最新《相似三角形》判定与性质测试卷

浙教新版九年级上册《4.5相似三角形的性质及其应用》2024年同步练习卷（3）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则的重心是()A.点GB.点DC.点ED.点F2.如图，在中，E，G分别是AB，AC上的点，，的平分线AD交EG于点F，若，则()A.B.C.D.3.如图，的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作交AD于点F，则FG：AG是()A.1：4B.1：3C.1：2D.2：34.如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，，交BC于点F，则与的大小关系为()A.B.C.D.无法确定二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

5.如图，在中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点若，则EF的长是______.6.如图，AD是的高，AE是的外接圆的直径，且，，，则的直径______.7.点G是的重心，，如果，那么AB的长是______.8.如图，E，F分别为AC，BC的中点，D是EC上一点，且若，，则BE的长为______.9.如图，在等腰中，，，点E在边CB上，，点D在边AB上，，垂足为F，则AD的长为______.10.如图，点D在的边BC上，已知点E、点F分别为和的重心，如果，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于______.三、解答题：本题共3小题，共24分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11.本小题8分已知，如图，在中，CD是斜边上的中线，交BC于点F，交AC的延长线于点∽吗？为什么？你能推出结论吗？请试一试．12.本小题8分已知：如图，在中，点D、E分别在边BC、AB上，，AD与CE相交于点F，求证：；求证：13.本小题8分如图，在中，，，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接若与相似，求t的值；连接AN，CM，若，求t的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，如图所示，则AN与BM的交点为D，故点D是的重心，故选：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，然后根据图形可知AN与BM的交点为D，即可得到点D 为的重心．本题考查三角形的重心，解答本题的关键是明确三角形的重心是三角形中线的交点．2.【答案】C【解析】解：，，，，∽，故选：根据两组对应角相等可判断∽，可得，则可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用定理是关键．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，根据重心的性质得到，，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：的两条中线AD和BE相交于点G，点G是的重心，，，，，：：4，故选：4.【答案】C【解析】解：，，，，∽，且相似比为2，，，又，∽，易证∽，求得CF的长，可得根据勾股定理即可求得AE、EF的长，即可判定∽，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形对应角相等的性质，本题中求证∽是解题的关键．5.【答案】3【解析】解：点D，E分别是BC，AC的中点，，且，，，，故答案为：由题意可知，DE是的中线，则，且，可得，代入BF的长，可求出EF的长，进而求出BE的长．本题主要考查三角形中位线，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．6.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出∽首先根据两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出关于AE的比例式，计算即可．【解答】解：由圆周角定理可知，，，，∽：：AC，，，，：：5，，故答案为：7.【答案】6【解析】解：如图，AD为AB边上的中线，点G是的重心，，，，故答案为先根据三角形重心的性质得到，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到AB的长．本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：也考查了直角三角形斜边上的中线性质．8.【答案】【解析】解：，，，∽，，，，E，F分别为AC，BC的中点，，，解得：故答案为：由可得：，结合公共角，可证得∽，从而利用相似三角形的对应中线之比等于相似比即可求BE的长．本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是明确相似三角形的对应中线的之等于相似比．9.【答案】【解析】解：过D作于H，在等腰中，，，，，，，，，，∽，，，，，，，故答案为：过D作于H，根据等腰三角形的性质得到，，求得，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10.【答案】【解析】解：如图，连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，点E、F分别是和的重心，，，，，，，，，，∽，，，故答案为：连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．11.【答案】证明：，，，，，∽；为的中线，，，又，，又是公共角，∽，，即【解析】根据题意，得，，则，易证∽；由中，CD是斜边上的中线，得，则，又，所以，又是公共角，所以∽，即可得出；本题主要考查了直角三角形和相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键．12.【答案】证明：，，，，，，∽，，；∽，，即，，，∽，，，，【解析】根据等腰三角形的性质得到，，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到；根据相似三角形的性质得到，即，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到，等量代换即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，证得∽是解题的关键．13.【答案】解：，，，，由题意得，，当∽时，，即，解得：；当∽时，，即，解得：，综上所述，与相似时，t的值为或；如图，过点M作于点D，，，∽，，，，，，，，，，，，，，，∽，，即，解得：【解析】根据勾股定理求出AB，分∽、∽两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；过点M作于点D，分别证明∽，∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。

相似三角形判定练习题### 相似三角形判定练习题一、选择题1. 下列各组三角形中，一定相似的是（）A. 等腰三角形与直角三角形B. 等边三角形与等腰三角形C. 等腰直角三角形与直角三角形D. 等腰三角形与等边三角形2. 如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形（）A. 一定全等B. 一定相似C. 不一定相似D. 以上都不对3. 三角形ABC与三角形DEF相似，若AB:DE=2:3，那么AC:DF的比值为（）A. 2:3B. 3:2C. 1:1D. 无法确定二、填空题4. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A=∠D，∠B=∠E，则∠C=______。

5. 三角形ABC与三角形DEF相似，若AB=6cm，DE=9cm，则BC:EF的比值为______。

6. 如果三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=4cm，AC=6cm，DE=6cm，那么DF的长度为______。

三、判断题7. 如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形一定相似。

（）8. 三角形ABC与三角形DEF相似，如果∠A=∠D，∠B=∠E，那么∠C=∠F。

（）9. 三角形ABC的周长是三角形DEF的2倍，那么三角形ABC与三角形DEF相似。

（）四、简答题10. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=3:4，BC:EF=2:3，求AC:DF的比值。

11. 根据相似三角形的性质，如果一个三角形的三个内角的度数分别是40°，50°，90°，那么与它相似的另一个三角形的三个内角的度数分别是多少？12. 如果三角形ABC的面积是三角形DEF的9倍，且AB=6cm，DE=4cm，求三角形ABC的面积与三角形DEF的面积的具体数值。

五、解答题13. 在三角形ABC中，已知∠A=70°，∠B=40°，求∠C的度数，并判断三角形ABC是否为直角三角形。

14. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=5cm，BC=7cm，DE=10cm，求三角形ABC的周长。

湘教版九年级数学上册《3.4 相似三角形的判定与性质》练习题-带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.已知△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝12，则S△ABC∶S△A′B′C′为( )A.1∶2B.2∶1C.1∶4D.4∶12.如图，△ABC与△DE F相似，相似比为1∶2，BC的对应边是EF，若BC＝1，则EF的长是( )A.1B.2C.3D.43.已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶14.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF ：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：25.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对6.如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条7.如图，点P是△ABC的边AB上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有( )A.2条B.3条C.4条D.5条8.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在格点为( )A.P1 B.P2C.P3D.P49.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有( )A.1种B.2种C.3种D.4种10.如图，在△ABC中，CD⊥AB，且CD2＝AD•DB，AE平分∠CAB交CD于F，∠EAB＝∠B，CN＝BE.①CF＝BN；②∠ACB＝90°；③FN∥AB；④AD2＝DF•DC.则下列结论正确的是( )A.①②④B.②③④C.①②③④D.①③二、填空题11.若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比值为.12.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是.13.若△ABC∽△A′B′C′，且AB：A′B′＝3：4，△ABC的周长为12 cm，则△A′B′C′的周长为____________．14.下图中的每个点(包括△ABC的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P、Q、G、H中找一个点，使它与点D、E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是.(写出满足条件的所有的点)15.如图，平行四边形ABCD中，E是BC边延长线上一点，AE交CD于F，则图中相似三角形有对．16.如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A(0，1)作y轴的垂线l于点B，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B.BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1.B1A1为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是.三、解答题17.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°. 求证：△ADC∽△DEB.18.如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．(1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；(2)求∠BAC的度数．19.如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C.求证：(1) ∠EAF＝∠B；(2) AF2＝FE·FB.20.如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD.(1)求证△ADC∽△BGC；(2)求证CG·AB＝CB·DG.21.如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点(1)求证：△ADQ∽△QCP；(2)若AB＝10，连接BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长.22.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，DE交BC于点F.(1)如图①，若BD＝CE，求证：DF＝EF.(2)如图②，若BD＝1nCE，试写出DF和EF之间的数量关系，并证明.(3)如图③，在(2)的条件下，若点E在CA的延长线上，那么(2)中结论还成立吗？试证明.答案1.C2.B3.B4.A5.C.6.C7.C.8.B9.C.10.C.11.答案为：1：4.12.答案为：4：9.13.答案为：16cm.14.答案为：Q.15.答案为：4.16.答案为(﹣3×4n﹣1，4n).17.证明：∵△ABC是等边三角形∴∠B＝∠C＝60°∴∠ADB＝∠CAD＋∠C＝∠CAD＋60°∵∠ADE＝60°∴∠ADB＝∠BDE＋60°∴∠CAD＝∠BDE∴△ADC∽△DEB.18.解：(1)△PBA与△ABC相似，理由如下：∵AB＝5，BC＝5，BP＝1∴∵∠PBA＝∠ABC∴△PBA∽△ABC；(2)∵△PBA∽△ABC∴∠BAC＝∠BPA∵∠BPA＝90°＋45°＝135°∴∠BAC＝135°．19.证明：(1)∵AB∥CD∴∠B＝∠C又∠C＝∠EAF∴∠EAF＝∠B(2)∵∠EAF＝∠B，∠AFE＝∠BFA ∴△AFE∽△BFA则AFBF＝FEFA∴AF2＝FE·FB20.解：(1) ∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高∴∠BGC＝∠ADC＝90°.又∠C＝∠C∴△ADC∽△BGC.(2)∵△ADC∽△BGC∴CGDC＝BCAC.∴CGBC＝DCAC.又∠C＝∠C∴△GDC∽△BAC.∴CGBC＝DGAB.∴CG·AB＝CB·DG.21.证明：(1)∵正方形ABCD中，BP＝3PC，Q是CD的中点∴PC＝14﹣BC，CQ＝DQ＝12CD，且BC＝CD＝AD∴PC ：DQ ＝CQ ：AD ＝1：2 ∵∠PCQ ＝∠ADQ ＝90° ∴△PCQ ∽△ADQ (2)∵△BMP ∽△AMD ∴BM ：DM ＝BP ：AD ＝3：4 ∵AB ＝10 ∴BD ＝10 2 ∴BM ＝同理QN ＝53 5.22.证明：(1)在题图①中作EG ∥AB 交BC 于点G 则∠ABC ＝∠EGC ，∠D ＝∠FEG. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C. ∴∠EGC ＝∠C.∴EG ＝EC. ∵BD ＝CE ，∴BD ＝EG. ∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠GFE ∴△BFD ≌△GFE. ∴DF ＝EF. (2)解：DF ＝1nEF.证明：在题图②中作EG ∥AB 交BC 于点G ，则∠D ＝∠FEG.由(1)得EG ＝EC. ∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠EFG ∴△BFD ∽△GFE.∴BD EG ＝DF EF. ∵BD ＝1n CE ＝1n EG∴DF ＝1n EF.(3)解：成立.证明：在题图③中作EG ∥AB 交CB 的延长线于点G则仍有EG＝EC，△BFD∽△GFE.∴BDEG＝DFEF.∵BD＝1nCE＝1nEG，∴DF＝1nEF.。

