随机过程习题解答 电子科技大学 陈良均

第三章 Poisson 过程（Poisson 信号流）习题解答1、 设}0),({≥t t N 是一强度为λ的齐次泊松过程，而12/)()(-=t N t X ，0≥t 。

对0>s ，试求：（1） 计算)}()({s t N t N E +及})()({s N t s N E +的分布律；（2） 证明过程)(t X ，0≥t 是马氏过程并写出转移概率),;,(j t i s p ，其中t s ≤。

解：（1）由泊松过程状态空间可知)(t X 的状态空间为：},2,1,0:2/)2{(},2,2/3,1,2/1,0,2/1,1{ =-=--=k k St s t t s t t s t t s t N t N E λλλλ++=+++=+)(},min{)()}()({22由于tn e m t n m e n k t k n k t N kP n s N P n s N k t s N P k n s N k t s N kP n s N t s N E m tm n k t n k n k n k nk λλλλλ+=+=-=-=====+===+==+∑∑∑∑∑∞+=-∞+=--∞+=∞+=+∞=0!)()()!()(})({})({})(,)({})()({})()({因此t s N s N t s N E λ+=+)(})()({其分布列为：sn e n s n s N P t n s N t s N E P λλλ-===+=+!)(})({}})()({{（2）由泊松过程的独立增量性可知过程)(t X 也是独立增量的，又因为1)0(-=X ，因此可知过程)(t X 是一马氏过程，其转移概率为：),(;)]!(2[)]([)}1(2)({)}(2)({)}1(2)({)}1(2)({)}1(2)(),1(2)({})({})(,)({),;,()()(2s t i j e i j s t i s N P i j s t N P i s N P i s N P j t N i s N P i s X P j t X i s X P j t i s p s t i j ≥≥--=+=-=-+==+=+=+======---λλ),(;0),;,(s t i j j t i s p ≥<=附：泊松过程相关函数的计算： 设210t t ≤<，我们有：∑∑+∞=+∞=+==+=002121})(,)({)()}()({m n n m t N m t N P n m m t N t N E由于当210t t ≤<时，,2,1,0,,!!)(})(,)({212121=-=+==-+n m e n m t t t n m t N m t N P t nm n m λλ因此，我们有：1212)(1212)(1)(2121112111111212121111101222122121112110121201211112110121001210012120012100212112121212121222222222222)()!1()(!)1()(!)(!)1(!)(!)2(!)1(!)1()(!!)1()(!!)2()(!)1(!)1()(!!)1()(!!)(!!)(!!)()(})(,)({)()}()({t t t e e e t t t e e e t e e e t n t t m t et t t n t t m t et n t t m t et e n m t t t e n m t t t en m t t t en m t t t e n m t t t m en m t t t n m e n m t t t m e n m t t t n m m n m t N m t N P n m m t N t N E t t t t t t t t t t t t n n n m m m t n nn m m m t n nn m m m t m n t n m n m m n t nm n m m n t nm n m m n t n m n m m n t n m n m m n t n m n m m n t n m n m m n t nm n m m n λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+=-++=----+--+--=---++--+--=---+--=-+-=-+=+==+=------∞+=--∞+=---∞+=∞+=---∞+=∞+=---∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-++∞=+∞=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑同理我们有：当120t t ≤<时221221)}()({t t t t N t N E λλ+=因此，有：},min{)}()({),(212122121t t t t t N t N E t t R N λλ+==2、 设}0);({≥t t X 与}0);({≥t t Y 是相互独立，参数分别为1λ与2λ的Poisson 过程。

课程编号： 0721001 考试日期：考试日期： 2012 年 1 月 4 日考试时间： 150 分) 任课教师：任课教师：任课教师： 班号班号-saa a a a wE X l.i.ml.i.m X X lim )2C T T t -ò))22C TTTT-=-òò(2) 求状态5的首达概率(2)55f 和(5)55f以及计算511j jjm =å。

