结构动力学第五章数值方法剖析

数值计算方法在工程结构仿真中的应用第一章：引言数值计算方法是一种利用计算机进行数学计算和仿真的技术方法。

在过去的几十年里，数值计算方法在工程结构仿真方面得到了广泛应用。

本文将着重探讨数值计算方法在工程结构仿真中的应用，包括数值求解方法、分析模型、优化方法等。

第二章：数值求解方法数值求解方法是数值计算方法的核心。

在工程结构仿真中，常用的数值求解方法包括有限元方法、边界元方法和网格方法。

有限元方法是一种基于微分方程的数值求解方法，广泛应用于弹性力学、热传导等领域。

边界元方法是一种基于边界条件的数值求解方法，广泛应用于电磁、声学等领域。

网格方法则是一种基于离散化的数值求解方法，广泛应用于流体力学、结构力学等领域。

第三章：分析模型分析模型是工程结构仿真中的重要组成部分。

合理的分析模型可以提高仿真结果的精度和可靠性。

在工程结构仿真中，常用的分析模型包括线性模型、非线性模型、动力学模型等。

线性模型适用于高度规律的结构，而非线性模型则适用于存在变形和特殊情况的结构。

动力学模型则适用于受外部载荷影响的结构。

第四章：优化方法优化方法是工程结构仿真中的关键环节。

通过选择合适的优化方法，可以在保证结构的安全性和稳定性的前提下，达到最优结构的目的。

常见的优化方法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。

这些方法在工程结构设计中被广泛应用。

第五章：实例分析实例分析是本文的重点，通过实例分析可以更好地了解数值计算方法在工程结构仿真中的应用。

下面以桥梁设计为例进行分析。

桥梁是典型的工程结构，其安全性和稳定性对交通运输及其相关事业的发展至关重要。

在桥梁设计过程中，需要进行力学分析和优化设计，而数值计算方法则是解决这些问题的核心技术。

通过数值计算方法，可以得到桥梁的受力状态、应力分布、变形情况等重要参数，从而为优化设计提供理论基础。

同时，优化设计也可以通过数值计算方法进行验证和评估，从而确保设计合理性和安全性。

第六章：总结本文主要探讨了数值计算方法在工程结构仿真中的应用，包括数值求解方法、分析模型、优化方法等。

结构动力响应数值计算方法对比分析作者：李涵来源：《青年生活》2019年第21期摘要：中心差分法、纽马克法、威尔逊-法是结构动力学中常用的三种方法，为了系统的比较其优缺性，本文针对一个双自由度的体系，首先根据已知条件计算出振动微分方程，运用Matlab计算出可求出12个步长内相应的位移值，即精确解。

然后分别运用中心差分法，纽马克法，威尔逊-法求出其近似解;最后通过三种方法的近似解与精确解相对比，进而分析出三种计算方法的优缺性，为结构动力计算提供依据。

关键词：动力计算、中心差分法、纽马克法、威尔逊-法1、动力体系概况2、精确解推导针对该双自由度体系，理论推导出系统的位移表达式，通过代入各时刻周期得出位移在各时刻的具体数值，即位移精确解。

对位移方程求一阶导数得出速度方程，求二阶导数求出加速度方程。

代入各时刻的周期值，通过Matlab计算得出位移、速度、加速度的数值如下：3、三种数值计算方法3.1、中心差分法中心差分法是基于用有限差分代替位移对时间的求导，对位移一阶求导得到速度，对位移二阶求导得加速度。

通过Matlab计算出前4个步长所对应的位移响应。

3.2、纽马克法纽马克-β法是一种将线性加速度方法普遍化的方法。

通过Matlab计算出前4个步长所对应的位移响应。

3.3威尔逊-法通过Matlab计算出前4个步长所对应的位移响应。

4、近似解与精确解对比分析从上述结构的位移、速度、加速度可以看出，三种方法都能大致表示该体系大体运动趋势，并且误差较小。

其中，在描述物体位移时，中心差分法较后两种方法更为精确。

然而在描述速度和加速度时，中心差分法表现出了较大的误差，而纽马克和威尔逊法则能更详尽的表征物体速度和加速度。

5、结论中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法均是结构动力计算中的常用方法。

本文针对具体的计算实例，分别计算出三种方法的动力响应结果，并与精确解进行对比。

经过分析，中心差分法能更精确的表示物体位移响应，而纽马克和威尔逊法在表征物体速度和加速度方面相较于中心差分法更为精确，三种方法，各有其优缺点，应视具体情况采用相应的计算方法。

