2020届河南省中原名校高考第六次联考数学(理)试卷

绝密★启用前河南省名校2020届高三下学期六月联数学（理）试卷学校：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知集合1|0,{Z |(2)(3)0}1x A x B x x x x -⎧⎫=≤=∈+-<⎨⎬+⎩⎭,则A B ⋂=( )A.{}0,1B.{}1,0,1-C.{}0,1,2D.{}1,0,1,2-1.答案：A解析：因为{1,0,1,2},{|11}B A x x =-=-<≤,所以{}0,1A B ⋂=,故选A.2.已知在复数域内一元n 次方程有n 个根,i 是虚数单位.若复数12i z =-+为一元二次方 程20(,R)x ax b a b ++=∈的一个根,则此一元二次方程的另一个根在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.答案：C解析：将12i z =-+代入20x ax b ++=得2,5a b ==,经计算得一元二次方程的另一个根为12i z =--,故选C.3.设曲线C 是双曲线,则"C 的方程为22184y x -=是"C 的渐近线方程为y =的( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件3.答案：B解析：若C 的方程为"22184y x -=,则2a b ==,所以渐近线方程为ay x b =±=,充分性成立;若渐近线方程为y =,则双曲线方程为22(0)2y x λλ-=≠,所以"C 的方程为22184y x -="是"C 的渐近线方程为y ="的充分而不必要条件.故选B.4.正项等比数列{}n a 中,225689264a a a a ++= ,且3a 与7a 的等差中项为2,则1a =( ) A.325B.2C.25D.1174.答案：C解析：由题意,在正项等比数列{}n a 中,由225689264a a a a ++=,可得()2222256895599592264a a a a a a a a a a ++=++=+=,即598a a +=.由3a 与7a 的等差中项为2,得374a a +=.设公比为q ,则()223748q a a q +==则q =(负的舍去),125a =故选C. 5.若(3,)(R),(6,4)a m m b =∈=-r r 且(R)a b λλ=∈r r 则()(3)a b a b +⋅+=r rr r ( )A.0B.-5C.-12D.-135.答案：D解析：,2,(3,2),(6,4),(3,2),3(3,2)a b m a b a b a b λ=∴=-∴=-=-+=-+=-r r r rr r r r Q , ()(3)9(4)13a b a b ∴+⋅+=-+-=-r rr r ,故选D.6.2019年12月,国家统计局发布社会消费品零售总额1～11月相关数据,如下图所示,下面 分析正确的是( )A.2019年1~11月中,6月是社会消费品零售总额最高的月份B.2019年11月,社会消费品总额乡村增长率高于城市增长率,所以乡村对拉动社会消费 品总额总增长率的作用大于城镇C.2019年前3季度中,第一季度平均同比增长率最高D.2019年1~11月份,社会消费品零售总额372872亿元,其中汽车消费品零售总额 34921亿元.6.答案：D解析：由图知2019年1~11月中,6月是社会消费品零售总额同比增长速度最高的月份,A 错误; 2019年11月,乡村社会消费品零售总额同比增长率比较高但是绝对量较少,所以城镇的影响 更大,B 错误;第二季度平均同比增长率高于第一季度,C 错误;2019年1～11月,汽车消费品 零售总额$=372872-337951=34921$亿元,D 正确.故选D.7.设点P 是函数()2e (0)(1)x f x f x f ''=-+)图象上的任意一点,点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是( )A.3π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.π3π0,,π24⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C.π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D.π3π0,,π24⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭7.答案：B解析：()2e (0)(1)x f x f x f ''=-+Q ,()2e (0)x f x f ''∴=-,(0)2(0),(0)1f f f '''∴=-=,()2e (1),()2e 11x x f x x f f x ''∴=-+∴=->-,∵点P 是曲线上的任意一点,点P 处切线的倾斜角为α,π3πtan 1[0,π),0,,π24ααα⎡⎫⎛⎫∴>-∴∈∴∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭故选B.8.如图,ABCD ,射线BP 从BA 出发,绕着点B 顺时针方向旋转至BC , 点E 为线段DC 上的点,且1CE =,则在旋转的过程中,BP 与线段EC 有交点的概率为( )A.13B.12C.23D.148.答案：A解析：πtan 6CE CBE CBE CB ∠===∴∠=Q ,BP ∴与线段EC 有交点的概率为π16π32=, 故选A.9.已知函数cos(2),0()(,R)sin(2),0x a x f x a b x b x +≤⎧=∈⎨+>⎩的图象关于y 轴对称,将函数()2cos(4)g x x a b =++的图象向右平移π6个单位长度,再把所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到函数()y h x =的图象,则下列关于函数()y h x =的说法正确的是( )A.最小正周期为π4B.图象关于直线π3x =对称 C.图象关于点π(,0)6-对称D.在ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数9.答案：C解析：因为函数cos(2),0()sin(2),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩的图象关于y 轴对称,所以ππcos sin(),cos(π)sin(π)22a b a b ⎛⎫-+=+-+=+ ⎪⎝⎭即sin cos ,cos sin a b a b ==,因此π2π(Z)2a b k k +=+∈,所以π()2cos(4)2cos 42g x x a b x ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭,从而π()2cos 26h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭其周期2ππ2T ==,选项A 错误;由π2π(Z)6x k k -=∈得对称轴方程为ππ(Z)122k x k =+∈,选项B 错误;对称中心为ππ,0(Z),132k k k ⎛⎫+∈=- ⎪⎝⎭时,,对称中心为π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭,选项C 正确;单调递减区间为π7ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦选项D 错误.故选C. 10.设数列{}n a 满足1232,6,12a a a ===,数列{}n a 前n 项和为n S ,且(*21113N 1n n n n S S n S S +-+-+=∈-+且2)n ≥着[]x 表示不超过x 的最大整数,2(1)n n n b a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦,数列{}n b 的前n 项和为n T ,则2020T =( )A.2019B.2020C.2021D.202210.答案：C 解析：∵当2n ≥时,211131n n n n S S S S +-+-+=-+,2121113,221n n n n n n n a a a a a a a ++++++++∴=∴-+=+,(){}21112,n n n n n n a a a a a a ++++∴---=∴-从第2项起是等差数列.又()()12332212,6,12,2a a a a a a a ===∴---=Q ,142(1)22n n a a n n +∴-=+-=+ ∴当2n ≥时,()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L (1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-+⋯+⨯=⨯++=,2(1)1(2)n n n n a n ++∴=≥ ∴当2n ≥时,2(1)11n n n n b a n ⎡⎤++⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,又211(11)2b a +==Q ,2222020122020232021220192021T a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L .∴故选C.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为27π,1A DB △与11A DC △的重心分别为,E F ,球O 与该正方体的各条棱都相切,则球O 被EF 所在直线截的弦长为( )B.C.11.答案：D解析：由题意知正方体棱长为3,球O 的球心为正方体的中心,以点D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D xyx -,则()()()()()113,0,0,3,0,3,3,3,0,0,3,3,0,0,0A A B C D 333111(2,1,1),(1,1,2),,,,,,222222E F O OE ⎛⎫⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur ,(1,0,1)EF =-u u u r所以点O 到直线EF的距离12d =.又球O的半径为r =,因此正方体外接球被EF所在直线截的弦长为=选D. 二、填空题12.已知()82231601231611x a a x a x a x a x -=++++⋯+,则45a a +=_______.12.答案：28解析：因为()821x -的第1r +项为()8218(1)(08rr r r T C x r -+=-≤≤且)*N r ∈所以5x 不存在,450,a x ∴=的系数为668(1)28C -=,所以4528a a +=.13.已知点(),P x y 在不等式组230y x y x y a ≥+⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域D 上运动,(1)若区域D 表示一个三角形,则a 的取值范围是_____;(2)若6a =,则2z x y =-+的最小值是_______. 13.答案：(3,);5+∞解析：直线2y x =+与30y x -=的交点为()1,3,要使不等式组230y x y x y a ≥+⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是3a >.由约束条件230y x y x y a ≥+⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩知,当6a =时,2z x y =-+的最小值为5.14.已知抛物线2:2(0)C x py p =->的焦点F 与22184y x +=的一个焦点重合,过焦点F 的直线与C 交于,A B 两不同点,抛物线C 在,A B 两点处的切线相交于点M ,且M 的横 坐标为2,则弦长AB =___________. 14.答案：10解析：由题意可得()0,2F -,则4p =,抛物线方程为28x y =-.设直线AB 方程为2y kx =-,()()1122,,,A x y B x y ,其中221212,88x x y y =-=-由28x y =-得4xy '=-,所以在点A 处的切线方程()1114x y y x x -=--,化简得21148x x y x =-+①同理可得在点B 处的切线方程为21148x x y x =-+②联立①②得122M x xx +=又M Q 的横坐标为2,124x x ∴+=,将AB 方程代入抛物线得2128160,84x kx x x k +-=∴+=-=,()121211,444622k y y k x x ∴=-∴+=+-=-⨯-=-,12||10AB p y y ∴=--=.15.函数()2cos sin f x x x x x =+-当π3π,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x ax ≤恒成立,则实数a 的取值范围是_______. 15.答案：[0,)+∞。

2020届河南省名校联盟高三下学期6月联考数学（理）试题一、单选题 1．已知集合101x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，()(){}230B x x x =∈+-<Z ，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．{}0,1,2D ．1,0,1,2【答案】A【解析】先解分式不等式101x x -≤+得{}11A x x =-<≤，解不等式()()023x x +-<得{}1,0,1,2B =-，再求集合交集即可 【详解】 解：解分式不等式101x x -≤+得11x -<≤，故{}10111x A x x x x ⎧⎫-=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭， 解一元二次不等式()()023x x +-<得23x -<< ，故{}1,0,1,2B =-， 所以{}0,1AB =.故选：A. 【点睛】本题考查分式不等式，一元二次不等式的解法，集合的交集运算，是基础题. 2．已知在复数域内一元n 次方程有n 个根，i 是虚数单位.若复数12i z =-+为一元二次方程20x ax b ++=（a ，b ∈R ）的一个根，则此一元二次方程的另一个根在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】根据实系数一元二次方程的虚根成对定理和复数的几何意义可得结果. 【详解】因为复数12i -+为一元二次方程20x ax b ++=（a ，b ∈R ）的一个根， 所以根据实系数一元二次方程的虚根成对定理知此一元二次方程的另一个根为12i --，它在复平面内所对应的点(1,2)--在第三象限.故选：C. 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了的复数的几何意义，属于基础题.3．设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为22184y x -=”是“C 的渐近线方程为y =”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据C 的方程为22184y x -=，则渐近线为y =；若渐近线方程为y =，则双曲线方程为222y x λ-=（0λ≠）即可得答案.【详解】解：若C 的方程为22184y x -=，则a =2b =，渐近线方程为a y x b =±，即为y =，充分性成立；若渐近线方程为y =，则双曲线方程为222y x λ-=（0λ≠），∴“C 的方程为22184y x -=”是“C 的渐近线方程为y =”的充分而不必要条件. 故选：B. 【点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4．正项等比数列{}n a 中，225689264a a a a ++=，且3a 与7a 的等差中项为2，则1a =（ ） A ．325B ．2C ．25D ．117【答案】C【解析】根据等比数列的下标和性质可得598a a +=，再由等差中项的性质可得374a a +=，从而求出公比，求得首项1a ；【详解】解:由题意，在正项等比数列{}n a 中，由225689264a a a a ++=，可得()2222256895599592264a a a a a a a a a a ++=++=+=，即598a a +=.由3a 与7a 的等差中项为2，得374a a +=.设公比为q ，则()223748q a a q +==，则q =或q =（舍去），所以26114a a q q +=，解得125a =. 故选:C . 【点睛】本题考查等比数列下标和性质的应用，以及等比数列通项公式的应用，考查计算能力，属于基础题.5．若()3,a m =（m ∈R ），()6,4b =-，且λab （R λ∈），则()()3a b a b +⋅+=（ ） A ．0 B ．5-C ．12-D ．13-【答案】D【解析】根据向量平行的坐标表示可得2m =-，再根据平面向量数量积的坐标表示可得结果. 【详解】a b λ=，所以34(6)0m ⨯--=，解得2m =-，()3,2a ∴=-，()6,4b =-，()3,2a b +=-，()33,2a b +=-，()()()39413a b a b ∴+⋅+=-+-=-.故选：D. 【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查了平面向量数量积的坐标表示，属于基础题. 6．2019年12月，国家统计局发布社会消费品零售总额1~11月相关数据，如下图所示，下面分析正确的是（ ）2019年11月份社会消费品零售总额主要数据指标11月1~11绝对量（亿元）同比增长（%）绝对量（亿元）同比增长（%）社会消费品零售总380948.03728728.0额其中：除汽车以外346299.13379519.0的消费品零售额其中：限额以上单13965 4.4132639 3.9位消费品零售额其中：实物商品往——7603219.7上零售额按经营地分城镇323457.93186147.9乡村57489.1542599.0A．2019年1~11月中，6月是社会消费品零售总额最高的月份B．2019年11月，社会消费品总额乡村增长率高于城市增长率，所以乡村对拉动社会消费品总额总增长率的作用大于城镇C．2019年前3季度中，第一季度平均同比增长率最高D ．2019年1~11月份，社会消费品零售总额372872亿元，其中汽车消费品零售总额34921亿元 【答案】D【解析】对于A ，由图表可知6月是社会消费品零售总额同比增长速度最高的月份，而不是社会消费品零售总额最高的月份，对于B ，11月，乡村社会消费品零售总额同比增长率比较高但是绝对量较少，从图表看，对于C ，11月，乡村社会消费品零售总额同比增长率比较高但是绝对量较少，对于D 选项，从表中的数据计算可得答案. 