轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}$2. 纵轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$x=\pm \frac{a}{b} \sqrt{y^2-a^2}$三、双曲线的性质1. 焦点和准线：横轴双曲线有两个焦点和两条准线，纵轴双曲线也有两个焦点和两条准线。

2. 对称性：双曲线关于横轴、纵轴和原点对称。

3. 渐近线：横轴双曲线有两条渐近线，纵轴双曲线也有两条渐近线。

4. 离心率：双曲线的离心率定义为焦距与准线之间的比值，离心率大于1。

5. 直径：双曲线的直径是通过焦点的直线段，并且双曲线上的每一点都在某条直径上。

四、双曲线的图像与应用1. 横轴双曲线的图像横轴双曲线的图像呈现出两个分离的支线，它在物理学、电子学和光学中有广泛的应用，例如抛物面反射器、双折式天线等。

2. 纵轴双曲线的图像纵轴双曲线的图像同样由两个分离的支线构成，它在物理学、力学、天文学等领域有广泛的应用，例如行星运动的轨道、卫星发射轨道等。

五、双曲线的解析几何应用1. 双曲线的切线双曲线的切线过双曲线上的一点$P(x_0, y_0)$，切线方程为$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$。

2. 双曲线的渐近线横轴双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{b}{a} x$，纵轴双曲线的渐近线方程为$x=\pm \frac{a}{b} y$。

高三数学知识点双曲线椭圆高三数学知识点：双曲线和椭圆双曲线和椭圆是高中数学中重要的曲线类别，它们在数学和实际应用中具有广泛的应用。

本文将详细介绍双曲线和椭圆的定义、性质、方程及其应用。

一、双曲线1. 定义及性质双曲线是由平面上满足一定条件的点构成的曲线。

它的定义是：平面内到两个给定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。

两个给定点叫做焦点，常数叫做离心率。

双曲线的形状与焦点和离心率有关。

2. 方程双曲线的标准方程有两种形式：独立变量在分子和分母上的方程和独立变量在一项上的方程。

常见的双曲线方程有：横轴双曲线方程、纵轴双曲线方程、一般方程等。

3. 性质和参数双曲线具有许多重要的性质和参数，如焦点、离心率、短轴、长轴、渐进线等，这些性质和参数在解决具体问题和计算曲线方程时非常重要。

4. 应用双曲线在物理学、工程学、天文学等领域中有广泛的应用。

例如，双曲线可以描述天体的轨迹、椭圆轨道上的行星运动等。

二、椭圆1. 定义及性质椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

两个定点称为焦点，常数称为离心率。

椭圆的形状与焦点和离心率有关。

2. 方程椭圆的标准方程也有两种形式：横轴椭圆方程和纵轴椭圆方程。

椭圆方程可以用于描述椭圆的形状和位置。

3. 性质和参数椭圆也具有一些重要的性质和参数，如焦点、离心率、长轴、短轴、焦距、半焦距等。

这些性质和参数对于解决问题和计算曲线方程非常有帮助。

4. 应用椭圆在物理学、天文学、力学、电磁学等领域中有广泛的应用。

例如，椭圆可以用于描述行星轨道、天体运动、电子轨道等。

三、双曲线与椭圆的区别与联系1. 区别双曲线和椭圆的最大区别在于它们到焦点的距离之和是否等于常数。

双曲线是距离之差的绝对值等于常数，而椭圆是距离之和等于常数。

2. 联系双曲线和椭圆具有一定的联系和相似之处。

它们都是由到焦点的距离之和或之差等于常数的点构成的曲线，因此它们在数学中有类似的性质和参数。

四、总结双曲线和椭圆是高三数学中重要的知识点，它们的定义、性质、方程和应用都需要我们深入理解。

高三数学双曲线的定义、性质及标准方程知识精讲【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。

说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。

实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。

其渐近线方程为y＝±x 。

等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。

5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。

说明：（1）在双曲线有关计算和证明中首先分清双曲线焦点在x 轴上，还是在y 轴上，中心是否在原点。

（2）在解与双曲线有关的问题时，注意利用定义及各元素之间的相互依赖关系（如：222,ca cb e a=-=等）。

（3）使用韦达定理求某些参数时，要注意利用判别式△≥0或（△>0）来限制参数的取值范围，否则，会出现错误。

（4）依题意判断曲线是双曲线的一个分支，还是整个双曲线。

（5）双曲线是具有渐近线的曲线。

高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．【答案】－2【解析】由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5．∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，·取得最小值－2．2.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】取，则，直线为，，即，∴，∴，∴，由，∴.【考点】双曲线的标准方程、两直线垂直的充要条件.3. [2014·大同模拟]设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为() A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】双曲线的渐近线y＝±x，所以a＝2，选C项．4.双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【答案】【解析】由－y2＝1知顶点(2,0)，渐近线x±2y＝0，∴顶点到渐近线的距离d＝＝.5.若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则实数等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】双曲线的焦点坐标是，，抛物线的焦点坐标是所以，或得故选【考点】抛物线和双曲线的焦点.6.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线的准线为，由|AB|=，则，把坐标代入双曲线方程得，所以双曲线方程为，即，所以a2=4，a=2，所以实轴长2a=4，选C.7.已知双曲线（），与抛物线的准线交于两点，为坐标原点，若的面积等于，则A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线是，代入双曲线方程得，，所以，解得．【考点】曲线的交点，三角形的面积．8.已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，设动圆M与圆及圆分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得，．因为，所以．这表明动点M到两定点、的距离的差是常数2，且小于．根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到的距离大，到的距离小)，这里a＝1，c＝3，则，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为．9.已知，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】双曲线方程可化为，即，因此双曲线的半实轴长为2，半虚轴长为1，所以半焦距为，所以离心率为.【考点】双曲线的标准方程及几何性质.10.的右焦点到直线的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线的右焦点为，由点到直线的距离公式得右焦点到直线的距离为.【考点】双曲线的焦点及点到直线的距离.11.已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为( )A． B． C D【答案】B【解析】由题得,设点,由于点A,B为过原点的直线与双曲线的焦点,所以根据双曲线的对称性可得A,B关于原点对称,即.则,由于点A,C都在双曲线上,故有,两式相减得.则,对于函数利用导数法可以得到当时,函数取得最小值.故当取得最小值时, ,所以,故选B【考点】导数最值双曲线离心率12.过双曲线上任意一点P，作与实轴平行的直线，交两渐近线M,N两点，若，则该双曲线的离心率为____.【答案】【解析】依题意设，则.所以由.可得.即.所以离心率.【考点】1.圆锥曲线的性质.2.向量的数量积.3.方程的思想.13.已知抛物线的准线过双曲线的左焦点且与双曲线交于A、B两点，O 为坐标原点，且△AOB的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．4C．3D．2【答案】D【解析】解:抛物线的准线方程为:,由题意知,双曲线的左焦点坐标为,即且,因为△AOB的面积为，所以，，即：所以，，解得：，故应选D.【考点】1、抛物线的标准方程；2、双曲线的标准方程及简单几何性质.14.双曲线＝1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为________．【答案】13【解析】由a＝4，b＝3，得c＝5.设左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|＝(a＋c＋c－a)＝c＝5，由双曲线的定义，得|PF1|＝2a＋|PF2|＝8＋5＝1315.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且其渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知双曲线的一个焦点坐标是（0,5），可设双曲线方程为，利用表示坐标，建立方程，解方程即可.【考点】（1）共渐近线的双曲线方程；（2）抛物线的几何性质.16.设F是双曲线的右焦点，双曲线两渐近线分另。

