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结构动力学1.概论1.1应用范围（土木工程领域）正问题：地震.风震.移动荷载.动力机械反问题：结构参数与损伤识别地震：由基础传入.激发能量大.高度随机性.作用时间短.风振：可以事微振动.也可能事发散的.造成灾难性的后果。
（Tocoma桥）1940年后才被认识。
车振：列车质量大.恒/活载比小，车振明显：竖向行人振动：人荷载的特点：1.8~2.0步/秒动力荷载：机械周期性运动的不平衡力的激发.结构的振动土木工程师.必须要有很强的结构动力与稳定的意识。
1.2动力问题及其特点一．总的原则：惯性力不可忽略，即是动力问题。
例：一个茶杯.慢慢推它.往前移忽然推它.往后退因此.动力问题也可视为考虑惯性力的平衡问题.二．特点：1.位移不仅是位置的函数，而是时间的函数2. 惯性力荷载与加速度成正比。
F=ma=以后用上面一点表示对时间的数=3.惯性力与质量分布有关.例1.3结构动力学基本术语结构动力学：研究结构在平衡位置的往复振动的特性.一.确定性荷载确定性分析.P(t)有明确的函数表达式，任一时刻的P（t）的已知.例：简谐荷载P（t）=随机荷载随机性分析荷载的时间历程不确定，例如风荷载，可能的地震波，列车过桥的振动。
本课程只讨论研究确定性分析，它式基础，体现的动力学全部的概念与方法，某些随机性问题可以化为确定性分析。
如：地震分析，应用检测的地震波输入.随机荷载随机振动，变为确定性问题。
二．动力设计问题拟定结构解析模型数学模型动力分析动力实验验证动力修改本课程主要研究数学模型与动力分析两部分.三．解析模型（力学模型）3要素：简化假定.计算简图.结构参数表例：梁的解析模型承受横向荷载：平截面假定.直线法假设离散参数模型（集参数模型）集中刚度..集中质量连续参数模型（分布参数模型）：刚度.质量均为连续函数为使问题简化，一般均将连续模型进一步简化为离散模型四．数学模型即解析模型的运动微分方程例：梁的运动方程：m+EI=P(t)建立方法以后讲解：有动力平衡法，虚位移法与达朗尔原理3种＆＆＆＆＆＆五．自由度（DOF：degree of freedom）所考虑的动力系统种位移变量的个数例：附：实变函数论知识：可数无穷.不可数无穷。
结构动力学研究一、引言结构动力学研究是一门研究结构在外部作用下的响应行为的学科，主要研究结构的振动、动态响应、动力特性等问题。
它对于建筑物、桥梁、飞机、汽车等工程结构的设计、分析和优化具有重要意义。
本文将从动力学的基本概念入手，介绍结构动力学研究的相关内容。
二、动力学基础1. 动力学概述动力学是研究物体在外力作用下的运动规律的学科，它包括静力学和动力学两个方面。
静力学研究物体在平衡状态下的力学行为，而动力学研究物体在受到外力作用时的运动行为。
2. 振动与谐振振动是物体在固有频率下的周期性运动，谐振则是指物体在受到与其固有频率相同的外力作用下振幅不断增大的现象。
谐振现象在结构动力学中具有重要意义，需要进行合理的设计和控制，以避免结构破坏。
三、结构动力学分析方法1. 动力学方程结构动力学方程是描述结构在外力作用下的运动行为的数学模型，常用的动力学方程有牛顿第二定律方程和拉格朗日方程。
通过求解动力学方程，可以获得结构的振动响应。
2. 模态分析模态分析是结构动力学研究中常用的分析方法，它通过求解结构的特征方程和特征向量，得到结构的固有频率和振型。
模态分析可以帮助工程师了解结构的振动特性，为结构设计和优化提供依据。
3. 动力响应分析动力响应分析是研究结构在外力作用下的动态响应行为的方法。
通过施加不同的外力，可以得到结构在不同工况下的响应结果，如位移、速度、加速度等。
动力响应分析可以帮助工程师评估结构的安全性和稳定性。
四、结构动力学应用1. 地震工程地震是结构动力学研究中重要的外力作用，地震工程旨在研究结构在地震作用下的响应行为，以保证结构的安全性。
