1数的开方(一)平方根

数的开方【教学内容】第十六章数的开方16.1 平方根16.2 立方根【知识点精析】一、平方根1．平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，即如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作x=a±，其中a叫被开方数。

2．平方根的性质（1）任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

如正数a 的平方根是a+与－a恰是一对相反数；±，其中a（2）零的平方根是零，即00=；（3）负数没有平方根。

3．算术平方根正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。

4．开平方求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。

开平方与平方互为逆运算。

5．求一个正数的平方根的基本方法和基本步骤（1）明确（或易求出）所要求的正数是哪一个数的平方的。

①先写出是哪个数的平方等于已知的数；②再求出这个正数的算术平方根；③最后求出这个正数的平方根。

（2）不易求出所要求的正数是哪个数的平方的。

方法1：利用数学用表的平方根表查。

方法2：利用计算器计算。

6．注意的问题（1）负数没有平方根；（2）a的非负性，即当a≥0时，a≥0，非负数的算术平方根一定是非负数；（3）用计算器求一个正数的平方根应注意精确度，或根据精确度取近似数。

二、立方根1．立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作：x=3a，其中a叫做被开方数，3叫做根指数。

2．立方根的性质任何一个正数的立方根是一个正数，即a>0时，3a>0；任何一个负数的立方根是一个负数，即a<0时，3a<0；零的立方根仍是零，即a=0时，3a=0。

3．开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方。

开立方与立方互为逆运算。

4．求一个数的立方根的基本方法和基本步聚（1）明确（或易求出）所要求的数是哪一个数的立方的；①先指出所要求立方根的那个数是哪个数的立方；②根据立方根的定义，求出这个数的立方根。

（2）不易求出所要求的那个数是哪个数的立方的：①利用数学用表中的立方根表查；②利用计算器计算。

第12章数的开方§12.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。

2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。

它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。

二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。

2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a≥0。

三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a）即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。

其中a叫做被开方数。

∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。

四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。

其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。

五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。

（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。

2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正； （2）一个负数的立方根为负； （3）零的立方根是零。

3、立方根的记号：3a （读作：三次根号a ），a 称为被开方数，“3”称为根指数。

3a 中的被开方数a 的取值范围是：a 为全体实数。

六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。

七、注意事项：1、“±a ”、“a ”、“3a ”的实质意义：“±a ”→问：哪个数的平方是a ； “a ”→问：哪个非负数的平方是a ； “3a ”→问：哪个数的立方是a 。

2、注意a 和3a 中的a 的取值范围的应用。

如：若3-x 有意义，则x 取值范围是 。

2021年中考数学 专题03 二次根式的运算（知识点总结+例题讲解）一、数的乘方与开方：1.数的乘方：（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（2）正数的任何次幂都是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；2.数的开方：（1）平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）； 即：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根；①正数有两个平方根（互为相反数）；②负数没有平方根；③0的平方根是0；（2）算术平方根：正数的正的平方根叫做算术平方根；记作“a ”。

（3）若a b =3，则b 叫做a 的立方根；①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0；【例题1】(2020•青海)(-3+8)的相反数是 ；的平方根是 ．【答案】-5；±2【解析】解：-3+8=5，5的相反数是-54，4的平方根是±2．【变式练习1】4的算术平方根是 ，9的平方根是 ， －27的立方根是 。

【答案】2；±3，﹣3【解析】解：4的算术平方根是2，9的平方根是±3，﹣27的立方根是﹣3．【例题2】（2020•黄冈）计算38-= 。

【答案】-2 【解析】解：38-=-2.【变式练习2】若a=，则a 的值为( )A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1或–1【答案】C=，∴a 为0或1；故选C 。

二、二次根式：1.二次根式的定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式；（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）2.二次根式有意义的条件：被开方数≥0；（被开方数大于或等于 0 ）3.二次根式的性质：（1）a （a ≥0）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==），（），（），（00002a a a a a a a （4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 即：b a ab •=（a ≥0，b ≥0）；反之：ab b a =⨯；（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；即：b a b a =（a ≥0，b>0）；反之：b a ba =；【例题3】(2020•广东)x 的取值范围是( )A ．x ≠2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ≠-2【答案】B∴2x-4≥0，解得：x ≥2，∴x 的取值范围是：x ≥2；故选：B 。

