专题24圆锥曲线证明(解析版)

专题24圆锥曲线证明(解析版)

易错点1：忽视定义中的隐含条件致误； 易错点2：忽视直线存在性的检验致误； 易错点3．忽视斜率不存在致误； 易错点2．忽视截距为0致误； 易错点4：忽视曲线的范围致误；

易错点5：缺乏对圆锥曲线定义的深刻理解致误.

题组一：两直线的斜率关系

1.(2015年新课标2卷)已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M,证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

【解析】设直线:(0,0),l y kx b k b =+≠≠1122(,),(,),(,)M M A x y B x y M x y

将y kx b =+代入222

9x y m +=得2

2

2

2

(9)20k x kbx b m +++-=,

故12229,299

M M M x x kb b

x y kx b k k +-=

==+=++ 于是直线OM 的斜率9

M OM M y k x k

=

=-,即9OM k k =-g 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.

2.(2016年新课标3卷)已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点,若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ.

【解析】由题设)0,2

1(F .设b y l a y l ==:,:21,则0≠ab ,且

)2

,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ,则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .由于F 在线段AB 上,故

01=+ab .

记AR 的斜率为1k ,FQ 的斜率为2k ,则

22

2111k b a

ab

a a

b a b a a b a k =-=-==--=+-=

.所以FQ AR ∥.

3．已知o 为坐标原点,抛物线2y x =-与直线(1)y k x =+相交于A,B 两点．求证：OA ⊥OB. 【解析】

2220,14(1)y x x ky y k k y k x ì=-?+-=D=+í=+??由消去得>0

112212

122222112212121212121212(,),(,),1

1,=1

1

OA OB A x y B x y y y y y k

y x y x y y x x y y y y k k x x x x y y OA OB

?-+=-=-=-鬃??==-^设由根与系数的关系得又，，所以又所以

4．双曲线2

2

:13

y C x -=,过原点的直线l 交双曲线于A ,B ,P 为双曲线上异于A ,B 的一点,且直线PA ,PB 的斜率为PA k ,PB k ,证明：PA PB k k ?为定值.

【解析】证：00,),(,),,)A x y B x y P x y --不妨设（

则设（

000

000,,PA PB y y y y y y k k x x x x x x ---+\=

==---+

()()

2222000

02222

00

00

33333PA PB

x x y y y y y y k k x x x x x x x x ----+-\??

==-+-- 3PA PB k k 为定值∴?.

推广：双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>,过原点的直线l 交双曲线于A ,B ,P 为双曲线上

异于A ,B 的一点,且直线PA ,PB 的斜率为PA k ,PB k ,则22PA PB b k k a

?=

5.已知抛物线E ：2

x y =的焦点为F,过点F 的直线l 的斜率为k,与抛物线E 交于A,B 两点,抛物线在点A,B 处的切线分别为21,l l ,两条切线的交点为D,证明：0

90∠=ADB 【解析】由题意,10,,4F ?? ???

直线l 的方程为14

y kx =+

, 联立214

y x y kx ?=??=+??,得22

4410,16160x kx k --=?=+>

设()()112212121

,,,,,,4

A x y

B x y x x k x x 则+==-

2/121122121212

,2,2,2,41,90

y x y x

l l k x k x k k x x l l ABD Q 直线的斜率分别为=∴=∴==∴==-∴⊥∴∠=

推广：已知抛物线E ：px y 22

=的焦点为F,过点F 的直线l 与抛物线E 交于A,B 两点,抛物线在点A,B 处的切线分别为21,l l ,则21l l ⊥.

题组二：点与圆的位置关系

6.(2017年新课标3卷)已知抛物线C ：y 2=2x ,过点(2,0)的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上.

【解析】设()A x ,y 11,()B x ,y 22,l ：2x ym =+

由2

2

2x my y x

=+??

=?可得y my --=2

240,则y y =-124

又y x 211=2,y x 222=2,故()y y x x 2

1212=4

=4

因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为

y y x x ?1212-4

==-14

,所以OA OB ⊥． 故坐标原点O 在圆M 上．

推广：过抛物线)0(22

>=p px y 焦点的直线交抛物线于A ,B 两点,以AB 为径的圆与准线

MN 相切,切点为MN 中点Q ,BQ AQ ,分别是抛物线的切线,并且分别是NBA MAB ∠∠,的角平分线.

