第六讲 二次函数
专项一 二次函数的图象和性质
知识清单
一、二次函数的概念
一般地，形如 （a ，b ，c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中ｘ是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数、 和常数项． 二、二次函数的图象和性质
1. 二次函数的图象是一条 ．其一般形式为y =ax 2+bx +c ，由配方法可化成y =a （x -h ）
2+k 的形式，其中h=2b
a
-，k=244ac b a -．
2. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象和性质
3. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与系数a ，b ，c 符号的关系
ab ＜0（a ，b 异号）
对称轴在y 轴右侧 c
决定抛物线
与y 轴的交点
c ＞0 交点在y 轴正半轴 c =0 交点在原点 c ＜0
交点在y 轴负半轴
考点例析
例1 抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（-1，0），（3，0），且与y 轴交于点（0，-5），则当x=2时，y 的值为（ ）
A ．-5
B ．-3
C ．-1
D ．5
分析：画出抛物线的大致图象，可知抛物线的对称轴为x=1，根据抛物线的对称性可求出y 的值． 例2 一次函数y=ax+b 的图象如图1所示，则二次函数y=ax 2+bx 的图象可能是（ ）
A B C D
分析：根据一次函数y=ax+b 的图象经过的象限得出a ＜0，b ＞0，可知二次函数y=ax 2+bx 的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧．
例3 二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图2所示，下列说法中，错误的是（ ） A ．对称轴是x=
1
2
B ．当-1＜x ＜2时，y ＜0
C ．a+c=b
D ．a+b ＞-c
图2
分析：由图可知，对称轴是x=
1+22-=1
2
，选项A 正确；当-1＜x ＜2时，函数图象在x 轴的下方，所以当-1＜x ＜2时，y ＜0，选项B 正确；当x=-1时，y=a-b+c=0，所以a+c=b ，选项C 正确；当x=1时，y=a+b+c ＜0，所以a+b ＜-c ，选项D 错误．
例4二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x ＝
1
2，且经过点（2，0）．有下列说法：①abc ＜0；②﹣2b +c ＝0；③4a +2b +c ＜0；④若112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，252
y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；
图1
⑤
14b +c ＞m （am +b ）+c （其中m ≠1
2
）．其中正确的有（ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
图3
分析：由抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y 轴的交点可得a ，b ，c 的符号，从而可得abc 的正负；由对称轴x=2b a -
=1
2
，得b=-a ，由图象易知当x=-1时，y=a-b+c=﹣2b+c ＝0；根据抛物线经过点（2，0），可得4a+2b+c=0；根据“开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”可判断y 1与y 2的大小；由图象知当x ＝12时，y 有最大值为14a+1
2b+c=14b +c ，由此可判断14
b +
c 与m （am +b ）+c 的大小关系．
归纳：（1）几种常见代数式的判断
①2a ±b 2b a
-
与±1比较
②a ±b +c 令x ＝±1，看纵坐标 ③4a ±2b +c 令x ＝±2，看纵坐标 ④9a ±3b +c
令x ＝±3，看纵坐标
⑤3a +c ，3b -2c 等关于a ，c 或b ，c 的代数式 一般由②③④式与①式结合判断
（2①当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小．ꎻ
②利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性比较大小． ③利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小；开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”也可以比较大小． 跟踪训练
1.已知二次函数y=（a-1）x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞0 B ．a ＞1 C ．a≠1 D ．a ＜1
2.二次函数y=x 2+4x+1的图象的对称轴是（ ）
A ．x=2
B ．x=4
C ．x=-2
D ．x=-4 3.关于二次函数y=2（x-4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4
B ．有最小值4
C ．有最大值6
D ．有最小值6
4.一次函数y=ax+b （a≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A B C D
5.如图3，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．有下列结论：
①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c=0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4
第5题图
6.定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1-m，2-m]的二次函数的一些结论：①当m=1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m=2时，函数图象过原点；③当m＞0时，
函数有最小值；④如果m＜0，当x＞1
2
时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是．专项二确定二次函数的解析式
知识清单
用待定系数法求二次函数的解析式时，若已知条件给出了图象上任意三点（或任意三组对应值），可设解析式为；若给出顶点坐标为（h，k），则可设解析式为；若给出抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则可设解析式为.
