圆锥曲线中的最值的问题
一、题型选讲
题型一 、与线段有关的最值问题
与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。 例1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线2
4y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，
M 为线段AB 的中点，则（ ）
A ．以线段A
B 为直径的圆与直线3
2
x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C ．当2AF FB =时，92
AB = D ．AB 的最小值为4
例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线()2
20y px p =>的焦点为F (4，0)，过F 作直线l
交抛物线于M ，N 两点，则p =_______，
4
9
NF MF
-
的最小值为______． 例3（2019南京、盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点M (x 0，y 0)是椭圆C ：x 2
4＋y 2＝1上的一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2作两条切线分别与椭圆C 交于点P ，Q ，直线OP ，OQ 的斜率分别记为k 1，k 2.
(1) 若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；
(2) 若r ＝25
5.
①求证：k 1k 2＝－1
4； ②求OP ·OQ 的最大值．
题型二、 与向量有关的最值问题
与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。
例4、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的内接ABC ?的顶点B
为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，则椭圆离心率的取值范围是___________.
例5、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O ：x 2
4＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴的交点除外)，直线PC 交椭圆于另一个点M.
(1) 当直线PM 经过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；
(2) △记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1?k 2为定值；
②求PB →·PM →
的取值范围．
题型三、与坐标或参数有关的最值问题
与坐标或参数有关的最值问题关键是建立目标函数，然后运用基本不等式或者求导或者通过简单的函数问题进行求解。
例6、（2019·山东高三月考）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F ，
过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ?的周长为8.
（1）求C 的离心率及方程；
（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.
例7、(2019泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q.已知椭圆C 的离心率为1
2，点A 到右准线的距离为6.
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．
例8、(2019扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，左、右顶点分別为A ，B ，线段AB 的长为4.P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，
l 2交于点C.
(1) 若点C 的横坐标为－1，求点P 的坐标；
(2) 若直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC →＝λAQ →
，求λ的取值范围．
二、达标训练
1、(2018无锡期末） 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)与椭圆x 216＋y 2
12＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则PF 21
PF 2的最小值为________．
2、(2019南通、扬州、泰州、淮安三调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的离
心率为2
2，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q .
(1) 若直线l 的斜率为12，求AP
AQ 的值；
(2) 若PQ →＝λAP →
，求实数λ的取值范围．
3、(2016苏州暑假测试）如图，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为 F ，上顶点为 A ，P 为椭圆C 1上任一点，MN 是圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的一条直径，在y 轴上截距为3－2的直线l 与AF 平行且与圆C 2相切．
(1) 求椭圆C 1的离心率；
(2) 若椭圆C 1的短轴长为 8，求PM →·PN →
的最大值．
一、题型选讲
题型一 、与线段有关的最值问题
与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。 例1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线2
4y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，
M 为线段AB 的中点，则（ ）
A ．以线段A
B 为直径的圆与直线3
2
x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C ．当2AF FB =时，92
AB = D ．AB 的最小值为4
【答案】ACD
【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()11
22
AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线3
2
x =-一定相离： 对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与
1
2
BM 不一定相等，因此命题错误. 对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得
2
440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()2
4,4A a a ，则2
11,4B a
a ??- ???，于是21221
424AB x x p a a
=++=+
+，AB 最小值为4；当2AF FB =可得122y y =-， 142a a ??
=-- ???
，所212a =，92AB =.
故选:ACD.
例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线()2
20y px p =>的焦点为F (4，0)，过F 作直线l
交抛物线于M ，N 两点，则p =_______，
4
9
NF MF
-
的最小值为______． 【答案】8p = 1
3
【解析】
∵ 抛物线()2
20y px p =>的焦点为F(4，0)，
∴ 8p =，
∴ 抛物线的方程为2
16y x =，
设直线l 的方程为4x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，
由2164
y x x my ?=?=+?得216640y my --=， ∴1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义得
11MF NF +1211
44x x =+++()()21124444x x x x +++=++()()211244888my my my my ++++=++()()122
121216864
m y y m y y m y y ++=+++2
221616
6412864m m m +=
-++()()
22161
641
m m +=+14=， ∴
49
NF MF -
11494NF NF ??=-- ? ???
419NF NF =+
-1≥1
3=， 当且仅当
4
9
NF NF
=
即6NF =时，等号成立， 故答案为：
13
． 例3（2019南京、盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点M (x 0，y 0)是椭圆C ：x 2
4＋y 2＝1上的一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2作两条切线分别与椭圆C 交于点P ，Q ，直线OP ，OQ 的斜率分别记为k 1，k 2.
(1) 若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；
(2) 若r ＝25
5.
