电子科大随机过程计算机答案

§2.3 泊松过程2.3.1 计数过程在客观世界中,存在这样一类随机现象,它们发生的时间、地点或者相联系的某些属性, 常可归属于某空间I中点的随机发生, 这种点的发生就构成随机点过程.12在天文，地理，物理，生物，通信，医学，计算机网络，密码学等许多领域中的如下问题：用盖格记数器记录某类粒子的到达；共同特点: 关心某个事件A 按时间顺序出现的情况. 电话交换机接到的呼唤事件；通信系统运行中出现的误码；细胞中染色体发生的交换；航空公司接受到的托运订单，…将事件A 第i 次发生记为事件A i , 则构成了一个随机事件列A 1, A 2, …, 称为随机事件流, 也称随机点过程.3EX.1一天中某电话交换台接收到的呼叫形成一个随机点过程. 每一次呼叫发生的时间即一个随机点, 此点过程的一条现实(样本函数)是一个时间的序列,其中},,,{21N t t t ,24021≤<<<<N t t t t n 是n 次呼叫发生的时间,N 则是一天中呼叫发生的次数.工程中对于随机点过程, 常需要关注它的计数性质.EX.2 某系统在t时刻开始运行, 在指定的时间段[t0, t+T]内考虑系统因故障停止运行这一事件. 假定系统出故障后能立即修复并继续运行, 则系统在时间区间[t0, t+T]内因出故障而停止运行这些事件构成随机点过程.工程中对于随机点过程, 常需要关注它的计数性质.45(1)N ( t )取非负整数值，且N (0)=0;若用N (t )表示在[0, t ]内出现点的总数, 则有以下特点：(2) 如果s < t ，则N ( s )≤N ( t )；(4) 若, 记43210t t t t <<<<),,(211t t I =),(432t t I =21I I ∪则在集合中发生点的个数为)]()([)]()([3412t N t N t N t N --+)s )t (3)对于s < t, N (t )－N (s )表示时间(s, t ]内发生点的个数；6(1) N (I )是取非负整数值的随机变量, 且N (φ)=0；(2) 对任意, 若,则T I I ⊂21,φ=21I I ∩)()()(2121I N I N I I N +=∪定义2.3.1设是一个随机过程, T =R n . }),({T I I N ⊂}0:{≥=t t T {(),0}N t t ≥特别当计数过程记为称为伴随随机点过程的计数过程(Counting Process).{(),}N I I T ⊂若N (I )表示集合I 中随机事件A 发生的总数，即对任意集合满足2.3.2泊松过程的数学模型及定义Poisson过程是一类很重要的计数过程.一、Poisson过程数学模型在数字通信中误码率λ是重要指标，设{N( t ), t≥0}为时间段[0, t)内发生的误码次{N( t ), t≥0}是计数过程.数,分析:78(1) 初始时刻不出现误码是必然的, (2) 在互不相交的各区间n n n t t t t t t t t <<<<− 2112110),,[,),,[),,0[出现的误码数应互不影响(相互独立), 在系统稳定运行的条件下, 在相同长度区间内出现k 个误码概率应相同,通信系统中误码计数过程{N ( t ), t ≥0}是平稳独立增量过程.故N ( t )为独立增量过程;故可认为N ( t )是平稳增量过程;故N (0)=0;(3) 对足够小Δt时间内出现一个误码的可能性与区间长度成正比是合理的, 即有P{N(Δt)=1}=λΔt+o(Δt), λ>0；(4) 假定对足够小的Δt时间内,出现两个以上误码的概率是关于Δt的高阶无穷小也是合理的, 有P{N(Δt)≥2}=o(Δt).终上所述, 通信系统中误码计数过程{N( t ), t≥0}有以下特点:9101) 零初值性N ( 0)=0;2) 独立增量性;3)齐性(平稳性)4）普通性终上所述, 通信系统中误码计数过程{N ( t ), t ≥0}有以下特点:在(s, t )时间内出现的误码次数仅与时间间隔长度t －s 有关，而与起始时间s 无关;在充分小的时间间隔内误码个数多于一次的概率很小.定义2.3.2 设计数过程{N( t ), t≥0} 满足：(1) N(0)=0;(2) 具有平稳独立增量；(3) P{N(h)=1}=λh+o(h), λ>0；(4) P{N(h)≥2}=o(h).称{N( t ),t≥0)是参数(或速率,强度)为λ的齐次泊松过程.数字通信误码计数过程{N( t ), t≥0} 即一个齐次泊松过程.1112泊松过程广泛存在于工程问题中. 记0(){()0}p h P N h ==),(}1)({)(1h o h h N P h p +===λ),()(}2)({2h o h p h N P k k ==≥∑∞=注：由定义中的条件(3)和(4) 可得,,2,1,0})({)(===k k h N P h p k ，刻画了泊松过程的事件A 发生的稀有性. 对充分小的h >01().h o h λ=−+13定理2.3.1 若{N (t ), t ≥0}是齐次泊松过程，则对任意0≤s ≤t , 随机变量N (t )－N (s )服从参数为λ(t －s )的泊松分布, 即),2,1,0(,!)]