考点例析
例在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中
心对称的抛物线的解析式为（）
A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
分析：由抛物线的解析式求得抛物线的顶点坐标与点C的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线的顶点坐标，用待定系数法求出新抛物线的解析式．
跟踪训练
1.若抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x=2，P为这条抛物线的顶点，则点P 关于x轴的对称点的坐标是（）
A．（2，4）B．（-2，4）C．（-2，-4）D．（2，-4）
2.在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了如图所示直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3），同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数解析式各不相同，其中a的值最大为（）
A．5
2
B．
3
2
C．
5
6
D．
1
2
第2题图
专项三二次函数图象的平移
知识清单
二次函数图象的平移规律
平移前的解析式平移方向
及距离
平移后的
解析式
口诀顶点坐标
y=a（x-h）2+k （a≠0）向左平移m个
单位长度
y=a（x-h+m）2+k
左加右减纵坐标不变向平移
m个单位长度
y=a（x-h-m）2+k
向上平移m个
单位长度
y=a（x-h）2+k+m
上加下减横坐标不变向平移
m个单位长度
y=a（x-h）2+k-m
平移前后ａ值不变
例将抛物线y=-x2-2x+3向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线必定经过（）A．（-2，2）B．（-1，1）C．（0，6）D．（1，-3）
分析：先将y=-x2-2x+3转化成顶点式y=a（x-h）2+k，再利用二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，得出平移后抛物线的解析式，最后把各选项的点代入判断即可．
跟踪训练
1.将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移2个单位长度，以下说法错误的是（）
A．开口方向不变B．对称轴不变C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变
2.抛物线的函数解析式为y=3（x-2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为（）
A．y=3（x+1）2+3 B．y=3（x-5）2+3 C．y=3（x-5）2-1 D．y=3（x+1）2-1
3.已知抛物线y=a（x-h）2+k与x轴有两个交点A（-1，0），B（3，0），抛物线y=a（x-h-
m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）
A．5 B．-1 C．5或1 D．-5或-1
4.已知抛物线y=x2+kx-k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个
单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）
A．-5或2 B．-5 C．2 D．-2
5.把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．
6.如图，二次函数y=（x-1）（x-a）（a为常数）的图象的对称轴为x=2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．
第6题图
专项四二次函数与一元二次方程的关系
知识清单
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的关系：
Δ=b2-4ac一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位
置关系
Δ>0有两个不等的实数根有两个不同的公共点
Δ=0有两个相等的实数根只有唯一的公共点
Δ<0无实数根没有公共点
考点例析
例已知关于x的一元二次方程x2+x-m=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y=x2+x-m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x-m=0的解．
分析：（1）由方程x2+x-m=0有两个不相等的实数根，可得Δ>0，列不等式即可求出m的取值范围；（2）根据二次函数图象的对称性，可得二次函数y=x2+x-m的图象与x轴的另一个交点，从而得到一元二次方程x2+x-m=0的解．
解：
跟踪训练
1.已知直线y=kx+2过第一、二、三象限，则直线y=kx+2与抛物线y=x2-2x+3的交点个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，有下列结论：①c=2；②b2-4ac＞0；
③方程ax2+bx=0的两根为x1=-2，x2=0；④7a+c＜0．其中正确的有（）
3.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k=．
4.对于任意实数a，抛物线y=x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是．
5.武汉）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c=0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（-3，0），则b=2a；
②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2；
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．
其中正确的是．（填序号）
专项五二次函数的应用
知识清单
构建二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题，分析问题中的变量和常量；（2）建立二次函数模型表示它们之间的关系；（3）充分结合已知条件，利用函数解析式或图象等得出相应问题的答案，或把二次函数解析式用顶点坐标公式或用配方法化为顶点式，确定出二次函数的最大（小）值；（4）结合自变量的取值范围和问题的实际意义，检验结果的合理性.
考点例析
例1某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x 元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
分析：（1）根据“该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件”列出y与x的函数解析式；（2）设每个月的销售利润为w元，根据等量关系“利润=（售价-进价）×销量”列出函数解析式，配方后根据二次函数的性质求解．
解：
例2某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，
水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为y=-1
6
（x-5）2+6．
（1）求雕塑高OA；
（2）求落水点C，D之间的距离；
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE=10 m，EF=1.8 m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
分析：（1）根据给出的抛物线的函数解析式，令x=0，求出点A的纵坐标，可得出雕塑高OA；（2）根据给出的抛物线的函数解析式，令y=0，求出点D的横坐标，可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD=OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；（3）将x=10代入
函数解析式y=-1
6
（x-5）2+6求出y的值，将求出的y值与1.8比较后即可得出顶部F是否会碰到水柱．
解：
跟踪训练
1.某快餐店销售A，B两种快餐，每份利润分别为12元，8元，每天卖出份数分别为40份，80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