双曲线•双曲线第一定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线，即||PF1|-|PF2||=2a（2a＜|F1F2|）。

若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在；若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

双曲线的第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e（e＞1）的动点的轨迹叫双曲线。

•双曲线的理解：的轨迹为近的一支；的一支。

注：的延长线和反向延长线（两条射线）；则轨迹不存在；的垂直平分线。

双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）•双曲线的离心率的定义：(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率．(2)e的范围：e>l．(3)e的含义：e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大．渐近线与实轴的夹角也增大。

•双曲线的性质：1、焦点在x轴上：顶点：（a，0），（-a，0）；焦点：（c，0），（-c，0）；渐近线方程：或。

2、焦点在y轴上：顶点：（0，-a），（0，a）；焦点：（0，c），（0，-c）；渐近线方程：或。

3、轴：x、y为对称轴，实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距2c。

4、离心率；5、中，取值范围：x≤-a或x≥a，y∈R，对称轴是坐标轴，对称中心是原点。

•双曲线的焦半径：双曲线上的点之间的线段长度称作焦半径，分别记作关于双曲线的几个重要结论：(1)弦长公式（与椭圆弦长公式相同）．(2)焦点三角形：已知的两个焦点，P为双曲线上一点（异于顶点），的面积为在解决与焦点三角形有关的问题时，应注意双曲线的两个定义、焦半径公式以及三角形的边角关系、正弦定理等知识的综合运用，还应注意灵活地运用平面几何、三角函数等知识来分析解决问题．(3)基础三角形：如图所示，△AOB中，(4)双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长．(5)自双曲线的焦点作渐近线的垂线，垂足必在相应的准线上，即过焦点所作的渐近线的垂线，渐近线及相应准线三线共点．(6)以双曲线的焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切或内切．(7)双曲线上一点P(x0，y0)处的切线方程是(8)双曲线划分平面区域:对于双曲线,我们有：P(x0，y0)在双曲线内部（与焦点共区域) P(x0，y0)在双曲线外部（与焦点不其区域)。