7.设抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ,经过x 轴正半轴上点(2,0)M 的直线l 交Γ于不同的两点A 和B .求证：原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部. 【解析】()()1122,,,,2,A x y B x y AB x my 设直线的方程是：=+

联立242

y x x my ?=?=+?,得22

480,16320y my k --=?=+>

12124,8,y y m y y 由韦达定理得+==-

2222121212121212==4-8<04416

y y y y OA OB x x y y y y y y u u u r u u u r ?=+=?++

故AOB ∠恒为钝角,所以原点O 在以线段AB 为直径的圆的内部.

题组三：两参数的相关关系

8.(2018年新课标3卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C: x 24＋y 2

3

＝1交于A,B 两点．线段AB

的中点为M(1,m)(m>0),证明：k<- 1

2

.

【解析】设()A x ,y 11,()B x ,y 22,则2211143x y +=,22

22143

x y +=． 两式相减,并由1212y y k x x -=

-得()()

1212

121234x x y y k x x y y +-==--+ 由题设知

12121,22

x x y y m ++==,于是12123

4y y k x x m -==--．

由题设得0

2．

9.直线(,)y kx m k m =+∈R 与双曲线2

2

13

y x -=相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,且

OA OB ⊥u u u r u u u r

,求k 与m 满足的关系.

【解析】设()A x ,y 11,()B x ,y 22,l ：AB y kx m 直线：=+

由y kx m y x 22

13=+???-=??

可得()

k x kmx m 2223230----=,由题意k 230-≠ km m x x ,x x k k 2121222

2333--+==--,

又OA OB u u u

r u u u r ⊥, 故()()(

)()x x y y x x kx m kx m k

x x

km x x m 2

21212121212

12+=10+++=++++=

(m k ,k m m k k 2

2

2

2

化简得：

233所以与满足的关系是233-=-=≠

题组四：直线过定点

10.(2019年新课标3卷)已知曲线,为直线上的动点,过作的两条切线,

切点分别为,,证明：直线过定点.

2:2x C y =D 1

2y =-D C A B AB

【解析】设()111,,,2D t A x y ??-

???

,则2112x y =．

由于y'x =,所以切线DA 的斜率为1x ,故1111

2y x x t

+

=- ． 整理得112 2 +1=0. tx y -

设()22,B x y ,同理可得222 2 +1=0tx y -．

故直线AB 的方程为2210tx y -+=．所以直线AB 过定点1(0,)2

．

11.已知抛物线2:2C x y =和直线:2l y x =-,过直线l 上任意一点P 作抛物线的两条切线,切点分别为,A B ,判断直线AB 是否过定点？若过定点,求出定点坐标；若不过定点,说明理由.

【解析】112200,),(,),,)A x y B x y P x y 设（

（,由22x y =两边同时对x 求导,/

2y x = 则在点A 处得切线方程为()11111,y x x x y x x y =-+=- 又该切线方程经过点P,则0101y x x y =-

同理有0202y x x y =-,故1122,),(,)A

x y B x y （均在直线00y x x y =-上, 又002y x =-,则直线AB 的方程为0020x x y x --+= 整理得()0120x x y --+=,恒过定点(1,2)

求过抛物线上一点的切线方程：

过抛物线2

2y px =上一点00,)M

x y （的切线方程为()00p x y x y =+ 过抛物线2

2y px =-上一点00,)M

x y （的切线方程为()00p y x y x =-+ 过抛物线2

2x py =上一点00,)M

x y （的切线方程为()00p y x y x =+

过抛物线2

2x py =-上一点00,)M

x y （的切线方程为()00p x y x y =-+ 12．(2017新课标Ⅰ)已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>,四点1(1,1)P ,2(0,1)P ,

3(P =-

,4P =中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；

(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ,B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为

1-,证明：l 过定点．

【解析】(1)由于3P ,4P 两点关于y 轴对称,故由题设知C 经过3P ,4P 两点．

又由

22221113

4a b a b

+>+知,C 不经过点1P ,所以点2P 在C 上． 因此2

221

1131

4b a

b ?=????+=??,解得2241a b ?=??=??．故C 的方程为2214x y +=．

(2)设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为1k ,2k ,

如果l 与x 轴垂直,设l ：x t =,由题设知0t ≠,且||2t <,可得A ,B 的坐标分别为 (t

t

,)．

则121k k +==-,得2t =,不符合题设．

从而可设l ：y kx m =+(1m ≠)．将y kx m =+代入2

214x y +=得

222(41)8440k x kmx m +++-= 由题设可知22=16(41)0k m ?-+>．

设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则122841

km

x x k +=-+,21224441m x x k -=+．

而121212

11y y k k x x --+=+

121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()

kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-,故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=．

