课标通用高考数学一轮复习课时跟踪检测19理

第2讲函数的表示法知能训练1.若f(x+2)=2x+3,则f(x) = ( )A. 2x+1B. 2x—1C. 2x—3D. 2%+712.已知代方=-^(无工±1),贝9()A. fg・ f( — x)=lB. f( — x)+f(x)=OC. f\x) • f\ — x) = —1D. f( —/)+f(x)=l3.(2017年安徽黄山质检)已知是一次函数，且代代力]=/+2,则f(x)=( )A. x~\~ 1B. 2x—1C. ~x+1D. x+1 或一x—14.下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是( )A. f\x) = |B. f{x)=x-\x\C. f^=x+\.D. f3=_x5.如图X2-2-l(l),在直角梯形力跑中，动点P从点B出发，由B-CfXA沿边运动,设点P运动的路程为x, AMP的面积为f(x).若函数y=f3的图象如图X2-2-K2), 则△九力的面积为()A. 10B. 32C. 18D. 166.若函数fg , gd)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f\x) 一财=£,则有() A.f(2)<f(3)<g(0) B. g(0)53)52)C. f(2)<g(0心(3)D. g(0)〈f(2)</*(3)27.己知函数f(x) =2*+] + sin 才，则f( —2) + f( —1) + f(0) + f(l) + f(2) = ___________ .8.(2016 年浙江)设函数f(x) =x +3#+l.已知日HO,且f{x)— /(a) = (x—b) (x—a)2fx丘R, 贝实数臼= ________ , b=_________ .窜质丹华9.根据条件求下列各函数的解析式：(1)已知fCr)是二次函数，若f(0)=0, f{x+1) = f(x) +x+1,求代v)的解析式;(2)已知求心的解析式；(3)己知f\x)满足2f(x) +4£)=3X,求f\x)的解析式.10.定义：如果函数y=f{x)在定义域内给定区间［曰,b］上存在xo(a<xo<H),满足fg) r A— f o= ------ ,则称函数y=f^)是［幼方］上的“平均值函数”，心是它的一个“均值点”.如尸=/是［—1,1］上的平均值函数，0就是它的均值点.(1)判断函数f(x) = -x2+^x在区间［0,9］上是否为平均值函数.若是，求岀它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数#+/加+1是区I'可［―1, 1］上的平均值函数，试确定实数加的取值范围.第2讲函数的表示法 1. B 2. A3. A 解析：设 f(必=kx~\~b,则由 ] =x+2,可得 k(kx+b) +Z?=x+2,即&■ +kb+b=x+2. AA 2=1, kb+b=2.解得 k=\,力=1,则 f(x)=x+l.故选 A.4. C 解析：将f(2力表示出来，看与2f\x)是否相等.对于A, f(2x) = |2” =2|” = 2A%);对于 B, f<2x} =2x- 12^| =2 (x~ | ) =2f(x)；对于 C, f(2x) =2/+lH2f(Q ；对 于D, f(20=—2x=2f(0.故只有C 不满足f(2方=2fCr).故选C.5. D 解析：由y=f(x)的图象，得当x=4和x=9时，胪的面积相等，:・BC=4, BC+CD=g,即 CD=5.易知初=14一9 = 5.如图 D90,过点〃作 DEVAB 于点 £ •: Z 3=90° , :・DE=BC=4.在 Rt △必〃中，AE=pA#_DF=3. :.AB=AB'+E'B=3 + 5=S.1 1・・・ S^=-ABX BC=~X 8 X 4 = 16.6. D 解析：仁 _xf — x —g — x =e ,所以 f(2)=匸1，f(3)=—「，g(O)= — l ・ 显然 g(0)<f(2)〈f(3).故选 D.AO) =b ••• f(一2) + f(—1) + AO) +A1)+ A2) = 5.8. —2 1 解析：f{x) — =x+^x +1 —』一3/—1 = /+3,—3/, (x_D {x-2a-b=Z.— a) 2=x~ (2a+Z?) •(a 2+2atl) x — a b,所 a +2aA=0,2 i3 o 2 { — a b=_a ~5a.d — —2, b=1.9.解：⑴ 设 /(%) = ax + bx+ ,由 AO) =0,得 f{x) =ax +bx. 又由 f(x+l) =f(x)+x+l,得日(x+1)'+〃(/+1) =ax+bx+ x+1, 即 /+(2日+b)卄日+〃=/+(方+l)x+l.2臼+ b= b+1,* 日HO,・：曰=Z?=a+ b={.因此 f{x) =*#+*¥.7. 5解析:2*/ f(x) +/( — %) =2 ]+ sin ^4 2 2^+1sin 尸侖+2x+1 1+2”解得尸0(舍去)解得g =三二，如二咎.1 —x 1 — /*(2)t=-~,由此，得^=7—(t^-1).1 + x 1 + t从而fd)的解析式为/'(%)=・丄飞(好-1) • 1十X(3)・・・2fd)+£ = 3x,①・••把①中的x换成丄，得X2绘+f(心•②3① X2—②,得3/(A)=6X—•x・"3=2「卄0).10. ----------------------------------------------------------------------------- 解:(l)rtl定义知，关于的方程一#+心=——占------------------------------------------- 在(0, 9)±有实数根时, 函数fd) = —/+4尢是［0, 9］上的平均值函数.• I f — f而一x+4x=心不可解得山=5, &= — 1.又山=5丘(0, 9)［曲=—1年(0, 9),故舍去］,・・・f3 =—芒+心是［0, 9］上的平均值函数，5是它的均值点.(2) V f^=~x+mx+ \是［一1, 1］上的平均值函数，・・・关于x的方程一#+〃圧+1= —在(一1,1)内有实数根.由一x + mx-\-1 = : , 得”一mx-\-m—1=0.1 ——解得 =A2=l.又呈=1毎(一1, 1),:,x\ = m— 1 必为均值点，即-l<iw-l<l.・••所求实数m的取值范围是0〈冰2.。

2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n 项和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100D ．200解析：a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100. 答案：C2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D ．558解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：A3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.答案：A4．(xx 届太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.答案：B5．(xx 届莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017解析：由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.答案：D6．(xx 届海口市调研测试)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12 B ．1716 C ．2D ．17解析：设{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B.答案：B7．(xx 届衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1解析：因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.答案：C8．(xx 届广州市五校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，所以a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，所以a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211. 答案：C9．由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________. 解析：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1a 10)·(a 2a 9)·…·(a 5a 6)＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.答案：2510．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.答案：3n －111．(xx 届南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5， 即2a 6－3a 5＋a 4＝0， 所以2q 2－3q ＋1＝0， 因为q ≠1， 所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝81＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．∵4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2符合上式，∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥1)， ∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 22a n ＋1－a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．[能 力 提 升]1．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________．解析：T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0<a 1<a 2<…<a 14<a 15<1<a 16<a 17<…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.答案：152．(xx 届山西吕梁质检)已知数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，则这个数列的前2 018项之积T 2 018等于________．解析：数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，这个数列的前8项分别为2,8,4，12，18，14，2,8，易得从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项积为2×8×4×12×18×14＝1.又因为2 018＝336×6＋2，所以这个数列的前2 018项之积T 2 018＝1336×2×8＝16. 答案：163．