([})]()({[)( =−==−−−k e k s t k s N t N P s t kλλ证:因齐次泊松过程具有平稳增量和零初值(){()}k p t P N t k ==00{()()},P N t t N t k =+−=1o 由条件(2)～(4)，当k = 0{()(0)}P N t N k =−=0,1,2,k =14P 0(t+h )=P {N (t+h )=0}= P {N (t )=0}P {N (t+h )－N (t )=0}增量独立=P 0(t ) P 0(h )000()()()()P t h P t o h P t h hλ+−⇒=−+00()()0, dP t P t h dt λ⎧=−⎪→⎨⎪⎩令得.0,)(0≥=λ−t e t p t 解得00(){()}{()()},k p t P N t k P N t t N t k ===+−==P {N (t )=0,N (t+h )－N (t )=0｝=P 0(t )[1－λh +o(h )]0(0)1,P =((1)(0)0)N =条件152o 当k ≥1, 根据全概率公式有)()()()()(110h p t p h p t p h t p k k k −+=+t](t+h ])()()()1()(1h o t hp t p h h t p k k k ++−=+−λλ1()()()()()k k k k P t h P t o h P t P t h hλλ−+−⇒=−++=→dt t dP h k )(,0得令)()(1t P t P k k −+−λλ16=→dt t dP h k )(,0得令)()(1t P t P k k −+−λλ两边同乘以e λt 后移项整理得）（*)()]([1t p e dtt P e d k t k t −=λλλ当k=1, 则10[()]()t t t t d e P t e P t e e dt λλλλλλλ−⎧===⎪⎨⎪⎩1(),0.t p t te t λλ−=≥解得1(0)0P =171(),0t p t te t λλ−=≥解得成立假设t k k e k t t P λλ−−−−=)!1()()(11代入(*)式有)!1()()()]([11−==−−k t t p e dt t P e d k k t k t λλλλλ()t k e P t λ⇒=C k t k +!)(λ）（*)()]([1t p e dt t P e d k t k t −=λλλ利用初始条件可证得,0)0(=k P t kk e k t t P λλ−=!)()(18利用初始条件可证得,0)0(=k P t k k e k t t P λλ−=!)()(对一切k ≥0均成立.定理证明反之亦然.若具有零初值性计数过程{N (t ), t ≥0}满足),2,1,0(,!)]([})]()({[)( =−==−−−k e k s t k s N t N P s t k λλ(齐性)19则有{()1}{()(0)1}1!h h P N h P N h N e −==−==λλ(2){()2}!k h k h P N h ek ∞−=≥=∑λλ应用定义2.3.2 ,可得以下定理.(3)(4)),2,1,0(,!)]([})]()({[)( =−==−−−k e k s t k s N t N P s t kλλ[1()]()h h o h h o h =−+=+λλλ(2)[()][1()]()2!h o h h o h o h =+−+=λλ20定理2.3.2 计数过程{N (t ), t ≥0}是强度为λ的齐次泊松过程, 当且仅当(1)N (0)=0；(3)对一切0≤s <t , N (t )－N (s )～P (λ(t －s )),即),2,1,0(,!)]([})]()({[)( =−==−−−k e k s t k s N t N P s t k λλ(2)N (t )是独立增量过程；泊松过程的等价定义：21EX.3 设{N ( t ), t ≥0}是参数为λ的泊松过程,事件A 在(0,τ)时间区间内出现n 次,试求:P {N (s )=k N (τ)=n }, 0<k<n, 0<s<τ})({})(,)({n N P n N k s N P ====ττ原式解{(),()()}P N s k N N s n k τ==−=−n k n s k s e n k n s e k s e −−−−−−−−=)(!)!()]([!)()(λττλλλττλλk n k s s k n k n −⎟⎠⎞⎜⎝⎛τ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛τ−=1)!(!!1,k n k k n s s C ττ−⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠0,1,2,,.k n = !()n n e λτλτ−⋅222.3.3 泊松过程的分布及数字特征若{N ( t ), t ≥0}是参数为λ的泊松过程,利用其零初值性和齐性, 有0>∀t 对N (t )～P (λt )其一维分布:})]0()({[})({k N t N P k t N P =−==[],(0,1,2,)!k t t e k k λλ−== ()=u ,t ϕ()R u ,t eiu e t ∈+∞<≤−01λ23二维概率分布:()(){}kj ,t s k t N ,j s N P ≤<==()()()(){}j k s N t N ,j N s N P −=−=−0()(){}()(){}j k s N t N P j N s N P −=−=−=0()()[]()()s t j k s j e !j k s t e !j s −−−−−−=λλλλ()()()t j k j k e !j k !j s t s λλ−−−−=24均值函数t t N E t m λ==)}({)(t t N E )}({=λ有称λ为事件的平均到达率.,0>∀t 因对N (t )～P (λt ).方差函数t t D λ=)(均方差函数C(s,t )=λmin(s,t )，相关函数R (s,t )=λmin(s,t )+λ2st .数字特征25C(s,t )=λmin(s,t )，R (s,t )=λmin(s,t )+λ2st .证:因泊松过程{N ( t ), t ≥0)是平稳独立增量过程，不妨设t > s >0R (s,t )=E {N (t )N (s )}== E {N (s )[N (t )－N (s )]}+E [N 2(s )]sts s s s t s 22])([)(λλλλλλ+=++−×=t t N E t m λ==)}({)(()D t tλ=2(,)(,)()()C s t R s t m s m t s st s tλλλλ=−=+−⋅事实上，应用性质1.3.1即可得.E {N (s )[N (t )－N (s )+ N (s )]}。

