《数列极限的运算法则》教案(优质课)

《数列极限》说课稿一、教材分析1．教材的地位和作用（1）在数学中的地位和作用众所周知，对数列极限这个概念的理解是学习导数所必备的知识.另外,极限也是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变,在重点考察思维方法的高考命题中是最好的命题素材之一.（2）在全章中的地位和作用《数列的极限》安排在高中数学第三册（选修2）第二章、第二节，是数列极限的起始课。

这部分内容在课本第73页至76页。

是全章内容的起点，重点。

2．本节内容的课标要求从数列的变化趋势来理解极限的概念；能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；体会极限思想。

3．教学重点、难点、关键的确定教学重点：数列极限的概念教学难点：如何从变化趋势的角度, 来正确理解数列极限的概念教学关键：教学中启发学生在分析问题时抓住问题的本质（即定义）确立依据：这样确定重难点及教学关键，主要是基于课标要求和对本节课全面分析。

二、教学目标分析根据我对教材的分析以及对新课程的教学理念的认识，确定教学目标如下：（1）知识目标：使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；（2）能力目标：1、通过设置问题情境、数列变化趋势的分析，使学生理解数列极限的定义，学会数学语言的表述，培养学生观察、分析、概括的能力。

2、通过分层练习，使学生的基础知识得到进一步的巩固，进而学会数列极限的分析方法，体会在探索问题中由静态到动态、由有限到无限的辨证观点和“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程。

（3）情感态度与价值观目标：1、通过介绍我国古代思想家庄周和数学家刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感。

2、通过介绍生活中的极限运动和极限精神，激发提高学生的学习积极性，优化学生的思维品质。

确立依据：基于对教材、教学大纲和教学内容的分析，制定相应的教学目标。

数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到发展．三、教学分析1、对学习者特征分析本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解和高三学生学习表现而做出的。