第6讲双曲线[学生用书P184]1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线．(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线．(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R性质对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点 A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b a xy ＝±a b x离心率e ＝ca ，e ∈(1，＋∞)实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)3.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 互相垂直． 常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a 2.5．P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)椭圆的离心率e ∈(0，1)，双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)．( ) (3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视双曲线的定义； (2)忽视双曲线焦点的位置；(3)忽视双曲线的渐近线与离心率的关系．1．平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________． 解析：由|PF 1|－|PF 2|＝6＜|F 1F 2|＝8，得a ＝3，又c ＝4，则b 2＝c 2－a 2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y 29－x 27＝1的下支．答案：双曲线y 29－x 27＝1的下支2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线的离心率为________．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±b a x ，由题意可得b a ＝tan π3＝3，b ＝3a ，可得c ＝2a ，则e ＝ca ＝2；若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±a b x ，由题意可得a b ＝tan π3＝3，a ＝3b ，可得c ＝233a ，则e ＝233.综上可得e ＝2或e ＝233.答案：2或2333．(2020·高考全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝2x ，则C 的离心率为________．解析：由双曲线的一条渐近线为y ＝2x 可知，ba ＝2，即b ＝2a .在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2，所以c 2＝3a 2，所以e ＝ca ＝ 3.答案： 3[学生用书P185]双曲线的定义(多维探究) 角度一 利用定义求轨迹方程已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________．【解析】 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以 |MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x ≤－1)．【答案】 x 2－y 28＝1(x ≤－1)角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________．【解析】 由双曲线的定义有 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， 所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34.【答案】 34【迁移探究1】 (变条件、变问法)将本例中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，求△F 1PF 2的面积是多少？解：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝8，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝2 3.【迁移探究2】 (变条件、变问法)将本例中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，求△F 1PF 2的面积是多少？解：不妨设点P 在双曲线的右支上，则 |PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，由于PF 1→·PF 2→＝0， 所以PF 1→⊥PF 2→，所以在△F 1PF 2中，有 |PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2. 角度三 利用定义求解最值问题若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1，4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12【解析】 由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4，0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．所以|PF |＋|P A |的最小值为9. 【答案】 B双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[提醒]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．1．(2020·高考全国卷Ⅲ)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：选A.通解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，则S△PF1F2＝12mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又e＝c a＝5，所以a＝1，选A.优解：由题意得，S△PF1F2＝b2tan 45°＝4，得b2＝4，又c2a2＝5，c2＝b2＋a2，所以a＝1.2．(2020·贵阳市适应性考试)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P.若线段PF的中点为M，M在线段PT上，O为坐标原点，则|OM|－|MT|＝() A．b－a B．a－bC．c－a D．c－b解析：选A.如图，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′.因为点M ，O 分别为线段PF ，FF ′的中点，所以|OM |＝12|PF ′|＝12(|PF |－2a )＝12|PF |－a ＝|MF |－a ，所以|OM |－|MT |＝|MF |－|MT |－a ＝|FT |－a .连接OT ，因为FT 是圆的切线，所以OT ⊥FT ，在Rt △FOT 中，|OF |＝c ，|OT |＝a ，所以|FT |＝|OF |2－|OT |2＝b ，所以|OM |－|MT |＝b －a .故选A.双曲线的标准方程(师生共研)(1)(一题多解)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2，1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 22－y 2＝1C.x 23－y 23＝1D ．x 2－y22＝1(2)(一题多解)若双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点(4，3)，则双曲线的标准方程为________．【解析】 (1)方法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.方法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2，1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.(2)方法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， 所以可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(4，3)，所以λ＝16－4×(3)2＝4，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.方法二：因为渐近线y ＝12x 过点(4，2)，而3<2，所以点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．所以双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【答案】 (1)B (2)x 24－y 2＝1(1)求双曲线标准方程的答题模板(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)或mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．1．(2020·高考天津卷)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 24－y 2＝1D ．x 2－y 2＝1解析：选D.方法一：由题知y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b )的直线方程为x ＋y b ＝1，而x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x a ＋y b ＝0和x a －yb ＝0，由l与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a ＝1，b ＝1，故选D.方法二：由题知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则a ＝b ，即渐近线方程为x ±y ＝0，排除B ，C.又知y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，l 过点(1，0)，(0，b )，所以b －00－1＝－1，b ＝1，故选D.2．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为________．解析：因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且（4－a ）2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝13．经过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________． 解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，因为所求双曲线经过点P (3，27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝1双曲线的几何性质(多维探究) 角度一 求双曲线的渐近线方程(2021·南充市第一次适应性考试)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于2a ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．4x ±3y ＝0C ．3x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0【解析】由|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c 及双曲线的定义，得|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝2c ＋2a .如图，过点F 2作F 2Q ⊥PF 1于点Q ，则|F 2Q |＝2a ，在等腰三角形PF 1F 2中，|PQ |＝12|PF 1|＝c ＋a ，所以|PF 2|2＝|PQ |2＋|QF 2|2，即(2c )2＝(c ＋a )2＋(2a )2，解得a ＝35c ， 则b ＝c 2－a 2＝45c ，所以b a ＝43，该双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.【答案】 B求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．[说明] 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x 轴，y 轴对称．角度二 求双曲线的离心率(1)(一题多解)(2021·安徽省部分重点学校联考)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且∠F 1PF 2为120°，则双曲线C 的离心率为( )A.3＋12B ．5＋12C. 5D.7(2)(2021·河北九校第二次联考)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，使得点F 2到直线PF 1的距离为a ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，52B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞C ．(1，5)D ．(5，＋∞)【解析】 (1)通解：不妨设P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝120°，|F 1F 2|＝2c ，所以在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(4a )2＋(2a )2－2×4a ×2a cos 120°，化简整理得c 2＝7a 2，则e ＝7，故选D.优解：不妨设P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝120°，所以S △PF 1F 2＝12×4a ×2a ×sin 120°＝23a 2，又S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝b 23，所以23a 2＝b 23，所以b 2a 2＝6，e 2＝1＋b 2a 2＝7，则e ＝7，故选D.(2)双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .设直线PF 1的方程为y ＝k (x ＋c )，因为点P在双曲线的右支上，所以|k |＜b a ，F 2(c ，0)到直线PF 1的距离d ＝2|kc |k 2＋1＝a ，解得k 2＝a 24c 2－a 2＝a 23c 2＋b2，根据k 2＜b 2a 2，得a 4＜3b 2c 2＋b 4，所以a 4－b 4＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)c 2＜3b 2c 2，则a 2－b 2＜3b 2，即b 2a 2＞14，所以e 2＝1＋b 2a 2＞54，则e ＞52，故选B.【答案】 (1)D (2)B(1)求双曲线的离心率或其取值范围的方法①求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e .②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝ba ＝c 2－a 2a＝c 2a 2－1＝e 2－1.角度三 双曲线几何性质的综合应用(1)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 (2)(2021·潍坊模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( )A ．1B ．12 C.13D.23【解析】 (1)因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1， 所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＜0，即3y 20－1＜0，解得－33＜y 0＜33.(2)如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ， 因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2. 由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ， 所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |， 所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ， 所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2， 所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12.故选B. 【答案】 (1)A (2)B(1)双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．(2)与双曲线有关的取值范围问题的解题思路①若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解．②若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．1．(2020·开封市模拟考试)关于渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线有下述四个结论：①实轴长与虚轴长相等；②离心率是2；③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等；④顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离比值为 2.其中所有正确结论的编号是( )A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③④解析：选C.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，故此双曲线为等轴双曲线，即a ＝b ，c ＝2a ，则离心率e ＝2，故①②均正确．