高中数学数列极限完整
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《高数》数列极限课件PPT
定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限 值等于该点的函数值，因此，函数的 连续性可以看作是极限的一种特殊情 况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具， 而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜 率存在，而这个切线斜率可以通过函 数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关 系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变 量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数， 这个常数就是函数的极限值。函数极限和数 列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极 限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关， 如导数、定积分等。通过数列极限，我们可 以更好地理解这些概念的本质和性质。同时 ，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有 着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的 变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要 的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、 级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观 地理解数列收敛和发散的概念。在平 面坐标系中，我们可以绘制数列的图 像，通过观察图像的变化趋势来理解 数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的 点，而发散数列的图像则会远离这个 点。通过比较不同数列的图像，我们 可以更好地理解数列极限的性质和特 点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区 间套，则该数列收敛。
《数列极限》课件
性。
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt
2024/9/27
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
2024/9/27
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
2024/9/27
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12数列极限精品PPT课件
23
n
n
注意1. 数列对应着数轴上一个点列, 可看作一动 点在数轴上依次取x1, x2, ···, xn, ···
x3 x1 x2 x4 xn
注意2. 数列是整标函数, 即定义在正整数集合Z+ 或自然集合N上的函数 xn = f (n).
三、数列的极限
观察数列
xn
1
n
当n→∞时的变化趋势
播放
得证
lim
n
xn
0.
利用定义验证数列极限, 遇到的不等式| xn–a |<
不易考虑时, 往往采用把 | xn–a | 适当放大的方法. 若
能放大到较简单的式子, 就能从一个比较简单的不等
式较容易寻找项数指标N. 放大的原则
① 放大后的式子较简单; ② 放大后的式子以0为极限.
例2:设xn
0,且 lim n
数n, 恒有| xn | M 成立, 则称数列{xn}为有界的, 否则
称数列{xn}为无界的.
例如,
数列 xn
n n1
有界,
数列
xn
2n
无界.
在数轴上, 对应于有界数列{xn}的点都必须落在闭 区间[–M, M]上.
定理1: 收敛的数列必定是有界的.
证: 设
lim
n
xn
a , 由定义,
取
=1,
则
求的N不是唯一的. 用定义验证 xn 以 a 为极限时, 关键
在于设法由给定的 , 求出一个相应的 N, 使当 n>N时, 不等式| xn–a |< 成立。
四、数列极限的几何意义
若
lim
n
xn
a, 则 >0, N, 使得N项以后的所有项
高三数学高等数学极限部分数列极限PPT课件
xn
(a , a ) 内， 而此区间外至多只有有限
个点即
x1 , x2 ,
, xN 1, xN .
17
第17页/共30页
例 设 | q | 1, 证明: lim qn 0 . n
分析 对于 0, 要使 qn 0 ,
即要使 qn q n , n ln q ln ,
即：n ln , (先设q不为零) 取 0 1, 使得
定义
(数列极限的
N 数量化定义)
设
{
x } 为一数列， n
若存在定数 a,
0, N Z , 使得 n N,
恒有 xn a , 则称 a 为数列
的极限，
{ x } 或称数列
收敛于 a, 并记为
n
{ xn }
lim
n
xn
a,
或记为
xn a，(n ).
15
第15页/共30页
若不存在这样的定数 a,
12
第12页/共30页
如
an 1
1 1 2n
1
1 2n
1 10
只要项号 n 满足
n4
要使
an
1
1 2n
1 100
只要项号 n 满足
n7
就有
1 27
1 128
1 100
而要使
an 1
1 2n
1 10000
13
第13页/共30页
( 1)
( N1)
( 2)
( N2)
( 3)
2n 10000 n lg 2 lg10000
ln q
ln 1,
ln q
于是只要取
N
ln
ln | q
高等数学上册 1.2 数列的极限
ln
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1
N 的存在性
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1
N 的存在性
高三数学课件：第二节数列极限
lim （2）
求
n
2n1 an 的值 2n an1
例 4(优 化 P204例 4) 若 数 列 {a n}的 首 项 为 a1 1, 且 对 任 意 n N * , an与 an1恰 为 方 程 x2 bn x c n 0 的两根,
其
中
0<
c
1,当
lim(
b 1
b
2
...
