江苏省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(三)

2017-2018学年江苏省连云港市高二（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）命题“∀x＞0，x2﹣x＜0”的否定是．2．（5分）不等式x2﹣1＞0的解集为．3．（5分）“x＞1”是“x＞2”的条件．4．（5分）函数y=x+，x∈（2，+∞）的最小值为．5．（5分）已知等比数列{a n}中，若a3a4=2，则a1a2a3a4a5a6=．6．（5分）已知不等式x2﹣kx+k＞0恒成立，则实数k的取值范围为．7．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3=5，S4=15，则S6=．8．（5分）已知变量x，y满足条件，则z=2x+y的最小值为．9．（5分）已知实数x，y满足+=，则xy的最小值为．10．（5分）在等差数列{a n}中，a1，a3，a4成等比数列，则该等比数列的公比为．11．（5分）已知{a n}是各项均不为0的等差数列，S n为其前n项和，且对任意正整数n都有a n2=S2n﹣1，则a n=．12．（5分）已知正数a，b满足3ab﹣3=a+3b，则a+3b的最小值是．13．（5分）已知1＜a＜，则+的最小值为．14．（5分）已知递增数列{a n}的前n项和为S n，且S n﹣1+S n+S n+1=3n2+2（n≥2，n ∈N*），a1=1，S3k=324，则满足条件的正整数k的值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）命题p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0（其中a＞0），命题q：实数x 满足（x﹣2）（x﹣5）＜0．（1）若a=1，且命题“p∧q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．（14分）已知关于x的不等式ax2+bx﹣1≥0．（1）若此不等式的解集为[3，4]，求a+b的值；（2）若a=﹣1，解此不等式．17．（14分）国产汽车品牌“比亚迪BYD”的意思是“build your dreams”，意为“成就梦想”．已知一款比亚迪汽车在某地区购买时费用为16.9万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.1万元，第二年0.3万元，第三年0.5万元，…，依等差数列逐年递增．（1）设该车使用n年的总费用为f（n），求出f（n）的表达式；（2）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．18．（16分）等差数列{a n}中，a3=4，a5+a8=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＜；（3）设c n=a n×4，求数列{c n}的前n项和T n．19．（16分）在正项数列{a n}中，令S n=．（1）若{a n}是首项为25，公差为2的等差数列，求S100；（2）若（p为正常数）对正整数n恒成立，求证：{a n}为等差数列．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，记b n=．（1）若{a n}是首项为3，公差为d的等差数列，当3b1，2b2，b3成等差数列时，求d的值；（2）设数列{a n}是公比为q（q＞2）的等比数列，若存在r，t（r，t∈N*，r＜t）使得=，求q的值．2017-2018学年江苏省连云港市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）命题“∀x＞0，x2﹣x＜0”的否定是∃x＞0，x2﹣x≥0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x＞0，x2﹣x＜0”的否定为：∃x＞0，x2﹣x≥0．故答案为：∃x＞0，x2﹣x≥0．2．（5分）不等式x2﹣1＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【解答】解：根据题意，x2﹣1＞0，即x2＞1，解可得：x＜﹣1或x＞1，即不等式x2﹣1＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．3．（5分）“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件．【解答】解：若“x＞1”，则“x＞2”不成立，反之，“x＞2”时“x＞1”，成立，故答案为：必要不充分．4．（5分）函数y=x+，x∈（2，+∞）的最小值为8．【解答】解：∵x∈（2，+∞），∴x﹣2＞0，∴y=x+=（x﹣2）++2≥2+2=8．当且仅当x﹣2=，即x=5时，取等号，故函数y=x+，x∈（2，+∞）的最小值为8．故答案为：8．5．（5分）已知等比数列{a n}中，若a3a4=2，则a1a2a3a4a5a6=8．【解答】解：等比数列{a n}中，若a3a4=2，可得a1a6=a2a5=a3a4=2，则a1a2a3a4a5a6=23=8．故答案为：8．6．（5分）已知不等式x2﹣kx+k＞0恒成立，则实数k的取值范围为（0，4）．【解答】解：不等式x2﹣kx+k＞0恒成立，可得△＜0，即为k2﹣4k＜0，解得0＜k＜4．则k的取值范围是（0，4）．故答案为：（0，4）．7．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3=5，S4=15，则S6=63．【解答】解：等比数列{a n}的公比设为q，前n项和为S n，a1+a3=5，S4=15，（q不为1，否则条件不成立），可得a1+a1q2=5，a1q+a1q3=15﹣5=10，解得a1=1，q=2，则S6===63．故答案为：63．8．（5分）已知变量x，y满足条件，则z=2x+y的最小值为3．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），由z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过点A（1，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3．故答案为：3．9．（5分）已知实数x，y满足+=，则xy的最小值为2．【解答】解：∵实数x，y满足+=，∴x＞0，y＞0，xy=（）2，∴（xy）3=（2x+y）2≥8xy，∴xy[（xy）2﹣8]≥0，∴或xy≤﹣2（舍）．∴xy的最小值为2．故答案为：2．10．（5分）在等差数列{a n}中，a1，a3，a4成等比数列，则该等比数列的公比为，或1．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1a4，即（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得d=0 或a1=﹣4d．若d=0，则等比数列的公比q=1．若a1=﹣4d，则等比数列的公比q===．故答案为，或1．11．（5分）已知{a n}是各项均不为0的等差数列，S n为其前n项和，且对任意正整数n都有a n2=S2n﹣1，则a n=2n﹣1．【解答】解：对任意正整数n都有a n2=S2n﹣1，∴a n2==（2n﹣1）a n，由已知可得：a n≠0，解得a n=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．12．（5分）已知正数a，b满足3ab﹣3=a+3b，则a+3b的最小值是6．【解答】解：∵正数a，b满足3ab﹣3=a+3b，∴a+3b+3=3ab≤，∴（a+3b）2﹣4（a+3b）﹣12≥0，解得a+3b≤﹣2（舍）或a+3b≥6．∴a+3b的最小值是6．故答案为：6．13．（5分）已知1＜a＜，则+的最小值为9．【解答】解：1＜a＜，则+=+=[（3﹣2a）+（2a﹣2）]（+）=5++≥5+2=9，当且仅当2a﹣2=2（3﹣2a），即a=时取得最小值9．故答案为：9．14．（5分）已知递增数列{a n}的前n项和为S n，且S n﹣1+S n+S n+1=3n2+2（n≥2，n ∈N*），a1=1，S3k=324，则满足条件的正整数k的值为6．【解答】解：设a2=x，由S n﹣1+S n+S n+1=3n2+2，得，∴，∴a3=11﹣2x，a4=x+4，又S n+S n+1+S n+2=3（n+1）2+2（n≥2，n∈N+），∴a n+a n+1+a n+2=6n+3，n≥2，n∈N+，a n﹣1+a n+a n+1=6n﹣3，n≥3，n∈N+，﹣a n﹣1=6，n≥3，n∈N+，∴a n+2∴a5=x+6，∵数列{a n}为递增数列，∴a1＜a2＜a3＜a4＜a5，解得＜x＜，由S3k=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3k﹣2+a3k﹣1+a3k）=12﹣x+[6×4+3+6（3k﹣2）+3]（k﹣1）=9k2﹣x+3=324，∴9k2﹣321∈（，），解得k=6．故答案为：6二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）命题p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0（其中a＞0），命题q：实数x 满足（x﹣2）（x﹣5）＜0．（1）若a=1，且命题“p∧q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）命题p：实数x满足x2﹣5x+4＜0，p真时，解得1＜x＜4；q真时，解得2＜x＜5，则命题“p∧q”为真，即p真且q真，可得x的取值范围是（2，4）；（2）p真时，可得a＜x＜4a（a＞0）；q真时，解得2＜x＜5，若p是q的必要不充分条件，可得（2，5）⊊（a，4a），即有a≤2＜5≤4a，解得≤a≤2，则a的取值范围是[，2]．16．（14分）已知关于x的不等式ax2+bx﹣1≥0．（1）若此不等式的解集为[3，4]，求a+b的值；（2）若a=﹣1，解此不等式．【解答】解：（1）ax2+bx﹣1≥0的解集为[3，4]，可得3，4为方程ax2+bx﹣1=0的两根，即有3+4=﹣，3×4=﹣，解得a=﹣，b=，则a+b=﹣+=；（2）a=﹣1时，原不等式即为﹣x2+bx﹣1≥0，即x2﹣bx+1≤0，若△＜0即b2﹣4＜0，即﹣2＜b＜2时，原不等式的解集为∅；若△=0，即b=﹣2或2时，解集为{﹣1}或{1}；若△＞0，即b＞2或b＜﹣2时，x1=，x2=，可得x1＜x2，则原不等式的解集为[，]．综上可得，﹣2＜b＜2时，原不等式的解集为∅；b=﹣2或2时，解集为{﹣1}或{1}；b＞2或b＜﹣2时，原不等式的解集为[，]．17．（14分）国产汽车品牌“比亚迪BYD”的意思是“build your dreams”，意为“成就梦想”．已知一款比亚迪汽车在某地区购买时费用为16.9万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.1万元，第二年0.3万元，第三年0.5万元，…，依等差数列逐年递增．（1）设该车使用n年的总费用为f（n），求出f（n）的表达式；（2）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．【解答】解：（1）依题意f（n）=16.9+（0.1+0.3+0.5+…+0.2n﹣0.1）+0.9n=0.1n2+0.9n+16.9，（2）设该车的年平均费用为S万元，则有S=f（n）=0.1n++0.9≥2+0.9=2.2，当且仅当0.1n=，即n=13时，等号成立．故汽车使用13年报废为宜．年报废为宜．18．（16分）等差数列{a n}中，a3=4，a5+a8=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＜；（3）设c n=a n×4，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】（1）解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=4，a5+a8=15．∴a1+2d=4，2a1+11d=15，解得a1=2，d=1．∴a n=2+（n﹣1）=n+1．（2）证明：由（1）可得：a n=n+1．b n===，∴数列{b n}的前n项和为S n=++…+=．（3）解：c n=a n×4=（n+1）•4n+1．∴数列{c n}的前n项和T n=2×42+3×43+4×44+…+（n+1）•4n+1，4T n=2×43+3×44+…+n•4n+1+（n+1）•4n+2，∴﹣3T n=2×42+43+44+…+4n+1﹣（n+1）•4n+2=16+﹣（n+1）•4n+2，解得：T n=．19．（16分）在正项数列{a n}中，令S n=．（1）若{a n}是首项为25，公差为2的等差数列，求S100；（2）若（p为正常数）对正整数n恒成立，求证：{a n}为等差数列．【解答】解：（1）∵a n=25+2（n﹣1）=2n+23．==．∴S100=++…+==5．（2）证明：∵（p为正常数）对正整数n恒成立，S n=．则n=1时，=，可得p=1．∴S n=．n≥2时=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：﹣=．∴﹣a2=a1+…+，∴a n=（n﹣1）a2+（2﹣n）a1=a1+（n﹣1）（a2﹣a1）为等差数列．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，记b n=．（1）若{a n}是首项为3，公差为d的等差数列，当3b1，2b2，b3成等差数列时，求d的值；（2）设数列{a n}是公比为q（q＞2）的等比数列，若存在r，t（r，t∈N*，r＜t）使得=，求q的值．【解答】解：（1）{a n}是首项为3，公差为d的等差数列，∴a n=3+d（n﹣1）．当3b1，2b2，b3成等差数列时，可得：4b2=3b1+b3，∴=+，化为：2（a1+a2+a3）=3（a1+a2）+a1+a2+a3+a4，化为：2a1+2a2﹣a3+a4=0，∴4a1+3d=0，即12+3d=0，解得d=﹣4．（2）数列{a n}是公比为q（q＞2）的等比数列，则，（q＞2）．若存在r，t（r，t∈N*，r＜t）使得=，∴=，设f（n）=，n≥2，n∈N*，则f（n+1）﹣f（n）=﹣=，∵q＞2，n≥2，∴（q﹣1）n2+2（q﹣2）n﹣3＞n2﹣3≥1＞0，∴f（n+1）﹣f（n）＞0，即f（n+1）＞f（n），∴f（n）为单调递增，∴当r≥2时，t＞r≥2，则f（t）＞f（r），即＞，这与=互相矛盾，∴r=1时，即=，若t≥3，则f（t）≥f（3）==•＞，即＞，这与＞互相矛盾，于是t=2，∴=，整理得3q3﹣8q2+5=0即3q2﹣5q﹣5=0，解得：q=，由q＞2，则q=，q的值．。