七. （12 分） 设j 为一齐次马尔可夫链的常返状态且周期为d ，则一定有，则一定有()lim nd jjn jjdp m ®¥=，其中jj m 为状态j 的平均返回时间。

的平均返回时间。

证明下面的问题：证明下面的问题：(1) 状态j 为零常返当且仅当()lim 0n jjn p®¥=。

(2) 状态j 为遍历的当且仅当()1lim 0n jjn jjpm®¥=>。

八. （12 分）分）设齐次马尔可夫链设齐次马尔可夫链{},0,1,2,...n X X n ==的状态空间{1,2,3,4,5,6}S =，且其且其 一步转移概率矩阵为一步转移概率矩阵为0.60.400.6000.400.10.10.10.10.50.1 00.20.20.40.2 0 00.2 0 00.8 00.4 0 0 0 00.6P éùêúêúêú=êúêúêúêúëû （1）试对状态空间进行分解。

）试对状态空间进行分解。

（2）问平稳分布是否存在？如果存在试求出所有的平稳分布。

（3）设初始分布0(), i P X i i S p ==Î，其中{}1261111,,...,,,0,0,,4634p p p ìü=íýîþ，求概率，求概率(1)?, =1,2,n P X n ==和概率1(1,2)?, =1,2,3,...=1,2,3,...n n P X X n +===。

（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。

解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。

西安电子科技大学研究生课程考试试题考试科目：随机过程考试日期：2015年1月13日考试时间：150分考试方式：（闭卷）任课教师：班号：学生姓名：学号：一．（10分）在华为公司上班的小吉某日（t=0）开通了支付宝账户，在时间段[0,t]内他向该账户内转了N t次账。

假设N={N t:t≥0}是参数为λ的Poisson过程，每次转账的金额相互独立，转账次数和转账金额也独立。

根据经验，一次转账为1000元、1200元和1500元的概率分别为1/2、1/3和1/6。

若Y t表示到t时刻为止小吉转入支付宝账户的总金额。

求（1）Y t的特征函数φt(u)。

（2）Y={Y t:t≥0}的均值函数m Y(t)。

二．（20分）设W={W t:t≥0}是一个标准布朗运动，即初值为0，具有平稳独立增量性，t(t>0)时刻的状态W t:N(0,t)。

若设X t=e−αW t（实常数α≠0），称X={X t:t≥0}是几何布朗运动。

（1）求X的自协方差函数C x(s,t)(s<t)。

（2）问X是否具有平稳增量性，并给出证明。

三．（20分）1.设某天文台观察到的流星流是一个泊松过程，据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星。

试求（1）在上午8点到12点期间，该天文台没有观察到流星的概率。

（2）下午（12点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数。

2.设脉冲到达计数器的规律符合到达率为λ的泊松过程。

每个到达的脉冲被记录的概率为p，且脉冲是否被记录是相互独立的。

令X t表示直到t(t≥0)时刻已被记录的脉冲数。

（1）计算P(X t=k),k=0,1,2,⋯。

（2）X={X t,t≥0}是否为泊松过程？若是请给出证明。

四．（20分）设实平稳过程X={X t,t≥0}的均值函数为零，相关函数为R x(τ)=e−|τ|,τ∈(−∞,+∞)。

令Y t=X t+cos(ωt+θ)，其中ω为常数，θ是与随机过程X独立的且服从[0,2π]上均匀分布的随机变量。

5.4 对于题5.2，若滤波器的输出，再加到第二个相同的滤波器中，仍用频域分析法求出第二个滤波器
的输出。

解：
第一个滤波器输入是
，则经过两个相同的滤波器以后的输出
5.14 假设一个零均值平稳随机过程
加到冲激响应为
（t.>=0）的线形滤波器中，证明
证明：
5.15 假设一个零均值平稳随机过程
，加到冲激响应为
的线性滤波器中，证明输出功率谱密度为。