5.4 齐次马氏链的状态为揭示齐次马氏链的基本结构，需对其状态按概率特性进行分类，状态分类是研究n 步转移概率的极限状态的基础.EX.1设系统有三种可能状态E={1, 2 ,3},“1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常，“3”表示系统失效.电子科技大学电子科技大学以X (n )表示系统在n 时刻的状态, 并设{X (n ),n ≥0}是一马氏链. 在没有维修及更换的条件下, 其自然转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P 由矩阵P 可见，从“1”或“2”出发经有限次转移后总能到达“3”状态，而一旦到达“3”状态则永远停留在“3”.状态“1”, “2”与状态“3”有不同的概率特性.状态“1”, “2”与状态“3”有不同的概率特性.一、刻画状态特性的几个特征量二、状态类型分类三、状态类型判别条件四、状态间的关系五、状态空间的分解电子科技大学一、刻画状态特性的几个特征量定义5.4.4，记及对1,≥∈∀n E j i },)0(11,)(,)({ˆ)(i X n k j k X j n X P f n ij =−≤≤≠==称为(n 步)首达概率.系统从状态“i ”出发经过n 步转移后首次到达状态“j ”的概率特别地称)(n ii f 为首返概率；5.4 齐次马氏链的状态电子科技大学∑∞==1)(n n ijf称为最终概率.定义5.4.5 自状态i 出发迟早(最终)到达j 的概率为})0()(,1{i X j n X n P f ij ==≥=使存在定理5.4.1(首达概率表示式)有，及对1,≥∈∀n E j i ;10)1)(≤≤n ij f 2) 首达概率可以用一步转移概率表示为为状态i 的最终返回概率.ii f ji i i j i j i i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠=电子科技大学j i i i j i ji i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠= 证1）显然ii 1i 2j2）分析示意图如下})0(1,,2,1,)(,)({)(i X n k j k X j n X P f n ij =−=≠== .)0(1,,2,1,})({,)(⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−====∈≠i X n k i k X j n X P E i j i k k k ∪第1步第2步第n 步()01;n ij f ≤≤电子科技大学⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧===−==−≠≠≠−i X j n X i n X i X P n j i j i j i n )0(})(,)1(,,)1({11112 ∪∪∪()(),{()},1,2,,1(0).k n ij k i j f P X n j X k i k n X i ≠⎧⎫⎪⎪====−=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∪∑∑∑≠≠≠−=j i ji j i n 112 })0()(,)1(,,)1({11i X j n X i n X i X P n ===−=− ji i i j i j i ii j i n n p p p 1211112−−∑∑∑≠≠≠=定义5.4.2 对j ∈E , 称})0(,)(,1:min{i X j n X n n T ij ==≥=为从i 到达j 的首达时间.注：若右边是空集, 则令T ij =∞.随机变量EX.2在股票交易过程中令状态空间为E ={－1, 0, 1}各状态分别代表“下跌”,“持平”,“上升”.若X (0)=0, 有使<<<<k n n n 21电子科技大学 ,1)(,,1)(,1)(21===k n X n X n X }0)0(,1)(:min{01===X n X n t k 则121},,,,min{n n n n k == 注1T ij 表示从i 出发首次到达j 的时间.T ii 表示从i 出发首次回到i 的时间.注2 T ij 与首达概率之间有关系式：,2,1,,,},)0({)1)(∞=∈===n E j i i X n T P f ij n ij.,},)0({)2E j i i X T P f ij ij ∈=∞<=若X (0)=0, 有使 <<<<k n n n 21续EX.1设系统有三种可能状态E ={1, 2 ,3}, “1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常,“3”表示系统失效.