黎曼流形的距离均方差最小降维改进算法

黎曼流形的距离均方差最小降维改进算法高恩芝;王士同【摘要】The TRIMAP algorithm redefines the expression of the distance on the graph, and in order to measure the quality of the projection functions, considers the squared error sum of all pair wise geodesic. This way can better find what is needed from high-dimensional space to low-dimensional vector space conversion. But this measure can't be well express the contrast relationship between graph distance which is defined in TRIMAP algorithm and actual distance which is projected to low dimensional space. Aiming at this deficiency, this paper uses a new standard expression and defines a parameter m to represent relationship in order to solve the defect, get the best projection and improve the recognition rate. The preliminary experimental results show that it can get a better recognition performance in the ORL face image classification and recognition problem.%TRIMAP算法重新定义了图上距离的表达形式,并用近邻点对的测地距离的误差和作为衡量投影函数好坏的标准,通过这种方法可以较好地找到所需的从高维空间到低维空间转换的媒介,但是这种衡量标准不能很好地表达出TRIMAP中定义的图上距离与投影到低维空间中两点实际距离的对比关系.针对这个不足,采用了一个新的衡量标准表达式,定义一个参数m来代表对比关系,以此来解决这个缺陷,从而更好地获得最佳投影,提高识别率.实验结果表明,在ORL人脸图像的分类识别问题中获得了较好的识别性能.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2013(049)002【总页数】5页(P198-202)【关键词】数据降维;流形学习;测地距离;等距离映射算法;局部线性嵌入【作者】高恩芝;王士同【作者单位】江南大学数字媒体学院,江苏无锡214122;江苏省信息融合软件工程技术研究开发中心,江苏无锡214405;江南大学数字媒体学院,江苏无锡214122【正文语种】中文【中图分类】TP391科技的发展，信息时代的到来，使得数据集增长更快，数据维数更高，非结构化程度更加突出。

最短距离改进问题算法在物流选址中的应用
张天祥;凡金伟
【期刊名称】《光盘技术》
【年(卷),期】2008(000)011
【摘要】物流中心在物流系统中具有很重要的地位,它是连接物流上游和下游的桥梁,而物流中心一旦建成就将长时间运行,直接关系运行费用和工作效率及物流的控制水平.关于物流中心的选址有很多方法,本文将最短路径法引入到物流选址中,达到了费用最小的目的,提高了工作效率,因此该方法合理有效.
【总页数】2页(P40,53)
【作者】张天祥;凡金伟
【作者单位】可南省民政学校,河南,郑州,450052;郑州商业贸易技师学院,河南,郑州,450000
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6
【相关文献】
1.改进的果蝇优化算法在城市物流配送中心选址中的应用 [J], 于博
2.改进粒子群算法在多目标物流选址中的应用 [J], 龙圣杰;刘衍民;曾庆雨
3.改进和声搜索算法在电力企业物流中心选址中的应用 [J], 余高辉;王超颖;何雪江;黄秀芳
4.改进的花朵授粉算法在物流配送中心选址问题中的应用 [J], 刘敏
5.改进的模拟退火算法在物流配送中心选址中的应用 [J], 裴时域;李元香
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黎曼流形上的统计学方法统计学是一门研究收集、分析和解释数据的学科。

它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、医学、生物学等。

然而，传统的统计学方法在处理非线性数据时存在一定的局限性。

为了克服这些局限性，人们开始将统计学方法应用于黎曼流形上。

黎曼流形是一种非欧几里德空间，它具有曲率和非线性特性。

在黎曼流形上进行统计分析，可以更好地描述和解释非线性数据的特征。

下面将介绍几种常见的黎曼流形上的统计学方法。

一、黎曼流形上的平均值在欧几里德空间中，平均值是一组数据的中心位置。

然而，在黎曼流形上，平均值的计算要复杂一些。

黎曼流形上的平均值被称为黎曼平均。

黎曼平均的计算需要考虑曲线和非线性的特性，因此与欧几里德空间中的平均值有所不同。

二、黎曼流形上的距离度量在黎曼流形上，距离度量是一种衡量两个数据点之间相似性的方法。

黎曼流形上的距离度量通常使用黎曼度量来定义。

黎曼度量考虑了流形的曲率和非线性特性，因此能更准确地描述数据点之间的距离。

三、黎曼流形上的主成分分析主成分分析（PCA）是一种常用的降维方法，用于提取数据中的主要特征。

在黎曼流形上，主成分分析也有相应的方法，被称为黎曼主成分分析（Riemannian PCA）。

黎曼主成分分析考虑了流形的曲率和非线性特性，因此可以更好地提取数据中的主要特征。

四、黎曼流形上的分类方法分类是统计学中的一个重要问题，它用于将数据分为不同的类别。

在黎曼流形上，有一些特殊的分类方法，如黎曼判别分析（Riemannian Discriminant Analysis）。

黎曼判别分析考虑了流形的曲率和非线性特性，因此可以更准确地进行分类。

五、黎曼流形上的聚类方法聚类是一种将数据分成不同组的方法。

在黎曼流形上，有一些特殊的聚类方法，如黎曼聚类分析（Riemannian Clustering）。

黎曼聚类分析考虑了流形的曲率和非线性特性，因此可以更好地进行聚类。

总结起来，黎曼流形上的统计学方法能够更好地处理非线性数据，提取数据中的主要特征，并进行分类和聚类分析。

一种改进粒子滤波算法实现的多径参数估计
国强;刘雪萌;周凯
【期刊名称】《西安电子科技大学学报》
【年(卷),期】2022(49)3
【摘要】在静态环境下针对粒子滤波算法在参数估计过程中存在的粒子退化、粒子多样性降低的问题,提出一种无迹卡尔曼滤波算法与改进差分进化算法联合优化粒子滤波的新算法。

