2018_2019学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质讲末检测新人教A版选修4_1

三 相似三角形的判定及性质更上一层楼基础·巩固 1如图1-3-10，D 是△ABC 的AB 边上的一点，过点D 作DE∥BC 交AC 于E.已知AD∶DB=2∶3，则S 下标△ADE∶S 下标BCED 为（ ）图1-3-10A.2∶3B.4∶9C.4∶5D.4∶21 思路解析:∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. 又AD∶DB=2∶3，∴AD∶AB=2∶5.其面积比为4∶25，则S △ADE ∶S 四边形BCED =4∶21. 答案：D2如图1-3-11所示，铁道口的栏杆短臂长1 m ，长臂长16 m ，当短臂端点下降0.5 m 时，长臂端点升高（ ）图1-3-11A.11.25 mB.6.6 mC.8 mD.10.5 m思路解析:本题是一个实际问题，可抽象为如下的数学问题：如右图，等腰△AOC∽等腰 △BOD,OA=1 m,OB=16 m,高CE=0.5 m,求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB=CE∶DF，即1∶16=0.5∶DF，解得DF=8 m.答案：C3有一块三角形铁片ABC ，已知最长边BC=12 cm,高AD=8 cm ，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，且矩形的长是宽的2倍，则加工成的铁片的面积为（ ） A.18 cm 2或491152cm 2 B.20 cm 2或18 cm 2C.16 cm 2D.15 cm 2思路解析:本题有图(1)和图(2)两种情况，如图(1)，矩形的长EF 在BC 上，G 、H 分别在AC 、AB 上，高AD 交GH 于K ，设矩形的宽为x cm,则长为2x cm, 由HG∥BC,得△AHG∽△ABC，得72412288=⇒=-⇒=x x x BC HG AD AK cmS 矩形EFGH =2x 2=491152cm 2； 如图(2)，矩形的宽MN 在BC 上，类似地可求得S 矩形MNPQ =18 cm 2.答案：A4如图1-3-12，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16，那么CD=_________.图1-3-12思路解析:先根据已知条件和隐含条件证明两个三角形相似，即△ABC∽△DAC.再根据相似建立比例式，根据给出的线段易求出未知线段.答案：45如果两个相似三角形的面积比为9∶4，那么它们的相似比为_______________.思路解析:根据相似三角形面积的比等于相似比的平方直接开平方即可.答案：3∶26如图1-3-13，△ABC中∠C为直角，△DEF中∠F为直角，DE⊥AC，交AC于G，交AB于H，DF⊥AB，交AB于I，求证:△ABC∽△DEF.图1-3-13证明：∵HI⊥DF，EF⊥DF,∴HI∥EF，∠DIH=∠DFE=90°.∴∠DHI=∠DEF.∴△DHI∽△DEF.∵∠DIH=∠AGH=90°，∠DHI=∠AHG,∴△DHI∽△AHG.∵∠A=∠A，∠AGH=∠ACB=90°,∴△AGH∽△ACB.∴△ABC∽△DE F综合·应用7如图1-3-14，已知∠ACB=∠ADE，∠ABC=∠AED，求证:∠ABE=∠ACD.图1-3-14思路分析:∠ABE 和∠ACD 分别位于△ABE 和△ACD 中，显然不可以利用全等来证明这两个角相等，但这两个角所在的两个三角形能相似吗？从已知条件中给的四个角分别在△ABC 和△AED 中，由它们相等不难证明△ABC∽△AED，这一对三角形的相似，沟通了我们想要证明的两个三角形的关系，沟通了两个角的关系.这里使用了“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定方法.证明：∵∠ABC=∠AED，∠ACB=∠ADE,∴△ABC∽△AED. ∴AD AC AE AB =,∠BAC=∠EAD.∴ADAEAC AB =. ∴∠BAC -∠EAC=∠EAD -∠EAC,即∠BAE=∠CAD.∴△ABE∽△ACD.（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似） ∴∠ABE=∠ACD.8如图1-3-15，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF∥BA，BF 交AD 于P 点，交AC 于E 点.求证:BP 2=PE·PF.图1-3-15思路分析:因为BP 、PE 、PF 三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC ，D 是BC 的中点，由等腰三角形的性质知AD 是BC 的垂直平分线，如果我们连结PC ，由线段垂直平分线的性质知PB=PC ，只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了.证明：连结PC ，在△ABC 中，∵AB=AC，D 为BC 的中点， ∴AD 垂直平分BC.∴PB=PC.∴∠1=∠2. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∴∠ABC -∠1=∠ACB -∠2.∴∠3=∠4. ∵CF∥AB，∴∠3=∠F.∴∠4=∠F. 又∵∠EPC=∠CPF，∴△PCE∽△PFC. ∴PCPF PE PC =.∴PC 2=PE·PF.∵PC=PB，∴PB 2=PE·PF.（等线段代换）9如图1-3-16，已知△ABC 中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB=2∶3∶4， 求S △ADE ∶S 四边形DEGF ∶S 四边形BCGF.图1-3-16思路分析:要求题目中的三部分的面积比，必须先求出△ADE \,△AFG 和△ABC 的面积，才能求出两个四边形的面积.由已知DE∥FG∥BC 的条件，可以得到相似三角形，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质，可求出相似三角形的面积比.题目中未给出具体数值，故应引入参数.解：∵AD∶DF∶FB=2∶3∶4，设AD=2k,DF=3k,FB=4k(k>0)，则AF=5k,AB=9k, ∵DE∥FG,∴△ADE∽△AFG. ∴254)52()(22===∆∆AF AD S S AFG ADE 同理,可得8125)(2==∆∆AB AF S S ABC AFG . 设S △ADE =4a,则S △AFG =25a,S △ABC =81a(a>0).∴S 四边形DEGF =25a-4a=21a ， S 四边形BCGF =81a-25a=56a.∴S △ADE ∶S 四边形DEGF ∶S 四边形BCGF =4∶21∶56.10如图1-3-17，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形.图1-3-17(1)当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？ (2)当△ACP∽△PDB 时，求∠APB 的度数.思路分析:本题是一个探索型的问题，考查相似三角形的判定及性质，它给出了一个条件，让你自己再添加一个条件，可使两个三角形相似.因此，首先想到相似的判定方法，因又限制了三条边的关系，所以是对应边就成比例.当三角形相似以后，那么对应角相等，易求∠APB. 解：（1）∵△PCD 是等边三角形， ∴∠PCD=∠PDC=60°，PD=PC=CD. 从而∠ACP=∠PDB=120°. ∴当BDPCPD AC =时，△ACP∽△PDB. 即当CD 2=AC·BD 时，△ACP∽△PDB.（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD.∴∠APB=∠APC＋∠CPD＋∠DPB=∠PBD＋60°＋∠DPB=60°＋60°=120°.。

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1.3相似三角形的判定及性质同步检测一、选择题1. 已知△ABC∽△A'B'C'，下列选项中的式子,不一定成立的是( ）A.∠B=∠B' B。

∠A=∠C’ C。

AB BCA'B'B'C'= D.AB ACA'B'A'C'=答案:B解析：解答:很明显选项A，C,D均成立.因为∠A和∠C'不是对应角，所以∠A=∠C'不一定成立。

分析：本题主要考查了相似三角形的判定及性质，解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质定理分析即可.2. 如图，在△ABC中，FD∥GE∥BC，则与△AFD相似的三角形有( ）A.1个 B。

2个 C。

3个 D。

4个答案:B解析:解答:∵ FD∥GE∥BC,∴△AFD∽△AGE∽△ABC,故与△AFD相似的三角形有2个。

分析：本题主要考查了相似三角形的判定及性质，解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质分析即可。