证明：
所以，
5.18 假设随机过程
通过一个微分器，其输出过程
存在，微分器的传密为
，求（1）
与
的互功率谱密度。

（2）
的功率谱密度。

解：（1）
（2）
5.20 图为单个输入两个输出的线形系统，输入
为平稳随机过程，求证输出
和
的互谱密度为
证明：
令
，则
5.26 若线性系统输入平稳过程
的功率谱密度为
，现要求系统输出
的功率谱密度为
，求：相应的稳定系统的传输系数。

解：
5.29 某个放大器，其功率增益随频率的变化为
，求：该放大器的噪声带宽。

解：。

习题11. 令X(t)为二阶矩存在的随机过程，试证它是宽平稳的当且仅当EX(s)与E[X(s)X(s+t)]都不依赖s.证明：充分性：若X(t)为宽平稳的，则由定义知EX(t)=μ， EX(s)X(s+t)=r(t) 均与s 无关必要性：若EX(s)与EX(s)X(s+t)都与s 无关，说明EX(t)=常数， EX(s)X(s+t)为t 的函数2. 记1U ，．．．，n U 为在（０,１）中均匀分布的独立随机变量，对0 < t , x < 1定义I( t , x)=⎩⎨⎧>≤，，，，t x t x 01并记X(t)=),(11∑=nk k U t I n ，10≤≤t ，这是1U ，．．．，n U 的经验分布函数。

试求过程X （t ）的均值和协方差函数。

解： EI ()k U t ,= P ()t U k ≤= t ， D()),(k U t I = EI ()k U t ,－()2),(kU t EI= t －2t = t(1－t)j k ≠， cov ()),(),(j k U s I U t I ，=EI(t,k U )I(s,j U )－EI(t, k U )EI(s, j U ) = st －st=0k = j ， cov ()),(),(j k U s I U t I ，= EI(t,k U )I(s,j U )－st = min(t,s)－stEX(t)=),(11∑=n k k U t EI n =∑=nk tn 11= tcov ())(),(s X t X =()()),(),,(cov 1),(),,(cov 1212j kjk nk k k U s I Ut I n U s I U t I n ∑∑≠=+=[]∑=nk st t s n12),min(1－=()st t s n－),min(13.令1Z ，2Z 为独立的正态分布随机变量，均值为0，方差为2σ，λ为实数，定义过程()t Sin Z t Cos Z t X λλ21+=.试求()t X 的均值函数和协方差函数，它是宽平稳的吗？Solution: ()221,0~,σN Z Z . 02221==EZ EZ .()()221σ==Z D Z D ，()0,21=Z Z Cov ,()0=t EX ，()()()()()[]s Sin Z s Cos Z t Sin Z t Cos Z E s X t X Cov λλλλ2121,+⋅+=[]t C o s S i n Z Z s t S i n C o s Z Z s t S i n S i n Z t C o s C o s Z E λλλλλλλλ12212221+++=()02++=s t S i n S i n s t C o s C o s λλλλσ =()[]λσs t Cos -2(){}t X 为宽平稳过程.4.Poisson 过程()0,≥t t X 满足（i ）()00=X ；(ii)对s t >，()()s X t X -服从均值为()s t -λ的Poisson 分布；（iii ）过程是有独立增量的.试求其均值函数和协方差函数.它是宽平稳的吗？Solution ()()()()t X t X E t EX λ=-=0，()()t t X D λ= ()()()()()s t s X t EX s X t X Cov λλ⋅-=,()()()()()ts s EX s X s X t X E 22λ-+-= ()()()()ts s EX s X D 220λ-++=()ts s s 22λλλ-+=()t s s λλλ-+=1 显然()t X 不是宽平稳的.5. ()t X 为第4题中的Poisson 过程，记()()()t X t X t y -+=1，试求过程()t y 的均值函数和协方差函数，并研究其平稳性. Solution ()λλ=⋅=1t Ey , ()()λ=t y DCov(y(t),y(s))=Ey(t)y(s)-Ey(t)y(s)=E(x(t+1)-x(t))(x(s+1)-x(s))-λ2(1)若s+1<t, 即s≤t-1，则Cov(y(t),y(s))=0-λ2=-λ2(2)若t<s+1≤t+1, 即t>s>t-1, 则Cov(y(t),y(s))=E[x(t+1)-x(s+1)+x(s+1)-x(t)][x(s+1)-x(t)+x(t)-x(s)] -λ2=E(x(t+1)-x(s+1))(x(s+1)-x(t))+E(x(t+1)-x(s+1))(x(t)-x(s))+E(x(s+1)-x(t))+E(x(s+1)-x(t))(x(t)-x(s))- λ2=λ(s+1-t)= λ-λ(t-s)- λ2(3) 若t<s<t+1Cov(y(t),y(s))= E [x(t+1)-x(s)+x(s)-x(t)] [x(s+1)-x(t+1)+x(t+1)-x(s)]- λ2 =(x(t+1)-x(s))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(t+1)-x(s))(x(t+1)-x(s))+E(x(s)-x(t))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(s)-x(t))(x(t+1)-x(s))- λ2=0+λ(t+1-s)+0-λ2=λ+λ(t-s)- λ2(4) 若s>t+1 Cov(y(t),y(s))=0-λ2=-λ2由此知，故方差只与t-s有关，与t,s无关故此过程为宽平稳的。