即222448(21)(1)04141m km k m k k --+?+-?=++．解得1

2

m k +=-

． 当且仅当1m >-时,0?>,欲使l ：12m y x m +=-+,即1

1(2)2m y x ++=--,

所以l 过定点(2,1-) 题组五：可能出现的题型

13．已知椭圆22

:143

x y C +=的左,右焦点为12,F F ,点P （m,n ）在椭圆C 上,设点P 到直线:4l x =的距离为d,证明：

2

d

PF 为定值； 【解析】由点P （m,n ）在椭圆C 上,得222

21,43314m n m n 即??=-= ?

+??,

又

21

42PF m ====- 所以2

42142

m d

PF m -==-

椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率,

a

c

e =

)的点的集合(定点F 不在定直线上,该常数为小于1的正数) 双曲线第二定义：平面内,到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 14.已知

()1,2B 是抛物线()2:20M y px p =>上一点,F 为M 的焦点．若1,2A a ??

???

,

5,3C b ??

???

是M 上的两点,证明：FA ,FB ,FC 依次成等比数列． 【解析】由()1,2B 是抛物线()2

:20M y px p =>上,2

424p p y x ，=2,即∴==,

根据题意可得：13581,112,12233

FA FB FC =

+==+==+=

238

2,,,23FA FB FC Q 依次成等比数列.=?∴

抛物线的焦半径公式：

过抛物线)0(22

>=p px y 焦点的直线交抛物线于A ,B 两 点,直

线AB 的倾斜角为θ,1122,),(,),A x y B x y 设（ BF AF λ=,则有1

1

cos +-=

λλθ, 112p p AF x cos q =

=+-,212

p p

BF x cos q ==++

15.已知椭圆22

162

x y +=,椭圆的左焦点为F,过点M （-3，0）任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆交于不同的两点A,B,点A 关于x 轴的对称点为C,求证：C,F,B 三点共线. 【解析】设直线l 的方程为()

3y k x =+,

联立()22

1,623x y y k x ?+

=??

?=+?

得()

222213182760,k x k x k +++-= 由直线l 与椭圆交于A,B 两点,可知

()()()2

22222

184132760,3k k k k 得?=-+-><

,

设()A x ,y 11,()B x ,y 22 则()()k k x x ,x x ,y k x ,y k x ,k k 221212112222

18276

331313--+===+=+++,

()()()()1111222,0,,2,,2,,F C x y FC x y FB x y u u u r u u u r

Q --∴=+-=+

()()()()()1221121222222222

2225125412901236541290120131313x y x y k x x x x k k k k k k k k k k 又+-+-=+++????

??--++??--??=++==??+++??

,,,FC FB C F B u u u r u u u r

P 即三点共线.∴

16.已知抛物线C ：y x 82

=,直线)0(01:≠=--+k k ky x l ,证明：直线l 与抛物线C 恒有两个交点.

【解析】联立28,10

x y

x ky k ?=?

+--=?得28880,kx x k +--= ()()2

221848832326432()5602

k k k k k ?=---=++=++>

所以程2

8880,kx x k +--=有两个不同的根, 即直线l 与抛物线C 恒有两个交点.

圆锥曲线高考专题

圆锥曲线综合训练 1.（17课标1）已知F 为抛物线C ：2 4y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则+||||AB DE 的最小值为（ ） A.16 B.14 C.12 D.10 2.（17课标3）已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线 段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ） A B C D ． 13 3.（17课标2）若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线被圆()2 224x y -+=所 截得的弦长为2，则C 的离心率为 ( ) A.2 4.（16）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2 2(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ） A 3B 23C 2 D1 5.（16XX ）已知双曲线2 224=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ） A 22443=1y x - B 223 44=1y x -C 2224=1x y b -D 2 224=11x y - 6.（16全国I ）已知方程x 2m 2+n –y 2 3m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则

n 的取值围是（ ） A(–1,3) B(–1,3) C(0,3) D(0,3) 7.（16全国I ）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=，|DE|=C 的焦点到准线的距离为（ ） A2 B4 C6 D8 8.（16全国II ）圆已知12,F F 是双曲线22 22:1x y E a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与 x 轴垂直，211 sin 3 MF F ∠=,则E 的离心率为（ ） 3 2 9.（16全国III ）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A 13B 12C 23D 3 4 10.（16） 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n –y 2 =1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2 分别为C 1，C 2的离心率，则（ ） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m 1 D ．m

