电子科技大学研究生随机过程思考题

桂林电子科技大学博士研究生入学考试试题科目代码：2001 科目名称：随机过程请注意：答案必须写在答题纸上（写在试题上无效）。

一、填空题（每小题4分，共32分）1、机变量X特征函数，随机变量X的数学期望= 。

2、已知随机变量X服从均值为3的指数分布，随机变量Y服从[0,X]上的均匀分布，则= 。

3、设随机过程是均值函数为0，方差函数为的正交增量过程，且，则= 。

4、设是参数为的Wiener过程，令，对，的相关函数= 。

5、设随机过程，其中是均值函数为2，方差为1的随机变量，则随机过程的相关函数= 。

6、设为一齐次马氏链，其步转移概率为，状态是正常返态非周期的，若在0时刻从状态出发经过1,2,3步首次返回的概率分别为，则。

7、设是一平稳随机序列，其谱密度为，则的相关函数= 。

8、设平稳过程的谱密度为，则的相关函数= 。

二、解答题（共68分）1、（12分）设随机变量Y服从均值为1的指数分布，令求（1）随机过程X(t)的一维概率密度函数，（2）X(t)的相关函数。

2、（12分）设随机过程，其中A,B都是均值为零，方差为且不相关的随机变量，证明：（1）是宽平稳随机过程,(2)的均值是各态历经的。

3、（12分）设震动按参数为的泊松过程发生，并记内发生震动次数为。

(1)若震动在内已经发生n次，且，对于，求；(2)若某装置在k次震动后失灵，求该装置寿命T的密度函数。

4、（12分）在电路系统中，若输入电压是一实平稳过程，输出电压满足随机微分方程，其中为常数，且的均值为0，相关函数，。

求（1）输出过程；（2）的谱密度及相关函数。

5、（10分）设齐次马尔可夫链的状态空间为，其转移概率矩阵为试：（1）正确分解此链并指出各状态的常返性和周期；（2）求不可约闭集的平稳分布。

6、（10分）设群体中各个成员独立地活动且以指数率λ生育。

若假设没有任何成员死亡，以X(t)记时刻t群体的总量，则X(t)是一个纯生过程，其，状态空间，设转移为，试计算(1);（2）。

第二章 Markov 过程 习题解答1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。

不是的话，请说明理由。

解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。

任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定1+n X 的概率特性，即我们有：}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p qp q p q p qP 0000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。

（也可以利用02>P 判定此链是不可约的遍历链）（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：}1,1{}1,1,0{}1,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P}0,1{}0,1,0{}0,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P由}2,{≥n Y n 的定义，可知}1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323===⋃===⋃===⋃⋃===⋃======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y}1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====⋃========ξξξξξξξξY Y Y}0,0,1{}0,1{12323======ξξξY Y ， ∅====}0,1,0{234Y Y Y利用}1,{≥n n ξ是相互独立同分布的随机变量序列及其分布，我们有：322233}1,1{q q p pq Y Y P ++=== 223234}1,1,0{q p pq Y Y Y P +==== 223}0,1{pq Y Y P ===0}0,1,0{234====Y Y Y P即有：22222343}1,10{q p pq qp pq Y Y Y P +++==== 0}0,10{234====Y Y Y P由于01,0>-=>p q p ，因此有}0,10{}1,10{234234===≠===Y Y Y P Y Y Y P根据马氏链的定义可知}2,{≥n Y n 不是马氏链。

课程编号： 0721001 考试日期：考试日期： 2012 年 1 月 4 日考试时间： 150 分) 任课教师：任课教师：任课教师： 班号班号-saa a a a wE X l.i.ml.i.m X X lim )2C T T t -ò))22C TTTT-=-òò(2) 求状态5的首达概率(2)55f 和(5)55f以及计算511j jjm =å。

七. （12 分） 设j 为一齐次马尔可夫链的常返状态且周期为d ，则一定有，则一定有()lim nd jjn jjdp m ®¥=，其中jj m 为状态j 的平均返回时间。