江苏省苏州中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题第II 卷（非选择题)一、填空题1．两个相交平面能把空间分成 个部分.2．直线x －y ＋2＝0的倾斜角是________3．若点()1,t 在过点()0,1和()3,4的直线上，则实数t 的值为________4．过点()4,3P 且在两坐标轴上的截距相等的直线共________条.5．对任意实数m ，直线30mx y m --+=恒过定点，则该定点的坐标为_________ 6．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，则其四个面中直角三角形的个数为____7．底面直径和高均为2的圆柱的体积为________8．已知二面角设l αβ--的大小为60o ，m α⊂，m l ⊥，n β⊂，//n l ，则下列说法中正确的个数为________________①//m n ②m n ⊥ ③//m β ④m β⊥ ⑤//n α ⑥n α⊥9．若各棱长均为1的正六棱柱的12个顶点都在球O 上，则球O 的表面积为____ 10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________11．在正四面体ABCD 中，直线AB 与平面ACD 所成角的余弦值为_________ 12．在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________13．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______14．小明在解题中发现函数()32x f x x -=-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,2⎡⎤⎢⎥，类似地，他研究了函数()3g x =，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____二、解答题15．已知过点()3,4P 的直线1l 与直线:3450l x y +-=平行.（1）求直线1l 的方程；（2）求直线1l 与直线l 之间的距离；（3）若过点 ()3,4P 的直线2l 与直线l 相交于点Q ，且4PQ =，求直线2l 的方程. 16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中.（1）求证：//AC 平面1111D C B A（2）求证： 1,AC BC 为异面直线（3）求直线AC 与1BC 所成角的大小.17．已知点()4,1P 关于直线:230l x y -+=的对称点为Q .（1）求点Q 的坐标；（2）若点N 在直线l 上，点O 为坐标原点，在下列条件下求点N 的坐标；①||||ON NP +最小②||||ON NP -最小18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=o ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=o ，AB AC =，E 、F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上.（1）若M 为PD 的中点，求证：平面//MEF 平面PAB ;（2）求证：EF ⊥平面PAC ;（3）若1AP AB ==，求点D 到平面PBC 的距离.19．小明设计了一款正四棱锥形状的包装盒，如图所示，ABCD 是边长为40cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒，设正四棱锥底面正方形的边长为x cm .（1）试用x 表示该四棱锥的高度h ，并指出x 的取值范围；（2）若要求侧面积不小于2600cm ，求该四棱锥的高度的最大值，并指出此时该包装盒的容积.20．已知1α，2α为实数，过原点O 分别作直线111:cos sin 10l x y αα+-=，222:cos sin 10l x y αα+-=的垂线，垂足分别为1H ，2H .（1）若10,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且直线1l 与x 轴、y 轴交于A ,B 两点，当OAB ∆面积最小时，求实数1α的值；（2）若直线12H H 过点1,02P ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线1l 与2l 的交点为Q ，求证：点Q 在一条直线上.参考答案1．4【解析】试题分析：画出示意图即可得：两个相交平面能把空间分成2个部分考点：本题考查了平面的基本性质及推论点评：解答本题，关键是了解两个平面的位置关系，根据模型分析即可2．45°.【解析】分析：先将一般式方程化成斜截式，写出直线的斜率和倾斜角．详解：将20x y ++=化为2y x =--，则该直线的斜率为1-，其倾斜角为3π4． 点睛：本题考查直线的方程、直线的斜率和倾斜角等知识，意在考查学生的基本运算能力． 3．2【解析】【分析】求出过点()0,1和()3,4的直线方程，将1x =代入方程，即可求解.【详解】过点()0,1和()3,4的直线方程为1y x =+，当1x =时，2,2y t =∴=.故答案为:2.【点睛】本题考查点共线以及直线方程，属于基础题.4．2【解析】【分析】直线过原点截距均为0，直线不过原点设为截距式，即可求出结论.【详解】若直线过原点，方程为34y x =， 当直线不过原点，依题意设直线方程为1x y a a+=， (4,3)P 代入直线方程得71,7a a==， 所求的直线方程为70x y +-=，所以过()4,3P 且在两坐标轴上的截距相等的直线共2条.故答案为:2.【点睛】本题考查直线的几何特征，注意过原点的直线在x 轴的截距是在y 轴截距的任意倍，属于基础题.5．(1,3)【解析】【分析】将直线方程化为点斜式，即可求解.【详解】30mx y m --+=化为3(1)y m x -=-，方程表示过点(1,3)斜率为m 的直线方程，所以直线过定点(1,3).故答案为:(1,3).【点睛】本题考查直线方程一般式与其它形式之间互化，属于基础题.6．4【解析】【分析】根据已知可得,,AB BC AB BD BC CD ⊥⊥⊥，可证CD ⊥平面ABC ，即可得出结论.【详解】如图所示四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，,,AB BC AB BD AB CD ⊥⊥⊥，,ABC ABD V V 为直角三角形，,,,BC CD BC AB B BC AB ⊥=⊂I 平面ABC ，CD \^平面,ABC CD AC ∴⊥，,ACD BCD ∴V V 为直角三角形，四面体ABCD 中，四个面中都是直角三角形.故答案为:4.【点睛】本题考查线线垂直的判定，线面垂直是解题的关键，要注意空间中的垂直关系相互转化，属于基础题.7．2π【解析】【分析】根据圆柱的体积公式，即可求解.【详解】底面直径和高均为2的圆柱的体积为2122ππ⨯⨯=.故答案为:2π.【点睛】本题考查柱体的体积，熟记公式是解题的关键，属于基础题.8．2【解析】【分析】根据线线，线面关系逐项判断，即可得出结论.【详解】①若//m n ，而//n l ，则//m l ，与已知m l ⊥矛盾，所以//m n 不正确，即①不正确；②m l ⊥，//n l ，则m n ⊥，②正确；③m α⊂，m l ⊥，,m l 相交，所以m 与β相交，③不正确；④若m β⊥，m α⊂则a β⊥，与已知二面角l αβ--的大小为60o 矛盾，所以④不正确；⑤//,,,//n l l n n ααα⊂⊄∴Q ，所以⑤正确，⑥不正确.正确个数为2个.故答案为:2【点睛】本题考查空间线面、面面的位置关系判断，熟记性质定理是解题的关键，属于基础题. 9．5π【解析】【分析】设正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的上下底面中心为,M M '，根据正六棱柱的对称性，1MM 中点O 为球心，求出底面ABCDEF 的外接圆圆心，即可求解.【详解】设正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的底面中心为,M M '，MM '中点为O ，则O 到正六棱柱的各顶点距离都相等，所以O 为正六棱柱外接球的球心，连,OB MB ，OB 为正六棱柱外接球的半径，1111,222MB AB OM MM AA ''=====，OB ===， 球O 的表面积为254()454OB πππ=⨯=. 故答案为:5π.【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，确定外接球的球心是解题的关键，属于中档题.10【解析】【分析】在平面11BB D D 中，1D M 与BD 的交点即为N ，求出BN 长，即可求解.【详解】连BD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11111,//,BB DD BB DD DD BD =⊥，所以四边形11BB D D 为矩形，1,BD D M 相交，其交点为1D M 平面ABCD 的交点N ，Q M 是1BB 的中点，111,//2BM DD BM DD ∴=， BM 为1DD N V 的中位线，B 为DN 中点，正方体各棱长为1，BN BD ∴==,1,135ABN AB BN ABN ==∠=o V ，2222cos AN AB BN AB BN ABN =+-⋅⋅∠32152=+⨯=，AN ∴=故答案为【点睛】本题考查空间线面位置关系，确定直线与平面交点是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.11．3【解析】【分析】设O 为ACD V 的中心，连,OA OB ，根据正四面体的垂直关系，可得BAO ∠为所求的角，解Rt ABO V ，即可得出结论.【详解】设O 为ACD V 的中心，连,OB OA 交CD 于E ，则E 为CD 中点，在正四面体ABCD 中，OB ⊥平面,ACD OA 为AB 在平面ACD 射影，BAO ∴∠为直线AB 与平面ACD 所成角，设正四面体的边长为1，则2233OA AE ===在Rt ABO V中，cos OA BAO AB ∠==. 故答案为:3.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，要注意求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于基础题.12．13-【解析】【分析】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC ，即可求出满足AM MC +最小时，点M 的位置，以及,AM CM 长，解AMC V ，即可求出结论.【详解】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC 与PB 交点即为满足AM MC +最小，正四棱锥P ABCD -各棱长均为1，在平展的平面中四边形PABC 为菱形，且60PAB ∠=o ，AM MC ==P ABCD -中，AC = 在ACM V 中，222332144cos 32324AM CM AC AMC AM CM +-+-∠===-⋅⋅. 故答案为:13-.【点睛】本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.13．0x y -=【解析】【分析】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||||CD DB ，利用共线向量坐标关系，求出D 点坐标，即可求解.【详解】设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ，1||||sin ||||221||||||||sin 2ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠V V ， 2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--u u u r u u u r ，解得55,33a b ==， 55(,)33D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=. 故答案为:0x y -=.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题.14．2] 【解析】【分析】根据斜率的几何意义，()32g x x =-表示函数y =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解.【详解】 ()32g x x =-为点(x 与点(2,3)连线的斜率，点([0,1]x x ∈在函数[0,1]y x =∈图像上， (1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31221AB k -==-， 最小值为过A点与[0,1]y x =∈图象相切的切线斜率，设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+，代入[0,1]y x =∈得，320,0,14(32)0kx k k k k --=≠∆=--=，即281210k k -+=，解得k =或k =当k =3[0,1]4==，当34k -=3[0,1]== 不合题意，舍去，()g x值域为3[,2]4. 故答案为:3[,2]4.【点睛】本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.15．（1）34250x y +-=；（2）4；（3）430x y -=.【解析】【分析】（1）根据直线平行关系，设出直线1l 的方程，点P 坐标代入求出参数，即可求解；（2）根据平行线距离关系，转化为求点P 到直线l 的距离；（3）由（2）得4PQ =为P 到直线l 的距离，所以2l 垂直l ，根据两直线的垂直关系，即可求出直线2l 方程.【详解】（1）直线1l 与直线:3450l x y +-=平行，设1l 方程为340,5x y m m ++=≠-，点()3,4P 代入1l 方程得25m =-，直线1l 方程为34250x y +-=；（2）1l Q 平行2l ，直线1l 与直线l 之间的距离等于点P 到直线l 的距离，4=，所以直线1l 与直线l 之间的距离4；（3）||4PQ =且点Q 在直线l 上，由（2）得||PQ 为到P 到直线l 的距离，所以2l l ⊥，设其方程为430,(3,4)x y n P -+=代入得0n =，所以直线2l 方程为430x y -=.