圆锥曲线的定义性质与结论(解析版)

圆锥曲线的基本定义性质与结论 考点一 圆锥曲线的定义 (一) 椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2.椭圆的标准方程： ①x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21 c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． ② y 2a 2+ x 2b 2 =1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． 3.椭圆的几何性质（用标准方程x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)研究）： 1）范围：?a ≤x ≤a ，?b ≤y ≤b ； 2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； 3）椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的2121,,,B B A A ； 4）长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的A 1A 2；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段B 1B 2． 5）椭圆的离心率：e =c a ，焦距与长轴长之比，0>=-b a b y a x ，焦点坐标为()()0,0,21c F c F ，-，c 2=a 2+b 2； ②)0,0(122 22>>=-b a b x a y ，焦点坐标为()()c F c F ,0,021，-，c 2=a 2+b 2； 3.双曲线的几何性质 1）范围：x ≥a 或x ≤?a ；如图． 2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心．

直线与圆锥曲线(面积问题)2

直线与圆锥曲线（面积问题） 1．如图所示，、分别为椭圆的左、右焦点，为两个顶点， 已知椭圆上的点到、两点的距离之和为4. （Ⅰ）求椭圆的方程和焦点坐标； （Ⅱ）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于、两点，求的面积. 2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点P ? ??，离心率e = （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点()0,2E -的直线l 与椭圆C 相交于P Q 、两点，求OPQ ?的面积的最大值。 3．已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点()0,1C . （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于,A B 两点，若OAB ?的面积为23 ，求直线l 的方程. 4．已知点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点. （1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于两点.当的面积最大时，求直线的方程. 5．已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>，其长轴为4，短轴为2. （1）求椭圆C 的方程及离心率. （2）直线l 经过定点()0,2，且与椭圆C 交于,A B 两点，求OAB ?面积的最大值.

6．如图,已知椭圆22 221(0x y a b a b +=>>)的右顶点和上顶点分 别为,,A B AB 求椭圆的标准方程; (2)过点A 作斜率为(0k k >)的直线l 与椭圆交于另外一点C ,求ΔABC 面积的最大值,并求此时直线l 的方程. 7．已知O 为坐标原点， M 是椭圆2 212 x y +=上的点，设动点P 满足2OP OM = .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线():0l y x m m =+≠与曲线C 相交于A ， B 两个不同点，求OAB ?面积的最大值. 8．已知中心在原点O ，焦点在x 的椭圆过点? ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与y 轴的非负半轴交于点B ，过点B 作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点P ， Q 两点，连接PQ ，求BPQ ?的面积的最大值． 9．已知椭圆G ： 22221x y a b +=的右焦点为F ，点P ?- ?? 在椭圆上，且PF 与y 轴交点恰为PF 中点. （1）求椭圆G 的方程；（2）过F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆G 于点,A C 和,B D ．求四边形ABCD 的面积的最小值． 10．设椭圆方程22 221(0)x y a b a b +=>>， 12,F F 是椭圆的左右焦点，以12,F F 及椭圆 （I ）求椭圆方程；（II ）过12,F F 分别作直线12,l l ，且12l l ⊥， 设1l 与椭圆交于,A C 两点， 2l 与椭圆交于,B D 两点，求四边 形A.BCD 面积的取值范围.

2020高考专题复习—圆锥曲线

一、2020年高考虽然推迟，但是一定要坚持多练习，加油！ 二、高考分析 1、分值、题型、难度设置 圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，分值约占14﹪，即20分左右，题型一般为二小一大，例如，2005年高考为一道选择题，一道填空题一道解答题。小题基础灵活，解答题一般在中等以上，一般具有较高的区分度。 考试内容：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单的几何性质，椭圆的参数方程。 主要题型：（1）定义及简单几何性质的灵活运用；（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；（3）直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦及斜率、对称问题），确定参数的取值范围；（4）在导数、不等式、函数、向量等知识网络交汇点上的问题。 2、命题方向 解析几何内容多，范围广，综合度高，其特点是：数形结合，形象思维，规律性强，运算量大，综合性好。主要考察运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的综合能力。 涉及函数、方程、不等式、三角、向量和导数等方面的内容，以及数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法。 要注意一些立意新，角度好，有创意的题目，特别要关注在向量和解析几何交汇点上的命题趋势，两者通过坐标自然融合，既考查基

