第12章 数的开方

平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。

平方根的基本性质一个数的平方根分为三种情况：正数有两个个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0_；负数没有平方根。

算术平方根正数的正的平方根称为算术平方根。

而0的算术平方根是0开平方运算求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。

开平方是一种运算，它与平方互为逆运算，计算器求一个数的平方根时要特别注意按键顺序。

平方根与算术平方根的联系与区别：联系：具有包含关系，平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。

存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有。

0的平方根和算术平方根都为零。

区别：定义不同个数不同表示方法不同取值范围不同几个非负数之和为零，则它们分别为零。

立方根的定义：一个数的立方等于a，则这个数叫a的立方根。

立方根的性质正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

平方根与立方根的联系与区别联系：都与相应的乘方运算互为逆运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算。

都可以归结为非负数的非负根来研究零的平方根和立方根都是它本身区别：符号不同，根指数2可以省略而根指数3不可以省略平方根只有非负数才有而立方根任何数都有正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个实数与数轴开立方的运算：求一个数立方根的运算叫做开立方，=__________无理数无限不循环小数叫做无理数。

一看是否是无限小数；二看是否是不循环小数。

无理数的常见形式含开平方不尽的式子；含π的式子；定义本身的形式。

实数有理数与实数统称为实数实数与数轴上的点一一对应分类⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数正有理数有理数负有理数实数正无理数无理数负无理数分数正整数有理数实数整数负整数无理数实数的运算顺序先算乘方开方、再算乘除、最后算加减，如果有扩号，则先算括号里面的。

第12章《数的开方》知识点一、知识点：1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的 。

正数a 有 平方根，它们 ，记作 ，a 称为 ．0的平方根只有 ，就是0，记作0＝0．负数没有平方根。

2、算术平方根：正数a 的 ，叫做a 的算术平方根，记作 ，读作“根号a ”．3、开平方： 运算，叫做开平方．将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根．4、立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的 。

任何数（正数、负数或零）都有一个立方根．数a 的立方根，记作 ，读作“三次根号a ”，a 称为被开方数，3称为 。

5、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做 。

6、无理数： 叫做无理数。

7、实数： 称为实数。

8、实数与数轴上的点 ．二、知识点应用：1、49的平方根是 ，算术平方根是 .2、5是 的平方根，-9的平方根 .3、1是 的立方根，-1是 的立方根.4、-27的立方根是 ，0的立方根是 .5、若某数的一个平方根是2，则这个数是 ，它的另一个平方根是 .6、若某数的立方根是-3，则这个数是 .7、如果一个实数有且只有一个平方根，那么这个数是 .8、如果一个实数有且只有一个立方根，那么这个数是 .9、数轴上表示5-的点与原点的距离是________；10、2-的相反数是 ，3的倒数是 ，13-的相反数是 ；11、81的平方根是______，4的算术平方根是_______，210-的算术平方根是 ；12、计算：_______10_________,112561363=-=--，2224145-= ； 13、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是 ；14、当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义；15、若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ；16、已知0)3(122=++-b a ，则=332ab；17、在实数0、3、6-、236.2、π、723、14.3中无理数的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、418、36的平方根是（ ）（A ）6 （B ）±6 （C ）6 （D ）6±19、一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（ ）．（A ） 1 （B ） 0 （C ） -1 （D ）1，-1或020、数3.14，2，π，0.323232…，71，9，21+中，无理数的个数为（）． （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个21、下列等式：①81161=，②()2233-=-，③()222=-，④3388-=-⑤416±=，⑥24-=-；正确的有（ ）个．（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1三、计算题22．81.031－4162＋2268101+； 23．3008.0-＋481－532－38742-．四、求下列各式中x 的值24．3（x 21＋1）2－108＝0； 25．8（x －1）3＝－64125．五、求值26．已知A ＝342--+b a a 是a ＋2的算术平方根，B ＝9232-+-b a b 是2－b 的立方根．求3A －2B 的立方根．27．已知y ＝12-x ＋x 21-＋x －2．求y x +10的值．28．已知|x |＝3，求代数式112-x ＋12+x －11-x 的值．六、（本题6分）29．一个长方体的木箱，它的底面是正方形，木箱高0.85米，体积为1.19米3，求这个木箱底面的边长（保留两个有效数字）．。

第12章数的开方§12.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。

2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。

它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。

二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。

2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a≥0。

三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a）即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。

其中a叫做被开方数。

∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。

四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。

其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。

五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。

（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。

2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正； （2）一个负数的立方根为负； （3）零的立方根是零。

3、立方根的记号：3a （读作：三次根号a ），a 称为被开方数，“3”称为根指数。

3a 中的被开方数a 的取值范围是：a 为全体实数。

六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。

七、注意事项：1、“±a ”、“a ”、“3a ”的实质意义：“±a ”→问：哪个数的平方是a ； “a ”→问：哪个非负数的平方是a ； “3a ”→问：哪个数的立方是a 。