2.某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为m=50+0.2x，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）设销售收入为p（万元），求p与x之间的函数解析式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润=销售收入-总支出）
第2题图
3. 如图①是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6米的E处，
测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5 m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O 离水面的距离．
（2）如图②，桥面上方有3根高度均为4 m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m ． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数解析式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
① ②
第3题图
专项六 二次函数中的分类讨论思想
分类讨论思想就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法．我们在运用分类讨论思想时，必须遵循下列两个原则：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类对象；二是要找出科学合理的分类标准，应当满足互斥、无漏、最简原则. 引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面:①由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；②由数学变形所需要的限制条件引起的讨论；③由图形的不确定性引起的讨论；④由于题目含有字母引起的讨论等等． 考点例析
例 已知关于x 的二次函数y 1=x 2+bx+c （实数b ，c 为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x=1，求此二次函数的解析式； （2）若b 2-c=0，当b-3≤x≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；
（3）记关于x 的二次函数y 2=2x 2+x+m ，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y 2≥y 1，求实数m 的最小值．
分析：（1）将（0，4）代入二次函数y 1=x 2+bx+c ，可求得c ，由对称轴为x=-2
b
=1，可求出b ；（2）二次函数y 1=x 2+bx+c 图象的对称轴为x=-
2b ，需要分三种情况：b ＜-2b ，b-3＞-2b 和b-3≤-2
b
≤b 进行分类讨论；（3）设函数y 3=y 2-y 1，根据二次函数图象的增减性进行求解． 解：
跟踪训练
科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数解析式；
（2）求出y2与x之间的函数解析式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
参考答案
专项一二次函数的图象和性质例1 A 例2 D 例3 D 例4 B
1．B 2．C 3．D 4．C 5．B
6．①②③
专项二确定二次函数的解析式例 A
1．A 2．A
专项三二次函数图象的平移例 B
1．D 2．C 3．C 4．B 5．y=2x2+4x
6. 解：（1）因为y=（x-1）（x-a）=x2-（a+1）x+a，图象的对称轴为x=2，所以
+1
2
a
=2，解得
a=3．
（2）由（1），知a=3，则该二次函数的解析式为y=x²-4x+3．
所以二次函数的图象向下平移3个单位后经过原点．所以平移后图象所对应的二次函数的解析式是y=x²-4x．
专项四二次函数与一元二次方程的关系
例（1）由题意，知Δ＞0，即1+4m＞0，解得m＞-1
4
．
（2）二次函数y=x2+x-m图象的对称轴为x=-1
2
，所以该函数图象与x轴的两个交点关于直线x=-
1
2
对称．
由图可知抛物线与x轴的一个交点为（1，0），所以另一个交点为（-2，0）．
所以一元二次方程x2+x-m=0的解为x1=1，x2=-2．
1．C 2．B 3．1 4．①②④
专项五二次函数的应用
例1 （1）y=300-10（x-60）=-10x+900．
（2）设每个月的销售利润为w元．
由（1），知w=（x-50）y=（x-50）（-10x+900）=-10x2+1400x-45 000=-10（x-70）2+4000．因为-10＜0，所以当x=70时，w有最大值为4000．
所以该商品每件的销售价为70元时，每个月的销售利润最大，最大利润是4000元．
x2=11．所以OD=11 m．
．
因为从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，所以OC=OD=11 m．所以CD=OC+OD=22 m
1．1264
2．解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b．
w（万元）．
（3）设销售利润为
所以原料的质量x为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．
3. 解：（1）根据题意，知点F的坐标为（6，-1.5），可设拱桥侧面所在抛物线的函数解析式为y1=a1x2．
=a2（x-6）2+1．（2）①根据题意，知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其解析式为y
2
②设彩带的长度为L m．
所以当x=4时，L 最小值
=2．
答：彩带长度的最小值是2 m ．
专项六 二次函数中的分类讨论思想
例 （1）因为二次函数的图象经过点（0，4），所以c=4．
（2）当b 2-c=0时，b 2=c ，此时函数的解析式为y 1=x 2+bx+b 2． 根据题意，分三种情况：
所以（b-3）2+b （b-3）
+b 2=21，解得b 3=4，b 4=-1（舍去）．
（3）由（1），知二次函数的解析式为y 1=x 2-2x+4．设函数y 3=y 2-y 1=x 2+3x+m-4． 所以当x=0时，y 3即y 2-y 1有最小值m-4，所以m-4≥0，即m≥4．所以m 的最小值为4． 跟踪训练
解：（1）y 1=5x+30．
（2）当x=6时，y 1=5×6+30=60．
因为y 2的图象是过原点的抛物线，所以可设y 2=ax 2+bx ． 因为点（1，35），（6，60）在抛物线y 2=ax 2+bx 上，
所以=35366=60.a b a b ++⎧⎨⎩，解得=5=40.
a b ⎩-⎧⎨，所以y 2=-5x 2+40x ．
所以y 2与x 的函数解析式为y 2=-5x 2+40x ． （3）设小钢球和无人机的高度差为y 米． 令y 2=0，则-5x 2+40x=0，解得x=0或x=8．
因为6＜x≤8，所以当x=8时，y的最大值为70．
70米．
第六讲 二次函数 专项一 二次函数的图象和性质 知识清单 一、二次函数的概念 一般地，形如 （a ，b ，c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中ｘ是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数、 和常数项． 二、二次函数的图象和性质 1. 二次函数的图象是一条 ．其一般形式为y =ax 2+bx +c ，由配方法可化成y =a （x -h ） 2+k 的形式，其中h=2b a -，k=244ac b a -． 2. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象和性质 3. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与系数a ，b ，c 符号的关系
