第十二讲圆
专项一圆的相关概念及性质
知识清单
1．圆的定义及其相关概念
圆：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所
形成的图形叫做______．其固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做______，如图1，AC，BC是弦，
BC是直径．
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做______（用三个点表示，如图1中的ABC），小于半圆的弧叫做______（如图1中的AC）．
圆心角：顶点在______的角叫做圆心角（如图1中的∠AOB是AB所对的圆心角）．
圆周角：顶点在______上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（如图1中的∠ACB是AB所对的圆周角）．2．圆是轴对称图形，对称轴是_____________，由此可得
垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是______）的直径______弦，并且______弦所对的两条弧．
3．圆是中心对称图形，对称中心是_____________，由此可得
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量________．
4．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即∠BAC=1
2
∠BOC（如图2）．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，即∠BAC=∠BDC（如图2）．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是______，即∠BCA=90°（如图2）；90°的圆周角
所对的弦是直径．
推论3：圆内接四边形的对角______．
考点例析
例1 往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图1所示．若水面宽度AB＝24 cm，则水的最大深度为（）
A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
图1
分析：如图1，作与弦AB垂直的半径，先利用垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长．
归纳：过圆心作弦的垂线可以构造垂径定理基本图形，常结合勾股定理求线段长．在图1所示的AB，OB，
OD，CD四个量中，OB=OD+CD，
2
22
2
AB
OD OB
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，利用这两个关系式，知道其中任何两个，其余
两个都能求出来．
例2 如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于．
图2
分析：根据圆内接四边形的性质可得∠ABC的度数，连接OA，OC，由圆周角定理求出∠AOC的度数，判断△OAC的形状后，可求⊙O的半径．
例3如图3，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是AD所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．
图3
分析：（1）连接BD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠ACD＝30°，再由AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，进而可求∠DAB的度数；（2）在Rt△ABD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD的长，在Rt△ADE中，DE=AD·sin∠DAE，再结合垂径定理可求出DF的长．
解：
归纳：在圆中经常构造直径所对的圆周角，利用圆周角定理与直角三角形的性质解题．
跟踪训练
1．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点．若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（）A．34°B．36°C．46°D．54°
第1题图
2．P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10 cm，最短弦的长为6 cm，则OP的长为（）
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（）A．45°B．60°C．72°D．36°
第3题图第4题图
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B，C在⊙O上，边AB，AC分别交⊙O于D，E 两点，点B是CD的中点，则∠ABE＝．
5．如图，AB为⊙O的弦，D，C为ACB的三等分点，AC∥BE．
（1）求证：∠A＝∠E；
（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．
第5题图
专项二与圆有关的位置关系
知识清单
1. 点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有
点P在圆外⇔d___r；
点P在____⇔d____r；
点P在圆内⇔d____r．
2. 直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有
直线l与⊙O相交⇔d___r；
直线l与⊙O相切⇔d___r；
直线l与⊙O____⇔d___r．
3. 切线的性质
定理:圆的切线____于过切点的半径.
4.切线的判定
（1）和圆只有____个公共点的直线是圆的切线.
（2）经过半径的外端并且____于这条半径的直线是圆的切线.
（3）如果圆心到一条直线的距离____圆的半径，那么这条直线是圆的切线.
5. 切线长定理（选学）
切线长:经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间____叫做这点到圆的切线长.
定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长____，这一点和圆心的连线____两条切线的夹角.
6. 三角形的外接圆与内切圆
外接圆内切圆
圆心名称三角形的外心三角形的内心
圆心位置三角形三条边的垂直平分
线的交点三角形三条角平分线的交点
性质三角形的外心到三角形三
个顶点的距离相等三角形的内心到三角形三边的距离相等
考点例析
例1 如图1-①，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为．
①②
图1
分析：如图1-②，当⊙O平移最靠近点C，即当⊙O与CB，CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最
大，结合切线的性质定理和切线长定理求解．
例2 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝3，DE＝5
2
，求⊙O的直径．
图2
分析：（1）连接OD，根据直角三角形斜边上中线的性质与等腰三角形的性质，可证∠EDO＝90°，从而判定DE与⊙O相切；（2）先在Rt△BDC中求出BC，BD的长，再借助相似三角形求出AC的长，即得⊙O的直径．
解：
归纳：切线的判定方法主要有两种：若直线与圆有交点，则连接过交点的半径，证其与直线垂直（连半径，证垂直）；若不能确定直线与圆有交点，则过圆心向直线作垂线段，证圆心到直线的距离等于半径（作垂线，证半径）．
跟踪训练
1．如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD的度数为（）