开方的简单运算开方是数学中常见的运算之一，用于求一个数的平方根。

在本文中，我们将介绍开方的简单运算方法。

1. 正数的开方对于一个正数x，我们可以使用以下步骤来进行开方运算：（1）选择一个初始猜测值y，通常选择y=x/2作为初始值。

（2）通过不断迭代计算来逼近平方根的精确值：y = （y+x/y）/2（3）当精度达到要求时，停止迭代计算。

一般情况下，我们可以设置一个误差范围，当y的变化小于该误差时，即可停止计算。

2. 负数的开方对于一个负数x，我们可以将其转化为复数来进行开方运算：（1）首先将其绝对值开方，然后加上一个虚数单位i，即得到了平方根的值。

（2）例如，对于-4的开方，首先计算4的开方，得到2，然后加上虚数单位i，即得到结果2i。

3. 零的开方零的开方结果是零，即√0=0。

4. 小数的开方对于小数的开方，我们可以通过近似计算来得到结果。

通常使用计算器或计算软件进行计算，以获得更加准确的结果。

5. 根号的性质开方运算具有以下基本性质：（1）对于任意正数x，都有√x^2=x。

（2）对于任意正数x和y，有√(xy)=√x * √y，即开方运算满足乘法分配律。

（3）对于任意正数x和y，有√(x/y)=√x / √y，即开方运算满足除法分配律。

总结：开方是一种常见的数学运算，用于求一个数的平方根。

对于正数、负数、零和小数，都有相应的开方规则。

通过迭代计算或近似计算，我们可以获得开方的结果。

开方运算还具有一些基本性质，如乘法分配律和除法分配律。

在实际应用中，开方运算被广泛用于科学、工程、经济等领域。

通过掌握开方的简单运算方法，我们可以更好地理解和应用数学知识。

一、 数的开方1、平方根 ：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作x=±a ，其中a 叫被开方数.（1）任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.如正数a 的平方根是±，其中＋与－恰是一对相反数；（2）零的平方根是零，即=0；（3）负数没有平方根.平方根的性质（4）正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根.平方根与算术平方根的区别及联系 区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫做a 的算术平方根”.（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.（3）表示方法不同：正数a 的平方根表示为±，正数a 的算术平方根表示为.（4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根则一正一负，两数互为相反数. 联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种．（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有．（3）0的平方根、算术平方根均为0.平方根的符号有三种形式：±，，－，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根.要特别注意. 公式（a ≥0）表明：一个非负数的算术平方根的平方还是等于这个数.这个式子反过来也可以写成：a=（a ≥0）.它表明：一个非负数可以写成它的算术平方根的平方.的非负性，即当a ≥0时，≥0，非负数的算术平方根一定是非负数； 例17 16的算术平方根是_________；64271-=__________；立方等于-64的数是 ． 例18 若a -是有理数，则a 一定是 ．2 立方根立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根．(也称数a 的三次方根)用数学式表示为：若x3=a ，则x 叫做a 的立方根，或称x 叫做a 的三次方根．立方根的表示方法： 类似于平方根德表示方法，数a 的立方根我们用符号 来表示.读作“三次根号下a”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，注意，平方根的表示方法说过当根指数为2时可以省略不写，现在是立方根了，这个根指数3是绝对不可省的，否则就会与平方根混淆了，例如表示125的立方根，而则表示125的算术平方根. 立方根的性质： 任何一个正数的立方根是一个正数，即a>0时，>0； 任何一个负数的立方根是一个负数，即a<0时，<0；零的立方根仍是零，即a=0时，=0. 立方根的被开方数中的负号可以直接从根号内移至根号外，即.因此，求负数的立方根，可以转化为求其相反数的立方根. 例19 的立方根是 ．若 ，则 的值是（ ）．例20 （1）计算： + ．（2）解方程：3、开平方和开立方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，开平方与平方互为逆运算 .求一个数的立方根的运算叫做开立方.开立方与立方互为逆运算.例21（1）（5-26）2 （2）(512)2-(13)2 （3）226.36- （4）3000343.0- （4）原式=-3307.0=-0.07 例22如果745.302.14=则=140200 ；如果=325.5 1.738则300525.0= 被开方数的小数点移动两位时，平方根的小数点向相同方向移动一位；被开方数的小数点移动三位时，立方根的小数点向相同方向移动一位.例23 解方程(1)x3=0.125；(2)3(x-4)3-1536=0．练习题：一、填空题：1、的立方根是_________；125的立方根是_________；2)5(-的算术平方根是；81的平方根是；的立方根为________；的平方根为________；的立方根为________ .．2、若某数的立方等于－0.027，则这个数的倒数是____________．3、已知，则．4、若，，则．5、平方根是它本身的数是__ _；立方根是其本身的数是__ __；算术平方根是其本身的数是________ ；一个自然数的算术平方根是a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是____________；立方根是____________．6、若a=3，b=30，则7.2等于．（用含有ａ，ｂ的式子表示）二、选择题7、下列判断中，错误的是( )A、两个实数之间有无数个实数B、两个有理数之间有无数个有理数C、两个无理数之间有无数个无理数D、两个整数之间有无数个整数8、若，则化简的结果是（）A、0B、-2aC、2aD、±2a9、8．设，则（）A、xy=1B、x=yC、x>yD、x<y10、下列说法：①绝对值最小的实数是零；②带根号的数是无理数；③无理数是开方开不仅的数；④无论x 为任何实数， 都有意义。