人教九下数学 第27章 相似三角形的判定及有关性质综合测试（含答案）一、选择题（每小题6分，共48分）1．在△ABC 中，D 、F 是AB 上的点，E 、H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE 、FH 将△ABC 分成面积相等的三部分，若线段FH=65，则BC 的长为（ ） A ．15 B ．10 C.6215 D ．15322．在△ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且S △ADE ：S 四边形DBCE=1：2，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为（ ）A ．1：2B ．1：)12(-C ．1：)13(-D ．)13(-：33．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高，AC=5，BC=8，则S △ACD ：S △CBD 为（ ） A ．85B ．6425 C ．3925 D ．8925 4．如图1—5—1，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是（ ）A.29，16 B. 9，4 C. 29，8 D. 49，165．如图1—5—2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC ； （3）ABAC AD CD =；（4）AB 2=BD ·BC 。

其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．如图1—5—3，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且31AC AD =，AE=BE ，则有（ ）A. △AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C. △AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD7．如图1—5—4，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，SC 31QC =，则AB 等于（ ） A. 415B. 436C. 217D. 58．如图1—5—5，平行四边形ABCD 中，O 1、O 2、O 3是BD 的四等分点，连接AO 1，并延长交BC 于E ，连接EO 2，并延长交AD 于F ，则FDAD等于（ ）A ．3：1B ．3：1C ．3：2 D. 7：39．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（ ） A ．等腰三角形 B. 任意三角形C ．直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形10．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ： AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，则这两个三角形（ ） A ．相似，但不全等 B ．全等C ．一定相似D ．无法判断是否相似11．如图1—6—1，正方形ABCD 中，E 是AB 上的任一点，作EF ⊥BD 于F ，则BEEF为（ ）A ．22B ．21C ．36D ．2图1—6—112．如图1—6—2，把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若2AB =，则此三角形移动的距离AA'是（ ）A ．12-B ．22C ．1D ．21 图1—6—213．如图1—6—3，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．24B ．34C ．4D ．6 图1—6—314．如图1—6—4，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对15．在直角三角形中，斜边上的高为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（ ）A.265cm B ．64cm C ．65cmD ．325cm16．AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，作DE ⊥AC 于E ，45AC AB =，则EACE=（ ） A ．2516 B ．54C ．45D ．162517．如图1—6—5，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，已知AB=m ，BC=n ，求CD 的长。

相似三角形的判定与性质练习题一、单选题1.如果两个相似三角形的相似比是1:2, 那么这两个相似三角形的面积比是( ) A.2:1 B. 1:2C.1:2D.1:42.如图,点D 是△ABC 的边AB 上的一点,过点D 作BC 的平行线交AC 于点E,连接BE,过点D 作BE 的平行线交AC 于点F,则下列结论错误的是( )A. AD AE BD EC= B. AF DF AE BE= C. AE AF EC FE= D. DE AF BC FE = 3.下列四条线段中，不能组成比例线段的是（ ）A.3,6,2,4a b c d ====B.1,2,3,6a b c d ====C.4,6,5,10a b c d ====D.2,5,23,15a b c d ====4.如图,在ABC ∆中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件中不能判断ABC AED ~△△ ( )A. AED B ∠=∠B. ADE C ∠=∠C. AD AC AE AB =D. AD AE AB AC= 5.如图27-4-4,在四边形ABCD 中,BD 平分,90,ABC BAD BDC E ∠∠=∠=°为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F.若4,30BC CBD =∠=°，则DF 的长为( )A.235B.233C.334D.4356.如图,在中,E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则:EF FC等于( )A.3:2B.3:1C.1:1D.1:27.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1,7)，(11)，，(41)，，(61)，，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A.(60)，B.(63)，C.(65)，D.(42)，8.如图,在正方形网格上,若使△ABC∽△PBD,则点P应在处( )A.P1B.P2C.P3D.P49.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC=( )A.1:3B.1:4C.2:3D.1:210.如图,在等边三角形ABC 中,D 、E 分别在AC 、AB 上,且AD ︰AC=1︰3,AE=BE,则有( )A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD11.如图所示,四边形ABCD 是正方形,E 是CD 的中点,P 是BC 边上的一点,下列条件:①∠APB=∠EPC;②∠APE=∠APB;③P 是BC 的中点;④BP:BC=2:3.其中能推出△ABP∽△ECP 的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个12.如图，在ABC △中，CB CA =，90ACB ∠︒＝，点D 在边BC 上（与,B C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG CA ⊥，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论:AC FG =；四边形1:2FAB 四边形CBFG S :S ＝△③ABC ABF ∠=∠；④2AD FQ AC =，其中正确结论有（ ） A.1个 B.2个C.3个D.4个13.如图，点A 在线段BD 上.在BD 的同侧作等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △,CD 与BE ,AE 分别交于点,P M .对于下列结论:① BAE CAD △△;②MP MD MA ME ⋅=⋅;③22CB CP CM =⋅.其中正确的是( )A.①②③B.①C.①②D.②③14.如图,在平行四边形ABCD 中, E 为CD 上一点,连接AE 、BE 、BD ,且AE 、BD 交于点F ,:4:25DEF ABF S S ∆∆=,则:?DE EC = ( ) A. 2:3B. 2:5C. 3:5D. 3?:?2二、证明题15.如图，已知,,B C E 三点在同一条直线上，ABC △与DCE △都是等边三角形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F ，连接GF .求证：（1）ACE BCD ≅△△；（2）AG AF GC FE=. 16.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交,AB AC 于点,M N .求证：BP CP BM CN ⋅=⋅.17.如图，D BC 已知是边上的中点，且AD AC =，DE BC ⊥，DE BA E 与相交于点，EC AD F 与相交于点.（1）求证:ABC FCD △△；（2）若5FCD S =△，10BC ＝，求DE 的长18.如图，已知AD 平分BAC ∠， AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P .求证：2.PD PB PC =⋅19.如图，//AB FC ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，分别延长FD 和CB 交于点G（1）求证:ADE CFE ≅△△；（2）若2GB =，4BC =，1BD =，求AB 的长.20.如图，在ABCD 中，,AM BC AN CD ⊥⊥，垂足分别为,M N .求证：（1）AMB AND △△；（2）AM MN AB AC=. 三、解答题21.如图，在4x3的正方形方格中,ABC △和DEC △的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1) 填空:ABC ∠= ,BC = ;(2) 判断ABC △和DEC △是否相似，并证明你的结论.22.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米,点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动;点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动.如果P,Q 同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6),那么1.设△POQ 的面积为y,求y 关于t 的函数关系式;2.当t 为何值时,△POQ 与△AOB 相似.23.如图，已知矩形ABCD 的一条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处.已知折痕与边BC 交于点O ，连接,,.AP OP OA(1)求证:OCP PDA △△;(2)若OCP △与PDA △的面积比为1:4，求边AB 的长.24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =-+与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点45(,)33A ,点D 的坐标为(0)1，.(1)求直线AD 的解析式;(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当BOD △与BCE △相似时，求点E 的坐标. 25.如图，在矩形ABCD 中，12AB = cm ，6BC = cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P ，Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间（06t ≤≤），那么:（1）当t 为何值时，QAP △为等腰直角三角形？（2）对四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论（3）当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与ABC △相似？四、填空题26.如图,在直角梯形ABCD 中, 90ABC ∠=,//AD BC ,4AD =,5AB =,6BC =,点P 是AB 上一个动点,当PC PD +的和最小时, PB 的长为__________.27.如图,若AB∥CD,则△__________∽△__________,__________=__________=AO CO.28.如图,在等边三角形ABC 中,点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上,且90ADF BED CFE ∠=∠=∠=︒,则DEF ∆与ABC ∆的面积之比为__________ 29.已知578a b c ==，且329a b c -+=，则243a b c +-的值为 . 30.如图，已知在Rt ABC △中，5,3AB BC ==，在线段AB 上取一点D ，作DE AB ⊥交AC 于E ，将ADE △沿DE 析叠，设点A 落在线段BD 上的对应点为11,A DA 的中点为,F 若1FEA FBE △△，则AD= .31.已知:如图,在△ABC 中,点A 1,B 1,C 1分别是BC 、AC 、AB 的中点,A 2,B 2,C 2分别是B 1C 1,A 1C 1,A 1B 1的中点,依此类推….若△ABC 的周长为1,则△A n B n C n 的周长为__________.32.如图，正三角形ABC 的边长为2，以BC 边上的高1AB 为边作正三角形11AB C ，ABC △与1ABC △公共部分的面积记为1S ，再以正三角形11AB C 的边1C 上的高2AB 为边作正三角形22AB C ，11AB C △与22AB C △公共部分的面积记为2S ，……，以此类推，则n S ＝ .（用含n 的式子表示，n 为正整数）33.如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且 : 2:1,BE EC AE =与BD 交于点F ，则AFD △与四边形DFEC 的面积之比是 .34.如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P 从点B 出发,沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动,点Q 从点C 出发,以1cm/s 的速度向点A 移动,若点P 、Q 分别从点B 、C 同时出发,设运动时间为ts,当t=__________时,△CPQ 与△CBA 相似.35.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且1,4CF CD =下列结论: ①30BAE ∠=°; ②;ABE ECF △△③AE EF ⊥; ④ADF ECF △△.其中正确结论是 .(填序号)36.如图27-4-9,在ABC △中,90,8m 10m,C BC AB ∠===,°点 P 从B 点出发,沿BC 方向以2m/s 的速度移动,点Q 从C 出发,沿CA 方向以1m/s 的速度移动.若P Q 、同时分别从B C 、出发,经过____________s,CPQ CBA △△~.37.如图24-4-10,ABC △的两条中线AD 和BE 相交于点G ,过点E 作//EF BC 交AD 于点F ,则FG AG=________.参考答案1.答案：C解析：2.答案：D解析：3.答案：C解析：A 选项，因为3:62:4=，所以,,,a b c d 四条线段成比例B 选项，因为1232,2226==，所以,,,a b c d 四条线段成比例C 选项，因为4:56:10≠，所以,,,a b c d 四条线段不成比例D 选项，因为2252325,55515==，所以,,,a b c d 四条线段成比例故选C 4.答案：D解析：∵DAE CAB ∠=∠,∴当AED B ∠=∠或ADE C ∠=∠时,由两角分别相等的两个三角形相似,可以得出ABC AED ~△△;当AD AC AE AB=时,由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,可得ABC AED ~△△. 只有选项D 中条件不能判断ABC AED ~△△,故选D.5.答案：D解析：如图，在Rt BDC △中，4,30,BC CBD =∠=°2,2 3.CD BD ∴=∴=连接,90,DE BDC ∠=°，点E 是BC 中点,1 2.2DE BE CE C ∴====30,30,CBD BDE DBC ∠=∴∠=∠=°°,30,BD CBC ABD DBC ∠∴∠=∠=°,//,,ABD BDE DE AB DEF BAF ∴∠=∠∴∴△△~.DF DE BF AB ∴=在Rt ABD △中，230,23,3,,3DF ABD BD AD BF ∠==∴=∴=°22243,23,5555DF DF BD BD ∴=∴==⨯=故选D.6.答案：D解析：在中, //AD BC ,∴DEF BCF ∆~∆,∴DE EF BC CF=. ∴点E 是边AD 的中点, ∴12AE DE AD ==, ∴12EF CF =. 7.答案：B解析：ABC ∆中, 90,6,3,:2ABCAB BC AB BC ∠====. A 、当点E 的坐标为()6,0时, 90,2,1CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; B 、当点E 的坐标为()6,3时, 90,2,2CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ≠∆与ABC ∆不相似,故本选项符合题意; C 、当点E 的坐标为()6,5时, 90,2,4CDE CD DE ∠===,则::,AB BC DE CD EDC ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; D 、当点E 的坐标为()4,2时, 90,2,1ECD CD CE ∠===,则::,?AB BC CD CE DCE ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; 故选:B.8.答案：C解析：从图中可知，要使△ABC 与△PBD相似，根据勾股定理，得BC =BD =12BC AB BD BP ===,因为AB=2，那么BP=4，故选择P 3处 . 考点：相似三角形点评：该题主要考查学生对相似三角形概念的理解，以及对其性质的应用。