3。

如图,在△ABC中，DE∥BC，点F是BC上一点,AF交DE于点G,则与△ADG相似的是( ）A.△AEGB.△ABFC。

2．相似三角形的性质1．相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径．如图，已知△ABC △ABC △AEF 4 cm 2，求sin A 的值．由题目条件证明△AEC ∽△AFB ，得AE ∶AF ＝AC ∶AB ，由此推知△AEF ∽△ACB ，进而求出线段EC 与AC 的比值． ∵CE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ， ∴∠AEC ＝∠AFB ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ，∴△AEC ∽△AFB . ∴AE AF ＝ACAB. 又∵∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACB . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2＝S △AEF S △ACB ＝436. ∴AE AC ＝26＝13. 设AE ＝k ，则AC ＝3k ， ∴EC ＝22k .∴sin A ＝EC AC ＝223.利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的．1．如图，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F .若AD ＝3，AB ＝5，求：(1)AG AF的值；(2)△ADE 与△ABC 的周长之比； (3)△ADE 与△ABC 的面积之比． 解：(1)在△ADE 与△ABC 中， 因为∠ADE ＝∠B ，∠BAD 为公共角， 所以△ADE ∽△ABC ，所以AG AF ＝AB AD ＝53. (2)△ADE 与△ABC 的周长之比等于它们的相似比， 即AD ∶AB ＝3∶5.(3)△ADE 与△ABC 的面积之比等于它们相似比的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB 2＝925.2.如图，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝2∶3.(1)求△AEF 与△CDF 周长的比； (2)若S △AEF ＝8，求S △CDF .解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD 且AB ＝CD . ∵AE EB ＝23， ∴AE AE ＋EB ＝22＋3，即AE AB ＝25. ∴AE CD ＝25. 又由AB ∥CD 知△AEF ∽△CDF ， ∴△AEF 的周长∶△CDF 的周长＝2∶5. (2)S △AEF ∶S △CDF ＝4∶25， 又S △AEF ＝8， ∴S △CDF ＝50.么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20 m 和30 m ，它们之间的距离为30 m ，小张身高为1.6 m ．小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？此题的解法很多，其关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题． 如图，设小张与教学楼的距离至少应有x m ，才能看到水塔．连接FD ，由题意知，点A 在FD 上，过F 作FG ⊥CD 于点G ，交AB 于点H ， 则四边形FEBH ，四边形BCGH 都是矩形． ∵AB ∥CD ，∴△AFH ∽△DFG . ∴AH ∶DG ＝FH ∶FG .即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x ∶(x ＋30)，解得x ＝55.2(m)． 故小张与教学楼的距离至少应有55.2 m 才能看到水塔．此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意，将实际问题转化成数学问题，构造相似三角形求解．3．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m ，已知小明的身高是1.6 m ，他的影长是2 m.(1)图中△ABC 与△ADE 是否相似？为什么？ (2)求古塔的高度． 解：(1)△ABC ∽△ADE .∵BC ⊥AE ，DE ⊥AE ，∴∠ACB ＝∠AED ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ADE . (2)由(1)得△ABC ∽△ADE ，∴AC AE ＝BCDE. ∵AC ＝2 m ，AE ＝2＋18＝20 m ，BC ＝1.6 m. ∴220＝1.6DE，∴DE ＝16 m. 答：古塔的高度为16 m.4．有一块三角形铁片ABC ，已知最长边BC ＝12 cm ，高AD ＝8 cm ，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，且矩形的长是宽的2倍．则加工成的铁片的面积为多少？解：本题有图(1)和图(2)两种情况．如图(1)，矩形的长EF 在BC 上，G 、H 分别在AC 、AB 上，高AD 交GH 于K ，设矩形的宽为x cm ，则长为2x cm.由HG ∥BC ，得△AHG ∽△ABC .得AK ∶AD ＝HG ∶BC ，所以(8－x )∶8＝2x ∶12，即x ＝247(cm)．则S 矩形EFGH ＝2x 2＝1 15249(cm 2)．如图(2)，矩形的宽MN 在BC 上，类似地可求得S 矩形MNPQ ＝18(cm 2)． 即加工成的铁片的面积为1 15249 cm 2或18 cm 2.课时跟踪检测(四)一、选择题1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝1∶2，且AD ＝4 cm ，则DB 等于( )A ．2 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．8 cm解析：选D 由DE ∥BC ，得△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝AE AC ，∴AD DB ＝AE EC ＝12. ∴DB ＝4×2＝8(cm)．2.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，AE 交对角线BD 于点G ，且△BEG 的面积是1 cm 2，则▱ABCD 的面积为( )A ．8 cm 2B ．10 cm 2C ．12 cm 2D ．14 cm 2解析：选C 因为AD ∥BC ，所以△BEG ∽△DAG ，因为BE ＝EC ，所以BE BC ＝BE DA ＝12.所以S △BEG S △DAG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BE DA 2＝14， 即S △DAG ＝4S △BEG ＝4(cm 2)． 又因为AD ∥BC ，所以AG EG ＝DABE＝2，所以S △BAG S △BEG ＝AGEG＝2， 所以S △BAG ＝2S △BEG ＝2(cm 2)，所以S △ABD ＝S △BAG ＋S △DAG ＝2＋4＝6(cm 2)， 所以S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝2×6＝12(cm 2)．3．如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则BF 的长是( )A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8解析：选D ∵△CBF ∽△CDE ， ∴BF DE ＝CB CD. ∴BF ＝DE ·CB CD ＝3×610＝1.8. 4．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，DC ＝80，那么EF 的值是( )A ．10B ．12C ．16D ．18解析：选C ∵AB ∥EF ∥CD ， ∴AE EC ＝AB DC ＝2080＝14. ∴EF AB ＝EC AC ＝45. ∴EF ＝45AB ＝45×20＝16.二、填空题5．(广东高考)如图，在平行四边形 ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F, 则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________.解析：由CD ∥AE ，得△CDF ∽△AEF ， 于是△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝AB AE ＝3.答案：36．如图，在△ABC 中有一个矩形EFGH ，其顶点E ，F 分别在AC ，AB 上，G ，H 在BC 上，若EF ＝2FG ，BC ＝20，△ABC 的高AD ＝10，则FG ＝________.解析：设FG ＝x ，因为EF ＝2FG ，所以EF ＝2x . 因为EF ∥BC ，所以△AFE ∽△ABC ，所以AM AD ＝EF BC ，即10－x 10＝2x 20，解得x ＝5，即FG ＝5. 答案：57．如图所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S 矩形ABCD ＝40 cm 2.S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5，则AE 的长为________．解析：因为∠BAD ＝90°，AE ⊥BD ， 所以△ABE ∽△DBA . 所以S △ABE ∶S △DBA ＝AB 2∶DB 2. 因为S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5， 所以AB ∶DB ＝1∶ 5. 设AB ＝k cm ，DB ＝5k cm ， 则AD ＝2k cm. 因为S 矩形ABCD ＝40 cm 2，所以k ·2k ＝40，所以k ＝25(cm)． 所以BD ＝5k ＝10 (cm)，AD ＝45(cm)． 又因为S △ABD ＝12BD ·AE ＝20，所以12·10·AE ＝20.所以AE ＝4(cm)． 答案：4 cm 三、解答题8．如图，已知△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E是AC 上的点，BE ，CD 交于点M .若AC ＝3AE ，求∠EMC 的度数．解：如图，作EF ⊥BC 于点F ， 设AB ＝AC ＝3，则AD ＝32，BC ＝32，CE ＝2，EF ＝FC ＝ 2.∴BF ＝BC －FC ＝2 2.∴EF ∶BF ＝2∶22＝1∶2＝AD ∶AC . ∴△FEB ∽△ADC ，∴∠2＝∠1. ∵∠EMC ＝∠2＋∠MCB ，∴∠EMC ＝∠1＋∠MCB ＝∠ACB ＝45°.DE ＝12CD .9.如图，▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD . ∴∠ABF ＝∠E . ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ，∴S △DEF S △CEB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE EC 2＝19， S △DEF S △ABF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE AB 2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8， ∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16.∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.10．如图所示，甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆AB 的高度，甲在操场上C 处直立 3 m高的竹竿CD ，乙从C 处退到E 处恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得CE ＝3 m ，乙的眼睛到地面的距离FE ＝1.5 m ；丙在C 1处也直立3 m 高的竹竿C 1D 1，乙从E 处退后6 m 到E 1处，恰好看到竹竿顶端D 1与旗杆顶端B 也重合，量得C 1E 1＝4 m ，求旗杆AB 的高．解：设F 1F 与AB ，CD ，C 1D 1分别交于点G ，M ，N ，GB ＝x m ，GM ＝y m.因为MD ∥GB ，所以∠BGF ＝∠DMF ，∠GBF ＝∠MDF ， 所以△BGF ∽△DMF ， 所以MD GB ＝MF GF.又因为MD ＝CD －CM ＝CD －EF ＝1.5 (m)， 所以1.5x ＝33＋y.①又因为ND 1∥GB ，同理可证得△BGF 1∽△D 1NF 1， 所以ND 1GB ＝NF 1GF 1， 即1.5x＝4y ＋3＋6.②解方程①②组成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝15.又AB ＝GB ＋GA ＝9＋1.5＝10.5(m)， 即旗杆AB 的高为10.5 m.。