①求证：k 1k 2＝－1
4； ②求OP ·OQ 的最大值．
思路分析1 第(2)问，注意到直线OP ，OQ 与圆相切，因此，利用圆心到直线的距离等于半径可得到k 1，k 2与x 0，y 0的关系，利用点(x 0，y 0)在椭圆上，来求出k 1k 2的值．由直线OP ，OQ 与椭圆相交，求出交
点的坐标，进而将OP·OQ 表示为k 1，k 2的代数式，根据k 1k 2＝－1
4，消去k 1(或k 2)后，得到关于k 2(或k 1)的函数，利用基本不等式或函数求最值的方法，求出OP·OQ 的最大值．
思路分析2 对于第(2)问的第△小题，由点P ，Q 在椭圆上以及k 1k 2＝－1
4，将OP ，OQ 表示为点P ，Q 的横坐标的形式，然后来求它的最值．
规范解答 (1) 因为椭圆C 右焦点的坐标为(3，0)，所以圆心M 的坐标为3，±1
2，(2分)
从而圆M 的方程为(x －3)2
＋y±122＝14.(4分)
(2) △因为圆M 与直线OP ：y ＝k 1x 相切，所以|k 1x 0－y 0|k 21
＋1＝25
5，
即(4－5x 20)k 2
1
＋10x 0y 0k 1＋4－5y 20＝0，(6分)
同理，有(4－5x 20)k 22＋10x 0y 0k 2＋4－5y 2
0＝0，
所以k 1，k 2是方程(4－5x 20)k 2＋10x 0y 0k ＋4－5y 2
0＝0的两根，(8分)
从而k 1k 2＝4－5y 20
4－5x 20＝4－51－14x 2
04－5x 20＝－1＋54x 204－5x 20＝－14.(10分)
△解法1 设点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立????
?
y ＝k 1x ，x 2
4
＋y 2＝1， 解得x 21＝41＋4k 21，y 21＝4k 21
1＋4k 21
，(12分) 同理，x 22＝41＋4k 22，y 22＝4k 22
1＋4k 22，
所以OP 2·OQ 2＝41＋4k 21＋4k 21
1＋4k 21·41＋4k 22＋4k 2
21＋4k 22.
由△可知，k 1k 2＝－14，所以原式＝41＋k 211＋4k 21·41＋k 221＋4k 22＝4＋4k 211＋4k 21·1＋16k 2
1
1＋4k 21(14分)
≤5＋20k 21
221＋4k 21
2＝25
4， 当且仅当k 1＝±12时取等号. 所以OP·OQ 的最大值为5
2. (16分)
解法2 设点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由△知k 1k 2＝－1
4， 得y 1y 2x 1x 2＝－1
4，16y 21y 22＝x 21x 2
2.(*)
因为y 21＝1－x 21
4，y 22＝1－x 2
24代入(*)，整理得x 21＋x 2
2＝4.(12分)
所以OP 2·OQ 2＝(x 21＋y 21)·(x 22＋y 2
2)
＝1＋3x 2141＋3x 22
4(14分)
≤2＋3
4x 21＋x 2
22
2
＝25
4， 当且仅当x 1＝－x 2＝±2时取等号， 所以OP·OQ 的最大值为5
2.(16分)
题型二、 与向量有关的最值问题
与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。
例4、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的内接ABC ?的顶点B
为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，则椭圆离心率的取值范围是___________.
【答案】30,3? ??
【解析】
由题意可设()0,B b ，(),0F c ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =， 可得F 为ABC ?的重心，设()11,A x y ，()22,C x y ， 由重心坐标公式可得，1203x x c ++=，120y y b ++=， 即有AC 的中点(),M x y ，可得12322x x c x +=
=，1222
y y b
y +==-， 由题意可得点M 在椭圆内，可得2291
144
c a +<，
由c e a =
，可得2
13e <，即有30e <<
. 故答案为：3? ?
?
.
例5、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O ：x 2
4＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴的交点除外)，直线PC 交椭圆于另一个点M.
(1) 当直线PM 经过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；
(2) △记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1?k 2为定值；
②求PB →·PM →
的取值范围．
思路分析 第(2)问中有两个动点，点M 和点P ，思路1，把点P 作为主动点，点M 作为被动点，故可设P(m ，－2)，且m≠0，进而求出点M 坐标，表示出k 1，k 2和PB →·PM →
后运算即可；思路2，把点M 作为主动点，点P 作为被动点，故可设M(x 0，y 0)(x 0≠0)，进而求出点P 坐标，表示出k 1，k 2和PB →·PM →
后运算即可．
规范解答 (1) 由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(3，0)， 当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，
则直线PM 的方程为x 3＋y －1＝1，即y ＝3
3x －1，
联立???x 2
4＋y 2
＝1，
y ＝33x －1，解得???x ＝837，y ＝1
7
或?????
x ＝0，y ＝－1(舍)，即M ????837，17.(2分) 连结BF ，则直线BF ：x 3＋y
1＝1，即x ＋3y －3＝0，
而BF ＝a ＝2，点M 到直线BF 的距离为d ＝
????837＋3×17－312＋（3）2
＝23
7
2＝3
7.