第一讲 数的开方一、【基础知识精讲】（一）平方根A 、概念：1.平方根: 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

即如果x 2＝a （a ≥0），那么x 叫做a 的平方根. 2.表示方法：a 的平方根记为±a （a ≥0）；3.算术平方根：①正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ； ②0的算术平方根是0.4.开平方：①求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫被开方数；②开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算； ③平方与开平方互为逆运算. 例1、（1）求下列各数的平方根和算术平方根： 1）169； 2）22514； 3）10－2； 4）|－297|； 5）172－82．例2、判断下列说法是否正确① ±6的平方根是36；( ) ② 1的平方根是1；( ) ③ －9的平方根是±3；( )④ 19361±=； ( )⑤ 9是2)9(-的算术平方根；( ) ⑥ |－16|的平方根是±4；( ) ⑦ －5是25的平方根；( )⑧ －π是2π-的平方根．( )变式：（1）1214的平方根是 ； （2）(－41)2的算术平方根是 ；（3）9-2的平方根是 ； （4）(－4)3的相反数的倒数的平方根是 ； （5）4等于 ，4的平方根为 ；（6）9的平方根是 ，81的算术平方根是 .B 、性质：1.平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0有一个平方根，它就是0本身； ③负数没有平方根.2.算术平方根的性质：非负数的算术平方根是非负数，即当a ≥0时，a ≥0.（双重非负性）3. ① (a )2＝a ，(a ≥0)；② 2.........(0)0.........(0)......(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩例3：下列说法：（1）任何数都有算术平方根；（2）一个数的算术平方根一定是正数；（3）2a 的算术平方根是a ；（4）2(4)π-的算术平方根是4π-；（5）算术平方根不可能是负数， 正确的个数有 个. 变式：（1）若17是m 的一个平方根，则m 的另一个平方根是 ；（2） 的算术平方根等于它的平方根. （3）下列各数：－2，（－3）2，｜－0.5｜，32，0，－（－141），其中有平方根的有 个. 例4、（1）若x x -+有意义，则1+x 的值是 ； （2）已知x 、y 都是实数，且334y x x =-+-+，则x y 的平方根是 .（二）立方根A 、概念：1.立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根。

