随机过程-习题解答 电子科技大学

一、设二维随机变量 ( ,) 的结合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：＝当时，＝设失散型随机变量X 听从几何散布：试求的特点函数，并以此求其希望与方差。

解：因此：袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每一个确立的 t对应随机变量t假如对 t时获得红球X (t )3e t假如对 t时获得白球试求这个随机过程的一维散布函数族 .设随机过程，此中是常数，与是相互独立的随机变量，听从区间上的均匀散布，听从瑞利散布，其概率密度为试证明为宽安稳过程。

解：（ 1）与没关（2），因此（3）只与时间间隔有关，因此为宽安稳过程。

设随机过程X (t ) U cos2t，此中 U 是随机变量，且E(U ) 5， D (U ) 5.求：（1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数 .设有两个随机过程X (t ) Ut 2， Y(t ) Ut 3 ,此中 U 是随机变量，且 D (U ) 5.试求它们的互协方差函数。

设 A, B是两个随机变量, 试求随机过程X (t) At 3B，t T ( ,)的均值函数和自有关函数.若 A, B互相独立,且 A ~ N (1,4), B ~ U (0,2),则m X(t)及R X(t1, t2)为多少？一队学生按序等候体检。

设每人体检所需的时间听从均值为 2 分钟的指数散布而且与其余人所需时间互相独立， 则 1 小时内均匀有多少学生接受过体检在这 1 小时内最多有40 名学生接受过体检的概率是多少（设学生特别多，医生不会安闲）解：令 N (t) 表示 (0, t) 时间内的体检人数，则N (t ) 为参数为 30 的poisson 过程。

以小时为单位。

则 E(N(1)) 30。

40 (30) k e 30。

P(N (1) 40)k!k 0在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐 1,2 路公共汽车的强度分别为 1，2，当 1 路公共汽车有N1人乘坐后出发； 2 路公共汽车在有N2人乘坐后出发。

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

通信原理辅导及习题解析（第六版）第3章随机过程本章知识结构及内容小结[本章知识结构][知识要点与考点]1． 随机过程的基本概念 （1）随机过程的定义随机过程可从样本函数与随机变量两种角度定义。

第一，随机过程是所有样本函数的集合；第二，随机过程可以看作实在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

（2）随机过程的分布函数 ① n 维分布函数12121122(,,,;,,,){(),(),,()}n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤② n 维概率密度函数1212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,),,,n n n n n n nF x x x t t t f x x x t t t x x x ∂=∂∂∂维数n 越大，对随机过程统计特征的描述就越充分。

（3）随机过程的数字特征 ① 均值（数学期望）1[()](,)()E t xf x t dx a t ξ∞-∞==⎰均值表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。

② 方差2222[()]{()[()]}[()]()()D t E t E t E t a t t ξξξξσ=-=-=方差表示随机过程在时刻t 相对于均值的偏离程度。

③自相关函数1212(,)[()()]R t t E t t ξξ=自相关函数目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。

④协方差函数1211221212(,){[()()][()()]}(,)()()B t t E t a t t a t R t t a t a t ξξ=--=-协方差函数对随机过程在任意两个时刻上的随机变量与各自均值的差值之间的相关联程度进行描述。

⑤互相关函数,1212(,)[()()]R t t E t t ξηξη=互相关函数用来衡量两个随机过程之间的相关程度。

2． 平稳随机过程 （1）定义 ①严平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的任意有限维分布函数与时间起点无关，则称为严平稳的，即：()()12121212,,,,,,,,,,n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t =+∆+∆+∆②宽平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的均值为常数，自相关函数仅于时间间隔21t t τ=-有关，则称为宽平稳，即：()()()12, ,E t a R t t R ξτ==⎡⎤⎣⎦（2）各态历经性若随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态，则称其是各态历经的，即随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表。

随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。

2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。

习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。

3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。

4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。

习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。

2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。

⎪2. （1） 求参数为(p , b )的Γ 分布的特征函数，其概率密度为⎧ b p p (x ) = ⎪ x p -1e -bx , x > 0 b > 0, p 是正整数（2）求其期望和方差。

⎨Γ( p ) ⎪⎩0 x ≤ 0（3）证明对具有相同参数b 的Γ 分布，关于参数 p 具有可加性。

解 （1） 首先，我们知道Γ 函数有下面的性质：Γ(p ) = (p -1)!根据特征函数的定义，有f X (t ) = E [e jtX]= ⎰∞ejtxp (x )dx = ⎰e jtxb p Γ(p ) x p -1e -bx dx= ⎰0bpΓ( p ) -∞ 0x p -1e -(b - jt )x dx =b p 1p -1 -(b - jt )x ∞ b p p - 1 ∞ p -2 -(b - jt )x Γ(p ) - (b - jt ) x e0 + Γ( p ) (b - jt ) ⎰0 x e dx = b p p - 1 ⎰∞ x p -2 e -(b - jt )x dx Γ(p ) (b - jt ) 0 ==b p ( p - 1)! ∞ 0 -(b - jt )x Γ(p ) (b - jt )p -1 ⎰0 x e dx= b p ( p - 1)! = ⎛ b ⎫ Γ(p ) (b - jt )p b - jt ⎪ ⎝ ⎭所以⎛ b ⎫ pf X (t ) = ⎪b - jt ⎝ ⎭（2）根据期望的定义，有∞∞ p]⎰ b ⎰ ∞( )∞b pp -1 -bxb p∞p -bxm X = E [X ] = ⎰-∞ xp x dx = ⎰0 x Γ(p ) x e dx = Γ( p ) ⎰0 x e dx = b p 1 p -bx ∞ b p p ∞p -1 -bxΓ( p ) - b x e 0 + Γ(p ) b ⎰0 xe dx = p ⎰∞ bp -1 -bx = p ⎰∞ ( ) = p b 0 Γ( p ) x 类似的，有e dx p x dx b -∞ bE [X 2= ∞x 2-∞ p (x )dx = ⎰0 2b px Γ(p ) x p -1e -bx dx = p Γ(p ) ⎰0x p +1e -bx dx b p 1 p +1 -bx ∞ b p ( p + 1) ∞ p -bx= Γ( p ) - b x e 0 + Γ(p ) b ⎰0 x e dx= b p Γ( p ) =(p + 1) b 0 x p e -bx dx= (p + 1)p ∞ b pp -1 -bx= ( p + 1)p ∞ ( )b 2⎰0=(p + 1)p b 2Γ(p ) xe dxb 2⎰-∞p x dx所以， X 的方差为D X =E [X 2]- m 2= ( p + 1)p b 2⎛ p ⎫2⎪ b= p b 2⎝ ⎭ （3）p ∞∞ ∞ X -M M M M ∑ ∑ i =1 k =1 i =1 k =1i =1 k =1i =1 k =15. 试证函数 ( ) =e jt (1 - e jnt ) 为一特征函数，并求它所对应的随机变f tn (1 - e jt )量的分布。