地震工程需要进行地震响应分析、地震动力试验等研究，以提高结构的抗震能力。
2. 振动控制振动控制是结构动力学研究的一个重要方向，它旨在通过合理的控制手段减小结构的振动响应。
常用的振动控制方法包括质量阻尼器、液体阻尼器、主动控制等。
振动控制技术的应用可以提高结构的舒适性和安全性。
关于研究抗震标准的参考文献以下是一些关于研究抗震标准的参考文献：1. 《建筑抗震设计规范》（GB50011-2010）：中国国家标准，规范建筑抗震设计的要求和方法。
2. Newmark, N. M. (1949). A method of computation for structural dynamics. Journal of the engineering mechanics division, 85(3),67-94.：介绍了结构动力学计算方法，为抗震设计提供了理论基础。
3. Chopra, A. K. (2005). Dynamics of structures: theory and applications to earthquake engineering. Prentice Hall.：介绍了结构动力学理论和地震工程应用，有助于理解抗震设计的基本原理。
4. FEMA P-750, NEHRP recommended provisions for seismic regulations for new buildings and other structures: 这是美国联邦紧急管理局（FEMA）发布的标准，提供了针对新建筑和其他结构的抗震法规建议。
5. European Committee for Standardization. (2004). EN 1998-1: 2004 Eurocode 8: Design of Structures for Earthquake Resistance-Part 1: General Rules, Seismic Actions and Rules for Buildings. Brussels, Belgium: European Committee for Standardization：欧洲标准化委员会发布的欧洲抗震标准，包括抗震设计的一般规则和建筑的地震力作用要求。
理论力学中的工程应用案例分析引言：理论力学是研究物体在受力作用下的运动规律的学科，它在工程领域中具有重要的应用价值。
本文将通过分析几个实际案例，探讨理论力学在工程实践中的应用，包括结构设计、弹性力学、动力学和振动控制等方面的案例。
1. 案例一：桥梁设计在桥梁设计中，理论力学起着重要的作用。
首先，通过对桥梁所受的静力分析，掌握其受力特点，确定桥梁的结构形式。
其次，通过理论力学的弹性力学理论，计算桥梁的结构应力和变形情况，以保证桥梁在正常使用情况下的安全性和稳定性。
最后，通过动力学分析，研究桥梁在受到外力干扰时的振动特性，进一步优化桥梁结构设计。
2. 案例二：汽车碰撞在汽车碰撞事故中，理论力学的动力学原理帮助我们了解碰撞过程中车辆的变形和受力情况。
通过质量、速度和动量的分析，可以预测碰撞后车辆的运动轨迹和速度变化，为事故后的救援和处理提供依据。
此外，利用理论力学中的刚体力学原理，可以设计汽车的抗碰撞结构，提高车辆的安全性。
3. 案例三：建筑物抗震设计在地震活跃区域，建筑物的抗震设计是至关重要的。
理论力学中的弹性力学和动力学原理为建筑物的抗震设计提供了理论基础。
通过弹性力学的计算，可以评估建筑物在地震中的变形和结构应力情况。
同时，动力学分析可以帮助预测建筑物在地震作用下的振动特性，为建筑物的抗震设计提供准确的数据和依据。
4. 案例四：机械工程中的振动控制在机械工程中，理论力学的振动控制理论可以解决机械系统中的振动问题，并提高系统的稳定性和工作效率。