自学资料一、相似三角形判定与性质综合【知识探索】1．A字型、反A字型（斜A字型）8字型、反8字型第1页共22页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训2．共享性：【错题精练】例1．如图，△ABC中，D边BC上一点，E是CD的中点，且∠ACD=∠ABE，已知AC=2，设AB=x，AD=y，则y与x满足的关系式为（）A. xy=4；B. 2xy−y2=4；C. xy−y2=4；D. x2+xy−2y2=4．【答案】B例2．如右图，AD//CB，AB与CD相交于点E，过点B的直线交CD于点F，交AD于点G，若BEAE =23，BF GF =85，EF=2，则DF的长为（）第2页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训A. 72； B. 257；C. 185； D. 4．【答案】B例3．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（）A. 4；B. 6；C. 4√2；D. 4√3．【答案】C例4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F，若AE:DF=2:3，则BF:BC的值是（）A. 23； B. 35；C. 12； D. 25．【答案】B例5．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE:EC=3:2，连接AE交BD于点F，则SΔDEF:SΔBAF:S四边形BCEF= ．第3页共22页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】9:25:48例6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC 于点F．若∠AED=∠B，且AG：GF=3：2，则DE：BC=．【答案】3：5例7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠ACD=∠B，DE∥BC．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）若DE=6，BC=10，求线段CD的长．【解答】（1）证明：∵∠ACD=∠B，又∵∠DAC=∠CAB，∴△ACD∽△ABC，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴△ADE∽△ACD；（2）解：∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠B，即∠ECD=∠B，∴△EDC∽△DCB，∴CDBC =DECD，即CD2=BC⋅DE，∵DE=6，BC=10，第4页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训∴CD2=BC⋅DE=60，解得：CD=2√15．【答案】（1）略；（2）2√15．例8．如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求AGDF的值．【解答】（1）解：由题意知：∵EG∥BC，∴∠GEF=∠FBD，∵∠BFD=∠GFE，∠GEF=∠FBD，∴△FGE∽△FDB；（2）解：∵AD、BE分别是三角形的中线，∴BD=CD，AE=EC，∵EG∥BC，∴EG是△ADC的中位线，∴EG=12CD，∵△EFG∽△BDF，∴EGBD =FGFD=12，∴DF=23DG，∵EG是△ADC的中位线，∴AG=DG，∴DF=23AG，∴AG:DF=3:2=32．【答案】（1）略；（2）32．第5页共22页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训例9．如图，等边△ABC中，点D是BC上任意点，以AD为边作∠ADE=∠ADF=60∘，分别交AC，AB于点E，F．（1）求证：AD2=AE×AC；（2）已知BC=2，设BD的长为x，AF的长为y，求y关于x的函数表达式；（3）若四边形AFDE的外接圆直径为13√312，求y与x的值．【解答】（1）解：在等边△ABC中∠B=∠C=60∘∵∠ADE=60∘∴∠ADE=∠ACD，∠DAE=∠CAD，∴△ADE=△ACD∴ADAE =ACAD∴AD2=AE×AC；（2）解：∵∠B=∠ADF，∠DAF∠BAD∴△DAF∽△BAD∴DABA =AFAD∴AD2=AF×AB∴△DAF∽△BAD由（1）知AD2=AE×AC，且AB=AC∴AE=AF∵∠B=∠C=∠ADE且∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE ∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE∴ABBD =DCCE∵BC=2，BD=x，AF=y∴AB=2，CD=2−x，CE=2−y∴2x =2−x2−y∴y=12x2−x+2（0≤x≤2）；第6页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第7页 共22页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训（3）解：连接EF ，AF =AE ，∠EAF =60∘∠EDF =120∘则△AEF 为等边三角形 ∴四边形AFDE 的外接圆即为等边三角形△AEF 的外接圆 ∵四边形AFDE 的外接圆直径为13√312∴AF =EF =138∴当y =138时，x 1=12，x2=32．【答案】（1）略；（2）y =12x 2−x +2（0≤x ≤2）；（3）当y =138时，x 1=12，x 2=32．例10．已知：如图，点D 是等腰直角△ABC 的重心，其中∠ACB =90∘，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连结DE ，若△ABC 的周长为6，则△DCE 的周长为（ ）A. 2√2；B. 2√3；C. 4；D. 3√2．【答案】A例11．如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 在BC 边所在的直线上，且BC 2=BD ⋅CE ． （1）求∠DAE 的度数．（2）求证：AD 2=DB ⋅DE ．【解答】（1）解： ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60∘，AB =AC =BC ， ∴∠ABD =∠ACE ， ∵BC 2=BD ⋅CE ， ∴AB ⋅AC =BD ⋅CE ，即ABBD =CEAC，∴△ABD∽△ECA；∴∠DAB=∠E，∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠EAC=120∘（2）证明：∵∠DAE=∠ADB=120∘，∠D=∠D，∴△ABD∽△EAD∴ADDE =BDAD，∴AD2=DB⋅DE．【答案】（1）∠DAE=120∘；（2）略．例12．如图使用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A、D两端点的距离为6cm，AOBO =DOCO=47，求容器的内径BC．【解答】解：∵AOBO =DOCO又∵∠AOD=∠BOC ∴△AOD∽△BOC∴ADBC =AOBO=DOCO=47∵AD=6cm∴BC=212cm【答案】BC=212cm．例13．如图，在△ABC中，∠A=36∘，AC=AB=2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF的面积之比等于（）第8页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训A. √5−1；2；B. √5−14C. 3−√5；2D. 3−√5．4【答案】C例14．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=k(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的x解析式为．【答案】y=2x例15．如图：在⊙O中，经过⊙O内一点P有一条弦AB，且AP=4，PB=3，过P点另有一动弦CD，连接AC，DB．设CP=x，PD=y．（1）求证：△ACP∽△DBP；（2）写出y关于x的函数解析式；（3）若CD=8时，求S△ACP：S△DBP的值．第9页共22页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】（1）证明：∵∠C=∠B，∠A=∠D，∴△ACP∽△DBP．（2）解：由（1）可得：CP⋅PD=AP⋅PB，即xy=12．∴y=12x．（3）解：由题意得{xy=12x+y＝8．由②得y=8−x．代入①得x(8−x)=12．得x1=2，x2=6．∴CP=2，PD=6或CP=6，PD=2．S△ACP:S△DBP=CP2:BP2=22:32=4:9或S△ACP:S△DBP=CP2:BP2=62:32=4:1．【答案】（1）略；（2）y=12x；（3）4：1．【举一反三】1．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，且点D，D分别在BC，AB上，连结AD和CE交于点H，若BDCD =2，AHDH=1，则BE的长为．【答案】154．第10页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训2．在平行四边形ABCD中，E为AB上的一点，连结CE，P为CE的中点，过P作直线MN分别交边AD，BC于点M，N，若EA:EB=5:4，则且PM:PN=．【答案】723．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．【解答】（1）∵AB＝2，BC＝4，BD＝1，∴ABBC =24=12，BD AB =12，∴ABBC =BDAB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA；（2）∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴△ABD∽△CDE，∴DE＝1.5．【答案】（1）见解答；（2）DE＝1.5．4．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E，G两点，CE，BG相交于点O．（1）求证：AG=DE；（2）已知AB=4，AD=5，求OEOC的值；（3）求四边形ABOE的面积与△BOC的面积之比．【解答】（1）证明：BG平分∠ABC，CE平分∠BCD∴∠ABG=∠CBG，∠BCE∠DCE∵AD∥BC∴∠CBG=∠AGB，∠BCE=∠CED∴AB=AG，CD=DE∵AB=CD∴AG=DE；（2）解：∵AB=4，AD=5∴AG=DG=4，AE=AD−DE=1，GD=AD−AG=1∴EG=AD−AE−DG=3∵AD∥BC∴OEOC =EGBC=35；（3）解：连接AO，设SΔOEG=9a∵AD∥BC，∴△OEG∽△OCB∴SΔOEG:SΔOBC=9:25∴SΔOBC=25a∵AE:EG=1:3∴SΔOAE:SΔOEG=1:3∴SΔOAE=3a∴SΔOAG=12a∵SΔOAB:SΔOAG=OB:OG=5:3∴SΔOAB=20a∴S四边形ABOE=SΔOAB+SΔOAE=23a∴S四边形ABOE:SΔOBC=23a:25a=23:25．【答案】（1）略；（2）35；（3）23∶25．5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD=2，DB=1，△ADE、△ABC的面积分别为S1、S2，则S1的值为（）S2；A. 23B. 1；2；C. 49D. 2．【答案】C6．如图，在△ABC中，AC=4，BC=2，点D是边AB上一点，CD将△ABC分成△ACD和△BCD，若△ACD是以AC为底的等腰三角形，且△BCD与△BAC相似，则CD的长为．．【答案】4√337．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．（1）求证：AF:FD=AD:DB；（2）若AB=15，AD:BD=2:1，求DF的长．【解答】（1）证明：∵EF∥CD，∴AFFD =AEEC，∵DE∥BC，∴ADBD =AEEC，∴AF:FD=AD:DB；（2）解：∵AD:BD=2:1，∴BD=12AD，∴AD+12AD=15，∴AD=10，∵AF:FD=AD:DB，∴AF:FD=2:1，∴AF=2DF，∵AF+DF=10，∴2DF+DF=10，∴DF=103．【答案】（1）略；（2）DF=103．8．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为．【答案】3．9．如图，ABCD中，AC，BD交于点O，BC=6，OE=2，BO=4．（1）求证△DEF∽△BEC；（2）求AF的长．【解答】（1）证明：∵∠FDE=∠CBE，∠DFE=∠BCE，∠DEF=∠BEC，∴△DEF∽△BEC；（2）解：∴OB=OD=4，AD∥BC，AD=BC=18，∵OE=2，∴DE=4−2=2，∵AD∥BC，∴△DFE∽△BCE，∴DF+BC=DE+BE，∴DF+18=24+2，∴DF=6，∴AF=18−6=12．【答案】（1）略；（2）12．10．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90∘，E为AB的中点，连接CE、DE．AC 与DE相交于点F．（1）求证：△ADF∽△CEF；的值．（2）若AD=4，AB=6，求ACAF【解答】（1）证明：∵∠ACB=90∘，E为AB的中点，∴AE=CE，∴∠EAC=∠ACE，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ACE，∴AD∥CE，∴△ADF∽△CEF；（2）解：∵E为AB的中点，∴CE=12AB=AE，∴∠EAC=∠ECA；∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；∴△AFD∽△CFE，∴AD:CE=AF:CF；∵CE=12AB=3，AD=4，∴AFCF =ADCE=43，∴ACAF =74．【答案】（1）略；（2）ACAF =74．11．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABC沿AC折叠，点B落到E点，此时AE交CD于F，则AF:EF=（）A. 24：7；B. 25：7；C. 2：1；D. 3：1．【答案】B12．如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N．（1）求证：AD=BE；（2）求证：△ABF∽△ADB．【解答】（1）证明：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60∘．∴∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE，即∠BCE=∠ACD．在△BCE和△ACD中，{BC=AC∠BCE=∠ACDCD=CE，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD=BE；（2）证明：由（1）知：△BCE≌△ACD，∴∠CBE=∠CAD，又∵∠BMC=∠AMF，∴∠AFB=∠ACB=60∘=∠ABC，又∵∠BAF=∠BAD，∴△ABF∽△ADB．【答案】（1）略；（2）略．13．在梯形ABCD中，AB∥CD，点E在线段DA上，直线CE与BA的延长线交于点G．（1）求证：△CDE∽△GAE；（2）当DE：EA=1：2时，过点E作EF∥CD交BC于点F且CD=4，EF=6，求AB的长．【解答】（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDE=∠GAE，∠DCE=∠EAG．∴△CDE∽△GAE．（2）证明：由（1）△CDE∽△GAE，∴DE：EA=DC：GA．∵DE：EA=1：2，CD=4，∴GA=8，CE：CG=1：3．又∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥GB．∴△CEF∽△CGB．∴CE：CG=EF：GB．∵EF=6，∴GB=18．∴AB=GB−GA=18−8=10．【答案】（1）略；（2）10．14．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D．求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90∘∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴D是BC的中点；（2）证明：AB=AC，∴∠C=∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠BEC=90∘，∴△BEC∽△ADC．【答案】（1）略；（2）略．1．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在边AB上，AD=4.5，△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求AFAE的值．【解答】（1）证明：ADAC =ACAB，∵∠BAC=∠CAD，∴△ACD∽△ABC （2）解：∵△ACD∽△ABC，AE是∠BAC的角平分线，∴AFAE =ACAB=34．【答案】（1）略；（2）AFAE =ACAB=34．2．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40∘,∠B=60∘，求证：CD为△ABC的完美分割线；（2）在△ABC中，∠A=48∘，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=√2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解答】（1）证明：如图1中，∵∠A=40∘,∠B=60∘，∴∠ACB=80∘，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40∘，∴∠ACD=∠A=40∘，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40∘，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD为△ABC的完美分割线；（2）解：①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48∘，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48∘，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96∘；②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=180∘−48∘2=66∘，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48∘，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114∘；③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48∘，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48∘，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96∘或114°；（3）解：由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA =BDBC，设BD=x，∴(√2)2=x(x+2)，∵x＞0，∴x=√3−1，∵△BCD∽△BAC，∴，∴CD=√3−1√2×2=√6−√2．【答案】（1）略；（2）略；（3）√6−√2．3．已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．【解答】（1）证明：∵AB=2，BC=4，BD=1，∴ABBC =24=12，BDAB=12，∴ABBC =BDAB，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴△ABD∽△CDE，∴DE=1.5．【答案】（1）略；（2）1.5．4．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC中点，DE交AC于F，若DE=12，则EF等于（）第21页共22页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训A. 8；B. 6；C. 4；D. 3．【答案】C第22页共22页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训。