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n.2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.4数列求和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．2 015B ．－2 015C ．3 021D ．－3 022解析：由题知a 1＝tan(180°＋45°)＝1，∴a 5＝13 ∴d ＝a 5－a 15－1＝124＝3. ∴a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. 设b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 014＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－6 037＋6 040)＝3×1 007＝3 021.故选C. 答案：C2．设{a n }是公差不为零的等差数列，a 2＝2，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4 B ．n 22＋3n 2C.n 24＋3n4D ．n 22＋n2解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则 由a 23＝a 1a 9得(a 2＋d )2＝(a 2－d )(a 2＋7d )， 代入a 2＝2，解得d ＝1或d ＝0(舍)． ∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n ， ∴S n ＝a 1＋a n n2＝1＋n n 2＝n 22＋n 2.故选D. 答案：D3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36解析：设等比数列{a n }的公比为q 则a 21q 3＝2a 1，①a 1q 3＋2a 1q 6＝52，②解得a 1＝16，q ＝12，∴S 5＝a 11－q 51－q＝31，故选B.答案：B4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝32S n ，求{c n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{b n }的公差为d ， ∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2＋3d ＝18，6＋d ＝q 2.求得q ＝3，d ＝3，∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意得S n ＝n 3＋3n2，c n ＝32S n ＝32×23×1n n ＋1＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.5．(xx 届广州综合测试)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2. 所以a n ＝a 2qn －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1， 所以a n b n ＝(2n －1)2n，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n＋(2n －1)·2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×41－2n －11－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.6．S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.7．已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)． (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n(n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立， 求实数λ的取值范围．解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5， 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6， 所以{a n }是等差数列，首项为1，公差为6， 即a n ＝6n －5. (2)因为b n ＝2n， 所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2，由λa n >2n＋n ＋2λ得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，令f (n )＝12＋n 2n ＋1，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0， 所以12＋n2n ＋1在n ≥1时单调递减，所以当n ＝1,2时，2n＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞. [能 力 提 升]1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以S n ＝2n 2－n ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. a 1＝1＝4×1－3，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)． 当n 为偶数时，T n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n －7)＋(4n －3)]＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1，综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.2．在数列{a n }中，已知a n >1，a 1＝1＋3，且a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，记b n ＝(a n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：13≤1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <34.解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，所以a 2n ＋1－a 2n －2a n ＋1＋2a n ＝2， 即(a n ＋1－1)2－(a n －1)2＝2. 又b n ＝(a n －1)2，n ∈N *，所以b n ＋1－b n ＝2，数列{b n }是以b 1＝(1＋3－1)2＝3为首项，2为公差的等差数列， 故b n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)证明：由(1)得S n ＝n 3＋2n ＋12＝n (n ＋2)，所以1S n ＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，n ∈N *， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<34.记T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n，因为1S n>0，n ∈N *，所以T n 单调递增．故T n ≥T 1＝1S 1＝13.综上13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34.3．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2n ＋a n ＝2S n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.解：(1)因为当n ∈N *时，a 2n ＋a n ＝2S n ， 故当n >1时，a 2n －1＋a n －1＝2S n －1，两式相减得，a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1.因为a n >0，所以a n ＋a n －1>0，所以当n >1时，a n －a n －1＝1.又当n ＝1时，a 21＋a 1＝2S 1＝2a 1，得a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＝n .(2)证明：由(1)及等差数列的前n 项和公式知S n ＝n n ＋12，所以S n ＝ n n ＋12>n 22＝n2， 所以S 1＋S 2＋…＋S n >12＋22＋…＋n 2＝ 1＋2＋…＋n 2＝S n 2. 又S n ＝ n n ＋12<n ＋122＝n ＋12， 所以S 1＋S 2＋…＋S n <22＋32＋…＋n ＋12＝1＋2＋…＋n ＋12－12＝S n ＋1－12， 所以S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.。

课时跟踪检测(十九) 三角函数图像与性质(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．函数y ＝ cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z D ．R2．(2013·洛阳统考)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图像关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 3．(2014·聊城期末)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2 D ．34．(2014·安徽黄山高三联考)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且其图像关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数 5．(2013·浙江高考改编)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的________条件． 6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．7．设f (x )＝1－2sin x .(1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·福州质检)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值；(2)试写出一个函数g (x )，使得g (x )f (x )＝cos 2x ，并求g (x )的单调区间．2.(创新题)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值．3．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 2．选A 依题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6，选A. 3．选B ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2， ∴ω≥32. 