复习5-1
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高三数学一轮复习知识点讲解专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读与核心素养】1.了解角、角度制与弧度制的概念,掌握弧度与角度的换算.2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.3.本节涉及所有的数学核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4.高考预测:(1)三角函数的定义;(2)扇形的面积、弧长及圆心角;(3)在大题中考查三角函数的定义,主要考查:一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值;二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标. 5.备考重点:(1) 理解三角函数的定义;(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.【知识清单】知识点1.象限角及终边相同的角 1.(1)任意角的分类:①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角:终边与角α相同的角可写成α+k ·360°(k ∈Z ). 2.弧度制:①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|=lr ,l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径.③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值lr 与所取的r 的大小无关,仅与角的大小有关.3.弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度.若一个角的弧度数为α,角度数为n ,则α rad =(180απ)°,n °=n ·π180rad .知识点2.三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义:设α是一个任意角,角α的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么 (1)点P 的纵坐标叫角α的正弦函数,记作sin α=y ; (2)点P 的横坐标叫角α的余弦函数,记作cos α=x ;(3)点P 的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数,记作tan α=yx .它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,通常将它们记为: 正弦函数y =sinx ,x ∈R ; 余弦函数 y =cosx ,x ∈R ; 正切函数 y =tanx ,x ≠π2+k π(k ∈Z ).2.三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点3.扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式在半径为r 的圆中,弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α,则|α|=lr ,变形可得l =|α|r ,此公式称为弧长公式,其中α的单位是弧度. (2)扇形面积公式由圆心角为1 rad 的扇形面积为πr 22π=12r 2,而弧长为l 的扇形的圆心角大小为l r rad ,故其面积为S =l r ×r 22=12lr ,将l =|α|r 代入上式可得S =12lr =12|α|r 2,此公式称为扇形面积公式.(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示名称 角度制 弧度制 弧长公式 l =n πr180l =__|α|r __ 扇形面积公式 S =n πr 2360S =|α|2r 2 = 12lr 注意事项r 是扇形的半径,n 是圆心角的角度数r 是扇形的半径,α是圆心角的弧度数,l 是弧长【典例剖析】高频考点一 象限角及终边相同的角【典例1】(2019·乐陵市第一中学高三专题练习)如果,那么与终边相同的角可以表示为A .B .C .D .【答案】B 【解析】 由题意得,与终边相同的角可以表示为.故选B . 【规律方法】象限角的两种判断方法(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角. (2)转化法:先将已知角化为k ·360°+α(0°≤α<360°,k ∈Z )的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.【变式探究】若角α是第二象限角,试确定α2,2α的终边所在位置.【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限.【解析】∵角α是第二象限角,∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈,(1)4242,k k k Z ππαππ+<<+∈,∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上. (2) ,422k k k Z παπππ+<<+∈,当2 ,k n n Z =∈时, ∴ 22 ,422n n n Z παπππ+<<+∈,∴2α的终边在第一象限.当2 1 ,k n n Z =+∈时, ∴5322 ,422n n n Z παπππ+<<+∈, ∴2α的终边在第三象限.综上所述,2α的终边在第一象限或第三象限.【总结提升】象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 (1)象限角:象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限角{α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z} (2)轴线角:角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上{α|α=k·360°,k∈Z}终边落在x轴的非正半轴上{α|α=k·360°+180°,k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α|α=k·360°+90°,k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上{α|α=k·360°+270°,k∈Z}终边落在y轴上{α|α=k·180°+90°,k∈Z}终边落在x轴上{α|α=k·180°,k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α=k·90°,k∈Z}高频考点二三角函数的定义【典例2】已知角的终边过点,且,则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知,,,是第三象限角,可得,即,解得,故选B.【典例3】已知角的终边落在直线y=2x上,求sinα、cosα、tanα的值.【答案】【解析】当角的终边在第一象限时,在角的终边上取点P(1,2),由r=|OP|=12+22=5,得sinα=2 5=255,cos α=15=55,tan α=21=2. 当角的终边在第三象限时,在角的终边上取点Q (-1,-2), 由r =|OQ |=-12+-22=5,得:sin α=-25=-255,cos α=-15=-55,tan α=-2-1=2.【典例4】(2011·江西高考真题(文))已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,若()4,p y 是角θ终边上一点,且25sin 5θ=-,则y=_______. 【答案】-8 【解析】根据正弦值为负数,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该 角为第四象限角.=【规律方法】1.已知角α终边上一点P 的坐标,则可先求出点P 到原点的距离r ,然后利用三角函数的定义求解.2.已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的三角函数值. 【变式探究】1.(浙江省嘉兴市第一中学期中)已知角的终边与单位圆交于点,则的值为( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】由三角函数的定义可得.故选B .2.已知角的终边在射线上,则等于( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】由题得在第四象限,且,所以故答案为: A.【总结提升】(1)已知角α的终边在直线上的问题时,常用的解题方法有以下两种:①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值. ②注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上任意一点坐标(a ,b ),则对应角的正弦值sin α=b a 2+b2,余弦值cos α=aa 2+b2,正切值tan α=ab. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 高频考点三:三角函数值的符号判定 【典例5】已知且,则角的终边所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零,纵坐标大于零,所以终边在第二象限,应选答案B.【典例6】确定下列各式的符号: (1)sin105°·cos230°; (2)sin 7π8·tan 7π8;(3)cos6·tan6. 【答案】【解析】先确定角所在象限,进而确定各式的符号. (1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角, ∴sin105°>0,cos230°<0. 于是sin105°·cos230°<0.(2)∵π2<7π8<π,∴7π8是第二象限角,则sin 7π8>0,tan 7π8<0. ∴sin 7π8·tan 7π8<0.(3)∵3π2<6<2π,∴6是第四象限角.∴cos6>0,tan6<0,则cos6·tan6<0. 【总结提升】判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果角不能确定所在象限,那就要进行分类讨论求解. 【变式探究】1.已知角α的终边经过点(3a -9,a +2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a 的取值范围是( ) A .(-2,3] B .(-2,3) C .[-2,3)D .[-2,3]【答案】A【解析】 ∵00cos ,sin αα≤>,∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上. ∴39020a a ⎧-≤⎨+>⎩∴23-a <≤.故选A.2.(1)判断下列各式的符号: ①sin3·cos4·tan5;②α是第二象限角,sin α·cos α.(2)若cos θ<0且sin θ>0,则θ2是第( )象限角.A .一B .三C .一或三D .任意象限角【答案】(1)①正,②负;(2)C【解析】 (1)①π2<3<π,π<4<3π2,3π2<5<2π,∴sin3>0,cos4<0,tan5<0,∴sin3·cos4·tan5>0. ②∵α是第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,∴sin αcos α<0.(2)由cos θ<0且sin θ>0,知θ是第二象限角,所以θ2是第一或三象限角.高频考点四:扇形的弧长及面积公式【典例7】(2018·湖北高考模拟(理))《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元一世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为( )平方米.(其中,)A .15B .16C .17D .18 【答案】B 【解析】因为圆心角为,弦长为,所以圆心到弦的距离为半径为40,因此根据经验公式计算出弧田的面积为,实际面积等于扇形面积减去三角形面积,为,因此两者之差为,选B.【典例8】(2019·河南高考模拟(理))已知圆O 与直线l 相切于A ,点,P Q 同时从点A 出发,P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q 运动到点A 时,点P 也停止运动,连接OQ ,OP (如图),则阴影部分面积1S ,2S 的大小关系是( )A .12S S =B .12S S ≤C .12S S ≥D .先12S S <,再12S S =,最后12S S >【答案】A 【解析】如图所示,因为直线l 与圆O 相切,所以OA AP ⊥, 所以扇形的面积为1122AOQ S AQ r AQ OA =⋅⋅=⋅⋅扇形,12AOP S OA AP ∆=⋅⋅, 因为AQ AP =,所以扇形AOQ 的面积AOP AOQ S S ∆=扇形, 即AOP AOQ AOB AOB S S S S ∆-=-扇形扇形扇形, 所以12S S =,【典例9】已知一扇形的周长为40 cm ,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?【答案】r=10cm, θ==2rad, 100 cm 2【解析】设扇形的圆心角为θ,半径为r ,弧长为l ,面积为S ,则l +2r =40,∴l =40-2r .(0<r <20) ∴S =12lr =12×(40-2r )r =20r -r 2=-(r -10)2+100.∴当半径r =10 cm 时,扇形的面积最大,最大值为100 cm 2,此时θ=l r =40-2×1010=2(rad).【总结提升】1.(1) 弧度制下l =|α|·r ,S =12lr ,此时α为弧度.扇形面积公式,扇形中弦长公式,扇形弧长公式在角度制下,弧长l =n πr 180,扇形面积S =n πr 2360,此时n 为角度,它们之间有着必然的联系.(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.2.当扇形周长一定时,其面积有最大值,最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数,函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想. 【变式探究】1.(2019·甘肃高三月考(理))若一个扇形的周长与面积的数值相等,则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A .5B .2C .3D .4 【答案】B 【解析】因为扇形的周长与面积的数值相等,所以设扇形所在圆的半径为R ,扇形弧长为l ,则lR=2R+l ,所以即是lR=4R+2l , ∴l=∵l>0,∴R>2 故选:B .2.已知扇形的周长是12,面积是8,则扇形的中心角的弧度数是( ) A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4 【答案】C【解析】设扇形的半径为r ,弧长为 l ,则121282l r S lr +===,,∴解得28r l ==, 或44r l ==, 41lrα==或,故选C .3.一个扇形的周长为20 cm ,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?并求出这个扇形的最大面积.【答案】圆心角α等于2弧度时,这个扇形的最大面积是25 cm 2. 【解析】设扇形的半径为r cm ,则弧长为l =(20-2r ) cm . 由0<l <2πr ,得0<20-2r <2πr ,∴10π+1<r <10.于是扇形的面积为S =12(20-2r )r =-(r -5)2+25(10π+1<r <10).当r =5时,l =10,α=2,S 取到最大值,此时最大值为25 cm 2.故当扇形的圆心角α等于2弧度时,这个扇形的面积最大,最大面积是25 cm 2. 【特别提醒】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决;(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.11金榜题名前程似锦。
专题5.1任意角和弧度制及任意角的三角函数练基础1.(2021·宁夏高三三模(文))已知角α终边经过点()1,2,P -则cos α=()A .12B .12-C.5D.5-【答案】D 【解析】直接利用三角函数的定义即可.【详解】由三角函数定义,cos 5α==-.故选:D.2.(2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中)已知角α的终边经过点()3,1P -,则cos α=()A .1010B .1010-C .31010-D .【答案】C 【解析】由三角函数的定义即可求得cos α的值.【详解】角α的终边经过点(3,1)P-,cos α∴==.故选:C .3.(2020·全国高一课时练习)若α=-2,则α的终边在()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】C 【解析】根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.【详解】因为1rad≈57.30°,所以-2rad≈-114.60°,故α的终边在第三象限.故选:C.4.(2021·江苏高一期中)下列命题:①钝角是第二象限的角;②小于90︒的角是锐角;③第一象限的角一定不是负角;④第二象限的角一定大于第一象限的角;⑤手表时针走过2小时,时针转过的角度为60︒;⑥若5α=,则α是第四象限角.其中正确的题的个数是()A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B 【解析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.【详解】对于①:钝角是大于90 小于180 的角,显然钝角是第二象限角.故①正确;对于②:锐角是大于0 小于90 的角,小于90 的角也可能是负角.故②错误;对于③:359- 显然是第一象限角.故③错误;对于④:135 是第二象限角,361 是第一象限角,但是135361< .故④错误;对于⑤:时针转过的角是负角.故⑤错误;对于⑥:因为157.3rad ≈ ,所以5557.3=286.5rad ≈⨯ ,是第四象限角.故⑥正确.综上,①⑥正确.故选:B.5.(2021·辽宁高三其他模拟)装饰公司制作一种扇形板状装饰品,其圆心角为23π,并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连(弧的两端各一个灯泡,导线接头忽略不计),已知扇形的半径为30厘米,则连接导线大致需要的长度约为()A .55厘米B .63厘米C .69厘米D .76厘米【答案】B 【解析】由于实际问题中扇形弧长较小,可将导线的长视为扇形弧长,利用弧长公式计算即可.【详解】因为在弧长比较短的情况下分成6等份,每部分的弦长和弧长相差很小,所以可以用弧长近似代替弦长,所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米).故选:B6.(2021·上海格致中学高三三模)半径为2,中心角为3π的扇形的面积等于()A .43πB .πC .23πD .3π【答案】C 【解析】根据扇形的面积公式即可求解.【详解】解:因为扇形的半径2r =,中心角3πα=,所以扇形的面积2211222233S r ππα==⨯⨯=,故选:C.7.(2021·辽宁高三其他模拟)“数摺聚清风,一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句,折扇出人怀袖,扇面书画,扇骨雕琢,是文人雅士的宠物,所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图,其中OA =20cm ,∠AOB =120°,M 为OA 的中点,则扇面(图中扇环)部分的面积是()A .50πcm 2B .100πcm 2C .150πcm 2D .200πcm 2【答案】B 【解析】根据扇形面积公式计算可得;【详解】解:扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭.故选:B8.(2021·重庆八中高三其他模拟)如图所示,扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10,两条直边AD 与BC 的长都是3,则此扇环的面积为()A .84B .63C .42D .21【答案】D 【解析】设扇环的圆心角为α,小圆弧的半径为r ,依题意可得4αr =且()310αr +=,解得α、r ,进而可得结果.【详解】设扇环的圆心角为α,小圆弧的半径为r ,由题可得4αr =且()310αr +=,解得2α=,2r =,从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=.故选:D .9.(2021·浙江高二期末)已知角α的终边过点(1,)P y,若sin 3α=,则y =___________.【答案】【解析】利用三角函数的定义可求y .【详解】由三角函数的定义可得sin 3α==,故y =故答案为:.10.(2021·山东日照市·高三月考)已知函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩,则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.【答案】12-【解析】利用分段函数直接进行求值即可.【详解】∵函数()3,06log ,0xsinx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩,∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=,∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为:12-.练提升1.