专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】
二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。与面积有关的问题，更是常见。本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。
【知识点梳理】
类型一：面积等量关系
类型二：面积平分
方法一：利用割补
将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。）
方法二： 铅锤法
铅锤高水平宽⨯=2
1S
方法三 ：其他面积方法
如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．
如图2，同底三角形的面积比等于高的比． 如图3，同高三角形的面积比等于底的比．
如图1 如图2 如图3
【典例分析】
【类型一：面积等量关系】
【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．点P 在抛物线上，连接BC ，BP ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，
连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A （﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【类型二：面积平分】
【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．
（1）①求抛物线的函数表达式；
②直接写出直线AD的函数表达式；
（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；
【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．
【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．
【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；
专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】
二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。与面积有关的问题，更是常见。本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。
【知识点梳理】
类型一：面积等量关系
类型二：面积平分
方法一：利用割补
将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。）
方法二：铅锤法
铅锤高水平宽⨯=2
1S
方法三 ：其他面积方法
如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． 如图2，同底三角形的面积比等于高的比． 如图3，同高三角形的面积比等于底的比．
如图1 如图2 如图3
【典例分析】
【类型一：面积等量关系】
【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．点P 在抛物线上，连接BC ，BP ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE ，记△DCE 的面积为S 1，△DBP 的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；
【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），
设点P（m，m2﹣3m﹣4），
则，，
∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，
∴S△BCE＝S△BPE，
∴，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
∴P（3，﹣4）；
方法二：∵S1＝S2，
∴S△PBE＝S△CBE，
∴PC∥x轴，
∴点P与C关于对称轴x＝对称，
∴P（3，﹣4）；
【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A （﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点
F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：
解得：；
（2）由（1）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AB的解析式为：y＝2x+4，
设直线DE的解析式为：y＝mx，
∴2x+4＝mx，
∴x＝，
当x＝3时，y＝3m，
∴E（3，3m），
∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，
∴•3•（﹣3m）＝•4•，
∴9m2﹣18m﹣16＝0，
∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，
∴m1＝﹣，m2＝（舍），
∴直线DE的解析式为：y＝﹣x；
【类型二：面积平分】
【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，
0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；
②直接写出直线AD的函数表达式；
（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；
【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；
②由①得y＝x2﹣x﹣3，
当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；
（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN
⊥x轴于点N，如图1，
∵S1＝2S2，即＝2，
∴＝2，
∴＝，
∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，
∴EM∥FN，
∴△BFN∽△BEM，
∴＝＝＝，
∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，
∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），
∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，
∴F（2+t，t2﹣t﹣2），
∵点F在直线AD上，
∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，
解得：t1＝0，t2＝2，
∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；
【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．
设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+2．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2
∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，
∴，
∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．
此时y D＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，
即点D的坐标为（﹣2，2）；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（y C﹣y P）：AE×（y C﹣y P）＝BE：AE，