【详解】由图知2019年1~11月中，6月是社会消费品零售总额同比增长速度最高的月份，A 错误；2019年11月，乡村社会消费品零售总额同比增长率比较高但是绝对量较少，所以城镇的影响更大，B 错误；第二季度平均同比增长率高于第一季度，C 错误；2019年1~11月，汽车消费品零售总额37287233795134921=-=亿元，D 正确. 故选：D. 【点睛】此题考查了统计图表的识别和应用，属于基础题.7．设点P 是函数()()()201xf x e f x f ''=-+图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,,24πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B【解析】在()f x '中令0x =后可求()01f '=，再根据导数的取值范围可得tan α的范围，从而可得α的取值范围. 【详解】()()()2e 01x f x f x f ''=-+，()()2e 0x f x f ''∴=-，()()020f f ''∴=-，()01f '=，()()2e 1x f x x f '∴=-+，()2e 11x f x '∴=->-.点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，tan 1α∴>-.[)0,απ∈，30,,24ππαπ⎡⎫⎛⎫∴∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查导数的运算以及导数的几何意义，还考查了直线的斜率与倾斜角的关系，本题属于基础题.8．如图，边长为3的正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，点E 为线段DC 上的点，且1CE =，则在旋转的过程中，BP 与线段EC 有交点的概率为（ ）A ．13 B ．12C ．23D ．14【答案】A【解析】首先求出CBE ∠，再根据角度型几何概型概率公式计算可得； 【详解】解：3tan 33CE CBE CB ∠===，6CBE π∴∠=，BP ∴与线段EC 有交点的概率为1632ππ=. 故选：A . 【点睛】本题考查几何概型的概率公式的应用，属于基础题. 9．已知函数()()()cos 2,0,sin 2,0x a x f x x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩（a 、b ∈R ）的图像关于y 轴对称，将函数()()2cos 4g x x a b =++的图像向右平移6π个单位长度，再把所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y h x =的图像，则下列关于函数()y h x =的说法正确的是A ．最小正周期为4π B ．图象关于直线3x π=对称C ．图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 【答案】C【解析】由函数()()()cos 2,0,sin 2,0x a x f x x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩（a 、b ∈R ）的图像关于y 轴对称，可求出22a b k ππ+=+，从而得()2cos 42g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2cos 26h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后依次求解此函数的周期，对称轴，对称中心，单调区间，可得答案. 【详解】因为函数()()()cos 2,0sin 2,0x a x f x x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以cos sin 22a b ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()cos sin a b ππ-+=+，即sin cos a b =，cos sin a b =，因此22a b k ππ+=+（k ∈Z ），所以()()2cos 22cos 42g x x a b x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，从而()2cos 26h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其周期22T ππ==，选项A 错误； 由26x k ππ-=（k ∈Z ）得对称轴方程为122k x ππ=+（k ∈Z ），选项B 错误； 对称中心为,032k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ），1k =-时，对称中心为,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选项C 正确； 由2226k x k ππππ≤-≤+，得7,()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以单调递减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），选项D 错误. 故选：C. 【点睛】此题考查了三角函数的图像和性质，三角函数的图像变换，属于基础题.10．已知函数()()1ln ,1,1e ,1,x x x f x x x -≥⎧=⎨--⋅<⎩函数()()()1e g xf f x =-零点的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】令()f x t =，讨论t 的取值范围：当1t ≥时或当1t <时，可得()1ee f x =或()0f x =，讨论x 的取值范围，再利用导数研究函数的单调性，求出最值即可求解.【详解】令()f x t =，则()()1ln ,11e ,1t t t f t t t -≥⎧=⎨--⋅<⎩， （1）当1t ≥时，()1e f t =，即1e 1ln e et t =⇒=，即()1e e f x =. 当1≥x 时，1e ln e x =有一个解.当1x <时，()1e xf x x -'=-，(),0x ∈-∞，()0f x '>；()0,1x ∈，()0f x '<，且()10ef =.当1x <时，()111ee x x ---⋅≤，而1e 1e e>，所以方程()111e e t t -+⋅=无解. （2）当1t <时，()1ef t =，由（1）知0t =，即()0f x =. 当1≥x 时，ln 0x =有一个解. 当1x <时，()10ef x <≤，所以()0f x =无解. 综上，函数()g x 有两零点. 故选：B . 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了计算求解能力，属于中档题. 11．设数列{}n a 满足12a =，26a =，312a =，数列{}n a 前n 项和为n S ，且211131n n n n S S S S +-+-+=-+（n *∈N 且2n ≥）.若[]x 表示不超过x 的最大整数，()21n n n b a ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2020T =（ ）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】C【解析】根据递推公式，可知{}1n n a a +-从第2项起是等差数列，可得122n n a a n +-=+，再根据累加法，可得()1n a n n =+，由此可得当2n ≥时，()211n n n b a ⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又()211112b a +==，由此即可求出n T .【详解】当2n ≥时，211131n n n n S S S S +-+-+=-+， 211131n n n n a a a a ++++++∴=+，2122n n n a a a ++∴-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，{}1n n a a +∴-从第2项起是等差数列.又12a =，26a =，312a =，()()32212a a a a ∴---=，()142122n n a a n n +∴-=+-=+，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()1221222212n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+， ()211nn n a n++∴=（2n ≥）， ∴当2n ≥时，()2111n n n n b a n ⎡⎤++⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 又()211112b a +==，2222020122020232021220192021T a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故选：C.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式、等差数列的概念，以及累加法在求通项公式中的应用，属于中档题.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为27π，1A DB △与11A DC △的重心分别为E ，F ，球O 与该正方体的各条棱都相切，则球O 被EF 所在直线截的弦长为（ ） A．B．C．D【答案】D 【解析】由题意可求得正方体棱长为3，则球O的半径2r =，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得111,,,(1,0,1)222OE EF →→⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，进而可得点O 到直线EF 的距离d =，根据公式可得弦长【详解】设正方体的边长为a，则24272a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，即正方体棱长为3a =，.球O 的球心为正方体的中心，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则A （3，0，0），1303A （，，），B （3，3，0），()1033C ，，，D （0，0，0）， 333(2,1,1),(1,1,2),,,222E F O ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ 111,,,,(1,0,1)222OE EF →→⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∴点O 到直线EF的距离12d ==，又球O的半径为2r ==， 因此正方体外接球被EF 所在直线截的弦长为2222321221722r d ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了正方体的几何性质，正方体和球的关系以及垂径定理，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.二、填空题 13．已知()8223160123161x a a x a x a x a x -=+++++，则45a a +=______.【答案】28【解析】先求出二项的通项公式()()82181rrr r T Cx -+=-，由此通项可知展开式中x 的次数均为偶数，所以50a =，当6r =时，x 的次数为4，从而可求出4a ，进而可得结果. 【详解】解：因为()821-x 的第1r +项为()()82181rrrr T C x -+=-（08r ≤≤且r *∈N ）， 所以5x 不存在，所以50a =，因为4x 的系数为()668128C -=，所以428a =，所以4528a a +=. 故答案为：28 【点睛】此题考查二项式展开式的指定项的系数，熟记二项式展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.14．已知抛物线C ：22x py =-()0p >的焦点F 与22184y x +=的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长AB =______. 【答案】10【解析】首先根据已知条件得到抛物线方程为28x y ，设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，利用导数的几何意义得到两条切线分别为21148x x y x =-+和22248x x y x =-+，联立切线得到122M x x x +=，从而得到124x x +=，联立直线AB 与抛物线，利用韦达定理即可得到12k =-，再求焦点弦长即可. 【详解】由题意可得()0,2F -，则4p =，抛物线方程为28xy .设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，其中2118x y =-，2228x y =-. 由28x y =-得4x y '=-，所以在点A 处的切线方程为()1114x y y x x -=--，化简得21148x x y x =-+①，同理可得在点B 处的切线方程为22248x x y x =-+②.联立①②得122M x x x +=，又M 的横坐标为2， 124x x ∴+=.将AB 方程代入抛物线得28160x kx +-=，1284x x k ∴+=-=，12k ∴=-，()1212144462y y k x x ∴+=+-=-⨯-=-，1210AB p y y ∴=--=.故答案为：10【点睛】本题主要考查抛物线的焦点弦，同时考查导数的几何意义，属于中档题. 15．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[)0,+∞ 【解析】先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤⎪⎝⎭得0a ≥，再对函数()f x 求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数()f x 单调性，即可解决. 【详解】 解：22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，0a ∴≥. 由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦， 令()sin cos 1g x x x x =-+-，则()sin g x x x '=-. 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， ()g x ∴的最小值为()1g ππ=--.又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0g x ≤，即()0f x '≤，()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数.02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤.又当0a ≥，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0ax ≥， 故()f x ax ≤恒成立，因此a 的取值范围是[)0,+∞.故答案为：[)0,+∞ 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分析与解决问题的能力，是中档题.三、双空题16．已知点(),P x y 在不等式组230y x y x y a ≥+⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域D 上运动，（1）若区域D表示一个三角形，则a 的取值范围是______；（2）若6a =，则2z x y =-+的最小值是______.【答案】()3,+∞ 5【解析】要使不等式组2,30,y x y x y a ≥+⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域是一个三角形，结合图形可知3a >；作出可行域，根据图形找到最优解，可得答案.【详解】因为直线2y x =+与30y x -=的交点为()1,3，所以要使不等式组2,30,y x y x y a ≥+⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是3a >.当6a =时，作出可行域，如图：由图可知，当直线2z x y =-+经过点(1,3)M 时，z 取得最小值5. 故答案为：()3,+∞；5. 【点睛】本题考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于基础题.四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin a c A C b c B -+=-.（1）求角A 的大小；（2）若2cos a b C =，试判断ABC 的形状并给出证明. 【答案】（1）3π；（2）ABC 为等边三角形，证明见解析. 【解析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）由正弦定理边化角及诱导公式、两角和的正弦公式可得sin cos cos sin 0B C B C -=，即可得到B C =，从而得到三角形的形状；【详解】 解：（1）()()()sin sin sin a c A C b c B -+=-，∴由正弦定理得()()()a c a c b c b -+=-，222122b c a bc +-∴=，根据余弦定理知1cos 2A =.又角A 为ABC 的内角，3A π∴=.（2）ABC 为等边三角形2cos a b C =，∴由正弦定理得sin 2sin cos A B C =.由三角形内角和公式得()A B C π=-+，故()sin sin A B C =+，()sin 2sin cos B C B C ∴+=，整理得sin cos cos sin 0B C B C -=，()sin 0B C -=∴，又(),B C ππ-∈-，B C ∴=.又由（1）知3A π=，ABC ∴为等边三角形.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式的应用，属于中档题. 