(2021·河南洛阳市·高一期中(文))点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点,将点P 沿圆周逆时针旋转至点P ',当转过的弧长为2π3时,点P '的坐标为()A.1,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭B.1,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭C.,221⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D.1,22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先求出旋转角,就可以计算点的坐标了.【详解】设旋转角为θ,则22123θπππ⨯⨯=,得23πθ=,从而可得13(,)22P '-.故选:B.2.(2021·上海高二课时练习)若A 是三角形的最小内角,则A 的取值范围是()A .0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B .0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C .,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D .0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由给定条件结合三角形三内角和定理即可作答.【详解】设B ,C 是三角形的另外两个内角,则必有,A B A C ≤≤,又A B C π++=,则3A A A A A B C π=++≤++=,即3A π≤,当且仅当3C B A π===,即A 是正三角形内角时取“=”,又0A >,于是有03A π<≤,所以A 的取值范围是(0,3π.故选:D3.(2021·北京清华附中高三其他模拟)已知,R αβ∈.则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件,再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解.【详解】,R αβ∈,sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=,则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=,由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈,由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈,显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒,sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈¿,所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件.故选:A4.(2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟(理))已知一个半径为3的扇形的圆心角为()02θθπ<<,面积为98π,若()tan 3θϕ+=,则tan ϕ=()A .12-B .34C .12D .43【答案】C 【解析】由扇形的面积公式得4πθ=,进而根据正切的和角公式解方程得1tan 2ϕ=.【详解】解:由扇形的面积公式212S r θ=得9928πθ=,解得4πθ=,所以()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--,解得1tan 2ϕ=故选:C5.(2021·新蔡县第一高级中学高一月考)一个圆心角为60 的扇形,它的弧长是4π,则扇形的内切圆(与扇形的弧和半径的相切)的半径等于()A .2B .4C .2πD .4π【答案】B 【解析】设扇形内切圆的半径为x ,扇形所在圆的半径为r ,求得3r x =,结合弧长公式,列出方程,即可求解.【详解】如图所示,设扇形内切圆的半径为x ,扇形所在圆的半径为r ,过点O 作OD CD ⊥,在直角CDO 中,可得2sin 30ODCO x ==,所以扇形的半径为23r x x x =+=,又由扇形的弧长公式,可得343x ππ⨯=,解得4x =,即扇形的内切圆的半径等于4.故选:B.6.(2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟(文))已知顶点在原点的锐角α,始边在x 轴的非负半轴,始终绕原点逆时针转过3π后交单位圆于1(,)3P y -,则sin α的值为()A .2236B .2236+C .2616D .2616+【答案】B 【解析】根据任意角的三角函数的定义求出1cos()33πα+=-,然后凑角结合两角差的正弦公式求出sin α.【详解】由题意得1cos()33πα+=-(α为锐角)∵α为锐角,∴5336πππα<+<,∴sin(03πα+>22sin()sin sin()3333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎣⎦221132332326⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭故选:B7.(2020·安徽高三其他模拟(文))已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边经过点A (1,-3),则tan(4πα+=()A .12B .12-C .1D .-1【答案】B 【解析】根据终边上的点求出tan 3α=-,再结合正切和公式求解即可.【详解】由题知tan 3α=-,则tan tan3114tan(41321tan tan 4παπαπα+-++===-+-.故选:B8.(2021·合肥一六八中学高三其他模拟(理))已知顶点在原点,始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后,终边交单位圆于,3P x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则sin α的值为()A.6-B.6C.6+D.6-【答案】C 【解析】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β,由2113x +=,则63x =±,分x 的值结合三角函数的定义,求解即可,根据条件进行取舍.【详解】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β,则3πβα=+,由α为锐角,根据题意角β终边交单位圆于3,3P x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则2113x +=,则63x =±若3x =,则sin ,cos 33ββ==所以332sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ-⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,与α为锐角不符合.若63x =-,则36sin ,cos 33ββ==-所以sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭,满足条件.故选:C9.(2021·安徽宣城市·高三二模(文))刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家,他提出“割圆求周”方法:当n 很大时,用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长,并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈.在《九章算术注》中总结出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”的极限思想.运用此思想,当π取3.1416时,可得sin 2︒的近似值为()A .0.00873B .0.01745C .0.02618D .0.03491【答案】D 【解析】由圆的垂径定理,求得2sin 2AB =︒,根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长,列出方程,即可求解.【详解】将一个单位圆分成90个扇形,则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理,可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒,因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长,所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈,所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈.故选:D .10.(2021·江苏南通市·高三其他模拟)某设计师为天文馆设计科普宣传图片,其中有一款设计图如图所示. QRT是一个以点O 为圆心、QT 长为直径的半圆,QT =. QST 的圆心为P ,2dm PQ PT ==. QRT与 QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状,则该月亮形状的面积为___________2dm .36π+【解析】连接PO ,可得PO QT ⊥,求出23QPT π∠=,利用割补法即可求出月牙的面积.【详解】解:连接PO ,可得PO QT ⊥,因为3sin 2QO QPO PQ ∠==,所以3QPO π∠=,23QPT π∠=,所以月牙的面积为2221121(3)(231)3dm 22326S πππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯=.36π.练真题1.(全国高考真题)已知角的终边经过点(−4,3),则cos =()A.45B.35C.−35D.−45【答案】D 【解析】由题意可知x=-4,y=3,r=5,所以cos ==−45.故选D.2.(2020·全国高考真题(理))若α为第四象限角,则()A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【答案】D【解析】方法一:由α为第四象限角,可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈,所以34244,k k k Zππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上,所以sin 20α<故选:D.方法二:当6πα=-时,cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,选项B 错误;当3πα=-时,2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭,选项A 错误;由α在第四象限可得:sin 0,cos 0αα<>,则sin 22sin cos 0ααα=<,选项C 错误,选项D 正确;故选:D.3.(2015·上海高考真题(文))已知点的坐标为,将绕坐标原点逆时针旋转至,则点的纵坐标为().A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意,设OA 与x 轴所成的角为,显然,,故,故纵坐标为4.(2018·全国高考真题(文))已知角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有两点1 , ,2 , ,且cos2=23,则−=A.15D.1【答案】B【解析】由s s 三点共线,从而得到=2,因为cos2=2cos 21=2⋅2−1=23,解得2=15,即=5所以−=−2=B.5.(2017·北京高考真题(理))在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=,则()cos αβ-=___________.【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称,所以2,k k Z αβππ+=+∈,那么1sin sin 3βα==,cos cos 3αβ=-=(或cos cos 3βα=-=),所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-.6.(2021·北京高考真题)若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(66Q ππθθ++关于y 轴对称,写出一个符合题意的θ=___.【答案】512π(满足5,12k k Z πθπ=+∈即可)【解析】根据,P Q 在单位圆上,可得,6πθθ+关于y 轴对称,得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解.【详解】 (cos ,sin )P θθ与cos ,sin 66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称,即,6πθθ+关于y 轴对称,2,6k k Z πθθππ++=+∈,则5,12k k Z πθπ=+∈,当0k =时,可取θ的一个值为512π.故答案为:512π(满足5,12k k Z πθπ=+∈即可).。
专题五三角函数与解三角形5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2022全国甲理,8,5分)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,AB是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在AB上,CD⊥AB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+CD 2OA.当OA=2,∠AOB=60°时,s=( )A.11−3√32B.11−4√32C.9−3√32D.9−4√32答案 B 连接OC,如图.∵C是AB的中点,OA=OB=2,∴OC⊥AB.又∵CD⊥AB,∴D,C,O三点共线.∵∠AOB=60°,∴AB=2,OC=√3,CD=2-√3,∴s=2+(2−√3)22=11−4√32,故选B.2.(2019北京文,8,5分)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β答案 B 本题主要考查扇形面积、三角形面积公式及应用;主要考查学生的推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.由圆的性质易知,当|PA|=|PB|时,阴影部分的面积最大,其面积为△PAB 的面积与弓形的面积之和. 作PD ⊥AB 于D 点,由∠APB=β,知∠DOB=β(O 为圆心).所以|OD|=2cos β,|PD|=2+2cos β,|AB|=4sin β.所以S △PAB =12·|AB|·|PD|=4sin β(1+cos β).S 弓形=S 扇形OAB -S △OAB =12·2β·22-12·4sin β·2cos β=4β-4sin β· cos β.故阴影部分的面积为S △PAB +S 弓形=4sin β+4sin βcos β+4β-4sin βcos β=4β+4sin β.故选B.思路分析 本题阴影部分由一个三角形与一个弓形构成,当β确定时,弓形面积是确定的,故三角形面积最大时,阴影部分面积最大.3.(2014课标Ⅰ文,2,5分)若tan α>0,则( ) A.sin α>0 B.cos α>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0答案 C 由tan α>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B 错;由sin 2α=2sin αcos α知sin 2α>0,C 正确;α取π3时,cos 2α=2cos 2α-1=2×(12)2-1=-12<0,D 错.故选C.评析 本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法,具有一定的灵活性.4.(2014大纲全国文,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) A.45B.35C.-35D.-45答案 D 由三角函数的定义知cos α=√(−4)+3=-45.故选D.5.(2015福建文,6,5分)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( ) A.125 B.-125 C.512 D.-512答案 D ∵sin α=-513,α为第四象限角,∴cos α=√1−sin 2α=1213,∴tan α=sinαcosα=-512.故选D. 6.(2014大纲全国理,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 答案 C ∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a.又∵c=tan 35°=sin35°cos35°>sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选C.7.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α=√102,则tan 2α=( )A.43B.34C.-34D.-43答案 C (sin α+2cos α)2=52,展开得3cos 2α+4sin αcos α=32,再由二倍角公式得32cos 2α+2sin 2α=0,故tan 2α=sin2αcos2α=-322=-34,选C.评析 本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换,考查转化与化归思想,考查学生灵活应用公式的能力和运算求解能力.三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关系和三角函数名之间的关系. 8.(2013大纲全国文,2,5分)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( ) A.-1213 B.-513 C.513 D.1213答案 A ∵α是第二象限角,∴cos α<0. ∴cos α=-√1−sin 2α=-1213.故选A. 评析 本题考查三角函数值在各象限的符号,同角三角函数关系,属容易题. 9.(2013广东文,4,5分)已知sin (5π2+α)=15,那么cos α=( ) A.-25B.-15C.15D.25答案 C ∵sin (5π2+α)=sin (π2+α)=cos α,∴cos α=15.故选C. 10.(2017北京文,9,5分)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β= . 答案13 解析 本题考查三角函数的诱导公式.由角α与角β的终边关于y 轴对称,可得β=(2k+1)π-α,k ∈Z,∵sin α=13,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α=13.11.(2011江西文,14,5分)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-2√55,则y= . 答案 -8解析 P(4,y)是角θ终边上一点,由三角函数的定义知sin θ=√16+y ,又sin θ=-2√55,∴√16+y =-2√55,解得y=-8.评析 本题主要考查任意角三角函数的定义,考查运算求解能力,由题意得√16+y 2=-2√55是本题求解的关键.12.(2016四川文,11,5分)sin 750°= . 答案12解析 sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=12. 解后反思 利用诱导公式把大角化为小角. 评析 本题考查了三角函数的诱导公式.13.(2013课标Ⅱ理,15,5分)设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 答案 -√105解析 tan θ=tan [(θ+π4)−π4]=12−11+12=-13,∴sin θ=-13cos θ,将其代入sin 2θ+cos 2θ=1得109cos 2θ=1,∴cos 2θ=910,又易知cos θ<0,∴cos θ=-310√10,∴sin θ=√1010,故sin θ+cos θ=-√105.。