4．选B f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ， ∵其图像关于x ＝0对称，∴f (x )是偶函数， ∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π6＝2cos 2x .易知f (x )的最小正周期为π，在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数． 5．解析：若f (x )是奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )；当φ＝π2时，f (x )为奇函数． 答案：必要不充分6．解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1≤1， 即值域为[－1,1]；且当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1， 即x ＝π12时，y 取最大值． 答案：[－1,1] π127．解：(1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图像知：定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z . (2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3，∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3，∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值． 8．解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2. (2)f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π6，32时， sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f ⎝⎛⎭⎫π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫π12＋π4＝2sin π3＝62. (2)g (x )＝cos x －sin x .理由如下：因为g (x )f (x )＝(cos x －sin x )·(sin x ＋cos x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ， 所以g (x )＝cos x －sin x 符合要求．又g (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 由2k π＋π<x ＋π4<2k π＋2π，得2k π＋3π4<x <2k π＋7π4，k ∈Z . 所以g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π＋3π4，2k π＋7π4，k ∈Z . 由2k π<x ＋π4<2k π＋π，得2k π－π4<x <2k π＋3π4，k ∈Z . 所以g (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z . 2．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ， 所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线y ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤23π，π， sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3∈⎣⎡⎤0，32， f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12， 即此时y ＝g (x )的最大值为12. 3．解：(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

课时规范练19 两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式基础巩固组1.tan1°+tan44°1-tan1°tan44°=( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2答案:A解析:tan1°+tan44°1-tan1°tan44°=tan45°=1.2.(2021湖南衡阳八中高三月考)计算cos 5π12cos π6+cos π12sin π6=( ) A.0 B .12C .√22D .√32答案:C解析:cos 5π12cos π6+cos π12sin π6=cos 5π12cos π6+sin 5π12sin π6=cos5π12−π6=cos π4=√22. 3.(2021福建师大附中模拟预测)已知点P (1,2√2)是角α终边上一点,则cos π6-α等于( )A .2√2+√36 B .2-√66C.-3+√66D .√6-36答案:A解析:由题意可得sin α=2√23,cos α=13,cosπ6-α=cos π6cos α+sin π6·sin α=√32×13+12×2√23=2√2+√36.4.下列各式值为12的是( ) A.2sin 15°cos 15° B .1+tan15°2(1-tan15°) C.1-2sin 215°D .3tan15°1-tan 215°答案:A解析:对于选项A,2sin15°cos15°=sin30°=12;对于选项B,1+tan15°2(1-tan15°)=tan45°+tan15°2(1-tan45°tan15°)=12tan(45°+15°)=12tan60°=√32; 对于选项C,1-2sin 215°=cos30°=√32; 对于选项D,3tan15°1-tan 215°=32·2tan15°1-tan 215°=32tan30°=√32.故选A .5.(2021云南昆明模拟)tan 87°-tan 27°-√3tan 27°tan 87°=( ) A.2 B .√3 C.-2 D.-5答案:B解析:tan87°-tan27°-√3tan27°tan87°=tan(87°-27°)(1+tan27°tan87°)-√3tan27°tan87°=√3(1+tan27°tan87°)-√3tan27°tan87°=√3. 6.(2021贵州黔东南模拟预测)设tan(α-β)=2,tan α=4,则tan β=( ) A.-67 B .79C.-27D .29答案:D解析:tan β=tan[α-(α-β)]=tan α-tan(α-α)1+tan αtan(α-α)=29.7.(2021宁夏中卫一模)已知cos θ-π4=15,则sin 2θ=( ) A .225B .2325C.-225D.-2325答案:D解析:cos θ-π4=15,得cos θcos π4+sin θsin π4=15,则cos θ+sin θ=√25,上式平方得cos 2θ+2sin θcos θ+sin 2θ=225,得1+sin2θ=225,即sin2θ=-2325.8.(2021山东泰安模拟)已知cos α≠0,且4sin 2α-3cos 2α=3,则tan α=( ) A .35B.±35C .34D.±34答案:C解析:由4sin2α-3cos2α=3,可得4sin2α=3cos2α+3=6cos 2α,即8sin αcos α=6cos 2α.因为cos α≠0,可得4sin α=3cos α,即tan α=34.9.(2021重庆七中模拟)已知cos x=13,则sin 2x-π2= . 答案:79解析:sin 2x-π2=-cos2x=1-2cos 2x=1-2×132=79.10.已知角α的终边经过点P (4a ,3a )(a<0),则25sin α-7tan 2α的值为 . 答案:-39解析:因为角α的终边经过点P (4a ,3a )(a<0),所以x=4a ,y=3a ,r=√(4α)2+(3α)2=-5a ,所以sin α=3α-5α=-35,tan α=3α4α=34, 所以tan2α=2tan α1-tan 2α=2×341-(34) 2=247,所以25sin α-7tan2α=25×-35-7×247=-39.综合提升组11.(2021安徽合肥三模)在平面直角坐标系中,已知点A (cos 15°,sin 15°),B (cos 75°,sin 75°),则|AB|=( ) A.1 B .√2 C .√3 D.2答案:A解析:∵点A (cos15°,sin15°),B (cos75°,sin75°),∴|AB|=√(cos15°-cos75°)2+(sin15°-sin75°)2=√2-2(cos15°·cos75°+sin15°·sin75°)=√2-2cos(75°-15°)=√2-2cos60°=1.12.(2021山东烟台一中模拟)已知锐角α,β满足sin α-cos α=16,tan α+tan β+√3tan αtanβ=√3,则α,β的大小关系是( )A.α<π4<β B.β<π4<α C .π4<α<βD .π4<β<α答案:B解析:∵α为锐角,sin α-cos α=16,∴α>π4.又tan α+tan β+√3tan αtan β=√3,∴tan(α+β)=tan α+tan α1-tan αtan α=√3.又β为锐角,∴0<α+β<π,∴α+β=π3,又α>π4,∴β<π4<α. 13.(2021四川遂宁等八市第二次诊断)若cos α+π6=15,α为锐角,则cos α-π6=( ) A .1+6√210B .√3+2√610 C .2√6-√310D .1-6√210答案:A解析:由cos α+π6=15,α为锐角,得sin α+π6=2√65,则cos α-π6=cos α+π6−π3=cos α+π6cos π3+sin α+π6sin π3=15×12+2√65×√32=1+6√210.14.(2021贵州遵义航天高级中学三模)在平面直角坐标系中,已知角π3的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边顺时针旋转角α后过点P (1,-√2),则将角2α的终边逆时针旋转π3后所得角的余弦值等于( ) A .23B.-23C .13D.-13答案:C解析:由三角函数的定义可得sinπ3-α=-√2√12+(-√2)2=-√63,将角2α的终边逆时针旋转π3后所得角为2α+π3, 所以cos 2α+π3=cos 2α+π6=2cos 2α+π6-1=2sin 2π2-α+π6-1=2sin 2π3-α-1=2×-√632-1=13.15.(2021吉林长春二模)现有如下信息:(1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比,其比值为√5-12.(2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形. (3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形. 由上述信息可求得sin 126°=( ) A .√5-12B .√5+12C .√5-14D .√5+14答案:D解析:如图,等腰三角形ABC ,∠ABC=36°,AB=BC=a ,AC=b ,取AC 中点D , 连接BD.αα=√5-12,由题意可得sin∠ααα2=α2α=12·αα=√5-12×12=√5-14, 所以cos ∠ABC=1-2sin 2∠ααα2=1-2√5-142=√5+14, 所以cos36°=√5+14,所以sin126°=cos36°=√5+14. 创新应用组16.(2021山东淄博三模)已知锐角α,β满足α-β=π3,则1cos αcos α+1sin αsin α的最小值为( )A.4B.4√3C.8D.8√3答案:C解析:因为α-β=π3,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=12, 令x=cos αcos β,y=sin αsin β,则x+y=12,因为α,β是锐角, 所以x>0,y>0,则1cos αcos α+1sin αsin α=1α+1α=2×1α+1α×(x+y )=4+2αα+2αα≥4+2√2αα×2αα=8,当且仅当x=y ,即α=5π12,β=π12时等号成立.17.(2021河南新乡二模)设α,β均为锐角,且cos(α+β)+cos(α-β)=sin αsin α,则tan α2+sin 2α的最大值是( ) A .16B .√66C.6 D .√63答案:B解析:由cos(α+β)+cos(α-β)=sin αsin α,得2cos αcos β=sin αsin α, 即tan α=2sin βcos β,因为α,β均为锐角, 所以tan α2+sin 2α=2sin αcos α3sin 2α+2cos 2α=23sin αcos α+2cos αsin α≤2√cos α·sin α=√66, 当且仅当3sin αcos α=2cos αsin α,即tan β=√63时,等号成立. 故tan α2+sin 2α的最大值是√66.。

