轴对称与中心对称

下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．
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初中数学知识点——轴对称与中心对称一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4.线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。

（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

5.角的平分线：（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.（2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。

说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。

平面解析几何中的中心对称和轴对称龙碧霞一、中心对称定义：把一个图形绕某个点旋转180o 后能与另一个图形重合。

这两个图形关于这个点对称。

这个点叫着对称中心。

性质：关于某个点成中心对称的两个图形。

对称点的连线都经过对称中心。

且被对称中心平分。

一般有三种情况。

（1） 点关于点对称。

点P （x,y ）关于点M(a,b)对称的点Q 的坐标是Q(2a-x,2b-y)。

（由中点坐标公式很容易得到）如点（１．－４）关于（－２，０）对称的点是（－５．４），（2） 直线关于点对称：直线l:Ax+By+C=0 关于点P （a,b ）对称的直线为l 1的方程是：A （2a-x ）+B(2b-y)+C=0 .即 Ax+By-2aA-2bB-C=0。

推导过程：方法一：在直线l 上任意取一点,最好是特殊点。

如取M(0,-B C )则点M 关于点P 对称的点N 的坐标是N （2a,2b+BC ）.点N l 1根据中心对称的定义。

l 11得2aA+B(2b+B C D=-2aA-2Bb-C 所以 l 1的方程是：Ax+By-2aA-2bB-C=0方法二：在直线l 上任意取两点并求出它们关于点P （a,b ）对称的点．由两点式易得直线为l 1的方程是：Ax+By-2aA-2bB-C=0．方法三：设直线为l 1上任意一点为Ｍ（x,y ），其关于点P （a,b ）对称的点M /(x /,y /)在直线为l 上．求出点M /的坐标后代入直线 l:Ax+By+C=0即得l 1的方程是：Ax+By-2aA-2bB-C=0例如：求直线l ；3x+y-2=0关于点A （-4，4）对称的直线l /方程。

解法一：关于点A 对称的两直线l 与l /互相平行。

于是可设l /的方程为：3x+y+C=0在直线l 上任取一点M （0，2），其关于点A 对称的点N 的坐标为N （-8，6），因为N 点在直线l /上。

所以3×（-8）+6+C=0，所以 C=18，故 直线l /的方程为 3x+y+18=0.解法二：在直线l ；3x+y-2=0上取两点M （0，2），N （1，-1）易得它们关于点A （-4。

轴对称图形与中心对称复习一、轴对称图形轴对称图形是指能够沿着一个轴线折叠后两边完全重合的图形。

在平面几何中，轴对称图形具有以下特点：1.轴线对称性：轴对称图形具有一个轴线，该轴线对称地分割图形成两部分，两部分图形在轴线上的所有对应点完全重合。

2.对称点：轴对称图形的轴线上的每一个点都有一个对应点，称为对称点，对称点关于轴线对称。

3.对称性：轴对称图形的任意一点关于轴线对称的对应点也在图形中。

常见的轴对称图形包括正方形、长方形、圆形以及许多字母和数字等。

轴对称图形在日常生活和设计中广泛应用，具有美学和功能性的优点。

二、中心对称图形中心对称图形是指存在一个中心点，将图形绕该中心点旋转一定角度后重合的图形。

中心对称图形具有以下特点：1.中心对称性：中心对称图形具有一个中心点，该中心点的任意一条射线上的对称点与中心点距离相等，图形通过旋转保持对称。

2.对称点：中心对称图形的中心点对称地分割图形，对称点与中心点距离相等。

3.对称性：中心对称图形的任意一点关于中心点对称的对应点也在图形中。

常见的中心对称图形包括五角星、六角星、雪花等。

中心对称图形在艺术、布局设计等领域中具有重要的应用，给人以和谐、平衡的感觉。

三、轴对称与中心对称的异同轴对称和中心对称有许多相似之处，但也存在一些不同点。

相似之处：1.对称性：轴对称和中心对称图形都具有对称性，在空间上都有一种平衡的美感。

2.对称点：轴对称和中心对称图形都有对称点，关于轴线/中心点对称。

不同之处：1.轴线或中心点的位置：轴对称图形的轴线位于图形的一侧，将图形分割成两个镜像对称的部分；而中心对称图形的中心点位于图形的中心位置，图形旋转后能够实现重合。

2.对称方式：轴对称是通过沿轴线进行折叠实现对称，对称后左右两侧完全一致；中心对称是通过旋转实现对称，对称后图形相同角度旋转后完全一致。

四、应用实例1.建筑设计：轴对称和中心对称图形常用于建筑设计中，如对称的立面设计和室内布局，能够给人一种和谐、平衡的感觉。

中心对称图形与轴对称图形的区别与联系中心对称是将某一个图形旋转一百八十度后，仍与原图形重合，这是中心对称；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。