专题5-1均值不等式及其应用归类目录讲高考................................................................................................................................................................................1题型全归纳......................................................................................................................................................................4【题型一】公式应用及限制条件.............................................................................................................................4【题型二】构造“公式型”......................................................................................................................................6【题型三】“1”的代换.............................................................................................................................................7【题型四】“积”与“和”混合型........................................................................................................................8【题型五】构造分母代换型......................................................................................................................................9【题型七】分离常数消去型...................................................................................................................................11【题型八】消去型......................................................................................................................................................12【题型九】多次均值.................................................................................................................................................14【题型十】多元均值.................................................................................................................................................15【题型十一】权方和不等式...................................................................................................................................17【题型十二】万能“k”法......................................................................................................................................19【题型十三】整体换元.............................................................................................................................................20【题型十四】均值应用:恒成立..........................................................................................................................21专项训练. (22)讲高考1.(2022·全国·统考高考真题)已知910,1011,89m m m a b ==-=-,则()A .0a b >>B .0a b >>C .0b a >>D .0b a >>【答案】A【分析】法一:根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>,再利用基本不等式,换底公式可得lg11m >,8log 9m >,然后由指数函数的单调性即可解出.【详解】[方法一]:(指对数函数性质)由910m =可得9lg10log 101lg 9m ==>,而()222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以lg10lg11lg9lg10>,即lg11m >,所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg 922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以lg9lg10lg8lg9>,即8log 9m >,所以8log 989890m b =-<-=.综上,0a b >>.[方法二]:【最优解】(构造函数)由910m =,可得9log 10(1,1.5)m =∈.根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->,则1()1m f x mx -'=-,令()0f x '=,解得110m x m -=,由9log 10(1,1.5)m =∈知0(0,1)x ∈.()f x 在(1,)+∞上单调递增,所以(10)(8)f f >,即a b >,又因为9log 10(9)9100f =-=,所以0a b >>.故选:A.【整体点评】法一:通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较,方法直接常用,属于通性通法;法二:利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->,根据函数的单调性得出大小关系,简单明了,是该题的最优解.2.(2021·全国·统考高考真题)下列函数中最小值为4的是()A .224y x x =++B .4sin sin y x x=+C .2y 22x x-=+D .4ln ln y x x=+【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意,再根据基本不等式“一正二定三相等”,即可得出,B D 不符合题意,C 符合题意.【详解】对于A ,()2224133y x x x =++=++≥,当且仅当=1x -时取等号,所以其最小值为3,A 不符合题意;对于B ,因为0sin 1x <≤,4sin 4sin y x x=+≥=,当且仅当sin 2x =时取等号,等号取不到,所以其最小值不为4,B 不符合题意;对于C ,因为函数定义域为R ,而20x >,2422242x x xx y -=+=+≥=,当且仅当22x =,即1x =时取等号,所以其最小值为4,C 符合题意;对于D ,4ln ln y x x=+,函数定义域为()()0,11,+∞ ,而ln x R ∈且ln 0x ≠,如当ln 1x =-,5y =-,D 不符合题意.故选:C .【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件,明确“一正二定三相等”的意义,再结合有关函数的性质即可解出.3.(2021·全国·统考高考真题)已知1F ,2F 是椭圆C :22194x y+=的两个焦点,点M 在C 上,则12MF MF ⋅的最大值为()A .13B .12C .9D .6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==,借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案.【详解】由题,229,4a b ==,则1226MF MF a +==,所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭(当且仅当123MF MF ==时,等号成立).故选:C .4.(陕西·高考真题)已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为()A .2B .4C .6D .8【答案】B【解析】由()11a xa yx y a x y y x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭,然后利用基本不等式求最小值,利用最小值大于等于9,建立不等式,解之即可.【详解】由已知可得若题中不等式恒成立,则只要()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值大于等于9即可,000x y a >>> ,,,()111a xa yx y a a x y y x ⎛⎫∴++=+++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当xa yy x=即=y时等号成立,19a∴+≥,2≥4(≤-舍去),即4a≥所以正实数a的最小值为4.故选:B.【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方,这时改用勾型函数的单调性求最值.5.(·天津·高考真题)已知函数23,1,()2, 1.x x xf xx xx⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R∈,若关于x的不等式()||2xf x a≥+在R上恒成立,则a的取值范围是A.47[,2]16-B.4739[,1616-C.[-D.39[]16-【答案】A【详解】不等式()2xf x a≥+为()()2xf x a f x-≤+≤(*),当1x≤时,(*)式即为22332xx x a x x-+-≤+≤-+,2233322xx a x x-+-≤≤-+,又22147473()241616xx x-+-=---≤-(14x=时取等号),223339393()241616x x x-+=-+≥(34x=时取等号),所以47391616a-≤≤,当1x>时,(*)式为222xx a xxx--≤+≤+,32222xx ax x--≤≤+,又3232()22x xx x--=-+≤-3x=时取等号),222xx+≥=(当2x=时取等号),所以2a-≤≤,综上216a-≤≤.故选A.【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足()2xf x a≥+转化为()()22x xf x a f x--≤≤-去解决,由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则,分别对x的两种不同情况进行讨论,针对每种情况根据x的范围,利用极端原理,求出对应的a的范围.题型全归纳综述1.基本不等式:ab ≤a +b2;(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0;(2)等号成立的条件:当且仅当a =b.(3)基本不等式的变形:①a +b ≥2ab ,常用于求和的最小值;②ab ,常用于求积的最大值;2.常用不等式:(1)重要不等式:a2+b2≥2ab(a ,b ∈R);(2)重要不等式链:a2+b22≥a +b 2≥ab ≥2aba +b ;【题型一】公式应用及限制条件【讲题型】例题1.下列不等式中,一定成立的是()A .44x x +≥B .1ln 2ln x x +≥C 2a b+≤D .222x x -+≥【答案】D.【详解】对于A ,取2x =-,则444x x +=-<,故A 错.对于B ,取1x e -=,则1ln 22ln x x+=-<,故B 错..对于C ,取1a b ==-112a b+=>-=,故C 错.对于D ,由基本不等式可得222x x -+≥=,当且仅当0x =时等号成立,故选:D.例题2.)若0a b >>,则下列不等式成立的是()A .2a b a b +>>>B .2a ba b +>>>C .2a b a b +>>>D .2a ba b +>>>【答案】C【解析】根据题中条件,由不等式的性质,以及基本不等式,即可比较出结果.【详解】因为0a b >>,所以2a ba +>b >,又根据基本不等式可得,2a b+>所以2a ba b +>>>.故选:C.1.下列不等式的证明过程正确的是()A .若,a b ∈R ,则2b a a b +≥=B .若0x >,则1cos 2cos x x +≥C .若0x <则44x x +≤D .若,a b ∈R ,且0ab <,则2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【答案】D【分析】利用基本不等式成立的条件判断出证明过程正确的选项.【详解】对于A 选项,当0ab <时,0b aa b +<,所以A 选项错误.对于B 选项,如x π=时,1cos 20cos x x+=-<,所以B 选项错误.对于C 选项,由于0x <,则0x ->444x x x x ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭,所以C 选项错误.对于D 选项,根据基本不等式成立的条件可知D 选项正确.故选:D2.给出下列条件:①0ab >;②0ab <;③0a >,0b >;④0a <,0b <.其中能使2ab b a +≥成立的条件有()A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C【分析】根据基本不等式可知,当2ab ba+≥成立时,则0ab>,可知a 、b 同号,据此可得出结论.【详解】由基本不等式可知,要使得2ab b a+≥成立,则0ab>,所以,a 、b 同号,所以①③④均可以.故选:C.3.若a >0,b >0,且a ≠b ,则()A .2a b +B 2a b +C2a b +D <2a b +【答案】B【解析】利用基本不等式或作差法判断选项.【详解】∵a ,b ∈R +,且a ≠b ,∴a +b >2a b+,而222()24a b a b ++-=2()4a b ->0,∴2a b +B【题型二】构造“公式型”【讲题型】例题1.若x >1,则121x x +-的最小值为()A .2B .-C .2-D .【答案】A【解析】由1x >,可得10x ->,化简可得1122(1)211x x x x +=-++--,利用基本不等式即可得解.【详解】由1x >,可得10x ->,1122(1)222211x x x x +=-+≥=--,当且仅当12(1)1x x -=-,即x =取等号,11x x +-的最小值为2,故选:A.例题2.)若关于x 的不等式4142x a x +≥-对任意2x >恒成立,则正实数a 的取值集合为A .(-1,4]B .(0,4)C .(0,4]D .(1,4]【答案】C【分析】由题意可得4(2)1842x a x a-+--对任意2x >恒成立,由基本不等式可得最小值,再由一元二次不等式的解法,可得a 的取值集合.【详解】由题意可得4(2)1842x a x a -+--对任意2x >恒成立,由0,2a x >>,可得4(2)122xa x -+-当且仅当4(2)12x a x -=-即2x =84a -04a <.故选:C.【练题型】1.设0x y >>,则41x x y x y+++-的最小值为()A .B .C .4D .2【答案】A【分析】原式可变形为()()41141122x x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤++=+++-+⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦,然后根据基本不等式即可求解【详解】0x y >> ,0x y ∴->,()()41141122x x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤∴++=+++-+⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦≥=+=()()1411,22x y x y x y x y+=-=+-,即,22x y ==时取等号故选:A 2.已知1ab >>且b =,则211a b +-的最小值为()A .3B .4C .5D .6【答案】A【分析】根据题意,只需求11a a +-的最小值,再根据基本不等式求解即可.【详解】∵1a b>>且b =211a b +-11a a =+-1111a a =-++-1≥3=.当且仅当111a a -=-即2a =时取等号,此时211a b +-取得最小值小3.故选:A.【题型三】“1”的代换【讲题型】例题1.已知0x >,0y >,251x y +=,则1125x y +的最小值是()A .2B .8C .4D .6【答案】C【分析】根据题意,结合“1”的妙用,即可求解.【详解】解析:由251x y +=得()1111522522224252525y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥=+= ⎪⎝⎭,当且仅当5225y x x y =,即14x =,110y =时,等号成立,所以1125x y +的最小值是4.故选:C .例题2.已知正实数x 、y 满足22x y +=,则12x y+的取值可能为()A .72B .113C .165D .214【答案】D【分析】利用基本不等式求得12x y+的最小值判断.【详解】解:因为正实数x 、y 满足22x y +=,所以()121122252122+⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭y x x y x y y y x x,95212⎛⎫+= ⎪⎝≥,当且仅当22y x x y =,即23x y ==时,等号成立,故选:D【练题型】1.若0x >,0y >,且131x y +=,则3x y +的最小值为()A.6B.12C.14D.16【答案】B【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解:因为0x >,0y >,且131x y+=,所以()139336612y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当36y x ==时等号成立,所以,3x y +12.故选:B2.已知0,0x y >>且141x y+=,若28x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是()A .1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B .{}|3x x ≤-}C .{}|1x x ≥D .{}|91x x -<<【答案】D【分析】根据基本不等式可取x y +的最小值,从而可求实数m 的取值范围.【详解】∵0,0x y >>,且141x y +=,∴144()()559y x x y x y x y x y +=++=++≥+=,当且仅当3,6x y ==时取等号,∴min (x ,由28x y m m +>+恒成立可得2min 8()9m m x y +<+=,解得:91m -<<,故选:D.【题型四】“积”与“和”混合型【讲题型】例题1.已知0a >,0b >,且满足2a b ab +=,则a b +的最小值为()A .2B .3C .3+D .32【答案】C【分析】由题意得121a b+=,根据基本不等式“1”的代换,计算即可得答案.【详解】因为2a b ab +=,所以121a b +=,所以()122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭,当且仅当2b aa b=时,即1a =,2b =+所以a b +的最小值为3+.故选:C例题2.若正实数,x y 满足412x y xy ++=,则xy 的最小值为()A .4B .6C .18D .36【答案】D【分析】由412x y xy ++=可得124xy x y -=+,由基本不等式可得4x y +≥=即12xy -≥.【详解】由412x y xy ++=可得124xy x y -=+,因为0x >,0y >,所以4x y +≥=4x y =时等号成立,所以12xy -≥即2120-≥,所以)620≥,6≥,所以36xy ≥,当且仅当412x y xy ++=⎧⎨=即3x =⎧⎨=时等号成立,xy 的最小值为36.故选:D.1.若,0a b >,且1131a b ab=++,则a b +的取值范围()A .3a b +≥B .06a b <+≤C .03a b <+≤D .6a b +≥【答案】D【分析】化简整理式子可得3a b ab ++=,再利用基本不等式即可求解.【详解】由,0a b >,且1131a b ab =++,则31a b ab ++=,即3a b ab ++=,由基本不等式可得232a b a b ab +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭,当且仅当a b =时,等号成立,整理得()()24120a b a b +-+-≥,即()()620a b a b+-++≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,因为,0a b >,所以20a b ++>,所以60a b +-≥,解得6a b +≥.故选:D2.已知a ,b 是正实数,32a b ab +=,则2a b+的最小值是()A .B .7+C .5+D .7+【答案】D【分析】先化简条件等式,再结合基本不等式求最值中“1”的妙用的技巧转化需要求解的代数式,最后运用基本不等式得出结果即可.【详解】等式32a b ab +=的两边同除以ab 可得:321b a+=()326222747a ba b a b b a ba ⎛⎫∴+=+=++≥ ⎪⎝⎭当且仅当62ab b a=,即b =时,取等号,此时23a b ==+选项D 正确,选项ABC 错误.故选:D.【题型五】构造分母代换型【讲题型】例题1.若正实数x ,y 满足1x y +=,且不等式241312m m x y +<++有解,则实数m 的取值范围是()A .3m <-或32m >B .332m -<<C .3m ≤-或32m ≥D .332m -≤≤【答案】A【分析】由题意可得2min34121m m x y ⎛⎫+>+⎪+⎝⎭,将()411411121x y x y x y ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭展开利用基本不等式求得最小值,再解不等式即可求解.【详解】若不等式241312m m x y +<++有解,则2min 34121m m x y ⎛⎫+>+ ⎪+⎝⎭()411411411512121y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭()1195522222⎛≥+=+⨯= ⎝,当且仅当4111y x x y x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩即1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时,411x y ++最小值为92,所以23922m m +>,即22390m m +->,所以()()2330m m -+>,解得:3m <-或32m >,故选:A.例题2.若正数a ,b 满足7a b +=,则1911a b +++的最小值是()A .1B .169C .6D .25【答案】B【分析】凑配出积为定值,然后用基本不等式得最小值.【详解】解:由题意,正数a ,b 满足7a b +=,1119a b +++∴=,191911119911619(101111991199a b b a a b a b a b +++++⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅=+++≥⨯= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭当且仅当54a =,234b =时取等号,故选:B.