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。

证明：=。

当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。

2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。

证明：AC^2=AF•AD。

联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。

3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。

证明：△APC∽△ACB。

若AP=2，PC=6，求AC的长。

4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。

证明：△ABF∽△EAD。

若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。

5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。

证明：AB•BC=AC•CD。

6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。

说明AF•BE=2S的理由。

7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。

若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。

若AE=2，试求AP•AF的值。

若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。

8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。

证明。

9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。

证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。

10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。

12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。

相似三角形的判定和性质复习测试卷一、选择题1．（2022•亳州一模）若5x﹣6y＝0，且xy≠0，则5x+6y10x−4y的值等于（）A．32B．1C．23D．﹣12．（2022秋•夏县月考）已知m+2nn=157，则n：m等于（）A．7：1B．1：7C．4：5D．5：43．（2022•杭州模拟）如果yx=12，那么x−yx+y的值等于（）A．−13B．−13y C．13D．13y4．（2022春•绥棱县期末）根据4a＝5b，可以组成的比例有（）A．a：b＝4：5B．a：b＝5：4C．a：4＝b：5D．a：5＝4：b 5．（2022秋•雁塔区校级期中）若四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝4cm，c＝2cm，d＝8cm，则线段a的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 6．（2022•杭州模拟）下列各组中的四条线段成比例的是（）A．a=√2，b＝3，c＝2，d=√3B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10C．a＝1，b＝2，c=√2，d＝2√2D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1 7．（2022秋•泗县期中）下列各组中的线段，其中a，b，c，d是成比例线段的是（）A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10C．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6 8．（2022秋•永春县期中）下列各组线段中，能成比例的是（）A．2cm，3cm，5cm，6cmB．3cm，12cm，0.8cm，2cmC．0.1cm，0.2cm，0.5cm，0.4cmD．1cm，2cm，4cm，2cm9．（2022秋•射洪市期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，若AB＝2，则BC的值为（）A．3−√5B．1+√5C．√5−1D．√5−2 10．（2022秋•武汉期中）如图1，线段AB长为2，点C是线段AB上一动点（不与端点重合），设BC长为x，如图2，在同一直角坐标系中甲表示y1=ACBC的值随x的变化情况，乙表示y2=BCAB的值随x的变化情况，则点P所对应的x值为（）A．√5−12B．1C．√5−1D．√5+1211．（2022秋•西湖区校级月考）如图，一片树叶的叶脉AB长度为10cm，P为AB的黄金分割点（AP＞BP），求叶柄BP的长度，设BP＝xcm，则符合题意的方程是（）A．（10﹣x）2＝10x B．x2＝10（10﹣x）C．x（10﹣x）＝102D．10（1﹣x）2＝10﹣x12．（2022春•东湖区校级月考）黄金分割数√5−12是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算2√5−2的值（）A．在2.1和2.2之间B．在2.2和2.3之间C．在2.3和2.4之间D．在2.4和2.5之间13．（2022秋•尤溪县期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝4，则线段BC的长是（）A．2B．4C．1D．1 314．（2022秋•瑞安市月考）如图，l1，l2，l3，l4是一组平行线，l5，l6与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若AB：BC：CD＝2：3：4，EG＝10，则EH的长为（）A．14B．16C．18D．20 15．（2022秋•禅城区校级月考）如图，AB∥CD∥EF，AC：CE＝3：2，BD＝6，则DF的长为（）A．2B．4C．9D．10 16．（2022•平桂区二模）如图，已知直线l1∥l2∥l3，AB＝5，BC＝2，DE＝4.5，则EF的长为（）A．1.8B．2C．2.5D．317．（2022秋•三元区期中）在下列各组图形中，一定相似的是（）A．B．C．D．18．（2022秋•沈河区校级期中）下列说法正确的是（）A．任意两个菱形都相似B．任意两个矩形都相似C．任意两个等腰三角形都相似D．任意两个正方形都相似19．（2022秋•涟源市期中）下列说法正确的是（）A．所有的矩形都相似B．两个直角三角形相似C．两个等边三角形相似D．各有一个角是40°的两个等腰三角形相似20．（2022秋•静安区校级期中）下列图形中一定相似的是（）A．直角三角形都相似B．等腰三角形都相似C．矩形都相似D．等腰直角三角形都相似21．（2021秋•禹州市期末）下列事件是必然事件的是（）A．购买一张彩票，一定中奖B．掷一枚硬币，反面朝上C．相等的圆心角所对的弧相等D．任意两个正方形都相似22．（2022秋•大连期中）如图所示的两个五边形相似，则以下a，b，c，d的值错误的是（）A．a＝3B．b＝4.5C．c＝4D．d＝8 23．（2022•石家庄三模）对于题目：“在边长为6和2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图1所示，最大值为16；乙方案：如图2所示，最大值为16．下列选项中说法正确的是（）A．甲方案正确，周长和的最大值错误B．乙方案错误，周长和的最大值正确C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误24．（2022秋•潍城区期中）如图，已知四边形ABFE∽四边形EFCD，AB＝2，EF＝3，则DC的长是（）A．6B．43C．92D．425．（2022秋•江干区校级期中）如图，在ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．针对CP的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（）甲：若CP＝4，则有3种不同的剪法；乙：若CP＝2，则有4种不同的剪法；丙：若CP＝1，则有3种不同的剪法．A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对26．（2022•甘肃）若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，则ACDF=（）A．49B．94C．23D．3227．（2022秋•包河区期中）已知△ABC∽△DEF，AG和DH是它们的对应边上的高，若AG＝4，DH＝6，则△ABC与△DEF的面积比是（）A．2：3B．4：9C．3：2D．9：4 28．（2022秋•青羊区校级期中）如图，△ABC∽△ACP，若∠A＝60°，∠APC ＝75°，则∠B的大小为（）A．40°B．45°C．60°D．75°29．（2022秋•石狮市校级期中）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AEDC．AB⋅BC＝AD⋅DE D．AB⋅AE＝AD⋅AC 30．（2022•沈阳模拟）已知等边△ABC，点D、点E分别是边BC，AC上的动点，BD＝CE，则图中相似的三角形的对数是（）A．3对B．4对C．5对D．6对二、填空题31．（2022秋•南海区期中）已知xy=1，则x−yy的值为．32．（2021秋•岳麓区校级期末）已知ba=23，则ba+b=．33．（2022秋•龙泉驿区期中）如图，在线段AB上找到一个点C，且AC＜BC，满足AC：CB＝CB：AB，设AB＝1m，则线段AC＝m．34．（2022秋•龙泉驿区期中）在比例尺是1：90000000的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行千米．35．（2022秋•禅城区校级月考）如图，乐器上的一根弦AB＝30cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC＝cm，DC＝cm．（结果保留根号，参考数据：黄金分割数：√5−12）36．（2022•靖江市校级模拟）地球表面的纬度范围是0～90°，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：°～°（黄金比为0.618）37．（2022秋•浦东新区期中）如图、已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB＝6，FD＝1.5．那么AD＝．38．（2022秋•济阳区期中）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF ＝2，则BD的长为．39．（2021秋•邵阳期末）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为．40．（2022秋•奉贤区期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，点E、F是对角线BD上的点（点E、F不与B、D重合），分别联结AE、EC、AF、CF，若四边形AECF是菱形，且与菱形ABCD是相似形，那么菱形AECF 的边长是.（用a的代数式表示）．41．（2022秋•青州市月考）已知一矩形长20cm，宽15cm，另一与它相似的矩形的一边长为10cm，则另一边长为．42．（2022春•桓台县期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝85°，∠G＝90°，∠D＝120°，则∠B＝．43．（2021秋•景德镇期末）已知△ABC∽△DEF，AB＝3DE，△ABC的周长是12，则△DEF的周长为．44．（2022•乳山市模拟）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，若△AQD与△BCP相似，则AQ的长是．45．（2022秋•邵阳期中）如图，点P是△ABC的边AB上一点，添加一个条件可以使△APC∽△ACB，添加的这个条件可以是．三、解答题46．（2022秋•义乌市期中）已知：线段a、b、c，满足a2=b3=c4，且a+b+c＝27，求a﹣b+c的值．47．（2021秋•邢台期末）如图，C是线段AB上的一点，AC：CB＝2：1．（1）图中以点A，B，C中任意两点为端点的线段共有条．（2）若AC＝4，求AB的长．48．（2022秋•宜兴市月考）再读教材：宽与长的比是√5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝（保留根号）；（2）如图④中的黄金矩形是：．（3）请写出图④中的一个黄金矩形，说明理由．49．（2022秋•潜山市月考）如图，点F、D、E分别在△ABC的边AB、AC上，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，求AB的长．50．（2022秋•西安期中）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形EFCD∽矩形AEFB，求AE的长．51．（2021秋•常州期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．（1）在△ABC中，∠A＝30°．①如图1，若∠B＝100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；②如图2，若∠B＝90°，BC＝1，则△ABC的“形似线段”的长是；（2）如图3，在△DEF中，DE＝4，EF＝6，DF＝8，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．52．（2021秋•三原县期末）如图，已知△ABC∽△DAC．（1）若∠B＝36°，∠D＝117°，求∠BAD的度数；（2）若AD＝4cm，2BC＝3AC，求AB的长．53．（2021秋•盘州市期末）如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，MN＝2，线段MN的两端点在CD，AD上滑动，当DM为多长时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似？请说明理由．54．（2022•鼓楼区校级模拟）如图，点D为△ABC边AB上一点，AD＝2，BD ＝6，AC＝4．求证：△ACD∽△ABC．55．（2022春•泾阳县月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，且∠CAB＝∠CBD，已知AB＝4，AC＝6，BC＝5，BD＝5.5．（1）求DE的长；（2）求S△ABCS△BEC的值．。

