补习2方程根的分布

二次方程的实根分布问题一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x 就做函数y=f(x)的零点.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。

实根分布问题一般考虑四个方面，即：①开口方向 ②端点函数值的正负 ③判别式 ④对称轴 设一元二次方程0=++2c bx ax 的两根为1x ，2x （12x x <）（1） 一个根大于k ，一个根小于k ，即12x k x <<（k 为常数，）{0<)(0>k f a（2)两根在区间[,]m n 内 （3）两根在区间[,]m n 外{n a b m n f m f <2<0>0>)(0>)(－∆ ()0()0f m f n ì<ïí<ïî 或 {n a b m a b n f m f >2<20>0>)(0>)(或－－∆(4)一内一外 ()()0f m f n <例1、已知二次方程0=4+)32(+2x m x －有且只有一个根在)1,0(内，求实数m 的取值范围.例2、 关于x 的方程()0142322=++++m x m x 有两个实根，（1）若一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围（2）有两实根在[]4,0内，求m 的取值范围例3、已知二次方程0=)2+5()12(+2m x m x －－的一个根小于1－,另一根大于1，求实数m 的取值范围.例4、已知二次方程2(21)2(1)0m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围.例5、已知方程2-++=有两个不等正实根，求实数m的取值范围.x m x m2(1)0例6、已知二次函数2=+-+++与x轴有两个交点，一个大y m x m x m(2)(24)(33)于1，一个小于1，求实数m的取值范围.例7、已知二次方程2(23)40mx m x+-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围.例8、函数2-上有零点，求a的取值范围。

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m ，由213m<<得223m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

分析：①由()()300f f -< 即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

二次方程根的分布情况归纳在数学的世界里，二次方程根的分布情况是一个非常重要的知识点。

它不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际的科学研究和工程应用中发挥着巨大的作用。

接下来，咱们就详细地探讨一下二次方程根的分布情况。

先来说说二次方程的一般形式：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（其中$a ＼neq 0$）。

判别式$＼Delta ＝ b^2 4ac$决定了方程根的情况。

当$＼Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实根；当$＼Delta ＝ 0$时，方程有两个相等的实根；当$＼Delta ＜ 0$时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

那根的分布情况又是什么意思呢？简单来说，就是给定一个区间，研究方程的根在这个区间内的个数、存在性等问题。

咱们先来看一种常见的情况：给定区间$（m,n)＄，方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$的根在此区间内。

这时候，我们要考虑以下几个条件。

首先，函数$f(x) ＝ ax^2 ＋ bx＋ c$在区间$（m,n)＄端点处的函数值的符号。

如果$f(m) ＼times f(n)＜0$，那么根据零点存在定理，方程在区间$（m,n)＄内至少有一个根。

然后，还要考虑对称轴$x ＝＼frac{b}｛2a}＄的位置。

如果对称轴在区间$（m,n)＄内，那么还需要满足判别式$＼Delta ＼geq 0$，才能保证方程在区间内有根。

再说说当给定区间是$（＼infty, m)＄或者$（n, ＋＼infty)＄的情况。

对于区间$（＼infty, m)＄，如果$a ＞ 0$，且$f(m) ＜ 0$，或者$a＜ 0$，且$f(m) ＞ 0$，同时判别式$＼Delta ＞ 0$，那么方程在这个区间内有根。

对于区间$（n, ＋＼infty)＄，如果$a ＞ 0$，且$f(n) ＜ 0$，或者$a＜ 0$，且$f(n) ＞ 0$，同样在判别式$＼Delta ＞ 0$的条件下，方程在这个区间内有根。

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a ）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,两根有且仅有一根在()n m ,（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,，另一根在()q p ,，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,，从而可以求出参数的值。

二次方程根的分布
1、一元二次方程
02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2
00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的
根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较 即根的正负情况）
k k k
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()
0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩
根的分布练习题
例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

例3、已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m
的取值范围。

例4、已知二次方程()2
2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

二次函数在闭区间上的最值练习
例2、求函数()[]2
21,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。