三相似三角形判定及性质1．相似三角形判定1．了解三角形相似定义，掌握相似三角形判定定理以及直角三角形相似判定方法．2．会证明三角形相似，并能解决有关问题．1．相似三角形(1)定义：对应角____，对应边成____两个三角形叫做相似三角形，相似三角形______比值叫做相似比(或相似系数)．(2)记法：两个三角形相似，用符号“∽〞表示，例如△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.①三角形相似与三角形全等不同，全等三角形一定相似，但相似三角形不一定全等．②三角形相似定义中“对应边成比例〞是三组对应边分别成比例．③相似三角形对应顶点字母必须写在相应位置上，这一点与全等三角形是一致；例如△ABC与△DEF相似，假设点A与点E对应，点B与点F对应，点C与点D对应，那么记为△ABC∽△EF D．【做一做1】△ABC∽△A′B′C′，以下选项中式子，不一定成立是( )A．∠B＝∠B′ B．∠A＝∠C′C．ABA′B′＝BCB′C′D．ABA′B′＝ACA′C′2．相似三角形判定(1)平行线型：(2)相交线型：(3)旋转型：【做一做2－1】如下图，在△ABC中，FD∥GE∥BC，那么与△AFD相似三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【做一做2－2】如下图，DE 与BC 不平行，当AB AC＝__________时，△ABC ∽△AE D ．3．直角三角形相似判定定理(1)如果两个直角三角形有一个____对应相等，那么它们相似；(2)如果两个直角三角形两条直角边对应成____，那么它们相似．(3)如果一个直角三角形____与一条____边与另一个三角形斜边与一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．直角三角形被斜边上高分成两个直角三角形分别与原三角形相似．在证明直角三角形相似时，要特别注意利用直角这一条件．【做一做3】在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′＝90°，AB A ′B ′＝BC B ′C ′，∠B ＝35°，那么∠C ′＝__________. 答案：1．(1)相等 比例 对应边【做一做1】B 很明显选项A ，C ，D 均成立．因为∠A 与∠C ′不是对应角，所以∠A ＝∠C ′不一定成立．2．相交 相似 相等 相似 比例 相等 比例 第三边 比例【做一做2－1】B ∵ FD ∥GE ∥BC ，∴△AFD ∽△AGE ∽△ABC ，故与△AFD 相似三角形有2个．【做一做2－2】AE AD△ABC 与△ADE 有一个公共角∠A ，当夹∠A 两边对应成比例，即AB AC ＝AE AD时，这两个三角形相似． 3．(1)锐角 (2)比例 (3)斜边 直角【做一做3】55° ∵∠A ＝∠A ′＝90°，∴△ABC 与△A ′B ′C ′均是直角三角形．又AB A ′B ′＝BC B ′C ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. ∴∠C ′＝∠C ，又∠B ＝35°，∴∠C ＝90°－∠B ＝90°－35°＝55°，∴∠C ′＝55°. 同一法证明几何问题剖析：当直接证明一个几何问题比拟困难时，往往采用间接证明方法．“同一法〞就是一种间接证明方法．应用同一法证明问题时，往往先作出一个满足命题结论图形，然后证明图形符合命题条件，确定所作图形与题设条件所指图形一样，从而证明命题成立.例如，如下图，PQ ，T R 为⊙O 切线，P ，R 为切点，PQ ∥RPR 为⊙O 直径．证明：如图，延长PO 交R T 于点R ′，∵PO ⊥PQ ，∴PR ′⊥PQ .∵PQ ∥RT ，∴PR ′⊥RT ，即OR ′⊥RT .又∵TR 为⊙O 切线，R 为切点，∴OR ⊥RT ，∴点R ′与点R 重合，∴PR 为⊙O 直径．由上例可以看出，同一法证明几何问题步骤：(1)先作出一个符合结论图形，然后推证出所作图形符合条件；(2)根据唯一性，证明所作出图形与图形是全等或重合；(3)说明图形符合结论．题型一 判定三角形相似【例题1】如图，AB AD ＝BC DE ＝AC AE，求证：△ABD ∽△ACE . 分析：由于AB AD ＝AC AE ，得AB AC ＝AD AE，那么要证明△ABD ∽△ACE ，只需证明∠DAB ＝∠EAC 即可．反思：(1)此题中，∠DAB 与∠EAC 相等关系不易直接找到，这里用∠BAC ＝∠EAD ，在∠BAC 与∠EAD 中分别减去同一个角∠DAC ，间接证明．(2)判定两个三角形相似时，关键是分析哪些边对应成比例，哪些角对应相等，根据三角形相似判定定理，还缺少什么条件就能推导出结论．题型二 判定直角三角形相似【例题2】如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 中点，求证：△ADQ ∽△QCP .分析：由于这两个三角形都是直角三角形，且条件是线段间关系，故考虑证明对应边成比例，即只需证明AD QC ＝DQ CP即可． 反思：直角三角形相似判定方法很多，既可根据一般三角形相似判定方法判定，又有其独特判定方法，在求证、识别过程中，可由条件结合图形特征，确定适宜方法．题型三 证明线段成比例【例题3】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，BD 平分∠ABC ，求证：AB AC ＝CD BC. 分析：所要证明等式中四条线段AB ，AC ，CD ，BC 分别在△ABC 与△BCD 中，但这两个三角形不相似，由题意可得BD ＝CD ，这样AB ，AC ，BD ，BC 分别在△ABC 与△ABD 中，只需证明这两个三角形相似即可．反思：证明线段成比例，常把等式中四条线段分别看成两个三角形两条边，再证明这两个三角形相似即可，假设这四条线段不能分别看成两个三角形两边，那么利用相等线段进展转化，如此题中把CD 转化为B D ．题型四 证明两直线平行【例题4】如图，△ABC 中，D 是BC 中点，M 是AD 上一点，BM ，CM 延长线分别交AC ，AB 于F ，E 两点．求证：EF ∥B C ．分析：要证明EF ∥BC ，想通过角之间关系到达目显然是不可能，而要利用成比例线段判定两条直线平行判定定理，图中又没有平行条件，因此要设法作出平行线，以便利用判定定理．在作平行线时，要充分考虑到中点D 应用．反思：常利用引理来证明两条直线平行，如此题中三种证法，其关键是证明其对应线段成比例，这样又转化为证明线段成比例，其证明方法有：利用中间量，如此题证法一；转化为线段成比例，如此题证法二；既用中间量，又转化为线段成比例，如此题证法三．答案：【例题1】证明：因为AB AD ＝BC DE ＝AC AE，所以△ABC ∽△ADE . 所以∠BAC ＝∠EAD ，∠BAC －∠DAC ＝∠EAD －∠DAC ，即∠DAB ＝∠EAC .又AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝AD AE，所以△ABD ∽△ACE . 【例题2】证明：在正方形ABCD 中，∵Q 是CD 中点，∴AD QC ＝2.∵BP PC ＝3，∴BC PC＝4. 又BC ＝2DQ ，∴DQ CP＝2. 在△ADQ 与△QCP 中，AD QC ＝DQ CP＝2，∠C ＝∠D ＝90°， ∴△ADQ ∽△QCP .【例题3】证明：∵ BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝∠DBA ＝12∠ABC ， 又∠ABC ＝2∠C ，∴∠DBA ＝∠DBC ＝∠C ，∴BD ＝CD .在△ABD 与△ACB 中，∠A ＝∠A ，∠DBA ＝∠C ，∴△ABD ∽△ACB ，∴AB AC ＝BD BC ，∴AB AC ＝CD BC. 【例题4】证法一：延长AD 至G ，使DG ＝MD ，连接BG ，CG ，如以下图所示．∵BD ＝DC ，MD ＝DG ，∴四边形BGCM 为平行四边形．∴EC ∥BG ，FB ∥CG .∴.∴EF ∥BC .证法二：过点A 作BC 平行线，与BF ，CE 延长线分别交于G ，H 两点，如下图．∵AH ∥DC ，AG ∥BD ，∴AH DC ＝AM MD ，AG BD ＝AM MD ，∴AH DC ＝AG BD. ∵BD ＝DC ，∴AH ＝AG .∵HG ∥BC ，∴AE EB ＝AH BC ，AF FC ＝AG BC. ∵AH ＝AG ，∴AE EB ＝AF FC.∴EF ∥BC . 证法三：过点M 作BC 平行线，分别与AB ，AC 交于G ，H 两点，如以下图所示．那么GM BD ＝AM AD ，MH DC ＝AM AD， ∴GM BD ＝MH DC. ∵BD ＝DC ，∴GM ＝MH .∵GH ∥BC ，∴EM EC ＝GM BC ，FM FB ＝MH BC. ∵GM ＝MH ，∴EM EC ＝FM FB.∴EF ∥BC . 1如下图，在△ABC 中，DE ∥BC ，点F 是BC 上一点，AF 交DE 于G ，那么与△ADG 相似是( )A ．△AEGB ．△ABFC ．△AFCD ．△ABC2如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，那么图中与Rt△ADE 相似三角形个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43如下图，∠BAC ＝∠DCB ，∠CDB ＝∠ABC ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b .那么BD ＝__________(用a ，b 表示)．4如下图，O 是△ABC 内一点，且AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′.求证：AC ∥A ′C ′.5如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 平分线，求证：AD 2＝DC ·A C ．答案：1．B 在△ABF 中，DG ∥BF ，那么△ADG ∽△ABF .2．D 题图中Rt△CBA ，Rt△CAD ，Rt△ABD ，Rt△DBE 均与Rt△ADE 相似．3．b 2a 由题意，可得△ABC ∽△CDB ，∴AC BC ＝BC BD， ∴BD ＝BC 2AC ＝b 2a. 4．证明：∵AB ∥A ′B ′，∴OA ′OA ＝OB ′OB. 又∵BC ∥B ′C ′，∴OB ′OB ＝OC ′OC. ∴OA ′OA ＝OC ′OC.∴AC ∥A ′C ′. 5．分析：有一个角是36°等腰三角形，它底角是72°，而BD 是底角平分线，所以∠CBD ＝36°，那么可推出△ABC ∽△BCD ，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间比例关系．证明：∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝72°. 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝36°.∴AD ＝BD ＝BC ，且△ABC ∽△BCD .∴BC ∶AB ＝CD ∶BC .∴BC 2＝AB ·CD .又BC ＝AD ，AB ＝AC ，∴AD 2＝AC ·CD .。