中心对称图形不一定是轴对称图形，轴对称图形也不一定是中心对称图形，二者之间没有什么相互的联系。

例如：平行四边形是中心对称图形，而不是轴对称图形；等腰三角形、正五角星是轴对称图形而不是中心对称。

（轴对称图形）例如、、、和和都是轴对称图形.有的轴对称图形有不止一条对称轴,但轴对称图形最少有一条对称轴。

圆有无数条对称轴，都是经过的直线。

要特别注意的是线段，它有两条对称轴，一条是这条线段所在的直线,另一条是这条线段的中。

总之，既是轴对称图形又是中心对称图形的有：直线，线段，两条相交直线，矩形，菱形，正方形，圆等．只是轴对称图形的有：射线，角等腰三角形，等边三角形，等腰梯形等．只是中心对称图形的有：平行四边形等．既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形，非等腰梯形等轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合；中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，关键也是抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合．旋转对称图形定义：一个图形绕着一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合.实际区别时轴对称图形要像折纸一样折叠能重合的是轴对称图形；中心对称图形只需把图形倒置，观察有无变化，没变的是中心对称图形．中心对称是旋转对称的一种特例,就是当转180度时.轴对称和中心对称、旋转对称没有必然联系.一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合；是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，关键也是抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合．定义：一个图形绕着一定点旋转一定角度(小于)后能与自身重合.实际区别时轴对称图形要像折纸一样折叠能重合的是轴对称图形；图形只需把图形倒置，观察有无变化，没变的是中心对称图形．中心对称是的一种特例,就是当转180度时.轴对称和中心对称、旋转对称没有必然联系。