【练题型】1.若0x >,0y >,且47x y +=,则111x y++的最小值为()A .2B .98C .94D .32【答案】B【分析】根据47x y +=,可将111x y++化为111[(1)4]()81x y x y ++++,结合结合基本不等式即可得出答案.【详解】解:若0x >,0y >,且47x y +=,则(1)48x y ++=,所以1111114119[(1)4]()(5)5]1818188y x x y x y x y x y ++=+++=++⨯=+++,当且仅当47411x y y x x y +=⎧⎪+⎨=⎪+⎩,即5343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时,等号成立.故选:B .2.已知实数x ,y 满足20x y >>,且2x y +=,则4142x y x y++-的最小值为()A .15-B .52C .1D .94【答案】D【分析】利用2x y +=变形为424x y x y ++-=,将4142x y x y++-变形后利用均值不等式求解.【详解】因为2x y +=,所以424x y x y ++-=,()4114114(2)(4)(412442424442y x y x y x y x y x x y x x y x y x y y ⎛⎫-++=+=+++ ⎪+-++---⎭++⎝(4(2)(4)1195544442x y x y x y x y ⎛⎫=≥-++++⎪⎝-+= ⎭,当且仅当4(2)(4)42x y x y x y x y -+=+-,即162,99x y ==时,等号成立.故选:D 【题型七】分离常数消去型【讲题型】例题1.已知102x <<,则112x x-的最小值是()A .5B .6C .7D .8【答案】C【分析】1121211212x x x x x ++=+---,根据()1212121211212x x x x x x ⎛⎫+-=++--⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭结合基本不等式即可得出答案.【详解】解:()1221121121121212x x x x x x x x--+++=+=+----,因为2121x x +-=,又102x <<,所以120x ->,则()1212124121213327121212x x x x x x x x x x -⎛⎫+-=++--=++≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭,当且仅当12412x x x x -=-,即14x =时,取等号,即11212x x x++-的最小值是7.故选:C 例题2.已知0a >,0b >,21a b +=,则21b a ab ++的最小值为()A.4B.4+C.6D.6+【答案】D【分析】将所求的代数式整理为2111112521222b a b a a b ab a b ab a b ab a b ++-+=++=++=+-,再利用1的代换即可求解.【详解】因为21a b +=,所以12ab -=,所以21111122b a b a a b ab a b ab a b ab ++-+=++=++11225212222a b a a b =-++=+-()521522622b a a b a b a b ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭66≥++,当且仅当5221b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时,21b a ab ++的取得最小值为6+ D.【练题型】1.已知,a b 为正实数且2a b +=,则2b a b+的最小值为()A .32B1+C .52D .3【答案】D【分析】由题知11221b a b a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭,再结合基本不等式求解即可.【详解】解:因为,a b 为正实数且2a b +=,所以2b a =-,所以,2221212211b a b a b a b a a b ⎛⎫+=+=+-=+- ⎪⎭-⎝因为()22111122224b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当1a b ==时等号成立;所以2222213b a b a b a a b++=+--=≥,当且仅当1a b ==时等号成立;故选:D 2.已知a b <,则1b a b a b a-++--的最小值为()A .3B .2C .4D .1【答案】A【分析】因为a b <,所以0b a ->,将1b a b a b a-++--分离常数既可以用基本不等式求最值.【详解】因为a b <,所以0b a ->,由均值不等式可得111+()13b a b a b a b a b a -++-=+-≥+=--,当且仅当1()b a b a =--()b a >,即当1b a -=时,等号成立,因此,1a b a b a-++--的最小值为3,故选:A【题型八】消去型【讲题型】例题1.已知点(,)P x y 在椭圆222133x y+=上运动,则22121x y ++最小值是__________.【答案】95详解:点P (x ,y )在椭圆x 2+2y 2=3上运动,∴x 2+2y 2=3即x 2=3-2y 2则即最小值为95,故答案为95例题2.已知0,0x y >>,且2320x xy +-=,则2x y +的最小值是()A.2103B.3C.3D.3【答案】A 【详解】由题意,可知0,0x y >>,且2320x xy +-=,则223xy x-=,则22215212122(5)33333x x x y x x x x x -++=+=⋅=⋅+≥⋅=,当且仅当25x x =,即105x =等号成立,即2x y + A.【练题型】1.已知1m >,0n >,且223m n m +=,则214mm n+-的最小值为()A .94B .92C .32D .2【答案】A【分析】由已知得2230n m m =->,所以()22114123m m n m m +=+---,记1,3a m b m =-=-,可得291444m b a m n a b+=++-,然后利用基本不等式可得答案.【详解】因为223m n m +=,所以223n m m =-,因为0n >,1m >,所以2230n m m =->,得13m <<,所以()()2222114112323m m m n m m m m m +=+=+-----,记1,3a m b m =-=-,所以132a b m m +=-+-=,所以12a b+=,且0,0a b >>,所以()221219141232444m a b a b b a m n m m a b a b a b+++=+=++=++---9944≥+=,当且仅当4a b b a =即24,33b a ==等号成立,此时73m =,4977929n -==.故选:A.2.已知正数a 和b 满足ab +a +2b =7,则14299a b +++的最小值为()A .49B C .1327D 【答案】A【分析】利用72+1ba b -=,代入所求式子,根据均值不等式求最值即可.【详解】因为ab +a +2b =7,所以72+1b a b -=,72+2297+2,+112b b a b b b -+==<+,所以141442999999b a b b ++=+≥+++,当且仅当51,2b a ==时等号成立,故选:A3.已知正数x ,y 满足2210x xy +-=,则2234x y +的最小值为()A .1B .2C .3D .4【答案】B【分析】经转化可得122x y x =-,22221342242x x x y =+-≥-=+,条件均满足,即可得解.【详解】根据题意可得221xy x =-,由0x >,所以211222x x y x x -==-,由1022xy x =->,可得21x <,即01x <<,222222134134()222242x x x x x y x =+=+-≥--=+,【题型九】多次均值【讲题型】例题1.已知0,0a b >>2b++的最小值是()A .2B .C .D .6【答案】B【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【详解】因0,0a b >>,则122a b +=≥=当且仅当122a b ==a b ==时取“=”,所以当a b ==122a b+取最小值故选:B例题2.已知0a >,0b >,且115a b a b+++=,则a b +的取值范围是()A .14a b ≤+≤B .2a b +≥C .14a b <+<D .4a b +>【答案】A【分析】利用特殊值排除错误选项,由此得出正确答案.另可用基本不等式证明A 选项正确.【详解】当2a b ==时,115a b a b +++=,4a b +=,所以CD 选项错误.当12a b ==时,115a b a b +++=,1a b +=,所以B 选项错误.211452a b a b a b a b a b a b a b ab a b a b ++=+++=++≥++=++++⎛⎫⎪⎝⎭,即45a b a b ++≤+当且仅当2a b ==或12a b ==时等号成立.则()()2540a b a b +-++≤,()()140a b a b +-+-≤,解得14a b ≤+≤.故选:A【练题型】1.设0a b >>,则()21a b a b +-的最小值是()A .1B .2C .3D .4【答案】D【分析】两次利用基本不等式即可求出最小值.【详解】因为0a b >>,所以0a b ->,所以()()22=24b a b a b a b +-⎡⎤-≤⎢⎥⎣⎦(当且仅当b a b =-时取等号),所以()214b a b a ≥-,所以()22214a a b a b a +≥+≥-,(当且仅当224a a=,即a 时取等号).故答案为:D2.若a ,b ,c 均为正实数,则2222ab bca b c +++的最大值为()A .12B .14C.2D.2【答案】A【分析】对原式变形,两次利用基本不等式,求解即可.【详解】因为a ,b 均为正实数,则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=≤++++12==≤=,当且仅当222a c b b +=,且a c =,即a b c ==时取等号,则2222ab bc a b c+++的最大值为12.故选:A .【题型十】多元均值【讲题型】例题1.设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=,则当zxy取得最小值时,2x y z +-的最大值为()A .0B .98C .2D .94【答案】C 【分析】化简zxy 43x y y x=+-,然后由基本不等式得最值,及2x y =,这样2x y z +-可化为y 的二次函数,易得最大值.【详解】22344331,z x xy y x y xy xy y x -+==+-≥=当且仅当2x y =时成立,因此22224642,z y y y y =-+=所以222422(1)2 2.x y z y y y +-=-=--+≤1y =时等号成立.故选:C .例题2.已知P 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界),若△PAB ,△PAC ,△PBC 的面积分别为x ,y ,z ,则1y z x y z+++的最小值是()A B C .13D .3【答案】D【分析】由题意得出1x y z ++=,原式可化为1111111y z x x xx y z x x x x+--+=+=+++--,利用基本不等式求出最小值.【详解】解:因为三角形的面积为1S x y z =++=,且0x >,0y >,0z >,所以111111113111y z x x x x x xx y z x x x x x x +---+-+=+=+=+++=+---≥,当且仅当11x x x x -=-,即12x =时取等号,即最小值为3.故选:D .【练题型】1.若a ,b ,c 均为正实数,则三个数1a b +,1b c +,1c a+()A .都不大于2B .都不小于2C .至少有一个不大于2D .至少有一个不小于2【答案】D【分析】对于选项ABC 可以举反例判断,对于选项D,可以利用反证法思想结合基本不等式,可以确定1a b +,1b c +,1c a+至少有一个不小于2,从而可以得结论.【详解】解:A.都不大于2,结论不一定成立,如2,3,4a b c ===时,三个数1a b +,1b c+,1c a+都大于2,所以选项A 错误;B.都不小于2,即都大于等于2,不一定成立,如1,2,a b ==则12a b+<,所以选项B 错误;C.至少有一个不大于2,不一定成立,因为它们有可能都大于2,如2,3,4a b c ===时,三个数1a b +,1b c +,1c a+都大于2,所以选项C 错误.由题意,∵a ,b ,c 均为正实数,∴1111112226a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥++=.当且仅当a b c ==时,取“=”号,若12 a b +<,12b a+<,12c c +<,则结论不成立,∴1a b +,1b c +,1c a+至少有一个不小于2,所以选项D 正确;故选:D .2.设,,a b c 为ABC 中的三边长,且1a b c ++=,则2224a b c abc +++的取值范围是()A .131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .131,272⎛⎤⎥⎝⎦D .131,272⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【详解】由题意,记222+,,4()a b c abc f a b c ++=,又由1a b c ++=,则222122()42()22(1,))(,ab c a b abc c ab a b f a b ab c c =--++=+--++2221111112[]24()()222222c ab a b c a b =+--+=---+,又,,a b c 为△ABC 的三边长,所以120,120,120a b c ->->->,所以()1,,2f a b c <,另一方面(),,12(12)2(1)f a b c ab c c c =----,由于0,0a b >>,所以22(1)()24a b c ab +-≤=,又120c ->,所以232(1)11(,,)12(12)2(1)422c f a b c c c c c c -≥-⨯---=-+,不妨设a b c ≥≥,且,,a b c 为ABC ∆的三边长,所以103c <≤.令321122y c c =-+,则23(31)0y c c c c '=-=-≤,当13c =时,可得2min 111113(2723227y =-+=,从而()131,,272f a b c ≤<,当且仅当13a b c ===时取等号.故选:B .【题型十一】权方和不等式【讲题型】例题1.若正数x y 、满足40x y xy +-=,则4x y+的最大值为()A .2/5B .4/9C .1/2D .4/7解:∵正数x y 、满足40x y xy +-=,∴04xy x =>-,解得4x >,∴44444449145444x x y x x x x x x ===≤=++++-++---,当且仅当444x x -=-时,等号成立,∴4x y +的最大值为49.故选:B .权方和:2221412(1+2)944401++y y x+x+9x+x y xy x x y y y +-=⇒==≥=⇒≥例题2.已知,x y 为正数,且13310x y x y+++=,则3x y +的最大值为.【答案】8试题分析:因为13310x y x y +++=,所以13310()x y x y+=-+,所以()()213310()3x y x y x y ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦,即()()23103103y x x y x y x y ⎛⎫+=+--+ ⎪⎝⎭,令3t x y =+,则231010y x t t x y ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭,而2y xx y +≥,所以210160t t -+≤,即28t ≤≤,故应填8.权方和:21313191631010(3)y 3y +310(3)(3)1624811=10(4)10-2=8yx y x y x y x x x yx y x y x y x y x +++=⇒-+=+=+≥⇒+-+≥⇒≤+≤⇒+-+≤1.已知实数s ∈(0,+∞)且+=1,则43r +1r3的最小值为__________.【答案】94【详解】令3+=,+3=,∴+=4,∴43r +1r3=4+1=14(4+1)(+p =14(5+4+)≥94,当且仅当=2s +=4,即=83=43,即=56,=16时等号成立.43r+1r3的最小值为94,故答案为9.权方和:41993m+n +34(+)4m n mn +≥=2.已知1,0,2a b a b >>+=,则1112a b+-的最小值为()A .32+B .3242+C .3+D .1223+【详解】由题意知1,0,2a b a b >>+=,可得:(1)1,10a b a -+=->,则11111133[(1)]()1121222122a b a b a b a b b a -+=-++=+++≥+=---当且仅当121a b b a -=-时,等号成立,则1112a b +-的最小值为32+。
课时规范训练[A 级 基础演练]1.数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式a n 是( )A.n2n +1B.n 2n -1C.n 2n -3 D .n 2n +3解析:选B.由已知得,数列可写成11,23,35,…,故通项为n2n -1.2.在数列{a n }中,a 1=1,a n =1a n -1+1,则a 4等于( )A.53 B .43 C .1D .23 解析:选A.由a 1=1,a n =1a n -1+1得,a 2=1a 1+1=2,a 3=1a 2+1=12+1=32,a 4=1a 3+1=23+1=53.3.(2021·保定高三调研)在数列{a n }中,已知a 1=1,a n +1=2a n +1,则其通项公式为a n =( ) A .2n-1 B .2n -1+1C .2n -1D .2n -2解析:选A.由题意知a n +1+1=2(a n +1),∴数列{a n +1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴a n +1=2n,∴a n =2n-1.4.(2021·银川模拟)设数列{}a n 满足:a 1=2,a n +1=1-1a n,记数列{}a n 的前n 项之积为T n ,则T 2 016的值为( )A .-12B .1 C.12D .2解析:选B.由a 2=12,a 3=-1,a 4=2,a 5=12可知,数列{}a n 是周期为3的数列,且a 1·a 2·a 3=-1,从而T 2 016=(-1)672=1.5.(2021·吉林长春质量检测)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,{S n +na n }为常数列,则a n =( ) A.13n -1B .2n (n +1)C.6(n +1)(n +2)D .5-2n 3解析:选B.由题意知,S n +na n =2,当n ≥2时,S n -1+(n -1)a n -1=2,∴(n +1)a n =(n -1)a n -1从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n -1=13·24·…·n -1n +1,则a n =2n (n +1),当n =1时上式成立,所以a n =2n (n +1),故选B.6.若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n(3n -2),则a 1+a 2+…+a 10等于( ) A .15 B .12 C .-12D .-15解析:选A.由题意知,a 1+a 2+…+a 10 =-1+4-7+10+…+(-1)10×(3×10-2) =(-1+4)+(-7+10)+…+ =3×5=15.7.已知a 1=1,a n =n (a n +1-a n )(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式是( ) A .2n -1B .⎝ ⎛⎭⎪⎫n +1n n -1C .n 2D .n解析:选D.法一:由已知整理得(n +1)a n =na n +1,∴a n +1n +1=a n n ,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列,且a n n =a 11=1,∴a n=n .法二(累乘法):当n ≥2时,a n a n -1=n n -1. a n -1a n -2=n -1n -2,…,a 3a 2=32,a 2a 1=21,两边分别相乘得a na 1=n . 又∵a 1=1,∴a n =n .8.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n +1=3S n (n ≥1),则a 6=( ) A .3×44B .3×44+1 C .45D .45+1解析:选A.法一:a 1=1,a 2=3S 1=3,a 3=3S 2=12=3×41,a 4=3S 3=48=3×42,a 5=3S 4=3×43,a 6=3S 5=3×44.故选A.法二:当n ≥1时,a n +1=3S n ,则a n +2=3S n +1,∴a n +2-a n +1=3S n +1-3S n =3a n +1,即a n +2=4a n +1, ∴该数列从第2项开头是以4为公比的等比数列,又a 2=3S 1=3a 1=3,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧1 (n =1),3×4n -2(n ≥2). ∴当n =6时,a 6=3×46-2=3×44.9.(2021·云南文山检测)设S n 是数列{a n }的前n 项和,假如S n =3a n -2,那么数列{a n }的通项公式为 .解析:当n =1时,a 1=S 1=3a 1-2,解得a 1=1.当n ≥2时,S n =3a n -2,S n -1=3a n -1-2,两式相减得a n=3a n -3a n -1,故a n a n -1=32,数列{a n }为首项为1,公比为32的等比数列,其通项公式为a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1.