三相似三角形的判定及性质[学习目标]1.理解相似三角形的定义.2.理解预备定理的本质.3.会证明判定定理1，2，3，理解这些定理的内容，能应用这些定理证明相关的几何问题.4.掌握直角三角形相似的判定定理，会应用定理证明相关的几何问题.[知识链接]1.在初中我们学习过相似三角形，想一想，相似三角形及相似比是如何定义的？提示对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数).2.判断下列各命题的正确性，正确的打“√”，错误的打“×”(1)两个等边三角形相似(√)(2)两个直角三角形相似(×)(3)两个等腰直角三角形相似(√)(4)有一个角为50°的两个等腰三角形相似(×)(5)有一个角为100°的两个等腰三角形相似(√)[预习导引]1.相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形，相似三角形对应边的比值叫作相似比(或相似系数).(2)记法：两个三角形相似，用符号“∽”表示，例如△ABC与△A′B′C′相似，记作1 / 15△ABC∽△A′B′C′.2.相似三角形的判定(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似.(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.(3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.4.相似三角形的性质定理(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(2)相似三角形周长的比等于相似比.(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.5.两个相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比等于相似比，外接(内切)圆的面积比等于相似比的平方.6.相似三角形的性质和全等三角形的性质比较3 / 15对应高相等 对应高的比等于相似比 周长相等 周长比等于相似比 面积相等面积比等于相似比的平方 外接(内切)圆的直径相等 外接(内切)圆的直径比等于相似比 外接(内切)圆的周长相等 外接(内切)圆的周长比等于相似比 外接(内切)圆的面积相等外接(内切)圆的面积比等于相似比的平方要点一 相似三角形的判定例1 如图所示，∠ABC ＝∠D ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，△ABC 与△CDB 相似？解 (1)∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°，∴当AC BC ＝BCBD时，△ABC ∽△CDB .即a b ＝b BD，∴BD ＝b 2a时，△ABC ∽△CDB .(2)∵∠ABC ＝∠BDC ＝90°，∴当AC BC ＝ABBD时，△ABC ∽△BDC ，即a b ＝a 2－b 2BD， ∴BD ＝b a 2－b 2a时，△ABC ∽△BDC .5 / 15综上，当BD ＝b 2a 或BD ＝b a 2－b 2a时，△ABC 与△CDB 相似.规律方法 解决此类问题，重点应放在“对应关系”上，根据“对应关系”进行合理的讨论是解题的关键.跟踪演练1 如图所示，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，满足AB 2＝DB ·CE . (1)求证：△ADB ∽△EAC ；(2)若∠BAC ＝40°，求∠DAE 的度数. (1)证明 ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABD ＝∠ECA .又∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB DB ＝CE AB ＝CEAC，∴AB CE ＝DBAC，∴△ADB ∽△EAC . (2)解 ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，∴∠ABC ＝70°. 又∵△ADB ∽△EAC ，∴∠D ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠DAB ＋∠BAC ＋∠EAC ＝∠DAB ＋∠BAC ＋∠D ＝∠ABC ＋∠BAC ＝70°＋40°＝110°.要点二 直角三角形的判定例2 如图所示，矩形ABCD 中，AB ∶BC ＝5∶6，点E 在BC 上，点F 在CD 上，且EC ＝16BC ，FC ＝35CD .求证：△AFD ∽△FEC .证明 设EC ＝x ，则BC ＝AD ＝6x ，AB ＝DC ＝5x ，∴FC ＝3x ，FD ＝2x ，∴AD FC ＝6x 3x ＝2，FD EC ＝2xx＝2，∴AD FC ＝FDEC，又∵∠D ＝∠C ＝90°， ∴△AFD ∽△FEC .规律方法 直角三角形相似的判定方法很多，既可根据一般三角形相似的判定方法，又有其独特的判定方法，在求证、识别的过程中可由已知条件结合图形特征，确定合适的方法. 跟踪演练2 如图所示，直线EF 交AB ，AC 于点F ，E ，交BC 的延长线于点D ，AC ⊥BC ，且AB ·CD ＝DE ·AC .求证：AE ·CE ＝DE ·EF . 证明 ∵AB ·CD ＝DE ·AC ，∴AB DE ＝ACCD. ∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∴Rt △ACB ∽Rt △DCE ， ∴∠A ＝∠D . 又∵∠AEF ＝∠DEC ， ∴△AEF ∽△DEC ，∴AE DE ＝EFCE，∴AE ·CE ＝DE ·EF . 要点三 相似三角形的性质例3 如图所示，在△ABC 和△DBE 中，AB DB ＝BC BE ＝AC DE ＝53.(1)若△ABC 与△DBE 的周长之差为10 cm ，求△ABC 的周长； (2)若△ABC 与△DBE 的面积之和为170 cm 2，求△DBE 的面积.解 (1)∵AB DB ＝BC BE ＝ACDE，7 / 15∴△ABC ∽△DBE . ∴△ABC 的周长△DBE 的周长＝AB DB ＝53.设△ABC 的周长为5x cm ， 则△DBE 的周长为3x cm ，依题意，得5x －3x ＝10，解得x ＝5. ∴△ABC 的周长为25 cm. (2)∵△ABC ∽△DBE ，∴S △ABC S △DBE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532＝259. 设S △ABC ＝25y cm 2， 则S △DBE ＝9y cm 2，依题意，得25y ＋9y ＝170，解得y ＝5. ∴△DBE 的面积为45 cm 2.规律方法 在利用相似三角形的性质建立比例式时，一定要注意比的顺序，才能得出正确的结果.跟踪演练3 如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，S △ADE ∶S △ABC ＝4∶9. 求：(1)AE ∶EC ； (2)S △ADE ∶S △CDE .解 (1)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2＝49，∴AE AC ＝23，AE EC ＝21. (2)如图所示，作DF ⊥AC 于F ，则S △ADE ＝12DF ·AE ，S △CDE ＝12DF ·EC ，∴S △ADE S △CDE ＝12DF ·AE12DF ·EC ＝AE EC ＝21.1.相似三角形判定定理的作用 (1)可以用来判定两个三角形相似； (2)间接证明角相等，线段长成比例； (3)为计算线段的长度及角的大小创造条件.2.三角形相似的判定定理的一些常见推论 推论1：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似； 推论2：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似；推论3：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似.推论4：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似.3.相似三角形的性质定理的内容归纳起来主要有两个方面：一是相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线以及周长)的比等于相似比；二是相似三角形面积的比等于相似比的平方，运用性质定理，拓宽思路，可以探讨得到：两个相似三角形中的所有对应图形(所有对应线段如等分线段，等分角线以及外接圆与内切圆的直径、周长、面积等)与相似比都有一定的关系.1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，点F 是BC 上的一点，AF 交DE 于点G ，则与△ADG 相似的是( )9 / 15A.△AEGB.△ABFC.△AFCD.△ABC解析 在△ABF 中，DG ∥BF ，则△ADG ∽△ABF . 答案 B2.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，则图中与Rt △ADE 相似的三角形个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 图中Rt △CBA ，Rt △CAD ，Rt △ABD ，Rt △DBE 均与Rt △ADE 相似. 答案 D3.