中心对称与轴对称一、中心对称1．关于原点对称与点P(x，y)关于原点对称的点是P'(-x，-y)；与曲线f(x，y) = 0关于原点对称的曲线方程是f(-x，-y) = 0．2．关于点M(a，b)对称与点P(x，y)关于点M(a，b)对称的点是P'(2a-x，2b-y)；与曲线f(x，y) = 0关于点M(a，b)对称的曲线方程是f(2a-x，2b-y) = 0．当a = 0，且b = 0时，点M(a，b)即原点．二、轴对称1．关于x轴对称与点P(x，y)关于x轴对称的点是P'(x，-y)；与曲线f(x，y) = 0关于x轴对称的曲线方程是f(x，-y) = 0．2．关于y轴对称与点P(x，y)关于y轴对称的点是P'(-x，y)；与曲线f(x，y) = 0关于y轴对称的曲线方程是f(-x，y) = 0．3．关于直线y = x对称与点P(x，y)关于直线y = x对称的点是P'(y，x)；与曲线f(x，y) = 0关于直线y = x 对称的曲线方程是f(y，x) = 0．4．关于直线y = -x对称与点P(x，y)关于直线y = -x对称的点是P'(-y，-x)；与曲线f(x，y) = 0关于直线y = -x对称的曲线方程是f(-y，-x) = 0．5．关于直线y = b对称与点P(x，y)关于直线y = b对称的点是P'(x，2b-y)；与曲线f(x，y) = 0关于直线y = b对称的曲线方程是f(x，2b-y) = 0．6．关于直线x = a对称与点P(x，y)关于直线x = a对称的点是P'(2a-x，y)；与曲线f(x，y) = 0关于直线x = a对称的曲线方程是f(2a-x，y) = 0．7．关于直线l：Ax + By + C = 0(A，B不同时为零)对称设点P(x，y)与点P'(x'，y')关于直线l：Ax + By + C = 0(A，B不同时为零)对称，则PP'⊥l，且线段PP'的中点在直线l上，所以⎧⎨⎩y'-yx'- x·AB⎛⎫-⎪⎝⎭= - 1，A ·x' + x2+ B ·y' + y2+ C = 0．(AB≠ 0)解得⎧⎨⎩x' =(B2-A2)x- 2ABy- 2ACA2 + B2，y' =(A2-B2)y- 2ABx- 2BCA2 + B2．当A，B中有一个为0时，上面的结论仍然成立．由此得到：与点P(x，y)关于直线l：Ax + By + C = 0(A，B不同时为零)对称的点是P'⎝⎛⎭⎫(B2-A2)x- 2ABy- 2ACA2 + B2，(A2-B2)y- 2ABx- 2BCA2 + B2；与曲线f(x，y) = 0关于直线l：Ax + By + C = 0(A，B不同时为零)对称的曲线方程是f⎝⎛⎭⎫(B2-A2)x- 2ABy- 2ACA2 + B2，(A2-B2)y- 2ABx- 2BCA2 + B2= 0．此结论不用记，解题时利用轴对称的条件(即垂直平分)即可．前面的6种情形为特例．三、例题选讲【例1】求点A(- 2，3)关于直线l：3x-y- 1 = 0对称的点A'的坐标．解法一：∵直线l：3x-y- 1 = 0的斜率k1 = 3，直线AA'与直线l垂直，∴直线AA'的斜率k2 = -13．由点斜式，得直线AA'的方程为y- 3 = -13(x + 2)，即x + 3y- 7 = 0．解方程组⎧⎨⎩3x-y- 1 = 0，x + 3y- 7 = 0，得交点为M(1，2)，则M为线段AA'的中点，于是可得点A'的坐标为(4，1)．解法二：设A'(a，b)，由直线l为线段AA'的中垂线，得⎧⎨⎩b- 3a +2 ·3 = - 1，3 ·a- 22-b +32- 1 = 0．解得a = 4，b = 1．所以点A'的坐标为(4，1)．【例2】光线自点A(- 3，3)射出，经x轴反射以后过点B(2，5)，求光线自点A到点B所经过的路程．解：与点A(- 3，3)关于x轴对称的点是A'(- 3，- 3)，由对称性知，光线自点A到点B所经过的路程即线段A'B的长度|A'B| =(2 + 3)2 + (5 + 3)2 =89．所以光线经过的路程是89．【例3】已知点M(- 3，5)，N(2，15)，在直线l：3x- 4y + 4 = 0上找一点P，使|PM| + |PN|最小，并求出最小值．解：如图，由平面几何知识知，先作出与点M关于直线l对称的点M'，连结NM'，直线NM'与直线l的交点P即为所求．事实上，若点P'是l上异于点P的点，则|P'M| + |P'N| > |NM'| = |PM| + |PN|．∵k l =34，∴k MM' = -43．所以，直线MM'的方程为y- 5 = -43(x + 3)，即4x + 3y- 3 = 0．解方程组⎧⎨⎩3x- 4y + 4 = 0，4x + 3y- 3 = 0，得⎧⎨⎩x = 0，y = 1，则线段MM'与直线l的交点为Q(0，1)，所以Q是线段MM'的中点，于是得到点M'的坐标为(3，- 3)．直线M 'N 的方程为18x + y - 51 = 0．解方程组⎧⎨⎩18x + y - 51 = 0，3x - 4y + 4 = 0，得交点P 的坐标为833⎛⎫⎪⎝⎭，．此时，|PM | + |PN | = |PM '| + |PN | = |NM '| = (3 - 2)2 + (15 + 3)2= 513．说明：当M 、N 位于直线l 的两侧时， 可在l 上找一点，使||PM | - |PN ||最大． 【例4】在△ABC 中，顶点A (2，1)，B (- 1，- 1)，∠C 的平分线所在直线的方程为x + 2y - 1 = 0．求顶点C 的坐标．解：设点A '(a ，b )与点A 关于直线l ：x + 2y - 1 = 0对称，因为直线l 平分∠ACB ，所以，点A '必在直线BC 上，且线段AA '的中点在直线l 上，AA '⊥l ，因此⎧⎨⎩b - 1a - 2 = 2，a + 22 + 2 · b + 12- 1 = 0， 解得⎧⎨⎩a = 45，b = - 75．故点A '的坐标为 ⎝⎛⎭⎫ 45，- 75 ．所以，直线A 'B 的方程为2x + 9y + 11 = 0． 解方程组⎧⎨⎩2x + 9y + 11 = 0，x + 2y - 1 = 0，得⎧⎨⎩x = 315，y = - 135．所以，顶点C 的坐标为 ⎝⎛⎭⎫ 315，- 135 ．四、巩固练习1．点A (5，1)与点A '关于点M (1，2)对称，则点A '的坐标是 ________ ．(- 3，3) 2．直线l 1：x - 2y + 1 = 0与直线l 2关于点A (2，1)对称，则直线l 2的方程是 ____________________ ．x - 2y - 1 = 03．点P (1，1)与点P '关于直线l ：x - y - 1 = 0对称，则点P '的坐标是 ________ ． (2，0)4．直线l 1：2x + 3y + 6 = 0与直线l 2关于直线l ：x + y + 1 = 0对称，则直线l 2的方程是 ____________________ ．3x + 2y - 1 = 05．已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 所在的直线分别是直线l 1：x + y - 1 = 0和l 2：x - y + 1 = 0，顶点A 的坐标是(1，0)，|BD | = 42，且顶点B 在第一象限，求顶点B 、C 、D 的坐标．B (2，3)，C (- 1，2)，D (- 2，- 1)解：解方程组⎧⎨⎩x + y - 1 = 0，x - y + 1 = 0，得⎧⎨⎩x = 0，y = 1，则直线l 1与l 2的交点为M (0，1)，点M 就是菱形ABCD 的中心．∵ 顶点A 的坐标是(1，0)，∴ 顶点C 的坐标是(- 1，2)． 由题意，可设顶点B 的坐标为(a ，a + 1)．∵ |BD | = 42，∴ |BD | = 42，∴ |BM | = 22，于是有 (a - 0)2 + (a + 1 - 1)2 = 22，解得a = ± 2，而顶点B 在第一象限，所以a = 2．所以，顶点B 的坐标是(2，3)，从而得到顶点D 的坐标是(- 2，- 1)．6．在等腰△ABC 中，AB = AC ，∠BAC 的平分线所在直线是1所在直线是l 2：x - y - 1 = 0．(1) 若BC 边的中点M 的横坐标为2，求顶点B 、C 的坐标；B (5，4)，C (- 1，- 8)解：解方程组⎧⎨⎩x + 2y + 2 = 0，x - y - 1 = 0，得⎧⎨⎩x = 0，y = - 1，则直线l 1与l 2的交点为A (0，- 1)．∵ AB = AC ，∴ ∠BAC 的平分线l 1垂直平分BC ，垂足是点M ， 又点M 的横坐标为2，∴ 点M 的纵坐标为- 2．由AM ⊥BC ，且k AM = - 12，得k BC = 2，由点斜式，得直线BC 的方程为y + 2 = 2(x - 2)，即2x = 0．解方程组⎧⎨⎩2x - y - 6 = 0，x - y - 1 = 0，得⎧⎨⎩x = 5，y = 4，则顶点B 的坐标是(5，4)，从而得到顶点C 的坐标是(- 1，- 8)． B (5，4)，C (- 1，- 8)或B (- 5，- 6)，C (1，6) (2) 若|BC | = 65，求顶点B 、C 的坐标．解：设BC 边的中点M 的坐标为(- 2b - 2，b )，顶点B 的坐标是(a ，a - 1)，由l 1垂直平分BC ，得k BC = 2，|BM | = 35，所以⎧⎨⎩a - 1 - b a + 2b + 2 = 2，(a + 2b + 2)2 + (a - 1 - b )2 = 35，解得⎧⎨⎩a = 5，b = - 2，或⎧⎨⎩a = - 5，b = 0．所以，顶点B、C的坐标是(5，4)，(- 1，- 8)或(- 5，- 6)，(1，6)．。