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系以及点到直线的距离，注意平行和垂直关系合理设直线方程，属于基础题.16．（1）证明详见解答；（2）证明详见解答；（3）3π. 【解析】【分析】（1）根据正方体的平行关系，可证11//AC A C ，即可证明结论；（2）用反证法证明，假设1,AC BC 共面，得出A 在平面11BB C C 内，即可证明结论； （3）利用正方体可证11//AD BC ，做出异面直线AC 与1BC 所成的角，通过1ACD △，即可求解.【详解】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，连11A C 1111//,AA CC AA CC =，四边形11AAC C 为平行四边形，1111//,AC AC AC ∴⊂平面1111D C B A ，AC ⊄平面1111D C B A ，//AC ∴平面1111D C B A ；（2）假设1,AC BC 为共面直线，则1,,,A B C C 在同一个平面内，1,,B C C Q 三点不共面，1,,B C C ∴确定平面11BB C C ，1,,,A B C C ∴共面于平面11BB C C ，这与已知点A 不在平面11BB C C 内矛盾，所以假设不成立，即1,AC BC 是异面直线；（3）连11,AD CD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,AB C D AB C D =，四边形11ABC D 为平行四边形，11//D A BC ∴，1CAD ∠（或补角）为异面直线AC 与1BC 所成角，在1ACD △中，111,3AC CD AD CAD π==∴∠=， 所以直线AC 与1BC 所成角为3π.【点睛】本题考查线面平行证明、异面直线证明、异面直线所成的角，要注意几何法求空间角体现角的“做”和“证”，属于基础题.17．（1）Q (2,5)；（2；②.【解析】【分析】（1）设点Q 的坐标为(,)a b ，利用PQ 中点在直线l 上，PQ 与直线l 垂直，建立,a b 方程关系，即可求解；（2）①由（1）得||||NP NQ =，数形结合可得||||||ON NQ OQ +≥，即可求出结论； ②由||||||||ON NP NP -≤，根据图形去绝对值，即可求出结论.【详解】（1）设点Q 的坐标为(,)a b ，依题意得1244123022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-⋅+=⎪⎩，解得25a b =⎧⎨=⎩，即(2,5)Q ， 所以点Q 坐标为(2,5)；（2）①,P Q Q 关于直线l 对称，点N 在直线l 上，||||,||||||||||NP QN ON NP ON QN OQ ∴=∴+=+≥=，当且仅当,,O N Q 三点共线时，等号成立，所以||||ON NP +；②||||||||,||||||ON NP OP ON NP OP -≤-≥-=当且仅当,,O N P 三点共线时，等号成立，所以||||ON NP -的最小值为【点睛】本题考查点关于直线对称、动点到两定点距离和以及差的最小值，应用几何法求最值是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.18．（1）证明详见解答；（2）证明详见解答；（3）3. 【解析】【分析】 （1）由已知可得//,//EF AB MF PA ，进而有//EF 平面PAB ，//MF 平面PAB ，即可证明结论；（2）根据已知可得PA ⊥平面ABCD ，所以有PA EF ⊥，在底面ABCD 中，可得AB AC ⊥，//AB EF ，进而有EF AC ⊥，即可证明结论；（3）求出,PBC BCD V V 的面积，利用等体积法，即可求解.【详解】（1）底面ABCD 是平行四边形，E 、F 分别为,BC AD 的中点，//EF AB ∴，M Q 为PD 的中点，//MF PA ∴，AB Ì平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，//EF ∴平面PAB ，同理//MF 平面PAB ，,,EF MF F EF MF =⊂I 平面MEF ，∴平面//MEF 平面PAB ；（2）侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=o ，即PA AB ⊥，侧面PAB ⋂底面,ABCD AB PA =⊂平面PAB ，PA ∴⊥平面,ABCD EF ⊂平面,ABCD PA EF ⊥Q ，底面ABCD 是平行四边形，135,45BCD ABC ∠=∴∠=o o， ,90,,//,AB AC BAC AB AC EF AB EF AC =∴∠=⊥∴⊥o Q ，,,PA AC A PA AC =⊂Q I 平面PAC ，∴EF ⊥平面PAC ；（3）PA ⊥Q 平面,,ABCD PA AB PA AC ∴⊥⊥，1,,PA AB AC PB PC AB AC BC =====⊥∴=PBC ∴△是等边三角形，2PBC S ∴==V ， 211//,22BCD ABC BC AD S S AB ∴===V V Q ， 设点D 到平面PBC 的距离为h ，11,33P BCD D PBC BCD PBC V V PA S h S --=∴⋅=⋅V V Q ，1h == 所以点D 到平面PBC的距离为3. 【点睛】本题考查面面平行、线面垂直的证明以及点到面的距离，注意空间垂直之间的相互转化，应用等体积法求点面距要熟练掌握，属于中档题.19．（1）h x =∈；（2）max 20h =，40003. 【解析】【分析】（1）设正四棱锥侧面等腰三角形高为h '，由正方形ABCD ，可得2x h '+=,,2x h h '组成直角三角形，即可得到,x h 关系，进而求出x 的范围； （2）利用（1）中,x h '关系，求出侧面积关于x 的函数，进一步求出满足条件的x 范围，可求出h 的最大值，即可求出结论.【详解】（1）设正四棱锥侧面等腰三角形高为h '，在正方形ABCD 中，22x x h h ''+=∴=，在四棱锥中，222222(),)224x x x h h h '=+∴=+，2800,h h =-∴=Q 28000,0h x =->∴<<，h x ∴=∈；（2）四棱锥的侧面积2142)60022x S xh x x '=⨯==-+≥，26000x -+≤，解得0x x ≤≤<<Qx ∴≤<x =时，max 20h ==，此时包装盒的容积为2211400020333V x h ==⨯⨯=， 所以满足条件的四棱锥的高度的最大值为20， 此时该包装盒的容积为40003. 【点睛】本题考查函数的应用问题、正方形和正四棱锥的性质、一元二次不等式、一次函数最值，意在考查直观想象、数学建模、数学计算能力，属于中档题,20．（1）4π；（2）证明详见解答. 【解析】【分析】 （1）求出,A B 两点坐标，将OAB ∆面积表示为1α的函数，求出最小值，即可求出结论； （2）求出原点到直线12,l l 的距离为1，可得12,l l 为单位圆的切线，切点为12,H H ，将12,l l 方程用12,H H 坐标表示，设Q 的坐标，代入12,l l 方程，进而求出直线12H H 方程，即可求解.【详解】（1）1110,,sin 0,cos 02πααα⎛⎫∈≠≠ ⎪⎝⎭直线111:cos sin 10l x y αα+-=， 令11110,,(0,)sin sin x y B αα==， 令11110,,(,0)cos cos y x B αα==， 11111112sin cos sin 2AOB S ααα=⋅⋅=V ， 110,022πααπ<<∴<<Q ， 当11sin 21,4παα==时，min ()1AOB S =V ，OAB ∆面积最小时，实数1α的值为4π； （2）原点O 的直线1l1=， 同理原点O 的直线2l 距离为1，所以12,l l 为圆221x y +=的切线，答案第17页，总17页 12,H H 为切点，直线12H H 过点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且直线1l 与2l 相交于Q ， 12,H H ∴不在x 轴上，设11112212(,),(,),0,0H x y H x y y y ≠≠，所以直线1l 化为1111()x y y x x y -=--，整理得111x x y y +=， 同理2l 方程为221x x y y +=，设1l 与2l 的交点为00(,)Q x y ，所以有101020201,1x x y y x x y y +=+=，所以直线12H H 方程为001x x y y +=，且过点1(,0)2P ， 0011,22x x ∴==，即点Q 在直线2x =上. 【点睛】本题考查直线方程、直线与圆位置关系，解题的关键要把直线转化为圆的切线，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.。

2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．2．在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=．3．抛物线x2=2y的准线方程是．4．命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是命题．（选填“真”或“假”之一）5．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为．6．已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为．7．设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的条件．（填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、﹣1即不充分也不必要条件”）8．设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M 为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为．10．已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为．12．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n﹣a n}是等比数列，则+1=．i13．已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是．14．设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有．（请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．16．设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}满足（2n ﹣1）b n﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．20．已知数列{a n}的首项a1=a（a＞0），其前n项和为S n，设b n=a n+a n（n∈N*）．+1（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；1）≥2（1﹣n）恒成立，求a ②若对∀n∈N*，且n≥2，不等式（a n﹣1）（a n+1的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．【考点】2J：命题的否定．【分析】直接把语句进行否定即可，注意否定时∀对应∃，≤对应＞．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．2．在等差数列{a n}中，a1=﹣1，a4=8，则公差d=3．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：a4=8=﹣1+3d，解得d=3．故答案为：3．3．抛物线x2=2y的准线方程是．【考点】K7：抛物线的标准方程．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上；所以：2p=2，即p=1，所以：=，所以准线方程y=﹣．故答案为：y=﹣．4．命题“若实数a满足a≤2，则a2≤4”的否命题是真命题．（选填“真”或“假”之一）【考点】21：四种命题．【分析】利用否命题的形式写出否命题，判断出否命题是真命题．【解答】解：命题的否命题为：“若实数a满足a＞2，则a2＞4”∵a＞2∴a2＞4∴否命题为真命题故答案为：真5．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为10．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程求出a的值，结合双曲线的定义分析可得||PF1|﹣|PF2||=2a=6，解可得|PF2|的值，取舍即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1，其中a==3，点P在双曲线上，则有||PF1|﹣|PF2||=2a=6，又由|PF1|=4，解可得|PF2|=10或﹣2（舍），则|PF2|=10；故答案为：10．6．已知等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，则a3的值为5．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列通项公式和等比中项性质列出方程，由此能求出a3的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，且a2是a1和a5的等比中项，∴，∴（a1+2）2=a1（a1+8），解得a1=1，∴a3=1+2×2=5．故答案为：5．7．设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的必要不充分条件．