四种命题的真假关系

s和p外延关系的四种命题的真假情况表1. 引言s和p外延关系是数理逻辑中的一个重要概念。

在逻辑学领域，s和p分别代表两个集合，s是主语集合，p是谓词集合。

s和p的外延关系描述了一个命题在s和p 之间的真假关系。

本文将会对s和p外延关系中的四种命题进行详细的讨论和分析。

2. s和p外延关系在介绍四种命题之前，我们先来了解一下s和p外延关系的基本概念。

s和p分别代表两个集合，s是主语集合，p是谓词集合。

s和p之间的外延关系描述了一个命题在s和p之间的真假关系。

外延关系可以分为四种情况：反例外延关系、包含外延关系、相等外延关系和特指外延关系。

2.1 反例外延关系反例外延关系表示命题的真值为假，即命题在主语集合中的所有元素都不满足谓词集合的条件。

2.1.1 真值为假的命题命题：所有狗都会飞。

狗飞小狗否大狗否……在这个例子中，主语集合是所有狗的集合，谓词集合是会飞的集合。

根据现实情况，我们可以得出结论：所有狗都不会飞，因此命题的真值为假。

2.1.2 反例外延关系的特点•命题的真值为假。

•主语集合中的所有元素都不满足谓词集合的条件。

2.2 包含外延关系包含外延关系表示命题的真值为真，即命题在主语集合中的所有元素都满足谓词集合的条件。

2.2.1 真值为真的命题命题：所有狗都有尾巴。

狗尾巴小狗是大狗是……在这个例子中，主语集合仍然是所有狗的集合，谓词集合是有尾巴的集合。

根据现实情况，我们可以得出结论：所有狗都有尾巴，因此命题的真值为真。

2.2.2 包含外延关系的特点•命题的真值为真。

•主语集合中的所有元素都满足谓词集合的条件。

2.3 相等外延关系相等外延关系表示命题的真值为真假都有，在主语集合中有满足谓词集合的元素，也有不满足谓词集合的元素。

2.3.1 真值为假和真值为真的命题命题：所有狗都会叫。

狗叫小狗是大狗否……在这个例子中，主语集合仍然是所有狗的集合，谓词集合是会叫的集合。

根据现实情况，我们可以得出结论：有些狗会叫，有些狗不会叫，因此命题的真值既为真又为假。

四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。

2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。

对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。

3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。

对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。

4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。

对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。

二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。

原命题为真时，逆命题不一定为真。

例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。

2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。

例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。

3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。

例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。

4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。

例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。

四种命题间的真假关系
四种命题的真假关系是：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。

两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。

原命题与逆命题互逆；否命题与原命题互否；原命题与逆否命题相互逆否；逆命题与否命题相互逆否；逆命题与逆否命题互否；逆否命题与否命题互逆。

对于p且q形式的复合命题，同真则真。

对于p 或q形式的复合命题，同假则假。

对于非p形式的复合命题，真假相反。

四种命题四种命题间的互相关系1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。

2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联络。

3、会用命题的等价性解决问题。

【核心扫描】：1、结合命题真假的断定，考察四种命题的构造。

(重点)2、掌握四种命题之间的互相关系。

(重点)3、等价命题的应用。

(难点)1、四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。

其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。

假设原命题为“假设p，那么q〞，那么逆命题为“假设q，那么P〞。

(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认和结论的否认，这样的两个命题叫做互否命题。

假如把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。

也就是说，假设原命题为“假设p，那么q〞那么否命题为“假设非p，那么非q〞。

(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认，这样的两个命题叫做互为逆否命题。

假如把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，假设原命题为“假设p，那么q〞，那么逆否命题为假设非q，那么非p。