§2。

5 指数与指数函数考纲展示► 1.了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型．考点1 指数幂的化简与求值1.根式（1)根式的概念若________，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子错误!叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)a的n次方根的表示x n＝a⇒错误!答案:(1)x n＝a2．有理数指数幂(1）幂的有关概念①正分数指数幂：a错误!＝________（a＞0,m,n∈N＊，且n＞1）；②负分数指数幂:a错误!＝________＝________(a＞0，m，n∈N＊,且n＞1)；③0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________．（2）有理数指数幂的性质①a r a s＝________(a＞0,r,s∈Q）；②(a r）s＝________(a＞0,r,s∈Q);③(ab）r＝________(a＞0,b＞0，r∈Q）．答案：（1）①na m②错误!错误!③0 无意义(2)①a r＋s②a rs③a r b r(1）［教材习题改编］若x＋x－1＝5，则x2－x－2＝________.答案：±5错误!解析:把x＋x－1＝5两边平方,可得x2＋x－2＝23,所以（x－x－1）2＝x2－2＋x－2＝21，所以x－x－1＝±错误!，所以x2－x－2＝(x＋x－1)(x －x－1）＝±5错误!.(2）［教材习题改编］若x错误!＋x错误!＝3，则错误!＝________。

答案:错误!解析：由x错误!＋x错误!＝3，得(x错误!＋x错误!)2＝9，即x＋x－1＝7.错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

根式化简与指数运算的误区：混淆“na n”与“(错误!）n”；误用性质．（1)错误!＝__________；答案:｜a－b｜＝错误!解析：错误!＝｜a－b|＝错误!(2）化简［(－2)6］错误!－（－1)0的结果为________．答案：7解析：[(－2)6]错误!－(－1)0＝（26）错误!－1＝8－1＝7。

课时追踪检测 (七十二 )[高考基础题型得分练 ]1．用数学概括法证明“ 2n ＞2n ＋1 关于 n ≥n 0 的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的开端值n 0 应取 ()A ．2B ．3C ．5D ．6答案： B分析： ∵当n ＝1 时， 21＝2,2×1＋1＝3,2n＞2n ＋1 不建立；当 n ＝2 时， 22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n ＋1 不建立；当 n ＝3 时， 23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n ＋1 建立，∴n 的第一个取值 n 0＝3.111 12．已知 f(n)＝n ＋n ＋1＋n ＋2＋ ＋ n 2，则 ()1 1A ．f(n)中共有 n 项，当 n ＝2 时， f(2)＝2＋31 1 1B ．f(n)中共有 n ＋1 项，当 n ＝2 时， f(2)＝2＋3＋41 ＋ 1 C ．f(n)中共有 n 2－n 项，当 n ＝2 时， f(2)＝3 2D ．f(n)中共有 n 2－n ＋1 项，当 n ＝2 时， f(2)＝12＋13＋14答案： D分析：由 f(n)可知，共有 n2－n ＋1 项，且 n ＝2 时，f(2)＝12＋13＋1 4.3．某个命题与正整数相关，假如当n＝k(k∈N* )时该命题建立，那么能够推出 n＝k＋1 时该命题也建立．现已知 n＝5 时该命题建立，那么()A ．n＝4 时该命题建立B．n＝4 时该命题不建立C．n≥5，n∈N*时该命题都建立D．可能 n 取某个大于 5 的整数时该命题不建立答案： C分析：明显 A，B 错误，由数学概括法原理知 C 正确．1111274．用数学概括法证明不等式1＋2＋4＋＋2n－ 1＞64 (n∈N* )成立，其初始值起码应取 ()A ．7B．8C．9D．10答案： B1分析：左侧＝ 1＋1＋1＋＋ 1 ＝1－n 1 ，代入考证可2＝－2 42n－1122n－11－2知 n 的最小值是 8.5．用数学概括法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋ 2)3(n∈N* )能被 9 整除”，利用概括假定证明n＝k＋1 时，只要睁开 ()A ．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案： A分析： 假定 n ＝k 时，原式 k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3 能被 9 整除，当n ＝k ＋1 时， (k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3 为了能用上边的概括假定，只需将 (k ＋3)3 睁开，让其出现 k 3.6． 关于不等式 n 2＋n<n ＋1(n ∈ N * )，某同学用数学概括法证明的过程以下：(1) 当 n ＝1 时，12＋1<1＋1，不等式建立． (2) 假定当 n ＝ ∈ * 时，不等式 2＋k<k ＋1 建立，当 n ＝k ＋1 k(k N ) k时， k ＋1 2＋k ＋1＝ k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2 ＋ k ＋2 ＝ k ＋22＝ (k ＋1)＋1.∴当 n ＝k ＋1 时，不等式建立，则上述证法 ()A ．过程所有正确B ．n ＝1 考证不正确C ．概括假定不正确D ．从 n ＝k 到 n ＝k ＋1 的推理不正确答案： D分析： 在 n ＝k ＋1 时，没有应用 n ＝k 时的假定，不是数学概括法．7．在数列 { a n } 中，a 1＝1，且 S n ＝n(2n －1)a n ，经过求 a 2，a 3，a 4，3猜想 a n 的表达式为 ()11A.n －1 n ＋1B.2n 2n ＋11 D. 2n ＋11C.2n －1 2n ＋12n ＋2答案： C分析：当 n＝2 时，1＋a2＝(2×3)a2，∴＝1；3a23×5111当 n＝3 时，3＋15＋a3＝(3×5)a3，∴a3＝5×7；故猜想 a n＝1. 2n－12n＋18 ．利用数学归纳法证明“(n ＋ 1)(n ＋ 2) (n ＋ n) ＝2n×1×3× × (2n－1)，n∈N*”时，从“ n＝k”变到“ n＝k＋1”时，左侧应增乘的因式是 ()A ．2k＋1B．2(2k＋1)2k＋12k＋3C.k＋1D.k＋1答案： B分析：当 n＝k(k∈N*)时，左式为 (k＋1)(k＋2) · ·(k＋k)；当 n＝k＋1 时，左式为 (k＋1＋1) ·(k＋1＋2) · ·(k＋1＋k－1) ·(k＋1＋k) ·(k＋1＋k＋1)，则左侧应增乘的式子是2k＋1 2k＋2＝2(2k＋1)．k＋11119．用数学概括法证明1＋2＋3＋＋2n－1＜n(n∈N，且n＞1)，第一步要证的不等式是________．1 1答案： 1＋2＋3＜2分析： ∵n ＞1 且 n ∈N ，1 1∴当n ＝2 时， 1＋2＋3＜2.10．[2017 ·江苏无锡调研 ]利用数学概括法证明不等式1 1n ＋1＋ n ＋2 1 1＋ ＋ n ＋n ＞ 2(n ＞1，n ∈ N *)的过程中，用 n ＝k ＋1 时左侧的代数式减去 n ＝k 时左侧的代数式的结果为 ________．1 1答案： 2k ＋1－2k ＋21 ＋ 11，①分析： 当 n ＝k 时，左侧＝＋ ＋k ＋1 k ＋2 k ＋k当 n ＝k ＋1 时，左侧＝1 ＋1＋＋1＋ 1 ＋ 1 ，k ＋2 k ＋3k ＋k 2k ＋1 2k ＋2②1＋ 1 － 1 ＝ 11②－①，得－. 2k ＋1 2k ＋2 k ＋1 2k ＋1 2k ＋2．用数学概括法证明＋ ＋ ＋ ＋4 21 n 2＝n ＋n，则当 n ＝k ＋1112 3 2时 左 端 应 在 n ＝ k的基础上加上的项为．答案： (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ ＋ (k ＋1)2分析：当 n ＝k 时，左端为 1＋2＋3＋ ＋k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋＋ k 2，则当 n ＝k ＋1 时，左端为 1＋2＋3＋ ＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋＋ (k ＋1)2，故增添的项为 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ ＋(k ＋1)2.[ 冲刺名校能力提高练 ]n ＋22n ＋ 11－a1．用数学概括法证明：“ 1＋ a ＋a ＋ a＝(a ≠1，n∈N *)”，在考证 n ＝1 时，等式左侧是 ()A ．1B ．1＋aC ． ＋ ＋ 2D ． ＋ ＋ 2＋a 3 1 a a 1 a a 答案： C分析： 由题意，依据数学概括法的步骤可知，当n ＝1 时，等式的左侧应为 1＋a ＋a 2，应选 C.2．[2017 ·天津模拟 ]设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f(k)≥k 2 建即刻，总可推出 f(k ＋1)≥(k ＋1)2 建立”．那么，以下命题总建立的是 ()A ．若 f(1)<1 建立，则 f(10)<100 建立B ．若 f(2)<4 建立，则 f(1)≥1 建立C ．若 f(3)≥9 建立，则当 k ≥1 时，均有 f(k)≥k 2 建立D ．若 f(4)≥16 建立，则当 k ≥4 时，均有 f(k)≥k 2 建立答案： D分析：选项 A ，B 的答案与题设中不等号方向不一样， 故 A ，B 错；选项 C 中，应当是 k ≥3 时，均有 f(k)≥k 2 建立；关于选项 D ，知足题设原理，该命题建立．1 11133．