通过分析系统的振动特性，可以确定频率、振幅和阻尼等参数，采取相应的振动控制措施，减小振动对系统的影响，提高设备的运行效果和寿命。
结论：理论力学在工程实践中的应用是广泛而重要的。
通过机械力学原理的应用，能够有效地解决工程问题，保证工程安全性和可靠性。
在未来的工程实践中，我们应该进一步深化对理论力学的研究和应用，不断提高工程技术水平，为社会发展做出更大的贡献。
浅谈结构动力学在桥梁抗震工程中的应用摘要:随着经济的发展和科学技术的进步,人们越来越关心一些重大工程的安全问题,对一些工程的安全设计标准和校核的要求变得更高。
人们也开始展开对桥梁中存在的一些结构动力特性的研究,结构动力学相关理论越来越广泛地应用于桥梁结构抗震设计、桥梁结构故障诊断和桥梁结构健康状态监测等工程技术领域。
关键词:结构动力学;桥梁抗震工程;动力特性;性能;水准引言结构动力特性被广泛应用于桥梁结构技术状态评估中,由此涉及到一些结构动力学基本概念的理解和实际应用的问题.本文就桥梁中存在的一些动荷载等相关问题,指出结构动力学知识在桥梁结构抗震安全方面重要的应用。
桥梁通常作为一条线路的重点控制工程而建设,作为路线的关键节点,一旦损坏甚至垮塌,将直接使所在路线瘫痪,其重要性不言而喻。
如何使桥梁正常行使工程职能,尤其是对抗极端条件的能力,是桥梁设计师要考虑的头等问题。
地震作为常见自然灾害之一,也是工程师要考虑的不利因素。
地震具有突然性、破坏性强、破坏面广等特点。
如果不进行针对性的设计,桥梁可能无法抵御灾害的破坏而失去使用职能。
1976年的唐山大地震造成的破坏震惊了世界,也给桥梁研究人员提出了新的课题。
在国家大力支持下,几十年来,我国的桥梁抗震研究硕果累累,已经基本和国外同行站在了同一起跑线上。
1.结构动力学分析结构动力学作为结构力学的一个分支,着重研究结构对于动荷载的响应,以便确定结构的承载能力和动力学特性,或者为改善结构的性能提供依据。
结构动力学考虑了结构因变形而产生的弹性力,任何结构所受的荷载都具有不同程度的动载荷性质,结构动力学中动力荷载下所受的荷载比静力学中的静力荷载下所受的荷载要高,而且有大部分重大工程结构主要在振动环境下工作,我们应充分考虑结构不安全的一面,尽可能的减少大型工程中的风险以保证人们生命财产安全。
结构动力学的理论和动力学实验研究不仅为结构动力学深一步的理论分析奠定了基础,而且成为解决实际工程问题的重要手段。
MATLAB在地震工程与结构动力学中的应用技术地震工程与结构动力学是研究地震对建筑物和结构物产生的振动和影响的学科领域。
它旨在通过分析和模拟地震荷载对建筑物和结构物的影响，从而更好地设计和构建能够抵御地震的建筑和结构。
在这个领域，MATLAB成为了一个非常重要的工具，用于模拟、计算和分析地震荷载和结构响应。
一、地震荷载的模拟和分析地震荷载是地震对建筑物和结构物施加的力量，它是地震工程与结构动力学中的重要研究内容之一。
MATLAB通过其强大的计算和数值模拟功能，为地震荷载的模拟和分析提供了良好的支持。
地震荷载的模拟通常基于地震波形的生成。
地震波是地震时地壳中产生的波动，能够传播到地表并对建筑物和结构物产生影响。
MATLAB可以使用其信号处理工具箱中的函数生成各种类型的地震波形，包括正弦波、脉冲波和复杂波形。
通过调整不同的参数，如频率、振幅和周期，可以生成不同性质的地震波形，模拟各种地震情况。
地震荷载的分析通常包括对地震波形的特征和响应的计算。
MATLAB提供了一系列的函数和工具箱，用于计算地震波形的频谱、振动周期和加速度等数据。
这些数据可以帮助工程师评估地震荷载对建筑物和结构物的影响程度，进而更好地设计和规划建筑物。
二、结构响应的模拟和分析结构响应是指建筑物和结构物在受到地震荷载作用时的动态响应。
MATLAB在模拟和分析结构响应方面也发挥了重要的作用。