2、注意a 和3a 中的a 的取值范围的应用。

如：若3-x 有意义，则x 取值范围是 。

第12章数的开方12.1平方根与立方根一、问题探究问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长．二、探究归纳问题1解：设正方形纸片的边长为xcm，依题意有：x2＝25，求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长．因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5．答：正方形纸片的边长为5cm．这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．问题2解：设圆的半径为R cm，依题意有：πR2=16π，即R2=16，求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径．因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数R＝4．答圆的半径为4cm．这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16．刚才具体的两个个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x 的值．三、平方根和开平方1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根(square root)（也叫a 的二次方根）．例1 求100的平方根．解：因为102＝100，(-10)2＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10.记住11~19的平方。

习题 (1) 144的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？(3)425的平方根是什么？ (4)－4有没有平方根？为什么？ （重点）平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.（2）根号里面的数（）（0≥a a ）必须大于等于0. （3）()()02≥=a a a . （4）⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 以上（2）（3）两个性质在解题过程中要注意字母a 的取值范围。

第12章数的开方§12.1平方根与立方根1.平方根2.立方根§12.2实数与数轴阅读材料为什么说2不是有理数小结复习题第12章数的开方要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少?（）2=25§12.1 平方根与立方根1. 平方根本章导图中提出的问题，就是已知正方形的面积为25cm2，求这个正方形的边长．容易知道，这个正方形的边长是5cm．这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．概括如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（square root）．在上述问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根．又因为（－５）2＝５2＝２５，所以－５也是25的一个平方根．这就是说，5与－５都是25的平方根．根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根．例1 求100的平方根．解 因为102＝100， （－１０）2＝１００，除了10和－１０以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－１０，也可以说，100的平方根是±１０．试一试（1） 144的平方根是什么?（2） 0的平方根是什么?（3）254的平方根是什么?（4） －４有没有平方根?为什么?请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答．概 括一个正数如果有平方根数的范围从有理数扩充到实数以后（本章第２节），每一个正实数必定有两个平方根．，那么必定有两个，它们互为相反数．显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到它的另一个平方根．正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即－a．因此正数a的平方根可以记作±a．a称为被开方数．因为0的平方等于0，而其他任何数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个，就是0．通常也记作0＝0．思考负数有平方根吗?求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根．在例1中，100的算术平方根是100＝10，100的平方根是±100＝±１０．例2将下列各数开平方：（1）49；（2）1.69解（1）因为72＝49，所以49＝7，因此49的平方根为±７；（2）在例1、例2中，我们是通过观察，利用开方与平方的关系来开平方的．如果被开方数比较复杂，我们常用计算器直接得出一个正数的算术平方根（有时得到的是近似值）．例3用计算器求下列各数的算术平方根：（1）529；（2）1225；（3）4481．分析用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．解（1）在计算器上依次键入■ 5 2 ９＝，显示结果为23，所以529的算术平方根为529＝23．（2）在计算器上依次键入■ 1 2 2 5 ＝，显示结果为，所以1225的算术平方根为1225＝．（3）在计算器上依次键入■ 4 4 ·8 1 ＝，显示结果为，如果要求精确到0.01，那么44≈．.81练习1. 说出下列各数的平方根：（1）64；（2）025；（3）49〖〗81．2. 用计算器计算：（1）676；（2）278784；（3）4225 （精确到0.01）．3. 下列说法正确吗?为什么?如果不正确，那么请你写出正确答案．（1）0.09的平方根是0.3；（2）25＝±５．2. 立方根问题现有一只体积为216cm3的正方体纸盒，它的棱长是多少?思 考这个实际问题，在数学上可以提出怎样的一个计算问题?从这里可以抽象出一个什么数学概念?概 括上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216．容易验证，63＝216，除6 以外，任何数的立方都不等于216，所以正方体的棱长应为6cm ．如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（cube root ）．试一试（1） 27的立方根是什么?（2） －２７的立方根是什么?（3） 0的立方根是什么?请你自己也编三道求立方根的题目，并给出解答．概 括任何数（正数、负数或零）的立方根如果存在的话，必定只有一个．数a 的立方根，记作3a ，读作“三次根号a ”．a 称为被开方数，3称为根指数．求一个数的立方根的运算，叫做开立方．例4求下列各数的立方根：（1）278； （2） －125； （3） －0.008．解（1） 因为（32）3，所以.322783=（2） 因为（－5）3＝－125，所以3125-＝－5．（3） 。

八年级上第12章 数的开方1．平方根（1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

其中正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”，另一个平方根是它的相反数，即a -。

因此，正数a 的平方根可以记作a ±。

a 称为被开方数。

0的平方根只有一个，就是0，记作00=。

负数没有平方根。

（3）求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。

（1）求下列各数的平方根和算术平方根① 121 ②（－3）2 ③3161④361- ⑤625（2）下列说法正确的是（ ）①1的平方根是1 ②1是1的平方根 ③()21-的平方根是-1 ④若一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数只能是零 ⑤只有正数才有平方根（3）解下列方程①0492=-x ②()28922=-x（4）若()02y 5-x 2=++，则2x+y= 。