5.4 齐次马氏链的状态为揭示齐次马氏链的基本结构，需对其状态按概率特性进行分类，状态分类是研究n 步转移概率的极限状态的基础.EX.1设系统有三种可能状态E={1, 2 ,3},“1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常，“3”表示系统失效.电子科技大学电子科技大学以X (n )表示系统在n 时刻的状态, 并设{X (n ),n ≥0}是一马氏链. 在没有维修及更换的条件下, 其自然转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P 由矩阵P 可见，从“1”或“2”出发经有限次转移后总能到达“3”状态，而一旦到达“3”状态则永远停留在“3”.状态“1”, “2”与状态“3”有不同的概率特性.状态“1”, “2”与状态“3”有不同的概率特性.一、刻画状态特性的几个特征量二、状态类型分类三、状态类型判别条件四、状态间的关系五、状态空间的分解电子科技大学一、刻画状态特性的几个特征量定义5.4.4，记及对1,≥∈∀n E j i },)0(11,)(,)({ˆ)(i X n k j k X j n X P f n ij =−≤≤≠==称为(n 步)首达概率.系统从状态“i ”出发经过n 步转移后首次到达状态“j ”的概率特别地称)(n ii f 为首返概率；5.4 齐次马氏链的状态电子科技大学∑∞==1)(n n ijf称为最终概率.定义5.4.5 自状态i 出发迟早(最终)到达j 的概率为})0()(,1{i X j n X n P f ij ==≥=使存在定理5.4.1(首达概率表示式)有，及对1,≥∈∀n E j i ;10)1)(≤≤n ij f 2) 首达概率可以用一步转移概率表示为为状态i 的最终返回概率.ii f ji i i j i j i i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠=电子科技大学j i i i j i ji i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠= 证1）显然ii 1i 2j2）分析示意图如下})0(1,,2,1,)(,)({)(i X n k j k X j n X P f n ij =−=≠== .)0(1,,2,1,})({,)(⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−====∈≠i X n k i k X j n X P E i j i k k k ∪第1步第2步第n 步()01;n ij f ≤≤电子科技大学⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧===−==−≠≠≠−i X j n X i n X i X P n j i j i j i n )0(})(,)1(,,)1({11112 ∪∪∪()(),{()},1,2,,1(0).k n ij k i j f P X n j X k i k n X i ≠⎧⎫⎪⎪====−=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∪∑∑∑≠≠≠−=j i ji j i n 112 })0()(,)1(,,)1({11i X j n X i n X i X P n ===−=− ji i i j i j i ii j i n n p p p 1211112−−∑∑∑≠≠≠=定义5.4.2 对j ∈E , 称})0(,)(,1:min{i X j n X n n T ij ==≥=为从i 到达j 的首达时间.注：若右边是空集, 则令T ij =∞.随机变量EX.2在股票交易过程中令状态空间为E ={－1, 0, 1}各状态分别代表“下跌”,“持平”,“上升”.若X (0)=0, 有使<<<<k n n n 21电子科技大学 ,1)(,,1)(,1)(21===k n X n X n X }0)0(,1)(:min{01===X n X n t k 则121},,,,min{n n n n k == 注1T ij 表示从i 出发首次到达j 的时间.T ii 表示从i 出发首次回到i 的时间.注2 T ij 与首达概率之间有关系式：,2,1,,,},)0({)1)(∞=∈===n E j i i X n T P f ij n ij.,},)0({)2E j i i X T P f ij ij ∈=∞<=若X (0)=0, 有使 <<<<k n n n 21续EX.1设系统有三种可能状态E ={1, 2 ,3}, “1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常,“3”表示系统失效.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P T 13(1)1313{1(0)1}f P T X ====131,20p =ji i i j i j i i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠= 系统的工作寿命，有电子科技大学(2)1313{2(0)1}f P T X ===13{(0)1}P T n X ≥=研究首达概率和首达时间有实际工程意义.……13{(0)1}P T n X ≥=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P [0,],n 是系统在内运行的可靠性有1113122321,400p p p p =+=13{(0)1}k nP T k X ∞====∑()13n k nf∞==∑电子科技大学定理5.4.2概率与首达概率有关系式，任意步转移及对1,≥∈∀n E j i ∪∞==⊂==1}{})(,)0({m ij m T j n X i X 因证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∞=∪∩1}{})(,)0({m ij m T j n X i X })(,)0({j n X i X ==故.)(1)()(m n jjnm m ijn ijpfp−=∑=电子科技大学})0()({)(i X j n X P P n ij===⎭⎬⎫⎩⎨⎧=====i X j n X m T P nm ij )0(})(,{1∪},)0()({})0({1m T i X j n X P i X m T P ij nm ij ======∑=⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∞=∪∩1}{})(,)0({m ij m T j n X i X ∪nm ij m T j n X i X 1},)(,)0({=====})(,)0({j n X i X ==故电子科技大学马氏性})()({})0(,11,)(,)({1j m X j n X P i X m k j k X j m X P nm ==⋅=−≤≤≠==∑=})()({1)(j m X j n X P f nm m ij ===∑=()1{(0)}{()(0),}nn ijij ij m P P T m X i P X n j X i T m =======∑.)(1)(m n jjnm m ijpf−=∑=定义5.4.1使，若存在对1,,≥∈∀n E j i ,0)(>n ijp称自状态i 可达状态j ,记为.j i →定理5.4.3的充分必要条件是0>ij f .j i →证:必要性因01)(>=∑∞=m m ijij ff 至少存在一个n 使,有)(>n ijf ()()()1nn m n m ijijjjm pfp−==∑()(0)0n ijjj fP ≥>定义5.4.3称若,,0}{E j T P ij ∈=∞=∑∞===1)(][n n ijij ij nfT E μ为从状态i 出发, 到达状态j 的平均时间(平均步数).充分性因j i →使，存在1≥n 01)()()(>=∑=−nm m n jjm ijn ijpfp则在中至少有一个大于零，故)()1(,,n ijijff 01)(>=∑∞=m m ijij ff 特别当i=j 称jj μ为状态j 的平均返回时间.电子科技大学二、状态类型分类状态分类是研究n 步转移概率的极限状态的基础, 能有效地揭示其深刻的统计规律.续EX.1设系统有三种可能状态E ={1, 2 ,3},“1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常，“3”表示系统失效.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∞→100100100lim )(n n P该系统的状态“3”是吸收态, 经有限步均会被吸收, 直观分析可得有必要分析各种状态的类型.电子科技大学定义5.4.6对状态i ∈E , 最终返回概率为f ii ，若f ii <1，称状态i 是非常返的(或瞬时的).若f ii =1，称状态i 是常返的；若马氏链的每个状态都是常返的, 则称为常返马氏链.f ii =1表示系统从状态i 出发几乎必定会返回状态i .定义5.4.7对常返状态i ∈E , 平均返回时间为μii ，若μii <+∞, 称状态i 是正常返的；进一步, 根据常返状态的平均返回步数再划分为两类.注若μii = +∞, 称状态i 为零常返的。

