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线代课件2-1

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线性代数B21 矩阵的概念与运算PPT课件

线性代数B21 矩阵的概念与运算PPT课件
排成的 m行n列的矩形数表
a11 a12 a1n
a 21 a 22 a 2 n
a m 1 a m 2 a mn
称为m行n列矩阵，简称 m×n矩阵.
小括号 或中括号
为了表示是一个整体,总是在外面加一个括号,记作
11
一、 矩阵的概念
主对角线 a11
A
a21
副对角线 a m 1
1.2 矩阵的定义 元素间用空
a12
a1n
格隔开
a22
a2n
矩阵 A的
m , n 元
am2
amn
简记为
A Amn aij
aij
.
mn
m×n个数称为矩阵A 的元素,简称 元.
元素是实数的矩阵,称为实矩阵;
元素是复数的矩阵,称为复矩阵.
12
一、 矩阵的概念 1.2 矩阵的定义
例如： 1 0 3 5 是一个 24实矩阵, 9 6 4 3
a1n a2n
b1 b2
对线性方程组的研究 可转化为
对这张表的研究.
an1 an2 ann bn
8
一、 矩阵的概念 1.1 矩阵的相关例子
引例2 某航空公司在A,B,C,D四城市 之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了
四城市间的航班图,如果从A到B有航 A
班,则用带箭头的线连接 A 与B.
20
一、 矩阵的概念
1.3 一些特殊矩阵
特殊矩阵
只有行矩阵元素间
B C
四城市间的航班图情况常用表格来表示:
其中
表示有航班.
到站
A
B
C
D D
A 发站 B
C D
9
为了便于计算,把表中的 就得到一个数表:

线性代数课件2.1

线性代数课件2.1
北京科技大学《线性代数》 北京科技大学《线性代数》课程组
(2)一般情况 一般情况. 一般情况 进行一次对换, 中 进行一次对换 将排列 a1 L al ab1 L bm bc1 L cn (1) a,b进行一次对换, 得到排列为 a1 L al bb1 L bm ac1 L cn (2).
a1 Lal a b1 Lbm b c1 Lcn
b1a22 a12b2 x1 = , a11a22 a12a21
a11b2 b1a21 x2 = . a11a22 a12a21
(2.2)
为了便于记这个公式,于是引进二阶行列式的概念. 为了便于记这个公式,于是引进二阶行列式的概念. 我们定义二阶行列式为 a11 a12 a11 a12 =a11a22-a21a12. (2.3) 其中 A = A= . a21 a22 a21 a22
2.1.3 n阶行列式
考察三阶行列式
a11 A = a21 a31
a12 a22 a32
τ
a13 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a33 (123) 0a (231) 2 (312) 2 a a a a a a a a
13 22 31 11 23 32
a1 j1 a2 j2 L anjn .
(2.6)
其中,和号是对所有的 级排列求和(共n!项). 其中 和号是对所有的n级排列求和 和号是对所有的 级排列求和( 项 说明: 说明 (1) n阶行列式是 项的代数和 阶行列式是n!项的代数和 阶行列式是 项的代数和. (2) n阶行列式的每项都是位于不同行 不同列的元素的乘积 阶行列式的每项都是位于不同行,不同列的元素的乘积 阶行列式的每项都是位于不同行 不同列的元素的乘积. (3) 每项的行标排列为标准排列,正负号都取决于 列标排列 每项的行标排列为标准排列, 的逆序数. 的逆序数.

线性代数完整版ppt课件

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a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
.
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
.
6
二元线性方程组
为列标，表明元素位于第j
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
.
9
二元线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !

线性代数课件2-1(机械工业出版社)申亚男 张晓丹 李为东编

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一般对换
a1 ala b1 bm b c1 cn
a 1 a l b aa b1 bm a1 al b b1 bm aa c1 cn
定理2.1 一个排列中的任意两个元素对换，排 列改变奇偶性．
P64
推论
奇排列调成自然排列的对换次数为奇数， 偶排列调成自然排列的对换次数为偶数.
∵τ (32514) = 5， ∴排列32514是奇排列;
二元一次方程组的几何意义
方程组
⎧⎨⎩aa1211xx
+ +
a12 y a22 y
= =
b1, b2 .
可写成向量形式
x
⎛ a11
⎜ ⎝
a21
⎞ ⎟ ⎠
+
y
⎛ a12
⎜ ⎝
a22
⎞ ⎟ ⎠
=
⎛ b1
⎜ ⎝
b2
⎞ ⎟, ⎠
即
(1.1)
方程(1.1)有唯一解的条件：
不共线。
即 a11a22 − a12a21 ≠ 0 ⇔ a11 a12 ≠ 0
aij , i为行标；j为列标，2阶行列式包含2行2列4个元素。
二阶行列式的计算 对角线法则 P60
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 = a11a22 − a12a21 .
a22
2阶行列式与2阶矩阵不同，它是一 个数，不是数表；
它的值按式右端的代数式求得。
二阶行列式的几何意义 Δ = a11 a12
32514 → 12534 → 12354 → 12345
奇排列32514调成自然排列的对换次数为3次.
P64
2、n阶行列式的定义
定义2.4 设 n 阶矩阵 A= (aij )n×n , 称式子

线代CH2-1

线代CH2-1

逆序
定义 一个 排 列 中 逆 序的总数称为此排列的逆 序数. 记作 . 计算排列逆序数的方法 方法 分别计算出排列中每个元素前面比它大的 数字个数之和，即算出排列中每个元素的逆序 数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列 的逆序数.
例1
求排列32514的逆序数.
解： 在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0;
解： x 3 的项有两项,即 含 对应的两项和是
1 (1234) a11a22a33a44 1 1243 a11a22a34a43
由
1 (1234) a11a22a33a44 x 3 , 1 1243 a11a22a34a43 2 x 3
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k





0 1
1
2
2
0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
n1 解： nn 1n2321 n 2
所以 n 1 n 2 n 3 2 1
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
第二章
行列式
第一节
行列式的定义
一、排列及逆序
二、n阶行列式的定义
三、小结、思考题
一、排列及其逆序数
定义 由 1, 2,, n 组成的一个有序数列称为一个
n 级排列。
n 个不同的自然数，规定由小到大的排列为自然 顺序.

(完整版)《大学线性代数》PPT课件

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下特页点
结束
a11 a12 … a1n
a21
…
a22 … a2n … ……
=
(-1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn 。
an1 an2 … ann
n阶行列式共有n!项，且冠以正号的项和冠以负号的 项各占一半。
在行列式中，a1 j1 a2 j2 anjn 是取自不同行不同列
结束
例2．计算 n 阶下三角形行列式D的值： a11 0 0 … 0 a21 a22 0 … 0
D = a31 a32 a33 … 0 … … … …… an1 an2 an3 … ann
其中aii0(i=1, 2, , n)。
解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，
第一行只能取a11，第二行只能取a22，第三行只能取a33， ， 第 n 行只能取ann。 这样不为零的乘积项只有
结束
对换：
在一个排列i1isitin中，将两个数码 is与it对调， 就得到另一个排列 i1 it is in ，这样的变换称为一个 对换，记为对换(is , it)。
例如，排列 21354 经对换(1, 4)，得到排列24351。 提问：
排列 21354 经对换 (1, 4)，得到的排列是 24351， 排列的奇偶性有无变化？ 提示：
的 n 个元素的乘积。
a1 j1 a2 j2 anjn 之前的符号是 (-1) N(j1 j2 jn) 。
行列式有时简记为| a ij |。一阶行列式|a|就是a。
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四阶行列式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44

线性代数相关知识培训教程PPT课件( 93页)

那末 A称为对称阵.
例如A162
6 8
1 0
为对称. 阵
1 0 6
说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相
等.
同型矩阵与矩阵相等
1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
例如
1 5
2 6
与

14 8
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
Aij (1)i j Mij, Aij叫做元素 aij的代数余子.式
A a i1 A i1 a i2 A i2 a iA n in ( i 1 ,2 , ,n ) A a i1 A j1 a i2 A j2 a iA n jn ( i j)
例1 3 1 1 2 5 1 3 4
p1p2pn
列取 . 和
N阶行列式是一个数,该数是n!项的代数和, 每项为取自表中不同行不同列n个元素的乘 积,符号由这n个元素列标排列的逆序数决定 (行标按自然顺序排列),奇排列带负号,偶排 列带正号.
2. 行列式的性质
1)行列式与它的转置行式列相等,即D DT. 2)互换行列式的两行 (列),行列式变号. 3)如果行列式有两行 (列)完全相同,则此行列式 等于零. 4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 一数k,等于用数k 乘此行列式.
6）逆矩阵
伴随矩阵定义
行列式 A 的各个元素的代数余子式A ij 所
构成的如下矩阵
A11
A