该算法首先在粒子滤波重要性采样阶段引入无迹卡尔曼滤波为每个粒子计算其均值和协方差,并利用该均值和协方差“指导”采样,得到合理的采样分布以避免粒子退化现象。

其次,传统的差分进化算法虽结构简单、容易使用,但其差分变异算子一般为固定常数,自适应性较差,因此在差分进化的变异与交叉过程中采用一种自适应策略,避免其出现过早收敛、造成局部最优的现象。

同时,采用改进后的差分进化算法代替粒子滤波的重采样过程,克服了粒子多样性降低的问题。

最后,利用新算法实现多径参数估计,并将估计的多径信号从导航信号中减去,得到直达信号,以达到提高定位精度的目的。

仿真结果表明,新算法在满足实时性要求的情况下,可大大提高粒子多样性进而降低参数估计结果的波动幅度并减小其均方根误差。

【总页数】9页(P120-128)
【作者】国强;刘雪萌;周凯
【作者单位】哈尔滨工程大学信息与通信工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】TN967.1
【相关文献】
1.一种GPS多径时延估计的改进粒子滤波算法
2.一种改进粒子滤波算法及其在多径估计中的应用
3.基于差分进化改进粒子滤波的多径估计算法
4.用改进的MUSIC 算法实现相干多径信号分离
5.基于改进粒子滤波算法实现锂离子电池RUL预测
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最小均方差法3.2.1.1卡尔曼滤波原理最小均方差法的随机过程提出状态模型，用矩阵方式表示，便于解决多变量的同时估计问题。

对于观测数据给出递推估计算法，便于实时处理。

它用状态空间形式描述其数学表达式，通过递归求解。

其状态的每一次更新估计都由前一次估计结果和新的输入数据得到，只需存储前一次的估计值，因此可以节省内存开销。

其基本估算原理如下：随机过程的状态模型可写为XAXBU=+(3.1)YCX=(3.2)式中，X为状态向量，U为策动噪声向量。

卡尔曼滤波离散随机过程的状态模型由消息过程、观测过程和估计过程组成。

可以写为(1)消息模型1kkkkXXW+=Φ+(3.3)kkkYCX=(3.4)式中，kX为kt时刻的状态向量，kΦ为零输入情况下k时刻到k+1时刻的转移矩阵，kW为策动噪声向量，定义{}TkkkQEWW=，为策动噪声的协方差矩阵。

(2)观测模型kkkkZHXV=+(3.5)式中，kZ为kt时刻的观测向量，kH为观测矩阵，代表无测量噪声下观测向量kZ与状态向量kX之间的变换关系，kV为测量噪声向量，定义{}TkkkREVV=，为测量噪声的协方差矩阵。

(3)估计模型ˆˆˆ(kkkkkkXXKZHX--=+-(3.6)式中kK是卡尔曼增益矩阵，ˆkX-是预测估计，代表获得kt时刻的观测值kZ以前所作的关于kX的估计，并定义预测误差为ˆkkkEXX--=-(3.7)预测误差的协方差矩阵为{}TkkkPEEE---=；ˆ(kkkkKZHX--为新信息，代表由kt时刻的观测值kz得到的关于kx估计的新信息，定义估计误差为ˆkkkEXX=-(3.8)其协方差矩阵为{}TkkkPEEE=。

估计模型就是利用kt时刻的观测值kZ来纠正预测估计ˆkX-，从而得到更新估计ˆkX。

由以上定义可得卡尔曼滤波递推方程(3.9)由式(3.5)可以看到，当卡尔曼滤波观测模型的观测矩阵kH为1时，状态变量kX就等于输入向量kZ减去测量噪声向量kV，于是此时的卡尔曼滤波估计值就是输入向量kZ的估计值，相当于起到对输入向量kZ的滤波作用。

1.阿伦方差的定义，计算方法以及物理意义。

David AIlan于1966年提出了Allan方差,最初该方法是用于分析振荡器的相位和频率不稳定性，高稳定度振荡器的频率稳定度的时域表征目前均采用Allan方差。

由于陀螺等惯性传感器本身也具有振荡器的特征，因此该方法随后被广泛应用于各种惯性传感器的随机误差辨识中。

Allan方差的基本原理如下：设系统采样周期为τ，连续采样N 个数据点.Y(i)，i=1，2，3…N。

对任意的时间r=mτ，m=1,2…N/2,由式(1)求该组时间内各点的均值序列Y(K),由式(2)求取差值序列D(K).Y(K)=1/M1()K MJ KY i+-=∑K=1,2…N-M+1 (1)D(K)=Y(K+M)-Y(K) K=1,2…N-2M+1 (2)普通AlIan方差的定义如式(3)。

其中<>表示取均值，σ=1，2，⋯，Round((N／m)-1)。

2ynσ(τ)=1/2<D((P-1)M+1)2 >(3)Allan方差反映了相邻两个采样段内平均频率差的起伏。

它的最大优点在于对各类噪声的幂律谱项都是收敛的；此外每组测量N一2，大大缩短了测量的时间。

交叠式Allan方差由式(4)计算：2ynσ(τ)=1/2<D(P)2> P=1,2…N-2M+1 (4)衡量陀螺精度的一个非常重要的指标是陀螺随机漂移(drift)，又指偏置稳定性(bias stabil—ity)以及零偏稳定性，不同应用场合对陀螺的漂移精度提出不同的要求。