则BE：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
联立方程组或，
解得：x＝6或﹣，
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 ；x＝1（2）P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）
【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①，
函数的对称轴为：x＝1；
（2）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（y C﹣y P）：AE×（y C﹣y P）＝BE：AE，
则BE：AE＝3：5或5：3，
则AE＝或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝kx+3，
解得：k＝﹣6或﹣2，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②
联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．
【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；
【答案】（1）y＝﹣x2+5x+6 （2）P（，）
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+5x+6过点C，
∴C（0，6），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，
设P（m，﹣m2+5m+6），则D（m，﹣m+6），∴PE＝﹣m2+5m+6，DE＝﹣m+6，
∵△PBD与△BDE的面积之比为1：2，
∴PD：DE＝1：2，
∴PE：DE＝3：2，
∴3（﹣m+6）＝2（﹣m2+5m+6），
解得，m2＝6（舍去），
∴P（，）；
专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】 二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。与面积有关的问题，更是常见。本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。 【知识点梳理】 类型一：面积等量关系 类型二：面积平分 方法一：利用割补 将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。）
方法二： 铅锤法 铅锤高水平宽⨯=2 1S 方法三 ：其他面积方法 如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． 如图2，同底三角形的面积比等于高的比． 如图3，同高三角形的面积比等于底的比． 如图1 如图2 如图3 【典例分析】 【类型一：面积等量关系】 【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．点P 在抛物线上，连接BC ，BP ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，
连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标； 【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A （﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C． （1）求a，c的值； （2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式； （3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
专题010 二次函数背景下的面积比例问题 【典型例题】 如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2））点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．
【模型解读】 除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类． 大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化． 策略一：运用比例计算类 策略二：转化面积比 如图，B 、D 、C 三点共线，考虑△ABD 和△ACD 面积之比． 转化为底： 共高，面积之比化为底边之比：则::ABD ACD S S BD CD =． 更一般地，对于共边的两三角形△ABD 和△ACD ，连接BC ，与AD 交于点E ，则 :::ABD ACD S S BM CN BE CE ==． 策略三：进阶版转化 在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A ”字型线段比、“8”字型线段比． “A ”字型线段比：:::ABD ACD S S BD CD BA AM ==． C B A H A B C M N E D C B A
“8”字型线段比：:::ABD ACD S S BD CD AB CM ==． 转化为垂线： 共底，面积之比化为高之比：:::ABD ACD S S BD CD BM CN ==． 面积能算那就算，算不出来就转换； 底边不行就作高，还有垂线和平行． M D C B A M D C B A M N A B C D
For personal use only in study and research; not for c o m m e r c i a l u s e 之樊仲川亿创作 创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日 二次函数最值问题 例1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长 度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积S(单位：cm 2 )随x(单位：cm)的变更而变更． (1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，这个三角形面积S 最大?最大面积是多少? 解：（1）x 02x 212+-=S （2）∵a=21 -<0 ∴S 有最大值 ∴022 120 2a 2b x =-⨯-=-=） （ ∴ S 的最大值为2002002202 1 2=⨯+⨯-=S ∴当x 为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是200cm 2 。 2.如图，矩形ABCD 的两边长AB =18cm ，AD =4cm ，点P 、Q 分别从 A 、 B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒 2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 2 ）.