（填“充要条件、充分不必要条件、必要不﹣1充分条件、即不充分也不必要条件”）【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，∴当a1=1，q=﹣时，满足q＜0，但此时a1+a2=1﹣=＞0，则a2n﹣1+a2n＜0不成立，即充分性不成立，+a2n＜0，则a1q2n﹣2+a1q2n﹣1＜0反之若a2n﹣1∵a1＞0，∴q2n﹣2（1+q）＜0，即1+q＜0，则q＜﹣1，即q＜0成立，即必要性成立，+a2n＜0”的必要不充分条件，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1故答案为：必要不充分8．设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由已知中M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，由等腰三角形三线合一可得△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，进而得到答案．【解答】解：∵F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，若M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，则△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，即2c=a，故该椭圆的离心率e==，故答案为：．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=2，S4=4，则S8的值为12．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列{a n}的前n项和公式、通项公式求出q4=2，a1=﹣4（1﹣q），由此能求出S8．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，=2，S4=4，∴，解得q4=2，a1=﹣4（1﹣q），∴S8===12．故答案为：12．10．已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为9．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（3，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1.5，则FN|=1.5+3=4.5，|FN|=2|FM|=2×4.5=9．故答案为：9．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为﹣=1．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意列方程组求出a，b的值即可．【解答】解：由题意可知，解得a=3，b=3，∴双曲线方程为=1．故答案为：=1．12．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{a n﹣a n}是等比数列，则i=+13049．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，得{a n+1﹣a n}是首项为3，公比为2的等比数列，从而依次求出数列的前10项，由此能求出i．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10，{a n+1﹣a n}是等比数列，∴a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，﹣a n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴{a n+1∴a4﹣a3=12，a4=12+10=22，a5﹣a4=24，a5=24+22=46，a6﹣a5=48，a6=48+46=94，a7﹣a6=96，a7=96+94=190，a8﹣a7=192，a8=192+190=382，a9﹣a8=384，a9=384+382=766，a10﹣a9=768，a10=768+766=1534，∴i=1+4+10+22+46+94+190+382+766+1534=3049．故答案为：3049．13．已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是[3，13] ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】令Q为MN中的中点，可得CQ=，结合C为椭圆+=1的焦点，|PC|∈[2，6]，可得PQ|的范围，结合|+|=|2|，可得答案．【解答】解：令Q为MN中的中点，则圆（x﹣2）2+y2=1的圆心C到MN的距离CQ==，又由C为椭圆+=1的焦点，故|PC|∈[2，6]，则PQ|∈[2﹣，6+]=[，]，|+|=|2|∈[3，13]，故答案为：[3，13]．14．设数列{a n}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），a i﹣a j仍是数列{a n}中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有①②③．（请将你认为正确命题的序号都写上）【考点】8H：数列递推式．【分析】根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，因此0∈{a n}，即a4=0，进而推出数列的其它项，可得答案．【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，令i=j，则0为数列的某一项，即a4=0，则a3﹣a4=a3∈{a n}，（a3＞0）．必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，而a1﹣a2=a2或a3，若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；若a1﹣a2=a3∈{a n}，此时a1=3a3，可得数列{a n}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；据此分析选项：易得①②③正确；故答案为：①②③二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据双曲线的性质求出p为真时m的范围，根据二次函数的性质求出￢q为真时的m的范围，取交集即可．【解答】解：若p为真命题，则（m+3）（m﹣4）＜0，解得：﹣3＜m＜4，￢q：∀x∈R，使得x2+mx+m+3≥0，若￢q是真命题，则m2﹣4（m+3）≤0，解得：﹣2≤m≤6，若“p且￢q”为真命题，则p是真命题且￢q也是真命题，故﹣2≤m＜4．16．设等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．若b6=a k，求k的值．【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式求出a4=10，利用等差数列前n项和公式求出a3=8．由此能求出{a n}的通项公式．（2）求出等比数列{b n}中b2=8，b3=16，从而q=2，b6=a k=2k+2=128，由此能求出k．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．∴a2+a6=2a4=20，解得a4=10，S5=5a3=40，解得a3=8．∴d=a4﹣a3=10﹣8=2，a1=a3﹣2d=8﹣4=4，∴a n=a1+（n﹣1）d=4+（n﹣1）×2=2n+2．（2）∵等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a2．∴b2=8，b3=16，∴q=，∴b6=a k=2k+2=8×24=128，解得k=63．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的定义列出方程组求出a，b的值即可；（2）设M（x0，y0），根据抛物线的性质列方程组求出M点坐标，从而得出抛物线方程．【解答】解：（1）由条件得，解得a=，b=，∴椭圆方程为=1．（2）设M（x0，y0），则MF=y0+=，即p=﹣2y0，又M在椭圆上，∴x02+3y02=6，且x02=2py0，∴（7﹣4y0）y0+3y02=6，解得y0=1或y0=6（舍），∴p=，∴抛物线方程为x2=3y．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．数列{b n}满足（2n ﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），且b1=1．﹣1）b n+1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和为T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据已知条件利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2﹣a n（n∈N*）．得到：S n+1=2﹣a n+1，则：a n+1=a n﹣a n+1，整理得：所以：数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列．则：．数列{b n}满足（2n﹣1）b n+1﹣（2n+1）b n=0（n∈N*），则：，所以：数列{}是常数列．则：{b n}的通项公式为：b n=2n﹣1．（2）由（1）得：c n=a n•b n=，则： +…+①所以： +…+②则：①﹣②得：）﹣，整理得：T n=．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不经过原点），直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点Q的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）过P点作x轴的垂线，垂足为R，若直线AB和直线QR倾斜角互补．若△PQR的面积为2，求椭圆C的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）列方程组求出a，b的值即可得出椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程化简，从而得出k1，k关于A，B坐标的表达式，结合e=即可得出kk1的值；（3）设Q（s，t）（s＞0，t＞0），根据倾斜角互补和面积公式计算Q的坐标，从而得出椭圆方程．【解答】解：（1）由条件得：，解得a=2，b=，∴椭圆方程为=1．（2）证明：设AB的中点为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆上的点，∴，，两式相减得： +=0，即=﹣•=﹣•，∵k1=，k=，∴k1=﹣，即k1k=﹣．∵e==，∴==，∴k 1k=﹣． （3）设Q （s ，t ）（s ＞0，t ＞0），则P （﹣s ，﹣t ），R （﹣s ，0），∴k QR ==，∵直线AB 和直线QR 倾斜角互补，∴=﹣k 1，又k 1k=﹣，且k ＞0，∴k=，又S △PQR =st=2， =k=，∴s=2，t=，即Q （2，），∴=1，又，∴a=2，b=3，∴椭圆方程为．20．已知数列{a n }的首项a 1=a （a ＞0），其前n 项和为S n ，设b n =a n +a n +1（n ∈N*）．（1）若a 2=a +1，a 3=2a 2，且数列{b n }是公差为3的等差数列，求S 2n ； （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ，满足T n =n 2．①求数列{a n }的通项公式；②若对∀n ∈N*，且n ≥2，不等式（a n ﹣1）（a n +11）≥2（1﹣n ）恒成立，求a 的取值范围．【考点】8K ：数列与不等式的综合．【分析】（1）由已知可得：b n +1﹣b n =a n +2﹣a n =3，数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3．利用a 3﹣a 1=2a 2﹣a=2（a +1）﹣a=3，解得a ．即可得出S 2n ．（2）①由T n =n 2，n ≥2时，b n =T n ﹣T n ﹣1=n 2﹣（n ﹣1）2=2n ﹣1．n=1时，b 1=T 1=1．b n =a n +a n +1=2n ﹣1．化为：a n +1﹣n=﹣[a n ﹣（n ﹣1）]，利用等比数列的通项公式可得a n=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，②不等式（a n﹣1）（a n+11）≥2（1﹣n）化为：a n a n+1﹣（a n+a n+1）+1≥2（1﹣n），由a n+a n+1=2n﹣1．不等式化为：a n a n+1≥0．对分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由已知可得：b n+1﹣b n=a n+2﹣a n=3，∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3．∴a3﹣a1=2a2﹣a=2（a+1）﹣a=a+2=3，解得a=1．∴a1=1，a2=2．∴S2n=+=3n2．（2）①由T n=n2，n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．n=1时，b1=T1=1．∴b n=a n+a n+1=2n﹣1．化为：a n+1﹣n=﹣[a n﹣（n﹣1）]，∴数列{a n﹣（n﹣1）}为等比数列，公比为﹣1．首项为a．∴a n﹣（n﹣1）=a×（﹣1）n﹣1，即a n=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，②不等式（a n﹣1）（a n+11）≥2（1﹣n）化为：a n a n+1﹣（a n+a n+1）+1≥2（1﹣n），由a n+a n+1=2n﹣1．∴不等式化为：a n a n+1≥0．当n为奇数时，a n=a+（n﹣1），a n+1=﹣a+n，∴a n a n+1=[a+（n﹣1）]（﹣a+n）=﹣a2+a+n（n﹣1）≥0，即﹣a2+a≥﹣n（n﹣1）对∀n∈N*，且n≥2恒成立．∴﹣a2+a≥﹣6，解得﹣2≤a≤3．当n为偶数时，a n=﹣a+（n﹣1），a n+1=a+n，∴a n a n+1≥0，即﹣a2+a≥﹣n（n﹣1）对∀n∈N*，且n≥2恒成立．∴﹣a2+a≥﹣2，解得﹣2≤a≤1．又a＞0，可得a的取值范围为：0＜a≤1．。