的平均返回时间。

证明下面的问题：证明下面的问题：(1) 状态j 为零常返当且仅当()lim 0n jjn p®¥=。

(2) 状态j 为遍历的当且仅当()1lim 0n jjn jjpm®¥=>。

八. （12 分）分）设齐次马尔可夫链设齐次马尔可夫链{},0,1,2,...n X X n ==的状态空间{1,2,3,4,5,6}S =，且其且其 一步转移概率矩阵为一步转移概率矩阵为0.60.400.6000.400.10.10.10.10.50.1 00.20.20.40.2 0 00.2 0 00.8 00.4 0 0 0 00.6P éùêúêúêú=êúêúêúêúëû （1）试对状态空间进行分解。

）试对状态空间进行分解。

（2）问平稳分布是否存在？如果存在试求出所有的平稳分布。

（3）设初始分布0(), i P X i i S p ==Î，其中{}1261111,,...,,,0,0,,4634p p p ìü=íýîþ，求概率，求概率(1)?, =1,2,n P X n ==和概率1(1,2)?, =1,2,3,...=1,2,3,...n n P X X n +===。

5.4 齐次马氏链的状态为揭示齐次马氏链的基本结构，需对其状态按概率特性进行分类，状态分类是研究n 步转移概率的极限状态的基础.EX.1设系统有三种可能状态E={1, 2 ,3},“1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常，“3”表示系统失效.电子科技大学电子科技大学以X (n )表示系统在n 时刻的状态, 并设{X (n ),n ≥0}是一马氏链. 在没有维修及更换的条件下, 其自然转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P 由矩阵P 可见，从“1”或“2”出发经有限次转移后总能到达“3”状态，而一旦到达“3”状态则永远停留在“3”.状态“1”, “2”与状态“3”有不同的概率特性.状态“1”, “2”与状态“3”有不同的概率特性.一、刻画状态特性的几个特征量二、状态类型分类三、状态类型判别条件四、状态间的关系五、状态空间的分解电子科技大学一、刻画状态特性的几个特征量定义5.4.4，记及对1,≥∈∀n E j i },)0(11,)(,)({ˆ)(i X n k j k X j n X P f n ij =−≤≤≠==称为(n 步)首达概率.系统从状态“i ”出发经过n 步转移后首次到达状态“j ”的概率特别地称)(n ii f 为首返概率；5.4 齐次马氏链的状态电子科技大学∑∞==1)(n n ijf称为最终概率.定义5.4.5 自状态i 出发迟早(最终)到达j 的概率为})0()(,1{i X j n X n P f ij ==≥=使存在定理5.4.1(首达概率表示式)有，及对1,≥∈∀n E j i ;10)1)(≤≤n ij f 2) 首达概率可以用一步转移概率表示为为状态i 的最终返回概率.ii f ji i i j i j i i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠=电子科技大学j i i i j i ji i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠= 证1）显然ii 1i 2j2）分析示意图如下})0(1,,2,1,)(,)({)(i X n k j k X j n X P f n ij =−=≠== .)0(1,,2,1,})({,)(⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−====∈≠i X n k i k X j n X P E i j i k k k ∪第1步第2步第n 步()01;n ij f ≤≤电子科技大学⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧===−==−≠≠≠−i X j n X i n X i X P n j i j i j i n )0(})(,)1(,,)1({11112 ∪∪∪()(),{()},1,2,,1(0).k n ij k i j f P X n j X k i k n X i ≠⎧⎫⎪⎪====−=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∪∑∑∑≠≠≠−=j i ji j i n 112 })0()(,)1(,,)1({11i X j n X i n X i X P n ===−=− ji i i j i j i ii j i n n p p p 1211112−−∑∑∑≠≠≠=定义5.4.2 对j ∈E , 称})0(,)(,1:min{i X j n X n n T ij ==≥=为从i 到达j 的首达时间.注：若右边是空集, 则令T ij =∞.随机变量EX.2在股票交易过程中令状态空间为E ={－1, 0, 1}各状态分别代表“下跌”,“持平”,“上升”.若X (0)=0, 有使<<<<k n n n 21电子科技大学 ,1)(,,1)(,1)(21===k n X n X n X }0)0(,1)(:min{01===X n X n t k 则121},,,,min{n n n n k == 注1T ij 表示从i 出发首次到达j 的时间.T ii 表示从i 出发首次回到i 的时间.