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P T 13(1)1313{1(0)1}f P T X ====131,20p =ji i i j i j i i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠= 系统的工作寿命，有电子科技大学(2)1313{2(0)1}f P T X ===13{(0)1}P T n X ≥=研究首达概率和首达时间有实际工程意义.……13{(0)1}P T n X ≥=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P [0,],n 是系统在内运行的可靠性有1113122321,400p p p p =+=13{(0)1}k nP T k X ∞====∑()13n k nf∞==∑电子科技大学定理5.4.2概率与首达概率有关系式，任意步转移及对1,≥∈∀n E j i ∪∞==⊂==1}{})(,)0({m ij m T j n X i X 因证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∞=∪∩1}{})(,)0({m ij m T j n X i X })(,)0({j n X i X ==故.)(1)()(m n jjnm m ijn ijpfp−=∑=电子科技大学})0()({)(i X j n X P P n ij===⎭⎬⎫⎩⎨⎧=====i X j n X m T P nm ij )0(})(,{1∪},)0()({})0({1m T i X j n X P i X m T P ij nm ij ======∑=⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∞=∪∩1}{})(,)0({m ij m T j n X i X ∪nm ij m T j n X i X 1},)(,)0({=====})(,)0({j n X i X ==故电子科技大学马氏性})()({})0(,11,)(,)({1j m X j n X P i X m k j k X j m X P nm ==⋅=−≤≤≠==∑=})()({1)(j m X j n X P f nm m ij ===∑=()1{(0)}{()(0),}nn ijij ij m P P T m X i P X n j X i T m =======∑.)(1)(m n jjnm m ijpf−=∑=定义5.4.1使，若存在对1,,≥∈∀n E j i ,0)(>n ijp称自状态i 可达状态j ,记为.j i →定理5.4.3的充分必要条件是0>ij f .j i →证:必要性因01)(>=∑∞=m m ijij ff 至少存在一个n 使,有)(>n ijf ()()()1nn m n m ijijjjm pfp−==∑()(0)0n ijjj fP ≥>定义5.4.3称若,,0}{E j T P ij ∈=∞=∑∞===1)(][n n ijij ij nfT E μ为从状态i 出发, 到达状态j 的平均时间(平均步数).充分性因j i →使，存在1≥n 01)()()(>=∑=−nm m n jjm ijn ijpfp则在中至少有一个大于零，故)()1(,,n ijijff 01)(>=∑∞=m m ijij ff 特别当i=j 称jj μ为状态j 的平均返回时间.电子科技大学二、状态类型分类状态分类是研究n 步转移概率的极限状态的基础, 能有效地揭示其深刻的统计规律.续EX.1设系统有三种可能状态E ={1, 2 ,3},“1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常，“3”表示系统失效.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∞→100100100lim )(n n P该系统的状态“3”是吸收态, 经有限步均会被吸收, 直观分析可得有必要分析各种状态的类型.电子科技大学定义5.4.6对状态i ∈E , 最终返回概率为f ii ，若f ii <1，称状态i 是非常返的(或瞬时的).若f ii =1，称状态i 是常返的；若马氏链的每个状态都是常返的, 则称为常返马氏链.f ii =1表示系统从状态i 出发几乎必定会返回状态i .定义5.4.7对常返状态i ∈E , 平均返回时间为μii ，若μii <+∞, 称状态i 是正常返的；进一步, 根据常返状态的平均返回步数再划分为两类.注若μii = +∞, 称状态i 为零常返的。