1/87结构动力学教师：刘晶波助教：宝鑫清华大学土木工程系2016年秋2/87结构动力学第5章动力反应数值分析方法3/87主要内容：❑数值算法中的基本问题❑分段解析法❑中心差分法❑一般时域逐步积分法的构造❑Newmark —β法❑Wilson —θ法❑时域逐步积分算法的新发展❑结构非线性反应分析4/875.1数值算法中的基本问题5/875.1数值算法中的基本问题前面介绍了二种结构动力反应分析方法：时域分析方法—Duhamel 积分法，频域分析方法—Fourier 变换法。

●这两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题。

当外荷载为解析函数时，采用这两种方法一般可以得到体系动力反应的解析解，当荷载变化复杂时无法得到解析解, 通过数值计算可以得到动力反应的数值解。

●这两种分析方法的特点是均基于叠加原理，要求结构体系是线弹性的，当外荷载较大时，结构反应可能进入物理非线性(弹塑性)，或结构位移较大时，结构可能进入几何非线性，这时叠加原理将不再适用。

此时可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。

6/875.1 数值算法中的基本问题时域逐步积分法——Step-by-step methods 结构动力反应分析的时域直接数值计算方法：（1）分段解析法；（2）中心差分法；（3）平均加速度法；（4）线性加速度法；（5）Newmark －β法；（6）Wilson －θ法；（7）Houbolt 法；（8）广义α法；•••••••••时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研究的课题，也是得到广泛应用的计算方法。

7/875.1 数值算法中的基本问题采用叠加原理的时域和频域分析方法（Duhamel 积分，Fourier 变换），假设结构在全部反应过程中都是线性的，而时域逐步积分法，只假设在一个时间步距内是线性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。

时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移和速度为：而这种离散化正符合计算机存贮的特点。

结构动力学中的计算方法与理论研究结构动力学是指针对建筑物、桥梁、管道等工程结构的振动响应进行研究的一门学科。

为了准确地评估工程结构的动态响应和安全性能，结构动力学需要运用先进的计算方法和理论模型进行分析和预测。

本文就结构动力学中的计算方法和理论研究进行讨论。

一、计算方法1.有限元方法有限元方法是结构动力学中最常用的计算方法之一。

其基本思想是将复杂的结构分割成许多小的单元，用局部刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵来描述单元的力学行为，并将每个单元的行为都表示为一组矩阵方程。

然后通过组装这些矩阵方程，构建整个结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，并通过求解本征值问题来得出结构的振动特性。

2.有限差分法有限差分法是一种将微分方程转化为代数方程的数值解法。

其基本思想是对微分算子进行差分近似，从而得出代数方程。

在结构动力学中，有限差分法通常用于分析地震、风荷载等外部载荷引起的结构响应。

其主要优势在于可以精确地捕捉高频响应。

3.边界元法边界元法是一种将运动方程表述为积分方程的数值解法。

其基本思想是在结构的表面上进行离散，用高斯积分计算出数据点处的贡献，从而得到整个结构的响应。

边界元法在计算上更加高效，且对于三维结构的分析具有一定的优势。

二、理论研究1.构件级别的分析构件级别的结构动力学研究旨在揭示单个结构构件的振动响应，从而为整个结构的分析和设计提供理论依据。

近年来，数值模拟和实验测试相结合的方法被广泛应用于构件级别的研究，从而得出更准确的结构响应特性。

2.模态分析模态分析是一种将结构的自由振动分解成一系列特定振型的方法。

通过模态分析，可以得出不同振型对应的固有频率、振型形态和振幅等信息。

模态分析在诸多领域均有广泛应用，包括军事、航空、汽车、海洋等。

3.非线性动力学非线性动力学是指在考虑结构非线性行为（如材料的非线性、面积变化等）的情况下进行结构动力学分析的方法。

非线性动力学研究是结构动力学研究的前沿领域之一，其应用范围包括地震、风荷载、过载等。

中心差分法和newmark法
中心差分法以及Newmark法都是解决结构动力学问题时常用的数值
方法，下面将进行详细介绍。

中心差分法是结构动力学中常用的一种数值方法，特点是精度高，计
算简单。

中心差分法适用于二阶线性常微分方程的数值求解，通过二
阶龙格-库塔(Kutta)法对二阶微分方程进行数值积分。

中心差分法是在计算速度的基础上对位移和加速度进行数值积分，该
方法通过计算速度和加速度相邻两个时刻的平均值得到位移的估计值。

这种方法的基本思想是，将位置、速度和加速度看成变量，将时间离
散化，运用有限差分的方法求解微分方程，从而得到结构的求解结果。

Newmark法是一种较为稳定而精度高的数值方法。

该方法采用了一种先模拟位移，再计算力的反馈的方式，以求解结构在时间上的演化，
其基本思想是将结构动力学方程离散化，将实数域上的方程转化为在
有限元离散化后的体系上求解。