过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为2×b 2a ＝2a ，故等于实轴长，③正确．不妨取一个顶点(a ，0)，其到渐近线x ±y ＝0的距离d 1＝a 2＝22a ，焦点到渐近线的距离d 2＝b ，又a ＝b ，所以d 1d 2＝22，故④错误．综上可知，正确结论的编号为①②③，故选C.2．(2020·高考全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选B.由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .因为D ，E 分别为直线x ＝a 与双曲线C 的两条渐近线的交点，所以不妨设D (a ，b )，E (a ，－b )，所以S△ODE ＝12×a ×|DE |＝12×a ×2b ＝ab ＝8，所以c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16，所以c ≥4，所以2c ≥8，所以C 的焦距的最小值为8，故选B.3．(2021·四省八校第二次质量检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，A ，B 是双曲线上关于原点对称的两点，M 是双曲线上异于A ，B 的动点，直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1∈[1，2]，则k 2的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，14 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，－18 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－14 解析：选A.设A (x 1，y 1)，M (x ，y )，则B (－x 1，－y 1)．因为A ，M 均在双曲线上，所以x 21a 2－y 21b 2＝1 ①，x 2a 2－y 2b 2＝1 ②，所以x 21－x 2a 2＝y 21－y 2b 2，即y 2－y 21x 2－x 21＝b 2a 2.因为双曲线的离心率e ＝c a ＝52，所以a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，所以k 1·k 2＝y 1－y x 1－x ·－y 1－y －x 1－x ＝y 2－y 21x 2－x 21＝b 2a 2＝14，所以k 2＝14k 1，因为k 1∈[1，2]，所以k 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，14.[学生用书P405(单独成册)][A 级 基础练]1．“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，所以(25－k )(k －9)<0，所以k <9或k >25，所以“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2021·深圳市统一测试)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且渐近线经过点(1，－2)，则此双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 24－y 216＝1D.x 216－y 24＝1解析：选 B.由题意知，渐近线y ＝－ba x 过点(1，－2)，2c ＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，所以双曲线的方程为x 2－y 24＝1，故选B. 3．(2021·广州市调研检测)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，垂足为D ，且满足|FD |＝12|OF |(O 为坐标原点)，则双曲线的离心率为( )A.233B ．2C ．3D.103解析：选A.根据双曲线的几何性质可知，焦点到渐近线的距离|FD |＝b ，而|OF |＝c ，依题意得b ＝12c ，代入c 2＝a 2＋b 2得c 2＝a 2＋14c 2，即34c 2＝a 2，所以c 2a 2＝43，c a ＝233.故选A.4．(2020·高考全国卷Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A.72 B ．3 C.52D ．2解析：选B.通解：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2，0)，F 2(2，0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6＝3.故选B.秒解：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2，0)，F 2(2，0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以S △PF 1F 2＝b 2tan θ2＝3tan 45°＝3(其中θ＝∠F 1PF 2)．故选B.5．(2021·昆明市三诊一模)已知F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且F 2在C 的渐近线上的射影为点H ，O 为坐标原点，若|OH |＝|F 2H |，则C 的渐近线方程为( )A ．x ±y ＝0B ．3x ±y ＝0C ．x ±3y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：选A.由题意F 2H ⊥OH ，所以|F 2H |＝|bc |a 2＋b2＝b ，又|F 2O |＝c ，所以|OH |＝c 2－b 2＝a ，又|OH |＝|F 2H |，所以a ＝b ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x＝±x ，即x ±y ＝0，故选A.6．(2021·贵阳市适应性考试)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，若△MF 1N 为正三角形，则该双曲线的离心率为( )A.13 B ．132C ．213D.72解析：选C.由⎩⎨⎧x ＝c ，y ＝±b a x 得⎩⎨⎧x ＝c ，y ＝±bc a ，于是|MN |＝2bca.因为△MF 1N 是正三角形，所以bc a ＝2c ·tan 30°＝23c 3，b a ＝233.因此，该双曲线的离心率e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋43＝73＝213，选C.7．(2020·东北三校第一次联考)已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝120°，则△F 1PF 2的面积为( )A ．2 3B ． 3C ．2 5D. 5解析：选B.由题意可知，a ＝1，b ＝3，c ＝2.不妨设点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，在△F 1PF 2中，因为∠F 1PF 2＝120°，所以由余弦定理得4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos 120°，即4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋3|PF 1||PF 2|＝4a 2＋3|PF 1||PF 2|，所以|PF 1||PF 2|＝4b 23，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin 120°＝3b 23＝3，故选B.8．(2020·福州市适应性考试)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1与l 2，若点A ，B 为l 1上关于原点对称的不同两点，点M 为l 2上一点，且k AM ·k BM ＝3ba ，则双曲线C 的离心率为( )A ．1B ． 2C ．2D. 5解析：选C.不妨设直线l 1的方程为y ＝b a x ，则直线l 2的方程为y ＝－ba x .设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，b a x 1，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－b a x 2， 则点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1，－b a x 1，k AM ＝ba （x 1＋x 2）x 1－x 2，k MB ＝－b a x 1＋b a x 2－x 1－x 2＝ba （x 1－x 2）x 1＋x 2，所以k AM ·k BM ＝b 2a 2＝3b a ，所以b a ＝3，所以e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选C.9．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝110．(2020·高考全国卷Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________．解析：设B (c ，y B )，因为B 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1上的点，所以c 2a 2－y 2Bb 2＝1，所以y 2B ＝b 4a2.因为AB 的斜率为3，所以y B ＝b 2a ，b 2ac －a＝3，所以b 2＝3ac －3a 2，所以c 2－a 2＝3ac －3a 2，所以c 2－3ac ＋2a 2＝0，解得c ＝a (舍去)或c ＝2a ，所以C 的离心率e ＝ca ＝2.答案：2[B 级 综合练]11．(2020·合肥第一次教学检测)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，圆F 2与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆F 2与双曲线C 的一个交点．若F 1M →·F 2M →＝0，则双曲线C 的离心率等于( )A. 5 B ．2 C ． 3D. 2解析：选A.双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 2(c ，0)，圆F 2与双曲线C 的渐近线y ＝±ba x 相切，故圆F 2的半径r 等于点F 2到直线bx ±ay ＝0的距离，所以r ＝b ，又M 是圆F 2与双曲线C 的一个交点，所以|F 2M |＝b ，|F 1M |＝2a ＋b ，又F 1M →·F 2M →＝0，所以F 1M →⊥F 2M →，又|F 1F 2|＝2c ，所以(2a ＋b )2＋b 2＝4c 2，所以b ＝2a ，e ＝ 1＋b 2a 2＝5，故选A.12．(2021·东北三校第一次联考)已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝120°，∠F 1PF 2的平分线交x 轴于点A ，则|P A |＝( )A.55B ．255C ．355 D. 5解析：选B.不妨设点P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则r 1－r 2＝2a ＝2.由余弦定理，知|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2.又|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝4，代入上式，得r 21＋r 22＋r 1r 2＝16＝(r 1－r 2)2＋3r 1r 2，所以r 1r 2＝4，r 1＋r 2＝r 21＋r 22＋2r 1r 2＝16＋4＝25，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin ∠F 1PF 2＝S △F 1P A ＋S △APF 2＝12r 1·|P A |·sin ∠F 1PF 22＋12r 2·|P A |·sin ∠F 1PF 22，代入可得r 1r 2＝(r 1＋r 2)·|P A |，所以|P A |＝r 1r 2r 1＋r 2＝425＝255，故选B. 13．(2020·开封市第一次模拟考试)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，圆O ：x 2＋y 2＝a 2＋b 2与C 在第一象限、第三象限的交点分别为M ，N ，若△MNF 的面积为ab ，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2B ． 3C ．2 D. 5解析：选A.设双曲线的左焦点为F ′，连接MF ′，不妨设|MF ′|＝m ，|MF |＝n ，则m ＞n 且m －n ＝2a .①由题意知，FF ′为圆O 的直径，则△MFF ′为直角三角形，且∠F ′MF ＝π2，所以S △MFF ′＝12mn ，又易知S △MFF ′＝S △MNF ，所以12mn ＝ab ，②且有|MF ′|2＋|MF |2＝|F ′F |2，即m 2＋n 2＝(2c )2.③③可变形为(m －n )2＋2mn ＝(2c )2，把①②代入上式，整理得b 2＝ab ，所以b ＝a .所以所求双曲线的离心率e ＝ 1＋b 2a 2＝ 2.故选A.14．(2020·南充市第一次适应性考试)已知1＜m ＜4，F 1，F 2为曲线C ：x 24＋y 24－m ＝1的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线E ：x 2－y 2m －1＝1在第一象限的交点，直线l 为曲线C 在点P 处的切线，若△F 1PF 2的内心为点M ，直线F 1M 与直线l 交于N 点，求点M ，N 横坐标之差．解：联立两曲线方程，消去y 可得x ＝±2m ，设P (x 0，y 0)且x 0＝2m，y 0＝ （m －1）（4m －1），则直线l 的方程为x 0x 4＋y 0y 4－m＝1 ①，因为1＜m ＜4，所以4－m ＞0，所以|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＋|PF 2|＝4.设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，则由等面积可得12|F 1F 2|·y 0＝12r (|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)，即2my 0＝(4＋2m )r ，所以r ＝my 02＋m＝y M ②，因为△F 1PF 2为双曲线的焦点三角形，M 为内切圆圆心，所以x M ＝1，直线F 1M 的方程为y ＝y M 1＋m(x ＋m ) ③，联立①②③，化简可得3mx ＝6m ，得x ＝2，所以x N ＝2，所以x M －x N ＝－1.[C 级 提升练]15．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，直线l ：y ＝kx ＋m 与双曲线C 相交于A ，B两点(A ，B 均异于左、右顶点)，且以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，则直线l 所过定点为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 2＝1，得(1－4k 2)x 2－8kmx －4(m 2＋1)＝0，所以Δ＝64m 2k 2＋16(1－4k 2)(m 2＋1)＞0，x 1＋x 2＝8mk 1－4k 2，x 1x 2＝－4（m 2＋1）1－4k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21－4k 2. 因为以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D (－2，0)，所以k AD ·k BD ＝－1，即y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－1， 所以y 1y 2＋x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0，即m 2－4k 21－4k 2＋－4（m 2＋1）1－4k 2＋16mk 1－4k 2＋4＝0， 所以3m 2－16mk ＋20k 2＝0，解得m ＝2k 或m ＝10k 3.当m ＝2k 时，直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，直线过定点(－2，0)，与已知矛盾；当m ＝10k 3时，直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋103，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0，经检验符合已知条件．故直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，0 16．已知P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上的任意一点，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点．若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点，当AP →＝12PB →时，△AOB 的面积为2b .求双曲线C的实轴长．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由AP →＝12PB →，得(x －x 1，y －y 1)＝12(x 2－x ，y 2－y )，则x ＝23x 1＋13x 2，y ＝23y 1＋13y 2，所以（23x 1＋13x 2）2a 2－（23y 1＋13y 2）2b 2＝1. 由题意知A 在直线y ＝b a x 上，B 在y ＝－b a x 上，则y 1＝b a x 1，y 2＝－b a x 2.所以（23x 1＋13x 2）2a 2－（23y 1＋13y 2）2b 2＝1，即b 2(23x 1＋13x 2)2－a 2(2b 3a x 1－b 3a x 2)2＝a 2b 2，化简得a 2＝89x 1x 2，由渐近线的对称性可得sin ∠AOB ＝sin 2∠AOx＝2sin ∠AOx cos ∠AOx sin 2∠AOx ＋cos 2∠AOx ＝2tan ∠AOx tan 2∠AOx ＋1＝2b a （b a）2＋1＝2ab b 2＋a 2. 所以△AOB 的面积为12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12x 21＋y 21·x 22＋y 22·sin ∠AOB ＝12 x 21＋（b a x 1）2·x 22＋（－b a x 2）2·2ab b 2＋a 2 ＝x 1x 2·1＋（b a ）2·1＋（b a ）2·ab b 2＋a2 ＝98a 2·ab b 2＋a 2·[1＋(b a )2]＝98ab ＝2b ，解得a ＝169.所以双曲线C 的实轴长为329.。