ab ＜0（a ，b 异号） 对称轴在y 轴右侧 c 决定抛物线 与y 轴的交点 c ＞0 交点在y 轴正半轴 c =0 交点在原点 c ＜0 交点在y 轴负半轴 考点例析 例1 抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（-1，0），（3，0），且与y 轴交于点（0，-5），则当x=2时，y 的值为（ ） A ．-5 B ．-3 C ．-1 D ．5 分析：画出抛物线的大致图象，可知抛物线的对称轴为x=1，根据抛物线的对称性可求出y 的值． 例2 一次函数y=ax+b 的图象如图1所示，则二次函数y=ax 2+bx 的图象可能是（ ） A B C D 分析：根据一次函数y=ax+b 的图象经过的象限得出a ＜0，b ＞0，可知二次函数y=ax 2+bx 的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧． 例3 二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图2所示，下列说法中，错误的是（ ） A ．对称轴是x= 1 2 B ．当-1＜x ＜2时，y ＜0 C ．a+c=b D ．a+b ＞-c 图2 分析：由图可知，对称轴是x= 1+22-=1 2 ，选项A 正确；当-1＜x ＜2时，函数图象在x 轴的下方，所以当-1＜x ＜2时，y ＜0，选项B 正确；当x=-1时，y=a-b+c=0，所以a+c=b ，选项C 正确；当x=1时，y=a+b+c ＜0，所以a+b ＜-c ，选项D 错误． 例4二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x ＝ 1 2，且经过点（2，0）．有下列说法：①abc ＜0；②﹣2b +c ＝0；③4a +2b +c ＜0；④若112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，252 y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，是抛物线上的两点，则y 1＜y 2； 图1
2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》解答题专题训练（附答案）1．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知B（3，0），C（0，4），连接BC． （1）b＝，c＝； （2）点M为直线BC上方抛物线上一动点，当△MBC面积最大时，求点M的坐标； （3）①点P在抛物线上，若△P AC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的横坐标； ②在抛物线上是否存在一点Q，连接AC，使∠QBA＝2∠ACO，若存在，直接写出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知点P（0，﹣4）为平面直角坐标系内一点，直线l绕原点O旋转，交经过点（0，﹣2）的抛物线y＝x2+c于M、N两点． （1）请求出该抛物线的解析式； （2）设∠MPO＝α°，试用含α的代数式表示∠MPN的度数； （3）在直线l绕原点O旋转的过程中，请你研究一下（PM+MO）（PN﹣NO）是否定值？ 若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 3．已知二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0，a、b为常数）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B （6，0），与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线y＝﹣x+4与x轴交于点D． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，△CDP的面积最大，并求出最大面积； （3）如图2，点M是二次函数图象上一动点，过点M作ME⊥CD于点E，MF∥x轴交直线CD于点F，是否存在点M，使得△MEF≌△COD，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+3经过B，C两点，连接AC． （1）求抛物线的表达式； （2）点E为直线BC上方的抛物线上的一动点（点E不与点B，C重合），连接BE，CE，设四边形BECA的面积为S，求S的最大值； （3）若点Q在x轴上，则在抛物线上是否存在一点P，使得以B，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线y＝﹣ax2+2ax+3与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（﹣1，0），点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m＞0． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，当PQ∥y轴时，作PM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点P的右侧），以PQ，PM为邻边构造矩形PQNM，求该矩形
中考专题训练——二次函数的最值 1．已知y 是x 的函数，若函数图像上存在一点P （a ，b ），满足b ﹣a ＝2，则称点P 为函数图像上“梦幻点”．例如：直线y ＝2x +1上存在的“梦幻点”P （1，3）． (1)求直线132 y x =+上的“梦幻点”的坐标； (2)已知在双曲线k y x =（k ≠0）上存在两个“梦幻点”且两个“梦幻点”2，求k 的值． (3)若二次函数21(1)4y x m t x n t =+-+++的图像上存在唯一的梦幻点，且﹣2≤m ≤3时，n 的最小值为t ，求t 的值． 2．在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+px +q 的图象过点（－2，4），（1，－2）． (1)求该二次函数的解析式； (2)当－1≤x ≤3时，求y 的最大值与最小值的差； (3)若一次函数y =（2－m ）x +2－m 的图象与二次函数y =x 2+px +q 的图象交点的横坐标分别为a 和b ，且a <32023年中考数学高频考点专题复习-二次函数的最值问题(含答案)
2023年中考数学高频考点专题复习-二次函数的最值 问题 1．（2022秋·浙江温州·九年级期末）为抗击“新冠”疫情，某商店进了一批瓶装消毒液，每瓶进价为10元，当售价为每瓶25元时，每月可售出140瓶．为了响应政府“全民抗疫”号召，该店采取薄利多销策略．据市场调查反映：每瓶售价每降1元，则每月销售量增加20瓶．设每瓶消毒液的售价为x 元（x 为正整数），每月的销售量为y 瓶． (1)求y 与x 的函数关系式； (2)设该商店每月获得的利润为W 元，当售价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)为响应希望工程号召，在售价不低于进价且每瓶获利不高于95%的前提下，该商店决定每月从利润中捐出100元资助贫因学生．为了保证捐款后每月利润不低于2120元，消毒液的销售单价可以取哪些数值？ 2．（2022春·江苏·九年级期末）已知二次函数222(0)y ax ax a =+->． (1)二次函数图象的对称轴是 ； (2)当21x -≤≤时，y 的最大值与最小值的差为3，求该二次函数的表达式． 3．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）水果店购进某种水果的成本为10元/千克，经市场调研，获得销售单价p （元/千克）与销售时间115t t t ≤≤（，为整数）（天）之间的变化规律符合一次函数关系，部分数据如下表：
(1)试求p 关于t 的函数解析式； (2)若该水果的日销量y （千克）与销售时间t （天）的关系满足一次函数2120115y t t t =-+≤≤（，为整数）．求销售过程中最大日销售利润为多少？ 4．（2022秋·山东济宁·九年级校考期末）如图，一次函数15y x =-+与反比例函数()240y x x =>的图象交于A ，B 两点． (1)求点A ，点B 的坐标； (2)点P 是直线AB 上一点，设点P 的横坐标为m ．填空： ①当12y y <时，m 的取值范围是___________； ①点P 在线段AB 上，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，连接OP ．若POD 的面积最大时，求m 的值 5．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()5,1A ，点()0,6B ，点(),C m n 在该二次函数图象上
