第十一章 网络图论和网络方程

图论与网络流问题的LINGO 求解技巧我们介绍使用LINGO 求解图论与网络问题中的一些典型问题。

如最短路问题、最大流问题、关键路径问题、最优树问题，以及TSP 问题。

这里主要介绍使用LINGO 求解的方法，重在应用和解决问题。

1 最短路问题的Lingo 求解设图共有个节点，其赋权图的邻接矩阵为n n n w ×.ij w p =表示节点i 到j 的权值为.当为有向图时，p ji w w ij =；当为无向图时，和ij w ji w 分别由图得到，通常不一样。

当，表示节点i 与节点0ij w =j 不连通。

令0ii w =。

假设图的所有权值 0ij w ≥现求节点a 到节点b 的最短路，其线性规划模型为：模型一、决策变量：设1ij i j x i j ⎧=⎨⎩节点与节点连通节点与节点不连通目标函数为寻找一条节点到节点的通路，使其上权值和最小，故目标函数为：a b 11min .nnij ij i j Z w x ===∑∑1. 对节点恰有一条路出去，却不能有路回来，故有：a 11najj j ax=≠=∑ 且10nkak k a x=≠=∑2. 对节点恰有一条路到达，却不能有路出去，故有：b 11nkbk k bx=≠=∑ 且10nbjj j bx=≠=∑3. 对除起始点a 和目标点之外，其它点进入和出去的路是一样多（可都为0），则：b 11,nnkiijk j xx i a ===≠∑∑b4. 对不通的路不取，约束为：,1,2,ij ijx w i j ≤=L n总的线性规划模型为：11111111min .,10..10,1,2,,01n nij iji j nnki ijk j naj j j a n ka k k a n kb k k a nbj j j a ij ijijZ w x x x i a b x x s t x x x w i j x =====≠=≠=≠=≠=⎧=≠⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎪⎪≤=⎪⎪=⎪⎪⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑L 或n示例演示。