第章数的开方知识点总结数的开方是数学中的一个重要概念，它表示一个数的平方根。

在解决各种数学问题以及实际生活中的应用中，数的开方常常用到。

本文将对数的开方的基本概念、性质、计算方法以及其应用进行总结。

一、数的开方的基本概念数的开方是指求一个数的平方根。

对于非负实数a，如果有一个非负实数x，使得x的平方等于a，那么x就是a的平方根，记作√a。

二、数的开方的性质1.非负数的开方是唯一的。

即对于任意非负实数a，只有一个非负实数x，使得x的平方等于a。

2.平方根是非负实数。

即对于任意非负实数a，它的平方根也一定是非负实数。

三、数的开方的计算方法1.分解因数法：将被开方数分解成若干个互质的因数的乘积，然后对每个因数分别开方。

2.二分逼近法：从区间的两个端点开始，取区间中点作为试探值，然后逐步逼近所要求的平方根。

3.等差平方根法：根据等差数列的性质，可通过等差数列的特点，或相邻两项之间的差值关系，直接计算出平方根的近似值。

四、数的开方的应用1.几何学中的应用：如计算正方形的对角线长度、长方形的对角线长度等。

2.物理学中的应用：如计算速度、加速度等。

3.统计学中的应用：如计算标准差等。

4.工程学中的应用：如计算电路的电阻、计算建筑物的面积等。

五、注意事项1.负数的开方是复数，不是实数。

正数的开方是唯一的，但负数的开方有两个解，一正一负。

2.有时候需要对数的开方进行近似计算，可以使用牛顿迭代法等方法。

六、数的开方的扩展1.平方根的概念可以扩展到其他次方根的概念，如立方根、四次方根等。

2.对于复数，也可以进行开方运算，得到复数的开方。

总之，数的开方是数学中一个重要的概念，它有着广泛的应用。

通过对数的开方的基本概念、性质、计算方法以及应用的总结，我们可以更好地理解数的开方，并能够灵活运用数的开方解决各种数学问题以及实际生活中的应用。

一、知识点归纳:1、平方根(1) 平方根的意义：如果一个数的平方等于 a ，这个数就叫做a 的平方根。

a 的平方根记作：±20或±丿5。

求一个数a 的平方根的运算叫做开平方 . (2) 平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数② 0有一个平方根，它是 0本身③负数没有平方根。

(3) 平方和开平方互为逆运算；2、算术平方根(1)算术平方根的意义：非负数 a 的正的平方根。

一个非负数a 的平方根用符号表示为：“ j a ”读作：“根号a ”其中a 叫做被开方数 (2) 算术平方根的性质①正数a 的算术平方根是一个正数；② 0的算术平方根是0;③负数没有算术平方根。