专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）【题型1 相似三角形的概念】【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【题型4 两角对应相等，两三角形相似】【题型5 相似三角形的性质】【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【题型1 相似三角形的概念】1．（2023春•阳信县月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•道外区期末）下列三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．有一角为70°的两个等腰三角形3．（2022秋•武城县期末）下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组4．（2022秋•承德县期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③5．（2022秋•襄都区校级期末）下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】6．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（）A．B．C．2D．3 7．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（）A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81 8．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（）A．1B．2C．3D．49．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为．10．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝cm．11．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为cm2．12．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为．13．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．14．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE ＝4，则BC＝．15．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC 的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为cm2．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】16．（2022秋•仓山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求证：△ADE∽△ACB．17．（2021秋•武陵区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．18．（2022秋•丰泽区校级期中）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE ＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．19．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求证：△ABC∽△DEF．【题型4 两角对应相等，两三角形相似】20．（2022秋•蚌山区月考）已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求证：△ADE∽△ACB．21．（2022秋•龙胜县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△CBD．22．（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．23．（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．24．（2022•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【题型5 相似三角形的性质】25．（2020秋•思南县校级月考）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．26．（大观区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，请判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】27．（2022秋•历城区校级月考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．28．（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A 作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．29．（2023•西湖区校级二模）如图，在菱形ABCD中，点M为对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM．（1）求证：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．30．（2023•港南区四模）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．31．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．（1）证明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．32．（2022秋•顺平县期末）矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的长．33．（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD 上，AE，BF交于点G．（1）若＝，求证AE⊥BF；（2）若E，F分别是BC，CD的中点，则的值为．34．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．35．（2022秋•海陵区校级期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当S＝24时，求x的值．36．（2022秋•平城区校级期末）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F，G在边BC上，顶点E，H分别在边AB和AC上，求这个正方形的边长．。

《相似三角形》能力测试题及参考答案一、选择题1.如图,在△ABC 中,点D,E,F 分别在AB,AC,BC 边上,DE//BC,EF//AB,则下列比例式中错误的是( ) A.AE EC=BF FCB.AD BF=AB BCC.CE CF=EA BFD.EFAB=DE BC第1题 第2题 第3题 第4题2.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为D,下列结论中,错误的是( ) A.ADAC =ACAB B.ADAC =CDBCC.AD AC =BDBCD.AD CD =CDBD 3.如图,已知矩形ABCD 中,E 为BC 边上一点,DF ⊥AE 于点F,且AB =6,AD=12,AE =10,则DF 的长为( ) A.5 B.113 C.365 D.84.如图,正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,∠ACB 的角平分线分别交AB 、BD 于M 、N 两点.若 AM = 2,则线段ON 的长为( )A.√22B.√32C.1D.√625.如图,在平面直角坐标系中,A(3,0),B(0,4),将△AOB 绕点O 顺时针旋转一定角度得△COD,点A,B 的对应点分别为点C,D,若OD 恰好经过AB 的中点E,则点D 的坐标为( ) A.(125,165)B.(165,125) C.(125,185) D.(185,125)第5题 第6题第7题 第8题6.如图,平面直角坐标系中,A(-8,0),B(-8,4),C(0,4),反比例函数y=KX 的图象分别与线段AB,BC 交于点D,E,连接DE,若点B 关于DE 的对称点恰好在OA 上,则k 的值是( ) A.-20 B.-16 C.-12 D.-87.如图,在△ABC 中,点D 、E 在AC 、BC 边上,连接DE 并延长交AB 延长线于点G.过D 作DF ⊥AG 于F.若 2∠ADF=∠G,CE;BE=2;1,AD=2√10,AF=2,GE=4,则BA 的长度为( ) A.2√103B.4√103C.9D. 128.如图,矩形ABCD 是由三个全等矩形拼成的,AC 与DE,EF,FG,HG,HB 分别交于点P,Q, K,M,N.设EPQ,GKM,BNC 的面积依次为S 1,S 2,S 3.若S 1+S 3=30,则S 2的值为( ) A.6 B.8 C.10 D.129.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在边AB 上,连接DE,交对角线AC 于点F,如果S △ADF S △DFC=23,CD=6,那么BE 的值为( )A.2B.3C.4D.5第9题 第10题第11题 第12题10.如图,已知四边形ABCD 是矩形,点E 在BA 的延长线上,AE=AD,EC 分别交AD,BD 于点F,G,若AF=AB,则AD:AB 的值为( ) A.32 B.√5+12 C.2 D.√3+1211.如图,AB//GH//CD,点H 在BC 上,AC 与BD 交于点G,AB=4,CD=6,则线段GH 长为( )A.5B.3C.2.5D.2.412.锐角△ABC 中,BC=6,S △ABC =12,两动点M,N 分别在边AB,AC 上滑动,且MN/ /BC, MP ⊥BC,NQ ⊥BC 得矩形MPQN,设MN 的长为x,矩形MPQN 的面积为y,则y 关于x 的函数图象大致形状是( )A.B. C. D.13.如图,矩形ABCD 中,点E,F 分别是BC,CD 的中点,AE 交对角线BD 于点G,BF 交AE 于点H.则GH HE的值是( )A.12 B.23 C.√22 D.√32第13题 第14题 第15题14.如图,在正方形ABCD 中,△BPC 是等边三角形,BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E,F,连接BD 、DP,BD 与CF 相交于点H,给出下列结论:①∠DPC=75°②CF=2AE ③DFBC =23④△FPD ∽△PHB ⑤AF 2=EF ·EB.其中正确结论的个数是( )A.5B.4C.3D.215.在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的位置如图所示,点A 的坐标为(1,0),点D 的坐标为(0,2).延长CB 交x 轴于点A 1,作正方形A 1B 1C 1C;延长C 1B 1交x 轴于点A 2,作正方形A 2B 2C 2C 1,按这样的规律进行下去,第2025个正方形(正方形ABCD 看作第1个)的面积为( ) A.5×(32)2022B.5×(94)2025C.5×(94)2024D.5×(32)2023二、填空题16.如图,在△ABC 中,点D,E 分别是BC,AC 上一点,连接AD,BE 交于点G,若AG AD=34,BD BC=25,则AEAC的值为___.第16题 第17题 第18题17.如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,点P,Q 分别为AB,BC 上一个动点,将△PQB 沿PQ 折叠得到△PQD,点B 的对应点是点D,若点D 始终在边AC 上,当△APD 与△ABC 相似时,AP 的长为___. 18.如图,点O 是四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点,∠BAD 与∠ACB 互补,OD OB=34, AD=6,AB=7,AC=5,则BC 的长为_____.19.如图,在平面直角坐标系中,点A 和点C 是反比例函数y=1x 图象上的两点,以AC 为边作等边△ABC,反比例函数y=kx 恰好过点B,则k 值为____.第19题 第20题 第21题20.如图,正方形ABCD 的边长是8cm,E 是CD 边的中点,将该正方形沿BE 折叠,点C 落在点C ’处.⊙O 分别与AB 、AD 、BC ’相切,切点分别为F 、G 、H,则⊙O 的半径为___cm.21.如图,菱形ABCD 中,AB=AC,点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点,且AE=BF,连接CE 、AF 交于点H,连接DH 交AC 于点O,∠CHD=60°.则下列结论:①△ABF ≌△CAE ②∠AHC=120°③AH+CH=DH,④AD 2=OD.DH 中,正确的是___.三、解答题22.如图,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 分别交BC,AC 于点D,E,连结EB,交OD 于点F. (1)求证:OD ⊥BE;(2)若DE=√10,AB=10,求AE 的长;(3)若△CDE 的面积是△OBF 面积的56,求BCAC的值.23.已知,如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=8.对角线AC 与BD 交于点O,点P 是边BC 上的一个动点,连接AP,作△AEP ∽△AOB,且射线OE 与AD 边交于点Q. (1)求证:△AOE ∽△ABP;(2)判断DQ 是否为定值,若是,则求出DQ;若不是,请说明理由; (3)连接CE,DP,若DP=2√135CE,求BP 的长.24(1)如图(1),已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上,GE ⊥BC,垂足为点E,GF ⊥CD,垂足为F,则AGBE =___. (2)将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α(0<a<45),如图(2)所示,试探究AG 与BE 之间的数量关系,并说明理由.(3)正方形CEGF 在旋转过程中,当B,E,F 三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG 交AD 于点H.若AG=6,GH=2√2,求BC 的长.25.如图,抛物线y=3+√36x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,点A,B 分别位于原点的左、右两侧,BO=3AO=3,过点B的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D,BC=√3CD. (1)求b,c 的值;(2)求直线BD 的函数解析式;(3)点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方,点Q 在射线BA 上.当△ABD 与△BPQ 相似时,请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标.参考答案一、选择题1-5 DCCCA 6-10 CCDAB 11-15 DBBBC 二、填空题 16.611 17.83或6-2√3 18.50719. -3 20. 221.①②③④ 三、解答题 22(1)略 (2)8 (3)√1701723(1)略(2)DQ 为定值3 (3)2 24(1)√2(2)AG=√2BE (3)3√5 25(1)b=-1-√33,c=−3−√32(2)y=-√33x+√3 (3)(1-2√33,0)或(-1+4√33,0)或(1-2√3,0)或(5-2√3,0)。

相似三角形测试题及答案一、选择题1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE = 2:3，则BC:EF的比值为：A. 2:3B. 3:2C. 4:6D. 3:4答案：B2. 在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例。

以下哪项不是相似三角形的性质？A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长比等于相似比D. 面积比等于相似比的平方答案：D二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似，相似比为2:3，则三角形ABC的周长是三角形DEF周长的____。

答案：2/34. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 6cm，DE = 9cm，则BC 与EF的比值为______。

答案：2:3三、解答题5. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 8cm，DE = 12cm，求三角形ABC的周长，已知三角形DEF的周长为36cm。

答案：三角形ABC的周长 = (8/12) * 36cm = 24cm6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D = 50°，∠B =∠E = 60°，求∠C和∠F的度数。

答案：∠C = ∠F = 70°四、证明题7. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 4cm，DE = 6cm，BC = 5cm，EF = 7.5cm，证明AC = 6.25cm。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以AC/DF = AB/DE = 4/6 = 2/3。

已知EF = 7.5cm，所以AC = (2/3) * EF = (2/3) * 7.5cm = 5cm。

因此，AC = 6.25cm。

8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，求证：∠C = ∠F。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应角相等。

