动量方程和动量矩方程要点

三）动量矩定理下面研究质点相对于某一根指定的直线的运动，这根直线称为“轴线”．这时着重的是力矩而不是力．1．力对于轴线的力矩图3－1力F对轴线AB的力矩等于力F在垂直于轴线的平面S中的投影F⊥再乘以其与轴线AB的垂直距离d（一般称之为力臂）．如果力F本身就在与AB垂直的平面内，力矩就等于F乘以F与AB的垂直距离d。

力F对轴线AB的力矩记为M，ABAB M F =⊥ d（3．15）通常按右手法则来规定力矩的指向，将右手的四指捏成拳状以表示力矩驱使物体转动的趋势，伸直的大拇指的指向即力矩的指向2．对于轴线的动量矩和动量矩定理 （1）质点与轴连结．如果质点与轴AB 相连结，则质点必在垂直于AB 的平面内作圆周运动．质点所受外力对AB 轴的力矩为（3．16）mv 是质点的动量，R 是动量与轴AB 间的垂直距离．仿照力矩，我们将 mv 与R 的乘积称为质点对于AB 轴的动量矩（角动量） AB J ，即AB AB M J =（3. 17） 这就是动量矩定理． （2）转动惯量．将上式中的 AB J 以质点绕轴转动的角速度 ω表示2AB J mR ω= （3. 18）2mR 称为质点对AB 轴的转动惯量，记为I AB ，则AB AB J I ω= 动量矩定理（3．17）即（3．19）式中 α是质点绕轴转动的角加速度，这与牛顿第二定律 F ma =多么相似！从这类比中还可以看出， I 与 m 相对应， I 反映绕轴转动的惯性，所以称为转动惯量．（3）质点并不与轴连结．图3－2所讨论的质点并不与轴AB 连结，也不一定是绕轴转圈，只是相对于轴来研究质点的运动情况．为了方便，取AB 为直角坐标系的Z 轴．如质点的动量 m v 在 xy 平面内，它相对于z 轴的动量矩为sin z J mvr θ= （3．20）若动量 m v 不在 xy 平面内，我们可以将它分解为与 xy 平面垂直和与xy 平面平行的分量，其中与 xy 平面垂直的动量分量对Z 轴的动量矩为零．所以只要考虑在 xy 平面内的动量分量．动量矩的正负和力矩一样，也用右手法则决定，和Z 轴正指向相同者取正值，反之为负值．由牛顿第二定律可以导出一般情况下的动量矩定理（3．21）这是它的微分形式．注意在一般情况下，此定理不宜表为 M Ia =，除非质点的转动惯量I 是常数．一般说来，质点运动时，它与转轴的距离不是常数，所以I 也不是常数．我们还可以考察力矩的时间累积效果，将上式积分一次,得2121t zzzt M dz JJ =-⎰ （3．22）式中 1z J 与 2z J 分别表示质点在时刻 1t 及 2t 的动量矩，力矩对时间的积分称为冲量矩．这就是对z 轴动量矩定理的积分形式，适宜用来研究冲击作用．3．动量矩守恒原理如果质点所受的力对于Z 轴的力矩为零，这时冲量矩自然也为零，由动量矩定理可得出0z J =或 1z J = 2z J （3．23）上面两式的意义相同，它们指出如果质点所受的力对Z 轴的力矩为零，则质点对该轴的动量矩守恒．如果质点与轴线连结而绕轴转动，则动量矩守恒原理为2J mvR mR ω===常数 （3．24）式中R 为质点与轴线间的垂直距离， ω为质点绕轴转动的角速度，上式意味着质点绕轴转动的角速度不变．如果质点并非固定连结于轴上，则动量矩守恒原理为2J m ρϕ== 常数 （3．25） 例如在舞蹈或滑冰表演中，演员常绕自身的轴旋转．略去摩擦，他所受的重力对转轴的力矩为零，动量矩守恒．当演员将两手合抱于胸前，旋转就加快起来；演员将两臂伸展出去，旋转就减慢。

第17章 动量定理和 动量矩定理工程力学学习指导第17章 动量定理和动量矩定理17.1 教学要求与学习目标1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。

2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。

3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。

4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。

而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。

两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。

5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。

6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。

7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。

17.2 理 论 要 点17.2.1 质点系的动量质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。

即i ii m v p ∑=质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。

具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑i iz i z i iy i y iix i x v m p v m p v m p质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即C m v p =这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。

上述动量表达式对于刚体系也是正确的。

17.2.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。

其微分形式为(e)(e)R d d i it ==∑pF F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。

一、概述可压缩流体是指密度随着压强和温度的变化而变化的流体。

在空气动力学和航天动力学中，可压缩流体动力学是一个重要的研究领域。

在研究可压缩流体运动时，动量方程和动量矩方程是非常重要的方程。

本文将从动量方程和动量矩方程入手，系统地阐述可压缩流体的动力学原理。

二、可压缩流体的动量方程动量方程描述了流体内部的动量变化。

对于可压缩流体，其动量方程可以通过Navier-Stokes方程推导得到。

Navier-Stokes方程是描述了流体运动的基本方程之一，其形式如下：∂(ρv)/∂t + ∇•(ρv⃗v⃗ ) = -∇p+ ∇•τ+ ρf⃗其中，ρ表示流体密度，v表示流体速度，t表示时间，p表示压强，τ表示应力张量，f⃗表示外力。

