复变函数积分变换模拟试卷及答案

1 习题一

一、填空题（每空3分，共30分）

1. 12311,,22zizi则12zz ，12arg()zz ．

2. 写出38i的全部值

3. exp(2/2z

4. (2)Lni ，

cosi

5．.沿圆周C的正向积分:1211zCzzedzzÑ ．

6. 级数0(1)(1)nnniz的收敛半径R ．

7. ()sin(2)fzz的泰勒展开式是

８．函数()sin(3)ftt的拉普拉斯变换为

二、选择题（每题3分，共15分）

1.方程52z所表示的曲线是 （ ）

（A）椭圆 （B）直线3x （C）直线2y （D）圆周

2. 已知1()zefzz，则]0),([Rezfs（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

3. 0z为4sinzzz的( )

（A）一级极点 （B）二级极点 （C）三级极点 （D）四级极点

4. 设sF()=L[()]ft，则L0[()]tftdt的值是（ ）

（A）()Fsjs （B）()(0)Fsfs （C）()Fss （D）()Fs

5. w1F()=F1[()]ft，w2F()=F2[()]ft，下列关于Fourier变换的卷积公式说法错误的是（ ）

（A）1221()()=()()ftftftft （B）F1212[()()]()()ftftFwFw

2 （C）F12121[()()]()()2ftftFwFw （D）F1212[()()]()()ftftFwFw

三．1.（本题5分）24,12CdzzziÑ其中:3Cz为正向.

2．（本题5分）利用留数计算221,1CzdzCzÑ为正向圆周：3z

3. （本题5分）计算10sinzzdz.

四．假设

1. （本题8分）假设2222()()fzxaxybyicxdxyy为解析函数，试确定,,,abcd的值.

2.（本题8分）将函数2zzeeshz展开成z的幂级数,并指出它的收敛半径.

3.（本题8分）将函数21()(1)(2)fzzz分别在0|1|1,0|2|1zz内展成洛朗级数.

4. （本题8分）函数

2(1)(2)()(sin)zzfzz有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。

5.利用留数的方法求21()(1)(2)Fsss的laplace逆变换。

习题二

一．填空

1．121,12,zizi则12zz ；

2．方程52z所表示的曲线是 ；

3．(2)Lni= ；

4.设2()1fzz，则()fi= ；

5．1z为2sin(1)zz的 级极点；

6．已知 zzfsinz)(，求]0),([Rezfs= ；

7．()cos(2)fzz的泰勒展开式是 ；

3 8．设()t为单位脉冲函数，则-()(1sin)ttdt ；

9．级数211[]2nnin是 （收敛或发散）；阿

10. 若sFL [()]ft，则L 3[()]teft的值是 ；

二．选择

１．复数方程 Re(2)3z表示的曲线是 （ ）

A、直线 B、圆周 C、椭圆 D、双曲线

2．在复变函数中，下列等式中不正确的是 （ ）

（A）212121sinsincoscoscoszzzzzz （B）zzee)(

（C）22LnzLnz （D）zzzcossin22sin

3．设wF()=F[()]ft，则F0[(+)]ftt的值是（ ）

（A）0()jwteFw （B）0()jwteFw （C）0()Fwt （D）0()Fwt

4．1z为2sin(1)zz的( )