A．27°B．29°C．35°D．37°
第1题图第2题图
2．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝70°，则∠ABO等于（）
A．30°B．35°C．45°D．55°
3．如图，F A，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝°．
第3题图
4．如图①，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．
（1）求证：∠BAC＝∠DOC；
（2）如图②，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．
①②
第4题图
5．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD ＝AC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠ACE＝1
3
，OE＝3，求BC的长．
第5题图
专项三弧长与扇形面积的计算
知识清单
1．弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l =_______．
2．扇形面积公式：在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S=_______；
在半径为R的圆中，圆心角所对的弧长为l的扇形的面积S=_______．
考点例析
例1如图1，传送带的一个转动轮的半径为18 cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送12π cm，则n ＝．
图1
分析：物品A被传送的距离等于转动轮转n°的弧长，根据弧长公式求弧所对的圆心角的度数即为n值．例2 如图2，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（）
A．2πB．4πC．
3
3
πD．
23
3
π
图2
分析：阴影部分是以AC为半径、以∠CAE为圆心角的扇形，借助正六边形的性质，分别求出AC的长与∠CAE的度数，根据扇形的面积公式计算．
例3设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（）
A．有最大值9
4
πB．有最小值
9
4
π
C．有最大值9
2
πD．有最小值
9
2
π
分析：根据扇形的面积公式结合关系式2r+l＝6，列出圆锥的侧面积与r之间的函数解析式，再通过函数的性质求圆锥的侧面积的最大值或最小值．
归纳：对于圆锥，要熟悉立体图形与展开图（平面图形）之间的对应关系：圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面周长是扇形的弧长．
跟踪训练
1．图①是一把扇形书法纸扇，图②是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA和OB的夹角为150°，OA 的长为30 cm，贴纸部分的宽AC为18cm，则CD的长为（）
A．5π cm B．10π cm C．20π cm D．25π cm
①②
第1题图
2．如图，一根5 m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）
A．17
12
π m2B．
77
12
π m2C．
25
4
π m2D．
17
6
π m2
第2题图
3．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为（用含π的代数式表示），圆心角为度．
4．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在AD 上，∠BAC＝22.5°，则BC的长为．
第4题图
专项四正多边形与圆
知识清单
1．正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的______，这个圆就是这个正多边形的______．
2．与正多边形有关的概念
如图，已知正n边形的边长为a，半径为R，则这个正n边形的每个内角为180n
n
（-2）
，
中心角α=______，边心距r=______，周长l=na，面积S=1
2 nar．
考点例析
例1 如图1，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则AB的长度为（）
A．9πB．9
2
πC．
3
2
πD．
9
4
π
图1
分析：连接OA，OB，则△OAB为等腰直角三角形．由正方形ABCD的面积为18，可求得边长AB，进而可得半径OA，根据弧长公式可求AB的长．
例2（2021·河北）如图2，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A n（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11的延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧
711
A A的长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和P A1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长P A7的值．
图2
分析：（1）利用弧长公式求劣弧
711
A A的长度，与直径比较大小；（2）先直觉观察猜想结论，再利用圆周角定理证明；（3）由切线的性质可得Rt△P A1A7，解此三角形可得P A7的值．
解：
跟踪训练
1．（2021·贵阳）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）
A．144°B．130°C．129°D．108°
第1题图
2．（2021·绥化）边长为4 cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是．
3．（2021·湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”
如图①，点C把线段AB分成两部分，如果
51
2
CB
AC
=≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．
第3题图
（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；（结果保留根号）
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；
①作两条相互垂直的直径MN，AI；
②作ON的中点P，以P为圆心，P A为半径画弧交OM于点Q；
③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；
则五边形ABCDE为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．
专项五圆中的数学思想
1. 方程思想
例1（2021·西宁）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC ＝．
图1
分析：先由垂径定理求得CE的长，再在Rt△OCE中由勾股定理得出关于半径的方程，解方程即可．
2. 分类讨论思想
例2（2021·朝阳）已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为3AB所对的圆周角的度数为．
分析：弦AB所对圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，所以需要分两种情况讨论．解答时，利用垂径定理构造直角三角形，借助三角函数求弦AB所对的圆心角的度数，再根据圆周角定理及其推论求
弦AB 所对的圆周角的度数．
3．转化思想