在Newmark法中，力的反馈是在位移解出之后计算出来的，因此需
要一个初始条件，即一个初始的位移向量。

解出位移向量之后，计算
出力向量的值，并将其反馈回上一次的分析中，以此持续迭代，直到
结构达到平衡。

总体而言，中心差分法和Newmark法都是求解结构动力学的有效方法，两者各有特点。

中心差分法简单易行，适用于简单的结构动力学问题；而Newmark法适用于复杂的结构动力学问题，其精度高、稳定性好。

选择哪种方法，需根据实际需求和具体情况进行判断。

结构力学中的动力学分析研究动力学是结构力学中的重要研究领域之一，主要研究结构在外部力的作用下的运动和振动规律。

动力学分析对于预测结构的响应和安全性评估具有重要意义。

本文将从动力学分析的基本理论、数值模拟方法以及应用领域等方面进行探讨。

1.基本理论动力学分析的基本理论是基于牛顿第二定律，根据结构物体上各个部分的质量、惯性、位移和力的关系进行研究。

基于质点的动力学理论可以方便地应用于刚体和弹性结构的动力学分析。

而对于柔性结构来说，需要引入振动理论来描述结构的运动性质。

2.数值模拟方法动力学分析通常是通过数值模拟方法来实现的。

常用的数值模拟方法包括有限元方法、边界元方法、模态超级位置法等。

其中，有限元方法是最为常用的方法之一，它可以将结构分割成有限数量的单元，通过离散化的力学方程求解结构的动力学响应。

边界元方法则针对无限域的问题，通过模拟结构表面的运动来计算结构的响应。

模态超级位置法则是利用小振动的结构模态进行求解。

3.应用领域动力学分析在结构工程中有广泛的应用。

它可以用于评估结构在自然灾害（如地震、风灾）等外部力作用下的安全性能。

动力学分析还可以用于分析机械系统、飞行器和航天器的动力学行为。

此外，动力学分析还可用于优化结构设计、评估材料的动态性能以及模拟结构的振动响应等方面。

4.动力学分析的挑战与发展尽管动力学分析在结构力学中具有重要意义，但其研究也面临许多挑战。

首先是复杂结构的动力学分析问题，如非线性振动和混合动力学问题，并需要开发相应的数值模拟方法。

其次，对于大规模结构的动力学分析，需要考虑计算效率和计算精度的平衡。

此外，结构的材料非线性和边界条件非线性等因素也是动力学分析中需要考虑的问题。

未来，随着计算能力的提升和数值方法的发展，动力学分析将更好地满足工程实践的需求。

总之，动力学分析在结构力学中起着重要的作用，它通过数值模拟方法研究结构在外部力作用下的运动和振动规律，并应用于结构的安全性评估、设计优化和动态响应预测等方面。

第五章结构动力学中常用的数值解法§5.1概述数值分析技术为结构的动态分析提供了有力的保障，为工程结构在各种复杂的动力学环境下的模拟和仿真提供了有效工具。

工程结构的动态分析主要包括两个方面：结构的动态特性分析和结构动态响应分析标准特征值问题和广义特征值问题1 雅可比方法（Jacobi）、2.Rayleigh-Ritz3.子空间迭代法4. 行列式搜索法行列式搜索法是求解大型特征值问题的另一种方法。

它的特点是综合运用多项式加速割线迭代，移轴向量逆迭代，Sturm序列的性质以及Gram－Schmidt正交化过程，直接计算所需要的任意特征对，通常是计算最小的部分特征值及相应的特征向量。