数列极限的运算法则教案1教学内容：1．数列极限的四则运算法则；2．运用四则运算法则求数列的极限．教学目标：1．使学生理解数列极限的四则运算法则，并能运用极限的四则运算法则求数列的极限；2．通过数列极限的求解中转化的思想和分类讨论的思想的运用，培养学生思维的灵活性、科学性和批判性；3．通过数列极限的求解，帮助学生进一步认识极限的思想和方法，培养学生有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证观点．教学过程一、课题引入给出如下几个数列，请学生求出它们的极限． (1) 12，23，34，…，nn 1+，… ； (2) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+452322n n n ； (3) {}n n n 22+- ．学生运用数列极限的定义，一般都能求出数列(1)的极限为1．但对(2)，(3)的极限的求解，感到束手无策，求知的欲望驱使学生迫切地希望获得求解的方略（这正是教师有意识地设置(2)，(3)两题所希望出现的局面）．此时，教师趁热打铁，顺水推舟，指出通常求极限的问题比较复杂，仅凭定义来确定极限是不方便的，因此我们需要研究数列极的运算方法，并以此引出课题───数列极限的四则运算法则．考虑到不必证明，故随即开门见山地给出数列极限的四则运算法则．二、知识讲解上述课题引入的过程也是给出数列极限的四则运算法则的过程，设疑的目的是为了激发学生的求知欲．数列极限的四则运算法则如下：如果 A a n n =∞→lim ，B b n n =∞→lim ； 即么∞→n lim （n a n b ⋅）=A ·B ； ∞→n lim BA b a n n =（B ≠0）． 特别地，如果C 是常数，那么，∞→n lim （C · a n ）=∞→n lim C · ∞→n lim a n = C ·A ． 对数列极限的四则运算法则，我们作如下说明：1．四则运算法则的每一个式子中都有两种运算，即加法运算和极限运算；减法运算和极限运算；乘法运算和极限运算；除法运算和极限运算．四则运算法则的实质是每个式子中两种运算先后顺序的可交换性．例如，第一个式子表明，先求a n 与b n 的和，再求这个和的极限，与先分别求a n 、b n 的极限，再求这两个极限的和实质上是等效的，等等．2．数列｛a n ｝、｛b n ｝的极限必须存在，才能用此法则．3．加、减、乘的运算法则可推广到任意有限个数列（强调仅仅是有限个数列）的情况．4．对于商的极限的情形，作为分母的数列的极限不能为零．三、例题分析作为数列极限四则运算法则的应用，并兼顾方法和技能的培养，可选配如下例题：例1．已知∞→n lim a n =5，∞→n lim b n =3，求∞→n lim （3a n －4b n ）． 通过本例的求解训练，可使学生熟练极限的四则运算法则．事实上， 原式=∞→n lim 3 a n －∞→n lim 4b n =3∞→n lim a n －4∞→n lim b n =3×5－4×3=3． 例2．求：(1)∞→n lim （5＋n1）； (2) ∞→n lim 23122++n n ． 本例是数列极限四则运算的简单应用．对于(1)，可直接使用法则；对于(2)，由于分子、分母的极限均不存在，因此不能直接运用商的极限法则，而需要作适当的变形，使之具备运算法则的条件．为此，将分子分母同除以n 2即可．解：(1) 原式=∞→n lim 5＋∞→n lim n1=5＋0=5(2) 原式=∞→n lim 222312nn n ++ =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→2223lim 12lim n n n n n =222lim 3lim 1lim 2lim nn n n n n n ∞→∞→∞→∞→++ 0300++= 通过本例(2)中的求解，可培养学生逻辑推理能力，以及思维的严密性和科学性．例3．求：(1) ∞→n lim 452322+-+n n n ；(2)∞→n lim ()n n n 22+- 分析：这是课题引入中的(2)、(3)两小题，它们显然都不具备四则运算法则的条件．对于(1)，可引导学生仿例2 (2) 的策略，请学生自行求解．对于(2)，应先进行分子有理化，再将分子分母同除以n 2然后再求极限．解：(1)原式=∞→n lim 2241523nn n +-+=∞→n lim 224lim 1lim 5lim 2lim 3lim nn n n n n n n ∞→∞→∞→∞→∞→+-+ =01003+-+ 3=求解本题一个常见的错误是：原式=14lim lim 5lim 2lim 3lim 22=∞∞=+-+∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n ． 这个解法错误有三处，一是错用了“商”的极限运算法则（事实上分子、分母的极限都不存在）；二是错用了“和”的极限运算法则（事实上，除了5和4以外，3n 2，2n ，n 2的极限都不存在）；三是错误地进行了约分运算（事实上，“∞”不是一个确定的数，因而不能进行通常的约分运算）．(2) 原式=∞→n lim nn n n222++- =∞→n lim n 2112++- =()n n n n 21lim 1lim 2lim ++-∞→∞→∞→=112+- =－1．求解本题一个常见的错误是：原式=∞→n lim n －∞→n lim n n 22+=∞－∞=0．这个解法错误有二处同，一是由于n 与n n 22+的极限都不存在，因此直接运用差的极限运算法则是错误的；二是由于“∞”不是一个确定的数，因此“∞－∞=0”是没有根据的．例4．求下列极限 （1）∞→n lim （+-+-171422n n (1)132-++n n ）； （2）∞→n lim [ n （1－21）（1－31）（1－41）…（1－11+n ）] ． 分析：对于（1），应先求和，然后再求极限；对于（2），应先求积，然后再求极限．解：（1）原式=∞→n lim()113742-++⋅⋅⋅++n n =∞→n lim ()()12532-+n n n =∞→n lim 225322-+n n n=∞→n lim 22253nn -+ 23= 求解本题一个常见的错误是：原式=∞→n lim142-n ＋∞→n lim 172-n ＋…＋∞→n lim 1132-+n n =0＋0＋…＋0＋…=0． 这一解法的错误在于未注意运算法则仅对有限个有极限．．．．．．的数列而言的．而本题中当n →∞时，实际上是无穷多个数列了，因此不能运用此法则．（2）原式=∞→n lim （433221⋅⋅⋅n (1)+n n ） =∞→n lim 1+n n =∞→n lim n 111+=1．通过例3、例4的求解训练，可进一步熟练数列极限的四则运算法则，培养了学生观察分析能力和运算推理能力，以及思维的灵活性、科学性和批判性，同是也训练了学生求数列极限的技能和技巧．四、习 题1．已知∞→n lim a n =3，∞→n lim b n =5，求下列极限： （1）∞→n lim （2a n －5b n ＋3）； （2） ∞→n lim nn n n b a b a +-． 2．求下列极限：（1）∞→n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n 4142； （2）∞→n lim 32341132nn n n --+-； （3）∞→n lim()11--+n n ； （4）∞→n lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++32323232321n n n n n ．参考答案1．（1） －16． （2） －41． 2．（1）1．（2）－21． （3）0． 提示：利用分子有理化．（4）31．提示：先求和，注意12＋22＋…＋n 2=61 n （n ＋1）（2 n +1）． 五、小结或总结本节课主要介绍了数列极限的四则运算法则以及数列极限的求法、四则运算法则的实质是加、减、乘、除运算与极限运算的可交换性．运用四则运算法则求数列的极限时，必须注意法则所要求的条件．六、引申与提高设f (n )和φ (n )都是n 的多项式，且f (n )=a k n k ＋a k －1 n k －1＋…＋a 1 n ＋a 0（a k ≠0），φ (n )=b l n l ＋b l －1n l －1＋…＋b 1n ＋b 0（b l ≠0）（k ，N ∈l ），则∞→n lim ()()n n f ϕ 这一结论可仿本课中例2（2）及例3（1）的求解方法而获得．利用这一结论，极易解决本单元教学指导库中测试题一（3） 中的问题．事实上，由题意知，只有416-=a ， a =－23．故选D ．七、思 考 题设 ∞→n lim a n =A ，∞→n lim b n =B ，利用极限定义，证明：∞→n lim （a n ＋b n ）= A ＋B ． 证明：任给ε＞0，由于∞→n lim a n =A ，故对ε1=2ε，存在N 1， =l k b a = 0 不存在 （即f （n ）与φ（n ）最高次项系数之比） （k=l ）， （k ＜l ）， （k ＞l ）.当n ＞N 1时，A a n -＜ε1=2ε恒成立． 取N 1与N 2中的较大者为N ，则当n ＞N 时， ()()B A b a n n +-+ ()()B b A a n n -+-= ≤B b A a n n -+- ＜ε1＋ε 2 =2ε＋2ε =ε∴ ∞→n lim （a n ＋b n ）= A ＋B ．。