用数学概括法证明不等式n ＋1＋ n ＋2＋ ＋ n ＋n >24的过程中，由 n ＝ k 推导 n ＝ k ＋ 1 时，不 等式 的左侧 增添 的式 子是____________．1答案：2k ＋1 2k ＋2分析：不等式的左侧增添的式子是1 ＋ 1－ 1＝2k ＋1 2k ＋2k ＋111.，故填2k ＋1 2k ＋2 2k ＋1 2k ＋24.设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且方程 x 2－a n x －a n ＝0 有一根为S n －1(n ∈N *)．(1)求 a 1，a 2；(2)猜想数列 { S n } 的通项公式，并给出证明．解：(1)当 n ＝1 时，方程 x 2－a 1x －a 1＝0 有一根为 S 1－1＝a 1－1，∴ (a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得 a 1＝12.当 n ＝2 时，方程 x 2－a 2x －a 2＝0 有一根为 S 2－1＝a 1＋a 2－1＝a 21－2，∴ a 2－12 2－a 2 a 2－12 －a 2＝0，解得 a 2＝16. (2)由题意知 (S n －1)2－a n (S n －1)－a n＝0，当 n ≥2 时， a n ＝S n －S n －1，代入上式整理得1S n S n－1－2S n＋1＝0，解得 S n＝2－S n－1.由 (1)得S1＝a1＝1，S2＝a1＋a2＝1＋1＝2，2263猜想 S n＝n(n∈N*)．n＋1下边用数学概括法证明这个结论：①当 n＝1 时，结论建立．②假定 n＝k(k∈N*，k≥1)时结论建立，即S k＝k，k＋1当 n＝k＋1 时，S ＋＝ 1 ＝1＝k＋ 1＝k＋1，即当 nk 12－S k k k＋ 2k＋1 ＋12－k＋1＝k＋1 时结论建立．n由①②知 S n＝对随意的正整数n 都建立．11113－1*.33332 5．已知 f(n)＝1＋2＋3＋4＋＋n，g(n)＝22n，n∈N (1)当 n＝1,2,3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小；(2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明．解： (1)当 n＝1 时，f(1)＝1，g(1)＝1，因此 f(1)＝g(1)；911当 n＝2 时， f(2)＝8，g(2)＝8 ，因此 f(2)<g(2)；251312当 n＝3 时， f(3)＝216，g(3)＝216，因此 f(3)<g(3)．(2)由(1)猜想 f(n)≤g(n)，下边用数学概括法给出证明．①当 n＝1,2,3 时，不等式明显建立，②假定当 n＝k(k≥3，k∈N* )时不等式建立，即1 1 1 1 3 11＋23＋33＋43＋＋k3<2－2k2.13 1 1 那么，当 n ＝k ＋1 时， f(k ＋1)＝f(k)＋ k ＋1 3<2－2k 2＋ k ＋13. 1 1 1 由于 2 k ＋1 2－ 2k 2－ k ＋1 3 k ＋3 1 －3k －1 ＝2 k ＋1 3－2k 2＝2 k ＋1 3k 2<0，3 1 因此 f(k ＋1)<2－2 k ＋12＝g(k ＋1)． 由①②可知，对全部 n ∈N *，都有 f(n)≤g(n)建立．。

课题：导数的概念及运算考纲要求：1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；3.理解导函数的概念 熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；5.了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数；6.会求“过点A 的曲线的切线方程”和“在点A 处的切线方程”.教材复习1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()limlim x ox x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆()2求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(；()3取极限，得导数y '=()f x '=x yx ∆∆→∆0lim3.导数的几何意义：导数0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 处的瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为000()()()y f x f x x x -='-4.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00 函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '5.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x'=， ()x x e e '= ；()ln x x a a a '=.6.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭7.复合函数的求导法则：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为'''x u x y y u =⋅.8.导数的几何意义是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率，即0()k f x ='，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点. 典例分析：题型一 利用导数的定义解题问题1．用导数的定义求下列函数的导数：()1 2()y f x x ==；()2 24()y f x x ==问题2．()1已知000(2)()lim 13x f x x f x x→--=△△△，求0()f x '()2（2013高三西工大附中二模）若(3)2f '=，则1(3)(12)lim 1x f f x x →-+=-题型二 导数的计算问题3．求下列函数的导数：()1 ln xy e x =⋅ ()2 11x x e y e +=-()3sin 1cos xy x=+ ()4()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅()532x x x y e e =⋅-+ ()6()()33421y x x x =-⋅-问题3．求下列复合函数的导数．()1()323y x =-； ()2y =()3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ()4()ln 25y x =+题型三 导数的几何意义的应用：求曲线切线的方程 问题3． ()1求过点()1,1P 且与曲线3y x =相切的直线方程.()2（06全国Ⅱ文）过点()1,0-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为.A 220x y ++= .B 330x y -+= .C 10x y ++= .D 10x y -+=()3（08届高三攸县一中）已知曲线m x y +=331的一条切线方程是44y x =-，则m的值为 .A 43 .B 283- .C 43或283- .D 23或133-()4 (2010辽宁)已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 .A [0,4π) .B [,)42ππ .C 3(,]24ππ .D 3[,)4ππ()5已知a 为常数，若曲线23ln y ax x x =+-存在与直线10x y +-=垂直的切线，则实数a 的取值范围是.A 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.B 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ .C [)1,-+∞ .D (],1-∞-课后练习作业：1.若0()2f x '=,求0lim→k kx f k x f 2)()(00--.2.（07届高三皖南八校联考）已知2()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '=3.（2012沈阳模拟）若曲线2y x ax b =++在()0,b 处的切线方程是10x y -+=，则 .A 1,1a b == .B 1,1a b =-= .C 1,1a b ==- .D 1,1a b =-=-4.（2013杭州模拟）若存在过点()1,0的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a = .A 1-或2564- .B 1-或214- .C 74-或2564- .D 74-或75.已知322()()3f x x f x x =+'-，则()f x 在点22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程是6.已知函数32()454f x x x x =-+-.()1求曲线()f x 在2x =处的切线方程；()2求经过点()2,2A -的曲线()f x 的切线方程．走向高考：1.（07湖北文）曲线32242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是2.（2013广东）若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =3.（2013江西）设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且()x x f e x e =+,则'(1)f =4.（05北京）过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为5.（06全国）设函数)()cosf x ϕ=+（0ϕπ<<），若()()f x f x +'是奇函数， 则ϕ=6.（05湖南）设0()sin f x x =，10()()f x f x ='，21()()f x f x ='，…，1()()n n f x f x +='，n N ∈，则2005()f x = .A sin x .B sin x - .C cos x .D cos x -7.（06安徽）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为.A 430x y --=；.B 450x y +-=；.C 430x y -+=；.D 430x y ++=8.（07海南）曲线12x y e =在点()24,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为.A 29e 2.B 24e.C 22e.D 2e9.（09湖北）已知函数()()cos sin 4f x f x x π='+则()4f π的值为10.（07全国Ⅱ文）已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为.A 1 .B 2 .C 3 .D 411.（08海南）设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =.A 2e.B e.C ln 22.D ln 212.（08全国）曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 .A 30︒ .B 45︒ .C 60︒ .D 120︒13.（07湖北文）已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=。