18．2019年，受非洲猪瘟影响，全国猪肉价格大幅上涨.10月份全国居民消费指数（CPI ）同比上涨3.8%，创七年新高，其中猪肉价格成为推动居民消费指数上涨的主要因素之一.某学习调查小组为研究某市居民对猪肉市场的信心程度，对当地200名居民在未来一段时间内猪肉价格上涨幅度的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中a 的值，并估算该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值；（2）将猪肉价格上涨幅度预期值在[)10,30和[)90,110的居民分别定义为对市场“信心十足型”和“信心不足型”，现采用分层抽样的方法从样本中位于这两个区间的居民中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，记X 表示这三人中“信心十足型”的人数，求X 的分布列、数学期望与方差.【答案】（1）0.015a =，预期值为55%；（2）分布列见解析，()2E X =，()0.4D X =. 【解析】（1）由频率直方图中的各矩形的面积和为1，可求得a ，再由频率直方图求得对猪肉价格上涨幅度心理预期值的平均数，则由此可估计该市的居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值；（2）先由分层抽样的定义分别求出在“信心十足型”居民中和在“信心不足型”居民中各抽取的人数，再得出随机变量可能的取值，根据古典概率公式可求得其分布列，从而求得期望和方差. 【详解】解：（1）由直方图知()0.0050.020.00750.0025201a ++++⨯=，解得0.015a =. 设该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为x ，则()0.005200.015400.02600.0075800.00251002055x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，所以该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为55%.（2）由题意，样本中，“信心十足型”型居民有0.0052020020⨯⨯=人.“信心不足型”型居民有0.00252020010⨯⨯=人.由分层抽样的定义可知“信心十足型”居民抽取4人，“信心不足型”居民抽取2人. 则X 的可能取值为1，2，3，()124236C C110.2C 5P X ⋅====，()214236C C 320.6C 5P X ⋅====，()304236C C 130.2C 5P X ⋅====，故X 的分布列为 X 1 2 3 P 0.20.60.2()10.220.630.22E X =⨯+⨯+⨯=，()()()()222120.2220.6320.20.4D X =-⨯+-⨯+-⨯=.【点睛】本题考查识别频率直方图，根据频率直方图估计总体的预期值，考查随机变量的分布列的求法，以及随机变量的期望和方差，属于中档题.19．如图，在三棱锥P ABC -中，底面是正三角形，24AB PA ==，PA ⊥底面ABC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点.（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）在线段PB （不含端点）上是否存在点G ，使得平面EFG 与平面PBC 所成锐二15？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）根据PA ⊥底面ABC 可得PA BE ⊥，结合BE AC ⊥可证BE ⊥平面PAC ，从而可得平面BEF ⊥平面PAC .（2）设BG BP λ=，以EB ，EC ，EF 方向为x ，y ，x 轴建立坐标系，求出平面EFG 的法向量与平面PBC 的法向量的夹角的余弦值后得到关于λ的方程，求出λ后可得线段PB 上不存在满足条件的点G . 【详解】 证明：（1）AB BC =，E 为AC 的中点，BE AC ∴⊥.又PA ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，PA BE ∴⊥.PA AC A =，PA ，AC ⊂平面PAC ，BE ∴⊥平面PAC ，又BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC .（2）如图，由（1）知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点，//EF PA ∴，EF BE ∴⊥，EF AC ⊥，又BE AC ⊥，EB ∴，EC ，EF 两两垂直，以E 为原点，以EB ，EC ，EF 方向为x ，y ，x 轴建立坐标系，则()0,2,0A -，()0,2,2P -，()23,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0E ，()0,0,1F .设()23,2,2BG BP λλλλ==--（()0,1λ∈），)()231,2,2G λλλ∴--，)()()231,21,2AG AB BG λλλ∴=+=--，()0,0,1EF =，)()231,2,2EG λλλ=--.设平面EFG 的法向量为(),,m a b c =，则)0,0,1220,0,c m EF a b c m EG λλλ=⎧⎧⋅=⎪∴⎨⎨-⋅-⋅+⋅=⋅=⎪⎩⎩令a λ=，则)1b λ=-，)(),1,0m λλ∴=-.()23,2,0BC -，()0,4,2PC =-，设平面PBC 的法向量(),,n x yz =， 则0,20,0,420,n BC y n PC y z ⎧⎧⋅=-+=⎪∴⎨⎨⋅=-=⎪⎩⎩令1x =，则y =z =(1,3,2n ∴=.由已知1cos ,14m n =-=，114λ=⇒=， 因为()0,1λ∈，故线段PB 上不存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 所成的角的正弦. 【点睛】面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的．由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是e ，定义直线eby=±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±，长轴长为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，直线l 交椭圆C 于E ，F 两不同点（点E ，F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥，若点P 满足2OP OE OF =+，求直线AP 的斜率的取值范围.【答案】（1）2211612xy +=；（2）5656⎡-⎢⎣⎦. 【解析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程，联立方程组求得216a =，212b =，24c =，则椭圆方程可求；（2）分直线l x ⊥轴与直线l 不垂直于x 轴两种情况讨论，当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠），联立直线方程与椭圆方程，消元由>0∆，得到2216120k t -+>，再列出韦达定理，由AE AF ⊥则0AE AF ⋅=，解得47k t =-，再由2OP OE OF =+，求出P 的坐标，则178AP k k k+=，再利用基本不等式求出取值范围； 【详解】解：（1）由题意得：e b abc==28a =，又222a b c =+， 联立以上可得：216a =，212b =，24c =，∴椭圆C 的方程为2211612x y+=.（2）由（1）得()4,0A ，当直线l x ⊥轴时，又AE AF ⊥，联立224,1,1612y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2732160x x -+=，解得47x =或4x =，所以47E F x x ==，此时4,07P ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AP 的斜率为0. 当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠）， 联立223448y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，整理得()2223484480k x ktx t +++-=， 依题意()()2222644344480k t kt∆=-+->，即2216120k t -+>（）且122834kt x x k +=-+，212244834t x x k-⋅=+. 又AE AF ⊥，()()()()()()121212124444AE AF x x y y x x kx t kx t ∴⋅=-⋅-+⋅=-⋅-+++()()222212122732161(4)16034t kt k k x x kt x x t k++=+⋅+-+++==+，22732160t kt k ∴++=，即()()7440t k t k ++=，47kt ∴=-且t 满足（）， ()121222862,,3434kt t OP OE OF x x y y k k ⎛⎫∴=+=++=- ⎪++⎝⎭，2243,3434kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭，故直线AP 的斜率2222331344716412874834APt t k k k kt k kt k k k k+==-==+++--++， 当k 0<时，7788k k k k ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭78k k -=-，即k =时取等号，此时0AP k ≤<； 当0k >时，78k k +≥=78k k =，即k =时取等号，此时056AP k <≤； 综上，直线AP的斜率的取值范围为5656⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于难题. 21．已知函数()()21ln f x ax x b x =-++（a 、b ∈R ）.（1）当1a =，4b =-时，求()y f x =的单调区间； （2）当2b =-，1≥x 时，求()()g x f x =的最小值.【答案】（1）增区间为3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()min 1,0,0,01,1, 1.a a g x a a a -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩. 【解析】（1）求出函数的定义域，然后对函数求导，导函数大于零，解得其增区间，导函数小于零，解得其减区间；（2）由()2ln g x ax x x =--，令()2ln x ax x x ϕ=--（1≥x ），然后利用导数讨论()x ϕ的单调性，最值，从而可求出()g x 的最小值.（1）当1a =，4b =-时，()23ln f x x x x =--（()0,x ∈+∞）.()()()223132321x x x x f x x x x x-+--'=--==， 令()0f x '=得32x =，或1x =-（舍去）. 当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x ∴单调递增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）()2ln g x ax x x =--.设()2ln x ax x x ϕ=--（1≥x ），()121x ax xϕ'=--， 1）当0a ≤时，()0x ϕ'<，则()x ϕ在[)1,+∞上单调递减，且()110a ϕ=-<，()()g x x ϕ∴=-，()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()min 11g x g a ∴==-.2）当0a >时，()221ax x x xϕ--'=，设()221t x ax x =--，180a ∆=+>，()0t x ∴=有两根1x ，2x .12102x x a+=>，12102x x a =-<，不妨令120x x <<，∴当()20,x x ∈时，()0t x <，即()0x ϕ'<，()x ϕ在()20,x 上单调递减，当()2,x x ∈+∞时，()0t x >，即()0x ϕ'>，()x ϕ在()2,x +∞上单调递增. ①当()1220t a =-≥，即1a ≥时，21x ≤，()x ϕ在[)1,+∞上单调递增. 又()110a ϕ=-≥，()()g x x ϕ∴=，()()()min min 11g x x a ϕϕ∴===-.②当()10t <，即01a <<时，21>x ，()x ϕ在()21,x 上单调递减，在()2,x +∞上单又()110a ϕ=-<，()()2222min ln x x ax x x ϕϕ==--，2242222ln ln 0a a a a a a a ϕ⎛⎫=⋅--=-> ⎪⎝⎭，∴存在[)022,1,x x a ⎛⎫∈⊆+∞ ⎪⎝⎭使得()20x ϕ=，()()0min 0g x x ϕ∴==.综上可得()min1,0,0,01,1, 1.a a g x a a a -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩【点睛】此题考查利用导数求函数的单调性，利用导数求函数的最值，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题.22．已知直线l的参数方程为：1x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C的极坐标方程为：4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，点P 是曲线C 上除极点以外的任意一点，点M 在直线OP 上且满足1OP OM ⋅=，设点M 的轨迹为曲线E . （1）求直线l 和曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 分别与曲线C 、曲线E 交于A （与原点不重合）、B 两不同点，求线段AB 的长.【答案】（1）3πθ=（ρ∈R ），sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）先将直线l 的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程，设()00,P ρθ（00ρ≠），(),M ρθ，则由题意得01ρρ=，0θθ=，而点P 是曲线C 上除极点以外的任意一点，所以14πθρ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，化简后得曲线E 的极坐标方程； （2）设A 、B 两点的极径分别为1ρ、2ρ，直线l 的极坐标方程分别与曲线C 的极坐标方程和曲线E 的极坐标方程联立方程组求出1ρ、2ρ，从而可求出12AB ρρ=-的值.（1）将直线l的参数方程1x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）消去参数t ，得y =，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线l 的极坐标方程为3πθ=（ρ∈R ）.设()00,P ρθ（00ρ≠），(),M ρθ，由题意0θθ=，① 又1OP OM ⋅=，01ρρ∴=，即01ρρ=.②因为点P 在曲线C上，所以004πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将①②代入004πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得14πθρ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 整理得曲线E 的极坐标方程为sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （2）设A 、B 两点的极径分别为1ρ、2ρ，联立直线l 和曲线C的极坐标方程34πθπρθ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，得1134ππρ⎛⎫=+=⎪⎝⎭联立直线l 和曲线E的极坐标方程3sin 14πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，得2134ρππ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭(121AB ρρ∴=-==【点睛】此题考查参数方程与极坐标方程，考查了极坐标系中极径的几何意义，考查运算能力，属于中档题.23．已知函数()21f x x x =--+. （1）解不等式()2f x <；（2）若正实数m ，n 满足3m n +=，试比较122m n +与()32f x -的大小，并说明理由. 【答案】（1）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；（2）()12322f x m n +≥-，理由见解析. 【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可； （2）先根据绝对值的三角不等式可得()33f x -≤≤，进而求出()933222f x -≤-≤；再利用基本不等式求出122m n+的最小值32，由此即可得结果．【详解】（1）①当1x ≤-时，()()212x x --++<，无解； ②当12x -<<时，()()212x x ---+<，122x -<<； ③当2x ≥时，()()212x x --+<，恒成立，2x ≥， 所以该不等式的解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭.（2）因为|()21213x x x x --+≤--+≤，当有仅当()()210x x -⋅+≥，即1x ≤-或2x ≥时取“=”， 所以()33f x -≤≤，即()933222f x -≤-≤. 又1212112322233222m n n m m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=+⋅=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22n mm n=，即1m =，2n =时取等号， 所以()12322f x m n +≥-. 【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，以及基本不等式的应用，属于中档题．。