因此，它是一种计算部分特征对的特殊求解方法。

此方法具有计算速度快，精度高，灵活等优点。

nczos法Lanczos方法目前被认为是求解大型矩阵特征值问题的最有效方法，与子空间迭代法相比，其计算量要少得多。

响应数值分析：1.中心差分法2.Wilson -θ法3.Newmark 法响应求解方法的选择取决的因素有：载荷、结构、精度要求、非线性影响程度、方法的稳定性等。

综合各方面的因素，比较、权衡，才能判定所应采取的方法；有时为了互相验证，也可以同时采取两种以上的方法来处理动响应分析对于载荷，一般分为波传导载荷与惯性载荷。

对结构过于复杂的情况，宜采用直接积分法，结构较简单的情况可采用模态迭加法。

对精度要求较低的初步设计阶段，可采用取少数模态的模态迭加法。

对精度要求较高的最后设计阶段，宜采用直接积分法§ 5.2 求解系统固有频率主振型的近似解法1.邓柯利法：是邓柯利首先通过实验方法建立起来的一个计算公式，后来才得到完整的数学证明。

[]M []δ设质量矩阵，柔度矩阵为则有{}[][]{}0x M x δ+=1894年邓柯利：提出一种近似计算多圆盘轴横向振动基频的实用方法（偏小）设系统作j 阶主振动,则有：2()2{}{}sin {}j j j j x A t x ωωω=-=-代入得特征方程：21([][][]){}0jM I x δω-=有111112*********2222222112221101n njn njn n n n nn nn jm m m m m m m m m δδδωδδδωδδδω--=-假设质量矩阵为对角阵，展开得：1111222222(1)11()nn nn n n jjm m m δδδωω--++++=根据多项式的根与系数之间的关系21jω211ω22211nωω的n 个根，之和为1111222222212111nn nnnm m m δδδωωω+++=+++由于二阶频率往往比基频高得多22221111n ωωω111122222111nnn nn ii ii i m m m m δδδδω==+++=∑22211n ωω得忽略111nii iii mωδ==∑ii ii m ω表示仅有质量单独存在时（原多自由度系统变成单自由度系统）的固有频率1ii ii ii ii iik m m ωδ==设2222111221111nnωωωω=+++如例题1m 2m 3m 3331122339169768768768l l l EI EI EI δδδ===22113331117689EI m l m ωωδ===⨯222322176816EI m l m ωδ==⨯333211921634768768768l m l m l mEI EI EIω⨯=+=134.752EImlω=134.933EImlω=精确解2.雅可比（Jacobi ）法求特征方程[]A 设为对称阵，[]{}{}A x x λ=12[][][][](,,)Tn S A S D diag d d d ==即可断定[D]的n 个对角元素就是[A]的n 个特征值，而[S]的第i 列就是[D]中第i 个对角元素所对应的特征向量，[S]为坐标变换矩阵。

结构动力学方程常用数值解法结构动力学方程常用数值解法对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，动力学方程可写为：...M x C x Kx F t++=()从数学角度看，这是一个常系数的二阶线性常微分方程组，计算数学领域，常微分数值算法常用的有两大类：－、针对一阶微分方程数值积分法发展的欧拉法，中点法，Rugge-kutta（龙格—库塔）方法。

二、直接基于二阶动力学方程发展的方法。

对结构动力学问题的数值求解，常用的有两大类：一是坐标变换法，它是对结构动力方程式，在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Rize变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。

现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法。

二是直接积分法，它是对结构动力方程式在求解之前不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。

这种方法的特点是对时域进行离散，然后将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成。

通常又称为逐步积分法。

模态迭加方法，比较常用，但如下情况通常使用直接积分方法（即求解之前不进行模态分析）一、非比例阻尼，非线性情况。

二、有冲击作用，激起高频模态，力作用持续时间较短，模态迭加计算量太大。

一振型迭加法与Duhamel积分数值解按照有限单元法的一般规则, 经过边界条件的约束处理, 结构在强迫振动时多自由度体系的运动平衡方程可以表示为:&&& (1)++=MU CU KU R其中, M 是体系的质量矩阵, C 是体系的阻尼矩阵, 而K 则是刚度矩阵. R 为外荷载向量. U 、U &和U &&则分别是体系单元节点的位移、速度和加速度向量. 上述动力平衡方程实质上是与加速度有关的惯性力MU &&和与速度有关的阻尼力CU &及与位移有关的弹性力KU 在时刻t 与荷载的静力平衡。