学 习 资 料 专 题课时跟踪训练(五) 函数的值域与解析式[基础巩固]一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，f x －，x >0，则f (5)＝( ) A ．32 B ．16 C.12D.132[解析] f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝2－1＝12，故选C.[答案] C2．(2018·烟台模拟)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)[解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)， 则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)． ∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.[答案] A3．(2017·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝2＋2sin 2x ，所以f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋cos2x . [答案] C4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x[解析] A 项，因为5－x＋1>1，所以函数值域为(0,1)；B 、D 项的函数值域为[0，＋∞)；C 项，因为1－x ∈R ，根据指数函数的性质可知函数的值域为(0，＋∞)，故选C.[答案] C5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.[答案] C6．(2018·江西临川一中月考)若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪[3，＋∞)[解析] 令f (x )＝ax 2＋2ax ＋3，∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，∴f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的函数值取遍所有的非负实数，∴a 为正实数，∴该函数图象开口向上，∴只需ax 2＋2ax ＋3＝0的判别式Δ＝(2a )2－12a ≥0，即a 2－3a ≥0，解得a ≥3或a ≤0(舍去)．故选B.[答案] B 二、填空题7．函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为________．[解析] y ＝1－x 2x ＋5＝－12x ＋＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5.∵722x ＋5≠0，∴y ≠－12， ∴函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12.[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－128．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (3)＝________.[解析] ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2(x ≠0)，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11.[答案] 119．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[解析] 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知， f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时， f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1.[答案] [0,1] 三、解答题10．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x21＋x 2；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x＋1；(4)y ＝x ＋4－x 2.[解] (1)y ＝1－x 21＋x 2＝－1－x 2＋21＋x 2＝－1＋21＋x 2.由1＋x 2≥1，得0<21＋x 2≤2，所以－1<－1＋21＋x 2≤1.故函数的值域为(－1,1]． (2)y ＝－2x 2＋x ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋258. 由0≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋258≤258，得0≤y ≤524.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524.(3)当x >0时，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号，所以x ＋1x＋1≥3；当x <0时，x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ≤－2， 当且仅当x ＝－1时取等号，所以x ＋1x＋1≤－1.故函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)设x ＝2cos θ(0≤θ≤π)，则y ＝x ＋4－x 2＝2cos θ＋4－4cos 2θ＝2cos θ＋2sin θ ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4 由0≤θ ≤π，得π4≤θ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，－2≤y ≤22， 故函数的值域为[－2,22]．[能力提升]11．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x[解析] 选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |,2f (x )＝2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2x －2|x |,2f (x )＝2x －2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项C ，f (2x )＝2x ＋1,2f (x )＝2x ＋2，故f (2x )≠2f (x )；选项D ，f (2x )＝－2x,2f (x )＝－2x ，故f (2x )＝2f (x )．故选C.[答案] C12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12[解析] 因为当x ≥1时， f (x )＝ln x ≥0, f (x )的值域为R ，所以当x <1时，f (x )＝(1－2a )x ＋3a 的值域包含一切负数．当a ＝12时，(1－2a )x ＋3a ＝32不成立；当a >12时，(1－2a )x ＋3a >1＋a ，不成立；当a <12时，(1－2a )x ＋3a <1＋a .由1＋a ≥0，得a ≥－1.所以－1≤a <12.故选C.[答案] C13．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于__________．[解析] 由已知得1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 －2≤x ≤1，x 21<x ≤2，当x ∈[－2,2]时，2⊕x ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1<x ≤2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.[答案] 614．(2013·安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________________.[解析] 当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x x ＋2.[答案] －x x ＋215．已知函数f (x )＝－a2x 2＋－a x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围． [解] (1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求； (ⅱ)当a ＝－1时， f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数， ∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝－a 2－－a2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a －a ＋⇒－511≤a <1.综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1. (2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，①当1－a 2≠0时有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝－a 2－－a2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a －a ＋⇒－1<a ≤－511.②当1－a 2＝0时a ＝±1，当a ＝1时，f (x )＝6不合题意．当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511. 16．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 是常数，且a ≠0)满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．[解] (1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ， 亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.①由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x .(2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知，f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1，∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m ，fn ＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m <n ≤14，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0.故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．[延伸拓展]设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f [g (x )]．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )[解析] 对于A ，(f ·f )(x )＝f [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，f x ，f 2x ，f x，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.[答案] A。