河南省名校联考2020届高三联考数学（理）试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简为的形式，再求.【详解】依题意，故，故选C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.2.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式得集合A，再根据集合补集与并集定义求结果.【详解】因为，所以,选B.【点睛】本题考查集合的补集与并集定义，考查基本分析求解能力，属基本题.3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过．．．的为（）A. 腾讯与百度的访问量所占比例之和B. 网易与搜狗的访问量所占比例之和C. 淘宝与论坛的访问量所占比例之和D. 新浪与小说的访问量所占比例之和【答案】B【解析】【分析】根据图表，分析出两个网站访问量不超过．．．的选项.【详解】由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为，不超过，故选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.4.为了得到函数的图象，需对函数的图象所作的变换可以为（）A. 先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位B. 先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变C. 先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变D. 先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图像变换规律作出判断.【详解】函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位得--,函数的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变得+,函数的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变得+,函数的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变得-,所以选A.【点睛】本题考查三角函数图像变换，考查基本分析判别能力，属基本题.5.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，满足.若为等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件得在双曲线右支，代入方程解得，进而确定等腰三角形的腰，列方程解离心率.【详解】因为满足，所以在双曲线右支，因此,又为等腰三角形，所以,因为,所以，选B.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.6.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得，化简，代入求值即可.【详解】由，得，则故选：D【点睛】本题考查了三角函数的恒等变形，考查了三角函数的倍角公式和同角三角函数的基本关系等知识，也考查了计算能力，属于中档题7.已知抛物线：与圆：交于，，，四点.若轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为（）A. B. 3 C. D. 6【答案】A【解析】【分析】求出圆心和半径，根据轴和线段恰为圆的一条直径得到的坐标，代入抛物线方程求得的值，设出点的坐标，利用是圆的直径，所对圆周角为直角，即，由此求得点的横坐标.【详解】圆：可化为，故圆心为，半径为，由于轴和线段恰为圆的一条直径，故.将点坐标代入抛物线方程得，故，抛物线方程为.设，由于是圆的直径，所对圆周角为直角，即,也即，所以，化简得，解得，故点横坐标为.故选A.【点睛】本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题.8.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.9.若，，，则实数，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小.【详解】，而，故是最小的.由于，即，即，故选D.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.10.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为1011，则判断框中可以填（）A. B. C. D.【答案】C【解析】利用程序框图的功能，进行模拟计算即可．【详解】程序的功能是计算S＝1sin+3sin+5sin+…＝1﹣3+5﹣7+9+…+，则1011＝1+505×2＝1﹣3+5﹣7+9+…则第1011个奇数为2×1011﹣1＝2021不成立，第1012个奇数为2×1012﹣1＝2023成立，故条件为i＞2022？，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.11.在正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接，证明点在直线上，当时，三角形的面积取得最小值，进而求得的值.【详解】取的中点，连接，设.作出图像如下图所示.易得，所以平面，所以.易得，所以平面，所以.故平面，所以在直线上，可使得.由于，所以最短时三角形的面积取得最小值，此时点在点的位置.设正方体棱长为，故.，所以，所以，故，故选D.难度较大，属于难题..本题解题关键点在于找到点所在的位置，主要通过证明线面垂直来找到.12.已知，若，且，使得，则满足条件的的取值个数为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】先求,值域，再研究单调性与值域,进而确定取值范围，即得结果.【详解】因为，所以由题意得在上不单调，因为，所以,当时, ,, 当时, ,,因此，选A.【点睛】本题考查任意存在性问题以及函数值域与单调性，考查综合分析化简求解能力，属难题.二、填空题.13.若向量，，且，则实数____．【答案】【解析】【分析】由向量垂直与向量数量积的关系可得，若，得，解x的值即可．【详解】由，得且，得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．14.若，满足约束条件，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先作出可行域，再根据斜率含义确定最优解.【详解】作出可行域，如图，则的最大值为.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15.的展开式中，含的项的系数为_____.（用数字填写答案）【答案】35【解析】【分析】先根据二项展开式通项公式确定含的项的项数，再代入求结果.【详解】,即含的项的系数为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.16.如图所示，点，分别在菱形的边，上，，，则的面积的最小值为______．【答案】【解析】【分析】设,，在中，且由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中，计算即可.【详解】在菱形中，，所以=，在中，=，设,,则,且由正弦定理得，在中， ,则,由正弦定理，得，在中，因为，所以，即，所以，所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理在三角形的应用，也考查了直角三角形的面积公式，三角函数求最值得问题，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）证明：是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，，由，得，，求出，利用定义法即可判断；（II）由得，由数列的乘公比错位相减法求和即可.【详解】设等差数列的公差为，，则，解得.所以，解得，所以.所以.所以.因为当时，,当时，,故是首项为，公差为的等差数列.（II）由可知，故.故.两式相减可得.故.【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，与交于点，，，.（Ⅰ）在线段上找一点，使得平面，并证明你的结论；（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）取线段上靠近的三等分点，连接，因为，，所以，由，得，所以，即可证明结论成立.（II）以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面的个法向量为，由向量法即可求出二面角的平面角.【详解】（I）取线段上靠近的三等分点，连接.因为，，所以,所以.而，所以，所以.而平面.平面，故平面.（II）易知为等边三角形，所以.又，故，所以有.由已知可得，又，所以平面.以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以，，，，则，，，.设平面的一个法向量为，则有即设，则，所以.设平面的个法向量为，则有即令，则，所以.所以.因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间线面平行的判定定理和利用向量法求二面角，也考查了计算能力，属于中档题. 19.2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.（Ⅰ）求得分在上的频率；（Ⅱ）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）以频率估计概率，若在全部参与学习的居民中随机抽取5人参加问卷调查，记得分在间的人数为，求的分布列以及数学期望.【答案】（Ⅰ）0.3 ；（Ⅱ）70.5；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）由频率分布直方图可得所求的频率；（II）由频率分布直方图的平均值公式计算即可；（III）人数服从，即可得出P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3，4，5，及其分布列与数学期望E（X）．【详解】（I）依题意，所求频率.（II）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：即问卷调查的平均得分的估计值为.（III）依题意，.故,.,,.故的分布列为：故.【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知椭圆：，点，.（Ⅰ）若直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，求直线的斜率；（Ⅱ）若直线：与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）因为在椭圆上，设，且为线段的中点，得，，由点差法即可计算直线的斜率；（II）联立，得，由可得，,由弦长公式可得点到直线的距离由计算即可.【详解】（I）设，故，将两式相减，可得，即因为为线段的中点，所以得即故直线的斜率（II）联立可得，由可得，解得.设由根与系数的关系可得又点到直线的距离当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.21.已知函数.（Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由于函数在上单调递增，故另导函数恒大于零，分离常数得到，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围.（2）令，则.将原不等式等价转化为，构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立.【详解】（1）由题可知.令，即，当时有.令，则.所以当时，，所以在上单调递增.所以，即，故实数的取值范围为.（2）令，则.故.构造函数，则.所以在上单调递增，所以，所以当时，，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.在解题过程中，导数是一种工具的作用，用来求单调区间和最值.22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）若，求曲线的直角坐标方程以及直线的极坐标方程；（Ⅱ）设点，曲线与直线交于，两点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，直线的极坐标方程为；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）由普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，即可得到结果；（II）联立直线与曲线的方程得，设点对应得参数分别为，得，则，即可求的最小值.【详解】（I）曲线，将代入得,即曲线的直角坐标方程为直线，故故直线的极坐标方程为（II）联立直线与曲线的方程得即设点对应得参数分别为，则因为当时，取等号.所以的最小值为【点睛】本题考查普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，直线参数方程的应用，属于基础题.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（Ⅰ）在如图所示的网格纸中作出函数的图象；（Ⅱ）记函数的最小值为，证明：不等式成立的充要条件是.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此画出函数的图像.（2）根据（1）求得的值.将原不等式转化，然后判断出不等式成立的充要条件是.【详解】（1）依题意，，作出函数的图象如图所示：（2）由（Ⅰ）中图象可知..因为当时，，当时，，故不等式成立的充要条件是.【点睛】本小题主要考查利用零点分段法化简含有两个绝对值的函数，考查充要条件的证明，属于中档题.。

2020年河南省名校联盟高考数学联考试卷(理科)(6月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|−1<x<5}，B={x|0<x≤2}，则A∩B=()A. {x|−1<x≤2}B. {x|0<x<5}C. {0,1，2}D. {1,2}2.已知z=(a−1)+(a+2)i在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a的取值范围为()A. (−1,2)B. (−2,1)C. (2,+∞)D. (−∞,−2)3.“k<1”是“方程x23−k +y2k−1=1表示双曲线”的()A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若等比数列{a n}，前n项和S n，且a2a3=2a1，54为a4与2a7的等差中项，则S4=()A. 29B. 30C. 31D. 335.设a⃗=(1,−2),b⃗ =(3,4),c⃗=(2,−1),则(a⃗+b⃗ )⋅c⃗=()A. 6B. 5C. 4D. 36.如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图(其中同比是今年第n个月与去年第n个月之比)，则下列说法错误的是()A. 2018年下半年我国原油进口总量高于2018上半年B. 2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C. 2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D. 2018年1月−5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减7. 函数f(x)=e x x的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )A. y =x +e −1B. y =eC. y =x −e −1D. x =e8. 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图(如图)设计的，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自内部小正方形部分的概率为( )．A. 125B. 925C. 1625D. 24259. 将y =f(x)的图象向右平移π3个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y =sin(x −π6)的图象，则f(x)=( )A. cos2xB. sin 12xC. cos(12x +π6)D. sin(2x +π6)10. 函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n+1=a n +a n+２，且a 2=32，则Ｓ105为( )A. 3B. 6C. 9D. 1212. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是线段A 1C 1的中点，若四面体M −ABD 的外接球的表面积为36π，则正方体棱长为( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知C n 4=C n 6，设(3x −4)n =a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯…+a n (x −1)n ，则a 1+a 2+⋯…+a n =_________ ．14. 已知不等式组{y ≥0y ≤x 2x +y −9≤0表示的平面区域为D.若直线y =a(x +1)与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是______．15.已知点F1是抛物线C1：y=14x2与椭圆C2：x2a2+y2b2=1(b>a>0)的公共焦点，F2是椭圆C2的另一焦点，P是抛物线C1上的动点，当|PF1||PF2|取得最小值时，点P恰好在椭圆C2上，则椭圆C2的离心率为________．16.