故S △MBF ＝12·BF ·d ＝12×2×37＝3
7.(4分)
(2) 解法1(点P 为主动点) ①设P(m ，－2)，且m≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－（－2）0－m ＝－1
m ， 则直线PM 的方程为y ＝－1
m x －1，
联立?
??y ＝－1
m x －1，x 24＋y 2
＝1
化简得????1＋4m 2x 2＋8m x ＝0，
解得M ? ????
－8m m 2＋4，4－m 2
m 2＋4，(6分)
所以k 1＝4－m 2
m 2＋4－1－8m m 2＋4
＝
－2m 2－8m ＝14m ，k 2＝1－（－2）0－m ＝－3
m ，(8分)
所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－3
4为定值．(10分)
②由△知，PB →＝(－m ，3)，PM →＝(－8m m 2＋4－m ，4－m 2m 2＋4＋2)＝? ????－m 3－12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4， 所以PB →·PM →＝(－m ，3)·? ????－m 3
－12m m 2＋4，m 2
＋12m 2＋4＝
m 4＋15m 2＋36m 2＋4，(12分) 令m 2
＋4＝t>4，故PB →·PM →＝（t －4）2＋15（t －4）＋36t ＝t 2＋7t －8t ＝t －8t ＋7，(14分) 因为y ＝t －8
t ＋7在t△(4，＋∞)上单调递增，
所以PB →·PM →＝t －8t ＋7>4－84＋7＝9，即PB →·PM →
的取值范围为(9，＋∞)．(16分) 解法2(点M 为主动点) ①设点M(x 0，y 0)(x 0≠0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0＋1
x 0x －1， 令y ＝－2，得P ????
－x 0y 0＋1，－2.(6分)
所以k 1＝y 0－1x 0，k 2＝－2－1－x 0y 0＋1
＝3（y 0＋1）
x 0
，(8分) 所以k 1·k 2＝y 0－1x 0·3（y 0＋1）x 0＝3（y 20－1）x 20
＝3（y 2
0－1）
4（1－y 20）＝－34(定值)．(10分) ②由△知，PB →＝????
x
0y 0＋1，3， PM →＝????x 0＋x
0y 0＋1，y 0＋2，(12分)
所以PB →·PM →＝x 0y 0＋1????x 0＋x 0y 0＋1＋3(y 0＋2)＝x 20（y 0＋2）（y 0＋1）2＋3(y 0＋2)＝4（1－y 20）（y 0＋2）（y 0＋1）2
＋3(y 0＋2)＝（7－y 0）（y 0＋2）
y 0＋1
.(14分) 令t ＝y 0＋1△(0，2)， 则PB →·PM →
＝
（8－t ）（t ＋1）t
＝－t ＋8
t ＋7， 因为y ＝－t ＋8
t ＋7在t△(0，2)上单调递减，
所以PB →·PM →＝－t ＋8t ＋7>－2＋82＋7＝9，即PB →·PM →
的取值范围为(9，＋∞)．(16分)
题型三、与坐标或参数有关的最值问题
与坐标或参数有关的最值问题关键是建立目标函数，然后运用基本不等式或者求导或者通过简单的函数问题进行求解。
例6、（2019·山东高三月考）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F ，
过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ?的周长为8.
（1）求C 的离心率及方程；
（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）12,22143
x y +=； （2）存在点P ，且0118x =.
【解析】
（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ?的周长为8，所以48a =，即2a =， 则
1
2
c e a =
=，2223b a c =-=.
故C 的方程为22
143
x y +=.
（2）假设存在点P ，使得·PM PB 为定值.
若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，31,
2B ??
?
??
，31,2M ??- ???， 则()2
09
·
14
PM PB x =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为()1y k x =-，
设点()11,B x y ，()22,M x y ，联立()22
143
1x y y k x ?+=???=-?
，得()2222
4384120k x k x k +-+-=，
根据韦达定理可得：2
122
843
k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由于()202,PM x x y =-，()101,PB x x y =-， 则()2
12120012?PM PB x x x x x x y y =-+++
()()
()()
2
22
00022
22
1201202
485312
143
x x k x k x x x k x x k x k --+-=+-++++=
+
因为·PM PB
为定值，所以22
000485312
43
x x x ---=， 解得0118x =
，故存在点P ，且011
8
x =
. 例7、(2019泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q.已知椭圆C 的离心率为1
2，点A 到右准线的距离为6.
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．
思路分析 (1)根据题意，建立关于a ，c 的方程组，求出a ，c 的值，进而确定b 的值，得到椭圆的s 标准方程．
(2)设出点B 的坐标为(m ，n)，用m ，n 表示x 0，然后再减元转化为关于m 的一元函数求求其值域．也可以设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，得到点B 和P 的坐标，进而求得直线BQ 和PQ 的方程，由两直线方程联立求得交点Q 的横坐标x 0，根据函数的值域求得x 0的取值范围．
规范解答 (1) 由题意得c a ＝12，a 2
c ＋a ＝6，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3＝1.(4分)
(2) 解法1设B(m ，n)，则m 24＋n 2
3＝1.