课时追踪检测 (五十三 )[高考基础题型得分练 ]1 ．已知抛物线： 2＝x 的焦点为 F ，A(x ，y 是 C 上一点，|AF|C y 00)5)＝ x 0，则 x 0＝(4A ．4B ．2C ．1D ．8答案： C分析：由 y 2＝x ，得 2p ＝1，即 p ＝1，所以焦点 F 1，0 ，准线方2 41程为 l ：x ＝－ 4.设点 A 到准线的距离为 d ，由抛物线的定义可知 d ＝|AF|，进而1 5x 0＋4＝4x 0，解得 x 0＝1，应选 C.2 ．·山西运城期末] 已知抛物线2＝ay 与直线 y ＝2x －2 订交[2017x于 M ，N 两点，若 MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为 ()232 A ．x ＝2y B ．x ＝6y C ．x 2＝－ 3yD ．x 2＝3y答案： D 分析： 设点 M(x 1， 1 ， 2 ， 2 ．y ) N(x y )x 2＝ay ，由消去 y ，得y ＝2x －2x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x1＋x2＝22a2 ＝3，即a＝3，所以所求的抛物线方程是x2＝3y.3．[2017 ·吉林长春一模 ]过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 且倾斜|AF|角为 120°的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于A，B 两点，则|BF|＝()12A.3B.334C.4D.3答案： A分析：记抛物线 y2＝2px 的准线为 l ′，如图，作 AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分别是 A1，B1，C，|BC| |BB 1|－|AA 1|则有 cos ∠ABB ＝＝1|AB||AF|＋|BF||BF|－|AF| ＝ ，|AF|＋|BF||BF|－|AF| 1 ，由此得 |AF| 1.即 cos 60 ＝°＝ ＝ |AF|＋|BF| 2 |BF| 3224．已知抛物线 y 2＝2px(p ＞0)的焦点 F 与双曲线x－y＝1 的右焦4 5点重合，抛物线的准线与 x 轴的交点为 K ，点 A 在抛物线上且 |AK|＝ 2|AF|，则点A 的横坐标为()A ．22B ．3C ．23D ．4答案：B分析： 记抛物线的焦点为p 2，0，准线为px ＝－ 2.双曲线的右焦点为 (3,0)，所以 p2＝3，即 p ＝6，即 y 2＝12x.过 A 作准线的垂线，垂足为 M ，则 |AK|＝ 2|AF|＝ 2|AM|，即 |KM|＝|AM|，设 A(x ，y)，则 y ＝x ＋3，代入 y 2＝12x ，解得 x ＝3.5．[2017 ·北京密云模拟 ]已知两点 A(1,0)，B(b,0)．假如抛物线 y 2 ＝4x 上存在点 C ，使得△ ABC 为等边三角形，那么实数 b ＝________.1答案： 5 或－3b＋1分析：依题意，线段 AB 的垂直均分线 x＝2(b>－1)与抛物线y2＝4x 的交点 C b＋12，n知足 |CA|＝|AB|＝|b－1|(此中 n2＝2(b＋1))，于是有b＋1222，2－1＋n ＝(b－1)b＋12＋2(b＋1)＝(b－1)2，即－ 12化简得 3b2－14b－5＝0，即 (3b＋1)(b－5)＝0，1解得 b＝5 或 b＝－3.6．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱桥离水面 2 m，水面宽 4 m，水位降落 1 m 后，水面宽 ________m.答案：2 6分析：成立以下图的平面直角坐标系，A，B 是抛物线与水面的交点．由题意，得点 A 的坐标为 (－2，－ 2)．设抛物线的方程为x2＝ay，把 A 的坐标代入，得 a＝－ 2，即抛物线的方程为 x2＝－ 2y.当水位降落 1(单位： m)时，水面的纵坐标为－3，把 y＝－ 3 代入抛物线的方程，得x＝± 6.∴水位降落 1 m 后，水面宽为 2 6 m.7．已知点－是坐标平面内必定点，若抛物线y2＝2x 的焦M(3,2)点为 F ，点 Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|－ |QF|的最小值是________．答案：521分析：抛物线的准线方程为x＝－2，当 MQ∥x 轴时， |MQ|－|QF|获得最小值，此时点 Q 的纵坐标 y＝2，代入抛物线方程y2＝2x 得 Q 的横坐标1 5x＝2，则 |MQ|－|QF|＝|2＋3|－ 2＋2＝2.8．已知一条曲线 C 在 y 轴右侧， C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1.(1)求曲线 C 的方程；(2)能否存在正数 m，关于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A，→ →B 的任向来线，都有 FA·FB＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明原因．解： (1)设 P(x，y)是曲线 C 上随意一点，那么点P(x，y)知足22x－1 ＋y －x＝1(x＞0)．(2)设过点 M(m,0)(m＞0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)．设 l 的方程为 x＝ty＋m，x＝ty＋m，由得 y2－4ty－4m＝0，y2＝4x，＝16(t2＋m)＞0，于是y1＋y2＝4t，①y1y2＝－ 4m.→→→ →又 FA＝(x1－1，y1)，FB＝(x2－1，y2)，FA·FB＜0. (x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②又 x＝y2，于是不等式②等价于y12y22y12y22＋1＜0，44·＋y1y2－4＋442即y161y2＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2] ＋1＜0.③由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.④对随意实数 t,4t2的最小值为 0，所以不等式④关于全部t 成立等价于 m2－6m＋1＜0，即 3－2 2＜m＜3＋2 2.由此可知，存在正数m，关于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任向来线，都有→ →2)．·＜0，且 m 的取值范围是 (3－2 2，3＋2FA FB[ 冲刺名校能力提高练 ]1．已知抛物线 x2＝4y 上一点 A 的纵坐标为4，则点 A 到抛物线焦点的距离为 ()A.10B．4C.15D．5答案： D分析：由题意知，抛物线的准线方程为y＝－ 1，所以由抛物线的定义知，点 A 到抛物线焦点的距离为 5.2．已知抛物线：2＝8x 的焦点为 F，准线为 l ，P 是 l 上一点，C y→→Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 FP＝4FQ，则 |QF|＝() 75A. 2B.2C．3D．2答案： C分析：过点 Q 作 QQ′⊥l交 l 于点 Q′，→→由于 FP＝4FQ，所以 |PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点 F 到准线 l 的距离为 4，所以 |QF|＝|QQ ′|＝3.3．设 F 为抛物线 y 2＝6x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点． 若→→ → → →→＋FB ＋FC ＝0，则 |FA ＋＋＝) FA| |FB| |FC| (A ．4B ．6C ．9D ．12答案： C分析：由题意得，抛物线的焦点为 F3， 0，准线方程为 ＝－ 32 x2.设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，→ → →∵FA ＋FB ＋FC ＝0，∴点F 是△ABC 的重心，9∴x 1＋x 2＋ x 3＝2.由抛物线的定义，可得33 |FA|＝x 1－ －2 ＝x 1＋2，3 3|FB|＝x 2－－2 ＝x 2＋2，33|FC|＝x 3－－2 ＝x 3＋2，→→ →33 3∴|FA|＋ |FB|＋|FC|＝x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＝9.4．过抛物线 y 2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A ，B 两点， O 为坐标原点．若 |AF|＝3，则△ AOB 的面积为 ________．3 2答案： 2分析： 由题意设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(y 1＞0，y 2＜0)，以下图，|AF|＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2.设 AB 的方程为 x －1＝ty ，y 2＝4x ，由x －1＝ty ，消去 x 得 y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－ 4，∴y 2＝－ 2，∴ △ ＝1×1×|y － ＝3 2S AOB21 y 2|2.2 2双曲线 y2－x＝1(a>0)的离心率为5，抛物线 C ：x 2＝2py(p>0)5.a 4的焦点在双曲线的极点上．(1)求抛物线 C 的方程；(2)过 M(－1,0)的直线 l 与抛物线 C 交于 E ，F 两点，又过 E ，F作抛物线 C 的切线 l 1，l 2，当 l 1⊥l 2 时，求直线 l 的方程．4解： (1)双曲线的离心率 e ＝1＋a 2＝ 5，又 a>0，∴ a ＝1，双曲线的极点为 (0,1)，又 p>0，∴抛物线的焦点为 (0,1)，∴抛物线 C 的方程为 x 2＝4y.(2)由题意知，直线 l 的斜率必存在，设直线 l 的方程为 y ＝k(x ＋1)，E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，∵ y ＝14x 2，∴ y ′＝ 12x ，x 1 x 2∴切线 l 1，l 2 的斜率分别为 2 ， 2 ，当 l 1⊥l 2 时，x 1 x 2＝－ 4，2 · ＝－ 1，∴ x 1x 22y ＝k x ＋1 ，得 x 2－4kx －4k ＝0，由x 2＝4y ，∴ ＝(－4k)2－4(－4k)>0，∴ k<－1 或 k>0.①由根与系数的关系，得 x 1x 2＝－ 4k ＝－ 4，∴ k ＝1，知足①，即直线 l 的方程为 x －y ＋1＝0.6．已知抛物线 y 2＝4x ，直线 l ：y ＝－21x ＋b 与抛物线交于 A ，B两点．(1)若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的方程；(2)若直线 l 与 y 轴负半轴订交，求△ AOB(O 为坐标原点 )面积的最大值．