对于可压缩流体，动量方程还需要考虑压力和密度对流体速度的影响。

可以通过状态方程将压力和密度通联起来，从而得到包含压力-密度项的动量方程。

在一维情况下，动量方程可以表达为：∂(ρv)/∂t + ∂(ρv^2)/∂x = -∂p/∂x+ ρf在三维情况下，动量方程会更加复杂，需要同时考虑各个方向上的动量变化。

通过动量方程，我们可以清晰地了解流体内部的动量传递和转化过程，以及外力对流体动量的影响。

三、可压缩流体的动量矩方程动量矩方程描述了流体内部动量矩的变化。

对于可压缩流体，动量矩方程可以被用来分析流体内部旋转运动的特性。

动量矩方程可以通过Euler方程推导得到。

Euler方程是Navier-Stokes方程在无粘性流体情况下的特殊形式，其表达式如下：∂(ρv)/∂t + ∇•(ρv⃗v⃗ ) = -∇p+ ∇•τ+ ρf⃗在此基础上，再根据流体内部动量矩的性质，可以得到动量矩方程的表达式。

动量矩方程不仅包含了流体速度的变化，还考虑了流体内部的角动量变化。

对于可压缩流体，动量矩方程可以表达为：∂(ρv)/∂t + v•∇(ρv) +∇•(τ) = ρf⃗通过动量矩方程，我们可以研究流体内部旋转运动的特性，分析流体内部动量矩的传递和转化情况，为深入理解可压缩流体的运动提供重要的理论基础。

动量和动量矩定理
如果不考虑鱼雷运动过程中的弹性变形，以及由于然料消耗引起的鱼雷重量和重心位置的变化，可以把鱼雷看成一个常质量的刚体。

刚体的空间运动由重心的运动和绕中心的转动两部分组成。

描述重心运动规律的是动量定理。

描速重心转动规律的是动量矩定理。

所以动量和动量矩定理是建立鱼雷运动方程组的出发点。

一、动量定理
用矢量表示鱼雷的动量，用矢量表示作用在鱼雷上的所有外力之和，在静止坐标系中的动量矩定理是：
(2-88
) 在建立鱼雷重心运动方程时，选用原点在鱼雷重心的半速度坐标系为参考系，因为在半速度系中重心运动方程形式最简。

半速度系的轴指向重心速度方向，轴垂直于轴OX并处于包含OX的铅垂面内指向上方，轴垂直于平面，从雷尾往前看指向右侧。

鱼雷运动过程中半速度系是运动的，以矢量表示半速度系的旋转角速度，表示动量的矢量端点在半速度系中的相对速度，则以半速度坐标系为参考系的动量定理是。

(2-89
) 式中叉乘可写为矩阵形式：
式中是沿半速度系三个轴的单位矢量。

显然，矢量在半速度系三个轴上的分量是
式中m是鱼雷质量，v是鱼雷速度，即重心速度。

将上式代入式(2-89)得到
(2-90
) 参阅图1-4，矢量在半速度系三个轴上的分量是
(2-91
) 将式(2-91)代入式(2-90)得到
(2-92
)
式中是m鱼雷质量，v是鱼雷速度；是弹道倾角；
是弹道偏角；分别是外力矢量F在半速度系三个轴上的分量。

式(2-92)就是以半速度系为参考写出的动量定理，是建立鱼雷重心运动方程组的出发点。

流体力学的动量矩原理流体力学的动量矩原理是流体力学中最基本的原理之一。

它描述了流体的动量变化与力的关系，是研究流体运动的重要工具。

动量矩原理的基本思想是通过将流体分割为无限小的体积元，研究每个体积元的动量变化，然后统一求和得到整个流体的动量变化。

下面我将从基本概念、动量守恒定律、动量矩守恒定律以及应用四个方面详细介绍动量矩原理。

首先，我们来介绍一些流体力学中的基本概念。

流体是指那些没有一定形状，可以流动的物质。

在流体中，存在一种力称为剪切力，它是由于分子之间的相互作用而产生的。

同时，流体受到的外部力可以分为体力和面力。

体力是作用在流体体积上的力，如重力等。

而面力则是作用在流体表面上的力，如压力、粘性力等。

其次，动量守恒定律是流体力学的基本定律之一。

根据动量守恒定律，一个系统的总动量在没有外力作用时保持不变。

这意味着在一个封闭系统中，流体的总动量保持恒定。

动量守恒定律可以表示为以下方程式：\frac{\partial(\rho u)}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho u u)=-\nabla p +\nabla \cdot \tau + \rho g其中，\rho表示流体的密度，u表示流体的速度，t表示时间，p表示压力，\tau 表示粘性应力，g表示重力加速度。

这个方程描述了流体的动量变化与各种力的作用之间的关系。

然后，我们来介绍动量矩守恒定律。

动量矩守恒定律是动量守恒定律在旋转参考系中的扩展。

它描述了流体运动过程中动量矩的变化与外部力矩的关系。

动量矩守恒定律可以表示为以下方程式：\frac{\partial(\rho u_i x_j)}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u_i x_ju_k)}{\partial x_k}=-\left(\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial\tau_{ij}}{\partial x_k}\right) x_j+\rho g_i x_j其中，x_i表示坐标轴，x_j表示动量矩，u_i表示流体的速度分量，t表示时间，p表示压力，\tau_{ij}表示粘性应力张量，g_i表示重力加速度分量。