答案:a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -110.若数列{}a n 的前n 项和S n =23a n +13,则{}a n 的通项公式是a n = .解析:当n =1时,S 1=23a 1+13,∴a 1=1.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=23a n +13-⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n -1+13=23(a n -a n -1),∴a n =-2a n -1,即a na n -1=-2, ∴{}a n 是以1为首项的等比数列,其公比为-2, ∴a n =1×(-2)n -1,即a n =(-2)n -1.答案:(-2)n -1[B 级 力量突破]1.(2021·哈三中一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n +1=3S n (n ∈N *),则S 6=( ) A .44B .45C.13×(46-1) D .14×(45-1) 解析:选B.由a n +1=3S n 得a 2=3S 1=3.当n ≥2时,a n =3S n -1,则a n +1-a n =3a n ,n ≥2,即a n +1=4a n ,n≥2,则数列{a n }从其次项起构成以3为首项,4为公比的等比数列,所以S 6=a 73=3×453=45,故选B.2.(2021·浙江台州调考)现定义a n =5n+⎝ ⎛⎭⎪⎫15n,其中n ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫110,15,12,1,则a n 取最小值时,n 的值为( )A.110 B .15 C.12D .1解析:选A.令5n=t >0,考虑函数y =t +1t,易知其在(0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且当t =1时,y 的值最小,再考虑函数t =5x,当0<x ≤1时,t ∈(1,5],可知当n =110时,a n 取得最小值.3.(2021·东北三校联考)已知数列{a n }满足:a n =13n 3-54n 2+3+m ,若数列的最小项为1,则m 的值为( )A.14 B .13 C .-14D .-13解析:选B.令f (x )=13x 3-54x 2+3+m ,x ∈(0,+∞),则f ′(x )=x 2-52x =x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -52,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,52时,f ′(x )<0,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52,+∞时,f ′(x )>0,故x =52为函数f (x )的微小值点,也是最小值点.由于n ∈N *,且a 2=23+m ,a 3=34+m ,故a 2<a 3,即a 2为数列{a n }的最小项,故23+m =1,解得m =13,故选B.4.在数列{a n }中,a 1=1,对于全部的n ≥2,n ∈N *,都有a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2,则a 3+a 5= . 解析:由题意知:a 1·a 2·a 3·…·a n -1=(n -1)2,∴a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫n n -12(n ≥2),∴a 3+a 5=⎝ ⎛⎭⎪⎫322+⎝ ⎛⎭⎪⎫542=6116. 答案:61165.已知数列{a 2n }满足a 1=1,a n +1=a 2n -2a n +1(n ∈N *),则a 2 018= . 解析:∵a 1=1,∴a 2=(a 1-1)2=0,a 3=(a 2-1)2=1,a 4=(a 3-1)2=0,…,可知数列{a n }是以2为周期的周期数列,∴a 2 018=a 2=0. 答案:06.(2021·山东潍坊调研)已知{a n }是递增数列,且对于任意的n ∈N *,a n =n 2+λn 恒成立,则实数λ的取值范围是 .解析:法一(定义法):由于{a n }是递增数列,所以对任意的n ∈N *,都有a n +1>a n ,即(n +1)2+λ(n +1)>n 2+λn ,整理,得2n +1+λ>0,即λ>-(2n +1)(*).由于n ≥1,所以-(2n +1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3.法二(函数法):设f (n )=a n =n 2+λn ,其图象的对称轴为直线n =-λ2,要使数列{a n }为递增数列,只需使定义域在正整数上的函数f (n )为增函数,故只需满足f (1)<f (2),即λ>-3.答案:λ>-3。
高考数学总复习 5-1 平面向量的概念与线性运算但因为测试新人教B 版1.(文)(2011·宁波十校联考)设P 是△ABC 所在平面内的一点,BC →+BA →=2BP →,则( ) A.P A →+PB →=0 B.PC →+P A →=0 C.PB →+PC →=0 D.P A →+PB →+PC →=0[答案] B[解析] 如图,根据向量加法的几何意义,BC →+BA →=2BP →⇔P 是AC 的中点,故P A →+PC →=0.(理)(2011·广西六校联考、北京石景山检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA →+OB →+OC →=0,那么( )A.AO →=OD →B.AO →=2OD →C.AO →=3OD → D .2AO →=OD →[答案] A[解析] ∵OB →+OC →=2OD →, ∴2OA →+2OD →=0,∴AO →=OD →.2.(文)(2011·皖南八校联考)对于非零向量a ,b ,“a +b =0”是“a ∥b 的”( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若a +b =0,则a =-b ,所以a ∥b ;若a ∥b ,则存在实数λ,使a =λb ,a +b =0不一定成立,故选A.(理)(2011·广东江门市模拟)若四边形ABCD 满足AB →+CD →=0,(AB →-AD →)·AC →=0,则该四边形一定是( )A .直角梯形B .菱形C .矩形D .正方形[答案] B[解析] 由AB →+CD →=0知,AB →=DC →,即AB =CD ,AB ∥CD .∴四边形ABCD 是平行四边形. 又(AB →-AD →)·AC →=0,∴DB →·AC →=0,即AC ⊥BD , 因此四边形ABCD 是菱形,故选B.3.(文)如图所示,在△ABC 中,BD →=12DC →,AE →=3ED →,若AB →=a ,AC →=b ,则BE →等于( )A.13a +13b B .-12a +14bC.12a +14b D .-13a +13b[答案] B[解析] ∵AE →=3ED →,∴ED →=14AD →,∵BD →=12DC →,∴BD →=13BC →,∴BE →=BD →-ED →=BD →-14AD →=BD →-14(AB →+BD →)=34BD →-14AB →=14BC →-14AB →=14AC →-12AB →=14b -12a .(理)在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →=a ,BD →=b ,则AF →=( )A.14a +12bB.13a +23bC.12a +14bD.23a +13b [答案] D[解析] 由条件易知,DF →=13DC →,∴AF →=AC →+CF →=a +23CD →=a +13(b -a )=23a +13b .故选D.4.(2011·福建福州质量检查)如图,e 1,e 2为互相垂直的单位向量,向量a 、b 如图,则向量a -b 可表示为( )A .3e 2-e 1B .-2e 1-4e 2C .e 1-3e 2D .3e 1-e 2[答案] C[解析] 连接图中向量a 与b 的终点,并指向a 的终点的向量即为a -b ,∴a -b =e 1-3e 2.5.(文)(2011·厦门模拟)已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任一点O ,OM →=xOA →+12OB →+13OC →,则x 的值为( )A .0 B.13 C.12 D.16[答案] D[解析] ∵x +12+13=1,∴x =16.(理)(2011·惠州模拟)在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD →=2DB →,CD →=λCA →+μCB →,则μλ的值为( ) A .1 B.12 C .2 D.13 [答案] C[解析] CD →=CA →+AD →=CA →+23AB →=CA →+23(CB →-CA →)=13CA →+23CB →∴λ=13,μ=23,∴μλ=2.6.设OA →=e 1,OB →=e 2,若e 1与e 2不共线,且点P 在线段AB 上,|AP | |P B |=2,如图所示,则OP →=( )A.13e 1-23e 2 B.23e 1+13e 2C.13e 1+23e 2D.23e 1-13e 2 [答案] C[解析] AP →=2PB →,∴AB →=AP →+PB →=3PB →, OP →=OB →+BP →=OB →-13AB →=OB →-13(OB →-OA →)=13e 1+23e 2.7.(2011·山东济南市调研)如图,在△ABC 中,AN →=13NC →,P 是BN 上的一点,若AP →=mAB →+211AC →,则实数m 的值为________.[答案]311[解析] (如图)因为AP →=AB →+BP →=AB →+kBN →=AB →+k (AN →-AB →) =AB →+k (14AC →-AB →)=(1-k )AB →+k4AC →,所以1-k =m ,且k 4=211,解得k =811,m =311.8.(文)(2011·合肥模拟)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A 、B 、C 三点满足OC →=23OA →+13OB →,则|AC →||AB →|=________.[答案] 13[解析] ∵OC →=23OA →+13OB →,23+13=1,∴A 、B 、C 三点共线,∵AC →=OC →-OA →=13OB →-13OA →=13AB →,∴|AC →||AB →|=13. (理)(2011·聊城模拟)在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC →=λAE →+μAF →,其中, λ,μ∈R ,则λ+μ=________.[答案] 43[解析]如图,∵ABCD 是▱,且E 、F 分别为CD 、BC 中点. ∴AC →=AD →+AB → =(AE →-DE →)+(AF →-BF →)=(AE →+AF →)-12(DC →+BC →)=(AE →+AF →)-12AC →,∴AC →=23(AE →+AF →),∴λ=μ=23,∴λ+μ=43.9.(2011·泰安模拟)设a 、b 是两个不共线向量,AB →=2a +pb ,BC →=a +b ,CD →=a -2b ,若A 、B 、D 三点共线,则实数p 的值是________.[答案] -1[解析] ∵BD →=BC →+CD →=2a -b ,又A 、B 、D 三点共线,∴存在实数λ,使AB →=λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2=2λp =-λ,∴p =-1. 10.(文)如图,在平行四边形ABCD 中,M 、N 分别为DC 、BC 的中点,已知AM →=c ,AN →=d ,试用c 、d 表示AB →、AD →.[解析] 解法一:AD →=AM →-DM →=c -12AB →①AB →=AN →-BN →=d -12AD →②由①②得AB →=23(2d -c ),AD →=23(2c -d ).解法二:设AB →=a ,AD →=b ,因为M 、N 分别为CD 、BC 的中点,所以BN →=12b ,DM →=12a ,于是有:⎩⎨⎧c =b +12ad =a +12b ,解得⎩⎨⎧a =232d -c b =232c -d ,即AB →=23(2d -c ),AD →=23(2c -d ).(理)如图,在△ABC 中,AM AB =1 3,AN AC =1 4,BN 与CM 交于P 点,且AB →=a ,AC →=b ,用a ,b 表示AP →.[分析] 由已知条件可求AM →、AN →,∵BN 与CM 相交于点P ,∴B 、P 、N 共线,C 、P 、M 共线,因此,可以设PN →=λBN →,PM →=μCM →,利用同一向量的两种a ,b 的线性表示及a 、b 不共线求解;也可以设BP →=λBN →,用a 、b ,λ来表示CP →与CM →,利用CP →与CM →共线及a 、b 不共线求解.解题方法很多,但无论什么方法,都要抓住“共线”来作文章.[解析] 由题意知:AM →=12AB →=13a ,AN →=14AC →=14b .BN →=AN →-AB →=14b -a ,CM →=AM →-AC →=13a -b设PN →=λBN →,PM →=μCM →,则PN →=λ4b -λa ,PM →=μ3a -μb .∴AP →=AN →-PN →=14b -(λ4b -λa )=λa +1-λ4b ,AP →=AM →-PM →=13a -(μ3a -μb )=1-μ3a +μb ,∴λa +1-λ4b =1-μ3a +μb ,而a ,b 不共线.∴λ=1-μ3且1-λ4=μ.∴λ=311.因此AP →=311a+211b . [点评] ∵P 是CD 与BE 的交点,故可设DP →=λDC →,利用B 、P 、E 共线,∴BP →与BE →共线,求出λ,从而AP →=AD →+DP →获解.11.(2011·山东青岛质检)在数列{a n }中,a n +1=a n +a (n ∈N *,a 为常数),若平面上的三个不共线的非零向量OA →,OB →,OC →满足OC →=a 1OA →+a 2010OB →,三点A 、B 、C 共线且该直线不过O 点,则S 2010等于( )A .1005B .1006C .2010D .2012[答案] A[解析] 由题意知,a 1+a 2010=1, 又数列{a n }为等差数列,所以S 2010=a 1+a 20102×2010=1005,故选A.12.(文)(2011·安徽安庆模拟)已知点P 是△ABC 所在平面内一点,且满足3P A →+5PB →+2PC →=0,设△ABC 的面积为S ,则△P AC 的面积为( )A.34SB.23SC.12SD.25S [答案] C [分析]由系数3+2=5,可将条件式变形为3(P A →+PB →)+2(PB →+PC →)=0,故可先构造出P A →+PB →与PB →+PC →,假设P 为P ′点,取AB 、BC 中点M 、N ,则PM →=12(P A →+PB →),PN →=12(PB →+PC →),条件式即转化为PM →与PN →的关系.[解析] 设AB ,BC 的中点分别为M ,N , 则PM →=12(P A →+PB →),PN →=12(PB →+PC →),∵3P A →+5PB →+2PC →=0, ∴3(P A →+PB →)=-2(PB →+PC →),∴3PM →=-2PN →,即点P 在中位线MN 上, ∴△P AC 的面积为△ABC 面积的一半,故选C.(理)(2011·东北三校联考)在△ABC 中,点P 是AB 上的一点,且CP →=23CA →+13CB →,Q 是BC 的中点,AQ 与CP 的交点为M ,又CM →=tCP →,则t 的值为( )A.12B.23C.34D.45[答案] C[解析] ∵CP →=23CA →+13CB →,∴3CP →=2CA →+CB →,即2CP →-2CA →=CB →-CP →, ∴2AP →=PB →,因此P 为AB 的一个三等分点,如图所示.∵A ,M ,Q 三点共线, ∴CM →=xCQ →+(1-x )CA → =x2CB →+(x -1)AC →(0<x <1), ∵CB →=AB →-AC →,∴CM →=x 2AB →+(x2-1)AC →.∵CP →=CA →-P A →=-AC →+13AB →,且CM →=tCP →(0<t <1),∴x 2AB →+(x 2-1)AC →=t (-AC →+13AB →), ∴x 2=t 3且x 2-1=-t ,解得t =34,故选C. 13.已知点A (2,3),C (0,1),且AB →=-2BC →,则点B 的坐标为________. [答案] (-2,-1)[解析] 设点B 的坐标为(x ,y ),则有AB →=(x -2,y -3),BC →=(-x,1-y ),因为AB →=-2BC →,所以⎩⎪⎨⎪⎧x -2=2x ,y -3=-2 1-y ,解得x =-2,y =-1.14.(文)(2010·浙江宁波十校)在平行四边形ABCD 中,AB →=e 1,AC →=e 2,NC →=14AC →,BM→=12MC →,则MN →=________(用e 1,e 2表示) [答案] -23e 1+512e 2[解析] ∵NC →=14AC →=14e 2,∴CN →=-14e 2,∵BM →=12MC →,BM →+MC →=BC →=AC →-AB →=e 2-e 1,∴MC →=23(e 2-e 1),∴MN →=MC →+CN →=23(e 2-e 1)-14e 2=-23e 1+512e 2.(理)(2010·聊城市模拟)已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点,点P 满足P A →+BP →+CP →=0,AP →=λPD →,则实数λ的值为________.[答案] -2[解析] 如图,∵D 是BC 中点,将△ABC 补成平行四边形ABQC ,则Q 在AD 的延长线上,且|AQ |=2|AD |=2|DP |,∵P A →+BP →+CP →=BA →+CP →=0,∴BA →=PC →,又BA →=QC →,∴P 与Q 重合, 又∵AP →=λPD →=-2PD →,∴λ=-2.15.(文)已知四点A (x,0)、B (2x,1)、C (2,x )、D (6,2x ). (1)求实数x ,使两向量AB →、CD →共线.(2)当两向量AB →与CD →共线时,A 、B 、C 、D 四点是否在同一条直线上? [解析] (1)AB →=(x,1),CD →=(4,x ).∵AB →∥CD →,∴x 2-4=0,即x =±2. (2)当x =±2时,AB →∥CD →.当x =-2时,BC →=(6,-3),AB →=(-2,1), ∴AB →∥BC →.此时A 、B 、C 三点共线,从而,当x =-2时,A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上. 但x =2时,A 、B 、C 、D 四点不共线.(理)(2011·济南模拟)已知△ABC 中,AB →=a ,AC →=b ,对于平面ABC 上任意一点O ,动点P 满足OP →=OA →+λa +λb ,则动点P 的轨迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.[解析] 依题意,由OP →=OA →+λa +λb , 得OP →-OA →=λ(a +b ), 即AP →=λ(AB →+AC →).如图,以AB ,AC 为邻边作平行四边形ABDC ,对角线交于O , 则AP →=λAD →,∴A 、P 、D 三点共线,即P 点的轨迹是AD 所在的直线,由图可知P 点轨迹必过△ABC 边BC 的中点(或△ABC 的重心).1.(2010·新乡市模考)设平面内有四边形ABCD 和点O ,若OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,OD→=d ,且a +c =b +d ,则四边形ABCD 为( )A .菱形B .梯形C .矩形D .平行四边形[答案] D[解析] 解法一:设AC 的中点为G ,则OB →+OD →=b +d =a +c =OA →+OC →=2OG →,∴G 为BD 的中点,∴四边形ABCD 的两对角线互相平分,∴四边形ABCD 为平行四边形.解法二:AB →=OB →-OA →=b -a ,CD →=OD →-OC →=d -c =-(b -a )=-AB →, ∴AB 綊CD ,∴四边形ABCD 为平行四边形.2.(2011·银川模拟)已知a 、b 是两个不共线的向量,AB →=λa +b ,AC →=a +μb (λ,μ∈R),那么A 、B 、C 三点共线的充要条件是( )A .λ+μ=2B .λ-μ=1C .λμ=-1D .λμ=1[答案] D[解析] ∵A 、B 、C 三点共线,∴AB →与AC →共线, ∴存在t ∈R ,使AB →=tAC →, ∴λa +b =t (a +μb )=ta +tμb ,∵a ,b 不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧λ=t1=tμ,即λμ=1.3.设两个非零向量a 与b 不共线,(1)若AB →=a +b ,BC →=2a +8b ,CD →=3(a -b ).求证:A 、B 、D 三点共线; (2)试确定实数k ,使ka +b 和a +kb 共线.[解析] (1)证明:∵AB →=a +b ,BC →=2a +8b ,CD →=3(a -b ), ∴BD →=BC →+CD →=2a +8b +3(a -b ) =5(a +b )=5AB →. ∴AB →、BD →共线,又它们有公共点B ,∴A 、B 、D 三点共线. (2)解:∵ka +b 与a +kb 共线, ∴存在实数λ,使ka +b =λ(a +kb ), ∴(k -λ)a =(λk -1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量, ∴k -λ=λk -1=0,∴k 2-1=0.∴k =±1.4.已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5),向量OP →=OA →+tAB →. (1)t 为何值时,点P 在x 轴上? (2)t 为何值时,点P 在第二象限?(3)四边形ABPO 能否为平行四边形?若能,求出t 的值;若不能,说明理由. (4)求点P 的轨迹方程.[解析] ∵OP →=OA →+tAB →=(1,2)+t (3,3) =(1+3t,2+3t ), ∴P (1+3t,2+3t ).(1)∵P 在x 轴上,∴2+3t =0即t =-23.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1+3t <02+3t >0.∴-23<t <-13.(3)∵AB →=(3,3),OP →=(1+3t,2+3t ). 若四边形ABPO 为平行四边形,则AB →=OP →,∴⎩⎪⎨⎪⎧1+3t =32+3t =3,而上述方程组无解, ∴四边形ABPO 不可能为平行四边形. (4)∵OP →=(1+3t,2+3t ), 设OP →=(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧x =1+3t y =2+3t ,∴x -y +1=0为所求点P 的轨迹方程.。