任何一个命题的构造都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。

2、四种命题的互相关系(2)四种命题的真假性之间的关系：①两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否认，那么四种命题的形式可表示为：原命题：假设P，那么q；逆命题：假设q，那么p；否命题：假设非P，那么非q；逆否命题：假设非q，那么非p.(1)关于四种命题也可表达为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；②同时否认命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；③交换命题的条件和结论，并且同时否认，所得的新命题就是原命题的逆否命题．(2)原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成“假设p，那么q〞的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题。

命题的条件和结论如何写完整一、命题及其关系1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题原命题：若p，则q。

逆命题：若q，则p。

否命题：若¬P，则¬q。

逆否命题：若¬q，则¬p。

(2)四种命题间的关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．二、充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；(3)若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4) 若p⇔q，则p是q的充要条件；(5) 若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.2．必记结论(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；③p是q的充要条件是的的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.(2)集合判断法判断充分条件、必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x) }，q：B={x|q(x) }，则①若，则p是q的充分条件；②若，则p是q的必要条件；③若，则p是q的充分不必要条件；④若，则p是q的必要不充分条件；⑤若A=B，则p是q的充要条件；⑥若且,，则p是q的既不充分也不必要条件.考向一四种命题的关系及其真假的判断四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下：1．判断四种命题间关系的方法①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用.2．命题真假的判断方法①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.考向二充分、必要条件的判断充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下：1．命题判断法设“若p，则q”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；(2)原命题为假，逆命题为真时，则p是q的必要不充分条件；(3)当原命题与逆命题都为真时，则p是q的充要条件；(4)当原命题与逆命题都为假时，则p是q的既不充分也不必要条件．考向三充分、必要条件的应用充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围，具体解法如下：1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象。

一、命题的概念1、命题：把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题；2、真命题、假命题：判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。

注意：1、并不是所有的语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题。

2、如果一个语句是命题，则它是真命题或是假命题，二者必具其一。

二、命题的否定与否命题有什么区别1.命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。

比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0,使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表，在A为假命题的情况下，非(A=>B)与A=>非B并不是逻辑相等的。

参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A且非B”。

2.一个命题与它的否定形式是完全对立的。

两者之间有且只有一个成立。

数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。

而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。

三、举例命题的否定与否命题的易错题1、写出“若a，b都是正数，则a+b大于等于2√ab.”的否命题。

解答：若a，b不都是正数，则a+b大于等于2√ab.。

评注：“都是正数”的否定是“不都是正数”而不是“都不是正数”．如果把“a，b都是正数”理解成“a是正数且b是正数”，则其否定也可写成“a不是正数或b不是正数”。

2、写出“两个奇数的和是偶数”的否命题与命题的否定。

解答：否命题：若两个数不全是奇数，则它们的和不是偶数。

命题的否定：两个奇数的和不是偶数。

评注：(1)“两个奇数的和是偶数”意思是“有两个数全是奇数，则它们的和是偶数”。

(2)“是偶数”的否定是“不是偶数”，而不是“是奇数”。

3、写出下列命题的否定：(1)有些常数数列不是等比数列。

(2)平行四边形是菱形。

解答：(1)任意一个常数数列都是等比数列。

四种命题及其相互关系学习目标1．了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．2．认识四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．3．会利用逆否命题的等价性解决问题．归纳：上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：（1）；(2) .要点一 四种命题的概念例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)实数的平方是非负数； (2)若x 、y 都是奇数，则x ＋y 是偶数。