（1）81的平方根是 ，16的算术平方根是 。

（2）一个数的平方根等于它的本身，这个数是 。

（3）如果x,y （x ≠y ）是同一个不为零的数的平方根，那么x+y= 。

（4）若2m+4与3m-1是同一个数的平方根，试求m+3的平方根和算术平方根。

（1）()232-x 与2-y 是同一个不为零的数的平方根，那么x+y=（2）若51=-x x ，求221xx +的平方根。

2．立方根（1）如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根。

（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

（3）数a 的立方根，记作3a ，读作“三次根号a ”，其中a 称为被开方数，3称为根指数。

（4）任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个。

正数有一个正的立方根。

负数有一个负的立方根。

0。

（1）求下列各数的立方根：①－271 ②0.064 ③1－87 ④64 ⑤512169 （2）下列说法正确的是（ ）① 一个数的立方根有两个，它们互为相反数 ②一个数的立方根的符号与被开方数的符号相同 ③负数没有平方根，也没有立方根 ④若一个数有立方根，则这个数一定有算术平方根 （3）解方程 ① ()()3432-x ②1258133=-=-x（4）若,643=x 则x = 。

第12章数的开方课程内容标准1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示．2.了解平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，会用平方、立方的运算求某些数的平方根与立方根，会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根．.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．4.能估计无理数的大小，培养估算能力，会进行简单的实数运算．单元教学分析§12.1 平方根与立方根1.注意与平方、立方运算的联系与转化；2.注重对基本概念的理解与应用，熟悉必要的数学语言；3.重视计算器的使用及对估算的教学，防止对学生提出繁难的数字计算要求；4.注意把握好对已出现无理数的处理.§12.2 实数与数轴1.让学生感知无理数的存在，数系扩展的必要.2.初步理解和接受实数与数轴上的点一一对应的思想.3.理解和接受有理数范围内相关概念和运算法则的自然延伸.课时分配本章教学时间为7课时，分配如下：§12.1 平方根与立方根------------3课时§12.2 实数与数轴----------------2课时复习-----------------------------2课时第1课时平方根（1）教学内容教科书P.1——P.2的内容教学目标：1、理解平方根的概念；2、认识平方与开平方的关系；3、会用平方根的概念求某些数的平方根。

教学重点：平方根的概念和开平方运算。

教学难点：平方根的概念；利用平方根和平方的关系解题。

教学过程：一、复习引入1、我们将要学习的第12章叫：数的开方，那什么叫“数的开方”呢？我们已学过哪些数的运算?(加、减、乘、除、乘方5种)2、你能写出这些运算的符号吗？请举例说明。

如一个正方形的边长是5米，它的面积是多少?其运算是什么运算? (面积25平方米，运算是乘方运算)3、加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢?(均为互逆运算)二、创设问题情境，解决问题1、请同学们欣赏本章导图，如果要剪出一块面积为25cm 2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？这里该用哪种运算呢？通常这类不易直接列算式计算的问题，我们常用方程解决：设边长为xcm ，则有x 2=25，显然应取x=5。