(2016·深圳调考)如图所示，∠BAC ＝∠DCB ，∠CDB ＝∠ABC ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b .则BD ＝________(用a ，b 表示).解析 由题意可得△ABC ∽△CDB ，∴AC BC ＝BC BD ，∴BD ＝BC 2AC ＝b 2a .答案 b 2a4.(2016·天津南开中学检测)如图所示，已知点D 是△ABC 中AB 上的一点，DE ∥BC 且交AC 于点E ，EF ∥AB 且交BC 于点F ，且S △ADE ＝1，S △EFC ＝4，求四边形BFED 的面积. 解 ∵AB ∥EF ，DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，△EFC ∽△ABC ， ∴△ADE ∽△EFC . 又S △ADE ∶S △EFC ＝1∶4， ∴AE ∶EC ＝1∶2， ∴AE ∶AC ＝1∶3. ∴S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9.∵S △ADE ＝1，∴S △ABC ＝9.∴S 四边形BFED ＝S △ABC －S △ADE －S △EFC ＝9－1－4＝4.一、基础达标1.在△ABC 中，P 为AB 上一点，在下列四个条件中：①∠ACP ＝∠B ；②∠APC ＝∠ACB ；③AC 2＝AP ·AB ；④AB ·CP ＝AP ·CB .其中，能判定△APC 与△ACB 相似的条件是( ) A.①②④ B.①③④ C.②③④D.①②③解析 如图，∵∠A ＝∠A ，∴①∠ACP ＝∠B ，②∠APC ＝∠ACB 时，都满足三角形相似的条件； 当AC 2＝AP ·AB 时，即AC AB ＝APAC，∴③也满足相似条件；④中两个对应边的夹角不是∠A ，故不相似. 答案 D2.如图所示，△ABC ∽△AED ∽△AFG ，DE 是△ABC 的中位线，△ABC 与△AFG 的相似比是3∶2，则△AED 与△AFG 的相似比是( ) A.3∶4 B.4∶3 C.8∶9D.9∶8解析 因为△ABC 与△AFG 的相似比是3∶2，故AB ∶AF ＝3∶2，又△ABC 与△AED 的相似比是2∶1，即AB ∶AE ＝2∶1，故△AED 与△AFG 的相似比k ＝AE ∶AF ＝AB AF ·AE AB ＝32×12＝34.故选A.答案 A3.在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为( ) A.1∶ 3B.1∶2C.1∶3D.1∶4解析如图，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE∶S△ABC＝2∶(6＋2)＝1∶4，∴DE∶BC＝1∶2.答案 B4.(2016·黄冈调考)如图，在▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2，△AEF的面积为6，则△ADF的面积为________.解析∵AE∥DC，AE∶EB＝1∶2，∴△AEF∽△CDF，且相似比EFFD ＝AEDC＝AEAB＝AEAE＋EB＝13，又△AEF的边EF上的高与△ADF的边DF上的高相等，∴S△AEFS△ADF＝EFFD＝13.又S△AEF＝6，∴S△ADF＝18.答案185.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线BD⊥DC，AD＝3，BC＝7，则BD2＝________. 解析∵∠ADC＋∠BCD＝180°，∠BDC＝90°，∴∠ADB＋∠BCD＝90°.而∠ADB＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BCD.又∠BAD＝∠BDC＝90°，∴Rt△ABD∽Rt△DCB.∴ADBD＝BDBC.∴BD2＝AD·BC＝3×7＝21.答案2111 / 156.如图所示，在▱ABCD 中E ，F 分别在AD 与CB 的延长线上，请写出图中所有的相似三角形.解 ∵AB ∥CD ，∴△EDH ∽△EAG ，△CHM ∽△AGM ，△FBG ∽△FCH .又∵AD ∥BC ，∴△AEM ∽△CFM ，△EDH ∽△FCH ，△AEG ∽△BFG ，△ABC ∽△CDA .∴图中的相似三角形有△AEM ∽△CFM ，△AGM ∽△CHM ，△EDH ∽△EAG ∽△FBG ∽△FCH ， △ABC ∽△CDA .二、能力提升7.在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，点D 为AC 上一点，DC ＝23AC ，在AB 上取一点E ，得到△ADE ，若△ADE 与△ABC 相似，则DE 的长为( )A.6B.8C.6或8D.14解析 当△ADE ∽△ACB 时，则AD AC ＝DE BC ，∴DE ＝18×412＝6，当△ADE ∽△ABC 时，则AD AB ＝DE BC ，∴DE ＝18×49＝8. 答案 C8.如图，BD ⊥AE ，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3.则DE ＝________，CE ＝________. 解析 在Rt △ACE 和Rt △ADB 中，∠A 是公共角，∴△ACE ∽△ADB ，∴AB AE ＝ADAC. ∴AE ＝AB ·AC AD ＝AB ·（AB ＋BC ）AD ＝4×（4＋2）3＝8. 则DE ＝AE －AD ＝8－3＝5.13 / 15在Rt △ACE 中，CE ＝AE 2－AC 2＝82－（4＋2）2＝27.答案 5 279.如图所示，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________. 解析 ∵∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ＝90°，∴△AEB ∽△ACD ，从而得AB AD ＝AE AC ，612＝AE 4，解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2.答案 4 210.如图，已知在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，有BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点.求证：△ADQ ∽△QCP .证明 在正方形ABCD 中，∵Q 是CD 的中点，∴AD QC＝2. ∵BP PC ＝3，∴BC PC＝4. 又BC ＝2DQ ，∴DQ CP ＝2.在△ADQ 和△QCP 中，AD QC ＝DQ CP＝2，∠C ＝∠D ＝90°， ∴△ADQ ∽△QCP .11.如图所示，△ABC 为正三角形，D ，E 分别是AC ，BC 边上的点(不在顶点)，∠BDE ＝60°.(1)求证：△DEC ∽△BDA ；(2)若正三角形ABC 的边长为6，当D 点在什么位置时，可使BE 最短，此时BE 长是多少？(1)证明 ∵∠BDE ＝60°，∴∠BDC ＝∠BDE ＋∠CDE ＝60°＋∠CDE .又∠BDC 是△ABD 的一个外角，且∠A ＝60°，∴∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝60°＋∠ABD ，∴∠CDE ＝∠ABD .又∵∠A ＝∠C ＝60°，∴△DEC ∽△BDA .(2)解 设DC ＝x ，BE ＝y ，则EC ＝6－y ，AD ＝6－x .由(1)可得EC AD ＝DC AB ，整理得6－y 6－x ＝x6，即y ＝16x 2－x ＋6(0<x <6)，配方得y ＝16(x －3)2＋92.∵0<x <6，∴当x ＝3时，y min ＝92，即DC ＝3，也就是D 是边AC 的中点时，BE 最短，此时BE 的长是92.三、探究与创新12.如图所示，在矩形ABCD 中，E 为AD 中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连接FC (AB >AE ).(1)△AEF 与△ECF 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.(2)设ABBC ＝k ，是否存在这样的k 值，使得△AEF 与△BCF 相似，若存在，证明你的结论，并求出k 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)相似.在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°.∵EF⊥EC，A，D，E共线，∴∠AEF＋∠DEC＝90°. 又∵∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.∴△AEF∽△DCE.∴EFEC＝AFDE.∵AE＝DE，∴EFEC＝AFAE.又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF.(2)存在.由于∠AEF＝90°－∠AFE<180°－∠CFE－∠AFE＝∠BFC，∴只能是△AEF∽△BCF.∠AEF＝∠BCF.由(1)知△AEF∽△DCE∽△ECF，∴∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠BCF，又∵∠DCE＋∠ECF＋∠BCF＝90°，∴∠DCE＝30°，∴ABBC＝CDBC＝CD2DE＝32，即k＝32.反过来，当k＝32时，DECD＝13，∠DCE＝30°，∠AEF＝∠DCE＝30°，∠ECF＝∠AEF＝30°，∴∠BCF＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF.∴△AEF∽△BCF.15 / 15。