例3 （2021·枣庄）如图2，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点．以C 为圆心，2为半径作BD ，再分别以E ，F 为圆心，1为半径作圆弧BO ，OD ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．π﹣1
B ．π﹣3
C ．π﹣2
D ．4﹣π
图2
分析：连接BD ，则OD 与线段OD 围成的图形面积等于OB 与线段OB 围成的图形面积，故阴影部分的面积等于扇形CBD 与直角三角形CBD 的面积之差．
归纳：求不规则图形的面积，经常通过割补法或等积法将其转化为规则图形，再利用面积公式进行计算． 跟踪训练
1．（2021·兴安盟）如图，两个半径长均为2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD 的圆心C 是AB 的中点，且扇形CFD 绕着点C 旋转，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A ．2π﹣1
B ．2π﹣2
C ．π﹣1
D ．π﹣2
第1题图
2．（2021·青海）点P 是非圆上一点，若点P 到⊙O 上的点的最小距离是4 cm ，最大距离是9cm ，则⊙O 的半径是 ．
3．（2021·绥化）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5 cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 cm ．
参考答案
专项一圆的相关概念及性质例1 B 例2 2
例3（1）连接BD．因为∠ACD＝30°，所以∠B＝∠ACD＝30°．
因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB＝90°．所以∠DAB＝90°﹣∠B＝60°．
（2）因为∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，所以AD＝1
2
AB＝2．
因为∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，所以EF＝DE＝AD·sin60°
所以DF＝2DE＝
1．B 2．B 3．B 4．13°
5．（1）证明：因为AC∥BE，所以∠E＝∠ACD．
因为D，C为ACB的三等分点，所以BC CD AD
==．
所以∠ACD＝∠A．所以∠E＝∠A．
（2）解：由（1）知BC CD AD
==，所以∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E．所以BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，△CBD∽△BDE．
所以CB BD
BD DE
=，即
35
5DE
=，解得DE＝
25
3
．
所以CE＝DE﹣CD＝25
3
﹣3＝
16
3
．
专项二与圆有关的位置关系
例1 +1
例2 （1）证明：连接OD．
因为AC是⊙O的直径，所以∠ADC＝90°，所以∠BDC＝90°．
因为E是BC的中点，所以DE＝CE＝BE，所以∠EDC＝∠ECD．
又OD ＝OC ，所以∠ODC ＝∠OCD ．
因为∠OCD +∠DCE ＝∠ACB ＝90°，所以∠ODC+∠EDC ＝90°，即∠EDO ＝90°．所以DE ⊥OD ． 又OD 为⊙O 的半径，所以DE 与⊙O 相切．
（2）解：由（1），得∠BDC ＝90°，DE ＝CE ＝BE ．
因为DE ＝52
，所以BC ＝5．所以BD =＝4． 因为∠BCA ＝∠BDC ＝90°，∠B ＝∠B ，所以△BCA ∽△BDC ． 所以AC BC CD BD =，即534AC =．解得AC ＝154．所以⊙O 的直径为154
． 1．A 2．B 3．180
4．（1）证明：连接OB ．
因为直线MN 与⊙O 相切于点D ，所以OD ⊥MN ．
因为BC ∥MN ，所以OD ⊥BC ．所以BD CD =．所以∠BOD ＝∠COD ．
因为∠BAC ＝12
∠BOC ，所以∠BAC ＝∠DOC ． （2）解：因为E 是OD 的中点，所以OE ＝DE ＝2．
在Rt △OCE 中，CE =
由（1）知OE ⊥BC ，所以BE ＝CE ＝
又O 是AC 的中点，所以OE 是△ABC 的中位线．所以AB =2OE =4．
因为AC 是⊙O 的直径，所以∠ABC ＝90°．
在Rt △ABE 中，AE ==
5．（1）证明：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°，即∠ACE +∠BCE ＝90°．
因为AD ＝AC ，BE ＝BC ，所以∠ACE ＝∠D ，∠BCE ＝∠BEC ．
又∠BEC ＝∠AED ，所以∠AED +∠D ＝90°．所以∠DAE ＝90°，即AD ⊥AE ．
因为OA 是⊙O 的半径，所以AD 是⊙O 的切线．
（2）解：由（1），得tan ∠ACE ＝tan D ＝13
，设AE ＝a ，则AD ＝AC ＝3a ． 因为OE ＝3，所以OA ＝a +3，AB ＝2a +6，BE ＝BC ＝a +3+3＝a +6．
在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB 2＝BC 2+AC 2，即（2a +6）2＝（a +6）2+（3a ）2，解得a 1＝0（舍去），a 2＝2．所以BC ＝a +6＝8．
专项三 弧长与扇形面积的计算
例1 120 例2 A 例3 C
1．B 2．B 3．12π 216 4．54
π 专项四 正多边形与圆
例1 C
例2 （1）连接OA 7，OA 11．由题意，得∠A 7OA 11＝120°，所以711A A 的长为
12064180
ππ⨯=＞12．所以劣弧711A A 的长度更长．
（2）P A 1⊥A 7A 11．理由：连接A 7A 11，OA 1．
因为A 1A 7是⊙O 的直径，所以∠A 7A 11A 1＝90°．所以P A 1⊥A 7A 11．
（3）因为P A 7是⊙O 的切线，所以P A 7⊥A 1A 7，所以∠P A 7A 1＝90°．
因为∠P A 1A 7＝60°，A 1A 7＝12，所以P A 7＝A 1A 7•tan 60°＝
1．A 2
3．解：（1）AC 的长为
50．
（2）点Q 是线段OM 的黄金分割点，理由如下：
设⊙O 的半径为r ，则OP ＝12
r ，所以PQ ＝AP
=． 所以OQ ＝QP ﹣OP
﹣12
r
r ，MQ ＝OM ﹣OQ ＝r
．
所以2
MQ OQ =
Q 是线段OM 的黄金分割点． （3）如图，作PH ⊥AE 于点H ．由题可知，AH ＝EH ．
因为正五边形的每个内角都为（5﹣2）×180°÷5＝108°，
所以∠PEH ＝180°﹣108°＝72°，即cos ∠PEH ＝cos72°＝EH PE
． 因为点E 是线段PD 的黄金分割点，所以DE PE
＝12． 又DE ＝AE ，HE ＝AH ＝12AE ，所以cos72°＝111222AE EH AE DE PE PE PE PE
==⨯=⨯
．
第3题图
专项五圆中的数学思想
例1 29
4
例2 60°或120°例3 C
1．D 2．6.5cm或2.5cm 3．40