高三数学双曲线试题答案及解析1.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )A．B．2C．4D．8【答案】C【解析】设C：－＝1．∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4．∴C的实轴长为4．2.已知双曲线左、右焦点分别为，若双曲线右支上存在点P 使得，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．(0，)B．(，1)C．D．(，)【答案】【解析】由已知及正弦定理知，即.设点的横坐标为，则，所以，，，即，解得，选.【考点】双曲线的几何性质，正弦定理，双曲线的第二定义.3.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线右支上的一点，轴交于点A，的内切圆在上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设，由图形的对称性及圆的切线的性质得，因为,所以,所以，所以又，所以，，所以故选B.【考点】1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质；3、圆的切线的性质.4. (2014·咸宁模拟)双曲线-=1的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则双曲线离心率为() A．B．C．2D．3【答案】C【解析】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为bx±ay=0,依题意,直线bx±ay=0与圆x2+(y-2)2=1相切,设圆心(0,2)到直线bx±ay=0的距离为d,则d===1,所以双曲线离心率e==2.5.双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【答案】【解析】由－y2＝1知顶点(2,0)，渐近线x±2y＝0，∴顶点到渐近线的距离d＝＝.6.已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )A．2B．C．D．【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为，即，又，代入得，解得，即，故选．【考点】双曲线的标准方程与几何性质.7.已知，则双曲线：与：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【答案】D【解析】双曲线的离心率是，双曲线的离心率是，故选D8.已知双曲线的两个焦点分别为，以线段直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为.则此双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，，∴①，又双曲线的渐近线为，因此②，则①②解得，∴双曲线方程为，选A．【考点】双曲线的标准方程与性质．9.在平面直角坐标系中，定点，两动点在双曲线的右支上，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，当直线MA、MB与双曲线相切时，∠AMB最大，此时最小，设过点M的双曲线切线方程为：代入整理得，，则△==0，解得=，即=，∴==，故选D.【考点】1.直线与双曲线的位置关系；2.二倍角公式；3.数形结合思想；4.转化与化归思想10.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】在直角三角形中，设则，因此离心率为【考点】双曲线定义11.已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．【答案】x2＝16y【解析】∵双曲线C1：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.12.已知双曲线C：＝1的焦距为10，P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为________．【答案】＝1【解析】∵＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝2，b＝.＝113.根据下列条件，求双曲线方程．(1)与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；(2)与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)．【答案】（1）＝1.（2）＝1【解析】解法1：(1)设双曲线的方程为＝1，由题意，得解得a2＝，b2＝4.所以双曲线的方程为＝1.(2)设双曲线方程为＝1.由题意易求得c＝2.又双曲线过点(3，2)，∴＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为＝1.解法2：(1)设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入得λ＝，所以双曲线方程为＝.(2)设双曲线方程为＝1，将点(3，2)代入得k＝4，所以双曲线方程为＝1.14.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为()A．2B．2C．4D．4【答案】B【解析】双曲线左顶点为A(-a,0),1渐近线为y=±x,抛物线y2=2px(p>0)焦点为F（,0）,准线为直线x=-.由题意知-=-2,∴p=4,由题意知2+a=4,∴a=2.∴双曲线渐近线y=±x中与准线x=-交于(-2,-1)的渐近线为y=x,∴-1=×(-2),∴b=1.∴c2=a2+b2=5,∴c=,∴2c=2.故选B.15.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为 .【答案】 -=1【解析】由双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x得=,∴b= a.∵抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),∴c=4.又∵c2=a2+b2,∴16=a2+(a)2,∴a2=4,b2=12.∴所求双曲线的方程为-=1.16.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.【答案】x2-=1【解析】由y2=8x准线为x=-2.则双曲线中c=2,==2,a=1,b=.所以双曲线方程为x2-=1.17.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1【答案】B==1,【解析】∵kAB∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为-=1.故选B.18.若双曲线-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得F1(-c,0),F2(c,0),抛物线x=y2,即y2=2bx的焦点F(,0),依题意=.即=,得:5b=2c⇒25b2=4c2,又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,解得c= a.故双曲线的离心率为=.19.若双曲线-=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则m的值为()A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】【思路点拨】实数m(m-2)>0还不足以确定m的值,还要确定抛物线的焦点(双曲线的左焦点).解:抛物线y2=-8x的焦点(-2,0)也是双曲线-=1的左焦点,则c=2,a2=m,b2=m-2,m+m-2=4即m=3.20.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M, N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设双曲线的方程为-=1(a1>0,b1>0),椭圆的方程为+=1(a2>0,b2>0),由于M,O,N将椭圆长轴四等分,所以a2=2a1,又e1=,e2=,所以==2.21.P(x0,y)(x≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率.(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.【答案】(1)(2) λ=0或λ=-4【解析】【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为列方程求解.(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=λ+求解.解：(1)由点P(x0,y)(x≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.由题意又有·=,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e==.(2)联立方程得得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则设=(x3,y3),=λ+,即又C为双曲线E上一点,即-5=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,化简得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,所以-5=5b2,-5=5b2.又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.22.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】把双曲线的方程化为标准形式：．故选B．【考点】双曲线的简单的几何性质．23.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为________．【答案】-2【解析】由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5，∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，取最小值－2.24.点到双曲线的渐近线的距离为______________.【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为：，点到渐近线的距离.【考点】双曲线的标准方程.25.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为________．【答案】2【解析】由题意，得e＝＝＝＝226.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2]【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.27.P为双曲线＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则PM－PN的最大值为________．【答案】9【解析】设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时PM－PN＝(PF1＋2)－(PF2－1)＝6＋3＝928.双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．【答案】(1，)【解析】双曲线＝1的一条渐近线为y＝x，点(1,2)在该直线的上方，由线性规划知识，知：2＞，所以e2＝1＋2＜5，故e∈(1，)．29.已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为________．【答案】＋1【解析】由题意知：B，A(a,0)，F(c,0)，则2a＝c－，即e2－2e－1＝0，解得e＝＋1.30.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是()．A．(1,2)B．(1,2]C．(1，)D．(1，]【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.31.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为()．A．5x2－y2＝1B．＝1C．＝1D．5x2－y2＝1【答案】D【解析】由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，即c＝1，又e＝＝，可得a＝，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－y2＝132.抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()．A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线C1：y＝x2的标准方程为x2＝2py，其焦点为F；双曲线C2：－y2＝1的右焦点F′为(2,0)，其渐近线方程为y＝±x.由y′＝x，所以x＝，得x＝p，所以点M的坐标为.由点F，F′，M三点共线可求p＝.33.双曲线＝1(m>0)的离心率为，则m等于________．【答案】9【解析】由题意得c＝，所以＝，解得m＝9.34.分别是双曲线的左右焦点，是虚轴的端点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为_________.【答案】【解析】直线的方程为，由得：；由得：，的中点为.据题意得，所以.【考点】直线与圆锥曲线.35.已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()．A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点在x轴上．设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)，即＝1，则a2＝λ，b2＝3λ，∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c＝4，∴c2＝a2＋b2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为＝136.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】根据双曲线的渐近线的方程知即，所以此双曲线的离心率.【考点】双曲线的标准方程、渐近线方程和离心率.37.已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，双曲线的右顶点为，，则双曲线的离心率为 .【答案】【解析】∵，∴，而∵，∴，∴，∴，∴，在中，，，，即.【考点】1.平面几何中角度的换算；2.双曲线的离心率.38.点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设左焦点为，则，设，则有，即，由定义有：，∴，由得.【考点】1.双曲线的定义；2.焦点三角形求离心率的方法.39.设双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，，原点到直线的距离为，则渐近线的斜率为（）A．或B．或C．1或D．或【答案】D【解析】如图所示，，又即，即，所以渐近线的斜率为或.【考点】双曲线的定义、渐近线等基础知识.40.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为．【答案】6【解析】双曲线的右焦点是抛物线的焦点，所以，，.【考点】双曲线的焦点.41.已知实数,,构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】,,构成一个等比数列，双曲线为，【考点】等比数列及双曲线性质点评：若成等比数列，则，在双曲线中有，离心率42.设双曲线的焦点为，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为双曲线双曲线的焦点为，所以，又，所以，由得所求选A.【考点】双曲线的性质点评：主要是考查了双曲线的渐近线方程的求解，属于基础题。