5.1 平面向量的线性运算及基本定理(精练)(基础版)1.(2022·全国·高三专题练习)(多选)下面的命题正确的有( ) A .方向相反的两个非零向量一定共线 B .单位向量都相等C .若a ,b 满足||||a b >且a 与b 同向,则a b >D .“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点,且AB DC =”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” 2.(2022·全国·高三专题练习)(多选)下列说法正确的是( ) A .对于任意两个向量,a b ,若a b >,且a b 与同向,则a b > B .已知6a =,e 为单位向量,若3,4a e π<>=,则a 在e 上的投影向量为32e - C .设,m n 为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件 D .若0a b ⋅<,则a 与b 的夹角是钝角3.(2022·江苏)(多选)设a 是已知的平面向量,向量a ,b ,c 在同一平面内且两两不共线,其中真命题是( )A .给定向量b ,总存在向量c ,使a b c =+;B .给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使a b c λμ=+;C .给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使a b c λμ=+;D .若||2a =,存在单位向量b ,c 和正实数λ,μ,使a b c λμ=+,则336λμ+>.4.(2022·全国·高三专题练习)(多选)设a 是已知的平面向量且0a ≠,向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,关于向量a 的分解,下列说法正确的是( )A .给定向量b ,总存在向量c ,使a b c =+;B .给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使a b c λμ=+;C .给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使a b c λμ=+;D .给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使a b c λμ=+.题组一 概念辨析5.(2022·东莞高级中学)(多选)关于平面向量a b c ,,,下列说法中错误的是( ) A .若//a b 且//b c ,则//a c B .()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c C .若a b a c ⋅=⋅,且0a ≠,则b c =D .()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅6.(2022·全国高三专题练习)(多选)已知,,a b c →→→是三个平面向量,则下列叙述错误的是( ) A .若||||a b →→=,则a b →→=±B .若a b b c →→→→⋅=⋅,且0a →→≠,则b c →→= C .若a →∥b →,b →∥c →,则a →∥c →D .若a b →→⊥,则||||a b a b →→→→+=-7.(2022·全国·高三专题练习)给出下列命题:①若||||a b =,则a b =;①若A B C D 、、、是不共线的四点,则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;①若a b =,b c =,则a c =;①a b =的充要条件是||a ||b =且//a b ;①若//a b ,//b c ,则//a c .其中正确命题的序号是________ .1.(2022·广东)已知向量a 和b 不共线,向量AB a mb =+,53BC =+a b ,33CD =-+a b ,若A 、B 、D 三点共线,则m =( ) A .3B .2C .1D .2-2.(2022·河南省杞县)已知向量1e ,2e 不共线,123a e e =+,122b e e λ=+,若//a b ,则λ=______.3.(2021·全国)设两个非零向量a 与b 不共线,(1)若AB a b =+,28BC a b =+,()3CD a b =-,求证:A ,B ,D 三点共线; (2)试确定实数k ,使ka b +和k +a b 共线. 1.(2022·黑龙江·哈尔滨三中)ABC 中,E 是边BC 上靠近B 的三等分点,则向量AE =( ) A .1133AB AC +B .1233AB AC +C .2133AB AC +D .2233AB AC +2.(2022·全国·模拟预测)在平行四边形ABCD 中,设CB a =,CD b =,E 为AD 的中点,CE 与BD 交于F ,题组二 共线定理题组三 平面向量的基本定理则AF =( ) A .23a b+-B .23a b+-C .23a b--D .23a b--3(2022·全国·高三专题练习)如图平面四边形ABCD 中,3,3AD AE BC BF ==,则EF 可表示为( )A .1133AB DC +B .2233AB DC + C .1233AB DC +D .2133AB DC +4.(2022·山东潍坊·模拟预测)在平行四边形ABCD 中,,M N 分别是,AD CD 的中点,BM a =,BN b =,则BD =( ) A .3243a b +B .2233ab C .2334a b +D .3344a b +5.(2022·全国·高三专题练习)在ABC 中,点D 在边AB 上,2BD DA =.记CA m CD n ==,,则CB =( ) A .32m n -B .23m n -+C .32m n +D .23m n +6.(2022·全国·高三专题练习)在等边ABC 中,O 为重心,D 是OB 的中点,则AD =( ) A .AB AC +B .2132AB AC +C .1124AB AC +D .2136AB AC +7.(2022·河南)在△ABC 中,2BD DC =,M 为AD 的中点,BM xBA yBC =+,则x y +=( ) A .56B .12C .1D .238.(2022·全国·高三专题练习)已知点P 是ABC 所在平面内一点,且0PA PB PC ++=,则( ) A .1233PA BA BC =-+B .2133=-+PA BA BCC .1233PA BA BC =--D .2133PA BA BC =- 9.(2022·云南·一模(理))在ABC 中,D 是直线AB 上的点.若2BD CB CA λ=+,记ACB △的面积为1S ,ACD △的面积为2S ,则12S S =( ) A .6λ B .2λ C .13D .2310.(2022·辽宁沈阳·二模)(多选)如图,在44⨯方格中,向量a ,b ,c的始点和终点均为小正方形的顶点,则( )A .a b =B .a b c +=C .a b ⊥D .a c b c ⋅≠⋅11.(2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测)(多选)在ABC 中,D 为BC 中点,且2AE ED =,则( ) A .2136CE CA CB =+B .1133CE CA CB =+C .CE ①()CA CB +D .CE ⊥()CA CB -12.(2022·全国·模拟预测)(多选)如图,直角三角形ABC 中,D ,E 是边AC 上的两个三等分点,G 是BE 的中点,直线AG 分别与BD , BC 交于点F ,H 设AB a =,AC b =,则( )A .1123AG a b =+ B .1136AF a b =+C .1123EG a b =- D .3255AH a b =+13.(2022·全国·高三专题练习)在三角形ABC 中,点D 在边BC 上,若2BD DC =,AD AB AC λμ=+(),λμ∈R ,则λμ-=______.14.(2022·全国·高三专题练习)在边长为4的等边ABC 中,已知23AD AB =,点P 在线段CD 上,且12AP mAC AB =+,则AP =________. 15.(2022·浙江·模拟预测)在平行四边形ABCD 中,12,cos 2AB BAD =∠=,E 、F 是边BC ,CD 上的点,12BE BC =,23CF CD =,若8AE BF ⋅=,则平行四边形的面积为_________. 16.(2022·全国·高三专题练习)等腰直角ABC 中,点P 是斜边BC 边上一点,若AP =4AB AB+AC AC,则ABC的面积为______17.(2022·全国·高三专题练习)已知1344AM AB AC =+,则ABM ∆与ABC ∆的面积之比为_______ 题组四 数量积1.(2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测)在ABC 中,3AB AC ==,2BD DC =.若4AD BC ⋅=,则AB AC ⋅=( ). A .3B .3-C .2D .2-2.(2022·全国·高三专题练习)已知①ABC 中,60A ∠=,AB =4,AC =6,且2CM MB =,AN NB =,则AC NM ⋅=( ) A .12B .14C .16D .183.(2022·全国·高三专题练习)已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠=,则DB CD ⋅=( ) A .232a -B .234a -C .234aD .232a4.(2022·全国·高三专题练习)如图,ABC 中,π3BAC ∠=,2AD DB =,P 为CD 上一点,且满足12AP mAC AB =+,若AC =3,AB =4,则AP CD ⋅的值为( ) A .125B .512C .1312D .12135.(2022·陕西·交大附中)已知在平行四边形ABCD 中,11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====则AC DB ⋅值为__________.6.(2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习)已知等边ABC 的边长为6,平面内一点P 满足1123CP CB CA =+,则PA PB ⋅=____________.7.(2022·天津·模拟预测)已知菱形ABCD 的边长为4,E 是BC 的中点,则AE ED →→⋅=______. 8.(2022·全国·高三专题练习)如图,1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒=,则AD AB ⋅=_________1.(2022·山东烟台·三模)如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ,P 为圆O 上任一点,若AP xAB y AC =+,则22x y +的最大值为( )A .83B .2C .43D .12.(2022·全国·高三专题练习)边长为2的正三角形ABC 内一点M (包括边界)满足:1()3CM CA CB R λλ=+∈,则CA BM ⋅的取值范围是( ) A .42,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .44,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .[2,2]-3.(2022·全国·高三专题练习)在①ABC 中,M 为边BC 上任意一点,N 为AM 中点,且满足AN AB AC λμ=+,则22λμ+的最小值为( ) A .116B .14C .18D .14.(2022·全国·高三专题练习)已知圆O 的半径为2,A 为圆内一点,12OA =,B ,C 为圆O 上任意两点,则AC BC ⋅的取值范围是( ) A .1,68⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .[1,6]-C .1,108⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .[]1,10题组五 取值范围5.(2022·全国·高三专题练习)已知线段AB 是圆22:4C x y +=的一条动弦,且23AB =,若点P 为直线40x y +-=上的任意一点,则PA PB +的最小值为( )A .221-B .221+C .422-D .422+6(2022·全国·高三专题练习)在ABC ∆中,3A π=,2AB =,1AC =.D 是BC 边上的动点,则AD BC ⋅的取值范围是( ) A .[]3,0-B .3,0⎡⎤-⎣⎦C .[]1,2-D .1,3⎡⎤-⎣⎦7.(2022·天津·高三专题练习)如图,在菱形ABCD 中,2AB =,60BAD ︒∠=,,E F 分别为,BC CD 上的点,2,2CE EB CF FD ==,若线段EF 上存在一点M ,使得()12AM k AB AD x R →→→=+∈,则k =_______,若点N 为线段BD 上一个动点,则AN MN ⋅的取值范围为_______.8.(2022·广东·金山中学高三阶段练习)如图,在ABC 中,13BD BC =,点E 在线段AD 上移动(不含端点),若AE AB AC λμ=+,则λμ=___________,2λμ-的最小值为___________.1.(2022·全国·高三专题练习)若G 是ABC 的各边中线交点,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若330aGA bGB cGC ++=,则角A =( )A .90︒B .60︒C .45︒D .302.(2022·全国·高三专题练习)如图所示,已知点G 是ABC 的重心,过点G 作直线分别与AB ,AC 两边交题组六 平面向量与其他知识的综合运用于M ,N 两点(点N 与点C 不重合),设AB xAM =,AC y AN =,则111x y +-的最小值为( )A .2B .12+C .32D .222+3.(2022·江苏省木渎高级中学模拟预测)如图所示,ABC 2,60AB ABC =∠=︒,AD 为BC 边上的高,M 为AD 的中点,若AM AB AC λμ=+,则2λμ+的值为( )A .23-B .12C .23D .534.(2022·江苏·南京师大附中模拟预测)在边长为2的等边ABC 中,D 为线段BC 上的动点,DE AB ⊥且交AB 于点E ,DF AB ∥且交AC 于点F ,则2BE DF +的值为( ) A .1B .32C .2D .525(2022·全国·高三专题练习)在①ABC 中,点D 满足AD =1162AB AC +,直线AD 与BC 交于点E ,则CE CB 的值为( ) A .12B .13C .14D .156.(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知ABC 是半径为2的圆O 的内接三角形,则下列说法正确的是( ) A .若角π3C =,则12AB AO ⋅= B .若20OA AB AC ++=,则||4BC =C .若||OA OB OA OB -=⋅,则OA ,OB 的夹角为π3D .若2()||BC BA AC AC +⋅=,则AB 为圆O 的一条直径7.(2022·江苏·高三专题练习)(多选)若点O 是线段BC 外一点,点P 是平面上任意一点,且OP OB OCλμ=+(λ,μ①R ),则下列说法正确的有( ) A .若λ+μ=1且λ>0,则点P 在线段BC 的延长线上 B .若λ+μ=1且λ<0,则点P 在线段BC 的延长线上 C .若λ+μ>1,则点P 在①OBC 外 D .若λ+μ<1,则点P 在①OBC 内8.(2022·山西大附中三模(理))如图,已知点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点,点*(N )n G n ∈在线段BD 上,且满足12(23)n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+⋅,其中数列{}n a 是首项为1的数列,则数列{}n a 的通项公式为_____________5.1 平面向量的线性运算及基本定理(精练)(基础版)1.(2022·全国·高三专题练习)(多选)下面的命题正确的有( ) A .方向相反的两个非零向量一定共线 B .单位向量都相等C .若a ,b 满足||||a b >且a 与b 同向,则a b >D .“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点,且AB DC =”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” 【答案】AD【解析】对于A ,由相反向量的概念可知A 正确;对于B ,任意两个单位向量的模相等,其方向未必相同,故B 错误; 对于C ,向量之间不能比较大小,只能比较向量的模,故C 错误; 对于D ,若A 、B 、C 、D 是不共线的四点,且AB DC =, 可得//AB DC ,且AB DC =,故四边形ABCD 是平行四边形; 若四边形ABCD 是平行四边形,可知//AB DC ,且AB DC =, 此时A 、B 、C 、D 是不共线的四点,且AB DC =,故D 正确.故选:AD. 2.(2022·全国·高三专题练习)(多选)下列说法正确的是( ) A .对于任意两个向量,a b ,若a b >,且a b 与同向,则a b > B .已知6a =,e 为单位向量,若3,4a e π<>=,则a 在e 上的投影向量为32e - C .设,m n 为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件 D .若0a b ⋅<,则a 与b 的夹角是钝角 【答案】BC【解析】选项A :向量是既有大小又有方向的量,但不能比较大小,故选项A 错误; 选项B :a 在单位向量e 上的投影向量为()2cos ,6322a a e e e e ⎛⎫<>=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭,故选项B 正确;选项C :若存在负数λ,使得λ=m n ,则220m n n n λλ⋅==<;若0m n ⋅<,则向量m 与n 的夹角为钝角或180︒,故选项C 正确;题组一 概念辨析选项D :若0a b ⋅<,则a 与b 的夹角是钝角或180︒角,故选项D 错误;故选:BC.3.(2022·江苏)(多选)设a 是已知的平面向量,向量a ,b ,c 在同一平面内且两两不共线,其中真命题是( )A .给定向量b ,总存在向量c ,使a b c =+;B .给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使a b c λμ=+;C .给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使a b c λμ=+;D .若||2a =,存在单位向量b ,c 和正实数λ,μ,使a b c λμ=+,则336λμ+>. 【答案】ABD【解析】对于选项A ,给定向量a 和b ,只需求得其向量差a b -即为所求的向量c ,故总存在向量c ,使a b c =+,故A 正确;对于选项B ,当向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线时,向量b ,c 可作基底,由平面向量基本定理可知结论成立,故B 正确;对于选项C ,取(4,4),2,(1,0)a b μ===,无论λ取何值,向量b λ都平行于x 轴,而向量c μ的模恒等于2,要使a b c λμ=+成立,根据平行四边形法则,向量c μ的纵坐标一定为4,故找不到这样的单位向量c 使等式成立,故C 错误; 对于选项D ,2222()2cos ,4a b c b c λμλμλμ=+=++<>=,又b ,c 不共线,2224λμλμ∴++>,即2()4λμ+>,即2λμ+>,33λμ+≥=λμ=时等号成立),236>⨯=,得336λμ+>,故D 正确故选:ABD .4.(2022·全国·高三专题练习)(多选)设a 是已知的平面向量且0a ≠,向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,关于向量a 的分解,下列说法正确的是( ) A .给定向量b ,总存在向量c ,使a b c =+;B .给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使a b c λμ=+;C .给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使a b c λμ=+;D .给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使a b c λμ=+. 【答案】AB【解析】对于A ,给定向量b ,总存在向量ca b ,使a b c =+,故A 正确;对于B ,因为向量,,a b c 在同一平面内且两两不共线,由平面向量基本定理可得: 总存在实数λ和μ,使a b c λμ=+,故B 正确;对于C ,设(0,4)a =,给定(1,0),1b μ==,则不存在单位向量c 和实数λ,使a b c λμ=+,故C 错误; 对于D , 设(0,4)a =,给定1,1λμ==,则不存在单位向量b 和单位向量c ,使a b c λμ=+,故D 错误. 故选:AB .5.(2022·东莞高级中学)(多选)关于平面向量a b c ,,,下列说法中错误的是( ) A .若//a b 且//b c ,则//a c B .()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c C .若a b a c ⋅=⋅,且0a ≠,则b c = D .()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅【答案】ACD【解析】A.若向量0b =,则,a c 不一定平行,故错误; B.根据向量的运算律可知,B 正确;C. ()0a b a c a b c ⋅=⋅⇔⋅-=,且0a ≠,所以b c =或()a b c ⊥-,故错误;D.()a b c ⋅⋅表示与向量c 共线的向量,()a b c ⋅⋅表示与向量a 共线的向量,()a b c ⋅⋅与()a b c ⋅⋅不一定相等,故错误. 故选:ACD6.(2022·全国高三专题练习)(多选)已知,,a b c →→→是三个平面向量,则下列叙述错误的是( ) A .若||||a b →→=,则a b →→=±B .