第十二讲圆 专项一圆的相关概念及性质 知识清单 1．圆的定义及其相关概念 圆：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所 形成的图形叫做______．其固定的端点O叫做______，线段OA叫做______． 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做______，如图1，AC，BC是弦， BC是直径． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做______（用三个点表示，如图1中的ABC），小于半圆的弧叫做______（如图1中的AC）． 圆心角：顶点在______的角叫做圆心角（如图1中的∠AOB是AB所对的圆心角）． 圆周角：顶点在______上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（如图1中的∠ACB是AB所对的圆周角）．2．圆是轴对称图形，对称轴是_____________，由此可得 垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是______）的直径______弦，并且______弦所对的两条弧． 3．圆是中心对称图形，对称中心是_____________，由此可得 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量________． 4．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即∠BAC=1 2 ∠BOC（如图2）． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，即∠BAC=∠BDC（如图2）． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是______，即∠BCA=90°（如图2）；90°的圆周角 所对的弦是直径． 推论3：圆内接四边形的对角______． 考点例析 例1 往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图1所示．若水面宽度AB＝24 cm，则水的最大深度为（） A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
第十二讲关于圆的基本知识 趣题引路】 20世纪40年代美国数学家冯?诺伊曼等人编写了一本研究取胜对策的书.在这本书中有一个有趣的问题: 一只鼠在圆形的湖边碰上了猫，鼠连忙纵身跳到水里，猫不会游水，于是紧紧地盯住鼠，在湖边跟着鼠跑动，打算在鼠爬上岸时抓住它?已知猫奔跑的速度是鼠游水速度的2. 5倍.聪明的读者，你知道鼠怎样才能逃脱猫的追捕？ 解析如图12-1,鼠在点A碰上了猫，若鼠跳到湖里后径宜游到对岸点C；则猫从A到C要跑半个圆周，由于半圆长是直径的-^1.58（倍）＜2.5（倍），因此猫还是能抓住鼠，所以，鼠若要逃脱猫的追捕，就必须 （原文是经字，好像不通）利用猫环湖跑动这一特点，跳下水以后先游到圆心O,看准猫当时所在的位垃如立刻转身朝着B对岸的点￡＞游去，这时鼠要游的距离是半径OD,猫要跑的距离是半圆BCD,也就是OD的兀倍，兀?3. 14＞2.5,所以当猫到点D时，鼠已经逃之夭夭了. 图12-1 知识延伸】圆是初中数学中重要的内容，圆的基本性质虽然比较简单但具有较强的适用性?确定圆的条件就是通过三个点找到圆心和半径，然后画图. 弧、弦和直径的关系（垂径左理）是研究有关圆的知识的基础，垂径左理指的是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，立理的题设和结论共涉及5条：（1）过圆心；（2）垂直弦：（3）平分弦：（4）平分劣弧：（5）平分优弧.在这5条中只要2条成立，那么剩下3条也是成立的.这样理解和记忆垂径左理即揭示了定理中的条件和结论的内在联系. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它具有旋转对称性，这是圆的最基本最重要的性质，是证明其他定理的工具. 例两人轮流在一个圆桌上放同样大小的硬币.每人每次只能放一枚，且任何两枚硬币不能有重叠部分，谁先放完最后一枚使得对方再也找不到空地可以放下一枚硬币时，谁就获胜?问谁一左能获胜？他要想获胜，必须采取怎样的策略？ 解析先放的那个人一左能获胜，他首先在圆心放一枚硬币，然后不论对方怎样放一枚硬币，他都在对方放硬币的位宜关于圆心对称的位巻上再放一枚硬币，由于圆是关于圆心对称的图形，故只要对方有放硬币的地方，他就有放硬币的地方，可见最后胜利一左属于先放硬币的人.（下页提上来的，保持语段的完整性） 点评几何中，（X，刃一（一X，—刃是以原点为对称中心的映射，这种映射叫做对称变换?圆是中心对称图形，先耙硬币放在圆桌的正中央，以后不管对方放在哪里，他下一步都把硬币放在对方硬币关于中心对称的
圆的证明与计算 考点一：圆的有关性质 1．如图，以△BMC的边为直径的⊙O与边BC交于点D，与BM的延长线交于点E，∠E＝∠B，DE交CM于点F． （1）求证：BD＝CD； （2）若CF＝3MF，求tan∠E的值． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E． （1）求证：CD＝BD； （2）若AB BC ＝ 5 8 ，求sin∠BDE的值． B A C D E O 3．如图，⊙O中，AB是弦，OB，OC为圆的半径，∠BOC＝90°＋∠B． （1）求证：AC＝BC； （2）延长BO交⊙O于点D点，连接AC交BD于E点，AD＝5，DE＝2，求⊙O的半径长．
4．如图，AB 是⊙O 的直径，D 是BC 的中点，OD 交BC 于点E ． （1）若BC ＝8，AB ＝10，求sin ∠AEO 的值； （2）若BC ＝8，DE ＝2，求tan ∠BAE 的值． 5．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，D 是BC 延长线上的一点，⊙O 是△ABD 的外接圆，E 是⊙O 上一点，且AE ＝AD ，AE 交BD 于F ． （1）求证：DE 是⊙O 的直径； （2）若AB ＝32，CD ＝2，求AF 的长 6．如图，点P 是⊙O 外一点，PB 交⊙O 于A ，B ，PD 交⊙O 于C ，D ，连接BD ，AD ． （1）求证： AP AD ＝CP BC ； （2）若∠DBC ＝∠P ，∠BDC ＝60°， CP DC ＝5 4 ，求tan ∠P 的值． C A O P D
7．已知⊙O 中，点A ，B ，C 在圆⊙O 上，AB ＝AC ，D 为AB 上一点． （1）如图1，BM ⊥CD 于M ，若∠ADC ＝75°，求证：DM ＝3BM ． （2） 如图2，若tan ∠ADC ＝4，求cos ∠BDC 的值． 图1 图2 8．已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的动点． （1）如图1，点P 是劣弧AC 的中点，求证：OP ∥BC ； （2）如图2，点P 是劣弧AC 的中点，tan ∠A ＝ 2 1 ，求tan ∠ABC 的值． 图1 图2 考点二：切线的判定与性质 9．如图， AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，CD ＝CA ，CE ⊥BD 于E ． （1）求证CE 是⊙O 的切线； （2）连接CB ，CD ，tan ∠CBE ＝ 4 3 ，求cos ∠BCD 的值．
2022-2023学年九年级数学中考一轮复习《圆》填空题专题训练（附答案） 1．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是． 2．如图，已知A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为． 3．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为． 4．如图所示，⊙M与x轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴相切于点C，则圆心M 的坐标是． 5．如图，正方形OA1B1C1的边长为2，以O为圆心、OA1为半径作弧A1C1交OB1于点B2，设弧A1C1与边A1B1、B1C1围成的阴影部分面积S1；然后以OB2为对角线作正方形OA2B2C2，又以O为圆心、OA2为半径作弧A2C2交OB2于点B3，设弧A2C2与边A2B2、B2C2围成的阴影部分面积为S2；…，按此规律继续作下去，设弧A n∁n与边A n B n、B n∁n 围成的阴影部分面积为S n．则S1＝，S2＝，…，S n＝．