b
n
)
3,
n
求c的取值范围
limC C （C为常数）
n
lim 1 0 n nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当 q 1 时 lim qn 0 n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平
面尤其几要何注、意三公角式、S解=析几何1的中a 1运q的用综。合应用，
感谢聆听
添加文本
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备用
例5、某城市2019年末汽车保有量为30万辆， 预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护 城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过 多少辆？
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运 算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
高三数学课件：第二节数列极限
例2：已知 lnim (3na2n2cnbn14n)5
求常数a、b、c的值。
例3．(优化P204例2)已知数列{ an }是由正数 构成的数列，a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是大于1的整数，c 是正数 （１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
数列极限-PPT精选文档
2.几个重要极限：
1 0 limC C （C为常数） lim n n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就
是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同
样的结论？
3、数列极限的运算法则 lim bn=B 如果 lim an=A，
n
n 1
例2：已) 5 a n b n
2
求常数a、b、c的值。
例3．已知数列{ an }是由正数构成的数列， a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是 大于1的整数，c 是正数
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
例1：求下列极限
2n n7 (1 )lim 2 5 n 7 n
2
(2 )lim ( n nn )
2 n
2 4 2 n 2 . . . . . 2) ( 3 ) l i m (n 2 n n n
a ( 1 a ) ( 1 a) ( a 1 ) ( 4 ) l i m n 1 n 1 a ) ( 1 a ) . . . . . . . . . . . n a (
2 a n 求 的 值 （2） lim n n 2 a n 1
n 1
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运 算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
limC C （C为常数）
n
1 lim 0 n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平 面几何、三角、解析几何中的综合应用， a1 尤其要注意公式S= 的运用。 1 q
人教版高中数学课件：高二数学课件-数列的极限
在研究数列的极限时，需要特别关注 初始项的选择，以确保数列的收敛性 和收敛速度。
收敛数列的性质
收敛数列具有唯一性，即收敛 数列只能收敛到一个唯一的极 限值。
收敛数列具有有界性，即收敛 数列的项值必须在一定范围内 波动，不会无限增大或减小。
收敛数列具有保序性，即如果 一个数列收敛到极限a，那么对 于任何正整数n，都有 an≥an+1。
03
数列极限的应用
利用极限求数列的通项公式
总结词
通过数列的极限，我们可以推导出数列的通项公式。
详细描述
在数列的极限中，如果一个数列的极限值存在，那么这个极限值就是数列的通项 公式。例如，对于等差数列，其通项公式可以通过求差分比值的极限得到。
利用极限证明数列的单调性
总结词
通过比较相邻项的极限，可以证明数 列的单调性。
极限的唯一性
极限的唯一性是数列极限的一个 重要性质，即一个数列只能有一
个极限值。
如果一个数列有两个不同的极限 值，那么这个数列就不会收敛。
极限的唯一性对于研究数列的性 质和函数的变化规律非常重要， 是数学分析中的一个基本原则。
THANK YOU
数列极限的存在性
01
02
03
单调有界定理
如果数列单调递增且有上 界或单调递减且有下界， 则该数列存在极限。
闭区间套定理
如果数列满足闭区间套的 条件，则该数列存在极限 。
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数 $varepsilon$，存在正整 数N，使得当$n, m > N$ 时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$，则该数列 存在极限。
04
数列极限的求解方法
直接代入法
收敛数列的性质
收敛数列具有唯一性，即收敛 数列只能收敛到一个唯一的极 限值。
收敛数列具有有界性，即收敛 数列的项值必须在一定范围内 波动，不会无限增大或减小。
收敛数列具有保序性，即如果 一个数列收敛到极限a，那么对 于任何正整数n，都有 an≥an+1。
03
数列极限的应用
利用极限求数列的通项公式
总结词
通过数列的极限，我们可以推导出数列的通项公式。
详细描述
在数列的极限中，如果一个数列的极限值存在，那么这个极限值就是数列的通项 公式。例如，对于等差数列，其通项公式可以通过求差分比值的极限得到。
利用极限证明数列的单调性
总结词
通过比较相邻项的极限，可以证明数 列的单调性。
极限的唯一性
极限的唯一性是数列极限的一个 重要性质，即一个数列只能有一
个极限值。
如果一个数列有两个不同的极限 值，那么这个数列就不会收敛。
极限的唯一性对于研究数列的性 质和函数的变化规律非常重要， 是数学分析中的一个基本原则。
THANK YOU
数列极限的存在性
01
02
03
单调有界定理
如果数列单调递增且有上 界或单调递减且有下界， 则该数列存在极限。
闭区间套定理
如果数列满足闭区间套的 条件，则该数列存在极限 。
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数 $varepsilon$，存在正整 数N，使得当$n, m > N$ 时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$，则该数列 存在极限。
04
数列极限的求解方法
直接代入法
最新11数列的极限汇总
例4. 证明数列
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
,
则存在 N , 使当 n > N
时, 有
a12xna12
但因 x n 交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间(a12,a12)内, 因此该数列发散 .