第12章 数的开方知识网络图示基本知识要点总结(一)主要概念1．平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．用符号表示：a 的平方根为 (0).a a ≥2．立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．用符号表示：a 的立方根为 a （a 为任意数)．3．无理数 无限不循环小数叫做无理数．4．实 数 有理数与无理数统称为实数．(二)主要性质1．平方根的性质(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；(2)零的平方根是零；(3)负数没有平方根．2．立方根的性质(1)正数有一个正的立方根；(2)零的立方根是零；(3)负数有一个负的立方根．3．实数的性质(1)绝对值：⎩⎨⎧<-≥=);0(),0(||a a a a a (2)相反数：a 的相反数为－a ；(3)倒数：a 的倒数为).0(1=/a a(三)主要运算1．平方根和立方根的运算平方根和立方根的运算依据是：(1)定义； (2)开平方和开立方分别与平方和立方互为逆运算．2.2a 的化简2(0),||(0).a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 33.3a 的化简 33(a a a =为任意数)．解题方法指导(一)思维方法——逆向思维本章第三节内容中对“无理数2的引入”的探究，及教材复习题中对正方形剪拼的探究，都用到了逆向思维的方法．例1 有一个十字形，它由五个边长为l 的正方形组成(如图12—1)，你能把它切成三块，拼成一个长是宽的两倍的长方形吗?解析 直接切拼显然比较困难，我们从反面去思考：假设切成三块，能拼成一个长是宽的两倍的长方形．由此去寻找规律，并通过计算长方形的长与宽的值确定切拼的方法．答案 设拼成的长方形的长为x ，则宽为.21x 由切拼前后图形面积相等得 .10,5212==x x 通过本章的学习，我们知道长方形的长恰为中间一排三个正方形所组成的长方形的对角线AB 的长．由图形的对称性可知，图中十字形的一角顶点M 与A ，B 是一等腰直角三角形的顶点，则AB 的中点N 到A ，B ，M 三点的距离都等于,21AB 所以沿AB ，MN 将十字形切成三块，并将图中I 与Ⅱ这两块，分别移到l '与Ⅱ'处，就拼成了一个长是宽的两倍的长方形．点评 像这种拼图问题，若直接切拼则往往无从下手，所以应从反面思考，即从已经切拼好的图形入手，分析数量关系和各部分的联系，寻求解题的方法及途径，这样做的确会另辟蹊径，开阔我们的思路，使问题得到巧妙解决．(二)解题方法——定义法本章涉及的重要概念有平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数，掌握它们的概念，利用它们的定义解题是一种重要的解题方法．例2 (1)下列实数中为无理数的是 ( )722.A 9.B π.C D ．1.732 (2)若a ，b 是无理数，a+b ＝2，则a ，b 的值可以是 ．(填上一组满足条件的值即可) 解析 (1)判断一个实数是否为无理数，主要应根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数．因为722是一个分数，所以是有理数；39=是有理数；1．732是有限小数，所以是有理数；π是无限不循环小数，所以是无理数． (2)本题是一道开放题，答案不唯一．解决本题一定要注意所应满足的条件．答案 (1)C (2)答案不唯一，如2,22-=+=b a 等．例3 (1)9的平方根是 ，16-的算术平方根是 ．(2)若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，则m= ．(3)已知(2x －1)3＝－27，则x ．解析 (1)本题可根据平方根及算术平方根的定义求解，要注意平方根与平方的区别以及平方根与算术平方根的区别．(2)本题可能存在两种情况：①2m －4和3m －1表示同一个平方根，则2m －4＝3m －1，m ＝－3；②2m －4和3m －1表示两个不同的平方根，则它们互为相反数，所以2m －4+3m －1＝0，m ＝1．(3)因为(2x －1)3＝－27，所以2x －1是－27的立方根，又－27的立方根是－3，所以2x －1＝－3，x ＝－l ．答案 (1)±3；4 (2)－3或 1 (3)－1点评 波利亚在《怎样解题》中提到解题的最基本方法——回到定义中去，即根据定义来解决问题，这种方法是解决与概念有关的问题的最根本、最普遍的方法．(三)思想方法——从特殊到一般许多特例中往往蕴含着一般性规律和结论，数学史上很多重要的结论就是在观察特例的基础上，猜想归纳出一般性结论，然后通过严格的论证得到的．例4(1)(填“>”、“<”或“一”)； (2)由此你可发现什么规律?把你所发现的规律用含n 的式子(n 为大于1的整数)表示出来．解析 借助计算器可知,15151414131312122222-->-⋅->-->--根据这一结果，可猜测⋅-->--1200612006120051200522在观察这些特例的基础上，可猜想出一般性n >为大于1的整数)．答案 见解析．点评 运用“从特殊到一般”这一思想方法，可帮助我们类比猜想出许多重要的结论，但所得到的结论仅仅只是一种猜想，不一定正确，因此运用这一思想方法时，还需对所得结论进行理论上的论证．◆综合探究案例小强同学在学习了本章的内容后设计了如下问题：定义：把形如,a a a b +-为有理数，优为正整数且开方开不尽)的两个实数称为共轭实数．(1)请你举出一对共轭实数： ．在与? ；32-与? ．(填“是”或“不是”)(3)共轭实数b a m b a -+,有理数还是无理数? ．(4)你发现共轭实数m b a +与m b a -的和、差有什么规律? 。

第12章 数的开方§ 12.1平方根和立方根12．1．1 平方根【初级目标】1． 理解平方根、算术平方根、开平方的意义。

2． 掌握正确的表示方法。

3．会用计算器求平方根。

【中级目标】4． 探索平方根的性质。

5．会通过平方运算求一个非负数的平方根、算术平方根。

【高级目标】6．能够将平方根、算术平方根、开平方的意义与前面所学知识、方法综合应用。

目标达成练习【初级目标达成练习】1、一个正数a 的正的平方根叫做正数a 的 ； 表示为a 。

其中a 0。

初中阶段学习的三个非负数是 。

2、9表示 的 根，9＝ 。

49表示 的 根，49＝ 。

3、7的算术平方根为 ，（－35）2的算术平方根为 。

4、判断题：（1）－1是1的平方根；（ ） （2）－1的平方根是±1；（ ） （3）16的值为±4；（ ） （4）4的平方根是±2；（ ） （5）a 2＋1的平方根是12+±a ；（ ） （7）－a 2－7一定没有平方根；（ ）（6）任何数的平方的算术平方根都是正数；（ ） （8）平方根等于它本身的数是1；（ ） （9）算术平方根等于它本身的数是1；（ ） （10）如果一个数有平方根，那么这个数的平方根一定有两个；（ ） （11）625的算术平方根是5；（ ） 5、下列各式正确的是（ ）。

A 、9＝±3 B 、±9＝3 C 、()23-＝－3 D 、23-＝316、下列说法错误的是（ ）。

A 、4是16的平方根B 、4的算术平方根为2C 、4的平方根是±2D 、16的平方根是47、x -有意义，则x 的取值范围为 ；82+x 中x 的取值范围为 ；x 32-有意义，则x 的取值范围为 ；2)12(-x 中x 的取值范围为 。