三 相似三角形的判定及性质庖丁巧解牛知识·巧学一、三角形相似的预备定理在初中，我们已经学过相似三角形的知识，其定义是如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么称这两个三角形相似.对于三角形相似，其中对应边的比值叫做相似比(或相似系数).利用上一节所学的平行线分线段成比例定理，可得预备定理:平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形和原三角形相似.其原理如下:如图1-3-2，△ABC 中，DE∥BC，则由平行线分线段成比例定理，有BCDEAC AE AB AD ==，而由DE∥BC，易得∠D=∠B,∠E=∠C，又∠A 是公共角，所以△ABC 与△ADE 具备相似的条件，即△ABC 中，若DE∥BC，则△ABC∽△ADE.图1-3-2二、相似三角形的判定方法 判定两个三角形相似的方法有:(1)定义法，即对应边成比例，对应角相等的三角形是相似三角形.当然有了判定定理后，就不用定义判定了，这是因为定义中的条件太多，实际上并不需要.(2)平行法，即平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.这就是预备定理.最常用的是判定定理，即①判定定理1:两角对应相等，两三角形相似；②判定定理2:两边对应成比例、夹角相等,两三角形相似；③判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似.方法点拨 在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似.因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角.在连续两次证明相似时，在第二次使用判定定理2的情况较多.辨析比较 对于直角三角形相似的判定，除以上方法外，还有其他特殊的方法: (1)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似；(2)如果一个直角三角形的一条直角边和斜边与另外一个直角三角形的直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用. 三、相似三角形的性质如果两个三角形相似，那么它们的形状相同，只在大小上有所区别，这两个三角形的对应元素之间有很重要的关系，分别是:(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；(3)相似三角形的周长比等于相似比；(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方；(5)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方.利用这些关系，可以进行各种各样的求值和证明.问题·探究问题在初中，我们已经学过全等三角形，两个全等三角形的大小、形状是完全一样的，相似三角形是形状相同但大小不一样的三角形，显然，当两个相似三角形的相似比为1的时候，相似三角形就成了全等三角形，那么，这两者之间有哪些联系和差别呢？思路:鉴于相似三角形和全等三角形的类似点，在学习相似三角形的性质时，可以类比全等三角形的性质来研究.全等三角形相似三角形1 对应边相等对应边成比例2 对应角相等对应角相等3 对应中线相等对应中线的比等于相似比4 对应角平分线相等对应角平分线的比等于相似比5 对应高相等对应高的比等于相似比6 周长相等周长比等于相似比7 面积相等面积比等于相似比的平方们研究相似三角形的性质的时候，切记从相似比入手即可，涉及到线段的比均等于相似比，只有面积的比是相似比的平方.典题·热题例1如图1-3-3，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则下列结论正确的是（）图1-3-3A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC思路分析：本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，用排除法结合条件易选出正确选项.答案：C深化升华判定三角形相似，首先考虑两角对应相等，特别是当图形中只有角的关系时，常常通过角的转换实现角的相等关系，还应该多注意公共角这一隐含条件的使用.例2如图1-3-4所示，已知D是△ABC中AB边上的一点，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE=1，S△EFC=4，则四边形BFED的面积等于（）图1-3-4A.2B.4C.5D.9思路分析：由题易得△ADE∽△EFC，S△ADE∶S△EFC=1∶4，∴AE∶EC＝1∶2，AE∶AC＝1∶3.∴S△ADE∶S△ABC=1∶9.∴S BFED=5.答案：C例3如图1-3-5，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD 2=DC·AC.图1-3-5思路分析：有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线， ∴∠CBD=36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形的对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明：∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°. 又∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°.∴AD=BD=BC，且△ABC∽△BCD.∴BC∶AB=CD∶BC.∴BC 2=AB·CD.∴AD 2=AC·CD.深化升华 (1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式ab=cd 或平方式a 2=bc ，一般都是先证明比例式b dc a =或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.例4如图1-3-6，已知在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD=AC ，DE⊥BC，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F.图1-3-6(1)求证:△ABC∽△FCD；(2)若S △FCD =5，BC ＝10，求DE 的长.思路分析：第(1)问,∵AD=AC，∴∠ACB=∠CDF.又D 是BC 中点，ED⊥BC， ∴∠B=∠ECD.∴△ABC∽△FCD.第(2)问利用相似三角形的性质，作AM⊥BC 于M ，易知S △ABC =4S △FCD . ∴S △ABC =20，AM=4.又∵AM∥ED，∴BMBDAM ED =，再根据等腰三角形的性质及中点，可以求出DE.也可运用△ABC∽△FCD，由相似比为2，证出F 是AD 的中点，通过“两三角形等底等高，则面积相等”，求出S △ABC =20.(1)证明：∵DE⊥BC，D 是BC 中点，∴EB=EC.∴∠B=∠1. 又∵AD=AC，∴∠2=∠ACB.∴△ABC∽△FCD. (2)解法一：过点A 作AM⊥BC，垂足为点M. ∵△ABC∽△FCD，BC=2CD ，∴)(CDBC S S FCD ABC =∆∆ 2=4. 又∵S △FCD =5，∴S △ABC =20.∵S △ABC=21BC·AM，BC=10，∴20=21×10×AM.∴AM=4. 又∵DE∥AM，∴BMBDAM ED =. ∵DM=21DC=25，BM=BD ＋DM ，BD=21BC=5，∴25554+=DE ∴DE=38. 解法二：作FH⊥BC，垂足为点H.图1-3-7∵S △FCD =21DC·FH，又∵S △FCD =5，DC=21BC=5， ∴5=21×5×FH.∴FH=2. 过点A 作AM⊥BC，垂足为点M ，∵△ABC∽△FCD，∴BC DC AM FH ==21.∴AM=4. 又∵FH∥AM，∴AM FH DM DH ==42=21. ∴点H 是DM 的中点.又∵FH∥DE，∴DCHCDE FH =. ∵HC=HM＋MC=415，∴54152=DE .∴DE=38.例5如图1-3-8，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m ，已知小明的身高是1.6 m ，他的影长是2 m.图1-3-8(1)图中△ABC 与△ADE 是否相似?为什么? (2)求古塔的高度.思路分析：由题意,知△ABC 与△ADE 相似，这是因为两个三角形均为直角三角形，并且这两个三角形有一个公共角，由判定定理可得相似，利用对应边成比例，可以获得塔高.解：(1)△ABC∽△ADE.理由如下：∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°. ∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE. (2)由(1)得△ABC∽△ADE,∴DEBCAE AC =. ∵AC＝2 m ，AE ＝2＋18＝20(m)，BC ＝1.6 m. ∴DE6.1202=.∴DE=16. 答:古塔的高度为16 m.例6一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图1-3-9(1)、(2)所示.那么哪位同学的加工方法符合要求？说说你的理由(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留).(1) (2)图1-3-9思路分析：两个图形中均有相似三角形，图(1)中CB CD AB DE =，即225.1xx -=，可得正方形的边长，图(2)中可运用相似比等于对应高的比列出等式，进而求出正方形的边长.解：由AB=1.5米，S △ABC =1.5平方米，得BC=2米.如图1-3-9(1)，若设甲加工的桌面边长为x 米，由DE∥AB，推出Rt△CDE∽Rt△CBA，可求出x=76米. 如图1-3-9(2)，过点B 作Rt△ABC 斜边上的高BH ，交DE 于P ，交AC 于H. 由AB=1.5米，BC=2米，S △ABC =1.5平方米，得AC=2.5米，BH=1.2米. 设乙加工的桌面边长为y 米， ∵DE∥AC，∴Rt△BDE∽Rt△BAC. ∴AC DE BH BP =,即5.22.12.1y y =-.解之，得y=3730353076>=,即x>y,x 2>y 2, ∴甲同学的加工方法符合要求.深化升华 在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积.。