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n － ＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件 若目标函数 的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.直线x+y+√3=0的倾斜角为______．2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为______．3.已知A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为______．（写成标准方程）4.直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是______．5.若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为______．6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是______．7.圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是______．8.正三棱锥P-ABC中，若底面边长为a，侧棱长为√2a，则该正三棱锥的高为______．9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有______．（请将所有正确结论的序号都填上）10.设点A（-2，3），B（3，2）若直线ax+y+2=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是______．11.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______（结果用π表示）．12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x+2y+1=0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为______．13.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是______．14.已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-3k+2=0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．16.设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-√3a，0），C（√3a，0），其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．（1）求圆M的方程（2）当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1．18.已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x-y+3=0和l2：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；√5的圆的方程．（2）以O为圆心且被l截得的弦长为8519.已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=√2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V多面体PDCMA：V三棱锥M-ACB=2：1？（3）在M满足（2）的条件下，判断PD是否平行于平面AMC．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案和解析1.【答案】135°【解析】解：直线x+y+=0的斜率为-1；所以直线的倾斜角为135°．故答案为135°．求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】45°【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠D1AD=45°故答案为：45°在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明D1D⊥平面ABCD，则∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，解直角三角形D1AD即可．考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题3.【答案】（x-2）2+y2=18【解析】解：∵A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的圆心C（2，0），半径为AC==3，故圆的方程为（x-2）2+y2=18，故答案为：为（x-2）2+y2=18．先根据条件求出圆心坐标和半径，可得线段AB为直径的圆的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心坐标和半径，属于基础题．4.【答案】x-y=0【解析】解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为1，∴所求直线方程为y=x，即x-y=0．当直线l不过原点时，设其方程+=1，又l经过点（1，1），则可得-=0≠1，此时不存在，故所求直线l的方程为x-y=0．故答案为x-y=0当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，所求直线方程为y=x，当直线l不过原点时，此时a不存在．本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.【答案】-7【解析】解：∵直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，∴，解得m=-7．∴m的值为-7．故答案为：-7．由直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】x-y+1=0【解析】解：易知点C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．先求圆心，再求斜率，可求直线方程．明确直线垂直的判定，会求圆心坐标，再求方程，是一般解题思路．7.【答案】（x+2）2+（y+1）2=1【解析】解：（x-2）2+（y-3）2=1的圆心为（2，3），半径为1点（2，3）关于直线x+y-1=0对称的点为（-2，-1）∴圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心为（-2，-1），半径为1 即圆的方程为（x+2）2+（y+1）2=1故答案为：（x+2）2+（y+1）2=1先求出圆心和半径，然后根据对称性求出圆心关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心，而圆对称形状不变，从而半径不变，即可求得圆的方程．本题主要考查了关于直线对称的圆的方程，同时考查了对称点的求解，属于基础题．8.【答案】√15a3【解析】解：如图，取BC中点D，连接AD，并取底面中心O，则O为AD的三等分点，且OA=，PA=，在Rt△POA中，求得OP=a，即该正三棱锥的高为，故答案为：．作出底面中心O，利用直角三角形POA容易求出高．此题考查了三棱锥高的求法，属容易题．9.【答案】①④【解析】解：①是正确命题，因为两个平面平行时，一个平面中的线与另一个平面一定没有公共点，故有线面平行；②不正确，因为一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，则它与另一个平面的位置关系是平行或者在面内，故不正确；③不正确，因为由m⊥α，m∥n可得出n⊥α，再由β⊥α，可得n∥β或n⊂β，故不正确；④是正确命题，因为两个直线分别垂直于两个互相平行的平面，一定可以得出两线平行．综上，①④是正确命题故答案为①④本题研究空间中线面平行与线线平行的问题，根据相关的定理对四个命题进行探究，得出正误，即可得到答案，①②③由线面平行的条件判断，④由线线平行的条件判断，易得答案本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的方法与线线平行的方法是准确判断正误的关键，几何的学习，要先记牢定义与定理，再对应其几何特征进行理解培养出空间形象感知能力，方便做此类题 10.【答案】（-∞，-43]∪[52，+∞）【解析】解：∵直线ax+y+2=0恒过定点（0，-2），斜率为-a ， 如图，，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB 有交点， 则-a≥或-a≤-．即a≤-或a≥． 故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）． 由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了直线系方程的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题． 11.【答案】5π【解析】解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：=5π故答案为：5π．本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．12.【答案】2√65【解析】解：如图，直线3x+4y+8=0与圆x2+y2-2x+2y+1=0相离，化圆x2+y2-2x+2y+1=0为（x-1）2+（y+1）2=1，圆心坐标为C（1，-1），半径为1．连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．∵AC 是半径，为定值1，要使三角形PAC 的面积最小，则PC 最小， |PC|=，∴|PA|=．∴四边形PACB 面积的最小值为2×．故答案为：．由题意画出图形，可知要使四边形PACB 面积最小，则P 为过圆心作直线3x+4y+8=0的垂线得垂足，由点到直线的距离公式求得PC ，再由勾股定理得弦长，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．13.【答案】2x -y +5=0【解析】解：∵∠B 、∠C 的平分线分别是x=0，y=x ，∴AB 与BC 对于x=0对称，AC 与BC 对于y=x 对称． ∴A （3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC 上， A 关于y=x 的对称点A''（-1，3）也在直线BC 上． 代入两点式方程可得，故所求直线BC 的方程：2x-y+5=0． 故答案为：2x-y+5=0分析题意，求出A 关于x=0，y=x ，的对称点的坐标，都在直线BC 上，利用两点式方程求解即可．本题考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，属中档题．14.【答案】（-∞，4−√3014）∪（4+√3014，+∞） 【解析】解：由于对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，故以MN 为直径的圆与直线l ：kx-y-3k+2=0相离．而MN的中点，即圆心为H（-1，1），则点H到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径MN=，即＞，即（1-4k）2＞2（1+k2），解得k＜，或 k＞，故答案为：（-∞，）∪（，+∞）由题意可得，以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离，故圆心H（-1，1）到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径，即＞，由此解得k 的范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点．在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B．又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（2）由正方形的性质可得AC⊥BD又由正方体的几何特征可得：D1D⊥平面ABCD又∵AC⊂平面ABCD∴AC⊥D1D又∵D1D∩BD=D∴AC⊥平面D1DB∵BD1⊂平面D1DB∴AC⊥BD1【解析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．16.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，对称轴为x=0．外接圆的圆心肯定在x=0上．作AC的中垂线，垂足为D，交y轴于M，M即为外接圆的圆心．AC=a．因为A（0，a），C（√3a，0），故∠MAC=60°，AD=12△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形．故AM=2a．所以，点M的坐标为（0，-a），圆的半径r=MA=MB=MC=2a．故圆M的方程为：x2+（y+a）2=4a2（a＞0）．（2）假设圆M过某一定点（x，y）．那么当a变化时，圆M仍然过点（x，y），此点不会随着a的变化而变化．那么，现在令a变成了b，即a≠b．有x2+（y+b）2=4b2，两式相减化简得：（2y+a+b）（a-b）=4（a+b）（a-b）．因为a≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4（a+b）．得：y=3（a+b）．2得出，y是一个根据a和b取值而变化的量．与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾，所以，圆M不过定点．【解析】（1）确定圆心与半径，即可求圆M的方程（2）利用反证法进行判断．本题考查圆的方程，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．∴EF是三角形AA1C1的中位线，∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同时BC∥B1C1，∵AB=BC1，E是线段AC1的中点．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1，∴BE⊥平面AB1C1【解析】（1）根据线面平行的判定定理，证明EF∥BB1；从而证明EF∥面BCC1B1；（2）根据线面垂直的判定定理证明BE⊥平面AB1C1．