MEMS的随机误差具有慢时变、非平稳的特点，因而对其的辨识更适合采用Allan方差分析法。

然而由于在相同的置信水平之下，交叠式Allan方差分析方法比普通的Allan 方差具有更大的置信区间.所谓频率稳定度是指任何一台频率源在连续运行之后，在一段时期中能产生同一频率的程度，即频率随机起伏的程度。

造成频率起伏的根本原因是噪声对信号相位或频率调制的结果。

黎曼流形维基百科，自由的百科全书黎曼流形（Riemannian manifold）是一个微分流形，其中每点p的切空间都定义了点积，而且其数值随p平滑地改变。

它容许我们定义弧线长度，角度，面积，体积，曲率，函数梯度及向量域的散度。

每个R n的平滑子流形可以导出黎曼度量: 把R n的点积都限制于切空间内。

实际上，根据纳什嵌入定理, 所有黎曼流形都可以这样产生。

我们可以定义黎曼流形为和R n的平滑子流形是等距同构的度量空间,等距是指其内蕴度量(intrinsic metric)和上述从R n导出的度量是相同的。

这对建立黎曼几何是很有用的。

黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。

它可产生度量空间：如果γ: [a, b] → M是黎曼流形M中一段连续可微分的弧线，我们可以定义它的长度L(γ) 为（注意：γ'(t) 是切空间M在γ(t)点的元素; ||·||是切空间的内积所得出的范数。

)使用这个长度的定义,每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空间（甚至是长度度量空间）：在x与y两点之间的距离d(x, y) 定义为：d(x,y) = inf{ L(γ): γ 是连接x和y的一条光滑曲线}。

虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直线”的概念依然存在:那就是测地线.在黎曼流形中,测地线完备的概念，和拓扑完备及度量完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是Hopf-Rinow定理的内容.。

微分流形维基百科，自由的百科全书[] 可微流形的定义设的自然数或者为，拓扑空间被称为是m维可微流形，如果，1.为豪斯多夫空间2.被m维坐标邻域所覆盖，换句话说，存在的m维坐标邻域族，使得3.满足的任意，坐标转换为映射。

•当r = 0时，流形称为是拓扑流形；当时，流形称为是光滑流形。

•拓扑空间•维基百科，自由的百科全书•汉漢▼••上图为三点集合{1,2,3}上四个拓扑的例子和两个反例。

16维ekf算法16维EKF算法EKF（Extended Kalman Filter）是一种用于非线性系统的滤波算法，它是对卡尔曼滤波（Kalman Filter）的扩展和改进。

它通过线性化非线性系统的状态方程和观测方程，将非线性问题转化为线性问题，从而实现对系统状态的估计和滤波。

EKF算法的基本原理是将非线性系统通过一阶泰勒展开进行线性化，从而将非线性问题转化为线性问题。

具体来说，EKF算法通过对非线性系统的状态方程和观测方程进行泰勒展开，得到一阶导数的近似值，并利用卡尔曼滤波的递推公式进行状态估计和滤波。

在EKF算法中，系统状态和观测是由一个16维向量表示的，其中包括位置、速度、姿态等信息。

通过对系统状态方程进行泰勒展开，可以得到线性化的状态方程，并利用卡尔曼滤波的递推公式进行状态估计和滤波。

EKF算法的主要步骤包括预测步和更新步。

在预测步中，根据系统的状态方程和输入，利用卡尔曼滤波的递推公式对系统状态进行预测。

在更新步中，根据观测方程和观测值，利用卡尔曼滤波的更新公式对系统状态进行更新和修正。

EKF算法的关键在于如何线性化非线性系统的状态方程和观测方程。

通常情况下，可以通过泰勒展开的方式对非线性方程进行近似。

在进行泰勒展开时，需要计算各个状态变量的一阶导数，并利用这些导数进行线性化。

然而，由于泰勒展开是对非线性函数进行线性近似，所以在一定范围内才能保证精度。

如果系统的非线性程度太高，线性化的结果可能会引入较大的误差，从而影响滤波的效果。

因此，在应用EKF算法时，需要对系统的非线性程度进行评估，以确保线性化的有效性。

EKF算法还有一个重要的问题是协方差矩阵的更新。

在卡尔曼滤波中，协方差矩阵用于表示系统状态的不确定性，通过卡尔曼增益对其进行更新。

在EKF算法中，由于系统的非线性性，协方差矩阵的更新需要考虑非线性对系统状态的影响，从而保持滤波的准确性。

总结一下，16维EKF算法是一种用于非线性系统的滤波算法，通过线性化非线性系统的状态方程和观测方程，将非线性问题转化为线性问题，从而实现对系统状态的估计和滤波。

第3章 最小均方算法3．1 引言最小均方(LMS ,least -mean -square)算法是一种搜索算法，它通过对目标函数进行适当的调整[1]—[2],简化了对梯度向量的计算。

