四种命题真假关系

1.(1)对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p，则q”的形式后再进行转换．(2)分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题、否命题和逆否命题．2．四种命题真假的判断方法因为互为逆否命题的真假等价，所以判断四个命题的真假，只需判断原命题与逆命题(或否命题)的真假即可．已知下面四个命题：①对于∀x，若x－3＝0，则x－3≤0；②“若a＜b，则ac2＜bc2”的否命题；③命题“若非零向量a，b，a·b＝0，则a⊥b”的逆命题；④已知p、q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈p)∧(綈q)”为真命题．其中所有真命题的序号是________．【思路点拨】对于②③注意四种命题及其关系，对于④涉及到含逻辑联结词的命题，要根据真值表与逻辑联结词的含义判断．【解析】①∵x－3＝0⇒x－3≤0，∴为真命题．②“若a ＜b ，则ac 2＜bc 2”的否命题是：“若a ≥b ，则ac 2≥bc 2”，由不等式的性质知为真命题． ③逆命题：“若a ⊥b ，则a·b ＝0”为真命题． ④由p ∨q 为假命题，∴p 与q 均为假命题．∴綈p ，綈q 为真命题，一定有(綈p )∧(綈q )为真，故④为真命题． 综上知，命题①②③④均为真命题． 【答案】 ①②③④已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝32，命题q ：x 2－2x ＋3＜0的解集为∅，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是真命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是真命题．其中正确的是( )A ．①③④B ．②③C ．③④D ．①②③④【解析】 命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝32是假命题，命题q ：x 2－2x ＋3＜0的解集是∅是真命题，则綈p 为真命题，綈q 为假命题．∴“p ∧q ”是假命题，“p ∧綈q ”是假命题，“綈p ∨q ”与“綈p ∨綈q ”均为真命题． 因此③④正确． 【答案】 C1.(1)直接利用定义判断：即若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. (条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系判断：p ⇒q 的等价命题是綈q ⇒綈p ，即若綈q ⇒綈p 成立，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充分条件、必要条件和充要条件的应用此类问题是指属于已知条件是结论的充分不必要条件、必要不充分条件或者充要条件，来求某个字母的值或范围，涉及到的数学知识主要是不等式问题，根据相应知识列不等式(组)求解．下列各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m ＜－2或m ＞6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )为偶函数；③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β； ④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A ； A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【思路点拨】 把握充要条件的概念，会用反例来排除选项．【解析】 对①，∵y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点，∴m 2－4(m ＋3)＞0，解得m ＜－2或m ＞6.∴p 是q 的充要条件，排除选项B ，C.对于②，q ：取f (x )＝x 2在R 上为偶函数，但f (－x )f (x )在x ＝0处没有意义，p 是q 的充分不必要条件，排除选项A.【答案】D已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0，若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围．【解】 A ＝{x |x 2－8x －20>0}＝{x |x <－2或x >10}， B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2>0}＝{x |x <1－a 或x >1＋a }． 由于p 是q 的充分而不必要条件，可知A B . 从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＞01－a ≥－21＋a ＜10或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－a >－2，1＋a ≤10，解得0<a ≤3.故所求正实数a 的取值范围为(0,3].1.(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．(2)判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．2．含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．判断下列命题是特称命题还是全称命题，用符号写出其否定并判断命题的否定的真假性．(1)有一个实数α，sin 2α＋cos 2α≠1； (2)任何一条直线都存在斜率； (3)存在实数x ，使得1x 2－x ＋1＝2.【思路点拨】 首先找准量词判断是全称命题还是特称命题，写它们的否定时要注意量词的变化，真假判断可从原命题和原命题的否定两个角度择易处理．【规范解答】 (1)特称命题，否定：∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1，真命题． (2)全称命题，否定：∃直线l ，l 没有斜率，真命题． (3)特称命题，否定：∀x ∈R ，1x 2－x ＋1≠2，真命题．(2013·台州高二检测)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 3＞3 D ．∀x ∈R,2x ＞0【解析】 ∵当x ＝1时，lg 1＝0，∴A 是真命题； ∵当x ＝π4时，tan π4＝1，∴B 是真命题；∵当x ＜0时，x 3＜0，∴C 是假命题；由指数函数的性质可知，对∀x ∈R,2x ＞0成立，∴D 是真命题． 【答案】 C进而使问题得到解决的一种解题策略．一般是将复杂的问题进行变换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等．通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1＜1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．【思路点拨】 由于“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，可以得到p 与q 一真一假，再转化为集合间的关系求解结果．【规范解答】 由ax 2－x ＋116a ＞0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝1－4×a ×a 16＜0，解得a ＞2.∵2x ＋1＜1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1＞1，则x ＝t 2－12，∴2(t －1)＜a (t 2－1)对一切t ＞1均成立． ∴2＜a (t ＋1)，∴a ＞2t ＋1，∴a ≥1.∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p ，q 一真一假．若p 真q 假，则a ＞2且a ＜1，∴a 值不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2. 故a 的取值范围为1≤a ≤2.判断p ：x ≠2或y ≠3是q ：x ＋y ≠5的什么条件． 【解】 若p ，则q 的逆否命题是若綈q ，则綈p . 由于綈q ：x ＋y ＝5；綈p ：x ＝2且y ＝3， 于是綈p ⇒綈q ，而綈q綈p .故q ⇒p ，p q ，即p 是q 成立的必要不充分条件．。