例3、求函数2
43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。

二次函数根的分布一、知识点二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（0>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a表二：（两根与k 的大小比较）分布情况两根都小于k 即k x k x <<21, 两根都大于k 即k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a ）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk表三：（根在区间上的分布）二、经典例题分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f例1：（实根与分布条件）已知βα, 是方程024)12(2=-+-+m x m x 的两个根，且βα<<2 ，求实数m 的取值范围。

二次函数根的分布本文介绍了一元二次方程根的分布情况以及与二次函数在闭区间上的最值归纳。

设方程 $ax^2+bx+c$ 的不等两根为$x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，相应的二次函数为$f(x)=ax^2+bx+c$，方程的根即为二次函数图象与 $x$ 轴的交点。

根的分布情况可归纳为三种情况，每种情况对应的均是充要条件。

第一种情况是两个负根即两根都小于 $0$，或两个正根即两根都大于 $0$，或一个正根一负根即一个根小于 $0$，一个大于 $0$。

此时，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 最小值为$\frac{\Delta}{4a}$，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 最大值为$\frac{\Delta}{4a}$。

第二种情况是两根与 $k$ 的大小比较，即两根都小于 $k$，或两根都大于$k$，或一个根小于$k$，一个大于$k$。

此时，当 $a>0$ 时，$f(k)$ 最小值为 $a(k-x_1)(k-x_2)$，当 $a<0$ 时，$f(k)$ 最大值为 $a(k-x_1)(k-x_2)$。

第三种情况是根在区间上的分布，包括两根都在$(m,n)$ 内，一根在 $(m,n)$ 内，另一根在 $(p,q)$，或两根有且仅有一根在 $(m,n)$ 内。

此时，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 最小值为 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 最大值为 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$。

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同时，需要对每段话进行简单的改写，以提高可读性。

根据图像，可以得出以下结论：1.当mf(n)且f(n)>b，则有f(m)*f(n)<2a；若有f(m)<f(n)且f(n)<b，则有f(m)*f(n)<2a；若有f(m)<f(n)<b，则有f(m)*f(n)<f(p)*f(q)。

二次方程根的分布情况归纳二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。

对于一个二次方程，可以通过求解其判别式来分析其根的分布情况。

判别式的公式为Δ = b² - 4ac，Δ可以通过求解来判断方程的根的类型和个数。

1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。

当判别式Δ大于零时，可以得出两个不相等的实根。

这意味着方程图像与x轴有两个交点，也就是图像在x轴上的截距为两个不相等的实数。

这种情况下，方程有两个解，一个解对应于图像与x轴交点的左侧，另一个解对应于图像与x轴交点的右侧。

2.当Δ=0时，方程有两个相等的实根。

当判别式Δ等于零时，可以得出两个相等的实根。

这意味着方程图像与x轴只有一个交点，也就是图像在x轴上的截距相等。

这种情况下，方程有两个相等的解，对应于图像与x轴交点的位置。

3.当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

当判别式Δ小于零时，可以得出方程没有实根。

这意味着方程图像与x轴没有交点，图像完全位于x轴的上方或下方。

但是，方程仍然有两个根，称为共轭复根，其中一个虚部为正，一个虚部为负。

这种情况下，方程的解无法在实数域内找到，需要在复数域中寻找。

在二次方程根的分布情况中，可以根据判别式Δ的正负来进行分类。

其中，Δ>0时有两个不相等的实根，Δ=0时有两个相等的实根，而Δ<0时没有实根但有两个共轭复根。

此外1.当a=0时，方程退化为一次方程。

当二次方程中a的系数为0时，方程退化为一次方程，形式为bx + c = 0。

这种情况下，方程只有一个解，即x = -c/b，对应于直线与x轴的交点。

2. 当b² - 4ac = 0时，方程有两个相等的实根。

当判别式Δ等于零时，有特殊情况。

此时，方程的两个根相等，即x₁=x₂=-b/2a。

此时方程图像在x轴上的截距相等，方程只有一个解。

总结起来，二次方程根的分布情况主要根据判别式Δ的正负进行分类。