若a b b c →→→→⋅=⋅,且0a →→≠,则b c →→= C .若a →∥b →,b →∥c →,则a →∥c →D .若a b →→⊥,则||||a b a b →→→→+=-【答案】ABC 【解析】对A ,,a b →→不一定共线,故A 错误;对B ,平面向量的数量积没有消去律,故B 错误; 对C ,若0b →→=,则,a c →→的方向是任意的,故C 错误;对D ,2222220a b a b a b a b a b a b a b +=-⇔++⋅=+-⋅⇔⋅=,故D 正确.故选:ABC.7.(2022·全国·高三专题练习)给出下列命题:①若||||a b =,则a b =;①若A B C D 、、、是不共线的四点,则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;①若a b =,b c =,则a c =;①a b =的充要条件是||a ||b =且//a b ;①若//a b ,//b c ,则//a c .其中正确命题的序号是________ .【答案】①①【解析】对于①,两个向量的长度相等,不能推出两个向量的方向的关系,故①错误;对于①,因为A ,B ,C ,D 是不共线的四点,且AB DC = 等价于//AB DC 且AB DC =,即等价于四边形ABCD 为平行四边形,故①正确;对于①,若a b =,b c =,则a c =,显然正确,故①正确;对于①,由a b =可以推出||||a b =且//a b ,但是由||||a b =且//a b 可能推出a b =-,故“||||a b =且//a b ”是“a b =”的必要不充分条件,故①不正确,对于①,当0b =时,//a b ,//b c ,但推不出//a c ,故①不正确.故答案为:①① 1.(2022·广东)已知向量a 和b 不共线,向量AB a mb =+,53BC =+a b ,33CD =-+a b ,若A 、B 、D 三点共线,则m =( ) A .3 B .2 C .1 D .2-【答案】A【解析】因为A 、B 、D 三点共线, 所以存在实数λ,使得BD AB λ=, 26BD BC CD a b =+=+,所以26a b a m b λλ+=+,∴26m λλ=⎧⎨=⎩,解得3m =.故选:A .题组二 共线定理2.(2022·河南省杞县)已知向量1e ,2e 不共线,123a e e =+,122b e e λ=+,若//a b ,则λ=______. 【答案】6【解析】因为123a e e =+,122b e e λ=+且a b ∥, 所以存在t ∈R ,使得a tb =,即()121232e e t e e λ+=+,因为1e ,2e 不共线,所以21,3,t t λ=⎧⎨=⎩解得12t =,6λ=.故答案为:6.3.(2021·全国)设两个非零向量a 与b 不共线,(1)若AB a b =+,28BC a b =+,()3CD a b =-,求证:A ,B ,D 三点共线; (2)试确定实数k ,使ka b +和k +a b 共线. 【答案】(1)证明见解析;(2)1k =±. 【解析】(1)证明:AB a b =+,28BC a b =+,()3CD a b =-,()283BD BC CD a b a b ∴=+=++-()283355a b a b a b AB =++-=+=AB ∴,BD 共线,又∵它们有公共点B , ∴A ,B ,D 三点共线. (2)ka b +和k +a b 共线, ∴存在实数λ,使()ka b a kb λ+=+, 即ka b a kb λλ+=+,()()1k a k b λλ∴-=-.a ,b 是两个不共线的非零向量,10k k λλ∴-=-=210k ∴-=,1k ∴=±.1.(2022·黑龙江·哈尔滨三中)ABC 中,E 是边BC 上靠近B 的三等分点,则向量AE =( ) A .1133AB AC +B .1233AB AC +C .2133AB AC +D .2233AB AC +【答案】C【解析】因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点,所以13BE BC =,题组三 平面向量的基本定理所以1121()3333AE AB BE AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+;故选:C.2.(2022·全国·模拟预测)在平行四边形ABCD 中,设CB a =,CD b =,E 为AD 的中点,CE 与BD 交于F ,则AF =( ) A .23a b+-B .23a b+-C .23a b--D .23a b--【答案】B【解析】如下图所示,连接AC 与BD 交于O ,则O 为AC 的中点,因为E 为AD 的中点, 所以F 为三角形ACD 的重心,所以()()112333a bAF AC AD a b a +=+=---=-.故选:B. 3(2022·全国·高三专题练习)如图平面四边形ABCD 中,3,3AD AE BC BF ==,则EF 可表示为( )A .1133AB DC +B .2233AB DC + C .1233AB DC +D .2133AB DC +【答案】D 【解析】①3,3AD AE BC BF ==, ①20,20EA ED BF CF +=+=,①,2222EF EA AB BF EF EA AB BF =++=++, 又EF ED DC CF =++,①32222EF EA AB BF ED DC CF AB DC =+++++=+,即2133EF AB DC =+.故选:D. 4.(2022·山东潍坊·模拟预测)在平行四边形ABCD 中,,M N 分别是,AD CD 的中点,BM a =,BN b =,则BD =( ) A .3243a b +B .2233ab C .2334a b +D .3344a b +【答案】B【解析】如图所示,设,AB m AD n ==,且BD xa yb =+,则1111()()()()2222BD xa yb x n m y n m x y n x y m =+=⋅-+⋅-=+--,又因为BD n m =-,所以112112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得22,33x y ==,所以2233BD a b =+.故选:B.5.(2022·全国·高三专题练习)在ABC 中,点D 在边AB 上,2BD DA =.记CA m CD n ==,,则CB =( ) A .32m n - B .23m n -+ C .32m n + D .23m n +【答案】B【解析】因为点D 在边AB 上,2BD DA =,所以2BD DA =,即()2CD CB CA CD -=-, 所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+.故选:B .6.(2022·全国·高三专题练习)在等边ABC 中,O 为重心,D 是OB 的中点,则AD =( )A .AB AC + B .2132AB AC + C .1124AB AC + D .2136AB AC +【答案】D【解析】O 为ABC 的重心,延长AO 交BC 于E ,如图,E 为BC 中点,则有2211()()3323AO AE AB AC AB AC ==⋅+=+,而D 是OB 的中点, 所以111121()222636AD AB AO AB AB AC AB AC =+=++=+.故选:D 7.(2022·河南)在△ABC 中,2BD DC =,M 为AD 的中点,BM xBA yBC =+,则x y +=( ) A .56B .12C .1D .23【答案】A【解析】取,BA BC 为基底.利用向量的线性运算可得:1111()2223BM BA AD BA BD BA BA BC =+=+-=+, 所以1123x y ==,,所以x y +=56.故选:A8.(2022·全国·高三专题练习)已知点P 是ABC 所在平面内一点,且0PA PB PC ++=,则( ) A .1233PA BA BC =-+B .2133=-+PA BA BCC .1233PA BA BC =--D .2133PA BA BC =- 【答案】D【解析】由题意,PA BA PB -=,PA AC PC +=,而 0PA PB PC ++=, 所以30PA BA AC -+=,又AC BC BA =-,即320PA BA BC -+=, 所以2133PA BA BC =-.故选:D.9.(2022·云南·一模(理))在ABC 中,D 是直线AB 上的点.若2BD CB CA λ=+,记ACB △的面积为1S ,ACD △的面积为2S ,则12S S =( )A .6λ B .2λ C .13D .23【答案】D【解析】依题意作上图,设()BD BA CA CB CB CA μμμμ==-=-+ , 由条件122BD CB CA λ=+ ,①12μ=- ,122λμ==- ,12BD BA =-,①点D 在AB 的延长线上,并且32AD AB = , ①1223S AB S AD == , 故选:D. .10.(2022·辽宁沈阳·二模)(多选)如图,在44⨯方格中,向量a ,b ,c 的始点和终点均为小正方形的顶点,则( )A .a b =B .a b c +=C .a b ⊥D .a c b c ⋅≠⋅【答案】BC【解析】如图所示,向量a 与向量b 方向不同,所以a b ≠,故A 不正确,作向量a 与向量b ,可得a b c +=,且a b ⊥,故B 与C 正确,连接BD ,则AC 与BD 互相垂直,所以向量a 与向量b 在向量c 上的射影的数量是相同的, 所以a c b c =⋅⋅,故D 不正确. 故选:BC.11.(2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测)(多选)在ABC 中,D 为BC 中点,且2AE ED =,则( ) A .2136CE CA CB =+B .1133CE CA CB =+C .CE ①()CA CB + D .CE ⊥()CA CB -【答案】BC【解析】因为2AE ED =,则,,A E D 三点共线,且2AE ED =, 又因为AD 为中线,所以点E 为ABC 的重心,连接CE 并延长交AB 于F ,则F 为AB 的中点,所以22111()33233CE CF CA CB CA CB ==⨯+=+,所以CE ①()CA CB +故选:BC .12.(2022·全国·模拟预测)(多选)如图,直角三角形ABC 中,D ,E 是边AC上的两个三等分点,G 是BE 的中点,直线AG 分别与BD , BC 交于点F ,H 设AB a =,AC b =,则( )A .1123AG a b =+ B .1136AF a b =+C .1123EG a b =-D .3255AH a b =+【答案】ACD【解析】以A 为坐标原点,分别以AC ,AB 的方向为x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系, 设AB a ,AC b =,则()0,0A ,,03b D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2,03b E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(),0C b ,()0,B a ,,32b a G ⎛⎫⎪⎝⎭.又F 为ABE △的重心,则2,93b a F ⎛⎫⎪⎝⎭,直线AG 的方程为32a y x b =,直线BC 的方程为1x y b a +=, 联立解得23,55H b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则,32b a AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2,93b a AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,32b a EG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,23,55AH b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭因为()0,a AB a ==,(),0b AC b ==,所以1123AG a b =+,1239AF a b =+,1123EG a b =-,3255AH a b =+.故选:ACD .13.(2022·全国·高三专题练习)在三角形ABC 中,点D 在边BC 上,若2BD DC =,AD AB AC λμ=+(),λμ∈R ,则λμ-=______.【答案】13-【解析】由已知2BD DC =,得()2233BD BC AC AB ==-,所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++, 因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R ,所以13λ=,23μ=,所以121333λμ-=-=-.故答案为:13-14.(2022·全国·高三专题练习)在边长为4的等边ABC 中,已知23AD AB =,点P 在线段CD 上,且12AP mAC AB =+,则AP =________.【解析】因为23AD AB =,所以32AB AD =,又12AP mAC AB =+,即1324AP mAC AB mAC AD =+=+,因为点P 在线段CD 上, 所以P ,C ,D 三点共线,由平面向量三点共线定理得,314m +=,即14m =,所以1142AP AC AB =+,又ABC 是边长为4的等边三角形, 所以222211111cos60421644AP AC AB AC AC AB AB ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=,故7AP =15.(2022·浙江·模拟预测)在平行四边形ABCD 中,12,cos 2AB BAD =∠=,E 、F 是边BC ,CD 上的点,12BE BC =,23CF CD =,若8AE BF ⋅=,则平行四边形的面积为_________.【答案】【解析】如图,12AE AB AD =+,23BF AD AB =-,所以221228233AE BF AD AB AD AB →→⋅=+⋅-=,即2128||||8233AD AD →→+-=,解得||4AD →=或16||3AD →=-(舍去),所以平行四边形的面积为sin 24S AB AD BAD =⋅⋅∠=⨯=故答案为:16.(2022·全国·高三专题练习)等腰直角ABC 中,点P 是斜边BC 边上一点,若AP =4AB AB+AC AC,则ABC的面积为______ 【答案】252【解析】如图,由于AP =4AB AB+AC AC,所以4,||||AB ACAE AF AB AC ==, 则4,1AE AF ==,所以在等腰直角ABC 中,1PE =,1BE = ,所以5AB =, 即腰长为5,故ABC 的面积1255522S =⨯⨯=.故答案为:252. 17.(2022·全国·高三专题练习)已知1344AM AB AC =+,则ABM ∆与ABC ∆的面积之比为_______ 【答案】3:4 【解析】1344AM AB AC =+, ∴点M 在ABC ∆的边BC 上:有:3:1BM MC =,∴||3||4ABMABCS BM SBC ∆∆==. 故答案为:3:4. 1.(2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测)在ABC 中,3AB AC ==,2BD DC =.若4AD BC ⋅=,则AB AC ⋅=( ). A .3 B .3- C .2 D .2-【答案】B【解析】由题意可得2()()()()43AD BC AB BD AC AB AB BC AC AB ⋅=+⋅-=+⋅-=,即212[()]()()()4333AB AC AB AC AB AB AC AC AB +-⋅-=+⋅-=,即221214333AB AC AB AC -+-⋅=,即2139433AB AC -+⨯-⋅=,解得3AB AC ⋅=-,故选:B2.(2022·全国·高三专题练习)已知①ABC 中,60A ∠=,AB =4,AC =6,且2CM MB =,AN NB =,则AC NM ⋅=( ) A .12 B .14 C .16 D .18【答案】B【解析】1cos 46122AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⨯⨯=, 题组四 数量积且()111111232363NM NB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 所以:2111111||123614636363AC NM AC AB AC AB AC AC ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.故选:B.3.(2022·全国·高三专题练习)已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠=,则DB CD ⋅=( ) A .232a -B .234a -C .234aD .232a 【答案】A【解析】,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=,则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=-.故选:A.4.(2022·全国·高三专题练习)如图,ABC 中,π3BAC ∠=,2AD DB =,P 为CD 上一点,且满足12AP mAC AB =+,若AC =3,AB =4,则AP CD ⋅的值为( ) A .125B .512C .1312D .1213【答案】C【解析】 2AD DB =, 32AB AD ∴=∴ 1324AP mAC AB mAC AD =+=+,,C P D 三点共线,31144m m ∴+=⇒= 1142AP AC AB ∴=+ ,又23CD AD AC AB AC =-=- 112()()423AP CD AC AB AB AC ∴=+-22111343AB AC AB AC =--22111πcos3433AB AC AB AC =--1111169433432=⨯-⨯-⨯⨯⨯ 1312= 故选:C 5.(2022·陕西·交大附中)已知在平行四边形ABCD 中,11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====则AC DB ⋅值为__________. 【答案】94【解析】由题设可得如下图:,AC AD DC DB DC CB =+=+,而AD CB =-,所以22D AC DB C CB ⋅=-, 又11,,2,622DE EC BF FC AE AF ==== 所以1313AE AD DE BC DC AF AB BF DC BC ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩,则22222143921639BC BC DC DC DC BC DC BC ⎧+⋅+=⎪⎪⎨⎪+⋅+=⎪⎩,故228()29DC BC -=,可得2294DC BC -=,即94AC DB =⋅.故答案为:946.(2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习)已知等边ABC 的边长为6,平面内一点P 满足1123CP CB CA =+,则PA PB ⋅=____________. 【答案】8-【解析】因1123CP CB CA =+,则2111,3232PA CA CP CA CB PB CB CP CA CB =-=-=-=-+,等边ABC 的边长为6,则||||cos 66cos 6018CA CB CA CB C ⋅==⨯=,所以222111211()()3232942PA PB CA CB CA CB CA CB CA CB ⋅=-⋅-+=--+⋅8998=--+=-.故答案为:8-7.(2022·天津·模拟预测)已知菱形ABCD 的边长为4,E 是BC 的中点,则AE ED →→⋅=______. 【答案】12-【解析】依题意1122AE AB BC AB AD →→→→→=+=+,1122ED EC CD BC BA AB AD →→→→→→→=+=+=-+,因为菱形ABCD 的边长为4.所以222211441244AE ED AD AB →→→→⋅=-=⨯-=-.故答案为:12-8.(2022·全国·高三专题练习)如图,1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒=,则AD AB ⋅=_________【答案】23【解析】因为1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒=,所以()22=+=++==-AD AC CD AC AC CD DB AB AD , 即1233AD AC AB =+,所以21212233333⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭AD AB AC AB AB AC AB AB ,故答案为:231.(2022·山东烟台·三模)如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ,P 为圆O 上任一点,若AP xAB y AC =+,则22x y +的最大值为( )A .83B .2C .43D .1【答案】A 【解析】作BC 的平行线与圆相交于点P ,与直线AB 相交于点E ,与直线AC 相交于点F ,题组五 取值范围设AP AE AF λμ=+,则1λμ+=, ①BC//EF ,①设AE AF k AB AC ==,则4[0,]3k ∈ ①,AE k AB AF k AC ==,AP AE AF k AB k AC λμλμ=+=+ ①,x k y k λμ==①22x y=+8223k k λμ+=≤()故选:A.2.(2022·全国·高三专题练习)边长为2的正三角形ABC 内一点M (包括边界)满足:1()3CM CA CB R λλ=+∈,则CA BM ⋅的取值范围是( ) A .42,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .44,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .[2,2]-【答案】B【解析】因为点M 在ABC 内部(包括边界),所以203λ≤≤, 由1()3CA BM CA BC CM CA BC CA CB λ⎛⎫⋅=⋅+=⋅++ ⎪⎝⎭4222222,3333λλ⎡⎤=-++=-+∈-⎢⎥⎣⎦.故选:B.3.