1解： (1)联立y ＝－ 2x ＋b ，y 2＝4x ，消去 x 并化简整理，得y2＋8y－8b＝0.依题意有＝64＋32b＞0，解得 b＞－ 2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝－ 8， y1y2＝－ 8b，设圆心 Q(x0，y0)，则应有 x0＝x1＋x2，y0＝y1＋y2＝－ 4.22由于以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，则圆的半径为r＝|y＝，0| 4又 |AB|＝ x1－x22＋ y1－y22＝1＋4 y1－y22＝5[ y1＋ y22－4y1y2]＝ 5 64＋32b .所以 |AB|＝2r＝ 5 64＋32b ＝8，8解得 b＝－5.48所以 x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝5，24所以圆心为5，－4.故所求圆的方程为x－2452＋(y＋4)2＝16.(2)由于直线 l 与 y 轴负半轴订交，所以b＜0，又 l 与抛物线交于两点，由 (1)知 b＞－ 2，所以－ 2＜b＜0，直线1l：y＝－2x＋ b，整理得 x＋2y－2b＝0，点 O 到直线 l 的距离 d＝|－2b|＝－2b，551所以 S△AOB＝2|AB|d＝－ 4b 2· 2＋b＝4 2· b3＋2b2.令 g(b)＝b3＋2b2，－ 2＜b＜0，g′(b)＝3b2＋4b＝3b b＋4，3当 b 变化时， g′(b)，g(b)的变化状况以下表：b－2，－4－4－4，0333 g′(b)＋0－g(b)极大值432由上表可得 g(b)的最大值为 g －3＝27.故 S△AOB≤42×32＝32 3.2794323所以当 b＝－3时，△ AOB 的面积获得最大值9.。

（课标通用）2019年高考数学一轮复习 课时跟踪检测40 理1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.8π3B ．82π3C ．82πD ．32π3答案：B解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R ，则R 2＝12＋12＝2，∴R ＝2，V ＝43πR 3＝82π3，故选B.2．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于4π3，则该圆锥的体积为( )A.22π81 B ．8π81C.45π81D ．10π81答案：C解析：设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝4π3，∴r ＝23，∴圆锥的高h ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53.∴圆锥的体积V ＝13πr 2·h ＝45π81.3．某三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为( )A.13 B ．23 C ．1 D ．2答案：B解析： 构造棱长为2的正方体，由三视图知，该三棱锥为如图所示的三棱锥P －ABC .所以其体积V P －ABC ＝13S △ABC ×2＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×2＝23，故选B.4．[2017·宁夏银川模拟]如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的表面积为( )A ．2＋3π＋4 2B ．2＋2π＋4 2C ．8＋5π＋2 3D ．6＋3π＋2 3答案：A解析：由三视图可知，该几何体是半个圆柱和侧棱垂直于底面的三棱柱组成的几何体，该几何体的表面积S ＝π×2×1＋42＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12π＋1＝3π＋42＋2，故选A.5．[2016·新课标全国卷Ⅰ]如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π答案：A解析：由三视图知，该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图)，设球的半径为R ，则78×43πR 3＝28π3，故R ＝2，从而它的表面积S ＝78×4πR 2＋34×πR2＝17π.故选A.6．[2017·广东茂名二模]若几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ( )A ．34πB ．35πC ．36πD ．17π答案：A解析：由几何体的三视图知，它是底面是正方形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，可把它补成一个长、宽、高分别为3,3,4的长方体，该长方体的外接球即为原四棱锥的外接球，所以4R 2＝32＋32＋42＝18＋16＝34(其中R 为外接球的半径)，外接球表面积为S ＝4πR 2＝34π.故选A.7．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26 B ．36 C.23D ．22答案：A解析：设△ABC 外接圆的圆心为O 1，则 |OO 1|＝OC 2－O 1C 2＝1－13＝63. 三棱锥S －ABC 的高为2|OO 1|＝263.所以三棱锥S －ABC 的体积V ＝13×34×263＝26.故选A.8．有一根长为3π cm，底面直径为2 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________ cm.答案：5π解析：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD (如图)，由题意知BC ＝3π cm，AB ＝4π cm，点A 与点C 分别是铁丝的起、止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度．AC ＝AB 2＋BC 2＝5π(cm)．故铁丝的最短长度为5π cm.9．[2017·广东广州二测]如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是________．答案：8＋6π解析：该几何体是一个放倒的半圆柱上面加一个四棱锥的组合体，故该几何体的体积V ＝V 四棱锥＋V 半圆柱＝13×2×3×4＋12×π×22×3＝8＋6π.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·河南郑州质检]某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为( )A ．32B ．327C ．64D ．647答案：C解析：由三视图知，三棱锥如图所示，底面ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，PA ⊥平面ABC ，BC ＝27，PA 2＋y 2＝102，(27)2＋PA 2＝x 2，因此xy ＝x 102－[x 2－272]＝x 128－x 2≤x 2＋128－x 22＝64，当且仅当x 2＝128－x 2，即x ＝8时取等号， 因此xy 的最大值是64.故选C.2．[2017·河南中原名校联考]如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，四棱锥S －ABCD 是高为1的正四棱锥，若点S ，A 1，B 1，C 1，D 1在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.9π16 B ．25π16C.49π16D ．81π16答案：D解析：按如图所示作辅助线，其中O 为球心，设OG 1＝x ，则OB 1＝SO ＝2－x ， 由正方体的性质知B 1G 1＝22， 则在Rt △OB 1G 1中，OB 21＝G 1B 21＋OG 21， 即(2－x )2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222， 解得x ＝78，所以球的半径R ＝OB 1＝98，所以球的表面积为S ＝4πR 2＝81π16，故选D.3．[2016·四川卷]已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．答案：33解析：由题意及正视图可知，三棱锥的底面等腰三角形的底长为23，三棱锥的高为1，则三棱锥的底面积为12×22－32×23＝3，∴该三棱锥的体积为13×3×1＝33.4．[2017·宁夏银川一中月考]已知E ，F 分别是棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1的中点，则四棱锥C 1－B 1EDF 的体积为________．答案：16a 3解析：解法一：如图所示，连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连接B 1D ，EF ，过O 1作O 1H ⊥B 1D 于H .因为EF ∥A 1C 1，且A 1C 1⊄平面B 1EDF ，EF ⊂平面B 1EDF ， 所以A 1C 1∥平面B 1EDF .所以C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离． 易知平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ， 又平面B 1D 1D ∩平面B 1EDF ＝B 1D ， 所以O 1H ⊥平面B 1EDF ，所以O 1H 等于四棱锥C 1－B 1EDF 的高． 因为△B 1O 1H ∽△B 1DD 1， 所以O 1H ＝B 1O 1·DD 1B 1D ＝66a . 所以V C 1－B 1EDF ＝13S 四边形B 1EDF ·O 1H＝13·12·EF ·B 1D ·O 1H ＝13·12·2a ·3a ·66a ＝16a 3. 解法二：连接EF ，B 1D .设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a . 由题意得V C 1－B 1EDF ＝V B 1－C 1EF ＋V D －C 1EF＝13·S △C 1EF (h 1＋h 2)＝16a 3.5．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)．(1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积． 解：(1)直观图如图所示：(2)由三视图可知，该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以A 1A ，A 1D 1，A 1B 1为棱的长方体的体积的34，在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1于E ，则四边形AA 1EB 是正方形，∴AA 1＝BE ＝1，在Rt △BEB 1中，BE ＝1，EB 1＝1， ∴BB 1＝2， ∴几何体的表面积S ＝S 正方形ABCD ＋S 矩形A 1B 1C 1D 1＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S 正方形AA 1D 1D＝1＋2×1＋2×12×(1＋2)×1＋1×2＋1＝7＋2(m 2)．∴几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32(m 3)，∴该几何体的表面积为(7＋2) m 2，体积为32m 3.。