已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，所以∠C = 180° - (∠A+ ∠B) = 180° - (∠D + ∠E) = ∠F。

相似三角形性质和判定专项练习30题（有答案）1．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠CDG=∠BAD．（1）求证：=；（2）当GC⊥BC时，求证：∠BAC=90°．2．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足．（1）求证：AC2=AF•AD；（2）联结EF，求证：AE•DB=AD•EF．3．如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC．（1）求证：△APC∽△ACB；（2）若AP=2，PC=6，求AC的长．4．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．5．已知：如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：AB•BC=AC•CD．6．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S，说明AF•BE=2S 的理由．7．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．8．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=．9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF．10．如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H 两点，BC=2，问E在何处时CH的长度最大？11．如图，AB和CD交于点O，当∠A=∠C时，求证：OA•OB=OC•OD．12．如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）．连接EB，过E作EF⊥AB，交AB的延长线为F．（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想．（2）证明：△BEF∽△ABC，并求出相似比．13．已知：如图，△ABC中，点D、E是边AB上的点，CD平分∠ECB，且BC2=BD•BA．（1）求证：△CED∽△ACD；（2）求证：．14．如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且∠BAD=∠BGD=∠C，联结AG．（1）求证：BD•BC=BG•BE；（2）求证：∠BGA=∠BAC．15．已知：如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，BE，AD相交于点G，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，DF=6．（1）求AE的长；（2）求的值．16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，M是CD中点，且∠AMD=∠BMD，AP∥CD交BC延长线于P点，延长BM交PA于N点，且PN=AN．（1）求证：MN=MA；（2）求证：∠CDA=2∠ACD．17．已知：如图，在△ABC中，已知点D在BC上，联结AD，使得∠CAD=∠B，DC=3且S△ACD：S△ADB﹦1﹕2．（1）求AC的值；（2）若将△ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F，且AB∥DE，求的值．18．在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．19．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE=60°，DE与△ABC的外角平分线CE 交于点E．（1）求证：∠BAD=∠FDE；（2）设DE与AC相交于点G，连接AE，若AB=6，AE=5时，求线段AG的长．20．如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？21．已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED 交AC于点F，连接DC、AE．（1）求证：△ADE≌△DFC；（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH．求∠AHE的度数；（3）若BG=，CH=2，求BC的长．22．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，BE∥BC交AC于点E．（1）求证：AE•BC=AC•CE；（2）若S△ADE：S△CDE=4：3.5，BC=15，求CE的长．23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．24．在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．25．如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．26．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，（1）求证：；（2）求∠EDF的度数．27．如图，△ABC是等边三角形，且AB∥CE．（1）求证：△ABD∽△CED；（2）若AB=6，AD=2CD，①求E到BC的距离EH的长．②求BE的长．28．如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．（1）若AC=3，AB=4，求；（2）证明：△ACE∽△FBE；（3）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．29．如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，求证：（1）△ABD∽△ECA；（2）BC2=DB•CE．30．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC=CD=，又E，D为CB的三等分点．（1）证明：△ADE∽△BDA；（2）证明：∠ADC=∠AEC+∠B；（3）若点P为线段AB上一动点，连接PE，则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？请说明理由．相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案：1．解：（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD，且∠CDG=∠BAD，∴∠ADG=∠B；∵∠BAC=∠DAG，∴△ABC∽△ADG，∴=．（2）∵∠BAC=∠DAG，∴∠BAD=∠CAG；又∵∠CDG=∠BAD，∴∠CDG=∠CAG，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠DAG+∠DCG=180°；∵GC⊥BC，∴∠DCG=90°，∴∠DAG=90°，∠BAC=∠DAG=90°．2．解：（1）如图，∵∠ACB=90°，CF⊥AD，∴∠ACD=∠AFC，而∠CAD=∠FAC，∴△ACD∽△AFC，∴，∴AC2=AF•AD．（2）如图，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴A、E、F、C四点共圆，∴∠AFE=∠ACE；而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B，∴∠ACE=∠B，∠AFE=∠B；∵∠FAE=∠BAD，∴△AEF∽△ADB，∴AE：AD=BD：EF，∴AE•DB=AD•EF．3．解：（1）∵PB=PC，∴∠B=∠PCB；∵PC平分∠ACB，∴∠ACP=∠PCB，∠B=∠ACP，∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB．（2）∵△APC∽△ACB，∴，∵AP=2，PC=6，AB=8，∴AC=4．∵AP+AC=PC=6，这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，∴该题无解．4．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠C+∠ADE=180°，∵∠BFE=∠C，∴∠AFB=∠EDA，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠AED，∴△ABF∽△EAD；（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE=90°，∵AB=4，∠BAE=30°，∴AE=2BE，由勾股定理可求得AE=5．证明：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠C，∴BD=CD，在△ABD和△ACB中，，∴△ABD∽△ACB，∴=，即AB•BC=AC•BD，∴AB•BC=AC•CD．6．证明：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∵∠ECF=45°，∴∠ECF=∠B=45°，∴∠ECF+∠1=∠B+∠1，∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1；∴∠BCE=∠2，∵∠A=∠B，∴△ACF∽△BEC．∴，∴AC•BC=BE•AF，∴S△ABC=AC•BC=BE•AF，∴AF•BE=2S．7．（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP•AF=12（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，点P的路径是．②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P 的路径为：．所以，点P经过的路径长为或3．8．证明：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，∴∠D=∠E=90°，∵∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴=．9．证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．∴∠BDE=∠CED，∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE；（2）由△DEF∽△BDE，得．∴DE2=DB•EF，由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF．∴，∴DE2=DG•DF，∴DG•DF=DB•EF．10．解：设EC=x，CH=y，则BE=2﹣x，∵△ABC、△DEF都是等边三角形，∴∠B=∠DEF=60°，∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC，∴∠BDE=∠HEC，∴△BED∽△CHE，∴，∵AB=BC=2，点D为AB的中点，∴BD=1，∴，即：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1．∴当x=1时，y最大．此时，E在BC中点11．解：∵∠A=∠C，∠AOD=∠BOC，∴△OAD∽△OCB，∴=，∴OA•OB=OC•OD．12．解：（1）猜测BE和直线AC垂直．证明：∵△AEC是等边三角形，∴AE=CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∵BE=BE，∴△AEB≌△CEB（SSS）．∴∠AEB=∠CEB，∵AE=CE，∴BE⊥AC；（2）∵△AEC是等边三角形，∴∠EAC=∠AEC=60°，∵BE⊥AC，∴∠BEA=∠AEC=30°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°，∴∠BAE=15°，∴∠EBF=45°，∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠EBF=∠BAC，∠F=∠ABC，∴△BEF∽△ACB，延长EB交AC于G，设AC为2a，则BG=a，EB=a﹣a，∴相似比是：===13．