注2 T ij 与首达概率之间有关系式：,2,1,,,},)0({)1)(∞=∈===n E j i i X n T P f ij n ij.,},)0({)2E j i i X T P f ij ij ∈=∞<=若X (0)=0, 有使 <<<<k n n n 21续EX.1设系统有三种可能状态E ={1, 2 ,3}, “1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常,“3”表示系统失效.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P T 13(1)1313{1(0)1}f P T X ====131,20p =ji i i j i j i i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠= 系统的工作寿命，有电子科技大学(2)1313{2(0)1}f P T X ===13{(0)1}P T n X ≥=研究首达概率和首达时间有实际工程意义.……13{(0)1}P T n X ≥=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P [0,],n 是系统在内运行的可靠性有1113122321,400p p p p =+=13{(0)1}k nP T k X ∞====∑()13n k nf∞==∑电子科技大学定理5.4.2概率与首达概率有关系式，任意步转移及对1,≥∈∀n E j i ∪∞==⊂==1}{})(,)0({m ij m T j n X i X 因证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∞=∪∩1}{})(,)0({m ij m T j n X i X })(,)0({j n X i X ==故.)(1)()(m n jjnm m ijn ijpfp−=∑=电子科技大学})0()({)(i X j n X P P n ij===⎭⎬⎫⎩⎨⎧=====i X j n X m T P nm ij )0(})(,{1∪},)0()({})0({1m T i X j n X P i X m T P ij nm ij ======∑=⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∞=∪∩1}{})(,)0({m ij m T j n X i X ∪nm ij m T j n X i X 1},)(,)0({=====})(,)0({j n X i X ==故电子科技大学马氏性})()({})0(,11,)(,)({1j m X j n X P i X m k j k X j m X P nm ==⋅=−≤≤≠==∑=})()({1)(j m X j n X P f nm m ij ===∑=()1{(0)}{()(0),}nn ijij ij m P P T m X i P X n j X i T m =======∑.)(1)(m n jjnm m ijpf−=∑=定义5.4.1使，若存在对1,,≥∈∀n E j i ,0)(>n ijp称自状态i 可达状态j ,记为.j i →定理5.4.3的充分必要条件是0>ij f .j i →证:必要性因01)(>=∑∞=m m ijij ff 至少存在一个n 使,有)(>n ijf ()()()1nn m n m ijijjjm pfp−==∑()(0)0n ijjj fP ≥>定义5.4.3称若,,0}{E j T P ij ∈=∞=∑∞===1)(][n n ijij ij nfT E μ为从状态i 出发, 到达状态j 的平均时间(平均步数).充分性因j i →使，存在1≥n 01)()()(>=∑=−nm m n jjm ijn ijpfp则在中至少有一个大于零，故)()1(,,n ijijff 01)(>=∑∞=m m ijij ff 特别当i=j 称jj μ为状态j 的平均返回时间.电子科技大学二、状态类型分类状态分类是研究n 步转移概率的极限状态的基础, 能有效地揭示其深刻的统计规律.续EX.1设系统有三种可能状态E ={1, 2 ,3},“1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常，“3”表示系统失效.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∞→100100100lim )(n n P该系统的状态“3”是吸收态, 经有限步均会被吸收, 直观分析可得有必要分析各种状态的类型.电子科技大学定义5.4.6对状态i ∈E , 最终返回概率为f ii ，若f ii <1，称状态i 是非常返的(或瞬时的).若f ii =1，称状态i 是常返的；若马氏链的每个状态都是常返的, 则称为常返马氏链.f ii =1表示系统从状态i 出发几乎必定会返回状态i .定义5.4.7对常返状态i ∈E , 平均返回时间为μii ，若μii <+∞, 称状态i 是正常返的；进一步, 根据常返状态的平均返回步数再划分为两类.注若μii = +∞, 称状态i 为零常返的。