本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理．并能灵活应用．18.【答案】解：（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），则{2(2−m)+(2−n)−6=0m−n+3=0，即{2m +n =0m−n=−3，解得m =-1，n =2．即A （-1，2），又l 过点P （1，1），用两点式求得AB 方程为y−12−1=x−1−1−1，即：x +2y -3=0． （2）圆心（0，0）到直线l 的距离d =|0+0−3|√1+4=3√5，设圆的半径为R ，则由R 2=d 2+(4√55)2， 求得R 2=5，故所求圆的方程为x 2+y 2=5．【解析】（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），分别代入直线l 1 和l 2的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l 的距离d ，设圆的半径为R ，则由，求得R 的值，即可求出圆的方程．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．19.【答案】解：（1）因为PDCB 为等腰梯形，PB =3，DC =1，PA =1，则PA ⊥AD ，CD ⊥AD ．又因为面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD =AD ，CD ⊂面ABCD ，故CD ⊥面PAD ．又因为CD ⊂面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ． （2）所求的点M 即为线段PB 的中点，证明如下： 设三棱锥M -ACB 的高为h 1，四棱锥P -ABCD 的高为h 2当M 为线段PB 的中点时，ℎ1ℎ2=MB PB =12．所以V M−ACBVp−ABCD=13S MCB ℎ113S ABCD ℎ2=13所以截面AMC 把几何体分成的两部分V PDCMA ：V M -ACB =2：1．（3）当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与面AMC 不平行．证明如下：（反证法）假设PD ∥面AMC ，连接DB 交AC 于点O ，连接MO ． 因为PD ⊂面PDB ，且面AMC ∩面PBD =MO ，所以PD ∥MO ． 因为M 为线段PB 的中点时，则O 为线段BD 的中点，即DOOB =11． 面AB ∥DC ，故DOOB =DCAB =12，故矛盾．所以假设不成立，故当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 【解析】（1）证明平面与平面垂直是要证明CD ⊥面PAD ；（2）已知V 多面体PDCMA ：V 三棱锥M-ACB 体积之比为2：1，求出V M-ACB ：V P-ABCD 体积之比，从而得出两多面体高之比，从而确定M 点位置．（3）利用反证法证明当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 本题主要考查面面垂直的判定定理、多面体体积、线面平行判定以及反证法的应用，属于中等难度题．20.【答案】解：（1）由{y =x −1y=2x−4得圆心C 为（3，2），∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：（x -3）2+（y -2）2=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y =kx +3，即kx -y +3=0， ∴√k 2+1=1∴|3k +1|=√k 2+1，∴2k （4k +3）=0∴k =0或者k =−34，∴所求圆C 的切线方程为：y =3或者y =−34x +3．即y =3或者3x +4y -12=0．（2）∵圆C 的圆心在在直线l ：y =2x -4上， 所以，设圆心C 为（a ，2a -4），则圆C 的方程为：（x -a ）2+[y -（2a -4）]2=1， 又∵MA =2MO ，∴设M 为（x ，y ）则√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2整理得：x 2+（y +1）2=4设为圆D ， ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即：圆C 和圆D 有交点，∴1≤CD ≤3，∴|2−1|≤√a 2+[(2a −4)−(−1)]2≤|2+1|， 由5a 2-12a +8≥0得a ∈R ， 由5a 2-12a ≤0得0≤a ≤125，综上所述，a 的取值范围为：[0，125]． 【解析】（1）求出圆心C 为（3，2），圆C 的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k 即可得到切线方程．（2）设圆心C 为（a ，2a-4），圆C 的方程为：（x-a ）2+[y-（2a-4）]2=1，设M 为（x ，y ）列出方程得到圆D的方程，通过圆C和圆D有交点，得到1≤CD≤3，转化求解a的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。

江苏省高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2020高一上·泉州期中) 命题“ ”的否定是（）A .B .C .D .2. （2分）经过A(2,0),B(5,3)两点的直线的倾斜角（）A . 45°B . 135°C . 90°D . 60°3. （2分） (2019高二上·大冶月考) 圆与圆的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为（）A . 1B . 2C . 4D . 84. （2分） (2020高二上·武汉期中) 在空间直角坐标系中，点M( ，y，2020）（x∈R，y∈R)构成的集合是（）A . 一条直线B . 平行于平面的平面C . 两条直线D . 平行于平面的平面5. （2分）(2018·石嘴山模拟) 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（）A . 为奇函数，在上单调递減B . 最大值为1，图象关于直线对称C . 周期为，图象关于点对称D . 为偶函数，在上单调递增6. （2分） (2019高二上·荔湾期末) 、为双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，，则的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·成都模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A . 136πB . 34πC . 25πD . 18π8. （2分） (2020高二上·福州期中) 已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（）A .B .C .D .二、多选题 (共4题；共12分)9. （3分） (2020高二上·临澧期中) 以下说法正确的有（）A .B . 双曲线，则直线与双曲线有且只有一个公共点C . 过的直线与椭圆交于、两点，线段中点为，设直线斜率为，直线的斜率为，则D . 已知是以F1、F2为左、右焦点的椭圆上一点，则满足为直角的点有且只有2个10. （3分） (2019高二上·中山月考) 已知曲线，则曲线（）A . 关于轴对称B . 关于轴对称C . 关于原点对称D . 关于直线轴对称11. （3分） (2020高一下·邹城期中) 在中，，，，则角B的值可以是（）A . 105ºB . 15ºC . 45ºD . 135º12. （3分）(2020·肥城模拟) 如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是（）A . 直线与平面所成的角等于B . 点C到面的距离为C . 两条异面直线和所成的角为D . 三棱柱外接球半径为三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·乌鲁木齐模拟) 若ln（x+1）﹣1≤ax+b对任意x＞﹣1的恒成立，则的最小值是________．14. （1分） (2019高二上·大庆月考) 过椭圆的中心作一直线交椭圆于，两点，是椭圆的一个焦点，则周长的最小值是________．15. （1分） (2016高二上·温州期中) 已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2 ）an+sin2 ，则该数列的前10项和为________．16. （1分） (2020高一上·衢州期末) 函数的单调增区间是________，值域是________．四、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高二上·会宁期中) 解关于不等式：18. （10分） (2016高二上·徐水期中) 已知圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x 分成两段弧长之比为1：2，求圆c的方程．19. （10分） (2019高二下·上海期中) 如图，在正三棱柱中，是的中点，是线段上的动点，且 .（1）若，求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）若直线与平面所成角的大小为，求的最大值20. （10分） (2018高二下·凯里期末) 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为 .（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆相交于两点.①若线段中点的横坐标为，求的值；②在轴上是否存在点，使为定值？若是，求点的坐标；若不是，请说明理由.21. （10分） (2019高二上·北京期中) 求过点，离心率为的双曲线的标准方程．22. （10分） (2017高二下·濮阳期末) 已知直线y=﹣x+1与椭圆 + =1（a＞b＞0）相交于A、B两点．①若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；②若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[ ， ]时，求椭圆的长轴长的最大值．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、多选题 (共4题；共12分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：。

高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。

）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。

2017-2018学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案直接填在答题卡相应位置上）1．（5分）命题“∃x∈R，使得x2＞0”的否定是．2．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角是．3．（5分）点P（3，﹣2，4）关于点A（0，1，﹣2）的对称点的坐标是．4．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程是．5．（5分）命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是．6．（5分）已知两条直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1=1互相平行，则a等于．7．（5分）以点（2，﹣1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是．8．（5分）圆x2+（y+1）2=3绕直线kx﹣y﹣1=0旋转一周所得的几何体的表面积为．9．（5分）若过点M （0，2 ）作圆x2+y2﹣2x﹣1=0的切线，则切线长为．10．（5分）分别过点A（1，3）和点B（2，4）的直线l1和l2互相平行且有最大距离，则l1的方程是．11．（5分）设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能使“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是；（填所有正确条件的代号）①x，y，z为直线；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线．12．（5分）已知方程=x+m有两个不相等的实数根，则实数m的范围．13．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上，则实数k的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC．（1）取CD的中点为F，AE的中点为G，证明FG∥面ABC；（2）证明AD⊥CE．16．（14分）已知三角形三个顶点是A（﹣5，0），B（4，﹣4），C（0，2），（1）求BC边上的中线所在直线方程；（2）求BC边上的高AE所在直线方程．17．（14分）如图已知在三棱柱ABC﹣﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．（1）求证：平面ABC1∥平面MNQ；（2）求证：平面PCC1⊥平面MNQ．18．（16分）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：，中至少有一个小于2．19．（16分）已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为5，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得A，B关于过点P（﹣2，4）的直线l对称？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．20．（16分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．2017-2018学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案直接填在答题卡相应位置上）1．