8、（1）已知4＝2，400＝20，40000＝200，04.0＝ ，0004.0＝ ；25＝5，25.0＝0.5，0025.0＝0.05；2500＝ ，250000＝ 。

第12章《数的开方》易错题集（03）：平方根与立方根第12章《数的开方》易错题集（03）：平方根与立方根选择题61．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．x＞0B．x≥0C．x≠0D．x≥0且X≠162．若x2=（﹣3）2，y3﹣27=0，则x+y的值是（）A．0B．6C．0或6D．0或﹣663．下列说法正确的是（）A．的平方根是±3B．1的立方根是±1C．=±1D．＞064．使为最大的负整数，则a的值为（）A．±5B．5C．﹣5D．不存在65．下列说法：（1）1的平方根是1；（2）﹣1的平方根是﹣1；（3）0的平方根是0；（4）1是1的平方根；（5）只有正数才有立方根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个66．要使，则a的取值范围是（）A．a≥4B．a≤4C．a=4D．任意数67．﹣a的值必为（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数68．下列各式中错误的是（）A．B．C．D．69．在实数中，算术平方根与立方根相同的数是（）A．0B．0，1C．1D．±170．下列计算中，正确的有（）①=±2；②=2；③±=±25；④=±5．A．0个B．1个C．2个D．3个71．下列语句正确的是（）A．如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零B．一个数的立方根不是正数就是负数C．负数没有立方根D．一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零72．下列各式计算正确的是（）A．=±2B．=±2C．=﹣1D．±=373．在下列式子中，正确的是（）A．B．C．D．=±274．下列命题中正确的是（）①的立方根是；②不可能是负数；③如果a是b的立方根，那么ab≥0；④一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1．A．①③B．②④C．①④D．③④75．下列语句不正确的是（）A．没有意义B．没有意义C．﹣（a2+1）的立方根是D．﹣（a2+1）的立方根是一个负数76．如果x2=2，有；当x3=3时，有，想一想，从下列各式中，能得出的是（）A．x2=±20B．x20=2C．x±20=20D．x3=±2077．下列计算正确的是（）A．B．C．D．填空题78．若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a= _________ ，这个正数是_________ ．79．若=5，则x= _________ ，若x2=（﹣2）2，则x= _________ ，若（x﹣1）2=9，则x= _________ ，_________ ．80．设a是9的平方根，b=（）2，则a与b的关系是_________ ．81．如果的平方根等于±2，那么a= _________ ．82．若2a﹣4与3a﹣1是同一个数的平方根，则a的值为_________ ．83．若a的一个平方根是b，那么它的另一个平方根是_________ ，若a的一个平方根是b，则a的平方根是_________ ．84．已知（﹣x）2=25，则x= _________ ；=7，则x= _________ ．85．如果a2=（﹣3）2，那么a等于_________ ．86．已知m+1和m﹣3都是某数的平方根，则这个数为_________ ．87．若5a+1和a﹣19是数m的平方根，则m= _________ ．88．= _________ ，= _________ ，的平方根是_________ ．89．的平方根是_________ ，算术平方根是_________ ：﹣3是_________ 的立方根．90．如果一个正数的平方根为2a﹣1和4﹣a，则a= _________ ；这个正数为_________ ．第12章《数的开方》易错题集（03）：平方根与立方根参考答案与试题解析选择题61．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．x＞0B．x≥0C．x≠0D．x≥0且X≠1考点：立方根．分析：根据分式的定义来解．即分母不为0，由此即可得到x的取值范围．解答：解：∵分母不能等于0，∴≠0，即x≠0故选C．点评：此题考查了立方根的性质，要知道任何数都有立方根，并且正数的立方根是正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．62．若x2=（﹣3）2，y3﹣27=0，则x+y的值是（）A．0B．6C．0或6D．0或﹣6考点：立方根；平方根．分析：先根据平方根和立方根的概念求出x、y的值，然后代入所求代数式求解即可．解答：解：由题意，知：x2=（﹣3）2，y3=27，即x=±3，y=3，∴x+y=0或6．故选C．点评：本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．63．下列说法正确的是（）A．的平方根是±3B．1的立方根是±1C．=±1D．＞0考点：立方根．专题：计算题．分析：A、根据算术平方根、平方根的定义即可判定；B、根据立方根的定义即可判定C、根据算术平方根的定义即可判定；D、根据平方根的性质即可判定．解答：解：A、=9，9的平方根是±3，故选项正确；B、1的立方根是它本身1，故选项错误；C、=1，故选项错误；D、当x=0时，=0，故选项错误．故选A．点评：此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意：一个数的立方根与原数的性质符号相同．二次根号是非负数，≥0．64．使为最大的负整数，则a的值为（）A．±5B．5C．﹣5D．不存在考点：立方根．分析：由于使为最大的负整数，那么其中的被开方数必须是一个整数的立方，利用立方根的定义和绝对值意义来解即可．解答：解：∵最大负整数为﹣1，∴=﹣1，∴a=±5故选A．点评：此题主要考查了立方根的定义和绝对值的性质，解题关键利用最大负整数为﹣1建立含有绝对值的方程，求出a的值．65．下列说法：（1）1的平方根是1；（2）﹣1的平方根是﹣1；（3）0的平方根是0；（4）1是1的平方根；（5）只有正数才有立方根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：立方根；平方根．分析：（1）根据平方根的定义即可判定；（2）根据平方根的定义即可判定；（3）根据平方根的定义即可判定；（4）根据平方根的定义即可判定；（5）利用立方根的定义分析即可判定．解答：解：（1）1的平方根是±1，故说法错误；（2）﹣1的平方根是﹣1，负数没有平方根，故说法错误；（3）0的平方根是0，故说法正确；（4）1是1的平方根，故说法正确；（5）只有正数才有立方根，不对，负数也有立方根，故说法错误．故选B．点评：此题主要考查了平方根的定义，注意：一个非负数的平方根有两个，一正一负．