MATLAB可以通过有限元分析（FEA）进行结构的动力学模拟。
有限元法是一种常用的数值计算方法，用于求解连续介质的力学问题。
通过将建筑物和结构物离散为有限数量的单元，并建立单元之间的相互关系和连接，可以模拟和计算其在地震等加载条件下的响应。
MATLAB提供了一个强大的有限元分析工具箱，可以支持复杂结构的模拟和分析。
在结构响应的分析中，MATLAB还提供了许多函数和工具箱，用于计算和分析结构的振动特性。
这些函数可以计算结构的频谱、振动模态和振型等数据，从而帮助工程师评估结构的抗震性能。
结构动力学试题及答案（本文按试题和答案格式进行编写）试题一：1. 请问什么是结构动力学？2. 简述结构动力学的研究对象和主要内容。
3. 结构动力学分析常用的方法有哪些？4. 结构动力学分析中常用的数学模型有哪些？5. 结构动力学的应用领域有哪些？答案一：1. 结构动力学是研究结构在外力作用下的动态响应及其稳定性的学科。
2. 结构动力学的研究对象是各种工程结构，主要内容包括结构的振动、冲击响应、瞬态响应和稳态响应等。
3. 结构动力学分析常用的方法有模态分析法、频率响应分析法、时程分析法等。
4. 结构动力学分析中常用的数学模型有单自由度体系、多自由度体系、连续体系等。
5. 结构动力学的应用领域广泛，包括建筑结构工程、桥梁工程、风力发电机组、地震工程等。
试题二：1. 结构动力学分析中，模态分析的基本原理是什么？2. 简述模态分析的步骤和计算方法。
3. 常用的模态分析软件有哪些？4. 请问什么是结构的固有频率和阻尼比？5. 结构的模态振型对结构动力响应有什么影响？答案二：1. 模态分析是基于结构的振动特性，通过求解结构的固有频率、模态振型和阻尼比等参数，来研究结构的动力响应。
2. 模态分析的步骤包括建立结构有限元模型、求解结构的固有频率和模态振型、计算结构的阻尼比等。
常用的计算方法有有限元法、拉普拉斯变换法等。
3. 常用的模态分析软件有ANSYS、ABAQUS、MSC.NASTRAN等。
4. 结构的固有频率是结构在无外力作用下自由振动的频率，阻尼比是结构振动过程中能量耗散的程度。
5. 结构的模态振型对结构动力响应有很大影响，不同的模态振型会导致不同的振动特性和反应。
试题三：1. 结构动力学分析中，频率响应分析的基本原理是什么？2. 简述频率响应分析的步骤和计算方法。
3. 频率响应分析和模态分析有什么区别？4. 结构的频率响应函数和传递函数有什么区别？5. 频率响应分析在结构设计中的应用有哪些？答案三：1. 频率响应分析是研究结构在单频激励下的响应特性，通过求解结构的频率响应函数，来获得结构的响应。
结构动力学理论及其在地震工程中的应用结构动力学（StructuralDynamics）是指研究结构物受外力影响时所产生的动态响应的一门学科。
结构动力学理论是工程力学中的一个重要研究方向，其研究内容涉及结构物力学特性、物理性能、振动响应等方面。
结构动力学理论与地震工程密切相关，在地震工程中有着重要的应用。
由于地震灾害多发于地震活跃区，而地震对结构物的影响是一种级数变化的过程，在各个阶段的振动具有不同的特征，所以对结构物的振动响应变化是有必要去全面地去研究的。
结构动力学理论就是用来研究结构物受外力影响时所产生的动态响应的理论。
因此，结构动力学理论在地震工程中可以被用来分析地震灾害发生时结构物的振动响应，从而有效地控制和减少振动对结构物造成的损伤，实现抗震。
结构动力学理论在地震工程中的应用主要有三个方面：一是地震动力学分析，即地震动作用下结构物的动力分析，采用结构动力学理论可以有效地估算结构物在地震作用下的振动、变形、受力等物理参数；二是地震防护结构设计，即对结构物进行地震防护结构设计，采用结构动力学理论可以有效优选地震防护措施，设计抗震性能更优的防护结构，从而减少地震破坏的可能性；三是地震控制，即采取各种措施控制地震作用下结构物的振动，采用结构动力学理论可以有效地设计抗震降谐装置，以阻抗地震震动对结构物的损伤。