由于其计算简单性，LMS 算法和其他与之相关的算法已经广泛应用于白适应滤波的各种应用中[3]-[7]。

为了确定保证稳定性的收敛因子范围，本章考察了LMS 算法的收敛特征。

研究表明，LMS 算法的收敛速度依赖于输入信号相关矩阵的特征值扩展[2]—[6]。

在本章中，讨论了LMS 算法的几个特性，包括在乎稳和非平稳环境下的失调[2]—[9]和跟踪性能[10]-[12]。

本章通过大量仿真举例对分析结果进行了证实。

在附录B 的B ．1节中，通过对LMS 算法中的有限字长效应进行分析，对本章内容做了补充。

LMS 算法是自适应滤波理论中应用最广泛的算法，这有多方面的原因。

LMS 算法的主要特征包括低计算复杂度、在乎稳环境中的收敛性、其均值无俯地收敛到维纳解以及利用有限精度算法实现时的稳定特性等。

3．2 LMS 算法在第2章中，我们利用线性组合器实现自适应滤波器，并导出了其参数的最优解，这对应于多个输入信号的情形。

该解导致在估计参考信号以d()k 时的最小均方误差。

最优(维纳)解由下式给出：其中，R=E[()x ()]T x k k 且p=E[d()x()] k k ，假设d()k 和x()k 联合广义平稳过程。

如果可以得到矩阵R 和向量p 的较好估计，分别记为()R k ∧和()p k ∧，则可以利用如下最陡下降算法搜索式(3．1)的维纳解：w(+1)=w()-g ()w k k k μ∧w()(()()w())k p k R k k μ∧∧=-＋２ (3.2) 其中，k ＝0，1，2，…,g ()w k ∧表示目标函数相对于滤波器系数的梯度向量估计值。

一种可能的解是通过利用R 和p 的瞬时估计值来估计梯度向量，即 10w R p -=(3.1)()x()x ()T R k k k ∧=()()x()p k d k k ∧= (3.3) 得到的梯度估计值为(3.4) 注意，如果目标函数用瞬时平方误差2()e k 而不是MSE 代替，则上面的梯度估计值代表了真实梯度向量，因为2010()()()()2()2()2()()()()T e k e k e k e k e k e k e k w w k w k w k ⎡⎤∂∂∂∂=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦ 2()x()e k k =-()w g k ∧= (3.5) 由于得到的梯度算法使平方误差的均值最小化．因此它被称为LMS 算法，其更新方程为 (1)()2()x()w k w k e k k μ+=+ (3.6) 其中，收敛因子μ应该在一个范围内取值，以保证收敛性。

bfgs算法公式BFGS算法（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno算法）是一种用于无约束优化问题的拟牛顿法。

它是由Broyden、Fletcher、Goldfarb和Shanno四位科学家在1970年提出的。

BFGS算法的核心思想是通过逐步改进的方法来逼近目标函数的极小值点。

它基于拟牛顿法的思想，通过估计目标函数的Hessian矩阵的逆来更新搜索方向，从而实现迭代求解的过程。

在BFGS算法中，首先需要选择一个初始点作为起始点，并对Hessian矩阵的逆进行初始化。

然后，根据当前点的信息和目标函数的梯度信息，计算出搜索方向。

接下来，利用线搜索方法确定步长，即在搜索方向上沿着目标函数下降最快的方向前进的距离。

通过更新搜索方向和步长，可以得到下一个点。

然后，根据新点和旧点的信息来更新Hessian矩阵的逆。

重复这个过程，直到满足停止准则为止。

BFGS算法的优点是收敛性好、迭代速度快、不需要计算目标函数的二阶导数（Hessian矩阵）和求解线性方程组。

相比于其他拟牛顿法，BFGS算法的收敛性更好，迭代次数更少。

它被广泛应用于工程优化、机器学习、图像处理等领域。

然而，BFGS算法也存在一些问题。

首先，它需要存储和更新一个n×n的矩阵，如果问题的维度很高，会导致存储和计算的开销很大。

其次，BFGS算法的性能高度依赖于初始点的选择，选择不当可能导致算法陷入局部最优解。

此外，BFGS算法对目标函数的光滑性和凸性要求较高，对于非光滑和非凸的问题效果可能不理想。

为了解决BFGS算法的一些问题，研究者们提出了一些改进算法，如L-BFGS（Limited-memory BFGS）算法、DFP（Davidon-Fletcher-Powell）算法等。

这些改进算法在BFGS算法的基础上进行了改进和优化，进一步提高了算法的收敛性和效率。

BFGS算法是一种有效的无约束优化算法，它通过逐步改进的方法逼近目标函数的极小值点。

大规模低秩恢复中的黎曼优化算法
大规模低秩恢复（Large-scale low-rank recovery）是一类常见
的优化问题，涉及到在高维数据中找到低秩矩阵的最优近似。