因为A(－2，0)，AB ⊥BQ ，所以直线BQ 的方程为y ＝－m ＋2
n (x －m)＋n ，因为P 是AB 的中点，所以P(m －22，n 2)，所以直线OP 的方程为y ＝n m －2x ，联立直线BQ ，OP 的方程得－m ＋2n (x －m)＋n ＝n
m －2x ，(8
分)
解得x 0＝（m －2）（m 2＋2m ＋n 2）
m 2－4＋n 2
， 由m 24＋n 23＝1得n 2
＝－3
4(m 2－4)，代入上式化简得x 0＝m ＋6，(14分) 因为－2 解法2 设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，k ≠0. 将y ＝k(x ＋2)代入椭圆方程x 24＋y 2 3＝1得(4k 2＋3)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， 解得x B ＝－8k 2＋64k 2＋3，所以y B ＝k ? ????－8k 2 ＋64k 2＋3＋2＝12k 4k 2＋3， 则直线BQ 的方程为y －12k 4k 2＋3＝－1 k (x －－8k 2＋64k 2＋3)， 因为P 是AB 的中点，则x P ＝x A ＋x B 2＝－2＋－8k 2＋6 4k 2＋32＝－8k 24k 2＋3，y P ＝12y B ＝6k 4k 2＋3， 所以直线OP 的斜率为6k 4k 2＋3－8k 24k 2＋3＝－34k ，则直线OP 的方程为y ＝－3 4k x ，(8分) 联立直OP ，BQ 的方程得x 0＝16k 2＋244k 2＋3＝4＋12 4k 2＋3，(14分) 因为4k 2 ＋3>3，所以0<124k 2＋3<4，4<4＋124k 2＋3<8，即4 解后反思 直线和椭圆相交求范围(最值)问题，第(2)问解法1设出关键点B 的坐标(m ，n)，建立关于点中参数m ，n 的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决；解法2通常设出直线的方程，并与椭圆 方程联立，进而转化关于x 或y 的一元二次方程，通过根与系数关系，运用设而不求的思想，得到点的坐标，建立关于线中参数m 的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决. 这两种解法都较常见. 解法1参量多一点，但运用得当，也很方便，这里解法1在建立目标函数后就显得很简单，解法2参量少目标集中． 例8、(2019扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，左、右顶点分別为A ，B ，线段AB 的长为4.P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1， l 2交于点C. (1) 若点C 的横坐标为－1，求点P 的坐标； (2) 若直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC →＝λAQ → ，求λ的取值范围． 规范解答 由题意得?????c a ＝12，2a ＝4，解得?????c ＝1， a ＝2，所以 b 2＝a 2－ c 2＝3， 所以椭圆M 的方程是x 24＋y 2 3＝1且A(－2，0)，B(2，0)(3分) 解法1(点参数法) (1)设P(x 0，y 0)，k PA ＝y 0 x 0＋2，因为l 1⊥PA ，所以直线AC 的方程为y ＝－x 0＋2y 0(x ＋2)． 同理直线BC 的方程为y ＝－x 0－2 y 0(x －2)． 联立方程组???y ＝－x 0＋ 2 y 0 （x ＋2），y ＝－x 0 －2 y 0 （x －2），解得?? ?? ?x ＝－x 0 ，y ＝x 2 －4y 0 . 又因为点P(x 0，y 0)在椭圆上，故x 204＋y 2 3＝1，所以x 20－4 y 0 ＝4－4 3y 20－4y 0 ＝－43y 0， 所以点C 的坐标为?? ??－x 0，－43y 0.(6分) 因为点C 的横坐标为－1，所以x 0＝1.又因为P 为椭圆M 上第一象限内一点，所以y 0＝3 2， 所以点P 的坐标为???? 1，32.(8分) (2)解法1 设Q(x Q ，y Q )，因为AC →＝λAQ → ，所以???? ?－x 0＋2＝λ（x Q ＋2）， －4 3y 0＝λy Q ， 解得? ??x Q ＝－x 0λ＋2 λ－2， y Q ＝－4 3λy 0. 因为点Q 在椭圆M 上，所以14????－x 0λ＋2λ－22＋13????－43λy 02 ＝1. 又y 20＝3????1－x 2 04，整理得7x 2 0－36(λ－1)x 0＋72λ－100＝0，解得x 0＝2或x 0＝36λ－507.(14分) 因为P 为椭圆M 上第一象限内一点 所以0<36λ－507<2，解得2518<λ<169，故λ的取值范围是???? 2518，169.(16分) 解法2 P 为椭圆M 上第一象限内由(1)可知直线AC 的斜率为k ＝－x 0＋2 y 0，直线AC 的方程为y ＝k(x ＝ 2)，联方方程组? ????y ＝k （x ＋2），3xi2＋4y 2 －12＝0，得(4k 2＋3)x 2＋16k 2x ＋16k 2 －12＝0，所以x A x Q ＝(－2)x Q ＝16k 2－12 4k 2＋3， 故x Q ＝6－8k 24k 2＋3＝6－8·（x 0＋2）2y 20 4·（x 0＋2）2y 20＋3＝6????3－34x 20－8（x 0＋2）2 4（x 0＋2）2 ＋3????3－34x 20＝－2（25x 0＋14）7x 0＋50， 故λ＝AC AQ ＝－x 0＋2－2（25x 0＋14）7x 0＋50 ＋2＝7x 0＋5036.因为0 2518，169. 解法2(线参数法) (1) 设直线AP 的斜率为k ，P(x 0，y 0)．因为P 为椭圆M 上第一象限内一点，所以0 2， 所以k AP ·k BP ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 2 0x 20－4＝－34，所以直线BP 的斜率为－3 4k .故直线AP ，BP 的方程分别为 y ＝k(x ＋2)，y ＝－3 4k (x －2)． 联立方程组???? ?y ＝k （x ＋2），y ＝－34k （x －2），解得? ????x ＝6－8k 2 4k 2＋3，y ＝12k 4k 2 ＋3 即P ? ????6－8k 2 4k 2＋3，12k 4k 2＋3. 