正值为算术平方根．66．要使，则a的取值范围是（）A．a≥4B．a≤4C．a=4D．任意数考点：立方根．分析：由立方根的定义可知，此时根式的值应为4﹣a，再由题意可得a﹣4=4﹣a，由此即可求出a的值．解答：解：∵=4﹣a，即a﹣4=4﹣a，解得a=4．故选C．点评：此题主要考查开立方．求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的符号相同．67．﹣a的值必为（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数考点：立方根．分析：﹣a3的立方根等于﹣a，（﹣a）×（﹣a）=a2，由此即可判断结果．解答：解：﹣a=（﹣a）×（﹣a）=a2．故选D．点评：本题考查了一个数的立方根的求法，是基础题，比较简单．68．下列各式中错误的是（）A．B．C．D．考点：立方根；平方根；算术平方根．分析：A、根据立方根的性质化简即可判定；B、根据立方根的性质化简即可判定；C、根据算术平方根的定义化简即可判定；D、根据算术平方根的定义计算即可判定．解答：解：A、，故说法正确；B、原式=﹣，故说法错误；C、，故说法正确；D、，故说法正确．故选B．点评：此题主要考查了算术平方根、立方根的定义．注意：开立方的符号不变．69．在实数中，算术平方根与立方根相同的数是（）A．0B．0，1C．1D．±1考点：立方根；算术平方根．专题：计算题．分析：分别把0，1，﹣1的算术平方根和立方根计算后，找到相同的数即可求解．解答：解：∵=0，=1，=0，=1，=﹣1，﹣1没有平方根∴算术平方根与立方根相同的数是0，1．故选B．点评：此题主要考查了算术平方根和立方根的运用，要掌握一些特殊的数字的特殊性质，如：±1，0，牢记这些数的特性可以快速解决这类问题．70．下列计算中，正确的有（）①=±2；②=2；③±=±25；④=±5．A．0个B．1个C．2个D．3个考点：立方根；算术平方根．分析：①根据立方根的都化简即可判定；②根据立方根的性质化简即可判定；③根据平方根的定义即可判定；④根据算术平方根的定义即可判定．解答：解：①结果应为2，故说法错误；②结果应为﹣2，故说法错误；③±=±25，故说法正确；④结果应为5，故说法错误．故选B．点评：本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．71．下列语句正确的是（）A．如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零B．一个数的立方根不是正数就是负数C．负数没有立方根D．一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零考点：立方根．分析：A、根据立方根的性质即可判定；B、根据立方根的性质即可判定；C、根据立方根的定义即可判定；D、根据立方根的性质即可判定．解答：解：A、一个数的立方根是这个数的本身的数有：1、0、﹣1，故选项A错误．B、0的立方根是0，u选项B错误．C、∵负数有一个负的立方根，故选项C错误．D、∵正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是．故选项D正确．故选D．点评：本题考查了平方根、立方根定义和性质等知识，注意负数没有平方根，任何实数都有立方根．72．下列各式计算正确的是（）A．=±2B．=±2C．=﹣1D．±=3考点：立方根；算术平方根．分析：A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据立方根的定义即可判定；C、根据立方根的定义即可判定；D、根据平方根的定义即可判定．解答：解；A、=2，故选项A错误；B、=2，故选项B错误；C、∵（﹣1）3=﹣1，∴﹣1的立方根是﹣1，故选项正确；D、±=±3，故选项D错误．故选C．点评：此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．73．在下列式子中，正确的是（）A．B．C．D．=±2考点：立方根．分析：A、根据立方根的性质即可判定；B、根据算术平方根的定义即可判定；C、根据算术平方根的性质即可判定；D、根据算术平方根的性质即可判定．解答：解：A、，故选项A正确；B、没有意义，故选项B错误；C、，故选项C错误；D、=2，故选项D错误．故选A．点评：本题主要考查算术平方根和立方根的知识点，比较简单．74．下列命题中正确的是（）①的立方根是；②不可能是负数；③如果a是b的立方根，那么ab≥0；④一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1．A．①③B．②④C．①④D．③④考点：立方根．分析：①根据立方根的定义即可判定；②根据立方根的性质即可判定；③根据立方根的性质即可判定；④利用平方根和立方根的定义即可判定．解答：解：∵①的立方根是，故说法正确；②当a＜0时，是负数，故说法错误；③如果a是b的立方根，那么ab≥0（a、b同号），故说法正确；④一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是0，故说法错误．所以①③正确．故选A．点评：本题主要考查了平方根和立方根的概念，要掌握其中的几个特殊数字的特殊性质．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．（a不等于0）如果x2=a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫a的算术平方根：若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0：负数没有平方根．75．下列语句不正确的是（）A．没有意义B．没有意义C．﹣（a2+1）的立方根是D．﹣（a2+1）的立方根是一个负数考点：立方根；算术平方根．分析：A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据立方根的定义即可判定；C、根据立方根的定义即可判定；D、根据立方根的定义即可判定．解答：解：A、∵﹣（a2+1）＜0，故选项正确；B、有意义，故选项错误；C、﹣（a2+1）的立方根是，故选项正确；D、﹣（a2+1）的立方根是一个负数，故选项正确．故选B．点评：主要考查了立方根和平方根的性质以及成立的条件．平方根中的被开方数必须是非负数，否则无意义．立方根的性质：任何数都有立方根（1）正数的立方根是正数．（2）负数的立方根是负数．（3）0的立方根是0．76．如果x2=2，有；当x3=3时，有，想一想，从下列各式中，能得出的是（）A．x2=±20B．x20=2C．x±20=20D．x3=±20考点：立方根．分析：结合题意，可知，即x的指数是20，x20的结果是2，即可解决问题．解答：解：根据题意，可知x20=2，能得出．故选B．点评：本题主要考查了立方根、平方根的定义和性质，解题关键是根据题意，找出开方的规律，再进行判断．77．下列计算正确的是（）A．B．C．D．考点：立方根．分析：A、B、C、D都可以直接根据立方根的定义求解即可判定．