课时：1课时教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握数列极限的定义、性质和运算法则，能够运用数列极限求解相关问题。

2. 过程与方法：通过微课教学，培养学生自主学习、分析问题和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。

教学内容：1. 数列极限的定义2. 数列极限的性质3. 数列极限的运算法则4. 数列极限的应用教学过程：一、导入1. 利用生活中的实例，引导学生思考数列极限的概念。

2. 提出问题：如何判断一个数列的极限存在？如何求解数列的极限？二、新课讲授1. 数列极限的定义- 通过动画演示，展示数列极限的定义过程。

- 强调数列极限存在的条件：数列中所有项无限趋近于同一个数。

- 举例说明数列极限的概念。

2. 数列极限的性质- 介绍数列极限的性质，如：有界性、单调性、收敛性等。

- 通过实例讲解数列极限的性质，让学生理解并掌握。

3. 数列极限的运算法则- 介绍数列极限的运算法则，如：四则运算法则、夹逼准则等。

- 通过实例讲解数列极限的运算法则，让学生掌握并运用。

4. 数列极限的应用- 举例说明数列极限在数学问题中的应用，如：求解极限、证明数列收敛等。

- 引导学生思考数列极限在实际问题中的应用价值。

三、课堂练习1. 给学生布置数列极限的相关练习题，要求学生在规定时间内完成。

2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。

四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调数列极限的定义、性质和运算法则。

2. 引导学生总结数列极限在实际问题中的应用。

五、课后作业1. 布置数列极限的相关练习题，巩固所学知识。

2. 要求学生在课后复习数列极限的定义、性质和运算法则，为下一节课做好准备。

教学反思：1. 本节课通过微课教学，使学生更好地理解数列极限的概念和性质。

2. 在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考、解决问题。

3. 课后作业的设计有助于巩固所学知识，提高学生的数学能力。

数列极限（2000，11，20）复习目的：1.理解数列极限的概念，会用“”定义证明简单数列的极限。

2.掌握三个最基本的极限和数列极限的运算法则的运用。

3.理解无穷数列各项和的概念。

4.培养学生的推理论证能力、运算能力，提高学生分析问题，解决问题的能力。

教学过程：问题1：根据你的理解，数列极限的定义是如何描述的？数列极限的定义：对于数列{a n},如果存在一个常数A，无论事先指定多么小的正数，都能在数列中找到一项a N,使得这一项后的所有项与A的差的绝对值小于，（即当n>N时，<恒成立），则常数A叫数列{a n}的极限。

记。

——“”定义。

问题2：“”定义中，的任意性起什么作用？，N的存在性又起什么作用？正数的任意性和N的存在性是定义的两个基本特征。

（1）的任意性刻划了当时，a n趋近于A的无限性，即趋近程度的无限性（要有多近有多近）。

（2）N的存在性证明了这一无限趋近的可能性。

问题3：“”定义中的N的值是不是唯一？问题4：“”定义中，<的几何意义是什么？因为<即A-<a n<A+,所以无论区间（A-，A+）多么小，当n>N 时，a n对应的点都在区间（A-，A+）内。