高三数学知识点双曲线双曲线是高中数学中重要的数学知识点之一，它在数学中有广泛的应用和重要的作用。

在本文中，将详细介绍双曲线的定义、性质和相关的数学知识。

一、双曲线的定义双曲线是平面解析几何中的曲线之一，它的定义可以通过平面上一动点与两个不相交固定点的距离之差的绝对值等于常数来描述。

以坐标平面为例，双曲线的定义可表示为：在平面直角坐标系中，两个不相交的点F1（c, 0）和F2（-c, 0）为焦点，直线L：x = -a为准线，且常数e（e＞1）为离心率时，平面上动点P（x, y）到F1和F2的距离之差的绝对值等于常数e（e＞1）与动点到直线L的距离的积，即|PF1 - PF2| = e|PL|。

二、双曲线的性质1. 双曲线的离心率双曲线的离心率e定义为焦点到准线的距离与焦点到准线的垂线段的比值，即e = PF1 / PL，其中PF1为焦点到动点的距离，PL为动点到准线的垂线段。

双曲线的离心率大于1，离心率越大，双曲线的形状越扁平。

2. 双曲线的对称轴以焦点连线为轴，双曲线与对称轴关于对称轴对称。

3. 双曲线的渐近线双曲线的渐近线是与双曲线趋于无穷远处（焦点以外）的直线。

双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两支无限延伸，且互相对称。

4. 双曲线的焦点双曲线的焦点F1和F2是双曲线的两个特殊点，焦点到双曲线上任意一点的距离之差的绝对值等于常数e与该点到准线的距离的积。

焦点与双曲线的形状和位置密切相关。

三、双曲线的方程双曲线的一般方程可以表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（双曲线的主轴平行于x轴）或y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1（双曲线的主轴平行于y 轴）。

其中，a为椭圆的轴长，b为双曲线的离心距离。

四、双曲线的应用双曲线广泛应用于数学和物理等领域。

在数学中，双曲线是对数函数、双曲函数和双曲积分等的基础；在物理中，双曲线是电磁场、光学和天体力学等的重要工具。

在高中数学中，我们需要熟练掌握双曲线的定义、性质和方程，能够准确地绘制双曲线图形，并能运用双曲线解决相关的问题。

高三数学第一轮复习：双曲线苏教版（文）【本讲教育信息】一、教学内容：双曲线高考要求：掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。