（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）求△PBQ 的面积的最大值. 解：（1）∵S △PBQ =2 1PB ·BQ, PB=AB －AP=18－2x ，BQ=x ， ∴y=2 1（18－2x ）x ，即y=－x 2 +9x （0 二次函数中的面积问题 二次函数中的面积问题是中考的热点，面积问题如果是规则图形可以用常见的面积公式解决问题的就直接用面积公式，如果不能直接用面积公式在坐标系中处理面积问题，通常有以下三种思路：第一是割补法：分割求和、补形作差，其中用的最多的是铅垂线法；第二是同底等高利用平行线转化求面积；第三如果遇到的是面积比可以考虑用相似的性质得到线段比去解决相关问题。 【引例1】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积． 【铅垂法】 ()1111 2222 ABC ACD BCD C D B A S S S CD AE CD BF CD AE BF y y x x =+=⋅+⋅=+=-⋅- 【方法梳理】 （1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽； （2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D 坐标求得铅垂高； （5）12 S =⨯水平宽铅垂高． 二、转化法——借助平行线转化： 若S △ABP =S △ABQ ， 若S △ABP =S △ABQ ， 当P ，Q 在AB 同侧时，PQ △AB ． 当P ,Q 在AB 异侧时，AB 平分PQ P A B Q Q B A P D E F O y x C B A 铅垂高水平宽 D A B C x y O E 三、面积比类型 例1.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2﹣6x +5经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ．若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△ABM 的面积等于△ABC 面积的，求此时点M 的坐标； 例2.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ． （1）过点P 作PH△x 轴交BC 边于点H ，求PH 的最大值； （2）求△PBC 面积的最大值（可以用铅垂线法和平行线法）； P y x O C B A 第 1 页 二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题 知识要点： 在生活理论中，人们经常面对带有“最〞字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用根本不等式或不等分析法求最值． [例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度挪动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度挪动，假如P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停顿挪动． 〔1〕运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？ 〔2〕此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 〔3〕t 为何值时s 最小，最小值时多少？ 答案： [例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门〔木质〕．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？ 解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米 那么长为：x x 4342432-=+-(米) 那么：)434(x x S -= ∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2 176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604 289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大． [例3]：边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE 〔如图〕，其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积． 解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ， 那么矩形PNDM 的面积S=xy 〔2≤x≤4〕 易知CN=4-x ，EM=4-y ． 过点B 作BH ⊥PN 于点H 那么有△AFB ∽△BHP 中考数学专题复习：二次函数综合题（面积问题） 1．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与二次函数y ＝ax 2的图象交于点A （1，m ）和B （﹣2，4），与y 轴交于点C ． (1)求k ，b ，a 的值； (2)求△AOB 的面积． 2． 如图，已知二次函数21 2 y x bx c =-++的图象经过点A (2，0)，B (0，-6)两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，﹣4）、B （2，0），交反比例函数y 6 x = （x ＞0）的图象于点C ，点P 在反比例函数的图象上，横坐标为n （0＜n ＜3），PQ y ∥轴交直线AB 于点Q ，D 是y 轴上任意一点，连接PD 、QD ． (1)求一次函数的表达式和C点坐标； (2)求△DPQ面积的最大值． 4．如图，抛物线2 y x bx c =-++交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线 1 2 2 y x =-+ 经过点B，C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m． △求△PBC面积最大值和此时m的值； △Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标． 5．图1，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ． (1)求点A ，B ，C 的坐标． (2)P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)设M 为该抛物线的顶点，D 为抛物线的对称轴与x 轴的交点，如图2所示，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()1,0A -，()5,0B ，交y 轴于点C ． (1)求这个二次函数的表达式； (2) 如图1，点M 从点B 出发，BC 向点C 运动，点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动，点M ，N 同时出发．设运动时间为t 秒（05t <<）．当t 为何值时，BMN △的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知P 是抛物线上一点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 坐标；若不存在，请说明理由． 2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问 题） 1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点． (1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积； (3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线21 2y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶 点为C ． (1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由． (3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标． 4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ． (1)求抛物线和直线BC 的解析式； (2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ． 