因为l 1⊥PA ，所以k AC ＝－1k ，则直线AC 的方程为y ＝－1 k (x ＋2)． 因为l 2⊥PB ，所以k BC ＝43k ，则直线BC 的方程为y ＝4 3k(x －2)． 联立言程组? ??y ＝－1 k （x ＋2）， y ＝43k （x －2），得? ????x ＝8k 2－64k 2＋3，y ＝－16k 4k 2＋3， 即C ? ???? 8k 2 －64k 2＋3，－16k 4k 2＋3.(6分) 因为点C 的横坐标为－1，所以8k 2－64k 2＋3＝－1，解得k ＝±1 2. 因为0 1，32.(8分) (2)设Q(x Q ，y Q )，C(x C ，y C )，又直线AC 的方程为y ＝－1 k (x ＋2)． 联立方程组? ??y ＝－1 k （x ＋2），x 24＋y 23＝1， 得(3k 2＋4)x 2＋16x ＋16－12k 2＝0，所以－2·x Q ＝16－12k 2 3k 2＋4， 解得x Q ＝6k 2－8 3k 2＋4. 因为AC →＝λAQ →，所以λ＝x C ＋2x Q ＋2＝8k 2－6 4k 2＋3＋26k 2－83k 2＋4＋2＝16k 2（3k 2＋4）12k 2（4k 2＋3）＝1＋712k 2＋9.(14分) 因为0 2518，169.(16分) 解后反思 解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解析几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法．此题的两种解法分属于设点法和设线法．一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷．解析几何大题肩负着对计算能力考查的重任，所以 必要的计算量是少不了的，不要一遇到稍微有一点计算量的题目就想放弃，坚持到底才是胜利． 二、达标训练 1、(2018无锡期末） 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)与椭圆x 216＋y 2 12＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则PF 21 PF 2的最小值为________． 【答案】. 8 【解析】设椭圆的长半轴长为a 1，短半轴长为b 1，半焦距为c ，则c ＝a 2 1－b 21＝16－12＝2，故椭圆的离 心率e 1＝c a 1＝12，从而双曲线的离心率e ＝c a ＝1 e 1＝2，可得a ＝1，根据双曲线的定义有PF 1－PF 2＝2a ，即PF 1 ＝PF 2＋2，故PF 21PF 2＝（PF 2＋2） 2 PF 2＝PF 22＋4PF 2＋4PF 2 ＝PF 2＋4PF 2＋4，由双曲线的范围可得PF 2≥c －a ＝1，根据基本不等式可得PF 2＋4 PF 2＋4≥2PF 2×4PF 2＋4＝8，当且仅当PF 2＝4PF 2，即PF 2＝2时取“＝”，所以PF 21 PF 2的最 小值为8. 2、(2019南通、扬州、泰州、淮安三调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的离 心率为2 2，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q . (1) 若直线l 的斜率为12，求AP AQ 的值； (2) 若PQ →＝λAP → ，求实数λ的取值范围． 思路分析 第(1)问，首先根据条件求出椭圆的方程，由于点P 是直线l 与椭圆的交点，所以由直线方程与椭圆的方程联立成方程组，求出点P 的坐标，进而求出AP 的长度．而AQ 为圆的弦，所以求出圆心到直 线l 的距离d ，就可求出AQ 的长度，进而得到AP AQ 的值；或者，注意到AP AQ 等于点P ，Q 的纵坐标之比，故由 直线l 的方程与椭圆、圆的方程联立成方程组，求出交点的纵坐标即可；第(2)问，注意到AP →，PQ → 两个向量 同向共线，所以λ＝PQ AP .根据(1)的分析，方法一，由λ＝PQ AP ＝AQ －AP AP ＝AQ AP －1可知，只需求出点P ，Q 的纵坐标则可，从而就能将λ表示为k 的函数，由此求出它的取值范围；方法二，是将AP ，AQ 表示为直线l 的斜率的形式，从而将λ表示为k 的函数，由此求出它的取值范围． 规范解答 (1) 由条件知????? 2a ＝4，c a ＝2 2， a 2 ＝b 2 ＋c 2 ， 解得??? a ＝2， b ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 24＋y 2 2＝1，圆的方程为x 2＋ y 2＝4.(3分) 解法1 直线l 的方程为y ＝1 2(x ＋2)，由??? ?? y ＝12x ＋2，x 2＋2y 2＝4消去y 得3x 2＋4x －4＝0. 解得x A ＝－2，x P ＝23，所以P ???? 23，43.所以AP ＝ ????23＋22＋????432＝45 3.(5分) 又因为原点O 到直线l 的距离为d ＝25，所以AQ ＝24－45＝85 5， 所以AP AQ ＝453855＝5 6.(7分) 解法2 由????? x ＝2y －2，x 2＋2y 2＝4得3y 2 －4y ＝0，所以y P ＝43.(5分) 由????? x ＝2y －2，x 2＋y 2＝4 消去x 得5y 2－8y ＝0，所以y Q ＝85.所以AP AQ ＝y P y Q ＝43×58＝56.(7分) (2) 解法1 因为PQ →＝λAP →，且AP →，PQ → 同向，则λ＝PQ AP ＝AQ －AP AP ＝AQ AP －1，设直线l ：y ＝k (x ＋2)， 由? ???? x 2＋2y 2＝4，y ＝k x ＋2得 (2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 即(x ＋ 2)[]2k 2＋1x ＋4k 2－2＝0， 所以x A ＝－2, x P ＝2－4k 22k 2＋1，得P ? ????2－4k 2 2k 2＋1，4k 2k 2＋1. 所以AP 2＝? ????2－4k 22k 2＋1＋22 ＋????4k 2k 2＋12＝16＋16k 22k 2＋12， 即AP ＝4k 2＋1 2k 2＋1.(10分) 同理AQ ＝4 k 2＋1.