8
2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取 1, 则 $ N , 当 nN 时, 有
xn a 1, 从而有
xna a1 a
取
M mx a 1,x x 2, ,x N,1 a
则有
xn M(n1,2,).
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
数列 (1)n1 虽有界但不收敛 . 9
3. 收敛数列的保号性.
11数列的极限
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
$正整数 N ,当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
nl im xn a 或 xn a(n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a x n a
(nN)
A B
说明: 定理 4 可推广到有限个数列相加、相乘的情形 .
推论 1 . 推论 2 .
lim [C x n ] C lim x n lim [x n ]k[lim x n ]k
( C 为常数 ) ( k 为正整数 )
14
例5 . 求
解:
时, 分母
分子
分子分母同除以 n 2 , 则
高数数列的极限ppt课件
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2 数列是整标函数 xn f (n).
6
3 数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
28
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 . 19
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意 有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
20
3. 收敛数列的保号性.
若
且
时, 有
( 0).
证: 对 a > 0 , 取
( 0),
推论: 若数列从某项起
( 0)
( 0). (用反证法证明)
21
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n
xn
a
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在 .
几何解释
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
11
注意 数列极限的定义未给出求极限的方法.
证法一:
设
lim
n
xn
a,又 lim n
xn
b, 由定义,
0, N1 , N2 .使得
当n
N
时恒有
1
xn
a
;
当n
N
时恒有
高等数学-数列的极限
(4). 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
发散数列判别法: 1. 无界数列必定发散. 2. 一子列发散,则数列发散. 3. 两子列收敛到不同的极限,则数列发散.
例:
证
注: 一个发散的数列也可能有收敛的子数列.
内容小结
1. 数列极限的定义
夹逼准则 2.极限存在准则 单调有界准则
3. 收敛数列的性质:
记此极限为 e , 即
lim (1
n
1 n
)
n
=
e
e 为无理数 , 其值为
e = 2.718281828459045
内容小结
三、 收敛数列的性质 (1) 收敛的数列必定有界.
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
例如, 数列 (1 )n1 有界但不收敛
推论 无界数列必定发散.
(2).收敛数列的极限唯一.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
二、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列{xn},{yn} 及{zn} 满足下列条件:
(1) yn xn zn (n = 1,2,3 )
(2)
lim
n
yn
=
a,
lim
n
zn
=
a,
那么数列{xn} 的极限存在,
且lim n
xn
= a.
注意: (1)利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
n
,
1 n
,
L
1
1 2
,
1 4
,
1 8
, 1 16
发散数列判别法: 1. 无界数列必定发散. 2. 一子列发散,则数列发散. 3. 两子列收敛到不同的极限,则数列发散.
例:
证
注: 一个发散的数列也可能有收敛的子数列.
内容小结
1. 数列极限的定义
夹逼准则 2.极限存在准则 单调有界准则
3. 收敛数列的性质:
记此极限为 e , 即
lim (1
n
1 n
)
n
=
e
e 为无理数 , 其值为
e = 2.718281828459045
内容小结
三、 收敛数列的性质 (1) 收敛的数列必定有界.