函数f(x)=12x+sinx在区间[0,2π]上的最大值为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，已知sin A：sin B：sin C=4：5：6，且a+b+c=30，求a．18.某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9：00到21：00这个时间段送的50单外卖，以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如图．时间区间[9011)[11,13)[13,15)[15,17)[17,19)[19,21]每单收入(元)6 5.56 6.4 5.5 6.5(1)求频率分布直方图中a的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；(2)这个外卖小哥记得在[13,15)这个时段只有4单外卖带有饮品，现在从[13,15)这个时段送出的外卖中随机抽取3单外卖，求这3单外卖中带有饮品的单数X的分布列和数学期望．19.如图，在三棱锥A−BCD中，AB=AD=CD=12BC=2，E为BC的中点，BD⊥CD，且AE=√2．(1)证明：平面ACD⊥平面ABD．(2)求平面ABC与平面ACD所成锐二面角的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为√2:1．(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)若不与坐标轴平行的直线l与椭圆相切于点P，O为坐标原点，求直线OP与直线l的斜率之积．21. 已知函数g(x)=e x −2ax −b ，a ，b ∈R ．(1)求函数g(x)的单调区间； (2)求函数g(x)在[0,1]上的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23.已知函数f(x)=−|x|−|x+2|．(1)解不等式f(x)<−4；(2)若正实数a，b满足a+b=√5，试比较a2+b2与f(x)+3的大小，并说明理由．4【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题． 先求出A ，再求交集即可．解：集合A ={x ∈Z|−1<x <5}={0,1，2，3，4}， B ={x|0<x ≤2}， 则A ∩B ={1,2}． 故选D ．2.答案：D解析：本题考查复数的几何意义，属于基础题目．依据复数a +bi(a,b ∈R)与复平面上的点(a,b)--对应，再由第三象限点横纵坐标都为负，即可求取值范围．解：因为z =(a −1)+(a +2)i 在复平面内对应的点位于第三象限， 所以{a −1<0a +2<0，解得a <−2．故选D ．3.答案：A解析：解：若方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线，则(3−k)(k −1)<0，即k <1或k >3．∴k <1⇒方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线，反之不一定成立． ∴“k <1”是“方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线”的充分不必要条件． 故选：A ． 由方程x 23−k+y 2k−1=1表示双曲线求得k 的范围，然后结合充分必要条件的判定得答案．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的判断，考查充分必要条件的判定，是基础题．4.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列中项的性质，化简整理的运算能力，属于中档题．设等比数列{a n}的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得首项和公比，运用等比数列的求和公式，即可得到所求和．解：设等比数列{a n}的公比为q，a2a3=2a1，54为a4与2a7的等差中项，可得a1q⋅a1q2=2a1，2×54=a4+2a7=a1q3+2a1q6，解得q=12，a1=16，则S4=a1(1−q4)1−q =16(1−124)1−12=30．故选B．5.答案：A解析：解：根据题意，a⃗=(1,−2)，b⃗ =(3,4)，则a⃗+b⃗ =(4,2)，又由c⃗=(2,−1)，则(a⃗+b⃗ )⋅c⃗=4×2+2×(−1)=6；故选：A．根据题意，由a⃗、b⃗ 的坐标计算可得向量a⃗+b⃗ 的坐标，进而由向量数量积的坐标计算公式计算可得答案．本题考查向量的数量积的计算，关键求出向量a⃗+b⃗ 的坐标．6.答案：D解析：解：由图易知A，B正确，由数量同比折线图可知，除6月和10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C正确，由2018年1月−5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，故D错误，故选：D．先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题．7.答案：B解析：先对f(x)求导，然后得到切线的斜率，再求出切线方程即可．本题考查了利用导数研究函数的切线方程，属基础题．解：由f(x)=e xx ，得f′(x)=xex−e xx2，∴切线斜率k=f′(1)=0，又f(1)=e，∴在点(1,f(1))处的切线方程为y=e．故选：B．8.答案：A解析：本题考查几何概型，是基础题．由已知直角三角形的边长分别求出两个正方形的面积，即得答案．解：∵直角三角形的直角边的边长分别是3和4，∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为4−3=1．大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以此点取自内部小正方形部分的概率为125．故选：A．9.答案：A解析：本题考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于基础题．由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将y=sin(x−π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，再把所得图象向左平移π3个单位，即可得到f(x)的图象．解：将y =sin(x −π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍得到y =sin(2x −π6)， 再把所得图象向左平移π3个单位， 得到f(x)=sin[2(x +π3)−π6]=cos2x ， 故选：A ．10.答案：A解析：解：∵函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数，即为f(x)=0的根的个数，∴f(x)=(x−1)ln(−x)x−3=0，即(x −1)ln(−x)=0，∴x −1=0或ln(−x)=0， ∴x =1或x =−1， ∵{−x >0x −3≠0，解得x <0，∵函数f(x)的定义域为{x|x <0}， ∴x =−1，即方程f(x)=0只有一个根， ∴函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数1个．故选：A ． 将函数f(x)=(x−1)ln(−x)x−3的零点个数问题转化为方程f(x)=0的根的个数问题，求出方程的根，即可得到答案．本题考查了根的存在性及根的个数的判断．要注意函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x 轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．11.答案：A解析：本题考查数列的递推公式和求和，属中档题．解：根据题意，a n+2=a n+1−a n =a n −a n−1−a n =−a n−1， 则有a n+3=−a n ，故a n+6=a n，∴数列{a n}的周期为6，又a n+3=−a n，则a1+a4=0，a2+a5=0，a3+a6=0，∴a1+a2+⋯+a6=0．又因数列{a n}的周期为6，则S105=17(a1+a2+⋯+a6)+a103+a104+a105=a1+a2+a3=2a2=3．故选A．12.答案：C解析：本题考查正方体棱长，考查四面体M−ABD的外接球表面积，属于中档题．设BD的中点O′，则球心O在MO′上，利用四面体M−ABD的外接球表面积为36π，求出球的半径，利用勾股定理建立方程，求出正方体棱长．解：设BD的中点O′，则球心O在MO′上，∵四面体M−ABD的外接球表面积为36π，设外接球的半径为R，∴4πR2=36π，∴R=3，设正方体棱长为2a，则O′A=√2a，由勾股定理可得32=(√2a)2+(2a−3)2，∴a=2，∴正方体棱长为2a=4．故选C．13.答案：1023解析：解：∵已知C n4=C n6，∴n=10，∵(3x−4)n=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a n(x−1)n，即(3x−4)10=a0+a1(x−1)+a 2(x −1)2+⋯a 10(x −1)10， 令x =1，可得a 0=1；再令x =2，可得1+a 1+a 2+⋯+a n =210，∴a 1+a 2+⋯+a n =210−1=1023， 故答案为：1023．由题意利用二项式系数的性质，求得n =10，再分别令x =1、x =2，可得a 1+a 2+⋯+a n 的值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.答案：[0,34]解析：画出满足约束条件不等式组{y ≥0y ≤x 2x +y −9≤0的平面区域，然后分析平面区域各角的顶点，将其代入y =a(x +1)中，求出y =a(x +1)对应的a 的值即可．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角的顶点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．解：满足约束条件不等式组{y ≥0y ≤x 2x +y −9≤0的平面区域如图示：因为y =a(x +1)过定点(−1,0)． 所以当y =a(x +1)过点P ，由{y =x 2x +y −9=0，解得A(3,3)，得到3=a(3+1)，解得a =34，又因为直线y =a(x +1)与平面区域D 有公共点． 所以0≤a ≤34 故答案为[0,34]．15.答案：√2−1解析：解：如下图所示，易知抛物线C 1的焦点为F 1(0,1)，所以，椭圆C 2的下焦点为F 2(0,−1)，抛物线C 1的准线为y =−1，该直线过点F 2，过点P 作PA ⊥l ，垂足为点A ，由抛物线的定义可得|PF 1|=|PA|，所以，|PF 1||PF 2|=|PA||PF 2|=cos∠APF 2=cos∠PF 2F 1，当直线PF 2与抛物线C 1相切时，∠PF 2F 1最大，此时，cos∠PF 2F 1取得最小值，即|PF 1||PF 2|取最小值，设直线PF 2的方程为y =kx −1，将该直线方程与抛物线C 1的方程联立得{x 2=4yy =kx −1，消去y 得，x 2−4kx +4=0，△=16k 2−16=0，解得k =±1，代入方程得x 2±4x +4=0，可求得点P 的坐标为(±2,1)， 由椭圆定义可得2a =|PF 1|+|PF 2|=√(±2)2+(1−1)2+√(±2)2+(1+1)2=2+2√2， ∴a =1+√2，因此，椭圆C 2的离心率为e =ca =1+√2=√2−1． 故答案为：√2−1．过点P作PA⊥l，由抛物线定义可得|PF1|=|PA|，再结合锐角三角函数得出|PF1||PF2|=|PA||PF2|=cos∠APF2=cos∠PF2F1，于是得出当直线PF2与抛物线C1相切时，∠PF2F1取得最大值，此时，|PF1||PF2|取得最小值，并设直线PF2的方程为y=kx−1，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用△=0求出k 的值，从而求出点P的坐标，然后利用椭圆的定义求出a的值，最终计算出椭圆的离心率．本题考查圆锥曲线的综合问题，考查抛物线与椭圆的定义，解决本题的关键在于找出直线与抛物线相切的位置，考查计算能力与推理能力，属于难题．16.答案：π解析：此题考查利用导数研究函数在闭区间的最大值，注意函数的定义域．对函数求导，研究单调性，进而得到答案．解：因为f′(x)=12+cosx，令f′(x)=0，x∈[0,2π]，解得x=2π3或x=4π3，当x∈(0,2π3)或(4π3,2π)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(2π3,4π3)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x=2π3时，函数f(x)的极大值为f(2π3)=12×2π3+sin2π3=π3+√32，又f(0)=0，f(2π)=π，所以函数最大值为π．故答案为π．17.答案：解：∵sin A：sin B：sin C=4：5：6，由正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，又∵a+b+c=30，∴a=30×44+5+6=8．解析：由sin A：sin B：sin C=4：5：6，利用正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．18.答案：解：(1)由频率分布直方图得：2a=1−2×(0.05×2+0.08×2+0.14)=0.2，∴a=0.1，∵样本n=50，∴在[9,11)这个时间段的频数为0.08×2×50=8，同理可求得[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19)，[10,21]这5个时间段的频数分别为14，10，5，8，5，∴外卖小哥送50单的收入为8×6+14×5.5+10×6+5×6.4+8×5.5+5×6.5=293.5(元)；(2)由(1)知，在[13,15)这段时间共送10单，10单中有4单带饮品，6单不带饮品，X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=C63C103=20120=16，P(X=1)=C41C62C103=60120=12，P(X=2)=C42C61C103=36120=310，P(X=3)=C43C103=4120=130，∴X的分布列为：E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65．解析：本题主要考查了随机变量的分布列及数学期望的应用问题，是综合题．(1)由频率分布直方图得a，然后求解外卖小哥送50单的收入即可．(2)求出X的可能取值为0，1，2，3求出概率得到X的分布列然后求解期望即可．19.答案：(1)证明：取BD的中点为O，连接OA，OE.因为BD⊥CD，BC=4，CD=2，所以BD=2√3，OB=√3.又AB =AD =2，所以BD ⊥AO ，且AO =1. 在△AOE 中，EO =12CD =1，AE =√2，所以AO 2+OE 2=AE 2，即OE ⊥AO ，从而CD ⊥AO. 又CD ⊥BD ，BD ∩AO =O ，所以CD ⊥平面ABD. 因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ． (2)解：由(1)知OB ，OE ，OA 两两垂直，如图，分别以OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O −xyz ， 则B(√3,0,0)，C(−√3,2,0)，D(−√3,0,0)，A(0,0，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2,−1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,2,0). 设m⃗⃗⃗ =(x,y,z)是平面ABC 的法向量，可得{−√3x +2y −z =0,−2√3x +2y =0,令x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,√3).设n⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面ACD 的法向量，因为DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2,−1)， 则{2y 1=0,−√3x 1+2y 1−z 1=0,令x 1=1，得n ⃗ =(1,0,−√3)．设平面ABC 与平面ACD 所成的锐二面角为θ，则cos θ=|cos ⟨m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|1−3√7×2|=√77， 即平面ABC 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值为√77．解析：本题考查面面垂直的判定和利用空间向量求面面的夹角，考查推理能力、计算能力，属中档题．(1)取BD 的中点为O ，连接OA ，OE.推导出CD ⊥AO ，CD ⊥BD ，可得出CD ⊥平面ABD ，进而可证平面ACD ⊥平面ABD ．(2)由(1)知OB ，OE ，OA 两两垂直，如图，分别以OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O−xyz，求出平面ACD和平面ABC的法向量，利用向量法进行求解即可．20.答案：解：(I)已知椭圆中2c=2，且2a2b =√2，又a2=b2+c2，可得椭圆的方程为x22+y2=1．(Ⅱ)由题意：可设l的方程为y=kx+m(k存在且k≠0)与椭圆C联立消去y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，由直线l与椭圆C相切，可设切点为(x0,y0)，由判别式△=0可得m2=1+2k2．解得x0=−2km ,y0=1m因此，直线OP的斜率为k OP=−12k，直线l的斜率为k，即直线OP与直线l的斜率之积为−12．解析：(Ⅰ)通过焦距，结合长轴长与短轴长之比为√2：1.求出a，b，然后求解椭圆方程．(Ⅱ)设出直线方程，与椭圆方程联立，设切点为(x0,y0)，利用△=0，推出直线OP的斜率为k OP=−12k，直线l的斜率为k，然后求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.答案：解：因为g′(x)=e x−2a，x∈[0,1]，e x∈[1,e]，(1)若a≤12，则2a≤1，g′(x)=e x−2a≥0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)min=g(0)=1−b．