2023年中考数学频考点突破--二次函数与一元二次方程 1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2−8mx+16m−1(m>0)与x轴的交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)． （1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点． （2）若AB=2，求此抛物线的解析式． （3）已知x轴上两点C(2，0)，D(5，0)，若抛物线y=mx2−8mx+ 16m−1(m>0)与选段CD有交点，请写出m的取值范围． 2．如图，抛物线y=(x−1)2+k与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C(0,−3)．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m> 0． （1）求此抛物线的解析式； （2）当点P位于x轴下方时，求ΔABP面积的最大值； （3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为ℎ． ①求ℎ关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围； ②当ℎ=9时，直接写出ΔBCP的面积． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）直接写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； （2）直接写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； （3）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围. 4．某经销商销售一种圆盘，圆盘的半径x（cm），圆盘的售价y与x成正比例，圆盘的进价与x2成正比例，售出一个圆盘的利润是P（元）．当x=10时，y=80，p=30．（利润=售价﹣进价）． （1）求y与x满足的函数关系式； （2）求P与x满足的函数关系式； （3）当售出一个圆盘所获得的利润是32元时，求这个圆盘的半径． 5．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 6．已知二次函数y=x2−mx+m−2 （1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点； （2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求此二次函数的解析式. 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y=ax2+bx+c经过点A(0，−74)，点 B(1，14)，点C(−1，−74)，点P(m，n)为抛物线L上任意一点．
2023中考专题训练——二次函数与不等式 1．已知二次函数2y x bx c =-+-的图象与x 轴的交点坐标为(2,0)m -和(21,0)+m ． （1）求b 和c （用m 的代数式表示）； （2）若在自变量x 的值满足21x -≤≤的情况下，与其对应的函数值y 的最大值为1，求m 的值； （3）已知点2(1,23)A m m ---和点2(2,26)B m m -+．若二次函数2y x bx c =-+-的图象与线段AB 有两个不同的交点，直接写出m 的取值范围． 2．在平面直角坐标系xoy 中，直线y ＝4x +4分别与x 轴，y 轴分别交于A ，B ，点A 在抛物线 y ＝ax 2+bx ﹣3a (a ＜0)上，将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ． （1）求抛物线的顶点坐标；（用含a 的代数式表示） （2）若a=﹣1，当t ﹣1≤x ≤t 时，函数y ＝ax 2+bx ﹣3a (a ＜0)的最大值是3，求t 的值； （3）若抛物线与线段BC 有两个公共点，结合函数图像直接写出a 的取值范围． 3．某批发商以6元/千克的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，批发商销售过程中发现，这种蔬菜的销售单价为10元/千克时，每天的销售量为300千克，如果调整价格，销售单价每涨1元，每天少卖出30千克，设销售价格为x 元/千克，每天的销售量为y 千克． (1)请直接写出y 与x 之间的函数关系式； (2)当每天销售单价是多少元时，该批发商销售这种蔬菜的利润为1440元？ (3)端午节期间，批发商对这种蔬菜进行优惠促销，每购买1千克这种蔬菜，赠送成本为2元的端午节饰品，这种蔬菜的售价定为多少元时，该批发商每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222=-+-y x tx t t ． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t 的代数式表示）； (2)点()()1122,,,P x y Q x y 在抛物线上，其中1212,1-≤≤+=-t x t x t ． ①若1y 的最小值是2-，求1y 的最大值； ②若对于12,x x ，都有12y y <，直接写出t 的取值范围． 5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()22 240y x mx m m =-+->经过点(),A a b ． (1)用含m 的代数式表示抛物线顶点的坐标；
2023年九年级中考数学专题复习：二次函数的最值 一、单选题 1．已知||(1)k y k x =-是关于x 的二次函数，且有最大值，则k 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．2± D ．0 2．若函数221y x x =-+在2a x a ≤≤+上的最小值为4，则实数a 的值为（ ） A ．3-或3 B ．－1或1 C ．0或2 D ．2或4 3．二次函数241y ax x =++（a 为实数，且0a <），对于满足0x m ≤≤的任意一个x 的值，都有22y -≤≤，则m 的最大值为（ ） A ．12 B ．2 3 C ．2 D ．32 4．已知函数23y x bx =-+-（b 为常数）的图象经过点()6,3--．当0m x ≤≤时，若y 的最大值与最小值之和为2，则m 的值为（ ） A ．2-或3- B ．2-或4- C ．2-或3- D ．3-5．某种商品每天的销售利润y 元与单价x 元（2x ≥）之间的函数关系式为()20.1350y x =--+．则这种商品每天的最大利润为（ ） A ．0.1元 B ．3元 C ．50元 D ．75元 6．关于二次函数2285y x x =++，下列说法中正确的是（ ） A ．图象与y 轴的交点坐标为()0,5- B ．图象的对称轴在y 轴的右侧 C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小 D ．y 的最小值为3- 7．如表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值： 下列各选项中，正确的是（ ）A ．这个函数的图象开口向下 B ．这个函数的图象与x 轴无交点
C ．这个函数的最大值是5 D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 8．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线=1x -，下列 结论： ①0abc >；①240b ac -≥；①40a c +≥；①若t 为任意实数，则2a bt at b -≤+． 其中正确结论有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 9．函数()26804y x x x =+≤≤-的最大值为 ___________． 10．抛物线243y ax ax =--（其中a 为常数，且0a ≠），若当45x ≤<时，对应的函数值y 恰好有3个整数值，则a 的取值范围是__________． 11．二次函数()2 354y x =--+的最大值为___________． 12．2022年9月29日，C 919大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，是我国大飞机事业征程上的重要里程碑．如果某型号飞机降落后滑行的距离s （单位：米）关于滑行的时间t （单位：秒）的函数解析式是23542s t t =-，则该飞机着陆后滑行最长时间为__________秒． 13．当0m x ≤≤时，二次函数263y x x =---的最大值与最小值之和为2，则m 的值为______（写出所有满足条件的m 的值）． 14．二次函数2243y x x =++的最小值是_____． 15．若点(),P m n 在二次函数222y x x -=+的图象上，且点P 到y 轴的距离不大于3，则n 的取值范围是___________． 16．当x =___________时，二次函数2231y x x =+-的函数值最大． 三、解答题