§3.4 均方导数3.4.1均方导数概念定义3.4.1{X (t ),t ∈T }是二阶矩过程,00()()X t t X t t+Δ−Δ存在, 此极限为X (t ) 在t 0处的均方导数，记为0()t dX t dt 0l.i.m t Δ→称X (t )在t 0处均方可微(可导),对于确定的t 0∈T , 若0().X t ′或若对t ∈T, X ( t )都均方可微, 称为均方可微过程.记为}),({T t t X ∈)()()(l.i.m 0t t X t t X t t X Δ′=Δ−Δ+→注1：均方导数在概率为1 的意义下惟一.，若)()(),()(21t Y t X t Y t X =′=′12()()(..)Y t Y t a s =则由均方极限的惟一性}),({T t t X ∈′′，其余各高阶导数依此余推.为其均方导数过程，可证明}),({T t t X ∈′仍是二阶矩过程，可定义其均方导数过程EX.1试求随机过程BAt t X +=)(的均方导数, 其中A 、B 是相互独立的随机变量.解tt X t t X t X t Δ−Δ+=′→Δ)()(i.m .l )(00()()l.i.m t A t t B At B tΔ→+Δ+−+=Δ而02)()(2=−=−Δ−Δ+A A E A tt X t t X E 0l.i.m t A A Δ→==为将随机过程的均方导数研究问题转移到实数域进行讨论分析,引进广义二阶导数概念：定义3.4.2 称二元函数f (s,t )在(s, t )处广义二阶可微,若极限00(,)(,)(,)(,)lim s t f s s t t f s s t f s t t f s t s t Δ→Δ→+Δ+Δ−+Δ−+Δ+ΔΔ存在, 称此极限为f (s , t )在(s , t )处的广义二阶导数.广义二阶导数是二重极限,而二阶混合偏导是二次极限, 一般情况下二者不相等注见P91在一般情况下, 直接判断随机过程的可微性并求出导数过程极其困难.广义二阶导数是二重极限,而二阶混合偏导是二次极限, 一般情况下二者不相等.注参见P91引理若二元函数f (s,t )关于s, t 的一阶偏导存在, 二阶混合偏导存在并连续,则f (s,t )一定是广义二阶可微的. 且广义二阶导数为),(),(t s f t s f ts st′′=′′3.4.2 均方可微准则二阶矩过程{X ( t ),t ∈T }在t 0∈T 处均方可微的充要条件是其相关函数R (s, t )在(t 0,t 0)处广义二阶可微.定理3.4.1 (均方可微准则)证由均方收敛定义及极限收敛准则可知,{X (t ),t ∈T }在t 0处均方可微存在tt X t t X t Δ−Δ+→Δ)()(i.m .l 00000000()()()()lim t s X t t X t X t s X t E t s Δ→Δ→⎧⎫+Δ−+Δ−⎪⎪⋅⎨⎬ΔΔ⎪⎪⎩⎭存在)],(),(),(),([1lim 0000000000t t R s t t R t t t R s t t t R s t s t +Δ+−Δ+−Δ+Δ+ΔΔ→Δ→Δ存在,即，R (s, t )在(t 0,t 0)处广义二阶可微.存在tt X t t X t Δ−Δ+→Δ)()(i.m .l 000洛易夫均方收敛准则推论3.4.1:二阶矩过程{X (t ),t ∈T }的相关函数R (s,t )在T ×T 的对角线上广义二阶可微,则),(),,(),,(),,(上均存在在T T t s R t s R t s R t s R ts st t s×′′′′′′EX.3设随机变量ξ满足E (ξ)=0, D (ξ)=σ2, 令X (t )=ξt , t ∈T证: {X ( t ), t ∈R }是二阶矩过程,(,)[()()]X R s t E X s X t =其广义二阶导数为证明: {X (t ),t ∈T } 是均方可微过程.2[]()E s t stE st ξξξξσ=⋅==E [X (t )]=0, D [X (t )]=t 2σ2,001lim [(,)(,)X X s t R s s t t R s s t s t Δ→Δ→+Δ+Δ−+ΔΔΔ])()())([(lim200st t t s t s s t t s s t s t s +Δ+−Δ+−Δ+Δ+ΔΔ=→Δ→Δσ∞<=2σ故{X ( t ), t ∈T }是一个均方可微过程.2(,)X R s t st σ=,其广义二阶导数为EX.3设随机变量ξ满足E (ξ)=0, D (ξ)=σ2, 令X (t )=ξt , t ∈T(,)(,)]X X R s t t R s t −+Δ+EX.4设{W (t ), t ≥0}是参数为σ2的维纳过程, 讨论随机过程X (t )=W 2(t ), t ≥0是否均方可微？解自相关函数为)),(min 2(),(24t s st t s R +=σt t t R t t t R t t R t s Δ−Δ+=′+→Δ+),(),(lim ),(04220[()23]lim t t t t t t tσΔ→++Δ+−=Δt t t R t t t R t t R t s Δ−Δ+=′−→Δ−),(),(lim ),(04220[()2()3]lim t t t t t t t t σΔ→−+Δ++Δ−=Δ4,t σ=45,t σ=4(,)5,s R t t t σ−′=,),(不存在所以t t R s′),,(),(t t R t t R S S −+′≠′不是广义二阶可导的，),(t sR X (t )=W 2(t ), t ≥0不是均方可微的.EX.4设{W (t ), t ≥0}是参数为σ2的维纳过程,讨论随机过程X (t )=W 2(t ), t ≥0是否均方可微？