(2022·全国·高三专题练习)在①ABC 中,M 为边BC 上任意一点,N 为AM 中点,且满足AN AB AC λμ=+,则22λμ+的最小值为( ) A .116B .14C .18D .1【答案】C 【解析】在①ABC 中,M 为边BC 上任意一点,则BM tBC t AC t AB ==-, 于是得111()2222t t AN AM AB BM AB AC -==+=+,而AN AB AC λμ=+,且AB 与AC 不共线, 则1,22t t λμ-==,即有12λμ=-,因此,2222211()224λμμμμμ+=-+=-+21112()488μ=-+≥, 当且仅当14λμ==时取“=”,此时M 为BC 中点,所以22λμ+的最小值为18.故选:C4.(2022·全国·高三专题练习)已知圆O 的半径为2,A 为圆内一点,12OA =,B ,C 为圆O 上任意两点,则AC BC ⋅的取值范围是( ) A .1,68⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .[1,6]-C .1,108⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .[]1,10【答案】C【解析】如图,连接OA ,OC , 设θ为OA 和BC 的夹角.则()AC BC OC OA BC OC BC OA BC ⋅=-⋅=⋅-⋅ cos cos OC BC BCO OA BC θ=⋅∠-⋅()211cos 22BC BC θ=-且222111111cos 222222BC BC BC BC BC BC θ-≤-≤+, 222211111111cos 22822228BC BC BC BC θ⎛⎫⎛⎫-+≤-≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由[0,4]BC ∈,当12BC =时,AC BC ⋅有最小值18-; 当4BC =时,AC BC ⋅有最大值为10.故选:C.5.(2022·全国·高三专题练习)已知线段AB 是圆22:4C x y +=的一条动弦,且AB =P 为直线40x y +-=上的任意一点,则PA PB +的最小值为( )A .1B .1C .2D .2【答案】C【解析】取AB 中点为M ,连接PM ,OM ,因为AB 是圆22:4C x y +=的一条动弦,且AB =所以1OM =,又2PA PB PM +=,PM OM OP +≥,即1PM OP ≥-因此,PA PB +取最小值,即是PM 取最小值,所以只需OP 取最小, 又点P 为直线40x y +-=上的任意一点, 所以点O 到直线40x y +-=的距离,即是min OP ,即min OP ==因此minmin 11PMOP =-=,即min min22PA PB PM +==.故选:C.6(2022·全国·高三专题练习)在ABC ∆中,3A π=,2AB =,1AC =.D 是BC 边上的动点,则AD BC ⋅的取值范围是( )A .[]3,0-B .⎡⎤⎣⎦C .[]1,2-D .⎡-⎣【答案】A【解析】设[],0,1BD tBC t =∈,所以AD AB BD AB tBC =+=+ 又BC AC AB =-,可知()1AD t AB t AC =-+ 所以()()1AD BC t AB t AC AC AB ⎡⎤⋅=-+⋅-⎣⎦化简可得()()22112AD BC t AB t AC t AB AC ⋅=-++-⋅ 又3A π=,2AB =,1AC =所以1cos 2112AB AC AB AC A ⋅==⨯⨯=则()4112AD BC t t t ⋅=-++-即33AD BC t ⋅=-,[]0,1t ∈ 又33AD BC t ⋅=-在[]0,1t ∈递增所以()min3033AD BC⋅=⨯-=-()max3130AD BC ⋅=⨯-=故[]3,0AD BC ⋅∈-故选:A7.(2022·天津·高三专题练习)如图,在菱形ABCD 中,2AB =,60BAD ︒∠=,,E F 分别为,BC CD 上的点,2,2CE EB CF FD ==,若线段EF 上存在一点M ,使得()12AM k AB AD x R →→→=+∈,则k =_______,若点N 为线段BD 上一个动点,则AN MN ⋅的取值范围为_______.【答案】56371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意,设EM EF λ=,根据向量的线性运算, 可得112()333AM AB BE EM AB AD EF AB AD AD AB λλ=++=++=++- 2121(1)()3332AB AD k AB AD =-++=+λλ,则213121332k λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得5614k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以5162AM AB AD =+,若点N 为线段BD 上一个动点,如图,设DN xDB =,[0,1]x ∈,22cos602AB AD ⋅=⨯⨯︒=,()(1)AN AD DN AD xDB AD x AB AD xAB x AD =+=+=+-=+-,5151(1)()()()6262MN AN AM xAB x AD AB AD x AB x AD =-=+--+=-+-,51(1)()()62AN MN xAB x AD x AB x AD ⎡⎤⎡⎤⋅=+-⋅-+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦225151()()(1)()(1)()6262x x AB x x x x AB AD x x AD ⎡⎤=-+-+--⋅+--⎢⎥⎣⎦2214173744331236x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭,因为[0,1]x ∈,所以371,363AN MN ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为: 56;371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.8.(2022·广东·金山中学高三阶段练习)如图,在ABC 中,13BD BC =,点E 在线段AD 上移动(不含端点),若AE AB AC λμ=+,则λμ=___________,2λμ-的最小值为___________. 【答案】 2 116-【解析】因为在ABC 中,13BD BC =,所以1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,即2133AD AB AC =+.因为点E 在线段AD 上移动(不含端点),所以设(01)AE xAD x =<<. 所以233x x AE AB AC =+,对比AE AB AC λμ=+可得2=,33x x λμ=.代入2=,33x xλμ=,得2323xx λμ==;代入2=,33x x λμ=可得22224=33(0931)x x x x x λμ⎛⎫--=- <⎝<⎪⎭,根据二次函数性质知当1334829x -=-=⨯时,()22min 43131=983816λμ⎛⎫-⨯-⨯=- ⎪⎝⎭.故答案为:12;16- 1.(2022·全国·高三专题练习)若G 是ABC 的各边中线交点,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若330aGA bGB cGC ++=,则角A =( )A .90︒B .60︒C .45︒D .30【答案】D【解析】G 是ABC ∆的各边中线交点,G ∴是ABC ∆的重心,0GA GB GC ∴++=,330aGA bGB cGC ++=,则有33c b a ∴==,设a t =,则b t =,3c t =,则有2223cos 22b c a A bc +-==,则30A =︒,故选:D . 2.(2022·全国·高三专题练习)如图所示,已知点G 是ABC 的重心,过点G 作直线分别与AB ,AC 两边交于M ,N 两点(点N 与点C 不重合),设AB xAM =,AC y AN =,则111x y +-的最小值为( )题组六 平面向量与其他知识的综合运用A .2B .12+C .32D .2+【答案】A【解析】G 为ABC 的重心,∴21()32AG AB AC =⨯+1()3xAM yAN =+ 又G 在线段MN 上,∴11133x y +=3x y ∴+=(1)2x y ∴+-=∴11111[(1)]()121x y x y x y +=+-+--11(11)21x y y x-=+++-1(22)22+=故选:A .3.(2022·江苏省木渎高级中学模拟预测)如图所示,ABC 2,60AB ABC =∠=︒,AD 为BC 边上的高,M 为AD 的中点,若AM AB AC λμ=+,则2λμ+的值为( )A .23-B .12C .23D .53【答案】C【解析】1sin 2ABCSAB BC ABC =⋅⋅∠==3BC =, 因为AD 为BC 边上的高,所以1sin 13BD AB ABC BC =∠==,因为M 为AD 的中点,所以()11112223AM AD AB BD AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭()11112336AB AC AB AB AC ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦,又因为AM AB AC λμ=+,所以11,36λμ==,所以223λμ+=.故选:C.4.(2022·江苏·南京师大附中模拟预测)在边长为2的等边ABC 中,D 为线段BC 上的动点,DE AB ⊥且交AB 于点E ,DF AB ∥且交AC 于点F ,则2BE DF +的值为( ) A .1 B .32C .2D .52【答案】C【解析】如图,作DG AC ∥交AB 于点G ,则BDG 为等边三角形,又DE AB ⊥,则2BG BE =,又DF AB ∥,则四边形GDFA 为平行四边形,则DF GA =,则22BE DF BG GA BA +=+==.故选:C.5(2022·全国·高三专题练习)在①ABC 中,点D 满足AD =1162AB AC +,直线AD 与BC 交于点E ,则CE CB的值为( )A .12 B .13C .14D .15【答案】C【解析】设62AE AD AB AC λλλ→→→→==+,则16262CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC λλλλλ→→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=+-=+- ⎪⎝⎭, CB AB AC →→→=-,且CE →,CB →共线,则CE kCB =,162AB AC λλ→→⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()k AB AC →→-所以612k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩所以162λλ=-,解得32λ=,此时1144CE AB AC →→→=-,所以14CE CB →→=,故14CE CB =.故选:C 6.(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知ABC 是半径为2的圆O 的内接三角形,则下列说法正确的是( ) A .若角π3C =,则12AB AO ⋅= B .若20OA AB AC ++=,则||4BC =C .若||OA OB OA OB -=⋅,则OA ,OB 的夹角为π3D .若2()||BC BA AC AC +⋅=,则AB 为圆O 的一条直径 【答案】BC【解析】对于A ,作OD 垂直于AB .垂足为D ,则12AD AB =,由正弦定理得π22sin 4sin 3AB C =⨯⨯=⨯=, 故21||||cos ||||(23)62AB AO AB AO BAO AB AD ⋅=⋅⋅∠=⋅=⨯=,故A 错误;对于B,由20OA AB AC ++=得,0OA AB OA AC +++=,即0OB OC +=,则点O 为BC 的中点,即BC 为圆的直径,故||4BC =,B 正确; 对于C ,设OA ,OB 的夹角为θ ,由||OA OB OA OB -=⋅得,22||()OA OB OA OB -=⋅,即288cos 16cos θθ-= , 解得1cos 2θ=或cos 1θ=-, 由于||0OA OB OA OB -=⋅>,故1cos ,(0,π)2θθ=∈,故π3θ=,则OA ,OB 的夹角为π3,C 正确;对于D,由 2()||BC BA AC AC +⋅=得2()||()0BC BA AC AC BC BA AC AC =+⋅-+-⋅=, 即()0,20BC BA CA AC BA AC ++⋅=⋅=,则BC 为圆O 的一条直径,D 错误, 故选:BC7.(2022·江苏·高三专题练习)(多选)若点O 是线段BC 外一点,点P 是平面上任意一点,且OP OB OC λμ=+(λ,μ①R ),则下列说法正确的有( )。
人教课程标准版五上第九册语文总复习一一一一一背熟第1课《窃读记》第3、4、10自然段。
第3课《走遍天下书为侣》第7、8自然段。
第5课《古诗词三首》。
全文、书下注释、译文第6课《梅花魂》第13自然段。
描写梅花品格的语句第13课《钓鱼的启示》第10自然段。
父亲告诫我的话第15课《落花生》第10、12、13自然段。
第9课《鲸》和第11课《新型玻璃》掌握有关知识点和打比方,举例子,作比较,列数字等常用的说明方法。
《有趣的汉字》中的谐音歇后语。
《我爱你,汉字》中汉字的演变,赞汉字。
第19课《“精彩极了”和“糟糕透了”》最后一自然段。
第21课《圆明园的毁灭》第3、4自然段。
第22课《狼牙山五壮士》第6、7、8、9自然段。
第25课《七律·长征》全文、书下注释、译文。
第26课《开国大典》第7自然段。
二.积累(一)日积月累(关于爱读书) 1、一日无书,百事荒芜。
2、读书破万卷,下笔如有神。
(杜甫)3、书犹药也,善读之可以医愚。
(刘向)4、黑发不知勤学早,白首方无读书迟。
(颜真卿)5、读书有三到,谓心到、眼到、口到。
(朱熹)(关于思乡的)1、悠悠天宇旷,切切故乡情。
(张九龄)2、浮云终日行,游子久不至。
(杜甫)3、落叶他乡树,寒灯独夜人。
(马戴)4、明月有情应识我,年年相见在他乡。
(袁枚)5、家在梦中何日到,春生江上几人还?(卢纶)6、江南几度梅花发,人在天涯鬓已斑。
(刘著)四时之风春风能解冻,和煦催耕种。
裙裾微动摇,花气时相送。
夏风草木熏,生机自欣欣。
小立池塘侧,荷香隔岸闻。
秋风杂秋雨,夜凉添几许。
飕飕不绝声,落叶悠悠舞。
东风似虎狂,书斋皆掩窗,整日呼呼响,鸟雀尽潜藏。
(关于生活启示)1、世上无难事,只怕有心人。
2、欲要看究竟,处处细留心。
3、虚心万事能成,自满十事九空。
4、滴水能把石穿透,万事功到自然成。
关于亲情的1、兄弟郭和睦,朋友笃诚信。
(陈子昂)2、孝在于质实,不在于饰貌。
(桓宽)3、爱亲者,不敢恶于人;敬亲者,不敢慢于人。
(《孝经》)4、非淡泊无以明志,非宁静无以致远。
(诸葛亮)第七单元同仇敌忾临危不惧勇往直前前仆后继力挽狂澜中流砥柱大义凛然豪情壮志不屈不挠披荆斩棘奋发图强励精图治众志成城舍生取义任重道远再接再厉(关于修养的名言警句)1、非常的境遇可以显出非常的气节。
2、衡量真正的品德是看他在知道没有人发觉的时候该做些什么。
卜算子咏梅毛泽东风雨送春归,飞雪迎春到。
已是悬崖百丈冰,犹有花枝俏。
俏也不争春,只把春来报。
待到山花烂漫时,她在丛中笑。
(二)背会默会九册课文主要内容和中心思想1、《窃读记》作者:林海音主要内容:课文主要写了“我”匆匆赶到书店,藏于大人中间或借着雨天匆忙而贪婪地读书,到了晚上才依依不舍的离开。
中心思想:表现了“我”对读书的热爱和对知识的渴望。
2、《走遍天下书为侣》作者:英国作家,尤安·艾肯主要内容:面对孤寂漫长的旅程,作者会毫不犹豫的选择戴上一本书上路,书如友,书似家,反复读一本书如与老朋友重逢,每日回家,故地重游,总会有新的感受,要从不同的角度反复地读,就会有百读不厌。
中心思想:对读书的喜爱之情。
3、《泊船瓜州》(写景抒情)作者:宋,王安石这是一收脍炙人口,情意绵绵的思乡诗,表达了作者对家乡深深的思念和热爱。
4、《秋思》(叙事抒情)作者:唐,张籍寓情于事,借助日常生活中一个小小的片断—寄家书时的思想活动和行动细节,表达了客居他乡之人,对家乡亲人的深切思念。
5、《长相思》(写景、叙事融为一体)作者:清,纳兰性德描写边塞军旅途中思乡寄情的佳作。
6、《梅花魂》作者:陈慧瑛主要内容:课文主要写了“我”回忆外祖父教我唐诗宋词,读到思想诗时,总会落泪;外祖父应年龄大不能回国时,像小孩子一样痛哭;外祖父因我弄脏墨梅图而发脾气;在我回国前,外祖父送我墨梅图;外祖父又到船上送我梅花手绢这几件事。
中心思想:表达了外祖父对祖国的热爱、眷恋之情。
“梅花魂”是指()7、《鲸》(常识性说明文)主要内容:本文介绍了鲸的形体特点、进化过程、种类和生活习性等方面的知识。
课文运用了:列数字、举例子、做比较、打比方等说明方法。
8、《新形玻璃》主要内容:课文分别介绍了夹丝网防盗玻璃、夹丝玻璃、变色玻璃、吸热玻璃、吃音玻璃等五种新形玻璃的特点和在活中的广泛应用。
课文运用了:举例说明、数字说明、打比方等说明方法。
9、《钓鱼的启示》主要内容:课文主要写了三十四年前,“我”和父亲去钓鱼,由于离捕捞鲈鱼开放时间还有两小时,父亲要“我”把好不容易钓到的大鲈鱼放回湖里,当时,我很不乐意,但还是依依不舍地把鱼放了。
三十四年后,我成了一名建筑师,深深体会到了:从小受到严格的教育,就会获得道德实践的勇气和力量。
启示:道德只是个简单的是与非的问题,实践起来却很难。
一个人要是从小就受到像把钓到的大鲈鱼放回湖中这样严格的教育的话,就会获得道德实践的勇气和力量。
“鱼”指吸引人的,让人动心的事物,如:金钱、地位、荣誉…10、《落花生》(叙事散文,借物喻人)作者:许地山主要内容:课文主要写了“我们”一家人过花生收获节,谈论花生好处的事。
做人的道理:要学习花生内在秀美,不求虚名,默默奉献,造福人类的奉献;做人要做有用的人,不要做只讲体面而对别人没有好处的人。
11、《地震中的父与子》作者:美国作家马克·汉林主要内容:课文主要讲述了1994年,美国发生大地震,一位父亲冒着危险,不顾劝阻,经过38小时的艰难挖掘,终于就出了他的儿子和儿子的同学。
中心思想:歌颂伟大的父爱和深厚的父子之情。
12、《“精彩极了”和“糟糕透了”》美国作家巴德·舒尔伯格主要内容:课文主要写了作者童年时写了一首诗,父亲和母亲对他的作品有不同的评价,这两种评价对他产生了巨大的影响。
作者从这两种评价中感受到了父母的爱。
母亲的爱是:积极的鼓励。
父亲的爱是:警告和提醒13《圆明园的毁灭》主要内容:课文描述了圆明园昔日辉煌的景观和惨遭侵略者肆意践踏而毁灭的景象。
中心思想:表达了作者对祖国灿烂文化的无限热爱,对侵略者野蛮行径的无比怨恨,激发人们不忘国耻,增强正兴中华的责任感和使命感。
14《狼牙山五壮士》主要内容:抗日战争时期,八路军某部七连六班的五个战士,为了掩护群众和连队主力的转移,诱敌上山,英勇杀敌,最后把敌人引上狼牙山顶峰后,英勇跳崖。
中心思想:表现了五壮士热爱祖国,热爱人民,仇恨敌人,勇于牺牲的革命精神和英雄气概。
五壮士分别是:班长马宝玉,副班长葛振林,战士宋学义、胡德林、胡福才。
课文按事情的发展顺序:接受任务;痛击敌人;引上绝路;峰顶杀敌;跳下悬崖。
15《七律·长征》作者:毛泽东主要内容: 全诗生动的概述了两万五千里长征的艰难历程。
本课时毛泽东在红军长征胜利结束时写的一首诗。
中心思想:赞扬了中国工农红军的英雄主义精神和革命乐观主义精神。
《七律长征》一诗中,表现红军战士乐观主义精神的诗句是()。
毛泽东用比喻和夸张的修辞手法,反衬出红军战士敢于藐视并战胜一切困难的高大形象和伟大气魄的诗句是()。
“金沙水拍云崖暖,大渡桥横铁索寒。
”这句诗写到了()、()两条河。
16《开国大典》主要内容:课文记述了1949年10月1日,在首都北京举行开国大典的盛况。
中心思想:表达了中国人民对新中国的诞生无比自豪,激动的感情,展现了中华人民共和国的缔造者们特别是毛泽东的领袖风采。
课文按照开国大典进行的顺序:会场的情况,典礼盛况(奏国歌、毛主席宣布中华人民共和国中央人民政府成立了、升国旗、读公告),阅兵式,群众游行。
17.这学期,你在课外一定读了不少好书,把你喜欢的书名写下来:《》《》《》。
选择其中你最喜欢的一本推荐给你的同学并说说理由三词语的分类把词语补充完整,按要求对号入座。
精神()满全神()注()强不屈一丝不()舍()救人专心()志垂头()气没精打()视死如()兴致()()失()落魄()开眼笑奋不()身临危不()众志成()()精图志()精会神1形容人物神态的:2.歌颂人物精神品质的:3.描写人物刻苦学习的:四、句子练习修改病句1.昨天傍晚下了整整一夜的雨。
2.北京的秋天真实旅游的好地方。
3.这项发明还要不断改正,才能逐步完善。
4.通过一段时间的观察,让我对昆虫有了深入的了解。
5.即使你对同学有意见,你就提出来。
6.秋天的田野里,到处能看到成熟的果实和芳香。
7.五壮士的眼睛眺望着群众和部队主力远去的方向。
句子所用的修辞手法1、桂林的山真秀啊,像翠绿的屏障,像新生的竹笋,色彩明丽,倒映水中。
(比喻排比)2、每条岭都是那么温柔,自山脚至岭顶长满了珍贵的树木,谁也不孤峰突起,盛气凌人。
(拟人)3、漓江的水真静啊,静得让你感觉不到它在流动;漓江的水真清啊,清得可以看见江底的沙石;漓江的水真绿啊,绿得仿佛那是一块无暇的翡翠。
(排比)4、危楼高百尺,手可摘星辰。
(夸张)5、海底有声音吗?海底有各种动物发出的细微的声音。
(设问)6、生我养我的故乡,我怎么能忘怀呢?(反问)7、四海皆春春不老,九州同乐乐无穷。
(对偶或者对仗)8.它好肥,整个身子好像一个蓬松的球儿。
()9.阳光把吊兰的一串串小叶照得如同碧玉。
()10.小珍珠鸟在父母的再三呼唤声中,飞回了自己的家中。
()11.五岭逶迤腾细浪,乌蒙磅礴走泥丸()反问句改陈述句1.人的心灵不应该像花一样美丽、纯洁吗?2.那一次次的分离,岸英不都是平平安安回到自己的身边俩了吗?3.时间这么宝贵,我们怎么能不珍惜呢?4.人类随意毁坏自然资源,难道不是在毁灭人类自身的生存环境吗?5.你不会因为熟悉家中的一切就弃家而去吧?6.我们吃的穿的,哪一样能离开群众的支持?7.我们如果没有老百姓的支持,能有今天这个局面吗?8.在屋檐下躲雨,你总不好意思赶我走吧?9.我为什么不可以搞一个不是成衣的时装呢?10.你不会因为以前见过你的朋友就不愿再见到他们了吧?陈述句改反问句。
1.信赖,往往创造出美好的境界。
2.北京申奥成功,我们感到无比自豪。
1、这幅画是我们班蔡颖画的。
2、不好好学习,自然不能取得好成绩。
3、对少数同学不守纪律的现象,我们不能不闻不问4、那奔驰的列车正是我们祖国奋勇前进的象征。
5、功课没做完,不能去看电影。
6、不劳动,连棵花也养不活,这是真理。
7、我们不能因为学习任务重而不参加体育活动。
8.在屋檐下躲雨,你总不好意思赶我走吧?9.我为什么不可以搞一个不是成衣的时装呢?10.你不会因为以前见过你的朋友就不愿再见到他们了吧?转述句该陈述句1、妈妈对我说:“今天我要开会,你自己做饭吃。
”2、张老师对小明说:“这件事情,你冤枉了小红。
”3、鲁肃对我说:“都是你自己找的,我怎么帮得了你的忙?”4、妈妈对小宁说:“昨天,你到哪里去了?我找了你一整天。
”5、妈妈说:“我今晚上要加班,回家要迟一点,你先睡觉。