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为． 7．如图所示，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF＝80°，则图中阴影部分的面积是． 8．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值（单位：秒） 9．如图，已知⊙O的直径AB＝6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB ＝∠NFB＝60°，则EM+FN＝．
2022-2023学年九年级数学中考复习《圆》综合复习训练题（附答案） 一．选择题 1．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，点P在⊙O上，当∠OP A最大时，P A的长等于（） A．B．C．3D．2 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（） A．B．C．D．2 3．如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA ＝80°，则∠OED的大小为（） A．15°B．18°C．20°D．22° 4．如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（） A．1B．﹣1C．D．2
5．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB 的内心；③FC＝FE；④CE•FB＝AB•CF．其中正确的只有（） A．①②B．②③④C．①③④D．①②④ 6．如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（） A．B．C．2D．4 7．如图，点A、B分别在x轴、y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①∠ACB＝90°；②AC＝BC；③若OA＝4，OB＝2，则△ABC的面积等于5；④若OA﹣OB＝4，则点C的坐标是（2，﹣2）．其中正确的结论有（） A．4个B．3个C．2个D．1个 8．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（） A．2﹣2B．C．4D．2
2022-2023学年九年级数学中考复习《圆、二次函数压轴题》解答题专题训练（附答案）1．（1）已知AC是半圆O的直径，∠AOB＝（）°（n是正整数，且n不是3的倍数）是半圆O的一个圆心角． 【操作】如图1，分别将半圆O的圆心角∠AOB＝（）°（n取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【交流】当n＝11时，可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB＝（）°所对的弧三等分吗？ 从上面的操作我发现，就是利用60°、（）°所对的弧去找（）°的三分之一 即（）°所对的弧 我发现了它们之间的数量关系是4×（）°﹣60°＝（）°．我再试试：当n＝28时，（）°、60°、（）°之间存在数量关系．因此可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB＝（）°所对的弧三等分． 【探究】你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB＝（）°所对的弧三等分？说说你的理由； （2）如图2，⊙O的圆周角∠PMQ＝（）°．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
2．一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A、原点O和一次函数y＝x+1图象上的点B（m，）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，一次函数y＝x+n（n＞﹣，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D 作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F． ①x1＝，x2＝（分别用含n的代数式表示）； ②证明：AE＝BF； （3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图象是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到的，且与一次函数y＝x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N． ①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由； ②若A′M+3B′N＝2，求t的值．
24.1.1圆 知能演练提升 一、能力提升 1.下列说法错误的是() A.直径是圆中最长的弦 B.长度相等的两条弧是等弧 C.面积相等的两个圆是等圆 D.半径相等的两个半圆弧是等弧 2.(2021·广西桂林中考)如图,AB是☉O的直径,点C是☉O上一点,连接AC,BC,则∠C的度数是() A.60° B.90° C.120° D.150° 3.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是() ⏜→BO的路径运动一周.设OP 4.如图,AB是半圆O的直径,点P从点O出发,沿OA→AB 为s,运动时间为t,则下列图象能大致地刻画s与t之间关系的是() 5.如图,A,B,C是☉O上的三个点,∠AOB=50°,∠B=55°,则∠A的度数为. 6.著名画家达·芬奇不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规(如图),有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计),一根没有弹性的木棒的两端A,B能
在滑槽内自由滑动,将笔插入位于木棒中点P处的小孔中,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20 cm,则画出的圆的半径为 cm. 7.如图,一根2 m长的绳子,一端拴在墙边,另一端拴着一只羊,画出羊的活动区域. 8.如图,△ABC1,△ABC2,△ABC3,……△ABC n是n个以AB为斜边的直角三角形,试判断点C1,C2,C3,…,C n是否在同一个圆上?并说明理由. 9.如图,M,N,P,Q分别是菱形ABCD各边的中点,点M,N,P,Q在同一个圆上吗?为什么? ★10.如图,点A,D,G,M在半圆O上,四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形.设 BC=a,EF=b,NH=c,则a,b,c之间有什么关系?
北师大版九年级下册数学第 12 讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理 【学习目标】 1.知识目标：理解圆的描述概念和圆的集合概念；理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、 等弧的概念；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念. 2.能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，进行计算或证明；会过不在同一直线上的三点作圆. 3.情感目标：在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会用数量关系来确定位置关系的方法，逐步学会用变化的 观点及思想去解决问题，养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 【要点梳理】 要点一、圆的定义 1.圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r 的圆是平面内到定点O 的距离等于定长r 的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.