问题5：利用“”定义来证明数列极限的关键是什么？关键是对任意的要找到满足条件的N。

（条件是当n>N时，<恒成立）。

问题6：无穷常数数列有无极限？数列呢？数列（<1）呢？三个最基本的极限：（1）C=C，（2）=0，（3）=0 （<1）。

问题7：若=A，=B，则（）=？，（）=？，=？，=？。

数列极限的运算法则：（）=A+B，（）=A-B，=AB，=（B0）。

即如果两个数列都有极限，那么这两个数列对应项的和，差，积，商组成新数列的极限分别等于它们极限的和，差，积，商。

（各项作为除数的数列的极限不能为零)问题8：（）=+++=0对吗？运算法则中的，只能推广到有限个的情形。

问题9：无穷数列各项和s是任何定义的？s=,其中为无穷数列的前n项和，特别地，对无穷等比数列（<1），s=。

初中数学教案数列的极限与等比数列求和数列是数学中常见的概念之一，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列的极限及等比数列的求和是初中数学中重要的内容，本教案旨在通过清晰的讲解和具体例题的实践，帮助学生掌握数列的极限求解和等比数列求和的方法。

一、数列的极限1. 引入当一个数列的前几项趋近于某个常数时，我们说该数列有极限。

用数学的语言描述，数列{an}有极限L，表示为lim(n→∞) an = L。

在数列中逐渐增大或逐渐减小的数，就是数列的极限。

2. 数列的收敛和发散数列的极限分为收敛和发散两种情况。

若数列{an}有极限L，且满足当n趋近于无穷大时，数列的差值an - L趋近于0，则称数列收敛于L。

反之，若数列{an}无极限或数列的差值an - L无限趋近于无穷大，则称数列发散。

3. 数列极限的性质- 数列极限唯一性：若数列{an}的极限存在，则该极限唯一。

- 收敛数列的有界性：若数列{an}收敛，则数列的所有项有界。

- 收敛数列的保号性：若数列{an}收敛于L，且an > 0，则L > 0。

4. 数列极限的求解方法数列的极限求解方法根据不同的数列类型可以有不同的应用技巧。

以下是几种常见的数列类型及其求解方法：- 等差数列：对于等差数列{an}，若公差为d，则数列的极限为d。

- 等比数列：对于等比数列{an}，若公比为q (|q| < 1)，则数列的极限为0。

- 斐波那契数列：对于斐波那契数列{an}，极限为黄金分割比(1 + √5) / 2。

二、等比数列求和1. 引入等比数列是一种数列，其每一项与前一项的比相等，称为公比。

形式化地表示为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

2. 等比数列求和公式等比数列的求和公式可以通过以下步骤推导得出：令S_n表示等比数列{an}的前n项和，则有：S_n = a1 + a1q + a1q^2 + ... + a1q^(n-1)qS_n = a1q + a1q^2 + ... + a1q^(n-1) + a1q^n两式相减得到：S_n - qS_n = a1 - a1q^n化简得：S_n(1 - q) = a1(1 - q^n)因此，等比数列的前n项和公式为：S_n = a1(1 - q^n) / (1 - q)三、实例分析例如，已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 0.5，求该数列的前5项和S_5。

