数学物理方法第一章解析函数1.4初等函数

n z不同，Sin z=1 =ïïîïïí춶-=¶¶¶¶=¶¶x v yu y v x u这是复变函数可导的必要条件。

函数可导的充要条件是：函数f(z)的偏导数yvx v yux u ¶¶¶¶¶¶¶¶,,,存在且连续，并且满足柯西—黎曼方程。

在极坐标系下的柯西—黎曼方程：ïïîïïí춶-=¶¶¶¶=¶¶r jr jr r v u v u11四 解析函数若函数f(z)在点0z 及其领域上处处可导，则称f(z)在0z 点解析。

又若f(z)在区域B 上每一点都解析，则称f(z)是区域B 上的解析函数。

上的解析函数。

解析函数是一类特殊的复变函数，具有以下主要性质： 1. 若函数f(z) = u +iv 在区域在区域B 上解析，则上解析，则 u(x,y)=1C ,v(x,y)=2C(1C ,2C 为常数)是B 上的两组正交曲线族。

2. 若函数f(z) = u +iv 在区域在区域B 上解析，则u,v 均为B 上的调和函数。

由性质2可以知道，若给定一个二元调和函数，若给定一个二元调和函数，我们可以将它看做某个解析函数我们可以将它看做某个解析函数的实部的实部（或虚部）（或虚部），利用柯西—黎曼方程求出相应的虚部黎曼方程求出相应的虚部（或实部）（或实部），也就是确定这个解析函数。

这个解析函数。

dy y v dx x v dv ¶¶+¶¶=根据柯西—黎曼方程，上式可变为，上式可变为 dy x u dx y u dv ¶¶+¶¶-=于是利用曲线积分法、凑全微分显示法或不定积分法可确定这个解析函数。

初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数(logarithmic初等函数function)、三角函数(trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometic function)与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数。

英文：elementary function它是最常用的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。

还有一系列双曲函数也是初等函数，如sinh 的名称是双曲正弦或超正弦, cosh 是双曲余弦或超余弦, tanh 是双曲正切、coth 是双曲余切、sech 是双曲正割、csch 是双曲余割。

初等函数在其定义区间内连续。

常数函数初等函数图形对定义域中的一切x对应的函数值都取某个固定常数的函数。

幂函数形如y＝x^a的函数，式中a为实常数。

指数函数形如y＝a^x的函数，式中a为不等于1的正常数。

对数函数指数函数的反函数，记作y＝loga a x，式中a为不等于1的正常数。

指数函数与对数函数之间成立关系式，loga ax＝x。

三角函数即正弦函数y＝sinx ，余弦函数y＝cosx ，正切函数y＝tanx，余切函数y＝cotx ，正割函数y＝secx，余割函数y＝cscx（见三角学）。

反三角函数三角函数的反函数——反正弦函数y ＝ arc sinx ，反余弦函数 y ＝arc cosx （－1≤x≤1，初等函数0≤y≤π），反正切函数 y=arc tanx ，反余切函数 y ＝ arc cotx（－∞＜x＜＋∞，θ＜y＜π）等。

以上这些函数常统称为基本初等函数。

双曲正弦或超正弦sinh x =(e^x- e^（-x)）/2双曲余弦或超余弦cosh x =(e^x + e^(－x))/2双曲正切tanh x =sinh x / cosh x双曲余切coth x = 1 / tanh x双曲正割sech x = 1 / cosh x双曲余割csch x = 1 / sinh x一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式，例如，三角函数 y＝sinx 可以用无穷级数表为初等函数可以按照解析表达式分类为：初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。

解析函数理论中的初等函数概念函数理论是数学中的一个分支，它研究的是函数的性质、特征，以及与其他对象的关系。

作为函数理论中的一个基本概念，初等函数一直是数学研究的重要课题之一。

本文将从初等函数的定义、性质、分类、以及一些常见的初等函数类型进行深入的解析。

一、初等函数的定义初等函数是一种我们日常生活中常见的一类函数。

所谓初等函数，指的是可以用四则运算和函数的有限次复合得到的函数。

其中，四则运算包括加、减、乘、除，而函数的有限次复合指的是对一个函数进行有限次嵌套。

通俗点说，初等函数就是可以通过基本数学操作和有限次函数嵌套来描述的函数。

一般来说，初等函数可以分为代数函数和三角函数两大类。

所谓代数函数，指的是关于变量的多项式函数，如幂函数、指数函数、对数函数以及各种三角函数。

而三角函数则是由正弦、余弦、正切等组成的一类函数。

二、初等函数的性质初等函数具有一些重要的性质，这些性质往往被广泛地应用在对初等函数的研究和分析中。

其中，一个最为基本的性质就是初等函数是可微函数。

这意味着，初等函数的导函数仍然是一个初等函数。

此外，初等函数还具有递归性质。

也就是说，初等函数可以通过有限次基本操作以及有限次函数嵌套，描述出一类新的初等函数。

这样，不断地递归下去，我们就可以描述出各种更加复杂的函数。

最后，初等函数还满足以下性质：初等函数的函数值可以用代数数、指数函数、三角函数以及它们的有限次嵌套，表示成有理数、无理数和常数的有限个代数运算。

三、初等函数的分类初等函数包括多种类型，常用的有以下几类：1. 幂函数幂函数是最简单的初等函数。

其表达式为 y=x^n，其中n是一个正整数。

幂函数分为偶次幂和奇次幂两种类型。

当n为偶数时，幂函数的图形具有对称性；而当n为奇数时，幂函数则呈现出一种非对称的形态。

2. 指数函数指数函数是初等函数中的另一种重要类型。

它的表达式为y=a^x，其中a为正实数且不等于1。

指数函数的图形具有一些特殊的性质，比如在x轴上方的函数值不断增加，而在x轴下方则不断减小。

§2 初等解析函数及其基本性质一、基本初等函数1.指数函数()y i y e z x sin cos exp +=加法定理 ()2121exp exp exp z z z z +=⋅。

z e z =exp ，即()y i y e e e e e x yi x yi x z sin cos +=⋅==+。

周期性 ze 是周期为()Z ∈k i k π2的周期函数。

2.对数函数定义2 满足()0≠=z z e w 的函数()z f w =称为复变量z 的对数函数，记为Lnz w =。

关于Lnz w =的表达式：令θi re z iv u w =+=,，则πθθk v r e re e e eu i iv u ivu 2,+==⇒==+，即Argz v z r u ===,ln ln 。

从而注：Lnz 是多值函数，Argz 是多值函数。

当Argz 取主值z arg 时，Lnz 为单值函数，称其为Lnz 的主值，记为z ln ，即z i z z arg ln ln +=⇒i k z Lnz π2ln +=注：当0>=x z 时，x x i x z ln arg ln ln =+=——实对数函数。

例2 证明对数运算性质：⑴2121Lnz Lnz z Lnz +=⋅；⑵2121Lnz Lnz z z Ln -=。

证明⑴ 由对数定义表达式，212121ln z iArgz z z z Lnz +=⋅()2121ln Argz Argz i z z ++⋅=2211ln ln iArgz z iArgz z +++=21Lnz Lnz +=；同理可证⑵式。

例3 求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--i Ln 2321,3ln 及主值。

解 ()()i i π+=-+-=-3ln 213arg 3ln 3ln ； i k i i i i Ln π22321arg 2321ln 2321+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+- i k i k i πππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=3122321ln ；主值：i i i ππ32321ln 2321ln =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-。