随机过程习题及答案第二章随机过程分析1.1学习指导1.1.1要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。

1.随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。

可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。

2.随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。

ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ξ(t 1)≤x 1]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1,t 1)=P [ξ(t 1)≤x 1](2-1)如果F 1(x 1,t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1)≤x 1和ξ(t 2)≤x 2同时成立的概率称为随机过程?(t )的二维分布函数。

如果存在，则称f 2(x 1,x 2;t 1,t 2)为随机过程?(t )的二维概率密度函数。

对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程?(t )的n 维分布函数。

如果存在，则称f n (x 1,x 2,…,x n ;t 1,t 2,…,t n )为随机过程?(t )的n 维概率密度函数。

3.随机过程的数字特征随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。

随机过程?(t )在任意给定时刻t 的取值?(t )是一个随机变量，其均值为其中，f 1(x ,t )为?(t )的概率密度函数。

随机过程?(t )的均值是时间的确定函数，记作a (t )，它表示随机过程?(t )的n 个样本函数曲线的摆动中心。

电子科技大学研究生随机过程思考题随机过程思考题总结一、第零章（附录）：1.如何准确理解“维”的含义？2.如何理解“定义在同一概率空间”？3.定义连续性随机变量的条件分布会遇到什么问题？二、第一章：1.随机过程可以描述哪些工程技术中的随机现象，试举例？来电次数、误码率是泊松过程，机器维修次数等。

天气预报。

2.为什么可以用有限维分布函数族描述随机过程的统计特性？柯尔莫哥洛夫定理可以证明，在一定条件下，随机过程和n维分布函数族是一一对应的，因此可以用有限维分布函数族描述随机过程的统计特性。

3.为什么说随机过程的均值函数和自相关函数在研究过程的概率与统计特性尤其重要？均值函数表征了随机过程在各时间点上的平均特征。

方差函数描述了随机过程在各时点处的波动程度。

刻画两个不同时点随机过程状态之间的线性关联程度，转化为自相关函数的收敛问题。

关于随机过程的均方极限的存在性，均方连续性，可积性和可导性都可转化为自相关函数的性质讨论问题。

4.白噪声过程是否一定是独立过程？不一定。

标准高斯白噪声与[0,1]均匀分布的乘积得到的白噪声过程不独立不相关。

5.独立过程是否是独立增量过程？反之？独立过程是独立增量过程，反之不一定。

三、第二章：1.能否保证Y= CX 服从非退化正态分布？C的行列式不等于0，即C可逆。

2.随机振幅电信号是否是正态过程？可否写出任意n维概率密度？是，知道他的均值函数和协方差函数就可以写出他的任意n维概率密度。

={X(t), t∈T}是正态随机过程？利用正交矩阵变换验3.怎样验证随机过程XT证并写出算法依据？还有其他方法吗？特征函数四、第三章：1.在二阶矩随机变量空间除定义均方极限外，还可以定义其他极限吗？距离定义2.均方极限与普通函数极限有什么相似之处？都用了范数来衡量随机变量或者函数之间的距离，这个距离函数是非随机的普通函数，故二阶矩过程的均方极限实质上是普通函数的极限问题。