2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合题（面积问题）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣6，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点P，使△P AB的面积与△ABC的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点Q，使△CMQ是以MC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． AC=cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/s，同时，2．如图，Rt△ABC的两条直角边4 AB=cm，3 点E沿BC从B向C运动，速度为2 cm/s．动点E到达点C时运动终止．连结DE、CD、AE，设运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，△BDE与△ABC相似? (2)设△ADE的面积为S，求S与t的函数解析式； ⊥?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中是否存在某一时刻t，使CD DE 3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，△ABC的面积为10．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ∥BC交边AC于点Q，以PQ为边向下作正方形PQMN．设点P的运动时间为t秒． (1)边AC的长为____． (2)当点N落在边BC上时，求正方形PQMN的面积． (3)设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (4)点D为边BC的中点，连结PD．若直线PD将正方形PQMN分成两部分图形的面积比为1：2时，直接写出t的值． 4．如图，抛物线2 y ax bx c =++与x轴交于点A（-2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4） (1)求抛物线的解析式． (2)点D在抛物线的对称轴上，求AD+CD的最小值． (3)点P是直线BC上方的点，连接CP，BP，若△BCP的面积等于3，求点P的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A在 点B的左侧)，且A(﹣2，0)，直线BC的解析式为y 1 2 x =-+3． 2023年九年级中考数学专题： 二次函数综合题（面积问题） 1．如图，过1,0A 、()3,0B 作x 轴的垂线，分别交直线y ＝4－x 于C 、D 两点．抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点． (1)求抛物线的表达式； (2)点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以 A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由； (3)若△AOC 沿CD 方向平移（点C 在线段CD 上，且不与点D 重合），在平移的过程中△AOC 与△OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值． 2．综合与探究 如图，已知抛物线()220y ax x c a =++≠与x 轴负半轴交于点()1,0A -，与y 轴交于点()0,3C ，抛物线的 顶点为D ，直线y ＝x ＋b 与抛物线交于A ，F 两点，过点D 作DE △y 轴交直线AF 于点E ． (1)求抛物线和直线AF 的解析式； (2)在直线AF 上方的抛物线上有一点P ，使3PAE PDE S S =△△，求点P 的坐标； (3)若点M 为抛物线上一动点，试探究在直线AF 上是否存在一点N ，使得以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴相交于点(1,0),(3,0)A B -，与y 轴交于点C ，连接BC ． (1)求抛物线的解析式； (2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M ，使27MBC S =若存在，求出点M 坐标；若不存在，请说明理 由． (3)连接AC ，在抛物线上是否存在一点P ，使得ACP OCB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线的顶点坐标为A （1，4），抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C ，D 两点．点P 是抛物线上的一个动点． (1)求此抛物线的表达式． (2)求C ，D 两点坐标及△BCD 的面积． (3)若点P 在x 轴下方的抛物线上．满足13PCD BCD S S =，求点P 的坐标． 5．如图，抛物线23 4y x bx c =-++与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，点(,0)M m 为线段OA 上一动 2023年九年级中考数学专题：二次函数综合压轴题（面积问 题） 1．已知抛物线2 7 3 2 y ax x =++的对称轴是直线3 x=，与x轴相交于A，B两点（点B 在点A右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标； (2)如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点M是抛物线上任意一点；过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当3 MN=时，求点M的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴为x=2，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C，D两点之间的距离是__________； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求△BCE面积的最大值； (4)平面内存在点Q，使以点B、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 3．综合与探究： 如图，抛物线y＝ax²＋bx＋3与x轴交于A，B（3，0）两点（点A在点B的左侧），与 y轴交于点C，且OA＝1 3 OB，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（0 2023年九年级中考数学复习：二次函数综合题（面积问题）专题训练 1．如图，已知抛物线的顶点M （0，4），与x 轴交于A （－2，0）、B 两点， (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点C （0，2），P 为抛物线上一点，过点P 作PQ ∥y 轴交直线BC 于Q （P 在Q 上方），再过点P 作PR ∥x 轴交直线BC 于点R ，若△PQR 的面积为2，求P 点坐标； (3)如图2，在抛物线上是否存在一点D ，使∠MAD ＝45°，若存在，求出D 点坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线顶点P (1，4)，与y 轴交于点C (0，3)，与x 轴交于点A ，B ． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与直线y =x +m 只有一个交点，求m 的值； (3)Q 是抛物线上除点P 外一点，△BCQ 与△BCP 的面积相等，求点Q 的坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，1,0A ，()0,2B ，以AB 为边向右作等腰直角ABC ， 90BAC ∠=︒，AB AC =，二次函数2122 y x bx =+-的图象经过点C ． (1)求二次函数的解析式； (2)平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l ，若直线l 恰好将ABC 的面积分为1：2两部分，请求出直线l 平移的最远距离； (3)将ABC 以AC 所在直线为对称轴翻折，得到AB C '，那么在二次函数图象上是否存在点P ，使PB C '是以B C '为直角边的直角三角形？