2023中考数学 几何专题：圆（含答案） 1.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝30°，点P 在线段OB 上运动.设∠ACP ＝x ，则x 的取值范围是________. 2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF ＝2，AF ＝3，则EF 的长为________. 3.如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P .连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，PC ＝6，那么CD 的长为________. 4.如图，圆内接四边形ABCD 中的两条对角线相交于点P ，已知AB ＝BC ，CD ＝1 2BD ＝ 1.设AD ＝x ，用x 的代数式表示P A 与PC 的积：P A ·PC ＝__________. 5.如图，ADBC 是⊙O 的内接四边形，AB 为直径，BC ＝8，AC ＝6，CD 平分∠ACB ，则AD ＝( ) A ．50 B ．32 C ．5 2 D ．4 2 第4题图 第5题图 第6题图 6.如图，在△ABC 中，AD 是高，△ABC 的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：①AD 2＝BD ·CD ；②BE 2＝EG ·AE ；③AE ·AD ＝AB ·AC ；④AG ·EG ＝BG ·CG .其中正确结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7.如图，正△ABC 内接于⊙O ，P 是劣弧BC 上任意一点，P A 与BC 交于点E ，有如下结论：①P A ＝PB ＋PC ；② 111AP PB PC =+；③P A ·PE ＝PB ·PC .其中正确结论的个数是( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 8. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长AD ，BC 交于点M ，延长AB ，DC 交于点N ，∠M ＝20°，∠N ＝40°，则∠A 的大小为（ ） 第3 题图第2题图 第1 题图A A C D A B A
2022-2023学年九年级数学中考复习《圆》解答题专题提升训练（附答案） 1．已知：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：AB＝AC； （2）求证：DE为⊙O的切线； （3）若⊙O的半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长． 2．如图，AB是圆O的直径，点C、D在圆O上，且AD平分∠CAB．过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F． 求证：EF与圆O相切． 3．如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA＝∠ABC． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若∠P＝60°，PC＝2，求PE的长．
4．如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若ED＝3，EF＝5，求⊙O的半径． 5．如图，AB，AD是⊙O的弦，AO平分∠BAD．过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点C，连接CD，BO．延长BO交⊙O于点E，交AD于点F，连接AE，DE． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AE＝DE＝3，求AF的长． 6．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E． 证明：（1）BD＝DC； （2）DE是⊙O切线． 7．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD．
8．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）连接BC，若AB＝5，BC＝3，求线段AE的长． 9．已知，如图，点A，C，D在⊙O上，且满足∠C＝45°．连接OD，AD，过点A作直线AB∥OD，交CD的延长线于点B． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）如果OD＝CD＝2，求AC边的长． 10．如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D． （1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）； （2）取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A＝30°，MF＝，求⊙O的半径．
2022年全国各省市中考数学真题汇编 圆解答题专题 1.(2022·四川省德阳市)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是 点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD=2∠BAD． (1)求证：CF是⊙O的切线； (2)如果AB=10，CD=6， ①求AE的长； ②求△AEF的面积． 2.(2022·江苏省扬州市)【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平 分已知扇形的面积？ 【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分； 【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP； 【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分． (友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹)
3.(2022·浙江省湖州市)如图，已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，D是AB边上一点，以BD 为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F． (1)求证：OF=EC； (2)若∠A=30°，BD=2，求AD的长． 4.(2022·江西省)课本再现 (1)在⊙O中，∠AOB是AB⏜所对的圆心角，∠C是AB⏜所对的圆周角，我们在数学课上 探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种∠AOB； 情况证明∠C=1 2 知识应用 (2)如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C=60°，求PA 的长．
2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合题 1．如图，在⊙ O中，弦AC，BD相交于点M，且∠OAC=∠OBD． （1）求证：AC=BD； （2）若OA=4，∠OAC=30°，当AC⊥BD时，求： ①图中阴影部分面积． ②弧CD的长． 2．已知⊙O中，弦AB＝AC，⊙BAC＝120° （1）如图①，若AB＝3，求⊙O的半径． （2）如图②，点P是⊙BAC所对弧上一动点，连接PB、PA、PC，试请判断PA、PB、PC之间的数量关系并说明理由． 3．如图（1），已知矩形ABCD中，AB=6cm，BC=2√3cm，点E为对角线AC 上的动点.连接BE，过E作EB的垂线交CD于点F.