黎曼优化算法是一种在黎曼流形（Riemannian manifold）上进
行优化的方法，用于解决这类问题。

在大规模低秩恢复问题中，我们希望找到一个低秩矩阵，使得它与给定的高维数据之间的误差最小。

黎曼优化算法采用一种特殊的参数更新方式，能够有效地在黎曼流形上进行优化。

黎曼流形是一种曲线空间，用于描述矩阵的低秩结构。

黎曼优化算法的思想是通过迭代的方式，依次更新参数以逐步逼近最优解。

在每次迭代中，算法计算当前参数点所在位置的切空间（tangent space），并在该切空间上进行参数更新。

这
样可以保证每次更新都是在曲线空间内进行的，从而更好地逼近最优解。

具体而言，黎曼优化算法在每次迭代中，首先计算当前参数点在曲线空间中的切空间，然后基于切空间上的梯度信息进行参数更新。

这个过程可以看作是在黎曼流形上进行梯度下降优化。

通过反复迭代，算法逐渐接近最优解。

总结起来，大规模低秩恢复中的黎曼优化算法是一种在黎曼流形上进行优化的方法，用于解决高维数据中的低秩恢复问题。

它通过迭代更新参数，逐步逼近最优解，能够有效地处理大规模数据，并获得较好的恢复效果。

最优化方法解可新最优化问题是数学建模中一个重要的问题类别，它的主要目标是在给定一些约束条件下找到一个使得目标函数取得最大或最小值的最优解。

最优化方法是解决这类问题的一种有效手段，通过对问题进行数学建模和算法求解，可以得到最优解或近似最优解。

最优化问题可以分为无约束优化和有约束优化两类。

在无约束优化问题中，目标函数的优化不受约束条件的限制；而在有约束优化问题中，目标函数的优化需要满足一定的约束条件。

下面将分别介绍无约束优化和有约束优化的最优化方法。

一、无约束优化的方法：1. 梯度下降法（Gradient Descent）：梯度下降法是最为常用的无约束优化方法之一。

它通过迭代的方式不断地沿着目标函数梯度的反方向更新参数，直至达到收敛条件。

梯度下降法的核心思想是利用函数的导数信息进行搜索，从而找到函数的最小值点。

2. 牛顿法（Newton Method）：牛顿法是一种基于函数局部二阶泰勒展开的优化方法。

它通过迭代的方式利用目标函数的一阶和二阶导数信息来求解最优解。

牛顿法在每次迭代时通过求解线性方程组来计算更新的步长，因此通常具有更快的收敛速度。

3. 拟牛顿法（Quasi-Newton Method）：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过估计目标函数的二阶导数信息来近似求解最优解。

拟牛顿法不需要计算目标函数的二阶导数，而是通过迭代更新一个代表二阶导数信息的矩阵。

拟牛顿法比牛顿法更加稳定和易于实现，因此被广泛应用于实际问题中。

二、有约束优化的方法：1. 线性规划（Linear Programming）：线性规划是求解线性约束下的最优解的一种方法。

它的目标函数和约束条件均为线性函数，可以利用线性规划的特殊结构进行高效求解。

线性规划在工程、经济和管理等领域有广泛应用，如生产调度、资源分配等问题。

2. 非线性规划（Nonlinear Programming）：非线性规划是求解非线性约束下的最优解的方法。

它的目标函数和/或约束条件为非线性函数，常常需要使用数值优化方法进行求解。

黎曼共轭梯度算法黎曼共轭梯度算法是一种用于求解无约束非线性优化问题的迭代方法。

在计算机视觉、机器学习和信号处理等领域广泛应用。

它是通过对黎曼流形上的梯度和共轭梯度进行推导得到的。

黎曼流形是指在非欧几里得空间中的一种变换空间，在该空间中存在复杂的几何结构。

这些结构的存在会给非线性优化问题带来困难。

黎曼共轭梯度算法就是针对这一问题的一种优化算法。

为了介绍黎曼共轭梯度算法，我们需要先了解一些基本的概念。

首先是黎曼度量，它是定义在黎曼流形上的一种正定对称张量，用来度量该流形上任意点处的切向量之间的内积。

接下来是黎曼联络，它是定义在黎曼流形上的一种协变导数。

它可以用于描述曲线在该流形上的偏移量，从而帮助我们找到流形上的最小值点。

在黎曼流形上的最优点通常不是直接通过求梯度获得的。

我们需要对梯度进行变形，以便将其转化为在局部与曲面平行的坐标系下的梯度，然后才能在该坐标系下进行最优化。

这是通过黎曼联络进行的。

定义在黎曼流形上的共轭梯度是指在两个向量之间最小化函数值的向量。

共轭梯度算法就是针对优化问题的此共轭性质进行设计的。

它的基本思想是通过迭代寻找流形上的最优点。

每次迭代通过计算梯度和共轭梯度来寻找流形上的最小点。

这两个向量的选择是由共轭梯度算法的结构所决定的。

在黎曼流形上使用黎曼共轭梯度算法的优点在于，它可以更精确地找到流形上的最小点，并且收敛速度会更快。

这是因为该算法可以利用流形上的几何结构来提高优化性能。

当然，黎曼共轭梯度算法也有一些缺点。

首先，由于黎曼度量是一个正定对称张量，计算成本通常比欧几里得空间中的向量内积高。

其次，算法也需要处理带有多个自变量的非线性函数，这会增加计算开销。

此外，由于流形上的几何结构可能非常复杂，所以在一些情况下，优化问题的最优点仍然可能很难找到。

总之，黎曼共轭梯度算法是一种非常重要的优化算法。

它可以更精确地寻找最优解，并且速度更快。

这种算法在计算机视觉、机器学习、信号处理等领域广泛应用，对于解决优化问题有着重要的意义。

基于压缩型EKF的SLAM改进算法
张海强;窦丽华;方浩;陈杰
【期刊名称】《系统仿真学报》
【年(卷),期】2009()18
【摘要】针对基于压缩型扩展卡尔曼滤波(CEKF)的SLAM算法在状态增广和地图管理两方面的不足,提出了一种改进算法(ICEKF算法)。