第一讲 相似三角形的判定及有关性质讲末检测一、选择题1.在△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝1∶2，且AD ＝4 cm ，则DB 等于( ) A.2 cmB.6 cmC.4 cmD.8 cm解析 如图，∵DE ∥BC ，∴AE EC ＝AD DB ＝12.又∵AD ＝4 cm ，∴DB ＝8 cm. 答案 D2.两个相似三角形对应边上的中线之比为3∶4，周长之和是35，那么这两个三角形的周长分别是( ) A.13和22 B.14和21 C.15和20D.16和19解析 由相似三角形周长之比，中线之比均等于相似比可得周长之比C 1C 2＝34.又∵C 1＋C 2＝35，∴C 1＝15，C 2＝20，即两个三角形周长分别为15，20. 答案 C3.如图所示，在△ABC 中，P ，Q 分别在BC 和AC 上，BP ∶CP ＝2∶5，CQ ∶QA ＝3∶4，则AR ∶RP 等于( )A.3∶14B.14∶3C.17∶3D.17∶14解析 如图，过点Q 作QM ∥AP 交PC 于M ，则CM MP ＝CQ QA ＝34.又∵BP PC ＝25，∴BPPM＝710.又RP QM ＝BP BM ＝717，QM AP ＝CQ AC ＝37，∴RP AP ＝317，∴AR RP ＝143. 答案 B4.如图所示，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于N ，若AB ＝14，AC ＝19，则MN 的长为( )C.3D.3.5解析 延长BN 交AC 于D ，则△ABD 为等腰三角形，∴AD ＝AB ＝14，∴CD ＝5.又M ，N 分别是BC ，BD 的中点，故MN ＝12CD ＝2.5.答案 B5.若三角形的三条边长之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21 cm ，则其余两边的长度之和为( )A.24 cmB.21 cmC.19 cmD.9 cm解析 设其余两边的长度分别为x cm ，y cm ，则217＝x 5＝y3，解得x ＝15，y ＝9，故x ＋y ＝24. 答案 A6.如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，对角线AC 与BD 交于点O ，有下列结论：①△AOB ∽△COD ；②△AOD ∽△ACB ；③S △DOC ∶S △AOB ＝DC ∶AB ；④S △AOD ＝S △BOC ，其中始终正确的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 ①④正确，②③错误. 答案 B7.如图所示，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，若S △AEF ＝6 cm 2，则S △CDF等于( ) A.54 cm 2B.24 cm 2C.18 cm 2D.12 cm 2解析 由题意知△AEF ∽△CDF ，∴S △AEF S △CDF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，∴S △CDF ＝9S △AEF ＝54 cm 2.答案 A8.如图所示，身高为1.6 m 的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C 处时，他的影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合，并测得AC ＝2 m ，BC ＝8 m ，则旗杆的高度是( ) A.6.4 m B.7 m C.8 mD.9 m解析 ∵CD ∥BE ，∴△ACD ∽△ABE ，∴CD BE ＝AC AB，∵AC ＝2 m ，BC ＝8 m ， ∴AB ＝10 m ，又∵CD ＝1.6 m ，∴1.6BE ＝210，∴BE ＝8(m).答案 C9.如图所示，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E 交AD 于F ，则图中相似三角形的对数是( ) A.3对 B.4对 C.5对D.6对解析 △ABD ∽△CBE ∽△AFE ∽△CFD ，共有6对. 答案 D10.如图，△ABC 中，AE ∶EB ＝1∶3，BD ∶DC ＝2∶1，AD 与CE 相交于F ，则EF FC ＋AFFD的值为( ) A.12 B.1 C.32D.2解析 如图，过D 作DG ∥CE 交AB 于G ，则BG GE ＝BD DC ＝21.又AE EB ＝13，∴AE ＝EG ， ∴AF FD ＝AE EG ＝1.又DG CE ＝BD BC ＝23，EF ＝12DG ， ∴EF CE ＝13，∴EF FC ＝12，∴EF FC ＋AF FD ＝32. 答案 C 二、填空题11.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________. 解析 如图，连接DE ，DB .∵点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点， ∴EF ＝12BD ，AE ＝EB ＝a 2.又∵CD ＝a2＝BE ，CB ⊥AB ，DC ∥AB ，∴DE 垂直平分线段AB . ∴BD ＝AD ＝a ，∴EF ＝a2.答案 a212.如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝2 cm ，则AC ＝________；若BD ＝10 cm ，则EF ＝________.解析 由E 是AB 的中点，EF ∥BD ，得EG ＝12AD ＝FD ＝2 cm ，结合CD ＝12AD ，可以得到F 、D 是AC 的三等分点， 则AC ＝3EG ＝6(cm).由EF ∥BD ，得EF ＝12BD ＝5(cm).答案 6 cm 5 cm13.已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，则AD 的长为________. 解析 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB .设AD ＝x ，则AB ＝5＋x ， 又AC ＝6，∴62＝x (x ＋5)，解得x ＝4或x ＝－9(舍). ∴AD ＝4. 答案 414.在△ABC 中，直线DE 与直线AB ，AC 分别交于点D ，E ，且DE ∥BC .若AD ＝1，DB ＝2，则DE ＋BCDE＝________. 解析 (1)若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则由DE ∥BC 知AD AB ＝DE BC ＝13，故DE ＋BCDE＝1＋3＝4.(2)若点D ，E 分别在BA ，CA 的延长线上， 则由DE ∥BC 知AD AB ＝DEBC ＝1，故DE ＋BCDE＝2. 综上，DE ＋BCDE＝4或2. 答案 4或2 三、解答题15.如图，已知AB AD ＝BC DE ＝ACAE.求证：△ABD ∽△ACE .证明 因为AB AD ＝BC DE ＝ACAE，所以△ABC ∽△ADE ，所以∠BAC ＝∠DAE ，∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠DAB ＝∠EAC . 又AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝AD AE， 所以△ABD ∽△ACE .16.如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE.证明 如图，过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线，DC 于M ，N .对△MEF 有PF PE ＝AMAE， 因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN 有AB AM ＝BD DN， 因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DC DN. 对△ADC 有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝AC AF .所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE. 17.如图所示，AD 、CF 是△ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线与AC 交于点Q .求证：PQ ＝CF . 证明 ∵AD 、CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB ＝∠BFC ＝90°. 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBF . ∴AD CF ＝ABCB. 又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC . ∴PQ BC ＝AP AB ，∴AP PQ ＝AB BC ，∴AD CF ＝AP PQ. 又∵AP ＝AD ，∴CF ＝PQ .18.如图所示，CD 为Rt △ABC 斜边上的中线，CE ⊥CD ，CE ＝103，连接DE 交BC 于点F ，AC＝4，BC ＝3， 求证：(1)△ABC ∽△EDC ； (2)DF ＝EF .证明 (1)在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，则AB ＝5.∵D 为斜边AB 的中点， ∴AD ＝BD ＝CD ＝12AB ＝2.5，∴CD CE ＝2.5103＝34＝BC AC，∵△ABC与△EDC都是直角三角形，∴△ABC∽△EDC.(2)由(1)知∠B＝∠CDF.∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，∴∠CDF＝∠DCF，∴DF＝CF.①由(1)知∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠ECF，由AD＝CD得∠A＝∠ACD，∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF.②由①②可知DF＝EF.。