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
例如, 数列 (1 )n1 有界但不收敛
推论 无界数列必定发散.
(2).收敛数列的极限唯一.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
二、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列{xn},{yn} 及{zn} 满足下列条件:
(1) yn xn zn (n = 1,2,3 )
(2)
lim
n
yn
=
a,
lim
n
zn
=
a,
那么数列{xn} 的极限存在,
且lim n
xn
= a.
注意: (1)利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
n
,
1 n
,
L
1
1 2
,
1 4
,
1 8
, 1 16
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教材：人教版高级中学《数学》 第三册 P73－P76
.
教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
.
（一）结合实际，动画导入：
1.刘徽割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”
0.
11 64
1 2
（二）感知实例，归纳概念
3、 [概念形成]： 揭示共同规律，形成概念。
定义：一般地，如果当项数n无限增大时，
无穷数列{ a n } 的项 a n 无限地趋近于某个常
数a,（即 |a n a |无限地接近于0）那么就
说数列{ a n }以a为极限，或者说a是数列{ a n } 的极限
n
lim0.99n 1 是否正确？ n
猜想数列 0.99n 的极限，再用计算器计算
0 .9 9 1 0 0 0,0 .9 9 5 0 0 0,0 .9 9 1 0 0 0 0,0 .9 9 2 0 0 0 0 .
结论：一般地，若 a1则liman 0 n
.
教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
（3）
11 1
1
2,4,8,L,(2)n ,L.
（4） 1,2,3,L,n,L
（5） 1,1,1,L1,L.
结 论 : lim C C C 为 常 数
n
lim10 lim (1)p. 0(p>0)
n n
n n
(三)尝试探究，深化概念
[猜想，探究]：
例2判断以下推理过程正确与否： Q lim1n 1 ，而0.99很接近于1
.
(四)分层练习、巩固创新
1. [巩固性练习] ：考察以下数列的极限。
(1) 10,20,30,,n0,
观
(2) 1， 1， 1， ， 1, 23 n
察 讨
(3) 2,4, 8,,(2)n,
论
3 9 27 3
(4) 3,9,27,,(3)n,
24 8
2
(5 ) 2 .9 , 2 .9 9 , 2 .9 9 9 ,, 3 1 0 1 n, .
.
（二）感知实例，归纳概念
1、 [观察思考]：考察以下数列的 变化趋势。 （1） (2) (3)
.
（二）感知实例，归纳概念
2 [揭示本质]：观察变化趋势，总结规律。
（1）
.... . .
.
(2)
. . . .....
0
1
23
1
2
34
(3)
.
. . ....... ... .
-1
-1 3
1 5
1 7
记作：
lim
n
a
n
a
.
教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
.
(三)尝试探究，深化概念:
[应用举例]： 揭示共同规律，形成概念。
11
1
（1）
1,
, 8
,L 27
,
n3
,L
;
（2） 6.5,6.95,6.995, L710 5n,L;
答：随着时间的推移，去健身房的人数稳定在 100人左右
.
(五)归纳小结
（1）在数列极限的定义中，当n无限增 大时，如何趋近是不重要的，重要的是 无限趋近。 （2）不是任何数列都有极限，但如果有 极限，则极限是唯一的。
（3）掌握数列极限的性质和结论。
.
作业
1教材第76页习题 2.2 2 探究 ： 人们想象，一艘太空飞船飞回地球，第一次观察时 发现地球上
g
.9
与1
的大小
考察数列0.9 ，0.99 ，0.999 ，…1- 各1项与1的距离。
10n
序号 1 2 3 4
项an 0.9 0.99 0.999 0.9999
an与1的差的绝对值 |0.9-1|=0.1 |0.99-1|=0.01 |0.999-1|=0.001 |0.9999-1|=0.0001
5
0.99999 |0.99999-1|=0.00001
6
0.999999 |0.999999-1|=0.000001
…
… …
.