4(,),s R t t t σ+′=推论4.3.1二阶矩过程{X (t ),t ∈T }的相关函数R (s,t )在T ×T 的对角线上广义二阶可微,则.),(),,(),,(),,(上均存在在T T t s R t s R t s R t s R ts st t s×′′′′′′ 3.4.3 均方导数基本性质定理3.4.2设二阶矩过程{X ( t ),t ∈T }均方可导, 则有的均值函数为导数过程}),({)1(T t t X ∈′()[()]X m t E X t ′′==[()]()X d E X t m t dt ′=的自相关函数为导数过程}),({)2(T t t X ∈′(,)[()()]X R s t E X s X t ′′′=互相关函数为的与导数过程}),({}),({)3(T t t X T t t X ∈∈′(,)[()()]X X R s t E X s X t ′′=(,)[()()]XX R s t E X s X t ′′=的均值函数为导数过程}),({)1(T t t X ∈′)()]([)]([)(t m t X E dtd t X E t m X X ′==′=′(,)(,)stts R s t R s t ′′′′==(,)sR s t ′=(,)t R s t ′=()()[]X t t X t E t+Δ−Δ0()()lim[]X X t m t t m t t Δ→+Δ−=Δ)]([)()1(t X E t m X ′=′⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ−Δ+=→Δt t X t t X E t )()(i.m .l 0()x m t ′=])()([),()3(t X s X E t s R X X ′=′0()()[..()]s X s s X s E l i m X t sΔ→+Δ−=⋅Δst X s X t X s s X E s Δ−Δ+=→Δ])()()()([lim 00(,)(,)]lim s R s s t R s t tΔ→+Δ−=Δ0lim t Δ→=(,)s R s t ′=])()([),()2(t X s X E t s R X ′′=′)]()()(i.m .l [0t X ss X s s X E s ′⋅Δ−Δ+=→Δs t X s X t X s s X E s Δ′−′Δ+=→Δ])()()()([lim 0s t s R t s s R t t s Δ′−Δ+′=→Δ),(),(lim 0),(t s R ts ′′=由(3)可得),(])()([),(t s R t X s X E t s R sX X ′=′=′),(])()([),(t s R t X s X E t s R t X X ′==′定理3.4.3 之(1)均方可导必均方连续, 即{X (t ),t ∈T }在t 处均方可微,则在t 处均方连续.故证,)(H t X ∈′])()([lim 20t X t t X E t −Δ+→Δ220()()lim ()t X t t X t E t t Δ→⎡⎤+Δ−=⋅Δ⎢⎥Δ⎢⎥⎣⎦注逆不真.2[()]00E X t ′=⋅=EX.5参数为σ2的Wiener 过程{W (t ), t ≥0}是均方连续的, 但不是均方可微的.解已证均方连续性，),min(),(2t s t s R W σ=因⎩⎨⎧≥<≤=.,;0,22t s t t s s σσ0>Δ>Δt s 当s t t t R s t t R t t t R s t t t R s t ΔΔ+Δ+−Δ+−Δ+Δ+→Δ→Δ),(),(),(),(lim 00σ200lim t s t t t t t t s Δ→Δ→+Δ−−+=ΔΔσ200lim t s s Δ→Δ→==∞Δ维纳过程的自相关函数对所有t ≥0均非广义二阶可微, 故维纳过程的均方导数处处不存在.]),[min(),(),(2t t t t t t R t t t R W W −Δ+=−Δ+σ⎩⎨⎧<ΔΔ>Δ=.0,;0,0t tt ,00lim ),(0=Δ=′+→Δ+t t t R t s 或因.1lim ),(0=ΔΔ=′−→Δ−t t t t R t s .),(处处不存在t t R s′由推论3.4.1知{W (t ), t ≥0}的相关函数R (s, t ) 非广义二阶可微，从而非均方可微.注可通过引进δ函数,定义Wiener过程的导数过程(参见P93).定理3.4. 3之(2)均方导数具有线性性质.X (t ),Y (t )均方可微, 则{aX (t )+bY (t ),t ∈T } , a ,b ∈C, 也均方可微, 且)()(])()([t Y b t X a T bY t aX ′+′=′+[][]t t bY t aX t t bY t t aX t bY aX Δ+−Δ++Δ+=Δ+Δ)()()()()(证记[])()(][t Y b t X a dt bY aX d ′+′=+()()aX bY d aX bY t dtΔ++−Δ则)]()([)(t Y b t X a tbY aX ′+′−Δ+Δ=dtbY aX d t bY aX )()(+−Δ+Δ则)]()([)(t Y b t X a tbY aX ′+′−Δ+Δ=定理3.4. 3之(2)均方导数具有线性性质.X (t ),Y (t )均方可微, 则{aX (t )+bY (t ),t ∈T } , a ,b ∈C, 也均方可微, 且)()(])()([t Y b t X a T bY t aX ′+′=′+)(')]([t X tt X t t X a −Δ−Δ+≤）（,0)(')]()([→−Δ−Δ+⋅+t Y t t Y t t Y b .0→Δt as均方导数21教师：彭江艳设{X (t ),t ∈T }是均方可微过程,且X'(t )=0, 则X ( t )是一个常随机变量.定理3.4. 3之(4)与指标t 无关的随机变量等价于具有相等均方导数的两个随机过程，它们最多仅相差一个随机变量，即)(])([t X X t X ′=′+定理3.4. 3之(3)f (t )均方可微过程,则{f ( t )X ( t ),t ∈T } 也是均方可微过程,有)()()()(])()([t X t f t X t f t X t f ′+′=′证见P95。