该算法通过增广辅助系数矩阵即可快速完成状态增广,计算复杂度由O(N2)降低为O(NA),其中N和NA分别为全局和局部地图中的路标数。

在地图管理上,ICEKF算法采用一种基于欧氏距离的局部地图动态选择方法,避免了CEKF算法对全局地图进行预先划分带来的路标分配等问题。

仿真表明ICEKF算法在估计结果上与EKF算法具有一致的最优性,与CEKF算法相比计算量大大降低。

【总页数】5页(P5668-5671)
【作者】张海强;窦丽华;方浩;陈杰
【作者单位】北京理工大学信息科学与技术学院自动控制系
【正文语种】中文
【中图分类】TP242
【相关文献】
1.一种基于观测范围约束的改进EKF-SLAM算法
2.基于路标观测的改进EKF-SLAM算法
3.基于机器人运动模型的EKF-SLAM算法改进
4.基于Cholesky分解
的改进自适应EKF-SLAM算法5.基于Cholesky分解的改进自适应EKF-SLAM算法
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黎曼流形算法什么是黎曼流形？黎曼流形是一种在数学和几何学中广泛应用的概念。

它是一个拓扑空间，其中每一点都具有一个黎曼度量。

简单来说，黎曼度量是一个定义在切空间上的二次型，用于测量空间中的距离和角度。

黎曼流形可以看作是具有非欧几何性质的空间，其结构比欧几里德空间更加复杂。

它可以用于描述曲线、曲面和更一般的多维流形，被广泛应用于物理学、计算机科学和机器学习等领域。

黎曼流形算法的应用黎曼流形算法是一种基于黎曼流形的优化算法，它结合了黎曼流形的几何特性和优化理论，用于解决高维空间中的优化问题。

相比传统的优化算法，黎曼流形算法在处理非欧几里德空间中的数据时更加高效和准确。

黎曼流形算法在机器学习领域得到了广泛的应用。

传统的机器学习算法在处理高维数据时往往面临维度灾难和计算复杂性的问题，而黎曼流形算法通过在黎曼流形上定义距离和度量，能够更好地捕捉高维数据的结构信息。

另外，黎曼流形算法还可用于解决非凸优化问题。

非凸优化是一类具有多个局部最优解的优化问题，传统的优化算法往往只能找到局部最优解。

而黎曼流形算法通过在黎曼流形上进行优化，可以寻找全局最优解或接近全局最优解的解。

黎曼流形算法的原理黎曼流形算法是基于黎曼流形的优化算法，其核心思想是在黎曼流形上定义优化问题，并通过黎曼度量来度量距离和角度。

具体来说，黎曼流形算法的步骤如下：1.初始化：选择一个初始点在黎曼流形上。

2.定义优化问题：在黎曼流形上定义一个目标函数和约束条件。

3.计算梯度：计算目标函数在当前点的梯度。

4.更新点的位置：根据梯度信息，在黎曼流形上更新当前点的位置。

5.终止条件：判断是否满足停止条件，若满足则终止迭代，否则回到第3步。

黎曼流形算法的关键之处在于如何在黎曼流形上进行梯度计算和点的更新。

为此，需要定义黎曼度量和与之相关的几何运算。

黎曼流形算法的优势和挑战黎曼流形算法相比传统的优化算法具有以下优势：1.处理高维数据：黎曼流形算法能够更好地处理高维数据，并捕捉数据的结构信息。

基于WMNPE间歇过程监测的改进SVDD算法惠永永;赵小强【摘要】间歇过程数据包含表征过程变化的相关信息和非相关信息,并且呈现高斯与非高斯的多分布等特点.为了更加充分地提取数据的有用信息和处理数据的非高斯性等问题,实现有效的过程监控,提出一种基于WMNPE间歇过程监测的改进SVDD算法.首先运用多向邻域保持嵌入(MNPE)算法来提取低维子流形以实现降维;再使用概率权值策略来提取表征过程变化的相关信息,通过Greedy方法提取低维子流形的特征样本;最后以支持向量数据描述(SVDD)方法建立监控模型进行监控.通过青霉素发酵过程仿真平台验证了所提算法的有效性.【期刊名称】《兰州理工大学学报》【年(卷),期】2018(044)006【总页数】5页(P107-111)【关键词】间歇过程;过程监控;多向邻域保持嵌入(MNPE)算法;支持向量数据描述(SVDD)【作者】惠永永;赵小强【作者单位】兰州理工大学电气工程与信息工程学院,甘肃兰州 730050;兰州理工大学电气工程与信息工程学院,甘肃兰州 730050【正文语种】中文【中图分类】TP277随着工业过程规模的扩大和系统的复杂性日益增加,在过程生产中保证生产安全以及提高产品质量显得越来越重要.由于计算机控制系统的发展,采集和存储了大量的工业过程数据,可以通过对数据的统计分析来监控系统的运行状态,因此,基于多元统计的过程监控(MSPM)方法得到了迅速的发展[1-3].间歇过程作为流程工业中一种重要的生产方式,被广泛地运用于半导体、生物制药、食品及生化产品的制备等[4].与连续生产过程相比,间歇过程有着明显的区别,其中多操作阶段、动态特性变化快、时序操作严格等是其主要特点[5].多元统计方法中的主元分析(PCA)[6]和偏最小二乘(PLS)[7]法广泛地运用在间歇过程的过程监控与故障诊断中.Wold等[8]提出的分层多模块PCA,将三维数据展开后分割成若干个子模块进行建模,来提高监控效果；Lu等[9]提出了间歇过程子时段划分算法、基于子时段PCA/PLS模型的在线监测及质量预测算法.Jiang等[10]提出了一种自适应权值PCA的方法来突出有用信息,从而提高过程监控质量.但是,这些算法通常都需要满足高斯分布的假设,并在数据的提取过程中会造成有用信息的丢失,这会影响过程监控的性能.