3.若，是否有?有施瓦兹不等式及三角不等式可知成立。

第一章随机过程的基本概念§1.1 随机过程的定义及分布§1.2随机过程的数字特征§1.3 随机过程的基本类型§1.1 随机过程的定义及分布1.1.1 随机过程的直观背景观察研究随机现象随时间推移的演变过程.Ex.1从杂乱电讯号的一段观察{Y(t),0< t< T}中,研究是否存在某种确定或随机信号S(t )?过程检测Ex.2监听器上收到某人的话音记录{Z(t),α<t<β}试问他是否确实是追踪对象？过程识别Ex.3 人们记录下地球50年的气温数据探究：1. 气温有什么样的周期变化？2. 在气温周期变化规律下, 随时间的推移是否有变暖的趋势？Ex.4 雷达信号干扰,0t t τt X A S N t −=⋅+≥其中N t 是随时间变化的各种随机干扰的效应.A 反映信号经发射后的能量损失,τ则反映了雷达站与障碍物间距离. 由于各种随机干扰的存在, 雷达实际接收到的信号是某雷达站在t 时刻发出信号S t , 遇到障碍物后又反射回来, 接受到的发射信号为A·S t －τ, 其中抗干扰的重点是对反映干扰的这一随机过程N t 特性的研究.特点：关注对象是一族随时间或地点变化的随机变量.“一族”可指可列无限个，或不可列无限个.任务:将有限维随机向量的概念向“无限”推广.1.1.2 概率空间与随机向量(已介绍)电子科技大学1.1.3 随机过程定义，},)ω,({T t t X ∈定义1.1.8设给定概率空间(Ω,F , P )和指标集T , 若对每个t ∈T , 有定义在(Ω,F , P )上的随机变量与之对应. 称依赖于t 的随机变量族X t 为随机过程(随机函数).Ω∈ωωX t ),(记为},)ω({T t X t ∈，},{T t X t ∈.},)({T t t X ∈注指标集T 又称参数集或参数空间.电子科技大学当T =(1,2, …，n ),),,,(},)ω,({21n X X X T t t X "=∈随机向量当T =(1,2, …, n,…),),,(},)ω,({21"X X T t t X =∈时间序列当T ={(x , y ):a <x <b , c <y <d },},)ω,({T t t X ∈平面随机场，或多维指标集随机过程随机过程是n 维随机变量，随机变量序列的一般化,是随机变量X (t ), 的集合.T t ∈电子科技大学为随机过程的状态空间(或值域).随机过程可视为质点M 随时间推移所作的随机运动变化过程.},{T t X t ∈随机事件表示随机过程在时刻t时处于状态x.}{x X t =称集合},)(:{T t x X x E t ∈==ωEx.5质点布朗运动设质点在直线上随机游动, 经随机碰撞后各以1/2的概率向左或向右移动.若经无穷多次碰撞ωω()1()2{}{} {}{}t t t t ==记第次向左，第次向右，定义随机变量序列)1,2,(.ωω1,;ωω,1)ω()(2)(1"=⎪⎩⎪⎨⎧==−=t X t t t 则描述了直线上随机质点的运动.{}"1,2,:)ω(=t X t 其参数集T ={1,2,…}, 状态空间E ={－1, 1}.电子科技大学随机过程的理解}Ωω,:)ω,{(Ω∈∈=×T t t T 定义指标集和样本空间的积集随机过程是定义在积集上的二元函数：}),ω({T t X t ∈Ω×T ）（，Ω∈∈=ω,),()ω(T t t X X t ω1) 对固定的是一个定义在概率空间(Ω, F , P ) 上的随机变量；,T t ∈Ω∈ω，)ω(t X 2)当固定作为时间变量的函数，是一个定义在T 上的普通函数.Ωω0∈T t ∈)ω,(0t x ）（，Ω∈∈=ω,),()ω(T t t X X t ω即对于特定的试验条件随机过程是定义在积集上的二元函数：}),ω({T t X t ∈Ω×TX(t1,ω)X(t2,ω)X(t n,ω)x(t,ω1)x(t,ω2)x(t,ω3) t1t2t n当t 变化时, 构成一族随机变量.对不同的ω得到不同的确定性函数.电子科技大学电子科技大学ω2= 1.9164ω3= 2.6099ω1=5.4938对不同的ω得到不同的确定性函数.Ex.6 随机相位正弦波X t (ω) = αcos(βt +Θ), Θ~U(0, 2π)电子科技大学定义1.1.9对每一固定ω∈Ω, 称x t (ω)是随机过程相应于ω的样本函数。