1平稳过程教师：彭江艳§4.3 平稳过程的均方遍历性4.3.1 问题背景 1）在何种条件下, 可以依据平稳过程的 一条现实建立有效描述过程的数学模型？ 2）实际问题中常需确定随机过程的数学 期望和方差、相关函数； 如飞机在高空飞行，受湍流影响产生机翼 震动，需考虑机翼振幅大小的均值与方差.电子科技大学2平稳过程教师：彭江艳电路中电子不规则运动引起的热噪声(电 位的脉动).考虑脉动范围,噪声功率等归结为 求过程的方差, 相关系数. 2）对实际动态数据进行零均值化, 如何从 数据得到均值函数？ 困难在于需知道过程的一、二维分布. 设想用试验法解决.电子科技大学3平稳过程教师：彭江艳设想 研究平稳过程{X(t), t∈T}，X(t1,ω)X(tn+τ,ω)X(t,ω1) X(t,ω2) X(t,ω3)t1tn+τ进行足够多次的试验，得到样本函数族电子科技大学4平稳过程教师：彭江艳{( x ( t , ω1 ), x ( t , ω 2 )," , x ( t , ω n )), t ∈ T }根据大数定律，对固定t1∈T，可令1 n m ˆ X ( t1 ) ≈ ∑ x k ( t1 ), n k =1n 1 ˆ (τ ) ≈ R xk ( t1 ) xk ( t1 + τ ), ∑ X n k =1统计平均缺点 1) 需要很大 n ,实际工程中难以实现. 2) 部分过程具有不可重复性.电子科技大学5平稳过程教师：彭江艳Ex.1 下面的数据是某城市1991~1996 年中每个季度的民用煤消耗量（单位：吨）电子科技大学6平稳过程教师：彭江艳民用煤消耗量数据散布图 年平均 曲线 数据 曲线电子科技大学7平稳过程教师：彭江艳4.3.2 时间平均和时间自相关函数 问题 能否用一条样本函数去估计随机过 程的数字特征？ 即能否用一条样本函数在时间轴上的均值 1 T 1 T x(t ) x(t + τ )dt x ( t )dt ∫ ∫ 2T −T 2T −T 近似估计E{X(t)}、R(τ)?过程满足一定条件时可行.？时间平均8平稳过程教师：彭江艳定义4.3.1 设{X(t), t∈(－∞,+ ∞)}为随机 过程，若均方极限1 X (t ) = ˆ l.i.m T → ∞ 2T∫T−TX ( t )dt二次均 方极限存在,称为X(t)在(－∞,+ ∞)上的时间平均. 二次均 对于固定的τ，均方极限 方极限 1 TX (t ) X (t + τ )  l.i.m T →∞2T ∫−TX (t ) X (t + τ )dt存在, 称为X( t )在(－∞,+ ∞)上的时间相关函数.电子科技大学9平稳过程教师：彭江艳注1 应保证{X(t),t∈R}在任意有限区间上均 方可积.(均方连续是充分条件). 注2 时间平均 X(t) 是随机变量, 时间相关函数X(t )X(t +τ ) 是随机过程.参数为τ 平稳随机过程的均值函数是常数，相关 函数R(τ)是普通函数.电子科技大学10平稳过程教师：彭江艳Ex.1 设X(t)=Y, t∈R, 且 D(Y)≠0, D(Y)<+∞. 计算X(t) 的时间平均和时间相关函数 解 {X(t) 是平稳过程.1 X ( t ) = l.i.m T →∞ 2T 1 = l.i.m T →∞ 2T∫T −TTX ( t )dt∫Ydt = Y −TX (t ) X (t1 T + τ ) = l.i.m ∫ X (t ) X (t + τ )dt T →∞ 2T −T 1 T 2 = l.i.m ∫ YYdt = Y T →∞ 2T −T电子科技大学Ex.2 设Rt t a t X ∈Θ+=),cos()(0ωa ,ω0是实常数, Θ～U (0, 2π),计算X (t )的时间平均和时间相关函数.()X t 0,X m =因{X (t ),t ∈(－∞,+ ∞)}是平稳过程.解∫−∞→Θ−Θ=T TT dt t t T a )sin sin cos (cos 2l.i.m 00ωω20()cos ,2X a R τωτ=01l.i.m cos()2T TT a t dt T ω−→∞=+Θ∫∫−∞→Θ=T TT tdtT a 0cos cos 2l.i.m ω00cos sin l.i.m T a T T ωω→∞Θ=)()(τ+t X t X 200l.i.m cos()cos[()]2T TT a t t dt T ωωτ−→∞=+Θ++Θ∫2000l.i.m [cos(22)cos ]4T TT a t dt T ωωτωτ−→∞=++Θ+∫τω02cos 21a =∫−∞→Θ−Θ=T T T dt t t Ta )sin sin cos (cos 2l.i.m 00ωω()X t 0,=20l.i.m cos 2T a ωτ→∞=电子科技大学4.3.3 平稳过程的均方遍历性定义4.3.2设{X (t ),t ∈R }是平稳过程,1})({)1==X m t X P 若称X (t )的均值具有均方遍历性.τττ2){()()()}1X P X t X t R +==若对任意，称X (t )的相关函数具有均方遍历性.均值和相关函数都具有均方遍历性的平稳过程称为均方遍历过程.注均方遍历过程一定是平稳过程, 逆不真.均方遍历性又称各态历经性, 均方遍历过程的各条样本函数都经历了相同的各种可能状态.可以通过研究其一条样本函数来获取过程的全部信息.思想方法：用时间平均代替统计平均.电子科技大学电子科技大学续Ex.1设X (t )=Y, t ∈R , 且D(Y)≠0,D (Y )<+∞,{X (t )}是平稳过程.1)]}([)({≠=t X E t X P X ( t )的均值不具有各态历经性.若Y 非单点分布时,,)(常数≠=Y t X 又因2()[()()]()X R E X t X t E Y ττ=+=X ( t )的自相关函数也不具有各态历经性.τ2()()=X t X t Y≠+续Ex.2设),(),cos()(0+∞−∞∈Θ+ω=t t a t X a ,ω0是实常数, Θ～U (0, 2π),讨论过程的遍历性.0)cos(21)]([200=+==∫θθωππd t a t X E m X ∫−∞→=Θ+=TT T t X dt t a T )()cos(21l.i.m 0ω解)]()([τ+t X t X E θθτωθωππd t t a ])(cos[)cos(2102002+++=∫τω02cos 21a =)()(τ+=t X t X X (t )的均值和相关函数都具有各态历经性.