2023年九年级中考数学专题训练：二次函数综合 一、单选题 1．已知抛物线()2 330y x x c x =++-≤≤与直线2y x =-有且只有一个交点，若c 为整数， 则c 的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．方程231x x +=的根可视为函数3y x 的图象与函数1 y x =的图象交点的横坐标， 那么用此方法可推断出方程321x x +=-的实数根x 所在的范围是（ ） A ．1 12 x -<<- B ．1123 x -<<- C ．11 34 x -<<- D ．1 04 x -<< 3．如图，已知二次函数()()5 144 y x x =- +-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，Р为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP ，交BC 于点K ，则 AP PK 的最小值为（ ） A ．94 B ．2 C ．74 D ．54 4．如图．抛物线y ＝ax 2+c 与直线y ＝mx +n 交于A （﹣1，p ），B （3，q ）两点，则不等式ax 2+mx +c ＞n 的解集为（ ） A ．x ＞﹣1 B ．x ＜3 C ．x ＜﹣3或x ＞1 D ．﹣1＜x ＜3 5．如图，抛物线y ＝12-x 2+7x ﹣45 2与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及共上方的部 分记作C 1将C 1向左平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ，若直线y ＝1 2 -x +m 与C 1，
C 2共3个不同的交点，则m 的取值范是（ ） A ． 52928 m << B ． 129 28 m << C ． 545 28m << D ．145 28 m << 6．在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：若图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角 度，例如，如图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°．现将二次函数()2 13y ax a =≤≤的图 象在直线1y =下方的部分沿直线1y =向上：翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是（ ） A ．3060α︒≤≤︒ B ．120150α︒≤≤︒ C ．90120α︒≤≤︒ D ．6090α︒≤≤︒ 7．二次函数y =2x 2﹣2x +m （0＜m ＜ 12 ），如果当x =a 时，y ＜0，那么当x =a ﹣1时， 函数值y 的取值范围为（ ） A ．y ＜0 B ．0＜y ＜m C ．m ＜y ＜m +4 D ．y ＞m 8．如图，抛物线213 22 y x x =-++的图象与坐标轴交于点A ，B ，D ，顶点为E ，以AB 为直径画半圆交y 负半轴交于点C ，圆心为M ，P 是半圆上的一动点，连接EP ． ①点E 在①M 的内部； ①CD 的长为3 2 ①若P 与C 重合，则①DPE ＝15°； ①在P 的运动过程中，若AP =PE = ①N 是PE 的中点，当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是π．
2023年中考数学专题复习：二次函数与不等式训练 一、单选题 1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，则函数值y ＞0时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜﹣1 B ．x ＞3 C ．﹣1＜x ＜3 D ．x ＜﹣1或x ＞3 2．二次函数y ＝x 2，当1 ≤ y ≤ 9时，自变量x 的取值范围是（ ） A ．1≤x ≤3 B ．-3≤x ≤3 C ．-3≤x ≤-1或1≤x ≤3 D ．-3≤x ≤1或1≤x ≤3 3．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 为常数，且a ≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x ＝1，且2＜c ＜3，则下列结论正确的是（ ） A ．abc ＞0 B ．3a +c ＞0 C ．a 2m 2+abm ≤a 2+ab （m 为任意实数） D ．﹣1＜a ＜﹣2 3 4．已知抛物线24(0)y ax ax c a =-++>上有两点A （11,x y ）、B （22,x y ），且12x x <，若126x x +≥，则1y 与2y 的大小关系（ ） A ．12y y > B ．12y y < C ．12y y ≥ D ．12y y ≤ 5．若二次函数2y ax bx c =++的图象经过()()()11221,,,,(2,),(,)A x y B x y C m n D m n y n -≠，
则下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞0且|1x ﹣1|＞|2x ﹣1|，则1y ＜2y B ．若a ＜0且1y ＜2y ，则|1﹣1x |＜|1﹣2x | C ．若|1x ﹣1|＞|2x ﹣1|且1y ＞2y ，则a ＜0 D ．若1x +2x ＝2（1x ≠2x ），则AB ∥CD 6．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴的右交点A （5，0），对称轴是直线x ＝2，当ax 2+bx +c ＞16a 时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜﹣1或x ＞5 B ．﹣1＜x ＜5 C ．﹣3＜x ＜7 D ．x ＜﹣3或x ＞7 7．如图．抛物线y ＝ax 2+c 与直线y ＝mx +n 交于A （﹣1，p ），B （3，q ）两点，则不等式ax 2+mx +c ＞n 的解集为( ) A ．x ＞﹣1 B ．x ＜3 C ．x ＜﹣3或x ＞1 D ．x ＞﹣1或x ＜3 8．如图，已知反比例函数13y x -=与二次函数()220,0y ax bx a b =+>>的图象交于点(),1P m ，则下列说法正确的是（ ）
2023年中考数学专题复习：二次函数的图形及性质 一、单选题 1．下列对二次函数2(1)3y x =-+-的图像描述不正确的是（ ） A ．开口向下 B ．顶点坐标为(1,3)-- C ．与y 轴相交于点(0,3)- D ．当1x >时，函数值y 随x 的增大而减小 2．将抛物线()=+-2 y x 12向上平移3个单位，向左平移4个单位后所得到的新抛物线y '的对称轴是直线（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝﹣2 C ．x ＝﹣5 D ．x ＝4 3．抛物线23y x =+上有两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，若12y y <，则下列结论正确的是（ ） A ．120x x < B ．210x x < C ．210x x <或120x x < D ．以上都不对 4．抛物线y ＝－x 2＋2x －c 过A （－1，y 1），B （2，y 2），C （5，y 3）三点．则将y 1，y 2，y 3，从小到大顺序排列是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 2＜y 3＜y 1 5．顶点坐标为（－2，0），开口大小与抛物线y ＝12x2+3相同，开口方向相反的解析式 为( ) A ．y ＝12 (x －2)2 B ．y ＝12- (x ＋2)2 C ．y ＝12 (x -2)2＋3 D ．y ＝－1 2 (x ＋2)2－ 3 6．已知二次函数y =2x 2－3，当－1≤x ≤2时，y 的取値范围是（ ） A ．－5≤y ≤5 B ．－3≤y ≤5 C ．－2≤y ≤5 D ．－1≤y ≤5 7．抛物线y ＝(x ﹣x 1)(x ﹣x 2)+mx +n 与x 轴只有一个交点(x 1，0)．下列式子中正确的是（ ） A ．x 1﹣x 2＝m B ．x 2﹣x 1＝m C ．m (x 1﹣x 2)＝n D ．m (x 1+x 2)＝n 8．将抛物线y ＝﹣x 2向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得新抛物线的顶点是 ( ) A ．（2，﹣3） B ．（﹣2，﹣3） C ．（2，3） D ．（﹣2，3）
2023年中考数学专题复习：二次函数综合题（角度问题） 1．如图，抛物线y=ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COD:S△COB＝1：3时，求点F的坐标； (3)如图2，点E的坐标为（0，﹣3 ），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？ 2 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−2,0)、B(8,0)两点，与y轴交于点C(0,4)，连接AC、BC． (1)求抛物线的表达式； (2)将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积； (3)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标． 3．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A