(12分) 所以λ＝AQ AP －1＝4k 2＋14k 2＋12k 2＋1 －1＝1－1 k 2＋1. 因为k 2>0，所以0<λ<1.(14分) 解法2 由????? x 2＋y 2＝4，y ＝k x ＋2消去x 得(k 2＋1)y 2 －4ky ＝0，所以y Q ＝4k k 2＋1，同理y P ＝4k 2k 2＋1，由解法1知，λ＝AQ AP －1＝y Q y P －1＝4k k 2＋14k 2k 2＋1 －1＝1－1 k 2＋1. 因为k 2>0，所以0<λ<1.(14分) 解后反思 直线与椭圆相交的问题，最为常用的解法就是将直线方程与椭圆的方程联立成方程组，通过求出交点的坐标，然后再将所要研究的问题转化为交点的坐标来进行研究． 3、(2016苏州暑假测试）如图，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为 F ，上顶点为 A ，P 为椭圆C 1上任一点，MN 是圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的一条直径，在y 轴上截距为3－2的直线l 与AF 平行且与圆C 2相切． (1) 求椭圆C 1的离心率； (2) 若椭圆C 1的短轴长为 8，求PM →·PN → 的最大值． 规范解答 (1) 由题意得F (c,0)，A (0，b )，则k AF ＝－b c .(2分) 因为在y 轴上截距为3－2的直线l 与AF 平行， 所以直线l ：y ＝－b c x ＋3－2，即bx ＋cy ＋(2－3)c ＝0.(4分) 因为圆C 2的圆心C 2(0,3)，半径r ＝1，直线l 与圆C 2相切，所以|2c |b 2＋c 2＝1，即2c a ＝1，所以e ＝2 2.(6分) (2) 因为椭圆C 1 的短轴长为 8，所以2b ＝8，即b ＝4. 因为a 2＝b 2＋c 2，2c a ＝1，所以a ＝2c,2c 2＝ b 2＋ c 2 .(8分) 所以c ＝b ＝4，a ＝42，所以椭圆方程是x 232＋y 2 16＝1.(10分) 设P (x ，y )，则 PM →·PN →＝(PC 2→＋C 2M →)·(PC 2→＋C 2N →) ＝(PC 2→)2＋PC 2→·(C 2M →＋C 2N →)＋C 2M →·C 2N → ＝(PC 2→)2＋C 2M →·C 2N → ＝x 2＋(y －3)2－1 ＝32???? 1－y 2 16＋(y －3)2－1 ＝－y 2－6y ＋40＝－(y ＋3)2＋49， 又y ∈[－4,4]，所以当y ＝－3时，PM →·PN → 的最大值是49.(16分) 高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题 ★★★高考要考什么 1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)． ②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)． ③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离． ④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近． (2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解． (3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法． (4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解． 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数， 通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是 均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 ★★★突破重难点 【练习】1、点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+|PF| 取得最小值，求点P 的坐标。若A （1，3）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+d|取得最小值，其中d 是点P 到准线的距离，求点P 的坐标 2．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 22 259 1+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（） A ．10 B ．105- C ．105+D ．1025+ 3．已知双曲线22 1169 x y -=，过其右焦点F 的直线l 交双曲线于AB ，若|AB |=5，则直线l 有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 4．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x +2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为（） 圆锥曲线最值问题及练习 中学数学最值问题遍及代数、三角,立体几何及解析几何各科之中,且与生产实际联系密切，最值 问题有两个特点:①覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程,各元素间关系,对称性，四边形面积,解二元二次方程组，基本不等式等)②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法,判别式法,参数法,不等式,函数的性质等)计算量大，能力要求高。 １、回到定义 例１、已知椭圆 22 1259 x y +=,A （4,０）,B （2,２)是椭圆内的两点,P 是椭圆上任一点，求：(1)求5||||4 PA PB +的最小值; (2)求|ＰA|+|PB|的最小值和最大值。 略解：(1)A 为椭圆的右焦点。作PQ ⊥右准线于点Q,则由椭圆的第二定义 ||4 ||5 PA e PQ ==， ∴ 5 ||||||||4 PA PB PQ PB +=+.