图论与网络分析随着互联网的普及和人们在网络上的活动不断增加，网络分析这一学科得到了越来越广泛的关注。

作为网络分析的基础，图论也成为了热门话题之一。

本文将介绍图论的一些基本概念和应用，并探讨网络分析对于实际问题的解决带来了哪些影响。

一、图论：从节点到边的科学图（Graph）是一种数学结构，它由一组节点（Node）和一组边（Edge）组成，被用于描述各种现实世界中的关系。

在图中，节点通常代表某种对象（例如人、物、事件等），而边则代表这些对象之间的关系（例如友谊、交易、传递等）。

图可以用数学的方式表示，例如矩阵或向量。

图论则是一门研究图形结构的学科，主要研究图的性质、结构和算法。

图论最早起源于著名的柏林七桥问题。

18世纪末，欧拉因为想了解柏林市中所有的桥（现在有无数座，但那时只有七座），是通过哪些路径相连通的，而开始着手研究这个问题。

欧拉在分析过程中创立了一些新的方法和概念，例如欧拉回路、欧拉图等。

这些概念和方法成为了图论的基础，也为其他领域的研究者提供了有益的工具和思路。

二、应用范围：从社交网络到交通网络图论在现代科学技术中得到了广泛的应用。

以下是一些经典的应用场景：（1）社交网络分析：在社交网络中，节点代表用户，而边则代表用户之间的关系，例如人际关系、信息传播等。

社交网络可以用来研究人群的规律、社会流动性等问题。

（2）交通网络分析：在交通网络中，节点代表交通枢纽（例如机场、港口、车站等），而边则代表交通线路，例如高速公路、铁路等。

交通网络可以用来研究交通拥堵状况、路径规划等问题。

（3）生物网络分析：在生物网络中，节点代表生命体的各个组成部分（例如蛋白质、基因等），而边则代表它们之间的生物学关系，例如相互作用关系、代谢途径等。

生物网络可以用来研究生物系统的稳定性、演化规律等问题。

（4）信息网络分析：在信息网络中，节点代表信息源或目标，而边则代表信息流动的路径。

信息网络可以用来研究网络盛行病学、信息过滤等问题。

图论网络规划图论网络规划是指利用图论的相关理论和方法，对网络进行规划和优化的过程。

图论是数学的一个分支，研究图的性质和图中元素之间的关系。

网络规划是指在给定的条件下，确定网络的拓扑结构、传输路径和资源分配等，以达到最优的性能和效益。

在图论网络规划中，首先需要对网络的拓扑结构进行建模。

网络可以用图来表示，图中的节点表示网络中的设备或者站点，而边表示节点之间的连接关系。

网络的拓扑结构可以是任意的，比如星型、环型、网状等。

建模时需要考虑网络中的节点数量、节点之间的连接关系、节点的位置分布等因素。

其次，需要确定网络中的传输路径。

传输路径是指数据从源节点到目的节点的传输路径。

在网络规划中，传输路径的选择对网络的性能和效益有着重要的影响。

传输路径的选择可以基于最短路径算法，比如Dijkstra算法或者Bellman-Ford算法等。

这些算法可以根据节点之间的距离或者带宽等因素，选择最优的传输路径。

除了传输路径，还需要考虑网络中的资源分配。

资源分配包括带宽分配、存储分配、计算资源分配等。

带宽分配是指将网络中的带宽按照一定的规则分配给各个节点或者连接。

存储分配是指将网络中的存储资源按照一定的规则分配给各个节点或者连接。

计算资源分配是指将网络中的计算资源按照一定的规则分配给各个节点或者连接。

资源分配的目标是使得网络中的资源利用率最大化，同时满足用户的需求。

在进行网络规划时，还需要考虑网络的安全性。

网络的安全性是指网络对于非法入侵、数据泄露等威胁的抵抗能力。

网络规划中的安全性包括网络的防火墙设置、访问控制列表、数据加密等。

网络的安全性需要根据具体的应用场景和需求进行规划和设计。

除了以上的内容，图论网络规划还可以涉及到其他方面的内容，比如网络的容错性、网络的可扩展性、网络的成本等。

网络的容错性是指网络在面对节点故障或者链路故障时的恢复能力。

网络的可扩展性是指网络在面对用户数量增加或者业务增加时的扩展能力。

网络的成本是指网络建设和维护的成本，包括设备的购买成本、设备的维护成本、带宽的租用成本等。

引言图论与网络分析简介¢图论(Graph Theory)是运筹学的一个分支，是建立和处理离散数学模型的一个重要工具，其起源最早可追溯到1736年欧拉所发表的一篇关于解决著名的“哥尼斯堡七桥问题”的论文，现已广泛应用在物理学、化学、控制论、信息论、科学管理、计算机等各个领域中。

¢网络分析（Network Analysis）作为图论的一个重要内容，已成为对各种系统进行分析、研究和管理的重要工具，包括：最小支撑树问题、最短路问题、最大流问题，以及网络计划评审与优化问题等。

¢哥尼斯堡城有一条河叫普雷格尔河，河中有两个岛屿，河的两岸和岛屿之间有七座桥相互连接，如下图所示。

一个漫步者如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能走过一次，最终回到出发地。

尽管试验者很多，但是都没有成功。

A B¢为了寻找答案，1736年欧拉将这个问题抽象成下图所示的一笔画问题。

即能否从某一点开始不重复地一笔画出这个图形，最终回到原点。

¢欧拉在他的论文中证明了这是不可能的，因为这个图形中每一个顶点都与奇数条边相连接，不可能将它一笔画出，这就是古典图论中的第一个著名问题。

¢图论中的图，是反映现实世界中具体事物及其相互关系的一种抽象工具，它比地图、分子结构图、电路图等更抽象。

¢图的定义：简单的说，一个图是由一些点(Vertices)及点间的连线(Edges)所组成的。

点可以作为现实世界中事物的抽象，而点间的连线表示事物间的关系。

例2：有A、B、C、D四支篮球队，进行单循环比赛，比赛情况如表1所示。

试用一个图表示各队之间的胜负关系。

比赛球队获胜球队A——B AA——C AA——D DB——C BB——D DC——D C表1图2图301,,k i i i v v v V∈ 1,k j j e e E ∈ 1(,)t t t j i i e v v -=(1,2,,)t k = ，0112,,,,,,k ki j i j j i v e v e e v μ= 0i v k i v 01ki i i v v v μ=0ki i v v =0ki i v v =1475678v v v v v v μ=图444768754v v v v v v v μ=245768v v v v v μ=3456874v v v v v v μ=图5图622412v v v v μ=12143v v v v μ= 图61(,)t t t j i i a v v -=(1,2,,)t k = 0i v k i v 01ki i i v v v μ= 0i v ki v 0112,,,,,,k ki j i j j i v a v a a v μ=32143v v v v μ=42412v v v v μ=12413v v v v μ=24134v v v v μ= 图6(,)ij i j v v ωω=ij ω,()i j v v1.产销平衡问题¢当总产量等于总销量，即：时，称为产销平衡的运输问题，简称平衡问题。

图论网络规划一、引言图论网络规划是一种基于图论理论的网络规划方法，用于解决网络拓扑结构的设计和优化问题。

通过构建网络拓扑图，并运用图论算法，可以有效地分析网络中的节点和边的关系，进而优化网络性能、提高网络可靠性和扩展性。

本文将介绍图论网络规划的基本概念、常用算法和应用场景。

二、基本概念1. 图论基础图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图由节点（顶点）和边组成，节点表示网络中的设备或者实体，边表示节点之间的连接关系。

常见的图有有向图和无向图，有向图的边有方向性，无向图的边没有方向性。

2. 网络拓扑图网络拓扑图是指将网络中的节点和边以图的形式表示出来的图形化工具。

通过网络拓扑图，可以直观地展示网络的结构和连接关系，便于进行网络规划和优化。

3. 节点度数节点度数是指与节点相连的边的数量。

对于无向图，节点度数等于与节点相连的边的数量；对于有向图，节点的出度是从该节点出发的边的数量，节点的入度是指指向该节点的边的数量。

4. 最短路径最短路径是指在图中从一个节点到另一个节点的路径中，边的权重之和最小的路径。

最短路径算法可以匡助我们找到网络中节点之间的最短路径，从而提高网络传输效率和降低延迟。

三、常用算法1. 最小生成树算法最小生成树算法用于解决连通图中的最小生成树问题。

最小生成树是指在图中选择一些边，使得这些边连接了图中的所有节点，并且边的权重之和最小。

常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。

2. 最短路径算法最短路径算法用于解决图中节点之间的最短路径问题。

常用的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

Dijkstra算法适合于解决单源最短路径问题，即从一个节点出发，求解到其他所有节点的最短路径。

Floyd-Warshall算法适合于解决任意两个节点之间的最短路径问题。

3. 最大流算法最大流算法用于解决网络中的最大流问题。

最大流问题是指在网络中找到从源节点到汇节点的最大流量。