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第三章 复变函数的积分§3-1复变函数的积分【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】复变函数积分的定义：设C 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -]上任取一点k ξ作和数：()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑, 其中1k k k z z z -∆=-如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -∆=-）趋于零时， 和式()1nk kk f z ξ=∆∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿路径C 由0z 到z 的积分:()()1limlim nn k k Cn n k fz dz S f z ξ→∞→∞===∆∑⎰，C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。
若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()Cf z dz ⎰. (围道积分)几点说明：1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。
(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。
)2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是()()()(),,CCf z dz u x y iv x y dx idy =++⎡⎤⎣⎦⎰⎰()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎰⎰，所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。
3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质：（1）0C dz z z =-⎰，z 、0z 分别为C 之起点、终点。
复变函数论总结摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。
关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换1引言《复变函数论主要内容》第一章复变函数 complex function第二章复变函数的积分 complex function integral第三章幂级数展开 power series expansion第四章留数定理 residual theorem第五章傅立叶变换 Fourier integral transformation第一章复变函数§1.1 复数及复数的运算§1.2 复变函数§1.3导数§1.4解析函数§1.1 复数及复数的运算1．复数的概念的数被称为复数，其中。
；；ｉ为虚数单位，其意义为当且仅当时，二者相等复数与平面向量一一对应ｚ平面虚轴ｙ. （ｘ，ｙ）ｒｘ实轴模幅角 (ｋ)注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义2．复数的表示代数表示三角表示指数表示一个复数ｚ的共轭复数注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义4．复数的运算复数的加法法则：复数与的和定义是两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，且，当同一方向时等号成立。
复数的减法法则：且有复数的乘法法则：乘法的交换律、结合律与分配律都成立复数的除法法则：注意：采用三角式或指数式比较方便。
第二章复变函数的积分基本要求：1．正确理解复变数函数路积分的概念；2．深刻理解柯西定理及孤立奇点的定义；3．理解并会熟练运用柯西公式。
教学内容：§2.1 复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。
§2.2 柯西定理。
柯西定理的内容和应用，孤立奇点，单连通区域，复连通区域，回路积分。
§2.3 不定积分*。
原函数。
§2.4 柯西公式。
柯西公式的导出，高阶导数的积分表达式。
（模数原理及刘维定理不作要求）本章重点：柯西定理，柯西公式和孤立奇点。
§2.1 复变函数的积分（一）复变函数的积分（简称复积分）1.复积分的定义曲线l 是分段光滑曲线（起点0()A z ，终点()n B z ）；()f z 在l 上连续；（光滑曲线：曲线上每一点都有切线）。
把曲线l 分成n 小段，1k k z z -→是第k 小段，在1[]k k z z --上任取一点k ζ，求和111()()=()nnkk k k k k k f z z f z ζζ-==-∆∑∑，当n →∞而且每个k z ∆都趋于零时，如果这个和的极限存在，而且其值与各个k ζ的选取无关，则这个和的极限称为函数()f z 沿曲线l 从A ，终点B 的路积分，记作()lf z dz ⎰，即max 01()lim()k nkk lz k f z dz f z ζ∆→==∆∑⎰(2.1.1)2. 复积分的计算方法复变函数积分可以分解为两个实积分来计算。
即：()(,)(,)f z u x y iv x y =+，dz dx idy =+(,)(,)(()[(,),(,)]())(,)llllu x y dx v x y d f z dz u x y iv x y dx idy i y v x y dx u x y dy-+=++=+⎰⎰⎰⎰3. 复积分的性质复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分，因而实变函数线积分的许多性质也对路积分成立，如(1)常数因子可以移到积分号之外；()d ()d llcf z z c f z z =⎰⎰(2)函数和的积分等于各个函数的积分和；[]1212()()......()()().......()nnll l l f z f z f z dz f z dz f z dz f z dz +++=+++⎰⎰⎰⎰(3)反转积分路径，积分变号；()()l lf z dz f z dz +-=-⎰⎰(4)全路径上的积分等于各段上的积分和。