A12
A1n
A21 An1 A22 An2 A2n Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
伴随矩阵性质
AA A AA E .
逆矩阵定义

行列式2-1,2,3讲解


a21 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
并且可以看到，二元线性方程组的求解问题其实就是
二阶行列式的计算问题.
9
例
求方程组5xx1173xx22
6 8
的解。
解：
5 D
1
3
7 5(7) 31 38 0
63
D1 8 7 6 (7) 3 8 66
4 9 x2 解 方程左端
D 3x2 4x 18 12 2 x2 9x
x2 5x 6,
由 x2 5x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
21
第二节 排列
1 排列 由自然数1, 2, , n 组成的一个有序数组
i1i2 in 称为一个n级排列。
注：n级排列中的n个数字必须都出现，n个数字不能重复。
56
D2 1 8 58 61 34
所以，x1

D1 D

66 38

33 ,
19
x2

D2 D

34 38

17 19
10
二、三阶行列式
主对角线法
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.

a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
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7
注: 1) 矩阵与行列式区别：行列式是一个算式；
矩阵是一个数的矩形列表。
2) 行列式 行数＝列数
矩阵 行数与列数不定
3) 当m=n时, 矩阵称为方阵; 4) 当两个矩阵A与B的行数与列数相同时称其为同型矩阵; 5) -A= (-aij)mn称为矩阵A的相反矩阵，或负矩阵; 6) 两个同型矩阵对应元素相等时称为相等矩阵,记为A=B; 7) 当一个矩阵的元素全为零时称为零矩阵,记为O; 注：在线性代数中作用类似数0
a11 a12 ai 1 ai 2 a m 1 a m 2
a1s b11 b21 ais bsn ams
14
b1 j b1n c11 c12 b2 j b2 n c21 c22 bsj bsn cm1 cm 2
b1a1 b1a 2 b1a 3 b a b a b a a3 2 1 2 2 2 3 b3 a1 b 3 a 2 b3 a 3
乘积的结果是 一个方阵
1 0 0 1 例4: 设 A , B 0 0 0 0
判断( A B)2 A2 2 AB B 2
18
用矩阵的乘法表示线性方程组:
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 2n n 2 设方程组为: 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
b1 j b1n c11 c12 b2 j b2 n c21 c22 bsj bsn cm1 cm 2
c1n c2 n cij cmn
a11 a12 ai 1 ai 2 a m 1 a m 2
6
称为一个m×n型矩阵,其中 ij 称为矩阵第i行第j列的元素. a 通常用黑体大写字母表示矩阵：A、B、C． 定义2.1中的矩阵可简记为
A (aij )mn 或 A (a ij )
1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0
0 0 引例1中的数表可记为下列矩阵: A 1 1
4 6 6 1 1 X (B A ) 4 4 2 2 2 2 6 4
所以
2 3 2 2 1 3
3 1 2
三)矩阵的乘法
A 【定义2.4】设 (aij )m s , B (bij ) s n , C (cij )m n ,其中
行矩 阵 对角矩 阵
8
特别的diag (c, c,, c )称为纯量矩阵或数量矩 . 阵
1 0 0 a11 a12 0 1 0 0 a 22 0 0 0 0 1 注：在线性代数中作用类似数1
单位矩阵E或
a1n a2n a nn
c1n c2 n cij cmn
注:
2)C AB
Ams Bsn
即第一个矩阵的列数必须 Why? 等于第二个矩阵的行数
A的列数＝B的行数
A的列数s，则A的一行里有s个数， 那么B的一列里要有 个数与之对应，即 有s行 s B
3)C AB
C的行数＝A的行数 C的列数＝B的列数
a11 0 a 21 a22 a n1 a n 2
0 下 0 三 角 矩 ann 阵
上三角矩阵
二、矩阵的运算
一）加法
设A (aij )mn 与 B (bij ) m n 是同型矩阵,规定矩
9
阵A与矩阵B的和为 (a ij＋bij ) mn