总之，结构动力学理论及其在地震工程中的应用是地震灾害控制与防治方面的重要理论依据，其正确运用可以有效地控制和减少地震破坏的可能性，是实现抗震的重要技术手段。
在实际工程中，在防治地震灾害之前，必须充分利用结构动力学理论，做到实施有效的抗震设计。
以上就是有关结构动力学理论及其在地震工程中的应用的讨论。
由此可见，结构动力学理论在地震工程中的应用是不可或缺的，是地震灾害防治中的重要手段。
未来，结构动力学理论必将受到越来越多的关注，对抗震的研究也将更加深入，为提高地震灾害防治水平做出贡献。
建筑结构在震动时的响应分析一、概述建筑结构在震动中的响应分析是结构工程领域中的一个重要研究方向。
随着地震频繁发生，建筑结构的抗震性能越来越受到重视。
在工程实践中，建筑结构需要满足地震响应谱的要求，才能保证结构的安全性。
因此，本文将从以下几个方面分析建筑结构在震动时的响应分析：建筑结构的抗震设计原则、地震波、动力学方程等。
二、建筑结构的抗震设计原则建筑结构的抗震设计原则是一种基于工程经验的设计思想，它是建筑结构在地震中具有良好抗震性能的基础。
（一）强度原则强度原则强调建筑结构在地震中需具有足够的强度，以承受来自地震的水平力。
为了满足这一原则，建筑结构需要通过优化结构设计和选用高强度材料等手段，来提高结构的整体强度。
同时，在实际施工中还需要注意构件之间的衔接和相互支撑，以增强整体的承载能力。
（二）刚度原则刚度原则强调建筑结构在震动中的刚度应该足够。
在地震中，建筑结构需要能够准确、迅速地响应地震载荷，而这需要建筑结构具有一定的刚性。
因此，在设计过程中，需要考虑结构的刚度和柔度，优化结构形式和设计参数，以实现合理的刚度分布，从而提高结构的响应速度。
（三）稳定性原则稳定性原则主要强调结构在震动中的稳定性。
建筑结构需要在地震中保持整体稳定，尤其需要防止某些构件的失稳破坏。
为了实现这一原则，需要采用相应的措施，如增加梁柱连接刚度、增加裙楼刚度等。
三、地震波地震波是指由地震引起的地面振动，它是建筑结构在震动中的载荷来源。
在进行结构响应分析之前，需要先了解地震波的基本特征。
（一）频率频率是地震波的最基本特征之一，它决定了地震波对建筑结构产生的影响。
根据地震波频率的不同，可以将地震波分为高频波和低频波。
高频波通常具有较高的能量密度，但对建筑结构的影响较小。
而低频波则具有较大的影响，通常会引起建筑结构的共振现象，从而导致结构破坏。
（二）幅值幅值指地震波的振幅大小，也是地震波对建筑结构产生影响的一个关键因素。
通常情况下，振幅越大，结构所受到的水平力就会越大。
结构动力学在抗震设计中的应用首先，结构动力学可以用于地震响应分析。
地震是结构最常见的外力作用之一，因此进行地震响应分析对于设计抗震结构至关重要。
结构动力学可以通过建立结构的数学模型，利用数值方法求解结构在地震荷载下的响应，包括结构的位移、速度、加速度等。
这些结果可以帮助工程师评估结构在地震中可能发生的损伤程度，从而指导抗震设计的优化。
其次，在抗震设计中，结构动力学可以用于预测结构的抗震性能。
通过对结构的地震响应进行分析，可以得到结构的动力特性，如固有周期、阻尼比等。
这些特性可以用来评估结构的抗震性能，比如通过比较结构的固有周期与预计地震的周期，判断结构的共振情况。
此外，结构动力学还可以进行结构的可靠度分析，通过考虑结构的不确定性，评估结构在地震荷载下的可靠性，进而指导设计和改进。
另外，结构动力学在抗震设计中可以用于优化结构的抗震性能。
通过分析结构的地震响应特性，可以评估结构存在的薄弱点，如刚度不均匀、节点连接不牢固等。
然后，可以采取一系列措施来改进结构的抗震性能，比如增加结构的抗倾覆能力、加强结构的刚度和耐震性能等。
结构动力学可以帮助工程师评估不同的设计方案，并选择最优的方案。