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知抛物线2y ax bx c =++经过点()10A -， ，且经过直线=3y x -与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C ． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点P 的坐标及∠ABP 的面积； (3)在平面内是否存在点D ，使A 、B 、C 、D 四点组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点D 坐标，若不存在，请说明理由． 5．二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于()2,0A ，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为E ． 学生/课程年级 日期学科 时段 课型 数学 授课教师 核心内容二次函数中求面积最值，图形平移或折叠面积问题 1.会利用函数的图象性质来研究几何图形的面积最值问题； 教学目标重、难点2.掌握几种求图形面积的常见解题方法与技巧，如：割补法、平行等积变换法等。 3.掌握图形平移或折叠变换过程中找等量关系列函数解析式求图形面积问题的一般方法．割补法求三角形面积，动态问题一般解题思路。 了解学生的学习情况 S△ = a h 或S△ = a d (d表示已知点到直线的距离) 以动点作垂直(平行)x轴的直线，即铅垂高，再分别过点A,C作PF的高，即和为水平宽。 S△ = ×水平宽×铅垂高 如下图： ①等底等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． 如图，AD∥BC中，AC与BD交点O，则S△ABC = S△DBC，S△AOB = S△COD 2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx －8mx＋4m＋2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x ， 1 0），C（x ，0），且x －x ＝4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线，直线AD 2 2 1 的交点分别为P，Q． （1）求抛物线的解析式； （2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值． 图形面积的求法常见有三种，分别是： (1)_______________________________ (2)_______________________________ (3)_______________________________ [学有所获答案] (1) 直接公式求法 割补法 平行线等积变换法 (2) (3) 2 如图，已知抛物线y ＝x ＋bx ＋c 与 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ，点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点（点P 在第三象限） （1）求抛物线的函数表达式和直线BC 的函数表达式； （2）当△CDE 是直角三角形，且∠CDE ＝90°时，求出点P 的坐标； （3）当△PBC 的面积为 时，求点E 的坐标． 2 如图，已知抛物线y ＝ x ＋ax ＋4a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴负半轴交于点C 且OB ＝OC ，点P 为抛物线上的一个动点，且 点P 位于x 轴下方，点P 与点C 不重合． （1）求该抛物线的解析式； （2）若△PAC 的面积为 ，求点P 的坐标； （3）若以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形面积记作S ，则S 取何值时，对应的点P 有且只有2个? 2020中考数学 压轴专题 二次函数中的图形面积问题（含答案） 1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝x 2＋Bx ＋C 经过A (0，3)，B (1，0)两点，顶点为 M . (1)求B 、C 的值； (2)将△OAB 绕点B 顺时针旋转90°后，点A 落到点C 的位置，该抛物线沿y 轴上下平移后经过点C ，求平移后所得抛物线的表达式； (3)设(2)中平移所得的抛物线与y 轴的交点为A 1，顶点为M 1，若点P 在平移后的抛物线上，且满足△PMM 1 的面积是△P AA 1面积的3倍，求点P 的坐标． 第1题图 解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋Bx ＋C 经过A (0，3)，B (1，0)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝31＋b ＋c ＝0，解得⎩ ⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3； (2)由(1)知，抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3. ∵A (0，3)，B (1，0) ∴OA ＝3，OB ＝1， ∴C 点坐标为(4，1)， 当x ＝4时，由y ＝x 2－4x ＋3得y ＝3， 则抛物线y ＝x 2－4x ＋3经过点(4，3)， ∴将原抛物线沿y 轴向下平移2个单位后过点C ， ∴平移后的抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋1； (3)∵点P 在y ＝x 2－4x ＋1上，可设P 点的坐标为(x 0，x 20－4x 0＋1)， 将y ＝x 2－4x ＋1配方得y ＝(x －2)2－3， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∵S △PMM 1＝1 2 |x 0－2|·MM 1， S △P AA 1＝1 2 |x 0|·AA 1， S △PMM 1＝3S △P AA 1，MM 1＝AA 1＝2， ∴x 0<2，|x 0－2|＝3|x 0|. 分情况讨论： ①当0 专题：二次函数中的面积问题 1.如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的函数表达式为y ＝－421x 2＋16 21x ＋4， 抛物线W 与x 轴交与A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，与y 轴相交于点C ，它的对称轴与x 轴交于点D ，直线l 经过C ，D 两点． (1)求A ，B 两点的坐标及直线l 的函数表达式； (2)将抛物线W 沿x 轴向右平移得到抛物线W ′，设抛物线W ′的对称轴与直线l 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求点F 的坐标，并直接写出抛物线W ′的函数表达式． (3)如图②，连接AC ，CB ，将△ACD 沿x 轴向右平移m 个单位(0＜m ≤5)，得到△A ′C ′D ′.设A ′C ′交直线l 与点M ，C ′D ′交CB 于点N ，连接CC ′、MN .求四边形CMNC ′的面积(用含m 的代数式表示) 2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3(a ≠0)与x 轴交于点A (－2，0)、B (4，0)两点，与y 轴交于点C . (1)求抛物线的表达式； (2)点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求△PBQ 的面积关于运动时间t 的函数表达式； (3)当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点K ，使S △CBK ＝5 2S △PBQ ， 若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明理由． 