试卷第2页，共10页 和点C ，抛物线y ＝ax 2﹣3x +c 经过A ，C 两点，并且与x 轴交于另一点B ．点D 为第四象限抛物线上一动点(不与点A ，C 重合)，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，交直线AC 于点E ，连接BE ．设点D 的横坐标为m ． (1)求抛物线的解析式； (2)当∠ECD ＝∠EDC 时，求出此时m 的值； (3)点D 在运动的过程中，△EBF 的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由． 4．抛物线y ＝ax 2+4（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左侧），AB ＝4，点P （2，1）位于第一象限． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 在抛物线上，且使∠MAP ＝45°，求点M 的坐标； (3)将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y ＝x +4上移动，当平移后的抛物线与线段AP 只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围． 5．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （2，3），与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于
2023年九年级中考数学专题复习： 二次函数综合题（角度问 题） 1．已知抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A -和点()0,3C -，与x 轴交于另一点B ． (1)求抛物线的解析式； (2)点P 为第四象限内抛物线上的点，连接,,CP AP AC ，如图1，当CP AC ⊥时，求P 点坐标； (3)设点M 为抛物线上的一点，若2MAB ACO ∠=∠时，求M 点坐标． 2．如图，已知抛物线2 13 y x bx c =-++交x 轴于()30A -,，()4,0B 两点，交y 轴于点C ， 点P 是抛物线上一点，连接AC 、BC ． (1)求抛物线的表达式； (2)连接OP ，BP ，若2BOP AOC S S =△△，求点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠QBA ＝75°？若存在，直接写出点Q 的坐
3．已知抛物线y＝ax2+2x+c过A（﹣1，0），C（0，3），交x轴于另一点B．点P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线CP交抛物线对称轴于点N． (1)求抛物线的解析式； (2)连接AN，当∠ANC＝45°时，求P点的横坐标； (3)如图2，过点N作NM∠y轴于点M，连接AM，当AM+MN+CN的值最小时，直接写出N点的坐标． 4．如图，抛物线y＝3 4 x2+bx+c交x轴于A，B两点，交轴于点C，点A，B的坐标分别 为（-1，0），（4，0）． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求∠CPB的面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标．
2023届中考专题复习：二次函数 （共25题） 一、选择题（共14题） 1.要得到抛物线y=2(x−4)2−1，可以将抛物线y=2x2( ) A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 2.将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为( ) A．y=x2−1B．y=x2+1 C．y=(x−1)2D．y=(x+1)2 3.已知二次函数y=−(x−ℎ)2（ℎ为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对 应的函数值y的最大值为−1，则ℎ的值为( ) A．3或6B．1或6C．1或3D．4或6 4.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根， 则m的取值范围是( ) A．m≤3B．m≥3C．m≤−3D．m≥−3 5.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90∘，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿 B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是( ) A．B．C．D． ．下列结论6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x=−1 2中，正确的是( )
A．abc>0B．a+b=0C．2b+c>0D．4a+c<2b 7.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正 确的是( ) A．abc<0，b2−4ac>0B．abc>0，b2−4ac>0 C．abc<0，b2−4ac<0D．abc>0，b2−4ac<0 8.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面 宽度增加( ) A．1m B．2m C．(2√6−4)m D．(√6−2)m 9.设A(−2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=−(x+1)2+1上的三点，则y1，y2， y3的大小关系为( ) A．y1>y2>y3B．y1>y3>y2C．y3>y2>y1D．y3>y1>y2 10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
2023年中考数学频考点突破--二次函数几何问题 1．如图，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB． （1）求该抛物线的解析式； （2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F． ①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积； ②当点F到直线AE的距离为√2时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标． 2．如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1． （1）求抛物线L的解析式； （2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内（包括△OBC的边界），求h的取值范围； （3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由． 3．如图，抛物线的顶点为C（﹣1，﹣1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为﹣3．
（1）求抛物线的解析式． （2）求点B的坐标及△BOC的面积． （3）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为顶点的四边形为平行四边形，请在左边的图上标出D和E的位置，再直接写出点D的坐标． 4．如图，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点． （1）当0＜x＜3时，求y的取值范围； （2）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标． 5．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(−1,0)、B(2,0)，与y轴交于点 C(0,4)，点P是第一象限内抛物线上的一点． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值． 6．如图1，已知二次函数y=ax2+ 32x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x 轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