电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随机变量。

（ 共10分）1．画出该过程两条样本函数。

(2分)2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的一维概率密度函数，并画出其图形。

(5分)3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平稳？(3分)解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图2.1(a)所示：t2.当02tπω=时，()02Xπω=，()012P Xπω⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，此时概率密度函数为：(;)()2Xf x xπδω=当34tπω=时，32()42X Vπω=-，随机过程的一维概率密度函数为：232,0(;)240,Xxf xothersπω⎧-<<⎪=⎨⎪⎩3. ()[]1cos cos2E X t E V t tωω==⎡⎤⎣⎦均值不平稳，所以()X t非广义平稳，非严格平稳。

二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均匀分布随机变量。

（ 共10分）1．求两个随机信号的互相关函数12(,)XY R n n 。

(2分)2．讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。

(4分)3．两个随机信号联合平稳吗？(4分)解：1.两个随机信号的互相关函数()()()()()()()121212121212(,)sin 2cos 21sin 222sin 2221sin 2202XY R n n E X n Y n E n n E n n n n n n πφπφππφππππ=⎡⎤⎣⎦=++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦=-=其中()12sin 2220E n n ππφ++=⎡⎤⎣⎦2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =，故两个随机信号正交。

随机过程第三版课后答案【篇一：随机过程习题答案】们的均值分别为mx和my，它们的自相关函数分别为rx(?)和ry(?)。

（1）求z(t)=x(t)y(t)的自相关函数；（2）求z(t)=x(t)+y(t)的自相关函数。

答案：（1）rz(?)?e?z(t??)z(t)??e?x(t??)y(t??)x(t)y(t)?利用x(t)和y(t)独立的性质：rz(?)?e?x(t??)x(t)?e?y(t??)y(t)???rx(?)ry(?)（2）rz(?)?e?z(t??)z(t)??e??x(t??)?y(t??)???x(t)?y(t)?? ?e?x(t??)x (t)?x(t??)y(t)?y(t??)x(t)?y(t??)y(t)?仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：rz(?)?rx(?)?2mxmy?ry(?)2、一个rc低通滤波电路如下图所示。

假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2的高斯白噪声。

（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。

电流：i(t)电压：y(t)答案：（1）该系统的系统函数为h(s)?y(s)1? x(s)1?rcs则频率响应为h(j?)?11?jrc?n02而输入信号x(t)的功率谱密度函数为px(j?)?该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为：py(j?)?px(j?)h(j?)?2n0/21?rc?2对py(j?)求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数：1ry(?)?2?????py(j?)ej??1d??2?n0/2j?????1?rc?2ed??（2）线性系统输入为高斯随机过程，则输出也一定是高斯的。

因此，为了求输出的一维概率密度函数，仅需知道输出随机过程的均值和方差即可。

均值：已知输入均值mx=0，则输出均值my=mxh(0)=02方差：ry(0)?var(y)?my因为均值为0，所以方差var(y)?ry(0)?一维pdf：略12?n0/2???1?rc2?2d??3、理想带通滤波器的中心频率为fc、带宽为b，其在通带的频率增益为1。

1．试述Flynn 分类的4 种计算机系统结构有何特点。

参考答案：Flynn按照指令流和数据流两种不同的组合，把计算机系统的结构分为以下4 类：（1）单指令流单数据流SISD（Single Instruction Stream Single Datastream），SISD 是传统的顺序处理计算机；（2）单指令流多数据流SIMD（Single Instruction Stream Multiple Datastream），SIMD 以阵列处理机为代表；（3）多指令流单数据流MISD（Multiple Instruction Stream Single Datastream），MISD 实际代表何种计算机，存在着不同的看法；（4）多指令流多数据流MIMD（Multiple Instruction Stream Multiple Datastream），多处理机与多计算机系统属于MIMD 结构。

单指令流单数据流（Single Instruction Stream Single Data Stream，SISD）SISD其实就是传统的顺序执行的单处理器计算机，其指令部件每次只对一条指令进行译码，并只对一个操作部件分配数据。

单指令流多数据流（SingleInstructionStreamMultipleDataStream，SIMD）SIMD以并行处理机为代表，结构如图，并行处理机包括多个重复的处理单元PU1～PUn，由单一指令部件控制，按照同一指令流的要求为它们分配各自所需的不同的数据。

多指令流单数据流（MultipleInstructionStreamSingleDataStream，MISD）MISD的结构，它具有n个处理单元，按n条不同指令的要求对同一数据流及其中间结果进行不同的处理。

一个处理单元的输出又作为另一个处理单元的输入。

多指令流多数据流（MultipleInstructionStreamMultipleDataStream，MIMD）MIMD的结构，它是指能实现作业、任务、指令等各级全面并行的多机系统，多处理机就属于MIMD。