(2)若12<a<e2，则1<2a<e，于是当0<x<ln(2a)时，g′(x)=e x−2a<0，当ln(2a)<x<1时，g′(x)=e x−2a>0，所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a),1]上单调递增，g(x)min=g(ln(2a))=2a−2aln(2a)−b．(3)若a≥e2，则2a≥e，g′(x)=e x−2a≤0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，g(x)min=g(1)=e−2a−b．综上所述，当a≤12时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=g(0)=1−b，当12<a <e2时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min =g(ln(2a))=2a −2aln(2a)−b ； 当a ≥e2时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min =g(1)=e −2a −b ．解析：本题考查了利用导数研究闭区间上函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)g(x)=f′(x)=e x −2ax −b ，g′(x)=e x −2a.对a 分类讨论，利用导数即可得出其单调性； (2)利用(1)的结论，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ， 即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)． 即：F(0,1)， 所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ． 得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0． 所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0， 且|AF|=3|FB|， 故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π， 故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：(1)由题知|x|+|x+2|>4，①当x≤−2时，−2x−2>4，解得x<−3；②当−2<x≤0时，2>4，矛盾，无解；③当x>0时，2x+2>4，x>1；所以该不等式的解集为{x|x<−3或x>1}．(2)因为|x|+|x+2|≥|x−x−2|=2，当且仅当−2≤x≤0时，取“=”，所以f(x)=−|x|−|x+2|≤−2，即f(x)+3≤1．又a2+b24=5b24−2√5b+5=54(b2−85√5b)+5=54(b−45√5)2+1≥1，当且仅当a=√55,b=4√55时取等号．所以a2+b24≥f(x)+3．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式以及二次函数的性质，是一道中档题．(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)求出f(x)+3≤1，根据二次函数的性质求出a2+b24≥1，从而比较大小．。

2020届河南省中原名校高三上学期期末联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|21xB y y ==+，则A B =I （） A ．∅ B ．(]1,3C ．(]0,3D ．()1,+∞【答案】B【解析】根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得. 【详解】由已知解得[]()1,3,1,A B =-=+∞， 所以(]1,3A B =I ，故选B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题. 2．已知20191i z =+，则2z i -=（ ） A．B．C ．2D【答案】A【解析】首先化简复数z ，再代入模的计算. 【详解】由201911z i i =+=-，所以|2||13|z i i -=-=故选：A 【点睛】本题考查复数的计算，属于基础计算题型. 3．若tan 13θ= ，则cos2θ=( ) A ．45-B ．15-C ．15D ．45【答案】D【解析】222222cos cos2cos cos sin sin sin θθθθθθθ-=-=+. 分子分母同时除以2cos θ，即得：2211149cos211519tan tan θθθ--===++.故选D.4．若直线1y x =+和曲线ln 2y a x =+相切，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．32【答案】B【解析】设切点为()00,ln 2x a x +，求出函数在0x x =处的导数后可得切线的斜率，从而可用a 表示切点的横坐标，最后根据切点在切线上得到关于a 的方程，解该方程后可得实数a 的值. 【详解】设切点为()00,ln 2x a x +，因为a y x'=，故切线的斜率01a k x ==， 所以0x a =，所以ln 21a a a +=+，因为0a >，故1a =， 故选B. 【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率，本题为基础题．5．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S =（ ） A ．32 B ．31C ．30D ．29【答案】B【解析】根据已知求出4712,4a a ==，再求出公比和首项，最后求5S . 【详解】 因为174a a =，所以2444,0,2n a a a =>∴=Q . 因为47522a a +=， 所以714a =. 所以3111,16.82q q a =∴==，，所以55116[1()]2=31112S-=-.故选B【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．函数|2|()ln cosxf x xπ=-的部分图像大致为（）A．B．C．D ．【答案】B【解析】利用函数的奇偶性可排除两个答案，再根据2x =时，函数值的正负可得正确答案. 【详解】 因为|2()|()lncos()()x f x x f x π--=--=，所以()f x 为偶函数，排除A,D ； 当2x =时，(2)ln co 4s 20f π=->，故排除C ；故选B. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择对应函数图象，考查数形结合思想的应用，求解时要充分利用函数的性质和特殊点寻找解题的突破口.7．如图所示，半径为1的圆O 是正方形MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ 内，用A 表示事件“豆子落在圆O 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OEF （阴影部分）内”，则()|P B A =（ ）A ．4π B ．14C ．16π D ．18【答案】B【解析】利用几何概型先求出()22124P A ππ⨯==，()22114216P AB ππ⨯⨯==，再由条件概率公式求出(|)P B A ．【详解】如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形(OEF阴影部分)内”，则()22124P A ππ⨯==，()22114216P ABππ⨯⨯==，()()116(|)44P ABP B AP Aππ∴===．故选B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．我国古代科学家祖冲之儿子祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”(“幂”是截面积，“势”是几何体的高)，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )A．12π-B．8π-C．122π-D．122π-【答案】A【解析】首项把三视图转换为几何体，得该几何体表示左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的长方体截去一个底面半径为1，高为2的半圆柱，进一步利用几何体的体积公式，即可求解，得到答案. 【详解】根据改定的几何体的三视图，可得该几何体表示左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的长方体截去一个底面半径为1，高为2的半圆柱， 所以几何体的体积为2122222112122V ππ=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=-，故选A. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.9．设实数,x y 满足不等式组00152x y y x y x⎧⎪⎪⎨-⎪⎪-⎩………„，(2,1)是目标函数z ax y =-+取最大值的唯一最优解，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．(0,1) B ．(0,1] C ．(,2)-∞- D ．(,2]-∞-【答案】C【解析】作出不等式组所对应的平面区域，分类讨论确定目标函数的最优解，即可得到答案． 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OABC ）. 则(1,0),(2,1),(0,5)A B C由z y ax =-得y ax z =+，平移直线y ax z =+，则直线的截距最大时，z 也最大， 当0a =时，y z =在C 处的截距最大，此时不满足条件.当0a >时，直线y ax z =+，在C 处的截距最大，此时不满足条件.当0a <时，直线y ax z =+，要使(2,1)是目标函数z y ax =-取最大值的唯一最优解， 则y ax z =+在B 处的截距最大，此时目标函数的斜率a 须小于直线BC 的斜率2-，即2a <-. 故选：C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)n n S a n n=+-()*n N ∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．922B ．611C ．12D ．511【答案】D【解析】根据公式2n ≥时，1n n n S S a --= ，化简为14n n a a --=，说明数列{}n a 是等差数列，代入等差数列求和，得到1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，利用裂项相消法求和. 【详解】 由2(1)n n S a n n=+-()*n N ∈得2(1)n n S na n n =--.则当2n ≥时， 11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=，所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =，所以43n a n =-*()n N ∈，从而()2133222(1)2n n n a a S n n n n n n ++=+=+=+， 所以1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，设故数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和10T ,101111111151...12223101121111T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和10511T =.故选：D 【点睛】本题考查数列n a 和n S 的关系求通项公式，以及裂项相消法求和，重点考查转化与变形，计算能力，属于中档题型. 11．函数()2log ,0,2,0,xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x fx f x =-+的零点个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．6【答案】A【解析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A.【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．12．已知圆()(221:31C x y -+-=和焦点为F 的抛物线221:8,C y x N C =是上一点，M 是2C 上，当点M 在1M 时，MF MN +取得最小值，当点M 在2M 时，MF MN -取得最大值，则12M M =A． B．C．D【答案】D【解析】根据抛物线的定义和三角形中两边之差小于第三边转化111MF MN C D +-…，当且仅当1,,M C D 三点共线，且点N 在线段1MC 上时等号成立，求得点1M 的坐标，再根据三角形中两边之差小于第三边转化11MF MN FC ≤+-，当且仅当M 为线段1FC 的延长线与抛物线的交点，且点N 在线段1MC 上时等号成立，求得2M 的坐标，从而求出12M M ，得解. 【详解】由已知得：(()13,,2,0C F ，记2C 的准线为l ,如图,过点M 作l 的垂线,垂足为D ,过点1C 作l 的垂线，垂中为1D ，则111||||||||||11MF MN MD MN MD MC C D +=++--厖,当且仅当1,,M C D 三点共线，且点N 在线段1MC 上时等号成立，此时MF MN +取得最小值，则点1M的坐标为(，()111||||||1||11MF MN MF MC MF MC FC ---=-+≤+„,当且仅当M 为线段1FC 的延长线与抛物线的交点，且点N 在线段1MC 上时等号成立，此时MF MN -取得最大值，又直线1FC的方程为2)y x =-，由22)8y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得1x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，或442x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以2M 的坐标为(4,42)， 所以2212(41)(4222)17M M =-+-=,故选：D .【点睛】本题关键在于根据抛物线的定义和三角形中两边之差小于第三边将所求的线段的和或差转化，进而得到取得最值的位置，属于中档题.二、填空题13．“关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x 年（2013年是第一年）与捐赠的现金y （万元）的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程ˆ0.35y mx =+，则预测2019年捐赠的现金大约是______万元.x3 4 5 6 y2.5344.5【答案】5.25【解析】首先根据数据求样本中心点(),x y ，代入求m ，当7x =时，求2019年捐赠的现金. 【详解】由已知得样本点的中心点的坐标为(4.5,3.5)，代入ˆ0.35ymx =+，得3.5 4.50.35m =+，即0.7m =，所以ˆ0.70.35yx =+，取7x =， 得ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，预测2019年捐赠的现金大约是5.25万元. 故答案为：5.25 【点睛】本题考查回归直线方程的求解和应用，属于基础题型.14．某年级有1000名学生，一次数学测试成绩()2105,10X N :，()951050.34P X ≤≤=，则该年级学生数学成绩在115分以上的人数大约为______.【答案】160【解析】根据考试的成绩X 服从正态分布(105N ，210)．得到考试的成绩X 关于105X =对称，根据(95105)0.34P X =剟，得到1(115)(10.68)0.162P X =-=…，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数． 【详解】Q 考试的成绩X 服从正态分布(105N ，210)．∴考试的成绩X 关于105X =对称，(95105)0.34P X =Q 剟， 1(115)(10.68)0.162P X ∴=-=…，∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.161000160⨯=故答案为：160． 【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关于105X =对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解． 15．已知()4121x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项的系数为5，则a =_________． 【答案】2【解析】首先原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-，然后分别求每一项中含有3x 的系数，最后求a . 【详解】由题意知原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-，所以412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项为224334412C ()()C ()x x x a x x ⋅-+-+-， 即3(134)a x -，由已知条件知1345a -=，解得2a = . 【点睛】本题考查了二项式定理的综合问题，意在考查二项式定理指定项的求法，属于基础题. 16．三棱锥P ABC -中，点P 到A 、B 、C 三点的距离均为8，PA PB ⊥，PA PC ⊥，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，此时cos PAO ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______.【答案】【解析】先证明出PA ⊥平面PBC ，根据cos PAO ∠=计算出AD 、BD ，并证明出点D 为BC 的中点，可得出BC ，利用勾股定理可证明出PB PC ⊥，然后构造正方体模型可求出三棱锥P ABC -外接球的半径长，最后利用球体体积公式可计算出结果. 