(四)分层练习、巩固创新
3 [探索性练习] ：
（1）公比为q的无穷等比数列，它的前n项和为 S
足什么条件时，
lim
n
S
n
存在？
，当q满
n
（2）在边长为R的正六边形内，依次连结各边的中点，得一
正六边形，又在这一正六边形内，依次连结各边的中点，又
得一正六边形，这样无限地继续下去，试求所有正六边形的
周长之和。
……
思考—讨论—探究—解答 .
(四)分层练习、巩固创新
4 [开放性练习] ：
某校有教职工150人，为了丰富教职工的课 余生活，每天定时开放健身房和娱乐室，并且 所有教职工每次去健身房或娱乐室之一。据调 查室统，计而， 去每 娱次 乐去 室健 的身人房有的20人0 0 有下1次0 去0 0 下健次身去房娱，乐请 思考，随着时间的推移，去健身房的人数能否 趋于稳定？
直径为1的圆：
正三角形
正六边形
正十二边形
.
（一）结合实际，动画导入：
内接正多边形边数 6 12 24 48 96
192 384 768 1536 3072
正多边形周长 3.00000000 3.10582854 3.13262861 3.13935020 3.14103194 3.14145247 3.14155761 3.14158389 3.14159046 3.141592106
(四)分层练习、巩固创新
2 [提高性练习] ：考察以下数列的极限。
210 (n 210 )
（1）若
an
210
n
(n>210 ) 则数列 { a n } (
)
A 无极限
B 有极限 2 1 0
C 有极限 2 1 0 或0 D 有极限0
.
(四)分层练习、巩固创新
2 [提高性练习] ：
[深入探究]： （2）试比较 0
.
… …
（一）结合实际，动画导入：
2、战国时代哲学家庄周说道： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
求第n天剩余的木棒长度(尺)，并分析变化趋势；
1
第1天
第2天 .
第3天
1
……
2n
第n天 ……
（一）结合实际，动画导入：
3.求曲边梯形的面积：
y=f(x)
y
0a
bx.源自教学过程:(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
有一个正三角形的岛屿（边长为1）；第二次观察时，发现它并非正三角形， 而的是中每央边13 中处央都13 有处一向向外外有突一出正的三正角三形角海形岬海；岬第，三把次这观个察过时程发无现限原继先续每下一去小，边就 得到著名的数学模型——科赫岛。
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教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
.
（一）结合实际，动画导入：
1.刘徽割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”
0.
11 64
1 2
（二）感知实例，归纳概念
3、 [概念形成]： 揭示共同规律，形成概念。
定义：一般地，如果当项数n无限增大时，
无穷数列{ a n } 的项 a n 无限地趋近于某个常
数a,（即 |a n a |无限地接近于0）那么就
说数列{ a n }以a为极限，或者说a是数列{ a n } 的极限
n
lim0.99n 1 是否正确？ n
猜想数列 0.99n 的极限，再用计算器计算
0 .9 9 1 0 0 0,0 .9 9 5 0 0 0,0 .9 9 1 0 0 0 0,0 .9 9 2 0 0 0 0 .
结论：一般地，若 a1则liman 0 n
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教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
（3）
11 1
1
2,4,8,L,(2)n ,L.
（4） 1,2,3,L,n,L
（5） 1,1,1,L1,L.
结 论 : lim C C C 为 常 数
n
lim10 lim (1)p. 0(p>0)
n n
n n
(三)尝试探究，深化概念
[猜想，探究]：
例2判断以下推理过程正确与否： Q lim1n 1 ，而0.99很接近于1
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(四)分层练习、巩固创新
1. [巩固性练习] ：考察以下数列的极限。
(1) 10,20,30,,n0,
观
(2) 1， 1， 1， ， 1, 23 n
察 讨
(3) 2,4, 8,,(2)n,
论
3 9 27 3
(4) 3,9,27,,(3)n,
24 8
2
(5 ) 2 .9 , 2 .9 9 , 2 .9 9 9 ,, 3 1 0 1 n, .