础知识、基本方法，又平淡之中见功夫，强化区分功能，突出对能力的考查，从不同的思维层次上考察能力，有较好的思维价值。 三、 专题复习 2.1考查直线和圆锥曲线方程等有关基础知识和基本方法，要特别重视圆锥曲线定义的灵活应用，反映思维品质。 例1．1)如图，在正方体ABCD D C B A -111的侧 面1AB 内有 动点P 到直线AB 与直线11C B 距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为： （ ） 1 11 A B 1 (A) (B) 1A B 1 A 1 B (C) B A B 1 (D) 分析：本题主要考查抛物线定义，线面垂直关系及点到直线的距离等概念，情景新，角度好，有创意，考查基础知识和基本方法。 ∵11C B ⊥面1AB ，1PB ∴即为点P 到直线11C B 的距离，故动点P 的轨迹应为过B B 1中点的抛物线，又点1A 显然在此抛物线上，故选C 。 2)已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作 正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．324+ B ．13- C ． 2 1 3+ D ．13+ 2.2 求曲线的方程，考查坐标法的思想和方法，从不同思维层次上反映数学能力。

圆锥曲线高考题汇编(带详细解析)

第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是： （1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用. （2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求． （3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题 1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ） 2.（2003京春理，7）椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x （?为参数）的焦点坐标为（ ） A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2 ＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A.－1 B.1 C. 5 D. － 5 5.（2002全国文，11）设θ∈（0，4 π），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值范围为 （ ） A.（0，2 1） B.（ 2 2 ,21） C.（ 2,2 2 ） D.（ 2，＋∞） 6.（2002北京文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A.x ＝± y 215 B.y ＝± x 215 C.x ＝±y 4 3 D.y ＝±x 4 3 7.（2002天津理，1）曲线???==θ θ sin cos y x （θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ） A.21 B.22 C.1 D.2

微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)解答

专题30圆锥曲线中的最值问题 【考情分析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 江苏高考试题结构平稳，题量均匀?每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分 值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广.虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体.俗话说：他山之石可以攻玉.在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性?比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传 统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解.再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展 【备考策略】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； (2)不等式(组)求解法：利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围； (3)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 (4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】 2 2 1. 已知双曲线务-每=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲 a2 b2 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2, ?：：) 2 2 2. P是双曲线—-y 1的右支上一点，M N分别是圆(x + 5)2+ y2= 4和(x —5)2+ y2= 1上 9 16 的点，贝U |PM| —|PN|的最大值为乙 24 3. 抛物线y=-x上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是一 2 4. 已知抛物线y2=4x,过点F(4,0)的直线与抛物线相交于A(X1,y",B(x 2,y 2)两点，贝U y^+y?2 的最小值是32 . 5. 已知点M-2 , 0), N2,0)，动点P满足条件| FM |-|PN |=2、.2.记动点F的轨迹为W (I)求W的方程；_1 (n)若A, B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA OB的最小值. 解：(I)依题意，点P的轨迹是以M N为焦点的双曲线的右支， 2 2 所求方程为：———=1 (x 0) 2 2 (n)当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为斗x= x o, 此时A (x o,?林0 —2 ), B (X0, —丿X。一2 ), (A(B' = 2

圆锥曲线中的面积问题

圆锥曲线中的面积问题 一、基础知识： 1、面积问题的解决策略： （1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。 （2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形 2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化 3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析 4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”） （1）椭圆：设P 为椭圆()22 2210x y a b a b +=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan 2PF F S b θ= （2）双曲线：设P 为椭圆()22 221,0x y a b a b -=>上一点，且12F PF θ∠=，则122cot 2PF F S b θ=? 二、典型例题： 例1：设12,F F 为椭圆2214 x y +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PF QF 的面积最大时，12PF PF ?的值等于___________ 例2：已知点P 是椭圆22 16251600x y +=上的一点，且在x 轴上方，12,F F 分别为椭圆的 左右焦点，直线2PF 的斜率为-，则12PF F △的面积是（ ） A. B. C. D.