【详解】因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=,故PA ⊥平面PBC ，因为8PA PB PC ===，故AB AC ==cos3PA PAO AD ∠==Q ，AD ∴===BD ==PA ⊥Q 平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BC PA ∴⊥.PO ⊥Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PO ∴⊥.PA PO P =Q I ，BC ∴⊥平面PAO ，PD ⊂Q 平面PAO ，PD BC ∴⊥，8PB PC ==Q ，D ∴为BC 的中点，2BC BD ∴==222PB PC BC ∴+=.故PC PB ⊥，构造正方体模型可知，四面体P ABC -的外接球半径2R ==，因此，三棱锥P ABC -外接球的体积为(343V π=⨯=.故答案为：2563π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积的计算，解题的关键在于推导出线面垂直关系，并结合几何体的结构找出合适的模型计算出外接球的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3m a sinA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，，()n cosC c =r ，，b m n =⋅r r．（1）求角A 的大小；（2）若a =3，求△ABC 的周长L 的取值范围． 【答案】（1）3A π=（2）L ∈（6，9]【解析】（1）由条件b m n =⋅r r可得3b acosC =，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得3tanA =A ；（2）利用余弦定理再结合基本不等式，求得3＜b+c≤6，即可得到周长L 的范围． 【详解】（1）由题意33m a sinA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，，()n cosC c =r ，，b m n =⋅r r． 所以33b acosC =+， 由正弦定理，可得33sinB sinAcosC sinCsinA =+， 因为()B A C π=-+，所以sinB=sin （A +C ）=sinAcosC+cosAsinC ，又由(0,)C π∈，则sin 0C >， 整理得3tanA =，又因为(0,)A π∈，所以3A π=．（2）由（1）和余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即2222232cos3b c bc b c bc π=+-=+-，即229b c bc +-=，整理得2()39b c bc +-=，又由2()2b c bc +≤（当且仅当b=c=3时等号成立） 从而22219()3()()24b c b c b c +≥+-=+，可得b+c ≤6， 又b+c ＞a=3，∴3＜b+c ≤6，从而周长L ∈（6，9]. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和的应用，以及基本不等式求最值的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18．如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PB BC ⊥，PD CD ⊥，且PA AB =，E 为PD 中点．(1)求证：PA ⊥平面ABCD ； (2)求二面角A BE C --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 10. 【解析】（1）推导出BC AB ⊥，BC PB ⊥，从而BC ⊥平面PAB ，进而BC PA ⊥．求出CD PA ⊥，由此能证明PA ⊥平面ABCD ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A BE C --的正弦值．【详解】（1）∵底面ABCD 为正方形， ∴BC AB ⊥，又BC PB ⊥，AB PB B ⋂=， ∴BC ⊥平面PAB ， ∴BC PA ⊥.同理CD PA ⊥，BC CD C ⋂=， ∴PA ⊥平面ABCD .（2）建立如图的空间直角坐标系A xyz -，不妨设正方形的边长为2.则 (0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(2,0,0)B设(;,)m x y z =r为平面ABE 的一个法向量，又(0,1,1)AE =u u u r ，(2,0,0)AB =u u u r ，020m AE y z m AB x ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩u u u v v u u uv v ，令1y =-，1z =，得(0,1,1)m =-r 同理(1,0,2)n =r 是平面BCE 的一个法向量， 则10cos ,||||25m n m n m n ⋅<>===⨯r rr rr r . ∴二面角A BE C --的余弦值为10-.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，其右焦点为()1,0F ，且点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．()1求椭圆C 的方程；()2设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线4x =于Q 点，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上．【答案】（1）22143x y += （2）见解析【解析】（1）设椭圆的方程为22221x y a b +=，由题意可得2222211914c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++-=，根据韦达定理求出点Q 的坐标，根据向量即可求出//AN AQ u u u r u u u r ，且向量AN u u u r 和AQ uuur 有公共点A ，即可证明．【详解】（1）不妨设椭圆的方程为22221x y a b+=，(0)a b >>.由题意可得2222211914c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =，故椭圆的方程22143x y +=.（1）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得22(34)690m y my ++-=223636(34)0m m ∆=++>Q122634m y y m ∴+=-+，122934y y m =-+， Q 直线BM 的方程可表示为11(2)2y y x x =--， 将此方程与直线4x =成立，可求得点Q 的坐标为112(4,)2y x -， 22(2,)AN x y ∴=+u u u r ，112(6,)2y AQ x =-u u u r ， ()()()211212211622226222y x y x y y x x x --+-+=--Q ()()()2112161221212y my y my my ⎡⎤⎡⎤+--++⎣⎦⎣⎦=+-()22121211964()6()463434011mm my y y y m m my my ----+++===--，//AN AQ ∴u u u r u u u r ，Q 向量AN u u u r 和AQ uuur 有公共点A ，A ∴，N ，Q 三点在同一条直线上．【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识，是中档题．20．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶甲、乙两村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况.子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查.并把调查结果转化为各户的贫困指标x .将指标x 按照[)0,0.2，[)0.2,0.4，[)0.4,0.6，[)0.6,0.8，[]0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x ≤<，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”，且当0.8 1.0x ≤≤时，认定该户为“低收入户”；当00.2x ≤<时，认定该户为“亟待帮助户".已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的24%.（1）完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关：甲村 乙村 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计（2）某干部决定在这两村贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取3户进行帮扶，用X 表示所选3户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望EX .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0k2.0722.7063.8415.024【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关（2）详见解析【解析】（1）根据频率分布直方图，通过计算，完成列联表，同时根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，计算出2K 的值，对照表格得出结果. （2）求出X 分别为0，1，2，3时的概率，求出X 的分布列，进而可求出数学期望EX . 【详解】解：（1）由题意可知，甲村中“绝对贫困户”有500.2412⨯=（户），甲、乙两村的绝对贫困户有()0.250.500.750.210030++⨯⨯=（户），可得出如下列联表：()221001232183812 2.706307050507K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯.故没有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关.（2）贫困指标在[)00.4,的贫困户共有()0.250.50.210015+⨯⨯=（户），“亟待帮助户”共有0. 250.21005⨯⨯=（户）， 依题意X 的可能值为0，1，2，3，()31031524091C P X C ====，()2110531545191C C P X C ====， ()1210531520291C C P X C ====，()353152391C P X C ====， 则X 的分布列为故24452020123191919191EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查列联表的完善，独立性检验，以及分布列及数学期望，是中档题.21．已知函数()2ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在()0,∞+内单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>． 【答案】（Ⅰ）e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅱ）见证明【解析】（I ）先求得函数的导数，根据函数在()0,∞+上的单调性列不等式，分离常数a 后利用构造函数法求得a 的取值范围.（II ）将极值点12,x x 代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转化为证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，利用构造函数法证得上述不等式成立. 【详解】（I ）()ln 24f x x ax +'=-． ∴()f x 在()0,∞+内单调递减，∴()ln 240f x x ax =+-≤在()0,∞+内恒成立，即ln 24x a x x ≥+在()0,∞+内恒成立． 令()ln 2x g x x x =+，则()21ln xg x x--'=， ∴当10e x <<时，()0g x '>，即()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内为增函数； 当1x e >时，()0g x '<，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内为减函数． ∴()g x 的最大值为1g e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴e,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ， 则()ln 240f x x ax =+-='在()0,∞+内有两根1x ，2x ， 由（I ），知e 04a <<．由1122ln 240ln 240x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-． 不妨设120x x <<，∴要证明1212x x a +>，只需证明()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--． 即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，亦即证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+． 令函数． ∴22(1)'()0(1)x h x x x --=≤+，即函数()h x 在(]0,1内单调递减． ∴()0,1x ∈时，有()()10h x h >=，∴2(1)ln 1x x x ->+． 即不等式12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+成立． 综上，得1212x x a +>． 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数，考查利用导数研究函数极值点问题，考查利用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t x y t x=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ<<），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()12cos28cos ρθθ-=．（1）判断直线l 与曲线C 的公共点的个数，并说明理由；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A B ，，点()11P -，，若1143PA PB -=，求tan α的值．【答案】（1）两个，理由见解析；（2）43. 【解析】（1）先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得到一元二次方程，根据判别式，即可判断出结果； （2）先由（1）设方程()22sin 2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=的两根为12t t ，，得到1222sin 4cos sin ααα++=t t ，12230sin α-⋅=<t t ，再由1143PA PB -=，得到121224sin 2cos 33αα+=+=⋅t t t t ，求解即可得出结果. 【详解】（1）由()1cos28cos ρθθ-=得2sin 4cos ρθθ=，所以22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =，将直线l 的参数方程代入24y x =，得()()21sin 41cos t t αα-+=+， 即()22sin 2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=，由0απ<<知2sin 0α>，()222sin 4cos 12sin 0ααα∆=++>，故直线l 与曲线C 有两个公共点；（2）由（1）可设方程()22sin2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=的两根为12t t ，， 则1222sin 4cos sin ααα++=t t ，12230sin α-⋅=<t t ， 故12121124sin 2cos 33PA PB t t PA PB PA t t αα-+-===+=⋅， ∴22sin 4sin cos 4cos 4αααα++=，即24sin cos 3sin ααα=， ∴4tan 3α=. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及由参数的方法判断直线与曲线位置关系，熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及参数方法研究曲线的弦长等即可，属于常考题型.23．已知函数()1f x x a x =++-.（1）当2a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）若关于x 的不等式()5f x x ≤-的解集包含[]0,2，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(][),37,x ∈-∞-+∞U （2）40a -≤≤【解析】（1）按21,21,x x x ≤-≥-<<进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为()15f x x a x x =++-≤-在[]0,2x ∈时恒成立，按[]0,1x ∈和(]1,2x ∈分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的a 的范围，再取交集，得到答案.【详解】解：（1）当2a =时，()218f x x x x =++-≥+等价于 1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或2138x x -≤<⎧⎨≥+⎩或2218x x x <-⎧⎨--≥+⎩， 解得7x ≥或x ∈∅或3x ≤-，所以不等式的解集为：(][),37,x ∈-∞-+∞U .（2）依题意即()15f x x a x x =++-≤-在[]0,2x ∈时恒成立，当[]0,1x ∈时，15x a x x ++-≤-，即4x a +≤，所以44a x a --≤≤-对[]0,1x ∈恒成立 ∴4014a a --≤⎧⎨≤-⎩，得43a -≤≤； 当(]1,2x ∈时，15x a x x ++-≤-， 即62x a x +≤-，6226x a x x ≤+≤-- 所以636a x x a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩对任意(]1,2x ∈恒成立， ∴62326a a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩，得04a a ≤⎧⎨≥-⎩∴40a -≤≤， 综上，40a -≤≤.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.。