解答：解：A、=，故选项错误；B、应取负号，故选项错误；C、∵等于，∴的立方根等于，故选项正确；D、应取正号，故选项错误．故选C点评：此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．填空题78．若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a= ﹣1 ，这个正数是9 ．考点：平方根．分析：由于一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，由此即可列出方程求解．解答：解：依题意得，2a﹣1+（﹣a+2）=0，解得a=﹣1．则这个数是（2a﹣1）2=（﹣3）2=9．点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．79．若=5，则x= ±5，若x2=（﹣2）2，则x= ±2，若（x﹣1）2=9，则x= 4 ，﹣2 ．考点：平方根．专题：计算题．分析：分别根据平方根和算术平方根的定义计算结果即可．注意直接开平方时结果有两种情况．解答：解：∵=5，∴|x|=5，∴x=±5；∵x2=（﹣2）2=4，∴x=±2，∵（x﹣1）2=9，即x﹣1=±3，∴x=4或﹣2．点评：本题主要考查了算术平方根和绝对值及平方的有关知识，有一定的综合性．80．设a是9的平方根，b=（）2，则a与b的关系是a=b或a=﹣b．．考点：平方根．分析：首先根据平方根的定义求出a，然后利用平方运算求出b的值，再进行比较即可．解答：解：∵a是9的平方根，∴a=±3，又∵b=（）2，∴b=3，∴a=b或a=﹣b．点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．81．如果的平方根等于±2，那么a= 16 ．考点：平方根．分析：首先根据平方根的定义，可以求得的值，再利用算术平方根的定义即可求出a的值．解答：解：∵（±2）2=4，∴=4，∴a=（）2=16．故答案为：16．点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．要注意在平方和开方之间的转化．82．若2a﹣4与3a﹣1是同一个数的平方根，则a的值为1或﹣3 ．考点：平方根．分析：由于一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列出关于a的方程，解方程即可解决问题．解答：解：依题意可知：2a﹣4+（3a﹣1）=0，或2a﹣4=3a﹣1，解得：a=1或a﹣3．故答案为：1或﹣3．点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．83．若a的一个平方根是b，那么它的另一个平方根是﹣b ，若a的一个平方根是b，则a的平方根是±b．考点：平方根．分析：由于一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，由此可求解决问题．解答：解：若a的一个平方根是b，那么它的另一个平方根是﹣b；若a的一个平方根是b，则a的平方根是±b．故答案为：﹣b，±b．点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．84．已知（﹣x）2=25，则x= ±5；=7，则x= ±7．考点：平方根．分析：根据平方根的定义，求得a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根．分别根据平方根和算术平方根的定义计算结果即可．解答：解：∵（﹣x）2=25，则x=±5；∵=7，则x=±7．故答案为：±5，±7．点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．85．如果a2=（﹣3）2，那么a等于±3．考点：平方根．分析：根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可求出a值．解答：解：∵a2=（﹣3）2=9∴a=±3．点评：本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果x2=a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是的算术平方根也是0；负数没有平方根．86．已知m+1和m﹣3都是某数的平方根，则这个数为 4 ．考点：平方根．分析：一个正数的两个平方根互为相反数，据此即可求得m的值．进而就可求得这个数．解答：解：根据题意得：（m+1）+（m﹣3）=0解得m=1；或m+1=m﹣3，m不存在，则这个数是（1+1）2=4．故答案为：4．点评：本题主要考查了平方根的意义，理解正数的平方根互为相反数是解决本题的关键．87．若5a+1和a﹣19是数m的平方根，则m= 256 ．考点：平方根．分析：一个非负数的平方根有2个，它们互为相反数．依此列式计算即可，但有两种情况．解答：解：当5a+1+a﹣19=0时，解得a=3，∴5a+1=16，a﹣19=﹣16，∴m=（±16）2=256；当时，无解，故答案为256．点评：本题主要考查了平方根概念的运用．如果x2=a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a的算术平方根．若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．88．= 3 ，= ﹣4 ，的平方根是．考点：平方根；立方根．分析：分别据算术平方根的定义、立方根的定义即平方根的定义计算即可．解答：解：==3；==﹣4；==6，即平方根为．故答案为：．点评：本题考查了平方根和立方根的计算，属于基本的题型，要求熟练掌握．89．的平方根是±，算术平方根是：﹣3是﹣27 的立方根．考点：平方根；算术平方根；立方根．分析：先计算=3，再计算3的平方根和算术平方根；因﹣3的立方是﹣27，所以﹣27的立方根是﹣3．解答：解：∵=3，∴的平方根是±，算术平方根是；∵﹣3的立方是﹣27∴﹣3是﹣27的立方根．故答案为：±，，﹣27．点评：本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．一个数的立方根只有一个．90．如果一个正数的平方根为2a﹣1和4﹣a，则a= ﹣3 ；这个正数为49 ．考点：平方根．专题：计算题．分析：由于一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，由此即可得到关于a的方程，解方程即可解决问题．解答：解：∵正数的平方根为2a﹣1和4﹣a，∴2a﹣1+4﹣a=0，解这个方程得a=﹣3．当a=﹣3时，2a﹣1=﹣7，4﹣a=7，∴这个正数为49．故答案为：﹣3，49．点评：此题主要考查了平方根的定义，解决本题的关键是利用一个正数的2个平方根互为相反数．参与本试卷答题和审题的老师有：zhxl；wdxwwzy；算术；蓝月梦；117173；心若在；haoyujun；wdxwzk；zhehe；zhangmin；开心；733599；疯跑的蜗牛；110397；lbz；cook2360；bjy；答案；zhqd；WWF；MMCH（排名不分先后）菁优网2014年9月18日。