（3）若220x y +=，则0x y ==； （4）圆的内接四边形的对角互补。

要点二四种命题的关系例2 下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．其中是真命题的是________．变式2 有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．要点三等价命题的应用例3 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．变式3 判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．堂堂清：1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是( )A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉B C．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A 2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是( )A．若A∪B＝B，则A∩B＝A B．若A∩B≠A，则A∪B≠BC．若A∪B≠B，则A∩B≠A D．若A∪B≠B，则A∩B＝A3．命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是________________________，它是________命题(填“真”或“假”)．4．给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________．同步训练一、基础达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”2．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是( )A．若x≤y，则x2≤y2B．若x>y，则x2<y2C．若x2≤y2，则x≤y D．若x<y，则x2<y23．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．44．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题5．有下列四个命题，其中真命题有：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为( ) A．①②B．②③ C．①③D．③④6．(1)命题“末位是2的整数一定是偶数”的逆命题是“______________”．(2)命题“整数是有理数”的否命题是“________________”．(3)命题“到一个角的两边的距离不相等的点不在该角的平分线上”的逆否命题是“________________”．7．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．8．命题“若a>1，则a>0”的逆否命题是______命题(填“真”或“假”)．9．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号)．10．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；(2)奇数不能被2整除．（3）已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数（4）已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b11．（1）判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．（2）判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．。

命题的四种形式及关系1. 什么是命题？在逻辑学中，命题是一个陈述句，它可以被判断为真或假。

命题是逻辑推理的基本单位，通过对命题的分析和组合，我们可以进行有效的推理和论证。

2. 命题的四种形式2.1 简单命题简单命题是最基本的命题形式，它不能再被分解为更小的命题。

简单命题通常用一个字母或一个词来表示，例如：P、Q、R等。

简单命题可以是真（True）或假（False）。

例如，“太阳从东方升起”这个陈述就是一个简单命题，它可以被判断为真。

2.2 复合命题复合命题由多个简单命题通过逻辑运算符连接而成。

常见的逻辑运算符有：•否定（Negation）：表示取反关系，用符号”¬“表示。

•合取（Conjunction）：表示与关系，用符号”∧“表示。

•析取（Disjunction）：表示或关系，用符号”∨“表示。

•条件（Implication）：表示蕴含关系，用符号”→“表示。

•双条件（Biconditional）：表示等价关系，用符号”↔“表示。

例如，命题”P并且Q”可以表示为P∧Q，命题”P或者Q”可以表示为P∨Q。

2.3 合取范式合取范式是一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的合取构成。

合取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。

例如，命题”(P∨Q)并且(¬R)“就是一个合取范式。

在合取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。

2.4 析取范式析取范式是另一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的析取构成。

析取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。

例如，命题”(P∧¬Q)或者R”就是一个析取范式。

在析取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。

3. 命题的关系3.1 等价关系两个命题被称为等价关系，如果它们具有相同的真值表。

换句话说，两个等价的命题在所有情况下都具有相同的真假值。

等价关系可以用双条件符号”↔“来表示。

例如，命题”P并且Q”和命题”Q并且P”是等价命题，可以表示为P∧Q ↔ Q∧P。

命题真假
的判断
邢美玲 我们知道可以判断真假的语句叫做命题。

命题有真有假，判断命题真假的方法有下面两种。

一. 正面判断命题的真假。

对于简单命题而言，可依据所学过的知识进行判断；对于复合命题而言，先判断简单命题的真假，再利用下面的真值表进行判断。

简言之，对于p 且q 形式的复合命题，同真则真；对于p 或q 形式的复合命题，同假则假；对于非p 形式的复合命题，真假相反。

二. 利用四种命题之间的关系进行判断。

如下表：
要牢记原命题与逆否命题，逆命题与否命题符合同真同假的关系。

如果判断某一命题真假困难时，只要判断其逆否命题的真假就可以了。

例1. 判断命题“若m>0，则x x m 20+-=有实根”的逆否命题的真假。

解法1：该命题的逆否命题是：“若x x m 20+-=无实根，则m ≤0。

”
由x x m 20+-=无实根，得∆=+<140m 解得m m <-⇒≤14
0 故原命题的逆否命题是真命题。

解法2：因m>0时，∆=+>140m
所以x x m 20+-=有实根
这说明原命题是真命题，它的逆否命题也是真命题。

例2. 若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则有（ ）
A. p 真q 真
B. p 假q 真
C. p 真q 假
D. p 假q 假
解：因“p 或q ”的否定是真命题
所以“p 或q ”是假命题，可得p 假q 假。

故选D 。