河南省中原名校（即豫南九校）2020届高三第六次质量考评理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,1A x x B x x =<=<，则（ ）A ．AB Ü B ．A B R ⋃= C. B A Ü D ．{}1A B x x ⋂=< 2.已知复数(),,2a ix yi a x y R i+=+∈+，则2x y +=（ ） A ．1 B ．35C. 35- D ．1-3.已知双曲线()2222:10,0a x y C a b b >->=的渐近线与圆()2221x y +-=有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．[)2,+∞ C.⎛ ⎝⎦ D ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭ 4．若向量1tan 67.5,cos157.5a ⎛⎫=︒ ⎪︒⎝⎭，向量()1,sin 22.5b =︒，则a b ⋅=（ ）A ．2B ．2- D ． 5.已知命题()()()000:0,,p x f x f x ∃∈+∞-=，命题()():,q x R f x f x ∀∈-=.若p 为真命题，且q 为假命题，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()1f x x =+B ．()21f x x =+ C.()sin f x x = D ．()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这几何体的表面积为（ ）A ．31B ．52 C. 34+．22+7.我国东汉时期的数学名著《九章算术》中有这样个问题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？设总人数为x ，鸡的总价为y ，如图的程序框图给出了此问题的一种解法，则输出的,x y 的值分别为（ ）A ．7,58B ．8,64 C.9,70 D ．10,768.已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，若集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ）A ．35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦9.函数()x x f x e ae -=+与()2g x x ax =+在同一坐标系内的图象不可能是（ ）A． B．C.D ．10.已知,,,A B C D 是球O 表面上四点，点E 为BC 的中点，若,,120AE BC DE BC AED ⊥⊥∠=︒,2AE DE BC ===，则球O 的表面积为（ ）A ．73πB ．283π C. 4π D ．16π11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点,P Q ，使得以PQ 为直径的圆过点()2,D t -，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),13,-∞-⋃+∞ B ．[]1,3-C.(),22⎡-∞⋃++∞⎣ D．2⎡⎣ 12.已知函数()()ln 10xf x x a a=-->，若()y f x =与()()y f f x =的值域相同，则a 的取值范围是（ ）A ．310,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．210,e ⎛⎤⎥⎝⎦C. (]0,1 D ．(]1,e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()()621x x y --的展开式中25x y 的系数为_ ．14. 已知不等式组1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，若对任意的()00,x y D ∈，不等式00426t x y -<-+ 4t <+恒成立，则实数t 的取值范围是_ ．15. 已知函数()11112f x x x x =++++，由()111111f x x x x -=++-+是奇函数，可得函数()f x 的图象关于点()1,0-对称，类比这一结论，可得函数()237126x x x g x x x x +++=++++++的图象关于点_ 对称.16. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设ABC ∆的面积为S ，若22232a b c =+，则222Sb c +的最大值为_ ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 的公差10,0d a ≠=，其前n 项和为n S ，且2362,,a S S +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()2121n n n b S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：122n T n -<. 18.下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元），其中年份代码x =年份2013-.（1）已知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测2020年该百货零售企业的线下销售额；（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种）， 其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？ 参考公式及数据：1221ni ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，a y bx =-，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2AB AC AD PB PB AC ====⊥,.（1）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）若45PBA ∠=︒，试判断棱PA 上是否存在与点,P A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所，若存在，求出AE AP的值；若不存在，请说明理由.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e ，且椭圆C 与圆224:3O x y +=的4个交点恰为一个正方形的4个顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A 为椭圆C 的下顶点，,D E 为椭圆C 上与A 不重合的两点，若直线AD 与直线AE 的斜率之和为2a ，试判断是否存在定点G ，使得直线DE 恒过点G ，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数()212x f x e x ax =-+.（1）当1a >-时，试判断函数()f x 的单调性；（2）若1a e <-，求证：函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0,r ϕ>为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为()22cos 26ρθ+=.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若()12,,,2A B πραρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，求2211OA OB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()2,1f x x a g x bx =-=+.（1）当1b =时，若()()12f xg x +的最小值为3，求实数a 的值； （2）当1b =-时，若不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CABAC 6-10: BCDCB 11、12：DA二、填空题13. 12- 14. ()3,5 15.7,62⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题17.（1）由10a =得()1n a n d =-，()12n n n dS -=，因为2342,,a S S +成等比数列，所以()23242S a S =+， 即()()2326d d d =+⋅，整理得23120d d -=，即240d d -=， 因为0d ≠，所以4d =， 所以()()14144n a n d n n =-=-=-. （2）由（1）可得()121n S n n +=+，所以()()()221212121n n n n b S n n +++==+()1111222121n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以1111112122231n T n n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭111212212n n n ⎛⎫=+-<+ ⎪+⎝⎭， 所以221n T n -<. 18.（1）由题意得 2.5,200x y ==，4421130,2355ii i i i x x y ====∑∑，所以4142221423554 2.520035571304 2.554i ii i i x yxyb x x==--⨯⨯====-⨯-∑∑，所以20071 2.522.5a y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为7122.5y x =+.由于201820135-=，所以当5x =时，71522.5377.5y =⨯+=， 所以预测2020年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元. （2）由题可得22⨯列联表如下：故2K 的观测值()210510304520 6.10955503075k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于6.109 5.024>，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续増长所持的态度与性别有关.19.（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，AD =BC AD ==， 又2AB AC ==，所以222AB AC BC +=，所以AC AB ⊥， 又PB AC ⊥，且AB PB B ⋂=，所以AC ⊥平面PAB ， 因为AC ⊂平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC . （2）由（1）知,AC AB AC ⊥⊥平面PAB ，如图，分别以,AB AC 所在直线为x 轴、y 轴，平面PAB 内过点A 且与直线AB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,0,2,2,0A B C AC BC ==-由45PBA ∠=︒，PB =()1,0,3P -， 所以()()1,0,3,3,0,3AP BP =-=-，设()01AEAPλλ=<<， 则(),0,3AE AP λλλ==-，(),2,3CE AE AC λλ=-=--， 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即220330x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1z =，可得1x y ==，所以平面PBC 的一个法向量为()1,1,1n =， 设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则sin cos ,n CE θ===整理得2340λλ+=，因为01λ<<，所以2340λλ+>，故2340λλ+=无解，所以棱PA 上不存在与点,P A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC. 20.（1）因为椭圆C的离心率e ， =222a b =，因为椭圆C 与圆O 的4个交点恰为一个正方形的4个顶点，所以直线y x =与圆O 的一个交点⎝⎭在椭圆C 上，所以2222133a b +=， 由2222222133a b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （2）由（1）知()0,1A -，当直线DE 的斜率存在时，设直线DE 的方程为()1y kx t t =+≠±，代入2212x y +=得，()222124220k x ktx t +++-=，所以()()222216412220k t k t ∆=-+->，即2221t k -<.设()()1122,,,D x y E x y ，则2121222422,1212kt t x x x x k k -+=-=++， 因为直线AD 与直线AE 的斜率之和为2a ，所以121211AD AE y y k k x x +++=+=()()121212121112t x x kx t kx t k x x x x +++++++=+()22142222t kt k a t +⋅=-==-， 整理得1t k =-，所以直线DE 的方程为()111y kx t kx k k x =+=+-=-+， 显然直线()11y k x =-+经过定点()1,1.当直线DE 的斜率不存在时，设直线DE 的方程为x m =，因为直线AD 与直线AE 的斜率之和为2a ，设(),D m n ，则(),E m n -， 所以21122AD AE n n k k a m m m+-++=+===，解得1m =， 此时直线DE 的方程为1x =，显然直线1x =经过定点()1,1. 综上，存在定点()1,1G ，使得直线DE 恒过点G . 21.（1）由题可得()x f x e x a '=-+， 设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减，所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>， 所以函数()f x 在R 上单调递増.（2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増， 因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<，所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-，所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+， 令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=， 所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <， 故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. 22.（1）将曲线1C 的参数方程2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩化为普通方程为()2222x y r -+=， 即222440x y x r +-+-=，由222,cos x y x ρρθ=+=，可得曲线1C 的极坐标方程为224cos 40r ρρθ-+-=，因为曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22242403cos r π-⨯⨯+-=， 解得2r =(负值舍去），所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）因为()12,,,2A B πραρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线()22:2cos 26C ρθ+=上， 所以()212cos 26ρα+=，()222cos 22cos 262παρα⎡⎤⎛⎫++=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以22221211112cos 22cos 22663OA OB ααρρ+-+=+=+=. 23.（1）当1b =时，()()11112222a a a f x g x x x x x +=-++≥---=+， 因为()()12f xg x +的最小值为3，所以132a +=，解得8a =-或4. （2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<， 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3a x a <<， 因为不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1a >且132a <， 即312a <<，故实数a 的取值范围是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 欢迎访问“高中试卷网”——。