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（二）感知实例，归纳概念
1、 [观察思考]：考察以下数列的 变化趋势。 （1） (2) (3)
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（二）感知实例，归纳概念
2 [揭示本质]：观察变化趋势，总结规律。
（1）
.... . .
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(2)
. . . .....
0
1
23
1
2
34
(3)
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. . ....... ... .
-1
-1 3
1 5
1 7
记作：
lim
n
a
n
a
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教学过程:
(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
.
(三)尝试探究，深化概念:
[应用举例]： 揭示共同规律，形成概念。
11
1
（1）
1,
, 8
,L 27
,
n3
,L
;
（2） 6.5,6.95,6.995, L710 5n,L;
答：随着时间的推移，去健身房的人数稳定在 100人左右
.
(五)归纳小结
（1）在数列极限的定义中，当n无限增 大时，如何趋近是不重要的，重要的是 无限趋近。 （2）不是任何数列都有极限，但如果有 极限，则极限是唯一的。
（3）掌握数列极限的性质和结论。
.
作业
1教材第76页习题 2.2 2 探究 ： 人们想象，一艘太空飞船飞回地球，第一次观察时 发现地球上
g
.9
与1
的大小
考察数列0.9 ，0.99 ，0.999 ，…1- 各1项与1的距离。
10n
序号 1 2 3 4
项an 0.9 0.99 0.999 0.9999
an与1的差的绝对值 |0.9-1|=0.1 |0.99-1|=0.01 |0.999-1|=0.001 |0.9999-1|=0.0001
5
0.99999 |0.99999-1|=0.00001
6
0.999999 |0.999999-1|=0.000001
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… …
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(四)分层练习、巩固创新
3 [探索性练习] ：
（1）公比为q的无穷等比数列，它的前n项和为 S
足什么条件时，
lim
n
S
n
存在？
，当q满
n
（2）在边长为R的正六边形内，依次连结各边的中点，得一
正六边形，又在这一正六边形内，依次连结各边的中点，又
得一正六边形，这样无限地继续下去，试求所有正六边形的
周长之和。
……
思考—讨论—探究—解答 .
(四)分层练习、巩固创新
4 [开放性练习] ：
某校有教职工150人，为了丰富教职工的课 余生活，每天定时开放健身房和娱乐室，并且 所有教职工每次去健身房或娱乐室之一。据调 查室统，计而， 去每 娱次 乐去 室健 的身人房有的20人0 0 有下1次0 去0 0 下健次身去房娱，乐请 思考，随着时间的推移，去健身房的人数能否 趋于稳定？
直径为1的圆：
正三角形
正六边形
正十二边形
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（一）结合实际，动画导入：
内接正多边形边数 6 12 24 48 96
192 384 768 1536 3072
正多边形周长 3.00000000 3.10582854 3.13262861 3.13935020 3.14103194 3.14145247 3.14155761 3.14158389 3.14159046 3.141592106
(四)分层练习、巩固创新
2 [提高性练习] ：考察以下数列的极限。
210 (n 210 )
（1）若
an
210
n
(n>210 ) 则数列 { a n } (
)
A 无极限
B 有极限 2 1 0
C 有极限 2 1 0 或0 D 有极限0
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(四)分层练习、巩固创新
2 [提高性练习] ：
[深入探究]： （2）试比较 0
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… …
（一）结合实际，动画导入：
2、战国时代哲学家庄周说道： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
求第n天剩余的木棒长度(尺)，并分析变化趋势；
1
第1天
第2天 .
第3天
1
……
2n
第n天 ……
（一）结合实际，动画导入：
3.求曲边梯形的面积：
y=f(x)
y
0a
bx.源自教学过程:(一) 结合实际，动画导入 (二) 感知实例，归纳概念 (三) 尝试探究，深化概念 (四) 分层练习，巩固提高 (五) 课堂小结，布置作业
有一个正三角形的岛屿（边长为1）；第二次观察时，发现它并非正三角形， 而的是中每央边13 中处央都13 有处一向向外外有突一出正的三正角三形角海形岬海；岬第，三把次这观个察过时程发无现限原继先续每下一去小，边就 得到著名的数学模型——科赫岛。