问题转化为在椭圆上找一点P ,使其到点B 和右准线的距离之和最小,很明显,点P 应是过B 向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174 。 （2)由椭圆的第一定义,设C 为椭圆的左焦点，则|ＰA|＝2a-|P Ｃ｜ ∴｜P A|+|ＰB|=２a-|PC|+｜ＰＢ|=10+(|PB ｜ -|PC|） 根据三角形中，两边之差小于第三边,当P 运动到与B 、C 成一条直线时,便可取得最大和最小值。即-|BC|≤|ＰB| -|PC|≤｜BC|.当P 到Ｐ"位置时，|PB| －｜PC|=|BC|,｜P A|＋|PB|有最大值,最大值为１0＋|BC| ＝ 10+当P 到P"位置时,|PB| -|PC|=－|B Ｃ|,|P Ａ|＋|PB ｜有最小值，最小值为10-|BC| ＝10- 回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。(2)中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释:从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点,而光线所经过的路程总是最短的。 ２、利用闭区间上二次函数最值的求法 例2、在抛物线2 4x y =上求一点，使它到直线y=4x －5的距离最短。 解:设抛物线上的点)4,(2 t t P ，点P 到直线4x-y －5＝0的距离17 4)21(4175442 2 +-=+-=t t t d 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 高中数学：圆锥曲线中的最值问题 在圆锥曲线中常遇到面积最大最小问题，距离的最长最短问题，不定量的最大最小问题等等，应从函数、方程、三角、几何、导数等多个角度思考问题。下面举例说明。 一、利用圆锥曲线的对称性求最值 例1. 设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，则△F1AB的面积最大为（） A. B. C. D. 解析：抓住△F1AB中为定值，以及椭圆是中心对称图形。如图1，由椭圆对称性知道O为AB的中点，则△F1OB的面积为△F1AB面积的一半。又，△F1OB边OF1上的高为，而的最大值是b，所以△F1OB的面积最大值为。所以△F1AB的面积最大值为cb。 图1 二、利用圆锥曲线的参数方程求最值 例2. 已知点P是椭圆上到直线的距离最小的点，则点P的坐标是（） A. B. C. D. 解析：化椭圆，利用三角函数的方法将最值转化为角变量来确定。将化成参数方程，设，则 ， 其中， 当时，。 此时可以取得，从而可得到。故选A。 三、利用重要不等式求最值 例3. 已知圆C过坐标原点，则圆 心C到直线l：距离的最小值等于（） A. B. 2 C. D. 解析：抓住定值，利用重要不等式求最值，但是不要忽视等号成立的条件。圆C过原点，则。圆心C（a，b）到直线l：的距离 所以圆心到直线l距离的最小值为。 四、利用圆锥曲线的定义求最值 例4. 已知双曲线的左右焦点分别为F 1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（） A. B. C. 2 D. 解析：“点P在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系成立的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围。由双曲线的第一定义，得 又， 所以， 从而 由双曲线的第二定义可得， 所以。又， 从而。故选B。 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关 系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程， 通过韦达定理和已知条件找出 k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线? 如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参 那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种 定点模型: 模型一：“手电筒”模型 8mk x x 4(m 2 3) 2 , x i x 2 2~ 3 4k 2 3 4k 2 定点张直角的一组性质”） 例题、（07山东）已知椭圆C ： 2 X 2 y 1若直线l : y kx m 与椭圆C 相交于 A , B 两点 4 3 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证: 直线 l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设 A(x i , yJ,B(X 2, y 2)，由 y 3x 2 kx 4y 2 m + 2 2 得(3 4k 2)x 2 12 8mkx 4( m 2 3) 0 , 2 2 2 2 64m k 16(3 4k )(m 3) 0 , 3 2 2 4k m (A , B 考。如果大家能够熟识这些常见的结论, X i y i 2 y 2 (kx-i m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0),且 k AD k B D 3(m 2 4k 2) 3 4k 2 1 , y i y 2 x 1 2 x 2 2 1 , y i y 2 X i X 2 2(X i X 2) 4 0， 3(m 2 4k 2) 4(m 2 3) 3 4k 2 3 4k 2 整理得 :7m 2 16mk 4k 2 当m 2k 时, l:y k(x 当m 2k 亠 时 l:y k(x 16mk 3 4k 2 0 ,解得：m i 2），直线过定点 ―），直线过定点 综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为（彳,0）. 2k,m 2 空，且满足3 4k 2 7 （2,0）,与已知矛盾; (2,0) ?