圆锥曲线历年高考题(整理)附答案

数学圆锥曲线测试高考题 、选择题： 2. （2006全国 II ）已知△ ABC 的顶点 B 、C 在椭圆 x 3 2＋y 2 ＝1上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 3 在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 （ A ）2 3 （B ） 二、填空题： 1 设点 A 1, ，则求该椭圆的标准方程为 1. （2006 全国 II ）已知双曲线 a 2 b 2 （C ）54 A)5 3 x 2 y 2 4 1的一条渐近线方程为 y ＝ 3x ，则双曲线的离心率为（ (D)3 2 C) 4 3 D)12 3. （2006全国卷 I ）抛物线 y x 2 上的点到直线 4x 3y 0距离的最小值是（ A ． 4 3 ．3 4．（ 2006 广东高考卷） 已知双曲线 3x 2 y 2 9 ，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等 于( ) 22 A. 2 B. C. 2 D. 4 5. 2006 辽宁卷）方程 2x 2 5x 0 的两个根可分别作为（ Ａ．一椭圆和一双曲线的 离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 6. 2006 辽宁卷）曲线 10 m 2 y 6m 2 1(m 6) 与曲线 x 5m 2 y 1(5 m 9) 的( ) 9m 7． 8. （A ）焦距相等 （B ） 离心率相等 （C ）焦点相同 （D ）准线相同 2 2 x 2006 安徽高考卷）若抛物线 y 2 2 px 的焦点 与椭圆 6 A ． 2 ．4 1的右焦点重合，则 p 的值为（ 22 2006 辽宁卷）直线 y 2k 与曲线 y 2 18k 2 x (k R,且k 0） 的公共点的个数为（ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9. （2006 全国卷 I ）双曲线 mx 2 1的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 10. （2006 上海卷 ）已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆， 它的中心在原点， 左焦点为 F （ 3,0） , 右顶点为 D （2,0） ,

圆锥曲线解析版

绝密★启用前 2013-2014学年度12月练考卷 圆锥曲线 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．F 1，F 2是双曲线22 22:1(,0)x y C a b b a b -=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与 双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ） A B C ．2 D 【答案】A 【解析】 试题分析： 22||:||:||3:4:5AB BF AF =，令)0(3>=m m AB ，m BF 4||2=， m AF 5||2=， ∴2BF AB ⊥， 由双曲线的定义a AF AF 2||||12=-，a BF BF 2||||12=-， a m AF 25||1-=∴，a m BF 24||1+=， ||||||11AB AF BF +=， ∴m a m a m 32524+-=+，即a k =， ∴由勾股定理知，222)2()4()6(c a a =+，求得 13=a c （负值舍去）， 故13=e . 考点：双曲线的定义，性质.

2．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线2 21x y m +=的离心率为 （ ） D.56 或7 【答案】C 【解析】 试题分析：因为，实数4,,9m 构成一个等比数列，所以， 6m ==±. 当6m =时，圆锥曲线22 1x y m +=为2216 x y +=， 表示焦点在x 轴的椭圆，其离心率6 e ==； 当6m =-时，圆锥曲线22 1x y m +=为-2216 x y -+=表示焦点在y 轴的双曲线，其离 心率为e ==C ． 考点：椭圆、双曲线的几何性质. 3．中心在原点的双曲线，一个焦点为(0F ，1，则双曲线的方程是（ ） A ．22 1 2x y - = B ．22 12y x -= C ．221x = D ．221y -= 【答案】A 【解析】 试题分析：由焦点为(0F ，所以，双曲线的焦点在y 轴上，且c ，焦点到 1，所以，a 1）＝1，所以，b = ， 所以，双曲线方程为：2 2 12 x y -=.本题容易错选B ，没看清楚焦点的位置，注意区分. 考点：双曲线的标准方程及其性质. 4．设12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若 a PF PF 6||||21=+，且12PF F ?的最小内角为30，则C 的离心率为（ ）

圆锥曲线的综合问题(答案版)讲课教案

圆锥曲线的综合问题 【考纲要求】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入 和设而不求的思想． 2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向 量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 【基础梳理】 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时 为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或 变量y )的一元方程． 即?? ?==++0 ),(0y x F c By Ax ,消去y 后得02 =++c bx ax (1)当0≠a 时，设方程02 =++c bx ax 的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切；Δ＜0?直线与圆锥曲线C 无公共点． (2)当0=a ，0≠b 时，即得一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点， 此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线， 则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做 圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB | ＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝]4))[(1(212212x x x x k -++=a k ? ? +2 1=1＋1 k 2·|y 1－y 2|. (抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2 θ ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． 3、一种方法 点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，

圆锥曲线高考题汇编[带详细解析]