3、立方根(1)立方根的意义如果一个数的立方等于 a ,那么这个数叫做 a 的立方根(也叫三次方根)。

如果x3=a ,则x 叫做a 的立方根。

记作：x=需 ,读作三次根号a ”求一个数的立方根的运算叫做开立方。

(2)立方根的性质">0②一个负数有一个负的立方根， 即若a<0,则V^0③0的立方根是0,即若a=0，则3垢=0 。

重要性质：旷弓=-V a (3)立方与开立方互为逆运算。

二、典型例题： 例1、x 为何值时，寸X +1(5)X —1例2、已知2a-1的算术平方根是 3，3a+b-1的平方根是 ±4，求a+2b 的平方根。

例3、若X 、y 都是实数，且y = J x -3 + J 3-X +2，求x+3y 的平方根。

例4、如果M =aP a +b +3是a+b+3的算术平方根, N =2噪a + 2b 是a+2b 的立方根，求M — N 的立方根。

第12章数的开方重要性质：J a 2=a ,(需 $ = a(a >0)下列代数式有意义。

(1W 3 + 2x(2) J x -2 + J 2—X(3) J x 2+31(4) -^= 如一1①一个正数有一个正的立方根， 即若a>0,则 (6) (X-1)2例5、已知a,b,c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简V a 2- a -b + c-a + J (b -C)2三、课堂练习:1、填空：(10)某种洗衣机的包装箱是长方形，其高为1.2m ,体积为1.2 m 3,底面是正方形，则该包装箱的底面边长m.(11)已知△ ABC 的三边长分别为a 、b 、c,,且满足7rW+|b -4+(c -3)2=0,则此△ ABC 的周长= (12 )请你观察、思考下列计算过程：因为112=121，所以 J121=11，同样，因为111^12321 ,所以 J12321 =111,由此猜想 J12345678987654321 =2、选择: (1) (2) 一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是( -1 D 、1, -1 或 0 () A 、 1 B 、 0 C 、 下列各式中无意义的是A 、 —J 3B J-32).±J(-3丫(3) A下列说法正确的是( 、4的平方根是2、-16 的平方根是C 、实数a 的平方根是 土 J a 、实数a 的立方根是V a (4)有理数中，算术平方根最小的是)(1) 0.25的平方根是9 2的算术平方根是J 16 的平方根是 - J 2的相反数是,73的倒数是J 3 -1的绝对值是(16=±层，V (」)2(4)时，有意义；若 有意义，则x 时，j3-m 有意义；当m时，3治-3有意义(5)j 81的平方根是 ，74的算术平方根是邸64的平方根是，764的立方根若一个正数的平方根是 2a -1和-a + 2，贝U a =，这个正数是(7) 如果有-是m 的一个平方根，那么m 的算术平方根是 (8) 计算：口 +伙-1)2 + J (-1)2 =(9)已知 j 2a -1 +(b +3)2 =0,则 #竽=；(a+2)2+ |b — 1|+ J 3— C = 0,贝y a + b + c =、0.1A 、1B 、0 C（5）下列说法中，正确的是（ D 、不存在）•A 、27的立方根是3,记作J27=3B 、-25的算术平方根是5C 、a 的三次立方根是 土蚯D 、正数a 的算术平方根是 j a(6) V a 的值是（ ）• （A ） 是正数 (B) 是负数 （C ）是零 以上都可能(7) 若 X 2 =(-0.7 丫，则 X = ( )• (8) (9) (A) -0.7 ( B) ±).7(C ) 0.7 ( D ) 0.49下列等式：① ② y( - 2 ) = -2，③ J( - 2 ) = 2, ⑥-44 = —2;正确的有（ )个. (A) 4 ( B) 3 ( C) 2 ( D) 1 设 x 、y 为实数，且 y =4+J 5-X + J x-5 , 则|x —y 的值是（ (10) (11) (12) (13)下列说法中正确的是（ A 、4是8的算术平方根 下列各式中错误的是（ 下列计算中正确的是（ A 、J T8=J 32X 2=3 运 ).B 、16的平方根是 4C 、).B 、Q 0.36 = 0.6).④审= -V 8 ⑤ 716 = ±4, V 6是6的平方根D 、 -J1.44 = —1.2 D 、 B 、、/皿一心4-3"乎击不改变根式的大小把 （a —q丄 根号外的因式移入根号内，正确的是（(A) J 1-a (B W a —1 (C) -J a —1 -a 没有平方根J1.44 =±1.2莎=2 D、J 4^ =2a(D) - J 1-a).3、求下列各数的平方根和算术平方根: （1）空 4 (-4f(3) (- 2卜(一8 )•4、计算:6、已知实数 a,b,c 满足 一 a-b + J 2b +c +(c -7、a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简： J (a +1)2 + J (b -1)2 - J (a-b)2.abI _ !■ _. I J. ■ 1 •-2-1 0 1 2+------------ + ab (a + 1)(b +1) (a + 2)(b+2)+ 中(a +2004)( b + 2004)的值.(4)7001 5、解方程: (1) 4x 2=9 2(2) (X +1) =1⑶(5-3x(121-——=0 . 493(4)(x+3) =27(5) (2x-1)' =-8(6) 64(x-1)3+125=08、已知 2x-1的平方根是± 3, 3x+y-1的平方根是± 4，求x+2y 的平方根。

第一单元 数与式第5课时 数的开方及二次根式考点知识清单考点一 数的开方1.算术平方根：非负数x 满足x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的算术平方根，记作①____________。

2.平方根：若x 2=a(a ≥0)，则x 叫做a 的平方根，记作②_____________。

3.立方根：如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根（或三次方根），记作③_____________。

【温馨提示】1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根与算术平方根都是0本身，负数没有平方根。

2.一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.考点二 二次根式的有关概念1.二次根式：式子a （④__________）叫做二次根式。