最后，结构动力学还可以用于抗震设备的设计。
在地震中，一些特殊的设备，比如液压减震器、摆锤等可以起到减震和消能的作用。
通过结构动力学的分析，可以确定这些抗震设备的设计参数，使其能够有效地减小地震对结构的影响，保护结构免受严重损坏。
综上所述，结构动力学在抗震设计中起着重要的作用。
通过结构动力学的分析，可以预测和评估结构在地震中的响应和性能，并通过优化设计方案和采用适当的抗震设备来提高结构的抗震能力。
因此，结构动力学是抗震设计不可或缺的工具。
但需要指出的是，结构动力学的应用在实际工程中仍需结合经验和现场实测数据进行综合分析和判断，以确保结构的安全和可靠性。
5章 动力反应的数值计算如果激励[作用力)(t p 或地面加速度)(t ug ]是随时间任意变化的，或者体系是非线性的，那么对单自由度体系的运动方程进行解析求解通常是不可能的。
这类问题可以通过数值时间步进法对微分方程进行积分来处理。
在应用力学广阔的学科领域中，有关各种类型微分方程数值求解方法的文献（包括几部著作中的主要章节）浩如烟海，这些文献包括这些方法的数学进展以及它们的精度、收敛性、稳定性和计算机实现等问题。
然而，本章仅对在单自由度体系动力反应分析中特别有用的很少几种方法进行简要介绍，这些介绍仅提供这些方法的基本概念和计算算法。
尽管这些对许多实际问题和应用研究已经足够了，但是读者应该明白，有关这个主题存在大量的知识。
5.1 时间步进法对于一个非弹性体系，欲采用数值求解的运动方程为)(),(t p u u f u c um s =++ 或者 )(t u m g - (5.1.1) 初始条件)0(0u u = )0(0u u= 假定体系具有线性粘滞阻尼，不过，也可以考虑其他形式的阻尼（包括非线性阻尼），后面会明显看到这一点。
然而由于缺乏阻尼信息．因此很少这样做，特别是在大振幅运动时。
作用力)(t p 由一系列离散值给出: )(i i t p p = ,0=i到N 。
时间间隔i i i t t t -=∆+1 （5.1.2）图5.1.1 时间步进法的记号通常取为常数，尽管这不是必需的。
在离散时刻i t （表示为i 时刻）确定反应，单自由度体系的位移、速度和加速度分别为i u 、i u 和i u 。
假定这些值是已知的，它们在i 时刻满足方程i i s i i p f u c um =++)( （5.1.3） 式中，i s f )(是i 时刻的抗力，对于线弹性体系，i i s ku f =)(，但是如果体系是非弹性的，那么它会依赖于i 时刻以前的位移时程和速度。
将要介绍的数值方法将使我们能够确定i +1时刻满足方程(5.1.1)的反应1+i u 、1+i u 和1+i u ，即在i +1时刻1111)(++++=++i i s i i p f u c um （5.1.4） 对于i =0，1，2，3，…，连续使用时间步进法，即可给出i =0，l ，2，3，…所有瞬时所需的反应。
已知的初始条件)0(0u u =)0(0u u =和提供了起动该方法的必要信息。
从i 时刻到i +1时刻的步进一般不是精确的方法，许多在数值上可以实现的近似方法是可能的。
对于数值方法，有三个重要的要求：(1)收敛性一随着时间步长的减少，数值解应逼近精确解；(2)稳定性一在存在数值舍入误差的情况下，数值解应是稳定的；(3)精度一数值方法应提供与精确解足够接近的结果。
这些重要的问题在本书中均作简要的讨论，全面的论述可在着重微分方程数值解法的书中找到。
本章介绍三种类型的时间步进法：(1)基于激励函数插值的方法；(2)基于速度和加速度有限差分表达的方法；(3)基于假设加速度变化的方法。
前两类中各只介绍一种方法，第三类中介绍两种方法。
5.2 基于激励插值的方法对于线性体系，通过在每个时间间隔里对激励进行插值，并利用第4章的方法进行精确求解，能推导出一种非常有效的数值方法。