［摘要］高等数学课程是高等学校工科、理科专业教学计划中的一门十分重要的公共基础理论课.对于应用型本科学生来说，通过课程的学习，能够提升抽象思维和逻辑推理的理性思维能力，能够逐步学会提出问题、分析问题和解决问题，提高运算能力和自学能力，为进一步学习后继课程和终身学习打下良好的基础.高等数学课程内容多，难度大，又具有抽象的特点，学生学习起来普遍反映困难，在教学上增加案例，减少烦琐理论证明，以便降低学生学习难度.高等数学课程中的基本概念、定理定义以及实际案例有着很多有趣的故事和寓意，蕴含了很多思政原理和社会主义核心价值观，按照学校应用型本科的定位，授课中应体现出应用性的特点，本着实用性的原则，将案例引入教学，既可避免抽象烦琐的理论证明，又能通过对案例的深度剖析，体现出实用性，同时引入思政元素，使得学生既能学到专业知识，又能真切体会到社会主义核心价值观、辩证唯物主义等思政元素，通过“课程思政”教学和思想教育，进一步使学科内容更具有深度，学科课堂更具有温度，教学效果更具有广度.数列极限位于高数数学上册第一章的第二节，对于刚步入大学的学生来说，比较难理解，在高等数学的教学中，结合自己的理解和体会对数列极限的课堂进行了设计.［关键词］数列；一般项；收敛［中图分类号］O151.2［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2022）03-0046-03数列极限———课堂教学设计①尹红然1，徐涛2（1.天津天狮学院数理教学部，天津301700；2.河北工程大学，河北邯郸056038）极限的概念在高等数学中有着重要的作用和地位，《庄子·天下篇》中“一尺之椎，日取其半，万世不竭”和《九章算术》中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”是对极限思想的深刻论述，这种思想比欧洲早一千多年.用我国古代的数学成就来激发学生的爱国情怀，了解祖先的智慧，对学生进行爱国主义思想教育，增强民族自信心，传承传统文化和我国古代科学家的科学精神.关于数列极限的概念，根据近几年的教学理解和体会，并参阅相关的教材与文献，拟按照“数列的定义—数列极限的定义—收敛数列的充分条件—数列极限的运算法则—收敛数列的性质—教学反思”这一思路对该内容进行教学设计与安排.一、数列的定义让学生回忆高中的等差数列和等比数列，接着给出数列的定义，数列的定义：定义域为正整数集N +的函数叫做数列，记为{x n }，其中第n 项叫做数列的一般项或通项.数列的例子：{n n +1}：12，23，34，…，n n +1…；{12n }：12，14，18，...，12n ，...；{n +（-1）n-1n }：2，12，43，...，n +（-1）n -1n ，. (1)上式一般项依次为n n +1，12n ，n +（-1）n -1n.几何上：数列{x n }可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x 1，x 2，x 3，…，x n ，….二、数列极限的定义极限的概念最初是在运动观点的基础上，凭借几何直观产生的直觉，用自然语言来定性描述的.通俗定义：设有数列{x n }和常数a ，如果当n 无限增大时，x n 无限地接近于a ，则称常数a 是数列{x n }的极限，或称数列{x n }收敛于a .记为lim n →∞x a =a .如果数列没有极限，就称数列是发散的.①基金项目：国家自然科学基金资助项目（11801129）；天津天狮学院2020年度校级资助项目“基于深度学习的火焰图像识别研究”（K20008）。

高中数学备课教案数列与数列的极限高中数学备课教案：数列与数列的极限引言：数列与数列的极限是高中数学课程中的重要内容，对于学生的数学思维能力和问题解决能力的培养具有重要意义。

本节课的教学目标是让学生通过理论学习和实例探究，掌握数列概念及其性质，并能够运用相应的方法计算数列的极限值。

【知识与技能】：1. 掌握数列的定义和基本性质；2. 了解数列的收敛与发散的概念；3. 理解数列极限的计算方法和应用。

【过程与方法】：通过理论讲解、实例分析和解题训练相结合的方式进行教学，培养学生观察、分析和解决问题的能力。

【教学步骤】：一、数列的定义及基本性质（15分钟）1. 数列的概念及常见表示方法；2. 数列的有界性和单调性；3. 数列极限的定义及其解释；4. 举例说明数列的性质。

二、数列的收敛与发散（15分钟）1. 数列的收敛与发散的概念；2. 收敛数列与发散数列的判断方法；3. 面对实际问题，如何分析数列的收敛性。

三、数列极限的计算方法（20分钟）1. 使用数列的极限基本性质计算极限；2. 利用夹逼定理求解数列极限；3. 利用递推公式计算数列的极限。

四、数列极限的应用（20分钟）1. 利用数列极限解决实际问题；2. 数列极限在几何和物理问题中的应用；3. 通过实例讲解数列极限应用的步骤和方法。

五、综合训练与展示（30分钟）1. 组织学生进行数列极限的解题训练；2. 学生自主发表解题思路和方法；3. 教师进行点评和总结。

【教学重点与难点】：重点：数列的定义和基本性质、数列极限的计算方法和应用。

难点：如何应用数列极限解决实际问题。

【教学反思】：通过本节课的教学，学生对于数列与数列的极限有了更深入的理解。

在教学过程中，我注意引导学生分析问题，培养其独立思考和解决问题的能力。

在练习环节，我注重学生能够独立运用所学知识解答问题，并对学生的答案进行点评和指导，加强他们的思维能力和实际应用能力。

通过课堂讨论和展示，学生之间的互动增加，激发了学生的学习热情和参与度。