证明：（1）∵BC2=BD•BA，∴BD：BC=BC：BA，∵∠B是公共角，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A，∵CD平分∠ECB，∴∠ECD=∠BCD，∴∠ECD=∠A，∵∠EDC=∠CDA，∴△CED∽△ACD；（2）∵△BCD∽△BAC，△CED∽△ACD，∴=，=，∴．14．证明：（1）∵∠DBG=∠EBC，∠BGD=∠C，∴△BDG∽△BEC，∴=，则BD•BC=BG•BE；（2）∵∠DBA=∠ABC，∠BAD=∠C，∴△DBA∽△ABC，∴=，即AB2=BD•BC，∵BD•BC=BG•BE，∴AB2=BG•BE，即=，∵∠GBA=∠ABE，∴△GBA∽△ABE，∴∠BGA=∠BAC．15．解：（1）∵在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，∴AC=AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∵BF∥AC，∴∠CBF=∠C=60°，∵AD⊥BC，∴∠FDB=90°，∴∠F=30°，∵DF=6，∴BD=2，∵AE=EC=BD=DC，∴AE=2；（2）∵∠BDF=90°，∠F=30°，BD=2，∴BF=2DB=4，∵AC∥BF，∴△AEG∽△FBG，∴=（）2=．16．证明：（1）∵AP∥CD，∴∠AMD=∠MAN，∠BMD=∠MNA，∵∠AMD=∠BMD，∴∠MAN=∠MNA，∴MN=MA．（2）如图，连接NC，∵AP∥CD，且PN=AN．∴==，∴MC=MD，∴CN为直角△ACP斜边AP的中线，∴CN=NA，∠NCA=∠NAC，∵AP∥CD，∴∠NAC=∠ACD，∴∠NCM=2∠ACD，∵∠CMN=∠DMB，∠DMA=∠BMD，∴∠CMD=∠DMA，在△CMN和△DMA中，，∴△CMN≌△DMA（SAS），∠ADM=∠NCM=2∠ACD．即：∠CDA=2∠ACD．17．解：（1）∵S△ACD：S△ADB﹦1：2，∴BD=2CD，∵DC=3，∴BD=2×3=6，∴BC=BD+DC=6+3=9，∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，∴△ABC∽△DAC，∴=，即=，解得AC=3；（2）由翻折的性质得，∠E=∠C，DE=CD=3，∵AB∥DE，∴∠B=∠EDF，∵∠CAD=∠B，∴∠EDF=∠CAD，∴△EFD∽△ADC，∴=（）2=（）2=18．（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；（2）解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴=（）2=．∵S△ABC=×BC×AG=×8×=18，∴S△FCD=S△ABC=．19．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，由三角形的外角性质得，∠ADE+∠FDE=∠BAD+∠B，∵∠ADE=60°，∴∠BAD=∠FDE；（2）解：如图，过点D作DH∥AC交AB于H，∵△ABC为等边三角形，∴△BDH是等边三角形，∴∠BHD=60°，BD=BH，∴∠AHD=180°﹣60°=120°，∵CE是△ABC的外角平分线，∴∠ACE=（180°﹣60°）=60°，∴∠DCE=60°+60°=120°，∴∠AHD=∠DCE=120°，又∵AH=AB﹣BH，CD=BC﹣BD，∴AH=CD，在△AHD和△DCE中，，∴△AHD≌△DCE（ASA），∴AD=DE，∵∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE=∠DEA=60°，AE=AD=5，∵∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=60°﹣∠CAD，∠EAG=∠DAE﹣∠CAD=60°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠EAG，∴△ABD∽△AEG，∴=，即=，解得AG=．20．解：（1）设x秒时，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ面积为8cm2，由题意得（6﹣x）•2x=8，解之，得x1=2，x2=4，经过2秒时，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；或经4秒，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处，△PBQ的面积为8cm2，综上所述，经过2秒或4秒，△PBQ的面积为8cm2；（2）当P在AB上时，经x秒，△PCQ的面积为：×PB×CQ=×（6﹣x）（8﹣2x）=12.6，解得：x1=（不合题意舍去），x2=，经x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14﹣x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x﹣8）cm，过Q作QD⊥CB，垂足为D，由△CQD∽△CAB得，即QD=，由题意得（14﹣x）•=12.6，解之得x1=7，x2=11．经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使△PCQ的面积等于12.6cm2．经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，14＞10，点Q已超出CA的范围，此解不存在．综上所述，经过7秒和秒时△PCQ的面积等于12.6cm221．（1）证明：如图，∵线段DB顺时针旋转60°得线段DE，∴∠EDB=60°，DE=DB．∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°．∴∠EDB=∠B．∴EF∥BC．∴DB=FC，∠ADF=∠AFD=60°．∴DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，△ADF是等边三角形．∴AD=DF．∴△ADE≌△DFC．（2）解：由△ADE≌△DFC，得AE=DC，∠1=∠2．∵ED∥BC，EH∥DC，∴四边形EHCD是平行四边形．∴EH=DC，∠3=∠4．∴AE=EH．∴∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=60°．∴△AEH是等边三角形．∴∠AHE=60°．（3）解：设BH=x，则AC=BC=BH+HC=x+2，由（2）四边形EHCD是平行四边形，∴ED=HC．∴DE=DB=HC=FC=2．∵EH∥DC，∴△BGH∽△BDC．∴．即．解得x=1．∴BC=3．22．（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AEC=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠DCE，∴∠DCE=∠EDC，∴DE=CE，∴=，即AE•BC=AC•CE；（2）∵S△ADE：S△CDE=4：3.5，∴AE：CE=4：3.5，∴=，∵由（1）知=，∴=，解得DE=6，∵DE=CE，∴CE=8．23．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．24．（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sinB==，∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH==，∴EH=AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：=：3．25．（1）证明：如图1，连接PN，∵N、P分别为△ABC边BC、CA的中点，∴PN∥AB，且．∴△ABF∽△NPF，∴．∴BF=2FP．（2）解：如图2，取AF的中点G，连接MG，∴MG∥EF，AG=GF=FN．∴△NEF∽△NMG，∴S△NEF=S△MNG=×S△AMN=××S△ABC=S．26．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ADC∽△CDB，∴=；（2）解：∵CE=AC，BF=BC，∴===，又∵∠A=∠BCD，∴∠ACD=∠B，∴△CED∽△BFD，∴∠CDE=∠BDF，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．27．解；（1）∵AB∥CE，∴∠A=∠DCE，又∵∠ADB=∠EDC，∴△ABD∽△CED；（2）①过点E作EH⊥BF于点H，∵△ABC是等边三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD，∴==，∠A=∠ACB=60°，∴CE=3，∵AB∥CE，∴∠ECH=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=180°﹣60°﹣60°=60°，∴EH=CE•sin60°=3×=；②在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，CE=3，∴CH=CE•cos60°=3×=，∴BH=BC+CH=6+=，∴BE===3．28．（1）解：∵AC=AC′，AB=AB′，∴由旋转可知：∠CAB=∠C′AB′，∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′，即∠CAC′=∠BAB′，又∵∠ACB=∠AC′B′=90°，∴△ACC′∽△ABB′，∵AC=3，AB=4，∴==；（2）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，（1分）∴∠CAC′=∠BAB′，∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，∴∠ACC′=∠ABB′，（3分）又∵∠AEC=∠FEB，∴△ACE∽△FBE．（4分）（3）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．理由：在△ACC′中，∵AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C====90°﹣α，（6分）在Rt△ABC中，∠ACC′+∠BCE=90°，∴∠BCE=90°﹣90°+α=α，∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE，（8分）∴CE=BE，由（2）知：△ACE∽△FBE，∴△ACE≌△FBE．（9分）29．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，∴∠DAB+∠CAE=60°，∵∠ABC是△ABD的外角，∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°，∴∠CAE=∠D，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACE=120°，∴△ABD∽△ECA；（2）∵△ABD∽△ECA，∴=，即AB•AC=BD•CE，∵AB=AC=BC，∴BC2=BD•CE30．（1）证明：∵AC=CD=DE=EB=，又∠C=90°，∴AD=2，∴=，==，∴=，又∵∠ADE=∠BDA，∴△ADE∽△BDA；（2）证明：∵△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠B，又∵∠ADC=∠AEC+∠DAE，∴∠ADC=∠AEC+∠B；（3）解：∵点P为线段AB上一动点，根据勾股定理得：AE==，BE=，∴PE的最大值为．作EF⊥AB，则EF=，则PE的最小值为∴≤EP≤，∵EP为整数，即EP=1，2，3，结合图形可知PE=1时有两个点，所以PE长为整数的点P个数为4个．输血过程质量管理监控及效果评价制度一、输血护理服务的规定1、血液必须保存在指定的血库冰箱内，温度应保持在4℃，保存温度不当可能导致血细胞破坏或细菌感染，血液自血库取出后应在30分钟内输入。