第一讲相似三角形的判定及有关性质
本讲综述
在本讲中主要学习平行线分线段成比例定理及其推论，相似三角形、相似比等概念，相似三角形的判定定理和性质定理，直角三角形中的射影定理等，通过这些定理的学习，把握数学中的转化思想，提高逻辑思维能力.
本讲的重点是相似三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形中的射影定理，难点是证明相似三角形时如何寻求相似的条件，利用射影定理探讨线段之间的关系.
在本讲的探究证明中，掌握从特殊到一般和化归的思想方法，学会解决问题的程序模式.通过具体问题的解决，训练自己的逻辑推理技能，提高逻辑思维能力，进一步形成对数学的浓厚兴趣，发展对数学的深层认识.
学习本讲内容之前，需要回顾平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质，通过类比，理解平行线分线段成比例定理及其推论，理解相似三角形的判定定理和性质定理，事实上，全等是相似比为1的相似.
学习好本讲的关键是在三角形中寻找相似的条件，通常先找两个角对应相等，再找一个角对应相等，夹这个角的两边对应成比例；或找三边对应成比例.
学习本讲可以采用类比的方法，将相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质对比，这将有助于知识的理解与记忆.从特殊到一般的思考方法及化归的思想方法是本讲研究数学问题的重要方法，学习中要注意体会.
学习本讲时应注意特别强调证明，从问题的特殊性发现一般性结论后，必须对结论进行严格的证明，在证明过程中形成逻辑推理技能，提高逻辑思维能力；在发现和证明问题的过程中提高解决问题的能力.
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三相似三角形的判定及性质[学习目标]1.理解相似三角形的定义.2.理解预备定理的本质.3.会证明判定定理1，2，3，理解这些定理的内容，能应用这些定理证明相关的几何问题.4.掌握直角三角形相似的判定定理，会应用定理证明相关的几何问题.[知识链接]1.在初中我们学习过相似三角形，想一想，相似三角形及相似比是如何定义的？提示对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数).2.判断下列各命题的正确性，正确的打“√”，错误的打“×”(1)两个等边三角形相似(√)(2)两个直角三角形相似(×)(3)两个等腰直角三角形相似(√)(4)有一个角为50°的两个等腰三角形相似(×)(5)有一个角为100°的两个等腰三角形相似(√)[预习导引]1.相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形，相似三角形对应边的比值叫作相似比(或相似系数).(2)记法：两个三角形相似，用符号“∽”表示，例如△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.2.相似三角形的判定3.直角三角形相似的判定定理(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似.(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.(3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.4.相似三角形的性质定理(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(2)相似三角形周长的比等于相似比.(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.5.两个相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比等于相似比，外接(内切)圆的面积比等于相似比的平方.6.相似三角形的性质和全等三角形的性质比较要点一 相似三角形的判定例1 如图所示，∠ABC ＝∠D ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，△ABC 与△CDB 相似？ 解 (1)∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°， ∴当AC BC ＝BCBD 时，△ABC ∽△CDB . 即a b ＝b BD ，∴BD ＝b 2a 时，△ABC ∽△CDB .(2)∵∠ABC ＝∠BDC ＝90°， ∴当AC BC ＝ABBD 时，△ABC ∽△BDC ，即a b ＝a 2－b 2BD ， ∴BD ＝ba 2－b 2a时，△ABC ∽△BDC . 综上，当BD ＝b 2a 或BD ＝b a 2－b 2a时，△ABC 与△CDB 相似. 规律方法 解决此类问题，重点应放在“对应关系”上，根据“对应关系”进行合理的讨论是解题的关键.跟踪演练1 如图所示，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，满足AB 2＝DB ·CE . (1)求证：△ADB ∽△EAC ；(2)若∠BAC ＝40°，求∠DAE 的度数.(1)证明 ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABD ＝∠ECA . 又∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB DB ＝CE AB ＝CEAC ， ∴AB CE ＝DBAC ，∴△ADB ∽△EAC .(2)解 ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，∴∠ABC ＝70°. 又∵△ADB ∽△EAC ，∴∠D ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠DAB ＋∠BAC ＋∠EAC ＝∠DAB ＋∠BAC ＋∠D ＝∠ABC ＋∠BAC ＝70°＋40°＝110°. 要点二 直角三角形的判定例2 如图所示，矩形ABCD 中，AB ∶BC ＝5∶6，点E 在BC 上，点F 在CD 上，且EC ＝16BC ，FC ＝35CD . 求证：△AFD ∽△FEC .证明 设EC ＝x ，则BC ＝AD ＝6x ，AB ＝DC ＝5x ，∴FC ＝3x ，FD ＝2x ， ∴AD FC ＝6x 3x ＝2，FD EC ＝2xx ＝2， ∴AD FC ＝FDEC ，又∵∠D ＝∠C ＝90°， ∴△AFD ∽△FEC .规律方法 直角三角形相似的判定方法很多，既可根据一般三角形相似的判定方法，又有其独特的判定方法，在求证、识别的过程中可由已知条件结合图形特征，确定合适的方法.跟踪演练2 如图所示，直线EF 交AB ，AC 于点F ，E ，交BC 的延长线于点D ，AC ⊥BC ，且AB ·CD ＝DE ·AC .。