四种命题及其关系本节课主要讲解了命题的概念及其结构，命题是能够判断真假的陈述句，其中真命题为真实陈述，假命题为虚假陈述。

需要注意的是，不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的陈述句才是命题。

命题通常可以改写成“若p，则q”的形式，其中p为命题的条件，q为命题的结论。

类型二：四种命题及其关系本节课还介绍了四种命题及其关系，包括原命题、逆命题、否命题和逆否命题。

其中，逆命题和否命题是互为逆命题的，逆否命题和原命题是互为逆否命题的。

需要注意的是，四种命题之间的真假关系并不总是有必然联系，只有互为逆否命题的两个命题同真同假。

因此，在判断命题真假时需要仔细分析其结构和关系。

本课程介绍了命题的概念和结构，以及四种命题及其关系。

命题是能够判断真假的陈述句，其中真命题为真实陈述，假命题为虚假陈述。

需要注意的是，只有能够判断真假的陈述句才是命题，而命题通常可以改写成“若p，则q”的形式，其中p 为命题的条件，q为命题的结论。

四种命题包括原命题、逆命题、否命题和逆否命题，其中逆命题和否命题是互为逆命题的，逆否命题和原命题是互为逆否命题的。

需要注意的是，四种命题之间的真假关系并不总是有必然联系，只有互为逆否命题的两个命题同真同假。

因此，在判断命题真假时需要仔细分析其结构和关系。

判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题。

1) 末位是5的整数能被5整除。

2) 平行四边形的对角线相等且互相平分。

3) 两直线平行，则斜率相等。

4) 在三角形ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB。

5) 余弦函数是周期函数吗？举一反三：变式1】判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假。

1) x>1；2) 当x=1时，x>1；3) 你是男生吗？4) 求证：π是无理数。

变式2】下列语句中是命题的是（）A。

|x+a|B。

{0}∈NC。

元素与集合D。

真子集变式3】判断下列语句是否是命题。

1) 这是一棵大树。

2) sin30°=1/2.3) x+1>0；4) 梯形是平行四边形。

四种命题间的真假关系
四种命题的真假关系是：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。

两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。

原命题与逆命题互逆；否命题与原命题互否；原命题与逆否命题相互逆否；逆命题与否命题相互逆否；逆命题与逆否命题互否；逆否命题与否命题互逆。

对于p且q形式的复合命题，同真则真。

对于p 或q形式的复合命题，同假则假。

对于非p形式的复合命题，真假相反。

一、命题的概念1、命题：把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题；2、真命题、假命题：判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。

注意：1、并不是所有的语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题。

2、如果一个语句是命题，则它是真命题或是假命题，二者必具其一。

二、命题的否定与否命题有什么区别1.命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。

比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0,使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表，在A为假命题的情况下，非(A=>B)与A=>非B并不是逻辑相等的。

参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A且非B”。

2.一个命题与它的否定形式是完全对立的。

两者之间有且只有一个成立。

数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。

而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。

三、举例命题的否定与否命题的易错题1、写出“若a，b都是正数，则a+b大于等于2√ab.”的否命题。

解答：若a，b不都是正数，则a+b大于等于2√ab.。

评注：“都是正数”的否定是“不都是正数”而不是“都不是正数”．如果把“a，b都是正数”理解成“a是正数且b是正数”，则其否定也可写成“a不是正数或b不是正数”。

2、写出“两个奇数的和是偶数”的否命题与命题的否定。

解答：否命题：若两个数不全是奇数，则它们的和不是偶数。

命题的否定：两个奇数的和不是偶数。

评注：(1)“两个奇数的和是偶数”意思是“有两个数全是奇数，则它们的和是偶数”。

(2)“是偶数”的否定是“不是偶数”，而不是“是奇数”。

3、写出下列命题的否定：(1)有些常数数列不是等比数列。

(2)平行四边形是菱形。

解答：(1)任意一个常数数列都是等比数列。

命题真假的判断
邢美玲
我们知道可以判断真假的语句叫做命题。

命题有真有假，判断命题真假的方法有下面两种。

一. 正面判断命题的真假。

对于简单命题而言，可依据所学过的知识进行判断；对于复合命题而言，先判断简单命题的真假，再利用下面的真值表进行判断。

简言之，对于p 且q 形式的复合命题，同真那么真；对于p 或q 形式的复合命题，同假那么假；对于非p 形式的复合命题，真假相反。

p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p 且q 真 假 假 假 p 或q 真 真 真 假 非p 假 假 真 真 非q 假
真
假
真
二. 利用四种命题之间的关系进行判断。

如下表：
要牢记原命题与逆否命题，逆命题与否命题符合同真同假的关系。

如果判断某一命题真假困难时，只要判断其逆否命题的真假就可以了。

例1. 判断命题“假设m>0，那么x x m 20+-=有实根〞的逆否命题的真假。

解法1：该命题的逆否命题是：“假设x x m 20+-=无实根，那么m ≤0。

〞 由x x m 20+-=无实根，得∆=+<140m 解得m m <-
⇒≤1
4
0 故原命题的逆否命题是真命题。

解法2：因m>0时，∆=+>140m 所以x x m 20+-=有实根
这说明原命题是真命题，它的逆否命题也是真命题。

例2. 假设p、q是两个简单命题，且“p或q〞的否认是真命题，那么有〔〕A. p真q真 B. p假q真
C. p真q假
D. p假q假
解：因“p或q〞的否认是真命题
所以“p或q〞是假命题，可得p假q假。

应选D。