【温馨提示】a （a ≥0）其实就是a 的算术平方根。

2.最简二次根式：同时满足以下两个条件：被开方数都不含⑤___________，也不能含能开得尽方的因数或因式。

【温馨提示】分母中含有根式的不是最简二次根式。

如21的最简形式应为22。

考点三 二次根式的性质三个重要性质（1）a （a ≥0）是⑥_______________；（2）=2)(a ⑦______________（a ≥0）;（3）=2a ⑧________________。

积的算术平方根 )0,0(≥≥⋅=b a b a ab商的算术平方根 ).0,0(≥>=b a ab a b【温馨提示】2)(a 与2a 的被开方数的取值范围是不相同的，前者a ≥0，后者a 为任意实数。

考点四 二次根式的运算【温馨提示】二次根式运算的结果必须是最简二次根式，若含有分母，则分母中不能含有根号。

题型归类探究类型一 数的开方与估算（易错点）【典例1】（1）（2018·安顺）4的算术平方根是（ ） A.2±B.2C.±2D.2（2）（2018·昆明）黄金分割数215-是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面。

数的开方1．平方根的定义：若x 2=a,那么x 叫a 的平方根，（即a 的平方根是x ）；注意：（1）a 叫x 的平方数，（2）已知x 求a 叫乘方，已知a 求x 叫开方，乘方与开方互为逆运算. 2．平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数； （2）0的平方根还是0； （3）负数没有平方根.3．平方根的表示方法：a 的平方根表示为a 和a -.注意：a 可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4．算术平方根：正数a 的正的平方根叫a 的算术平方根，表示为a .注意：0的算术平方根还是0. 5．三个重要非负数： a 2≥0 ,|a|≥0 ，a ≥0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0. 6．两个重要公式： （1）()a a 2=; (a ≥0)（2） ⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (aa a 2.7．立方根的定义：若x 3=a,那么x 叫a 的立方根，（即a 的立方根是x ）.注意：（1）a 叫x 的立方数；（2）a 的立方根表示为3a ；即把a 开三次方. 8．立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数； （2）0的立方根还是0； （3）负数的立方根是一个负数. 9．立方根的特性：33a a -=-.10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：π和开方开不尽的数是无理数. 11．实数：有理数和无理数统称实数.12．实数的分类：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数与无限循环小负有理数正有理数有理数实数0（2）⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数实数0 .13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：414.12= 732.13= 236.25=.三角形几何A 级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）DBA几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一 基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义。

数的开方知识点汇总安皋二中八年级数学组一、平方根、算术平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平方根;即如果x2= a那么x就是a有平方根;2、平方根的性质：1正数有两个平方根,它们互为相反数;20的平方根是03负数没有平方根因为任何数的平方都是一个非负数3、平方根的表示方法一个非负数a的平方根可表示为±a,读作正负根号a其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数,a叫做被开方数,叫根号,我们平常省略了根指数2;3、算术平方根1、定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根;2表示方法：一个非负数a的算术平方根可表示为a,读作根号a,3算术平方根的性质：①正数有一个正的算术平方根;②0的算术平方根是0③负数没有平方根,当然也没有算术平方根;4a的双重非负性①首先,a要有意义,首先被开方数必须是一个非负数;②其次,a表示一个非数的算术平方根,它的值不可能是一个负数,即它的值是一个非负数;综上：a中a≥0 a≥05初中所学的三类非负数ⅰ：绝对值非负即|a|≥0ⅱ：偶次方非负即a偶次≥0ⅲ：算术平方根非负即当a≥0时a≥04、立方根1、定义：如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a的立方根;即如果x3=a那么x就是a的立方根;2、立方根的表示方法：一数a的立方根表示为3a,读作三次根号a其中3叫做根指数,a叫被开方数;当根指数是2时可以省略,是3或其数时不能省略3、立方根的性质：任何数都有立方根且只有一个正数的立方根是一个正数,0的立方根是0,负数的立方根是一个负数;5、数的开方中的几个公式：12a||a= a为任意实数2、a2=a a≥03、3a3= aa为任意实数4、a33a为任意实数a=5、-3a=3a-a为任意实数6、实数与数轴1、无理数的定义：无限不循环小数叫无理数2、实数的定义：有理数和无数统称为实数;3实数的分类：7、实数与数轴的关系任意一个数对应了数轴上的一个点,数轴上任意一上点对应了一个实数,因此实数与数轴上的点是一一对应关系;。