随机过程习题及部分解答习题一1.若随机过程X(/)为X(0 = A?,-oo<r<+oo,式中4为(0, 1)上均匀分布的随机变量，求X(/)的一维概率密度Px(x；t)。

2.设随机过程X(/) = 4cos(初+ 其中振幅A及角频率①均为常数,相位&是在[-兀,刃上服从均匀分布的随机变量，求X(/)的一维分布。

习题二1.若随机过程X(/)为X(t)=At -00 < r < +00 ,式中4为(0,1)上均匀分布的随机变量，求E[xa)],7?xa』2)2.给定一随机过程X(/)和常数Q,试以X(/)的相关函数表示随机过程y(0 = X(/ + a) —X(/)的自相关函数。

3.已知随机过程X(/)的均值阪⑴和协方差函数Cx (爪© , 0(/)是普通函数，试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)是普通函数，试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)的均值和协方差函数。

4.设X(t) = A cos at + B sin at,其中A, B是相互独立且服从同一高斯(正态)分布N(0Q2)的随机变量，a为常数，试求X(/)的值与相关函数。

习题三1.试证3.1节均方收敛的性质。

2.证明:若X(t),twT;Y(t),twT均方可微，a0为任意常数,则aX(t) + bY(t) 也是均方可微，且有[aX (?) + b Y(/)]' = aX'(/) + b Y'(/)3.证明：若X⑴,twT均方可微，/X/)是普通的可微函数，则f(Z)X(Z)均方可微且[f(ox(or-/w(o+/(ox,(o4.证明:设X⑴在[a,b]上均方可微，且X0)在[a,切上均方连续，则有X'⑴ dt = X(b) — X(a)J a5•证明，设X(t\t eT =[a,b];Y{t\t eT = [a,b]为两个随机过程，且在T上均方可积，a和0为常数，则有(*b (*b (*bf [aX(/) + 0Y(/)M = a [ Xit)dt + /3\ Y⑴ dtJ a J a J aeb rc rbaX (t)dt = X (t)dt + XQ) dt,aWcWbJ a J a Jc6.求随机微分方程X'(/) + aX ⑴二丫⑴ze[0,+oo]'X(0) = 0的X(t)数学期望E [X(0]。

随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。

（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。

解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。

2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。

（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。

解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。

解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。

（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。

解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。

（2）典型样本函数是一条正弦曲线。

（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。

（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。

经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。

（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，（2）因此：P112/9．解：（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，则有：因此有：（1）令矩阵P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。