如果时间间隔较短，则线性插值是令人满意的。
图5. 2.1所示的时间间隔1+≤≤i i t t t ，激励函数为ττiii t p p p ∆∆+=)( （5.2.1a ） 其中i i i p p p -=∆+1 （5.2.1b ）时间变量τ从0到i t ∆变化。
为数学上简单起见，我们首先考虑无阻尼体系，后面再将该方法扩展到有阻尼体系。
待求解的方程为τiii t p p ku um ∆∆+=+ （5.2.2） 在时间间隔i t ∆≤≤τ0内，反应)(τu 为三部分之和：(1) τ=0时刻的初位移iu 和初速度i u引起的自由振动；(2)零初始条件下对阶跃力i p 的反应；(3)零初始条件下对斜坡力τ)(i i t p ∆∆的反应。
对这三种情况分别采用来自§2.1、§4.3和§4.4中已有的解答，得)sin ()cos 1(sin cos )(i n n i i n i n ni n i t t k p k p uu u ∆-∆∆+-++=ωτωττωτωωτωτ （5.2.3a ） )cos 1(1sin cos sin )(τωωτωτωωτωωτn in i n i n ni n i nt k p k p uu u-∆∆+++-= （5.2.3b ） 计算i t ∆=τ时的这些等式，得i +1时刻的位移1+i u 和速度1+i u ：[][])sin(1)cos(1)sin()cos(1i n i n i n i i n ii n ni i n i i t t t k p t k p t ut u u ∆-∆∆∆+∆-+∆+∆=+ωωωωωωω (5.2.4a)[])cos(11)sin()cos()sin(1i n in ii n i i n ni i n i ni t t k p t k p t ut u u ∆-∆∆+∆+∆+∆-=+ωωωωωωω(5.2.4b)将式（5.2.1b ）代入后，可将这些等式重写为如下的递推公式：11+++++=i i i i i Dp Cp uB Au u (5.2.5a) 11++'+'+'+'=i i i i i p D pC u B u A u(5.2.5b) 对于欠临界阻尼体系（即1<ζ），重复上面的推导，表明式(5.2.5)也适用于有阻尼体系，系数A ，B ，…,D '的表达式由表5.2.1给出，这些系数取决于体系的参数n ω、k 和δ以及时间间隔i t t ∆≡∆。
表5.2.1 递推公式中的系数（1<ζ）因为递推公式是从运动方程的精确解推导出的，因此对时问步长t ∆大小的唯一限制条件是，允许它对于激励函数有一个接近的逼近，并以较密的时间间隔提供反应结果，以使反应峰值不会被漏掉。
这种数值方法对于激励由紧密的时间间隔定义的情况（例如对于地震地面加速度的情况）特别有用，从而使得线性捕值即可得到较完美的结果。
如果时间步长t ∆是常数，则系数A ，B ，…，D '仅需计算一次。
这种数值方法所要求的运动方程精确解答仪对线性体系是可行的。
如上所述，这种方法用于单白由度体系较便利，但是对于多自由度体系则是不切实际的，除非它们的反应由振型反应的叠加（第12章和第13章）来获得。
5.3 中心差分法这种方法是基于对位移时间导数（即速度和加速度）的有限差分近似进行的。
步长t t i ∆=∆，则时刻的速度和加速度的中心差分表达式为t u u ui i i ∆-=-+211 tu u u u i i i i ∆+-=-+2211 (5.3.1)将速度和加速度的这些近似表达式代人方程(5.1.3)中，对线弹性体系，得 i i i i i i i p ku t u u c t u u u m=+∆-+∆+--+-+2)(211211 (5.3.2)在这个方程中，i u 和1-i u 假定是已知的（来自于前面时间步内方法的执行）。