（5分）命题“∃x∈R，使得x2＞0”的否定是∀x∈R，使得x2≤0．【解答】解：∵命题“∃x∈R，使得x2＞0”是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，使得x2≤0故答案为：∀x∈R，使得x2≤0．2．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角是π．【解答】解：直线x+y﹣3=0 即y=﹣x+，故直线的斜率等于﹣，设直线的倾斜角等于α，则0≤α＜π，且tanα=﹣，故α=，故答案为：．3．（5分）点P（3，﹣2，4）关于点A（0，1，﹣2）的对称点的坐标是（﹣3，4，﹣8）．【解答】解：设点P（3，﹣2，4）关于点A（0，1，﹣2）的对称点的坐标为（a，b，c），则由中点坐标公式得：，解得a=﹣3，b=4，c=﹣8，∴点P（3，﹣2，4）关于点A（0，1，﹣2）的对称点的坐标是（﹣3，4，﹣8）．故答案为：（﹣3，4，﹣8）．4．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程是2x+y﹣2=0．【解答】解：设与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程是2x+y+m=0，把点（1，0）代入可得：2+0+m=0，解得m=﹣2．∴要求的直线方程为：2x+y﹣2=0．故答案为：2x+y﹣2=0．5．（5分）命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”．【解答】解：命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”．故答案为：“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”．6．（5分）已知两条直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1=1互相平行，则a等于1或﹣3．【解答】解：两条直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1=0互相平行，所以=≠解得a=﹣3，或a=1．故答案为：1或﹣3．7．（5分）以点（2，﹣1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是（x﹣2）2+（y+1）2=．【解答】解：将直线x+y=6化为x+y﹣6=0，圆的半径r==，所以圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=．答案：（x﹣2）2+（y+1）2=8．（5分）圆x2+（y+1）2=3绕直线kx﹣y﹣1=0旋转一周所得的几何体的表面积为12π．【解答】解：显然直线过圆心（0，﹣1），故旋转一周所得几何体为球，球的半径为，∴S=4πR2=4π•3=12π．球故答案为12π．9．（5分）若过点M （0，2 ）作圆x2+y2﹣2x﹣1=0的切线，则切线长为．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=2，∴圆心A坐标（1，0），半径|AN|=，又M（0，2），∴|AM|==，则切线长|MN|==．故答案为：10．（5分）分别过点A（1，3）和点B（2，4）的直线l1和l2互相平行且有最大距离，则l1的方程是x+y﹣4=0．【解答】解：∵分别过点A（1，3）和点B（2，4）的直线l1和l2互相平行且有最大距离，故此最大距离为|AB|=，∵K AB==1，故l1的斜率为﹣=﹣1，故l1的方程为y﹣3=﹣1（x﹣1），即x+y﹣4=0，故答案为：x+y﹣4=0．11．（5分）设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能使“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是③④；（填所有正确条件的代号）①x，y，z为直线；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线．【解答】解：①x，y，z为正方体从一个顶点出发的三条直线，故①错误；②x，y，z为正方体中交于一点的三个平面，故②错误；③由垂直于同一平面的两条直线平行，故③正确；④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，故④正确；故答案为：③④．12．（5分）已知方程=x+m有两个不相等的实数根，则实数m的范围[1，）．【解答】解：由关于x的方程=x+m，可设y=x+m，和y=，﹣1≤x≤1，由y=，可得x2+y2=1，因为﹣1≤x≤1，所以y=，﹣1≤x≤1，表示圆的上半部分；①当直线x﹣y+m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==1，解得m=，由图象可知m＞0，所以m=；②当直线经过点（﹣1，0）时，直线满足﹣1+m=0，解得m=1；所以要使关于x的方程=x+m有两个不同实数解，则实数m的取值范围是[1，）．故答案为：[1，）．13．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是[，1] ．【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，则令f（x）=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上，所以函数的最小值为：f（）==．最大值为：f（1）=2﹣2+1=1．则x2+y2的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上，则实数k的最小值为﹣．【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=1关于x轴的对称图形是：圆D：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆D上存在点N在直线kx+y+3=0上，又直线kx+y+3=0过定点P（0，﹣3），∴直线与圆D相切时，有d=r，即=1，解得k=﹣或k=0，∴实数k的最小值为﹣．故答案为：﹣．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC．（1）取CD的中点为F，AE的中点为G，证明FG∥面ABC；（2）证明AD⊥CE．【解答】（本小题满分14分）证明：（1）取AB中点H，连接GH，CH，因为G是AE中点，所以HG BE，又因为矩形BCDE，所以BE∥=CD，且F是CD中点，所以HG∥=CF，所以四边形FGHC是平行四边形，所以FG∥CH，又因为FG⊄平面ABC，CH⊂平面ABC，所以FG∥面ABC；（2）取BC中点Q，连接AQ，DQ，因为AC=AB，所以AQ⊥BC，因为侧面ABC⊥底面BCDE，AQ⊂平面ABC，平面ABC∩平面BCDE=BC，所以AQ⊥平面BCDE，因为CE⊂平面BCD，所以CE⊥AQ又在矩形BCDE中，BC=2，CD=，BE=，CQ=1，所以，所以Rt△CDQ∽Rt△BCE，所以∠DQC=∠CEB，所以∠DQC+∠BCE=∠CEB+∠BCE=90°，所以CE⊥DQ因为AQ∩DQ=Q，且AQ，DQ⊂平面ADQ，所以CE⊥平面ADQ，AD⊂平面ADQ，所以AD⊥CE．…．（14分）16．（14分）已知三角形三个顶点是A（﹣5，0），B（4，﹣4），C（0，2），（1）求BC边上的中线所在直线方程；（2）求BC边上的高AE所在直线方程．【解答】解：（1）∵B（4，﹣4），C（0，2），∴BC的中点坐标为D（2，﹣1），可得直线AD的斜率为k AD==﹣，因此直线AD方程为y=﹣（x+5），化简得x+7y+5=0，即为BC边上的中线所在直线方程；（2）∵直线BC的斜率为k BC==﹣，∴BC边上的高AE的斜率为k==，由此可得直线AE的方程为y=（x+5），化简得2x﹣3y+10=0即BC边上的高AE所在直线方程2x﹣3y+10=0．17．（14分）如图已知在三棱柱ABC﹣﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．（1）求证：平面ABC1∥平面MNQ；（2）求证：平面PCC1⊥平面MNQ．【解答】证明：（1）∵N，Q分别是BB1，B1C1的中点，∴NQ∥BC1（1分）又∵NQ⊂平面MNQ，BC1⊄平面MNQ，∴BC1∥平面MNQ（4分）∵AB∥MN，MN⊂平面MNQ，AB⊄平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．（5分）又∵AB∩BC1=B，∴平面ABC1∥平面MNQ．（7分）（2）∵AC=BC，P是AB的中点，∴AB⊥PC （8分）∵AA1⊥面ABC，CC1∥AA1，∴CC1⊥面ABC，而AB在平面ABC内，∴CC1⊥AB，（9分）∵CC1∩PC=C∴AB⊥面PCC1；（10分）又∵M、N分别是AA1、BB1的中点，四边形AA1B1B是平行四边形，MN∥AB，∴MN⊥面PCC1（12分）∵MN在平面MNQ内，∴面PCC1⊥面MNQ；（14分）18．（16分）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：，中至少有一个小于2．【解答】证明：假设都不小于2，则，因为a＞0，b＞0，所以1+b≥2a，1+a≥2b，1+1+a+b≥2（a+b），即2≥a+b，这与已知a+b＞2相矛盾，故假设不成立．综上中至少有一个小于2．19．（16分）已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为5，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得A，B关于过点P（﹣2，4）的直线l对称？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设⊙C的方程为（x﹣m）2+y2=25（m＞0），由题意设，解得m=1．故⊙C的方程为（x﹣1）2+y2=25．（2）由题设知，故12a2﹣5a＞0，所以，a＜0，或．故实数a的取值范围为．（3）设存在实数a，使得A，B关于l对称．∴PC⊥AB，又a＜0，或，即，∴，∴存在实数，满足题设．20．（16分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．【解答】解：（1）曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，可设A（x1，0），B（x2，0），由韦达定理可得x1x2=﹣2，若AC⊥BC，则k AC•k BC=﹣1，即有•=﹣1，即为x 1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾，故不出现AC⊥BC的情况；（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价，可得D=m，F=﹣2，圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0，由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1，则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0，另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），则由相交弦定理可得|OA|•|OB|=|OC|•|OH|，即有2=|OH|，再令x=0，可得y2+y﹣2=0，解得y=1或﹣2．即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．。

2017-2018学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应位置上.1．（5分）已知直线l的斜率为﹣1，则它的倾斜角为．2．（5分）已知圆C的方程为x2+y2+2x﹣y=0，则它的圆心坐标为．3．（5分）若直线a和平面α平行，且直线b⊂α，则两直线a和b的位置关系为．4．（5分）已知直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，则实数a=．5．（5分）已知直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为．6．（5分）圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是．7．（5分）已知P，Q分别为直线x+3y﹣9=0和x+3y+1=0上的动点，则PQ的最小值为．8．（5分）已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面说法正确的有．①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．9．（5分）直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是．10．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为．11．（5分）若直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相同的四段弧，则ab=．12．（5分）已知正三棱锥的体积为9cm3，高为3cm．则它的侧面积为cm2．13．（5分）已知点A（1，2），B（﹣3，﹣1），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是．14．（5分）已知线段AB的长为2，动点C满足（μ为常数，μ＞﹣1），且点C始终不在以点B为圆心为半径的圆内，则μ的范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）如图：四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：CD⊥PA．16．（14分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；（2）在△ACD中，求CD边上的高所在直线方程；（3）求四边形ABCD的面积．17．（15分）已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x 上．