均值各态历经性定理定理4.3.1: 设{X (t ),t ∈R }是复平稳过程, 则其均值各态历经的充要条件是0)(2121lim 22=ττ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛τ−∫−∞→d C T TX TT T 0))((2121lim 222=τ−τ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛τ−∫−∞→d m R T T X X T T T 或多数情况不必根据定义验证过程的均方遍历性, 以下给出判断遍历性的遍历性定理.电子科技大学定理4.3.2 实随机过程{X (t ),t ∈R }是平稳过程, 则其均值各态历经的充要条件为0)(211lim 20=ττ⎟⎠⎞⎜⎝⎛τ−∫∞→d C T T X T T 证均值各态历经，即1})({==X m t XP {()}E X t ={()}D X t =[()],X E X t m =且22[()]{[()]}0.E X t E X t −=电子科技大学])(21l.i.m [})({∫−∞→=TT T dt t X T E t X E 即,)]([21lim X T TT m dt t X E T ==∫−∞→}])(21l.i.m {[})({22∫−∞→=T T T dt t X T E t X E 22])([41lim ∫−∞→=T T T dt t X E T ∫τττ−⋅=∞→T X T d R T T 202)()2(241lim 定理4.2.6之(2)20[()]2[()]().b b aa E X t dtb a R d τττ−=−−∫∫22]})([{])([})({t X E t X E t X D −=2202)()2(21lim X T X T m d R T T−τττ−=∫∞→∫−−=∞→T X X T d m R TT 202])()[21(1lim τττ0)(211lim 20=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫∞→τττd C T T X T T 实平稳过程{X (t ),t ∈R }, 其均值各态历经的充要条件为0)(211lim 20=ττ⎟⎠⎞⎜⎝⎛τ−∫∞→d C T T X T T电子科技大学),(cos 2)(02τ=τω=τX X C a R ,0)]([=t X E 因ττ⎟⎠⎞⎜⎝⎛τ−∫∞→d C T T X T T )(211lim 20ττω⎟⎠⎞⎜⎝⎛τ−=∫∞→d a T T T T 0220cos 2211lim ()20220lim 1cos 24T a T T ωω→∞=−故X (t ) 的均值有各态历经性.解已按定义验证了X (t )的均值各态历经.续Ex.2设R t t a t X ∈Θ+ω=),cos()(0a , ω0是实常数, Θ～U (0, 2π),讨论过程的遍历性.0.=τλτ22)(−=e C R X Ex.3讨论随机电报信号0,)1()()(0≥−=t X t X t N 的均值均方遍历性.解已验证随机电报信号过程的平稳性,且,0)]([=t X E 2201lim (1)[()]d 2T X X T R m T T τττ→∞−−∫]|e )2(21)e 21(21[lim 20222T T T T T C λτλτλτλ−−∞→−+−−=22201lim (1)e d 2T T C T T λτττ−→∞=−∫241e lim [1]24T T C T T λλλ−→∞−=−故此过程的均值具有均方遍历性.0.=电子科技大学推论1则实平稳过程若,)(∞<∫+∞∞−ττd C X .)(的均值各态历经t X 2011()2T X C d T T τττ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠∫时因当∞→T 定理4.3.2 实随机过程{X (t ),t ∈R }是平稳过程, 则其均值各态历经的充要条件为0)(211lim 20=ττ⎟⎠⎞⎜⎝⎛τ−∫∞→d C T T X T T 201()T X C d T ττ<∫0→若实平稳过程{X (t ),t ∈R }的相关函数满足推论2,)(lim 2X X m R =∞→ττ则X (t )是均值各态历经的.，有证0])([lim )(lim 2=−=∞→∞→X X X m R C ττττ,,01T ∃>∀ε对即时，当1T >τ，ετ<)(X C 02T []）T 12011()2T X C d T T τττ−∫因（）ττC T T X ∫=10)(1ττd C T T T X ∫+21)(1201()T X C d T ττ≤∫电子科技大学,,01T ∃>∀ε对即时，当1T >τ，ετ<)(X C 02T[]）T 1τττττd C T d C T T T X X T ∫∫≤−2020)(1)(211）（因ττC T T X ∫=10)(1ττd C T T T X ∫+21)(11(0)X T C T ≤，有若ε)0(1X C T T >()112T T T ε+−1(0)2X T C T ε≤+3,ε<201 lim 1()02TX T C d T T τττ→∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠∫即1) X (t )是否平稳过程；2) X (t )的均值是否各态历经.解：E [X (t )]=E [Acos (ωt+Θ)]=0；)}()({),(τ+=τ+t X t X E t t R X =E {A 2cos(ωt +Θ) cos(ω(t +τ)+Θ)}ϕϕ+τ+ϕ+π××=∫∫−ππ−dud t u ut )])(cos()[cos(211014554sin 55ττ=Ex.4设随机过程X (t )=A cos(ωt +Θ), 其中A ,ω,Θ是相互独立的随机变量, Θ～U [－π,π],ω～U [－5, 5], E (A )=0, D (A )=4, 讨论(),X R τ=1) X (t )是否平稳过程；2) X (t )的均值是否各态历经.