随机过程试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 随机过程的数学定义中，通常需要满足哪些条件？A. 样本空间、概率测度、随机变量B. 样本空间、概率测度、随机函数C. 样本空间、随机变量、随机函数D. 概率测度、随机变量、随机函数答案：B2. 马尔可夫链的无记忆性指的是什么？A. 过程的未来状态仅依赖于当前状态B. 过程的未来状态仅依赖于过去的状态C. 过程的未来状态依赖于当前和过去的状态D. 过程的未来状态依赖于所有历史状态答案：A3. 在随机过程中，如果一个过程的任何有限维分布都是联合正态的，则称该过程为什么？A. 正态过程B. 高斯过程C. 联合正态过程D. 多元正态过程答案：B4. 以下哪个不是平稳随机过程的性质？A. 一阶矩不随时间变化B. 任意两个不同时间点的协方差仅依赖于时间差C. 过程的均值随时间变化D. 过程的自相关函数仅依赖于时间差答案：C5. 随机过程的谱密度函数与自相关函数之间的关系是什么？A. 互为傅里叶变换B. 互为拉普拉斯变换C. 互为Z变换D. 互为梅林变换答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果随机过程的样本路径是连续的，则称该过程为_________。

答案：连续过程2. 随机过程的样本函数是定义在时间轴上的_________。

答案：随机变量3. 对于一个平稳过程，其自相关函数R(τ)仅依赖于时间差τ，而不依赖于绝对时间t，即R(t1, t2) = R(t1 - t2) = R(τ)，其中τ = t2 - t1。

这种性质称为_________。

答案：时间平移不变性4. 随机过程的遍历性是指过程的_________等于其统计平均。

答案：时间平均5. 随机过程的遍历性分为_________遍历性和_________遍历性。

答案：强，弱三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是泊松过程，并给出其概率质量函数。

答案：泊松过程是一种描述在固定时间或空间间隔内随机事件发生次数的随机过程。

电子科技大学二零零 至二零零 学年第 学期期 考试随机信号分析 课程考试题 B 卷 （ 120 分钟） 考试形式： 一页纸开卷 考试日期 200 年 月 日课程成绩构成：平时 20 分， 期中 10 分， 实验 0 分， 期末 70 分十一道题仍选十道题做。

1. （7分）若随机信号()X t aC =，其中a 为常数，C 是R.V .，且C 的方差2C 0σ≠，讨论（1）X (t )的均值函数和自相关函数； （2） X (t )的各种平稳性； （3） X (t )的均值各态历经性。

解：（1）[][][]() E X t E aC aE C ==常数[]()2222222(,)()()= X c c R t t E X t X t E a C a E C a m ττσ⎡⎤⎡⎤+=+==+⎣⎦⎣⎦常数 (2) 由（1）知X (t )是广义平稳的。

并且X (t )是严格平稳的。

它也是严格周期平稳的和广义周期平稳的。

(3) []1()lim 2TTT A X t aCdt aC T-→∞==⎰，因为2C 0σ≠，所以[]()0Var A X t ⎡⎤≠⎣⎦，故X (t )不是均值各态历经的。

2. （7分）设有随机过程()cos X t A t π=，其中A是均值为零，方差是2的正态随机变量，求：（1） X (t )的均值函数和自相关函数； （2） X (1)和14X ⎛⎫⎪⎝⎭的概率密度函数； （3） X (t )是否为广义平稳随机过程？（4） X (t )是否均值各态历经？解：（1）[()][cos ][]cos 0E X t E A t E A t ππ===2(,)[cos ()cos ][]cos ()cos X R t t EA t A t E A t t τπτππτπ+=+=+2cos ()cos cos (2)cos tt t πτππτπτ=+=++ 与t 有关 (2 ) 由于正态随机变量的线性变换仍然是正态随机变量，所以(1) -X A =， 142X A ⎛⎫= ⎪⎝⎭[(1)]0E X =，[(1)]2Var X =()220224(;1)x x f x e---⋅∴==104E X ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，21214Var X ⎡⎤⎛⎫=⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭22(0)2121(;)4x x f x ee ---⋅∴==（3）因为(,)cos (2)cos X R t t t τπτπτ+=++ 与t 有关，所以X (t )不是广义平稳随机过程。