相似三角形测试题及答案### 相似三角形测试题及答案#### 测试题一：基础概念题题目：下列哪组三角形是相似的？A. 等腰三角形和直角三角形B. 两个等腰直角三角形C. 两个等边三角形D. 两个不同形状的三角形答案：B、C解析：相似三角形的定义是两组对应角相等，且两组对应边的比相等的两个三角形。

选项B中的两个等腰直角三角形，它们的两个锐角相等，且两组对应边的比相等，因此是相似的。

选项C中的两个等边三角形，它们的三个角都相等，并且三组对应边的比也相等，因此也是相似的。

#### 测试题二：计算题题目：已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE = 3:2，求AC:EF 的比值。

答案：AC:EF = 3:2解析：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，它们的对应边的比值是相等的。

因此，AC与EF作为对应边，它们的比值也应该是3:2。

#### 测试题三：应用题题目：在平面直角坐标系中，三角形PQR的顶点坐标分别为P(1,2)，Q(4,6)，R(1,6)。

点S(2,4)是否在以PQ为斜边的相似三角形PQS的内部？答案：是的，点S(2,4)在以PQ为斜边的相似三角形PQS的内部。

解析：首先计算PQ的长度，使用距离公式得到PQ = √[(4-1)² + (6-2)²] = √13。

然后计算PS和QS的长度，PS = √[(2-1)² + (4-2)²] = √2，QS = √[(2-4)² + (4-6)²] = √13。

由于PS < PQ < QS，根据三角形的不等式定理，点S在以PQ为斜边的三角形PQS 的内部。

#### 测试题四：证明题题目：若三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，请证明∠C = ∠F。

答案：根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等。

已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，根据三角形内角和定理，三角形ABC的内角和为180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

相似三角形的判定与性质一 填空题1．如图1 ，∠1=∠B ，AD=4，AB==6，则AC= .2．如图2，已知∠A=∠D ，BC=2，CD=4，EC=3，则AC= .图1 图2 图3 3、如图3，AB//CD ，AD 与BC 相交于点E ，如果AB =2，CD =6，CE =5， 那么 BC = ． 4．如果两个相似三角形的对应高之比是4∶5，则它们的面积之比是 。

5．一个三角形三边长分别为5cm ，8cm ，12cm ，另一个与它相似的三角形的最长边为4.8cm ，则另外两边长为 cm 和 cm .6．如图4，已知AB ∥DE ，AE 与DB 交于C ,AC =2，AE =6，那么△ABC 与△DCE 的周长之比为 .7．如图5，在A B C D 中，E 在BC 的延长线上，且CE =21BC ，那么S △EFC ︰S ABCF ＝ ．8． 8.如图6，BE,CD 是ABC ∆的边AC,AB 上的中线,且相交于点F. 则：ABCADE S S ∆∆= ， EFDBFC S S ∆∆= 。

9．如图7,∠C=900，四边形DEFG 是正方形，AE=4，BF=9，则正方形DEFG 的面积是10．如图8，AB ⊥BD,CD ⊥BD,AB=6,CD=16,BD=20,一动点P 从B 向D 运动，问当P B= 时, △PAB 与△PCD 是相似三角形二、选择题11. 下列四组图形中，不一定相似的是（ ）A. 两直角边之比为1∶2的两个直角三角形；B. 任意两个等边三角形；C. 有一锐角相等的两个直角三角形；D. 有一个角相等的两个等腰三角形.12. 如图9，在平行四边形ABCD 中，与△CGF 相似的三角形 （不包括△CGF)有（ ）CA BDGF E 图4 图5 C A B D E F A D C B E 图6 F D EB C AA B C D 1ABC E DBPDCAD A BC EA .1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13．已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上。