第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点容，这部分容的特点是： （1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用. （2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等容，体现了对各种能力的综合要求． （3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题 1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ） 2.（2003京春理，7）椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x （?为参数）的焦点坐标为（ ） A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A.－1 B.1 C.5 D. － 5 5.（2002全国文，11）设θ∈（0， 4 π ），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值围为（ ） A.（0， 2 1 ） B.（ 22 ,21） C.（ 2,2 2 ） D.（ 2，＋∞） 6.（2002文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A.x ＝± y 2 15 B.y ＝± x 2 15

解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质

4.2 解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2 －2y 2 ＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A. ????22，0 B.????52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 解析：∵原方程可化为x 21－y 2 1 2＝1，a 2＝1， b 2＝12， c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴右焦点为????6 2 ，0. 答案：C 2．(2010·天津)已知双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个 焦点在抛物线y 2 ＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2 108－y 2 36＝1 D.x 2 27－y 2 9 ＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴b a ＝ 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③ 由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 2 27＝1. 答案：B

4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝() A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－3(x－2)， 当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)． 当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6， ∴P(6,43)， ∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B. 解法二：∵P A⊥l，∴PA∥x轴． 又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°， 又由抛物线定义知P A＝PF， ∴△P AF为等边三角形． 又在Rt△AFF′中，FF′＝4， ∴F A＝8，∴P A＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为() A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，BA P A DC PC ，从而 PC＝2P A.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得(x－5)2＋y2＝2(x＋5)2＋y2 化简得x2＋y2＋50 3 x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．

圆锥曲线大题十个大招——面积问题

招式五：面积问题 例题1、已知椭圆C ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,3 6 短轴一个端点到右焦点的距离为3。 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为 2 3 ，求△AOB 面积的最大值。 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意c a a ????? 1b ∴=，∴所求椭圆方程为2 213 x y +=。 （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。（1）当AB x ⊥ 轴时，AB =。（2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+ =2 23 (1)4 m k =+。 把y kx m =+代入椭圆方程，整理得22 2 (31)6330k x kmx m +++-=， 122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。22221(1)()AB k x x ∴=+-222222 23612(1)(1)(31)31k m m k k k ??-=+-??++?? 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++24222121212 33(0)341961 23696k k k k k k =+=+≠+=++?+++≤。 当且仅当2 219k k = ，即k =时等号成立。当0k = 时，AB =， 综上所述max 2AB =。 ∴当AB 最大时，AOB △ 面积取最大值max 12S AB =?=。

例题2、已知椭圆C:2222b y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36 ,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为 2 3 ，求△AOB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意c a a ?=???=? 1b ∴=，∴所求椭圆方程为22 13x y +=． （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥ 轴时，AB = ．（2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+ = ，得223(1)4m k =+． 把y kx m =+代入椭圆方程，整理得2 2 2 (31)6330k x kmx m +++-=， 122631km x x k -∴+=+，2122 3(1)31m x x k -=+．222 21(1)()AB k x x ∴=+-22 222223612(1)(1)(31) 31k m m k k k ??-=+-??++?? 2222222 22 12(1)(31)3(1)(91) (31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422 2121212 33(0)34196123696 k k k k k k =+=+≠+=++?+++≤． 当且仅当221 9k k = ，即k =时等号成立．当0k = 时，AB =，综上所述max 2AB =． ∴当AB 最大时，AOB △ 面积取最大值max 12S AB = ?= ． 例题3、已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直

高考专题-：圆锥曲线题型方法归纳

高考二轮小专题：圆锥曲线题型归纳 1基础知识： 1．直线与圆的方程； 2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式； 3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：、、、、、渐近线。 4. 常用结论，特征三角形性质。 2基本方法： 1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数、、、、等等； 2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 3基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 4．专题知识特点 ⑴用代数的方法研究解决几何问题，重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题． ⑵解题思路比较简单，概念公式较多，规律性较强，但运算过程往往比较复杂，对运算能力、恒等变形 能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高． 5．专题高考地位 本专题是高中数学的核心内容之一，在历年高考试题中均占有举足轻重的地位，问题总量除包括倒数第1（2）题的压轴题外，还至少包括2~3道小题． 本专题内容在高考题中所占的分值是20多分，占总分值的15%左右． ⑴圆锥曲线中的定义、离心率、焦点三角形、焦半径、通径等知识点是填空题和选择题中的高档试题，难度不高，但方法比较灵活． ⑵直线与圆锥曲线的位置关系容易和平面向量、数列、不等式综合，涉及存在性问题、定值问题、定点问题、求参数问题． ⑶求曲线的轨迹方程是解析几何一个基本问题，是历年来高考的一大热点． ⑷圆锥曲线（包括直线与圆）和函数、数列、不等式、三角、平面向量等知识联系密切．直线与圆锥曲线中的存在性问题、定值问题渐成考试定势． ⑸数形结合思想本身就是解析几何的灵魂，在高考解析几何题中的运用更为常见；分类讨论思想主要体现在解答