（1）求圆C的方程；（2）动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0过定点M，斜率为1的直线m 过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．18．（15分）斜棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥面ABC，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC=60°，E，F分别为A1C1和AB的中点．（1）求证：平面CEF⊥平面ABC；（2）若三棱柱的所有棱长为2，求三棱柱F﹣ECB的体积；（3）D为棱BC上一点，若C1D∥EF，请确定点D位置，并证明你的结论．19．（16分）已知圆C的圆心在直线3x+y﹣1=0上，且圆C在x轴、y轴上截得的弦长AB和MN分别为和．（1）求圆C的方程；（2）若圆心C位于第四象限，点P（x，y）是圆C内一动点，且x，y满足，求的范围．20．（16分）已知，B（0，2），C（1，0），斜率为的直线l过点A，且l和以C为圆C相切．（1）求圆C的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得，若存在，求出所有的点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若不过C的直线m与圆C交于M，N两点，且满足CM，MN，CN的斜率依次为等比数列，求直线m的斜率．2017-2018学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应位置上.1．（5分）已知直线l的斜率为﹣1，则它的倾斜角为．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得θ=．故答案为：．2．（5分）已知圆C的方程为x2+y2+2x﹣y=0，则它的圆心坐标为（﹣1，）．【解答】解：圆C的方程为x2+y2+2x﹣y=0，即（x+1）2+（y﹣）2 =，则圆心坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．3．（5分）若直线a和平面α平行，且直线b⊂α，则两直线a和b的位置关系为平行或异面．【解答】解：如图，在正方体AC1中，直线A1B1∥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，A1B1∥AB，A1B1与BC异面．∴直线a∥平面α，直线b在平面α内，则直线a与b的位置关系可能平行、可能异面．故答案为：平行或异面．4．（5分）已知直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，则实数a=．【解答】解：∵直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，∴斜率之积等于﹣1，他们的斜率分别为和，∴×=﹣1，∴a=，故答案为．5．（5分）已知直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【解答】解：根据题意，直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴的交点为（4，0）、（0，2），经过O、A、B三点的圆即△OAB的外接圆，又由△OAB为直角三角形，则其外接圆直径为|AB|，圆心为AB的中点，则有2r==2，即r=，圆心坐标为（2，1），则要求圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．6．（5分）圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是2．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，r=1；圆锥的高为：=2．故答案为：2．7．（5分）已知P，Q分别为直线x+3y﹣9=0和x+3y+1=0上的动点，则PQ的最小值为．【解答】解：P，Q分别为直线x+3y﹣9=0和x+3y+1=0上的动点，则PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，为=，故答案为：．8．（5分）已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面说法正确的有①④．①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．【解答】解：对于①，若m⊂α，m⊥β，根据面面垂直的判定可得α⊥β，故正确；对于②，若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m、n不一定垂直，故错；对于③，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m于n可能平行，可能异面，故错；对于④，若m∥α，m⊂β，α∩β=n，根据线面平行的性质可判定m∥n，故正确．故答案为：①④．9．（5分）直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是x+2y﹣3=0．【解答】解：在直线x﹣2y+1=0上任取两点（1，1），（0，），这两点关于直线x=1的对称点分别为（1，1），（2，），过这两点的直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+2y﹣3=0．故答案为：x+2y﹣3=0．10．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为．【解答】解：因为正四棱柱底面边长为1，侧棱长为，所以它的体对角线的长是：2．所以球的直径是：2，半径为1．所以这个球的体积是：．故答案为：．11．（5分）若直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相同的四段弧，则ab=﹣7．【解答】解：如图，∵直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相同的四段弧，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=，OA=OB=OC=OD=r=2，E、F是AB和CD的中点，则OE=OF===2．∴圆心（1，2）到直线l1：y=x+a和l2：y=x+b的距离都是2，∴，解得a=1﹣2，b=1+2或a=1+2，b=1﹣2．∴ab=（1+2）（1﹣2）=﹣7．故答案为：﹣7．12．（5分）已知正三棱锥的体积为9cm3，高为3cm．则它的侧面积为18 cm2．【解答】解：正三棱锥的体积为9cm3，高为3cm．可得底面正三角形的面积为：，解得S=9．设底面边长为xcm．由题意可得：，解得x=6．侧面斜高h==2．∴它的侧面积S=3××6×2=18．故答案为：18．13．（5分）已知点A（1，2），B（﹣3，﹣1），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是（1，3）．【解答】解：由题意可得|AB|==5，根据△MAB和△NAB的面积均为5，可得两点M，N到直线AB的距离为2．由于AB的方程为，即3x﹣4y+5=0．若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，则有圆心（0，0）到直线AB的距离=r﹣2，解得r=3，又圆上的点到AB的距离最大值为1+r（只有一个点），故当r≤1时1+r≤2，不可能存在两点到AB的距离都是2．故r＞1此时AB与圆相交要满足题意，则r﹣1＜2得r＜3∴1＜r＜3故答案为：（1，3）．14．（5分）已知线段AB的长为2，动点C满足（μ为常数，μ＞﹣1），且点C始终不在以点B为圆心为半径的圆内，则μ的范围是（﹣1，﹣]∪[，+∞）．【解答】解：以线段AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示；设点C（x，y），则A（﹣1，0），B（1，0），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y）；由，得（﹣1﹣x）（1﹣x）+（﹣y）2=μ，∴u=x2+y2﹣1；①又点C不在以点B为圆心为半径的圆内，∴（x﹣1）2+y2≥，即x2+y2﹣2x+1≥；②由①②得μ≥2x﹣，其中x≤或x≥；当x≤时，μ≤﹣，当x≥时，μ≥；又μ＞﹣1，∴μ的范围是﹣1＜μ≤﹣或μ≥．故答案为：（﹣1，﹣]∪[，+∞）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）如图：四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：CD⊥PA．【解答】证明：（1）∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点∴AB CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴AM∥BC，∵AM⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AM∥平面PBC．（2）∵PD=PC，点M是CD的中点，∴PM⊥CD，∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AM∥BC，∴CD⊥AM，∵PM∩AM=M，∴CD⊥平面PAM，∵PA⊂平面PAM，∴CD⊥PA．16．（14分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；（2）在△ACD中，求CD边上的高所在直线方程；（3）求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）解法一：设D（x，y），∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3），，∴（﹣1，﹣6）=（2﹣x，3﹣y），∴x=3，y=9，即D（3，9）．解法二：∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3），∴AC中点为，该点也为BD中点，设D（x，y），则可得D（3，9）；（2）∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3），∴CD边的斜率k CD==6，∴CD边上的高的斜率为，∴CD边上的高所在的直线方程为y﹣5=﹣（x+1），即x+6y﹣29=0．（3）解法一：∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）．∴直线BC：=，即x﹣y+1=0，∴A到BC的距离为d=，又BC==4，∴四边形ABCD的面积为．解法二：∵，，∴由余弦定理得∴∴四边形ABCD的面积为．17．（15分）已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x 上．（1）求圆C的方程；（2）动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0过定点M，斜率为1的直线m 过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣4，E=﹣8，F=﹣5，∴圆C的方程：x2+y2﹣4x﹣8y﹣5=0；（2）动直线l的方程为（x+2y﹣7）m+2x+y﹣8=0．则得，∴动直线l过定点M（3，2），∴直线m：y=x﹣1，∴圆心C（2，4）到m的距离为，∴PQ的长为．18．（15分）斜棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥面ABC，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC=60°，E，F分别为A1C1和AB的中点．（1）求证：平面CEF⊥平面ABC；（2）若三棱柱的所有棱长为2，求三棱柱F﹣ECB的体积；（3）D为棱BC上一点，若C1D∥EF，请确定点D位置，并证明你的结论．【解答】解：（1）；（2）∵CE⊥面ABC，∴CE为三棱锥E﹣BCF的高，在Rt△CC1E中，可得，又∵，∴；（3）D为棱BC中点点，∵C1D∥EF，∴C1，D，E，F共面，．19．（16分）已知圆C的圆心在直线3x+y﹣1=0上，且圆C在x轴、y轴上截得的弦长AB和MN分别为和．（1）求圆C的方程；（2）若圆心C位于第四象限，点P（x，y）是圆C内一动点，且x，y满足，求的范围．【解答】解：（1）设圆心为（a，b），半径为r，则有得或，圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=9或．（2）∵圆心C在第四象限，∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，∴，，∴，∵x，y满足，∴（或），又∵P在圆C内，满足（x﹣1）2+（y+2）2＜9且∴4y2+8y﹣5＜0，解得，∴．∴的范围[﹣，10）．20．（16分）已知，B（0，2），C（1，0），斜率为的直线l过点A，且l和以C为圆C相切．（1）求圆C的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得，若存在，求出所有的点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若不过C的直线m与圆C交于M，N两点，且满足CM，MN，CN的斜率依次为等比数列，求直线m的斜率．【解答】解：（1）∵，B（0，2），C（1，0），斜率为的直线l过点A，∴l：x﹣2y+4=0，∵直线l和圆C相切，∴设圆C的半径为r，则，∴圆C：（x﹣1）2+y2=5．（2）设P（x，y），则由PB2=8PA2，得7x2+7y2+16x﹣20y+22=0，又∵点P在圆C上，∴，相减得：3x﹣2y+5=0，代入x2+y2﹣2x=4，得13x2+22x+9=0，解得x=﹣1或，∴点的坐标为P（﹣1，1）或；（3）若直线m的斜率不存在，则MN的斜率也不存在，不合题意：若直线m的斜率不存在，设直线m：y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），直线m与圆（x﹣1）2+y2=5联立，得（1+k2）x2+2（kb﹣1）x+b2﹣4=0，由k2=k CM k CN，得，即k2（x1x2﹣x1﹣x2+1）=（kx1+b）（kx2+b）．整理得：，∵m不过C点，∴k+b≠0，∴上式化为k（x1+x2）+b﹣k=0．将代入得：k2b﹣k+k3﹣b=0，即（k2﹣1）（k+b）=0，∵k+b≠0，∴k2=1，∴直线m的斜率为±1．。