解：E [X (t )]=E [Acos (ωt+Θ)]=0；)}()({),(τ+=τ+t X t X E t t R X 4sin 55ττ=Ex.4设随机过程X (t )=A cos(ωt +Θ), 其中A ,ω,Θ是相互独立的随机变量, Θ～U [－π,π],ω～U [－5, 5], E (A )=0, D (A )=4, 讨论(),X R τ=X (t )是平稳过程τττττ4lim ()lim sin 505X R →∞→∞==X (t )关于均值各态历经.2X m ={X (t ),t ∈R }是均方连续的平稳过程, 且对固定的τ,{X (t )X (t +τ), t ∈R }也是均方连续的平稳过程，则{X (t ),t ∈R }的相关函数各态历经的充要条件是定理4.3.30))()((2121lim 222=τ−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−∫−∞→du R u B T u T X TT T 相关函数各态历经性定理)}.()()()({)(u t X u t X t X t X E u B ++++=ττ其中证：则R X (τ)=E [Z (t )]=m Z ,()()()Z t X t X t τ=+令，电子科技大学则R X (τ)=E [Z (t )]=m Z ,根据定理4.3.1, 对固定的τ, Z (t )均值各态历经的充要条件为du u C T u T Z T T T )(2121lim 22∫−∞→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−du m u R T u T Z Z T T T ])([2121lim 222−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∫−∞→()()()Z t X t X t τ=+令，,0])()([2121lim 222=τ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫−∞→du R u R T u T X Z T T T (){()()}Z R u E Z t Z t u =+其中{()()()()}E X t X t X t u X t u ττ=++++).()}()()()({u B u t X u t X t X t X E =+τ++τ+=若{X (t ),t ∈R }是均方连续的实平稳过程, 且对固定的τ, {X (t )X (t +τ), t ∈R }也是均方连续的平稳过程，则自相关函数均方遍历的充要条件为电子科技大学推论10)]()([2121lim 220=τ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∫∞→du R u R T u T X Z T T 对于相关函数的各态历经性一般比较难以判别, 要求过程四阶矩存在的条件往往难以满足.(){()()()()}()Z R u E X t X t X t u X t u B u ττ=++++=注：电子科技大学Ex.5设随机过程{X (t ),t ∈R }是实平稳的正态过程，若证明过程的相关函数各态历经.,0)(lim =∞→ττX R 引理若(X 1,X 2,X 3,X 2)服从4维正态分布，则)()()()()()()(3241423143214321X X E X X E X X E X X E X X E X X E X X X X E ++=证明：，则令)()()(τ+=t X t X t Z ),()]()([)(τ=τ+=X Z R t X t X E t m 由正态随机变量性质电子科技大学)]()([),(u t Z t Z E u t t R Z +=+)]()()()([τ+++τ+=u t X u t X t X t X E )]()([)]()([τ+++τ+=u t X u t X E t X t X E )]()([)]()([τ++τ+++u t X t X E u t X t X E )]()([)]()([τ++τ+++t X u t X E u t X t X E )()()()(22τ−τ+++τ=u R u R u R R X X X X ,)(),(lim )(lim 22ZX Z u Z u m R u t t R u R ==+=∞→∞→τ与t 无关, 故Z (t )是平稳过程, 且,0)(lim =∞→ττX R 根据定理4.3.2的推论2知, Z (t )的均值各态历经, 即X (t ) 的相关函数各态历经.4.3.5 遍历过程的均值和自相关函数的估计(各态历经性的应用)对于具有各态历经性的平稳过程, 可以通过一条样本函数来推断过程的统计特征.若{X (t ),t ∈[0,+ ∞)}的均值各态历经, 有.).()(1l.i.m 0e a dt t X T m TT X ∫∞→=等分，可将区间存在因均方积分],0[,)(0T dt t X T∫t 0=0t N =T[]t 1t 2t N －1等分，可将区间存在因均方积分],0[,)(0T dt t X T ∫∫Tdt t X 0)(有∑=∞→Δ=Nk kk N t t X 1)(l.i.m t 0=0t N =T[]t 1t 2t N －1,1NT k k k t t t =−=Δ−其中,NkT k k t k t =Δ=.).()(l.i.m 1l.i.m 1e a X T m NK N T X N kT N T ∑=∞→∞→=∑=∞→∞→⎟⎠⎞⎜⎝⎛=N K N T N kT X N 11l.i.m l.i.m电子科技大学因均方收敛必依概率收敛，，有故对0>ε∀,1})(1{lim lim 1=<−∑=∞→∞→εXNK N T mX NP N kT∑=NK N kTX N1)(1即统计量.的相合估计量是均值X m ∑=∞→∞→⎟⎠⎞⎜⎝⎛=NK N T N kT X N11l.i.m l.i.m X m电子科技大学对一次抽样得到的样本函数x (t ), t ∈[0, + ∞)，取足够大的T 及N ,有很小使,N T ,)(11∑=≈N K X N kTN xm电子科技大学∑==NK X NkTN X m1)(ˆ1可令.(,)(1)1NT NK k X N =ΔΔ=∑=类似地，可得R X (τ)的近似估计量为()∑−==+−=r N K XNT r k X k X r N r R 1)(,)()(1)(ˆΔΔΔΔ工程实际中有许多随机过程满足各态历经性，数学验证往往很困难.可以根据工程背景来确定.参见《概率、随机变量与随机过程》美A.帕普力斯,4版,p422或先假定它的各态历经性, 对数据进行统计分析, 检验是否合乎实际, 否则修改假定,另做分析.电子科技大学思考题：1）时间平均、时间相关函数与统计平均、统计相关函数概念有什么本质区别？又有什么联系？2）均值的遍历性与自相关函数的遍历性是否有必然的联系?3）列举平稳过程遍历性的判断方法.。