（A）一级极点 （B）二级极点 （C）可去奇点 （D）本性奇点

5．设,2,1nibannn，其中na、nb为实数列，若级数 1nn绝对收敛，下列说法中不正确的是 （ ）

（A）0limnn （B）1nna、1nnb同时收敛

（C）1nna收敛，1nnb条件收敛 （D）||1nn收敛

三．

1．（本题5分）计算积分1+1izzedz。

2． 求33(),2zCedzCzzÑ为圆周：3z。

3. 求3112nnnzn幂级数的收敛半径

4 四．1.判断函数33()23fzxyi的解析性。

2.将函数()2zzeechz展开成z的幂级数，并指出它的收敛半径

3. 计算2015+3sind。

4. 利用Fourier变换求积分方程0()cos()gtdft的解()g,其中

1,01()0,1.ttftt

5. 利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：2(0)0tyyey。

习题三

一．填空

1．arg(13i)= ；2Im1ii ；

2．2()1,(1)fzzfi则 ；

3．积分cosCzIdzzÑ= ，其中:||4Cz取正方向；

4．0izzedz= ；

5．(1)Ln ；

6． 25ie ；

7．级数11(1)ninn的敛散性为： ；（收敛或发散）

8．1Re[,0]=zesz_____ __；0z是函数5sinzz的______ ____级极点。

二．选择

１．复数方程arg3z表示的曲线是 （ ）

（A）直线 （B）射线 （C）椭圆 （D）圆周

2．在复变函数中，下列等式中不正确的是 （ ）

（A）zzsin)(cos （B）sin1z（C）1cossin22zz（D）zzzcossin22sin

3.0z为ln(1)zz的 （ ）

5 （A）一级极点 （B）解析点 （C）可去奇点 （D）本性奇点

4．zzf的解析性为 （ ）

（A）复平面上处处解析 （B）仅在点0z处解析

（C）复平面上处处不解析 （D）复平面上处处可导

5．2||2)(sinzizzdz （ ）

（A）0 （B）1

（C）2i （D）2cosii

三．

1.已知wF()=F[()]ft，求F[(2)()]tft。

2. 求3sin(),24zCezdzCzzÑ为圆周：3z。

3. 计算幂级数nn3n0z2n的收敛半径

四．1.设f(z)=my3+nx2y+i(x3-3xy2)为解析函数，试确定m、n的值。

2.将函数2)2(1)(zzf在0z处展开为泰勒级数

3. 函数22(2)()(sin)zzfzz有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。

4. 求函数21()(1)fzzz在孤立奇点处的留数。

5.求方程23tyyye满足初始条件00|0,|0ttyy的解

2007年《复变函数与积分变换》试卷

一、填空题（本小题共5小题，每小题3分，满分15分）

（1）已知函数)()(2323lxyxiynxmyzf是解析函数，则l ，m ，n .

（2）设))(1()(2izzzezfz的Taylor级数为0)23(nnnizc，则该级数的收敛

6 半径为 .

（3）已知2224AeAet，则22tet .

（4）计算ii)1( .

（5）设,0,,0,0)( ,0,,0

,0)(21tettfttttft则)()(21tftf .

二、选择题（本小题共5小题，每小题3分，满分15分）

（1）下列说法正确的是（ ）

（A）若)(zf在区域D内可导，则)(zf在区域D内解析。

（B）若)(zf在点0z解析，Dz0，则)(zf在区域D内可导。

（C）若)(zf在点0z连续，则)(zf在点0z可导。

（D）若)(zf在点0z可导，则)(zf在点0z解析。

（2）zw1将z平面上的曲线422yx映射成w平面上的图形为（ ）

（A）21u。 （B）2u。

（C）422vu。 （D）4122vu。

（3）设C为正向圆周1z，则积分Cdzzz（

）

（A）4 （B）2 （C）i2 （D）i4

（4）级数02cosnnin（ ）

（A）敛散性不定。 （B）发散。 （C）条件收敛。 （D）绝对收敛。

（5）0z是函数2sin)(zzzf的（ ）

（A）非孤立奇点。 （B）可去奇点。 （C）一级极点。 （D）本性奇点。

三、（超出范围）（12分）验证22),(yxyyxv在右半平面内是调和函数，并求以此为虚部的解析函数)(zf，且使2)1(f.

四、计算下列各题（本小题共6小题，每小题5分，满分30分）

（1）izdzz0sin；

（2）Cdzzcos1，其中23:zC，取正向；

7 （3）Cdzzz2)2(cos，其中2:zC，取正向；

（4）Cdzzzz32132，其中4:zC，取正向；

（5）Cdzzz14，其中2:zC，取正向；

（6）20cos6101d。

五、（12分）将函数)4)(3(103)(zzzzf分别在下列圆环域内展开成洛朗级数：

（1）120z； （2）43z； （3）z4

六、（12分）用积分变换解微分方程teyyy254，1)0(,0)0(yy.

七、（超出范围）（4分）设在1z上)(zf解析，且1)(zf，证明1)0(f .

2008年《复变函数与积分变换》试卷

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）

（1）i)1(的主值是 。

（2）已知)()(2323lxyxiynxmyzf为解析函数，则m= ，n ，l= 。

（3）如果)2)((cos)(zizzzf的Taylor级数为0)3(nnnzc，则该级数的收敛半径为

。

（4）设zezzf13)(，则Res0),(zf 。

（5）设,0,2,0,0)(1tttf

,0,sin,0,0)(2ttttf则)()(21tftf 。

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。）

（1）若21zzee，则（ ）

（A）21zz。 （B）kzz221（k为任意整数）。

（C）ikzz21。 （D）kizz221（k为任意整数）。