二、知识要点1、双曲线的两种定义（1）平面内与两定点F 1，F 2的 常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ． ②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在．（2）平面内动点P 到一个定点F 和一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比是常数e ，当∈e 时动点P 的轨迹是双曲线．设P 到1F 的对应准线的距离为1d ，到2F 对应的准线的距离为2d ，则e d PF d PF 2211==2、双曲线的标准方程（1）标准方程：1b y a x 2222=-，焦点在 轴上；1bx a y 2222=-，焦点在 轴上．其中：a 0，b 0，=2a ．（2）双曲线的标准方程的统一形式：)0nm (1ny mx 22<=+3、双曲线的几何性质（对0b ,0a ,1by a x 22>>=-进行讨论）（1）范围：∈x ，∈y ．（2）对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．（3）顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，准线方程为 ，渐近线方程为 ．（4）离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线开口越 ，焦准距P ＝ ．（5）焦半径公式，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若)y ,x (P 00是双曲线右支上任意一点，=1PF ，=2PF ，若)y ,x (P 00是双曲线左支上任意一点，=1PF ，=2PF ．（6）具有相同渐近线x ab y ±=的双曲线系方程为（7） 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率为 ．（8）1by a x 2222=-的共轭双曲线方程为 ．【典型例题】例1、根据下列条件，写出双曲线的标准方程 （1）中心在原点，一个顶点是（0，6），且离心率是1.5． （2）与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M （2，－2）． （3）已知双曲线的渐近线方程为032=±yx ，且过点（2，－6），求双曲线的方程；（4）已知双曲线的右准线为x ＝4，右焦点为F （10，0），离心率为e ＝2，求双曲线的方程．解：（1）∵顶点为（0，6），设所求双曲线方程为1bx a y 2222=- ∴6=a又∵5.1=e ∴95.1b e a c =⨯=⨯=故所求的双曲线方程为145x 36y 22=- （2）令与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线为x 2－2y 2＝k ∵ 双曲线过M （2，－2） ∴ 4－2×4＝k 得k ＝－4∴ x 2－2y 2＝－4即14x 2y 22=- （3）设2222,3,1492712x y y x λλ-=∴=-∴-=（42223(2)16x y =∴-+=例2、ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4BC =，且A sin 21B sinC sin =-，求顶点A 的轨迹方程．答案：221(0)3y x x -=>例3、可以证明函数x bax y +=（b ≠0）的图象是双曲线，试问双曲线C ：x 33x y +=的离心率e 等于 ．答案：332（提示：22x 3)3x )(3x (x 331y -+=-='）解：列表如下：根据上表，可作出x33x y +=的草图如下：渐近线有两条，一条为y 轴，另一条可设为y ＝kx ．由渐近线的意义知：设P （x ，y ）为双曲线x33x y +=上任一点，则点P 到渐近线y ＝kx 的距离为 d ＝1k x33x kx 2++-＝1k x3x )31k (2++-显然：01k x3x )31k (limd lim 2x x =+--=∞→∞→∴3331k ==即33a b =故双曲线的离心率332311)a b (1ab a ace 2222=+=+=+==.例4、直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ． （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解：（1）将y ＝kx ＋1代入2x 2－y 2＝1后并整理得：（k 2－2）x 2＋2kx ＋2＝0 ①依题意有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-02k 202k k 20)2k (8)k 2(02k 22222⇒－2＜k ＜－2（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由①得：x 1＋x 2＝2k 2k2-，x 1x 2＝2k 22- ② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c ，0），则FA ⊥FB ，因此⋅＝0即（x 1－c ）（x 2－c ）＋y 1y 2＝0 又y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1 ∴（k 2＋1）x 1x 2＋（k －c ）（x 1＋x 2）＋c 2＋1＝0 ③把②及c ＝26代入③得：5k 2＋62k －6＝0解得：k ＝－566+∈（－2，－2） 或k ＝566-∉（－2，－2）（舍去） 因此当k ＝－566+时，符合题给要求．例5、在双曲线112y 13x 22-=-的一支上有不同的三点A （x 1，y 1），B （x 2，6），C （x 3，y 3）与焦点F （0，5）的距离成等差数列．（1）求y 1＋y 3；（2）求证：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求出这个定点的坐标．解：（1）依题意，A 、B 、C 均在双曲线的上支，则|AF|＝ey 1－32， |BF|＝6e －32， |CF|＝ey 3－32∵|AF|，|BF|，|CF|成AP∴6e －32＝232ey 32ey 31-+- 即y 1＋y 3＝12（2）∵A 、C 在双曲线上∴113x 12y 2121=-，113x 12y 2323=- 两式相减得：13x x )y y (13)x x (12x x y y 3131313131+=++=-- 于是AC 的垂直平分线方程为： y －6＝－)2x x x (x x 133131+-+ 即y ＝－31x x 13+x ＋225故直线恒过定点（0，225）例6、一双曲线以y 轴为其右准线，它的右支过点M （1，2）， 且它的虚半轴、实半轴、半焦距长依次构成一等差数列试求：（1）双曲线的离心率；（2）双曲线的右焦点F 的轨迹方程；（3）过点M ，F 的弦的另一端点Q 的轨迹方程 解：（1）依题意，2a=b+c ， ∴b 2=（2a －c ）2 = c 2－a 2， 5a 2－4ac=0，两边同除以a 2，得54e =； （2）设双曲线的右焦点F （x ，y ）， 由双曲线的定义，点M 到右焦点的距离与点M 到准线的距离之比为e=45， ∴1)2y ()1x (22--+-=45， ∴F 的轨迹方程为（x －1）2+（y －2）2=1625 （3）设Q （x ，y ）， 点Q 到右焦点的距离与点Q 到准线的距离之比为5/4， ∴|QF|=4x5， 又设点F （x 1，y 1）， 则点F 分线段QA 的比为FM QF =4x 5：45= x ， ∴x 1=x11x x +⨯+=x 1x 2+ ， y 1=x 12x y +⨯+=x 1y x 2++ ，代入（x 1－1）2+（y 1－2）2=1625整理得：点Q 的轨迹方程为 9x 2－16y 2+82x+64y －55=0例7、若1F 、2F 为双曲线)0b ,0a (1b y a x 2222>>=-的左右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线左支，M 在右准线上，且满足OF 2=，)0|OM |(11>=λλ（1）求双曲线离心率；（2）若双曲线过点N （2，3），它的虚轴端点为1B ，2B （1B 在y 轴正半轴上）过2B作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，当A B 1⊥B B 1时，求直线l 的方程。

高三双曲线的知识点总结高三阶段是学生面临高考冲刺阶段的重要时期。

在数学中，双曲线是一个重要的概念，它在高等数学中具有广泛的应用。

在此，我将对高三阶段学习中的双曲线相关知识点进行总结和归纳。

一、双曲线的基本定义双曲线是指平面上到两个固定点（称为焦点）的距离之差等于常数的点的集合。

一般来说，双曲线可以分为两类：横向双曲线和纵向双曲线。

- 横向双曲线的方程一般形式为：(x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1，其中(a > 0, b > 0)。