初二数学轴对称与中心对称的知识点一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上;(4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4.线段垂直平分线：(1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。

(2)性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

5.角的平分线：(1)定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.(2)性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的.距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：(1)对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴;(2)三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;(3)等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。

说明：等腰三角形的性质除三线合一外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等;③等腰三角形两腰上的高相等;④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。

对称的奥秘认识轴对称和中心对称的特点对称是自然界中普遍存在的一种现象，它在数学和美学中占据着重要的地位。

在几何学中，对称有许多种形式，其中轴对称和中心对称是最基本和常见的两种形式。

本文将对轴对称和中心对称的特点进行系统的介绍和分析。

一、轴对称对称性的特点轴对称是指图形相对于某条轴线呈现出左右对称的性质。

轴对称可以是垂直对称，也可以是水平对称。

具有轴对称性的图形在折叠时可完全叠合，并且两侧的点成对出现。

轴对称的特点主要有以下几个方面：1. 完全叠合：轴对称图形的左右两侧完全对称，通过沿着轴线折叠，可以使得两侧完全重合。

例如，圆和矩形就是具有轴对称性的图形。

2. 点对称性：轴对称图形的两侧点之间存在一一对应的关系。

通过轴对称轴线上一点与图形上对称的一点能够一一对应。

如一个等边三角形具有三个轴对称轴线，其中每一条轴线上的点和对称位置的点成对出现。

3. 轴对称轴线：轴对称图形中存在至少一条轴线，该轴线是图形的对称轴。

对称轴上的每一个点与它与轴对称轴线的对称点的连线垂直，且平分整个图形。

4. 结构简单明了：轴对称图形通常具有简洁、明了的线条和结构，给人以稳定、和谐的感觉。

这也是为什么许多设计、艺术和建筑作品中都运用了轴对称的原因。

二、中心对称对称性的特点中心对称是指图形相对于中心点进行对称的特性。

在中心对称的图形中，每一个点与中心点对称的位置的点形成一对，这对点绕着中心点对称轴旋转180度后彼此重合。

中心对称的特点如下：1. 中心点：中心对称图形具有一个中心点，该中心点是图形的对称中心。

图形中的每一个点以该中心点为中心，对称位置的点与之形成一对。

2. 角度对等：中心对称的图形具有旋转180度后完全重合的特性。

通过在中心点进行旋转可以将图形的一部分与对称位置的部分完全叠合，形成一致的图形。

3. 无论大小：中心对称图形可以放大或缩小，其对称性质仍然保持不变。

无论图形的大小如何改变，图形上的每一个点与其对称位置的点仍然是一对。