近年来,流形算法在模式识别和机器学习领域得到广泛的应用.与传统特征提取的算法相比,流形算法提取原始数据空间中隐藏的低维流形信息,对局部结构有较好的保持能力.自Roweis等[11]提出局部线性嵌入(LLE) 算法以来,出现了许多新的流形算法,如等距映射(ISOMAP)[12]、拉普拉斯特征映射(LE)[13]、局部保持投影(LPP)[14]和近邻保持嵌入(NPE)[15]算法等.Hu等[16]将LPP算法用于间歇过程监测并取得了优于PCA的监测效果,之后又提出了基于NPE的动态间歇过程监测方案[17].NPE算法较好地适应于任何新数据,对边缘不太敏感,并且有着较强的鲁棒性[18].支持向量数据描述(SVDD)方法[19]在数据的分类方面得到了较广泛的应用,该方法通过对正常数据的建模从而分离出过程的故障信息,不需要对数据进行高斯分布的假设,可以解决数据的非高斯和非线性问题.核密度估计是一种对非参数概率密度估计的有力工具[20],被广泛用于确定过程数据的分布和获取监控过程的控制限.虽然基于NPE的方法已经成功用于间歇过程的监控,但是仍然存在对有用信息的抑制问题,并且需要对高斯分布的假设.实际的生产过程通常包括复杂的物理及化学过程,原料成分的改变、现场噪声和设备老化等因素都会导致采集的数据具有非高斯分布的特征.因此,为了更充分地提取间歇过程监控中的有用信息和解决数据的非高斯分布问题,提高算法效率,实现在线监控,本文提出一种基于WMNPE间歇过程监测的改进SVDD算法,在采用MNPE算法在充分保留数据的局部结构的前提下,对正常样本批次进行降维来提取低维流形结构,然后利用核密度估计对每个嵌入部分进行密度估计,得出加权矩阵,通过权值策略来充分提取过程数据的有用信息；之后在统计建模的过程中通过Greedy方法来避免大规模的样本数据,提取特征样本；最后使用SVDD方法解决统计数据的非高斯性进行监控.1 NPE算法邻域保持嵌入算法(NPE)是一种局部流形算法,首先确定样本点xi的近邻点,本文中选用k近邻法找到每个样本的K个欧式距离最近的邻近点.再通过近邻点来计算权重系数矩阵W,若结点i到j有一条边连接,则此边权值为wij；若无连接则权重值就为0.权重系数矩阵可通过求解下式的最优解得到:(1)在NPE算法中,若wij能在Rm空间中重构数据点xi,则它也可以在Rm空间中重构对应的点yi.因此,映射变换矩阵A通过求解下式最优解的问题:(2)其中：M=(I-W)Τ(I-W),约束条件是yΤy=bΤXXΤbΤ=1.这就将求解变换矩阵问题转化为求解下式的广义特征值：XMXΤb=λXXΤb(3)式(3)中最小的d个特征值(λ1≤λ2≤…≤λd)所对应的特征向量组成变换矩阵A=(b1,b2,…,bd).所以Y=AΤX,Y为得到的降维数据矩阵,A为映射变换矩阵,X为测量的数据矩阵.2 SVDD方法SVDD方法是针对数据集X={xi,i=1,…,N},通过非线性转换φ:X→F将原始空间数据投影到特征空间{φ(xi),i=1,…,N},从而找到一个几乎包含所有数据样本的最小体积超球面.假定a是超球体的球心,R为超球体半径.考虑测量误差或者噪音等干扰引起的离群点影响,引入松弛因子ξ,C是惩罚参数,该问题可描述为[21-22](4)式(4)的最优化问题可以转化为解决相应的对偶问题：(5)其中：ai是拉格朗日因子.用核函数K(xi,xj)代替内积〈φ(xi),φ(xj)〉,以实现低维空间的非线性问题向高维空间的线性问题的转换,可得到：(6)基于式(5,6)的最优化问题,可以得出超球面的球心a以及半径R,如下式：其中:Ra是支持向量与球心的距离；ai是每一数据样本的拉格朗日乘子；xa是SVDD模型的支持向量(支持向量是位于超球面表面的正常样本).对于新来的样本xnew,其到超球体球心的距离可表示为(9)如果Dnew<R，则该样本正常；反之,该样本为异常样本.3 基于WMNPE的改进SVDD算法本文通过加权的方法来提取数据中的有用信息,并抑制一些不相关信息.给定权值矩阵为Wp,将其嵌入到特征空间可得出下式：Y=WpPX(10)其中：为一对角阵.权值策略的目的是突出有用信息和抑制不相关信息,因此确定其权值矩阵中的权值是关键,本文使用概率密度估计来增强有用信息和抑制噪声等无关信息,从而得出权值矩阵中的权值.首先,把采样点投影到特征空间,然后使用概率密度估计对每个正常数据的嵌入部分进行密度估计,最后对每个新的采样点进行密度估计.一个比较大的密度值意味着新的采样点与正常数据之间的偏差较小,同理,一个较小的密度值表示与正常数据间的偏差较大.一个单变量的核密度函数为(11)其中：y是采样数据；yi是数据集中的观测值；h是窗口的宽度；n为观测数据的个数[23].本文选择高斯核函数,所以核密度估计为(12)通常,窗口的宽度对核密度的估计有着重要的影响,最优的选择窗口宽度与采样点数、数据的分布特性及核函数的选择等有关.权值矩阵Wp在故障检测中突出有用信息,因此,越重要的嵌入部分加权权值越大.由于密度值越小表示测量值与正常值之间的偏差越大,因此密度值小的可能包含更多的故障信息.