- 纵向双曲线的方程一般形式为：(y - k)² / a² - (x - h)² / b² = 1，其中(a > 0, b > 0)。

双曲线的标准方程：双曲线的标准方程一般形式为x^2 / a^2 -y^2 / b^2 = c，其中a、b、c是常数。

二、双曲线的图像特征从双曲线的方程可以看出，双曲线的图像具有以下特点：1. 具有两个分支：双曲线有两个分离的分支，分别沿焦点的两侧延伸。

2. 双曲线的对称轴：对称轴是双曲线的一条轴线，通过双曲线的中心点，垂直于双曲线的两个分支，并且与两个分支都相交。

3. 焦点和直线的关系：焦点是双曲线的一个重要特点，它与双曲线上的点之间的距离之差等于常数。

同时，双曲线上的每个点到焦点的距离之和等于双曲线的长轴的长度。

4. 双曲线的渐近线：双曲线的渐近线是双曲线的两个分支在无限远处趋于的直线。

横向双曲线的渐近线是y = ±(b / a) * x，纵向双曲线的渐近线是y = ±(a / b) * x。

5. 双曲线的离心率：离心率是双曲线的一个重要参数，它决定了双曲线的形状。

离心率的计算公式为e = √(a^2 + b^2) / a。

三、双曲线的性质和应用1. 高中阶段，双曲线的主要性质是焦点、顶点、长轴、短轴之间的关系。

高三数学双曲线知识点双曲线是高中数学中的一个重要章节，它涉及到很多基本概念和性质。

在本文中，我们将重点介绍双曲线的定义、标准方程、焦点、直径以及离心率等知识点。

1. 双曲线的定义双曲线是平面上一点到两个固定点的距离之差等于定值的轨迹。

该定值称为双曲线的离心率，用e表示。

2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程分为横轴双曲线和纵轴双曲线：- 横轴双曲线的标准方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b 分别代表横轴和纵轴上的顶点到中心点的距离。

- 纵轴双曲线的标准方程为(y^2/a^2) - (x^2/b^2) = 1，其中a和b 分别代表纵轴和横轴上的顶点到中心点的距离。

3. 焦点和准线在双曲线上，有两个特殊的点称为焦点和准线。

焦点是双曲线的一个重要属性，它位于离心率所确定的直线上，离心率越大，焦点离中心点越远；离心率越小，焦点离中心点越近。

准线是离心率为1的双曲线上的一个与中心对称的直线。

4. 离心率离心率是双曲线的一个重要性质，它决定了双曲线的形状。

离心率等于焦点到准线的距离与焦点到中心点的距离之比。

离心率大于1时，双曲线开口朝左右两侧；离心率等于1时，双曲线退化为两条互相对称的直线。

5. 双曲线的性质双曲线具有一些特殊的性质：- 双曲线关于x轴和y轴对称；- 双曲线的渐近线是与x轴和y轴平行的直线，方程分别为y = ±(b/a)x；- 双曲线具有两个分支，分别位于中心点的上下或左右两侧；- 双曲线的极点是位于两个分支上的最靠近中心点的点。

6. 双曲线的图像与应用双曲线广泛应用于物理、工程和经济学等领域。

它常用于描述两个交叉轴对称的曲线所表示的关系。

例如，在天体力学中，双曲线被用于描述彗星的轨迹；在无线通信中，双曲线被用于描述信号的传播路径。

总结：本文介绍了高三数学中的双曲线知识点，包括双曲线的定义、标准方程、焦点、准线以及离心率等重要概念。

双曲线具有许多特殊的性质和应用，对学生们理解和掌握这些知识点将有助于他们在数学学科中取得更好的成绩和理解能力。

双曲线的相关知识点高三网双曲线的相关知识点双曲线（Hyperbola）是数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理和工程等领域。

本文将介绍双曲线的定义、性质以及相关的应用。

一、双曲线的定义双曲线可以由一个平面上的动点P到两个固定点F1和F2的距离差的绝对值等于常数2a所确定。

我们把这个差的绝对值定义为双曲线的离心率e。

当e>1时，双曲线为实数轴上对称的开口向左右两侧延伸的曲线；当e=1时，双曲线为一个抛物线；当e<1时，双曲线为虚数轴上对称的开口向上下两侧延伸的曲线。

二、双曲线的性质1. 双曲线的焦点和直线l的关系：平面上直线l上的点P到焦点F1和F2的距离之差等于双曲线的离心率e与PF1之间的距离之积。

2. 双曲线的渐近线：当双曲线的离心率e不等于1时，双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的分支无限接近且是无穷远处的切线。

3. 双曲线的对称轴：双曲线的对称轴是垂直于双曲线渐近线的直线，过双曲线的中心。

4. 双曲线的顶点：双曲线的两条分支最靠近对称轴的交点称为双曲线的顶点。

5. 双曲线的直径：双曲线的直径是两条分支之间的最长线段，它通过双曲线的顶点。

三、双曲线的应用1. 物理学中的应用：双曲线在天体运动的研究中具有重要地位，如天体轨道、椭圆轨道和双曲线轨道等。

2. 工程学中的应用：双曲线被广泛应用于天线的设计和微波线的计算中，尤其在无线通信和雷达领域。

3. 经济学中的应用：双曲线在经济学中也有应用，如边际效用递减规律的研究、消费者行为的分析等。

4. 数学分析中的应用：双曲线和其它几何图形的研究有助于提供解析几何的基础，为更高阶的数学研究奠定基础。

综上所述，双曲线是一个重要的数学概念，它具有独特的性质和广泛的应用。

通过了解双曲线的定义、性质以及其应用领域，我们可以更好地应用双曲线来解决实际问题，推动科学研究的发展。

8.7 双曲线（二）
22
121(1).
(2).l y kx C x y A B k k AB C F k =+-=直线：与双曲线：的右支交于不同的两点，，
求实数的取值范围是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由
22
2201(0,0)F F 60x y a b a b
-=>>已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是____________.
22
1212,1P 1620
.P F 9P F .x y F F -=是双曲线的焦点，点在双曲线上若点到焦点的距离等于，求点到焦点的距离
作业手册：3
作业手册：4
35(,),42
2,.
P y x =±已知双曲线经过点渐进线方程为求其标准方程
22
122221221,1(0,0).
,.x y F F a b a b
P PF F F F PF -=>>=设分别为双曲线的左，右焦点若在双曲线右支上存在点，满足且到直线的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐进线方程
F B FB 设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，求该双曲线的离心率.
作业：三清卷第八章1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，18。