3. 如图①，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点C ，点B 在x 轴的正半轴上，且AB ＝4，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A 、B 、C . (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，点D 为抛物线的顶点，DE 是抛物线的对称轴，点E 在x 轴上，在抛物线上存在点Q ，使得△QAE 的面积与△CBE 的面积相等，请直接写出点Q 的坐标； （3) 如图③，若点R 是抛物线上的一点，且位于对称轴的左侧，是否存在点R ，使S △RBC ＝ 2 9 .若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由； （4) 如图④，在直线AC 的上方的抛物线上，是否存在一点M ，使四边形MABC 的面积最大．若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由； 中考复习二次函数压轴题——与面积相关的问题（含 答案分析） 一、典型例题剖析 例 1．（ 2019·辽宁初三月考）如图，抛物线y＝ x2﹣ mx﹣（ m+1）与 x 轴负半轴交于点A（ x1，0），与 x 轴正半轴交 于点 B（ x22＝ 13． ， 0）（ OA＜ OB），与 y 轴交于点 C，且知足 x+x﹣ x x 21212 （ 1）求抛物线的分析式； （ 2）以点B为直角极点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若 EC＝ ED，求点 E 的坐标；（ 3）在抛物线上能否存在点Q，使得 S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明原因． 【分析】 此题是二次函数综合题，此中波及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的分析式，直角三角形的性质，全 等三角形的判断与性质，二次函数图象上点的坐标特点，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求 直线的分析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形联合与方程思想是解题的重点． 【剖析】 （ 1）由根与系数的关系可得x1+x2＝ m，x1?x2＝﹣（ m+1），代入 x12+x22﹣ x1x2＝13，求出 m1＝2，m2＝﹣5．依据OA＜ OB，得出抛物线的对称轴在y 轴右边，那么m＝2，即可确立抛物线的分析式； （ 2）连结BE、OE．依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1 CD＝ CE．利用 SSS证明△ OBE≌△ OCE， 2 得出∠ BOE＝∠ COE，即点 E 在第四象限的角均分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m 的值， 即可获得 E 点坐标； （ 3）过点Q作AC的平行线交x 轴于点 F，连结 CF，依据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得 2019-2020全国各地中考数学压轴大题函数综合 二次函数面积相关综合问题 1.（2019•黄石）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标； （2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积； （3）定点D（0，m）在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d（用含m的代数式表示） 解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x﹣， 点M坐标为（2，﹣3）； （2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9）， S四边形AMBC＝AB（y C﹣y D）＝×6×（9+3）＝36； （3）y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）2﹣3， 抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线， 则新抛物线表达式为：y＝x2， 则定点D与动点P之间距离PD＝＝， ∵，PD有最小值，当x2＝3m﹣时， PD最小值d＝＝． 2.（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2 （1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？ （2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ． ①若AP＝AQ，求点P的横坐标； ②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标． （3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系． 解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2； （2）y＝（x﹣1）2﹣4与x轴正半轴的交点A（3，0）， ∵直线y＝﹣x+b经过点A， ∴b＝4， ∴y＝﹣x+4， y＝﹣x+4与y＝（x﹣1）2﹣4的交点为﹣x+4＝（x﹣1）2﹣4的解， ∴x＝3或x＝﹣， ∴B（﹣，）， 设P（t，﹣t+4），且﹣＜t＜3， ∵PQ∥y轴， 专题26 二次函数与三角形面积问题 1． （2021—2022广东珠海市九年级期中）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过A (4，0)、B (﹣1，0)、C (0，4)三点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，点D 是直线AC 上方的抛物线的一点，DN ⊥AC 于点D ，DM //y 轴交AC 于点M ，求DMN 周长的最大值及此时点D 的坐标； （3）如图2，点P 为抛物线第一象限上的点，连接OP 与直线AC 相交于点Q ，若:COQ AOQ S S △△＝3：5，求点P 的坐标． 【答案】（1）234y x x =-++；（2）DMN 周长的最大值为，(2,6)D ；（3 ）P ⎝⎭ 【分析】 将(4,0)A 、(1,0)B -、(0,4)C 代入2y ax bx c =++中，建立方程组求解即可； （2）延长DM 交x 轴于点H ，通过分析证明DMN 是等腰直角三角形， 得到1)DMN C DM =△，用待定系数法求得直线AC 的解析式，设2(,34)D m m m -++，点4(),M m m -+，求得DM 的表达式，配方求得DM 最大值，分析得到周长的最大值和点D 的坐标； （3）过点Q 作QE x ⊥轴于点E ，由面积比求得35 CQ AQ =，由平行线段分线段成比例得到35 OE CQ AE AQ ==，从而知道点Q 的横坐标，代入直线AC 求得纵坐标，用待定系数法求得直线OQ 的解析式，与抛物线建立方程组即可求得点P 的坐标． 【详解】 解：（1）∵抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A (4，0)、B (﹣1，0)、C (0，4)三点 ∴将(4,0)A 、(1,0)B -、(0,4)C 代入2y ax bx c =++中得：16400 4a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩最全二次函数中的面积问题(中考数学必考题型)
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