将这些已知量移到右侧，导得112222()2()2()i i i i m c m c m u p u k u t t t t t +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=----⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆∆∆∆⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (5.3.3) 或写成1ˆˆi i ku p += (5.3.4) 其中()2ˆ2mcktt =+∆∆ （5.3.5） ()()1222ˆ2i i i im c m p p u k u t t t -⎡⎤⎡⎤=----⎢⎥⎢⎥∆∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（5.3.6） 则未知的1+i u 由下式给出 1ˆˆi i pu k+=（5.3.7） i +l 时刻的解答是1+i u 根据i 时刻的平衡条件即方程(5.1.3)确定的，而不是以时刻i +1的平衡条件式(5.1.4)确定的，这种方法称为显式方法。
观察（5.3.6），为了计算1+i u ，需要已知的位移1-i i u u 和因而，为了确定i u ，需要0u 和1-u 。
特定的初始位移0u 是已知的，为了确定1-u ，我们将式（5.3.1）专门用于i =0的情况，得1102u u u t --=∆ ()101022u u u u t --+=∆ （5.3.8） 从第一个式子解出1u ,然后代入第二个式子,给出 ()()210002t u u t u u -∆=-∆+（5.3.9）其中初位移0u 和初速度0u 是已知的,由0时刻(00=t )的运动方程 0000p ku u c um =++ 可以得到0时刻的加速度为:mku uc p u0000--= （5.3.10）表5.3.1总结了可在计算机上执行的上述方法。
表5.3.1 中心差分法如果时间步长选取得不够短，那么由于数字舍入误差的存在，中心差分法将会“放大”，而给出无意义的结果。
为了稳定性，特别要求π1<∆n T t （5.3.11） 对于单自由体系，上式永远不会是一个约束，因为为了获得准确的结果，选择的时间步长将是非常小的。
为了充分地定义反应，通常选择1.0≤∆n T t ；在大多地震反应分析中甚至选择更短时间步长，为了准确地定义地面加速度)(t u g ，通常选取 t ∆=0.01到0.02秒。
5.4 Newmark 法5.4.1 基本方法1959年，N ．M. Newmark 发展了一类时间步进法，它们基于下面的公式：()[]()111++∆+∆-+=i i i i u t u t u uγγ （5.4.1a ） ()()()[]()[]12215.0++∆+∆-+∆+=i i i i i u t u t ut u u ββ （5.4.1b ） 参数β和γ定义了时间步内加速度的变化，并决定方法的稳定性与精度特征。
对于γ为1/2和1/6≤β≤l/4的典型选择，从包括精度的所有观点来看都是令人满意的。
这两个等式与时间步结束时的平衡方程(5.1.4)结合，提供了从i 时刻已知的i u 、i u和i u 。
计算1+i 时刻的1+i u 、1+i u 和1+i u 的基础。
执行这些计算需要迭代，因为未知的1+i u出现在式(5.4.1)的右侧。
然而，对于线性体系，修正Newmark 法的原始公式可以允许使用式(5.4.1)和(5.1.4)求解时不迭代。
在阐述这些修正之前，我们先来论证Newmark 法的两种特殊情况，即众所周知的平均加速度法和线性加速度法。
5.4.2 特殊情况对于这两种情况，表5. 4.1总结了i +1时刻的反应1+i u 、1+i u和1+i u 与i 时刻相应量之间的关系。