高中数学讲义 圆锥曲线中的面积问题

微专题72 圆锥曲线中的面积问题 一、基础知识： 1、面积问题的解决策略： （1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。 （2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形 2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化 3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析 4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”） （1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan 2PF F S b θ=V （2）双曲线：设P 为椭圆()22 221,0x y a b a b -=>上一点，且12F PF θ∠=，则 1221cot 2 PF F S b θ =? V 二、典型例题： 例1：设12,F F 为椭圆2 214 x y +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点， 当四边形12PF QF 的面积最大时，12PF PF ?u u u r u u u u r 的值等于___________ 思路：由椭圆中心对称的特性可知,P Q 关于原点中心对称，所以12PF F V 与12QF F V 关于原点对称，面积相等。且四边形12PF QF 可拆成12PF F V 与12QF F V 的和，所以四边形12PF QF 的面积最大即12PF F V 面积最大，因为12121 2 PF F p p S F F y c y = ?=?V ，所以当p y 最大时，12PF F V 面积最大。即P 位于短轴顶点时，12PF F V 面积最大。由2214 x y +=可知2,1,3a b c === 以()()( ) 12 0,1,3,0,3,0P F F -，进而计算出12PF PF ?u u u r u u u u r 的值为2-

(完整版)圆锥曲线高考真题

（1）求M 的方程 （2）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的面积最大值. 2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （1）若直线MN 的斜率为34 ，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b . 3.已知椭圆C ：，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . (1) 证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （2）若过点（）,延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边行？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由. 4.已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. （1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ； （2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 5.已知抛物线C ：y 2 =2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点O 在圆M 上； （2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程． 6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 143 x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为 ()()10M m m >，． （1）证明：1 2 k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成 等差数列，并求该数列的公差．

圆锥曲线综合检测1(含解析)

圆锥曲线综合检测1 一、单选题 1．已知椭圆22 1102 x y m m +=--的长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于（ ） A ．8 B ．7 C ．5 D ．4 2．若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 3．已知直线l 在y 轴上的截距为2，且与双曲线22 13 y x -=的渐近线平行，则直线l 的 方程是（ ） A ．2y = + B ．2y =+或2y =+ C ．2y x = +或2y x =+ D ．2y x = + 4．已知双曲线()22 22100x y a b a b -=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A B ．2 C 1 D 1 5．已知双曲线22 215 x y a -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦 点到其渐近线的距离等于() A B ．3 C ．5 D ．6．已知点P 是双曲线C ：x 2 2 4 y -=1的一条渐近线y ＝kx （k ＞0）上一点，F 是双曲线 C 的右焦点，若△OPF 的面积为5，则点P 的横坐标为（ ） A ． B C ．± D ．7．若双曲线2 22312x y a -=的离心率为2，则其渐近线方程为（ ） A ．3 y x =± B ．y =

C ．1 3 y x =± D ．3y x =± 8．抛物线2y mx =的准线方程为（ ） A ．4m y =± B ．14x m =± C ．1 4y m =- D ．4 m x = 9．与直线240x y -+=平行的抛物线2y x 的切线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．230x y --= C ．210x y -+= D ．210x y --= 10．已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，()1,1A 是一定点，则3 2 PA PF + 的最小值为（ ） A ． 72 B ． 92 C ． 112 D ． 132 11．已知椭圆x 2+4y 2=12的左、右焦点分别为F 1?F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，则∣PF 1∣是∣PF 2∣的（ ） A ．3倍 B ．4倍 C ．5倍 D ．7倍 12．设1F 、2F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上， 线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=?，则椭圆C 的离心率为（ ） A ． 3 3 B 3 C ． 13 D ． 16 二、填空题 13．若椭圆2 2 1y x m +=的焦距是4，则m =________ 14．设F 为抛物线C ：28y x =的焦点，过F 且倾斜角为60的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为_______ 15．设F 为抛物线2 :12C y x =的焦点，经过点()1,0P 的直线与抛物线交于A ， B 两点，且2BP PA =，则||||AF BF += __________． 16．已知,A B 为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右顶点，过点B 与双曲线的一条