（1）探索BE与EF的数量关系，并说明理由. （2）如图（2），过F作AC垂线交AC于点G，交EB于点H，连接CH.若点E从A出发沿AC方向以2√3cm/s的速度向终点C运动，设E的运动时间为ts. ①是否存在t，使得H与B重合？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； ②t为何值时，△CFH是等腰三角形； ③当CG=GH时，求△CGH的面积. 4．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E. （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求证：⊙C＝2⊙DBE. （3）若EA＝AO＝2，求图中阴影部分的面积.（结果保留π） 5．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，⊙ABC中，点D 是BC边上一点，连结AD，若AD2=BD⋅CD，则称点D是⊙ABC中BC边上的“好点”. （1）如图2，⊙ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.
2023年春九年级数学中考复习《圆常考热点题型分类汇编》综合练习题（附答案）一．圆周角定理 1．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG＝AG，连接AC． （1）求证：AC∥DF； （2）若AB＝12，求AC和GD的长． 二．三角形的外接圆与外心 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD； （2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE ＝3，求GC和OF的长． 三．切线的性质 3．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F． （1）求证：∠ADC＝∠AOF； （2）若sin C＝，BD＝8，求EF的长．
4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：AC平分∠DAB； （2）若cos∠CAD＝，AB＝5，求CD的长． 5．如图1，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上不同于A，B的点，过点C作⊙O的切线与BA 的延长线交于点D，连结AC，BC． （1）求证：∠DCA＝∠B； （2）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，交⊙O于点F，FO的延长线交CB于点G．若⊙O的直径为4，∠D＝30°，求线段FG的长． 6．如图，BE是⊙O直径，点A是⊙O外一点，OA⊥OB，AP切⊙O于点P，连接BP交AO于点C． （1）求证：∠P AO＝2∠PBO； （2）若⊙O的半径为5，tan∠P AO＝，求BP的长．
7．如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，∠A＝2∠BDE、过点E作⊙O的切线EC，交AB的延长线于C． （1）求证：∠C＝∠ABD； （2）如果⊙O的半径为5，BF＝2，求EF的长． 8．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC、BC，过O作OF∥AC，交BC于E，交DC于F． （1）求证：∠DCB＝∠DOF； （2）若tan∠A＝，BC＝4，求OF、DF的长． 四．切线的判定 9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD＝2∠A； （2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合 1．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F﹐且∠BOD= ∠BCD，连结BD、AC、CE. （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE； （3）如果AF=1，sin∠FCA=√3 3 ，求EG的长. 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−1 2x+2 与x轴交于点A，与y轴交于点 B，抛物线y=−2 3x 2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C(5 2, 3 4) . （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO=∠BAO时，求点P的坐标； （3）点N(n,0) (0 如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，D(3,4)两点，直线AD与y 轴交于点Q．点P(m,n)是直线AD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，并且交直线AD于点E． （1）请直接写出抛物线与直线AD的函数关系表达式； （2）当CP//AD时，求出点P的坐标； （3）是否存在点P，∠CPE=∠QFE？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，在梯形ABCD中，AD⊙BC，⊙B=90°，BC=6，AD=3，⊙DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边⊙EFG，设E点移动距离为x（x＞0）． （1）⊙EFG的边长是（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在； （2）若⊙EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求y与x之间的函数关系式； （3）探究（2）中得到的函数y在x取何值时，存在最大值？并求出最大值． 5．如图，抛物线y=−3 4x 2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点 M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． 2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴解答题》专题训练（附答案）1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长； （3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长． 2．如图，AB为⊙O的直径，点D是AB下方的圆上一点，点C是优弧的中点，过点B 作⊙O的切线交AC的延长线于点E，连接OC，OD，CB，BD． （1）求证：BD∥OC； （2）若AB＝6，填空： ①当BE＝时，四边形ODBC是菱形； ②当BE＝时，S△BCE＝S△ABC． 3．在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP． （1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B． ①求∠APO′的度数． ②求AP的长． （2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长． 4．