初中数学说课稿大全《数的开方》说课稿各位领导、各位老师：下面我就围绕华东师大版数学第十二章，《数的开方》这部分内容谈谈我的备课思路，请大家评议指正。

一、指导思想按照课程标准的要求，数学教学要面向全体学生，使人人都获得现代公民必需的基本的数学知识与技能，同时又使不同的人得到不同的发展；教学中要体现学生主动学习的过程，以学生发展为本，让学生亲身参与活动，进行探索与发现，以自己的体验获取知识与技能。

另一方面，教材的编写者也为我们提供了一套良好的素材。

教材注意从学生熟悉的情境入手引入数学知识，注意引导和启发学生的思考、实践和探索。

认真把握好教材的体系和意图，有利于我们教师进一步发挥创造性，使生动的教材变成生动的课堂，使学生真正学到有意义、有价值的数学知识，得到提出问题、分析问题、解决问题的初步锻炼。

这些都为我们具体的课堂教学提供了有力的依据。

二、教材分析1．教材的地位作用分析：《数的开方》这一章的主要内容有两节：平方根与立方根；实数与数轴。

一方面，平方根、立方根概念的产生，既是生产实际的需要，也是由于数字本身运算的需要。

通过平方根与立方根的学习，引进了一种新的运算——开方，它与乘方互为逆运算，从而完备了初等代数中六种基本的代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）。

这对代数内容的学习的着重要的意义。

另一方面，通过数的开方运算，引进无理数的概念，从而将数的概念从有理数扩张到了实数。

实数是进一步学习数学的基础，实数与数轴上的点是一一对应的。

学习实数的重要意义在于：在实数范围内可以更好地建立数与形的联系，并利用这种联系解决有关问题。

2．教学目标：本章的教学目标是：（1）让学生经历又一次数系扩张的过程，进一步体验数学的发展源于实际，又作用于实际的辩证关系。

（2）理解平方根、算术平方根、立方根的概念；认识平方与开平方、立方与开立方间的关系，会用平方、立方的概念求某些数的平方根与立方根，并会用根号表示；会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根。

开方的公式开方是数学中常见的运算之一，也是求一个数的平方根的操作。

在数学中，开方的公式主要有两种形式：开平方根公式和特殊开方公式。

1.开平方根公式：开平方根公式是求一个数的平方根的一般方法，可以用于求解正数、负数和复数的平方根。

其一般形式为：√a=±b，其中a为被开方数，b 为其平方根。

2.特殊开方公式：特殊开方公式是指求解某些特定类型数的平方根的公式。

下面介绍几种常见的特殊开方公式：-平方数的开方公式：当被开方数是一个平方数时，开方结果一定是一个整数。

假设a是一个平方数，那么√a=±b，其中b为整数。

-分数的开方公式：当被开方数是一个分数时，可以通过分数化简或者换分数的形式进行开方。

例如，√(a/b)=(√a)/(√b)。

需要注意的是，分母不能为0。

-复数的开方公式：复数的开方一般有两种形式：主值和全体值。

主值指的是一个复数的开方结果与实数轴的夹角范围在(-π/2, π/2)之间，而全体值则包括所有复数的开方结果。

复数的开方公式的一般形式为：√z = ±√[(r+，r，)/2] 某(cos(θ/2) ± i某sin(θ/2))，其中z = r 某(cosθ + i某sinθ)，r为模值，θ为辐角。

当使用开方的公式时，需要注意以下几点：1.开方结果有正负两个值，因为平方根的定义是一个数的平方等于被开方数。

例如，√4=±2。

2.结果需满足被开方数范围内的条件。

负数没有实数解，而分数开方要求分母不为0。

3.复数开方存在主值和全体值的区别，需要根据问题的需求选择合适的结果。

总之，开方公式是数学中常用的运算公式之一，在求解各种数的平方根时起着重要的作用。

不同的开方公式适用于不同类型的数，根据具体问题选择合适的公式可以简化运算并得到准确的结果。