通过密度估计,加权值可以表示为(13)其中:α为密度阈值;β是嵌入的权值;总体上,α和β值能够通过对正常数据分析获取,同时,α和β值的选取要保证过程监控不被已知的扰动所影响;在本文中α取值为0.001～0.3,β的取值选为是第i个嵌入值的第k-1个采样点的核密度估计值(k为当前采样点);为当前时刻前h个样本点对应的独立元yi的平均值,即得出加权矩阵Wp之后，通过Y=WpPX求得低维空间的投影值Y,就可以对其建立统计分析模型,对过程进行监测.SVDD方法可以被用来建立非高斯的统计模型,但是其运算复杂度为N3(N是训练样本数).由于大规模的数据运算会引发核函数矩阵计算时的“维数灾难”,所以在建模前,提取建模数据集中的特征样本以减小计算量是十分必要的.Greedy方法[24]的特征提取是在建模残差数据集中,寻找一个特征子集使由该特征子集张成的空间近似于由原建模数据集张成的空间.所以本文在建立SVDD模型之前使用Greedy方法进行建模特征样本的提取,以减小计算量,加快了计算速度,在过程监控中提高了实时的监控性能.4 基于WMNPE的改进SVDD算法间歇过程故障监测步骤4.1 离线监测1) 从正常工况条件下采集一定数量的间歇过程数据构成三维矩阵X(I×J×K),将其沿批次方向展开为X(I×JK),并进行标准化.2) 通过MNPE算法得到投影矩阵P.3) 用核密度估计算法估计出每个正常数据嵌入部分的密度值.4) 指定窗口宽度h、密度阈值α和嵌入的权值β.5) 计算正常数据的嵌入权值Wp.6) 利用Greedy方法进行建模特征样本提取.7) 对低维流形特征样本建立SVDD模型,得到超球体半径R.4.2 在线监测1) 在线获取实时数据xk,并对数据进行标准化处理.2) 计算xk的嵌入矩阵并且计算其概率密度值,求得加权矩阵WP.3) 确定加权后的降维投影Y.4) 通过改进SVDD算法计算当前采样的R值.5) 如果R值大于控制限,则判断为产生故障,否则返回步骤1)重新监测.5 仿真实验本文利用Birol等[25]提出的Pensim2.0青霉素发酵过程的标准仿真平台产生出间歇过程数据,Pensim2.0是美国Illinois州立理工学院为了研究典型间歇过程而开发的,它可产生出不同初始条件和不同工况下青霉素发酵过程中各变量每个时刻的数据用以分析研究.本文将每批次的反应时间设定为400 h,采样时间设为1 h,在初始条件设置不同且都在正常范围不引入故障的情况下共产生50个批次正常工况下数据,从产生的18个变量数据中选择其中16个过程变量作为监控变量(见表1),构成三维矩阵X(50×16×400)作为训练样本.表1 Pensim过程变量Tab.1 Pensim process variable变量号变量名称变量号变量名称1通风速率9反应器体积2搅拌速率10排气二氧化碳浓度3底物流加速率11pH值4补料温度12发酵罐温度5基质浓度13产生热6溶解氧浓度14酸流加速率7菌体浓度15碱流加速率8产物浓度16冷水流加速率Pensim2.0仿真平台不仅可以产生正常工况下的数据,还提供了三种故障类型(通气率、搅拌功率和底物流速率).本文引入故障类型2,即变量2的搅拌功率(agitator power)故障,在采样时间150～300 h加入20%的阶跃故障,所产生的数据作为故障样本以供在线检测.分别用MPCA算法、MNPE算法和本文提出的基于WMNPE的改进SVDD算法来对故障样本进行监测,得到图1～5的监测图.图1是MPCA算法在故障2下的SPE监测图,在采样点40左右超出控制限,发生误报,在150点加入阶跃故障时能够迅速检测出故障,在300点故障消失时能够迅速回归到正常状态.图2是MNPE算法在故障2下的SPE监测图,在采样点0～40产生多次误报,同样也能迅速检测到故障.图3是MPCA在故障2下的T2监测图,从图中可以看出在0～50点处于误报状态,能迅速检测到故障.图4是MNPE在故障2下的T2监测图,在采样点40点左右产生多次误报,能迅速检测到故障.图5是本文提出的基于WMNPE间歇过程监测的改进SVDD算法在故障2下的R2监测图,全程无漏报与误报,有较好的监测效果.通过以上仿真实验对比得到,本文提出的基于WMNPE间歇过程监测的改进SVDD算法具有较好的检测效果.图1 MPCA算法的SPE监测图Fig.1 SPE monitoring chart of MPCA algorithm图2 MNPE算法的SPE监测图Fig.2 SPE monitoring chart of MNPE algorithm 图3 MPCA算法的T2监测图Fig.3 T2 monitoring chart of MPCA algorithm 图4 MNPE算法的T2监测图Fig.4 T2 monitoring chart of MNPE algorithm 图5 基于WMNPE 的改进SVDD算法的R2监测图Fig.5 R2 monitoring chart of improved SVDD algorithm based on WMNPE6 结语本文提出的基于WMNPE的改进SVDD算法首先通过使用加权的方法更充分地提取了数据中的有用信息,使用改进SVDD的方法减少了大规模的数据样本可能造成的“维数灾难”,同时也避免了在统计分布的过程中对数据进行的高斯假设,满足数据的非高斯性.通过青霉素发酵过程的仿真实验,验证了本文所提出的算法对间歇过程的故障监控有较好的监测效果.参考文献：【相关文献】[1] RAICH A,CINAR A.Statistical process monitoring and 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