直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上，已知∠BAC＝30°，直角边AC与⊙O 相交于点D，且点D是劣弧AB的中点． （1）如图1，判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）如图2，点P是斜边AB上的一个动点（与A、B不重合），DP的延长线交⊙O于点Q，连接QA、QB． ①AD＝6，PD＝4，则AB＝；PQ＝； ②当点P在斜边AB上运动时，求证：QA+QB＝QD． 5．如图，在△ABC中，AE⊥BC且点E为BC的中点，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F． （1）求证：AE为⊙O的切线； （2）当BC＝8，AC＝12时，求圆⊙O的半径； （3）试探究线段EM、BG和BF之间的数量关系． 2023年春九年级数学中考复习《圆综合压轴解答题》专题训练（附答案） 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA 的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）求证：BD平分∠ADC； （3）若AD＝6，CD＝8，求BD的长． 2．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A、B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、点E，连接DC并延长交y轴于点F．若点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，﹣1）． （1）求证：DC＝FC； （2）判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （3）求⊙P的半径； （4）若弧BD上有一动点M，连接AM，过B点作BN⊥AM，垂足为N，连接DN，则DN的最小值是． 3．如图，在⊙O中，，BD交OC于点F，EB是⊙O的切线，交OA的延长线于点E，EF交OB于点G，连接BC． （1）求证：△OBE∽△OFB． （2）设∠CBD＝x度，∠OEB＝y度，求x，y之间的数量关系． （3）若OB＝4，且OE平行△BCF的一边时，求出所有满足条件的EF的长． （4）若OG＝BG，直接写出此时sin∠OBF的值． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，O为AB上一点，⊙O 经过点B、D，且与BC、AB交于点E、F，连接DE． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若sin A＝，AB＝10，求⊙O的半径； （3）求证：BD2＝AB•BE． 5．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交边AB于点D，AC切半圆O 于点C，点G是上不与点C、D重合的任意一点，连接BG，CD交于点E，连接CG 并延长，交AB于点H． （1）求证：＝； （2）①若AC＝4，且点G是的中点，则DE的长为； ②当四边形CODG是菱形时，则∠GBD＝． 2022-2023学年九年级数学中考复习《圆中的定值问题》解答题专题训练（附答案）1．如图△ABC． （1）用尺规作出△ABC的外接圆（不写作法，但要保留作图痕迹）． （2）如果∠C＝30°，AB＝AC＝3．直接写出△ABC外接圆的半径＝． 2．如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D，若AD＝5，DB ＝7． （1）求BC的长； （2）求圆心到BC的距离． 3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是直径，AB＝AD，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：BE＝DF； （2）若BC＝3，DC＝5，求AC的长． 4．如图，在半径为3cm的⊙O中，A、B、C三点在圆上，点P从点B开始以cm/s的速度在劣弧BC上运动，且运动时间为t（单位：s），若∠BOA＝90°，∠AOC＝120°，∠BOP＝n°． （1）∠BOC＝°，劣弧BPC的长为，劣弧BP的长为（用含t 的代数式表示）； （2）n与t之间的函数关系式为，t的取值范围为； （3）是探究当点P运动多少s时，以P，B，A三点为顶点的三角形是等腰三角形，并说明其理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（m，2m+4）（m＞﹣2），且与x轴相切于点B，y与x之间存在一种确定的函数关系，其图象是一条常见的曲线，记作曲线F． （1）如图1，①y＝时，直接写出⊙P的半径； ②当m＝﹣1，x＝﹣2时，直接写出⊙P的半径． （2）求曲线F最低点的坐标（用含有m的式子表示）； （3）如图2，若曲线F最低点总在直线y＝x+3的下方，点C（﹣2，y1），D（1，y2）都在曲线F上，试比较y1与y2的大小． 2022-2023学年九年级数学中考一轮复习《圆》考点分类练习题（附答案） 一．直线与圆的位置 1．已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定 2．已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（） A．相交B．相切C．相离D．无法判断 3．如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA 的位置关系是（） A．相离B．相交 C．相切D．以上三种情况均有可能 4．如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（） A．2周B．3周C．4周D．5周 5．如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l：y＝x只有一个公共点时，点A的坐标为（） A．（﹣12，0）B．（﹣13，0）C．（±12，0）D．（±13，0） 二．圆的切线 6．如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连接AE．对于下列结论：①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③＝；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（） A．①②B．①②③C．①④D．①②④ 7．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为（） A．35°B．45°C．55°D．65° 8．如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（） A．62°B．31°C．28°D．56° 9．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论： （1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．其中正确的个数为（） A．4个B．3个C．2个D．1个2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴解答题》专题训练(附答案)
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