习题11. 令X(t)为二阶矩存在的随机过程，试证它是宽平稳的当且仅当EX(s)与E[X(s)X(s+t)]都不依赖s.证明：充分性：若X(t)为宽平稳的，则由定义知EX(t)=μ， EX(s)X(s+t)=r(t) 均与s 无关必要性：若EX(s)与EX(s)X(s+t)都与s 无关，说明EX(t)=常数， EX(s)X(s+t)为t 的函数2. 记1U ，．．．，n U 为在（０,１）中均匀分布的独立随机变量，对0 < t , x < 1定义I( t , x)=⎩⎨⎧>≤，，，，t x t x 01并记X(t)=),(11∑=nk k U t I n ，10≤≤t ，这是1U ，．．．，n U 的经验分布函数。

试求过程X （t ）的均值和协方差函数。

解： EI ()k U t ,= P ()t U k ≤= t ， D()),(k U t I = EI ()k U t ,－()2),(kU t EI= t －2t = t(1－t)j k ≠， cov ()),(),(j k U s I U t I ，=EI(t,k U )I(s,j U )－EI(t, k U )EI(s, j U ) = st －st=0k = j ， cov ()),(),(j k U s I U t I ，= EI(t,k U )I(s,j U )－st = min(t,s)－stEX(t)=),(11∑=n k k U t EI n =∑=nk tn 11= tcov ())(),(s X t X =()()),(),,(cov 1),(),,(cov 1212j kjk nk k k U s I Ut I n U s I U t I n ∑∑≠=+=[]∑=nk st t s n12),min(1－=()st t s n－),min(13.令1Z ，2Z 为独立的正态分布随机变量，均值为0，方差为2σ，λ为实数，定义过程()t Sin Z t Cos Z t X λλ21+=.试求()t X 的均值函数和协方差函数，它是宽平稳的吗？Solution: ()221,0~,σN Z Z . 02221==EZ EZ .()()221σ==Z D Z D ，()0,21=Z Z Cov ,()0=t EX ，()()()()()[]s Sin Z s Cos Z t Sin Z t Cos Z E s X t X Cov λλλλ2121,+⋅+=[]t C o s S i n Z Z s t S i n C o s Z Z s t S i n S i n Z t C o s C o s Z E λλλλλλλλ12212221+++=()02++=s t S i n S i n s t C o s C o s λλλλσ =()[]λσs t Cos -2(){}t X 为宽平稳过程.4.Poisson 过程()0,≥t t X 满足（i ）()00=X ；(ii)对s t >，()()s X t X -服从均值为()s t -λ的Poisson 分布；（iii ）过程是有独立增量的.试求其均值函数和协方差函数.它是宽平稳的吗？Solution ()()()()t X t X E t EX λ=-=0，()()t t X D λ= ()()()()()s t s X t EX s X t X Cov λλ⋅-=,()()()()()ts s EX s X s X t X E 22λ-+-= ()()()()ts s EX s X D 220λ-++=()ts s s 22λλλ-+=()t s s λλλ-+=1 显然()t X 不是宽平稳的.5. ()t X 为第4题中的Poisson 过程，记()()()t X t X t y -+=1，试求过程()t y 的均值函数和协方差函数，并研究其平稳性. Solution ()λλ=⋅=1t Ey , ()()λ=t y DCov(y(t),y(s))=Ey(t)y(s)-Ey(t)y(s)=E(x(t+1)-x(t))(x(s+1)-x(s))-λ2(1)若s+1<t, 即s≤t-1，则Cov(y(t),y(s))=0-λ2=-λ2(2)若t<s+1≤t+1, 即t>s>t-1, 则Cov(y(t),y(s))=E[x(t+1)-x(s+1)+x(s+1)-x(t)][x(s+1)-x(t)+x(t)-x(s)] -λ2=E(x(t+1)-x(s+1))(x(s+1)-x(t))+E(x(t+1)-x(s+1))(x(t)-x(s))+E(x(s+1)-x(t))+E(x(s+1)-x(t))(x(t)-x(s))- λ2=λ(s+1-t)= λ-λ(t-s)- λ2(3) 若t<s<t+1Cov(y(t),y(s))= E [x(t+1)-x(s)+x(s)-x(t)] [x(s+1)-x(t+1)+x(t+1)-x(s)]- λ2 =(x(t+1)-x(s))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(t+1)-x(s))(x(t+1)-x(s))+E(x(s)-x(t))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(s)-x(t))(x(t+1)-x(s))- λ2=0+λ(t+1-s)+0-λ2=λ+λ(t-s)- λ2(4) 若s>t+1 Cov(y(t),y(s))=0-λ2=-λ2由此知，故方差只与t-s有关，与t,s无关故此过程为宽平稳的。

随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。

（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。

解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。

2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。

（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。

解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。

解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。

（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。

解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。

（2）典型样本函数是一条正弦曲线。

（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。

（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。

经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。

（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，（2）因此：P112/9．解：（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，则有：因此有：（1）令矩阵P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。