2023年江苏省中考数学模拟题知识点分类汇编：二次函数一．选择题（共15小题） 1．（2022•高邮市模拟）在三个函数：①y＝kx+b（k≠0）；②；③y＝ax2+bx+c （a＜0）的图象上，都存在点P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3），能够使不等式y3﹣y2＜y2﹣y1总成立的函数有（） A．0个B．1个C．2个D．3个2．（2022•淮阴区校级一模）已知关于x的一元二次方程为x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x2＝4．则关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为（） A．x＜﹣2或x＞4B．﹣2＜x＜4C．x＜﹣2D．x＞4 3．（2022•丰县二模）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（） A．第7秒B．第9秒C．第11秒D．第13秒4．（2022•虎丘区校级模拟）设M为抛物线y＝（x﹣1）2的顶点，点A、B为该抛物线上的两个动点，且MA⊥MB．连接点A、B，过M作MC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（） A．B．C．D．2 5．（2022•苏州二模）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a＜0），则该函数图象的顶点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2022•姜堰区二模）如果a是二次函数y＝x2﹣x﹣2与x轴交点的横坐标，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为（） A．﹣1B．1C．7D．9 7．（2022•苏州模拟）若二次函数y＝﹣x2+b的图象经过点（0，4），则不等式﹣x2+b≥0的解集为（） A．﹣2≤x≤2B．x≤2C．x≥﹣2D．x≤﹣2或x≥2 8．（2022•武进区一模）二次函数y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（1，3）
2023中考专题训练——二次函数与特殊的四边形 1．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4， （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、 B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由； 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C1：y＝x2＋3 先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C2．C2 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线C2的解析式； （2）若抛物线C2的对称轴与x轴交于点C，与抛物线C2交于 点D，与抛物线C1交于点E，连结AD、DB、BE、EA，请证 明四边形ADBE是菱形，并计算它的面积； （3）若点F为对称轴DE上任意一点，在抛物线C2上是否存 在这样的点G，使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行 四边形，如果存在，请求出点G的坐标，如果不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC， 且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C 落在抛物线上时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点 P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使
以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y=﹣1 2x2+3 2 x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）试求A，B，C的坐标； （2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD． ①求点D的坐标； ②判断四边形ADBC的形状，并说明理由； （3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？ 若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说 明理由． 5．（1）抛物线m1：y1=a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表： 设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为，点C的坐标为． （2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x2+b2x+c2，则当x=-3时，y2=．（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3．设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N两点（点M在点N的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上． （1）求这条抛物线的解析式； （2）设D（m，n），矩形ABCD的周长为l，写出l与m的关系式， 并求出l的最大值； （3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否还存在点F，使 得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出 F点的坐标．
中考专题训练——二次函数与特殊的四边形 1．如图，已知抛物线与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1． （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标． （2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形． ①当t＞0时，①BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒1 个单位的速度沿线段AD向点D运动，运 2 动时间为t秒．过点P作PE①x轴交抛物线于点M，交AC于点N． （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）当t为何值时，①ACM的面积最大？最大值为多少？ （3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？ 3．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且
OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE①x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PF①BC于点F，试问①PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P在抛物线上运动时，将①CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由． 4．抛物线y=1 3 x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴 交于点H，过点H的直线m交抛物线于P、Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧． （1）求D点坐标； （2）若①PBA=1 2 ①OBC，求点P的坐标； （3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若将该抛物线向下平移m个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在①ABC的内部（不包括①ABC 的边界），求m的取值范围； （3）已知点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．