第12章数的开方【教学目标】一、知识目标1.了解本章的知识结构。

2．了解开平方、开立方、实数的定义及实数的分类。

3．理解实数与数轴上的点成一一对应关系。

4．会用估算的方法比较实数的大小。

二、能力目标1、熟练掌握本章的知识结构网络.2、理解无理数、实数、算术平方根、平方根、立方根、开立方的定义.3、理解有理数与无理数的区别与联系.4、开方运算与乘方运算的区别与掌握.5、掌握估算的方法.三、情感态度目标通过本章内容的小结与复习，培养学生学会归纳，整理所学知识的能力，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，养成良好的品质.【重点难点】掌握平方根和算术平方根、立方根的定义和概念，会进行实数的分类、大小比较。

【教学设想】教学思路：知识梳理—习题选讲—训练巩固—应用提高【媒体平台】教具学具准备：多媒体，投影仪，【教学过程】1、复习导入：通过本章的学习，你学到了哪些知识？获得了哪些经验？请和同学们进行交流。

2.课前热身同学们交流、讨论，概括归纳本章所学的主要知识和个人的不同见解。

3、合作探究（1）整体感知本节课主要复习的内容有：第一部分：回顾概括本章的知识结构及平方根、立方根和实数的定义和概念。

第二部分：实数的运算和实数的大小比较。

（2）四边互动互动1：师：播放幻灯片1（不显示方框的文字），请同学们根据本章所学的主要内容在各个方框内填上适当的数学名称。

生：逐个举手回答，不断补充完善。

师：逐个点击各个方框，显示各个方框内的名称，验证学生的结论。

互动2：师：利用幻灯片演示幻灯片2（只显示第一行和第一列文字）生：学生逐个举手回答， 不断补充完善。

师：逐个点击空格内容，显示答案，验证学生回答的结果。

明确：正确地理解平方根、算术平方根的概念、性质是进行相应运算、化简的前提和关键。

互动3：师：利用多媒体演示幻灯片3.（1） 若m 、n 互为相反数则|m －3+n|= （2） 若|a|=3，2=b 且ab<0，则a －b=（3） 一个数的算术平方根是a ，则比这个数大3的数是 （4） 计算()()=-+-32222生：独立尝试，并交流，逐个举手回答解题思路和结果。