振型叠加法是把多自由度体系的结构的整体振动分解为与振型次数相对应的单自由度体系, 求得各个单自由度体系的动力响应后, 再进行叠加得出结构整体响应. 振型叠加法原理是利用结构无阻尼自由振动的振型矩阵作为变换矩阵, 将结构动力方程式(1)式变换成一组非耦合的微分方程. 逐个地求解这些方程后, 将解叠加即可得到动力方程的解。

第五章 结构动力学中的常用数值方法5．1．结构动力响应的数值算法....0()(0)(0)M x c x kx F t x a x v ⎧++=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩当c 为比例阻尼、线性问题→模态叠加最常用。

但当C 无法解耦，有非线性存在，有冲击作用（激起高阶模态，此时模态叠加法中的高阶模态不可以忽略）。

此时就要借助数值积分方法，在结构动力学问题中，有一类方法称为直接积分方法最为常用。

所识直接是为模态叠加法相对照来说，模态叠加法在求解之前，需要对原方程进行解耦处理，而本节的方法不用作解耦的处理，直接求解。

（由以力学，工程中的力学问题为主要研究对象的学者发展出来的）中心差分法的解题步骤1. 初始值计算（1） 形成刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C 。

（2） 定初始值0x ，.0x ，..0x 。

（3） 选择时间步长t ∆，使它满足cr t t ∆<∆，并计算 021()a t =∆，112a t =∆，202a a = （4） 计算...00101122tx x x x a a -∆=-+（5） 形成等效质量阵01M a M a C -=+ （6） 对M -阵进行三角分解T M LDL -= 2．对每一时间步长（1） 计算时刻t 的等效载荷201()()t t t t t Q Q Ka M x a Ma C x--∆=---- （2） 求解t t +∆时刻的位移 ()Tt t t LDL x Q -+∆=（3） 如需要计算时刻t 的速度和加速度值，则.1()t t t t t x a x x +∆-∆=- ..0(2)t t t t t t x a x x x +∆-∆=-+若系统的质量矩阵和阻尼矩阵为对角阵时，则计算可进一步简化。

纽马克法的解题步骤1.初始值计算（1）形成系统刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C （2）定初始值0x ，.0x ，..0x 。

（3）选择时间步长t ∆，参数γ、σ。

5章 动力反应的数值计算如果激励[作用力或地面加速度]是随时间任意变化的，或者体系)(t p )(t ug 是非线性的，那么对单自由度体系的运动方程进行解析求解通常是不可能的。

这类问题可以通过数值时间步进法对微分方程进行积分来处理。

在应用力学广阔的学科领域中，有关各种类型微分方程数值求解方法的文献（包括几部著作中的主要章节）浩如烟海，这些文献包括这些方法的数学进展以及它们的精度、收敛性、稳定性和计算机实现等问题。

然而，本章仅对在单自由度体系动力反应分析中特别有用的很少几种方法进行简要介绍，这些介绍仅提供这些方法的基本概念和计算算法。

尽管这些对许多实际问题和应用研究已经足够了，但是读者应该明白，有关这个主题存在大量的知识。

5.1 时间步进法对于一个非弹性体系，欲采用数值求解的运动方程为或者 (5.1.1))(),(t p u u f u c um s =++ )(t u m g -初始条件)0(0u u =)0(0u u=假定体系具有线性粘滞阻尼，不过，也可以考虑其他形式的阻尼（包括非线性阻尼），后面会明显看到这一点。

然而由于缺乏阻尼信息．因此很少这样做，特别是在大振幅运动时。

作用力由一系列离散值给出:,)(t p )(i i t p p =0=i 到N 。

时间间隔（5.1.2）i i i t t t -=∆+1图5.1.1 时间步进法的记号通常取为常数，尽管这不是必需的。

在离散时刻（表示为时刻）确定反i t i 应，单自由度体系的位移、速度和加速度分别为、和。

假定这些值是已i u i ui u 知的，它们在时刻满足方程i（5.1.3）i i s i i p f u c um =++)( 式中，是时刻的抗力，对于线弹性体系，，但是如果体系i s f )(i i i s ku f =)(是非弹性的，那么它会依赖于时刻以前的位移时程和速度。

将要介绍的数值方i 法将使我们能够确定+1时刻满足方程(5.1.1)的反应、和，即在+1i 1+i u 1+i u1+i u i 时刻（5.1.4）1111)(++++=++i i s i i p f u c um 对于=0，1，2，3，…，连续使用时间步进法，即可给出i =0，l ，2，3，…所有瞬时所需的反应。