矩阵的数乘 ：k乘以A的任意一个元素 kA 数k 行列式：k乘以行列式的某一行或 某一列
11
例1
已知矩阵
4 1 9 2 1 5
7 3 1 2 A 1 5 7 B 5 5 4 3 3
且A＋ X＝B,求矩阵X 2
注：1)矩阵A与B是同型矩阵时,A+B才有意义;
2)减法：A-B定义为A+(-B); 3)矩阵的加法满足交换律与结合律。 【性质2.1】 1 A B B A; 2 A B C A B C .
3 A A O, A＋O A.
c1n c2 n cij cmn
注:1)乘积矩阵C AB中的元素cij等于左边矩阵( A)的第i行元素
依次乘右边矩阵 B )的第j列相应元素然后相加， ( 故简称行乘列法则。
例2
16 32 4 2 4 2 C 8 ? 16 1 2 22 3 6 22
1 解 由 A 2 X B X ( B A) 2 因为
6 6 7 5 4 3 1 2 4 5 1 1 5 4 4 2 B A 9 7 3 2 1 5 4 3 2 6 4
解:
16
求AB与BA
1 AB 0
0 BA 0
0 0 0 0
1 0
0 1 0 0 ;
AB 与BA相 等吗?
1 1 0 0 0 0 0 0 0 ; 0
印象
1)一般地矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA； 2）由AB=O 得不出A=O 或B=O.
a1s b11 b21 ais bsn ams
13
b1 j b1n c11 c12 b2 j b2 n c21 c22 bsj bsn cm1 cm 2
12
cij ai 1b1 j ai 2b2 j aisbsj ail blj
l 1
s
则称C为A与B的乘积,记为C=AB.
或:
a11 a12 ai 1 ai 2 a m 1 a m 2
a1s b11 b21 ais bsn ams
10
二)矩阵与数的乘法(矩阵的数乘)
【定义2.3】 设A ( a ij ) mn , k是一个实常数，规定 k与A的乘积为矩阵
( kaij ) mn , 记为 k A 或A k
运算规律: 【性质2.2】
1 2 3
0 A O;
ka11 ka21 kA Ak ka 1 A A m1
A A B C D 0 0 1 1 B 1 0 0 1 C 0 1 0 0 D 1 1 0 0
A
B
D
C
如果我们用0表示没有航班，用1表示有航班， 横写的行表示到港城市，竖写的列表示出港城市， 则可以用表反映四个城市的航班情况：
5Leabharlann 2.线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 的系数，可列成数表 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
即 : C mn Am s Bsn
C的行由A的行“生成” ，C的列由B的列“生成”
15
例3:
a1
a2
b1 a3 b2 a1b1 a2b2 a3b3 b3
a2
乘积的结果是 一个数
b1 b a 2 1 b3
不止是数学本身，在自然 科学和社会科学中，都经 常通过数表来表达各种量 相互间的联系。这个数表， 我们称为矩阵。
a11 a 21 am1
a12 a 22
a1 n a2n
a m 2 a mn
定义 【定义2.1】: 由m×n个数排成的m 行n 列矩形数表
a11 a 21 a m 1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn
第二章
矩阵及其运算
矩阵是线性代数的研究对象和重要工具,许多理 论问题和实际问题都可以用矩阵表示,并通过矩阵的 研究得以解决.尤其在计算机技术迅速发展的今天,矩 阵化数据处理已经成了最具有生命力的技术之一.
1.矩阵的概念与运算;
2.逆矩阵及其求法;
3.分块矩阵及其运算； 4.矩阵的初等变换及其秩；
【思考】 所有零矩阵都相等吗？
其它特型矩阵
列矩 阵
a11
a12 a1n

a11 a 21 a n1
a11 0 0 a 22 0 0
0 0 diag (a , a , , a ) 11 22 nn ann
3) 矩阵乘法不满足消去律，由AB =AC , 得不出 B=C.
17
运算规律
【性质2.3】 ⑴ OA=O、AO=O ⑵ EmA=AEn=A (其中A是m×n型的矩阵) ⑶ 结合律:A(BC)=(AB)C ⑷分配律:A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA 为什么? (5) (A)B A(B) 6) 方阵的幂Ak定义及其规律(k是非负整数): A0=En, A1=A, A2=AA,…,Ak+l=AkA ,… . 【性质2.4】AkAl =Ak+l , (Ak)l=Akl,一般情况下(AB)k≠AkBk
a11 b11 a21 b21 A B a b m1 m1
,记为A+B,即
a1n b1n ＋ a2 n b2 n ＋ amn＋bmn