方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P 做相互垂直的直 X )(a 2 b 2) y °(a 线交圆锥曲线于 AB,则AB 必过定点（ a 2 b 2 2 b 2 ） 2 T 1 ） o （参考百度文库文章: a b “圆锥曲线的弦对 7 圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。 （Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值； 与圆锥曲线有关取值围与最值问题 一、利用圆锥曲线定义求最值 . )1,3(,14 5,.122 221的最小值求在双曲线上，为双曲线内一点，点右焦点，的左是双曲线已知AF AP A P y x F F +=- . 19 25)2,2(),0,4(.22 2的最大值和最小值求是椭圆上的动点，内的两个点，是椭圆已知MB MA M y x B A +=+ . )2,3()2(.)2,0()1(. 2.32的最小值，求点和的最小值到抛物线准线的距离之的距离与到点求点为焦点上的一个动点，是抛物线已知PF PA A P P F x y P += .5 3)2,9(1169.42 2值的值最小，并求此最小使，点，在这个双曲线上求一，点的右焦点为已知双曲线MF MA M A F y x +=- 二、单变量最值问题——化为函数最值 .)2(;123),()1(.,,,123)07.(520 200021212 2的面积的最小值求四边形，证明 点的坐标为设，垂足为两点，且的直线交椭圆于过两点，的直线交椭圆于，过的左、右焦点分别为已知椭圆全国ABCD y x y x P P BD AC C A F D B F F F y x <+⊥=+ . 012,,,.62 2 值的面积的最小值与最大，求四边形共线，且与共线，与知轴正半轴上的焦点，已为椭圆在上，四点都在椭圆PMQN MF PF FN MF FQ PF y F y x N M Q P =?=+ .24 3,2tan 12 11. 1)0(1.722 22方程的最小值，并写出椭圆时，求，当）设（的取值范围；，求的夹角为与，向量）若（，且的面积为记△为椭圆上的点，的焦点，为椭圆如图，OQ c c S c OF FQ OF S FQ OF S OFQ Q b a b y a x F ≥==<<=?>>=+θθ 圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型 ① 涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； ② 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些 问题. (2)两种解法 ① 几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来 解决； ② 代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系， 则可先建立起目标函数， 再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. ［典例］(2018武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点， A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点, 直线y = kx(k>0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于 E , F 两点. (1) 若 ED — = 6I D F ，求 k 的值； (2) 求四边形AEBF 的面积的最大值. ［思路演示］ 2 解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为 X + y 2= 1,直线AB 的方程为x + 2y — 2= 0. 4 设 D(x o , kx o ), E(X 1, kx 1), F(X 2, kx ?),其中 X 1 高三数学专题复习 圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略 最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。 一．求距离的最值或范围： 例1.设AB 为抛物线y=x 2 的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ， 解析：抛物线y=x 2 的焦点为F （0 ， 41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=4 1-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +4 3 ≥ 21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值4 11， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。 练习： 1、(2008海南、宁夏理)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之 和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （ 4 1 ，－1） B. （ 4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 2、（2008安徽文）设椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证：242 2AB COS θ =-; （Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值 解 ：（1）由题意得： 2 22 2222 8 44c a a c b a b c =???=??=??=????=+?∴ ∴椭圆C 的方程为22 184 x y += (2)方法一： 由（1）知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率2 2 e = 设l 为椭圆的左准线。则:4l x =- 作1111,AA l A BB l B ⊥⊥于于，l 与x 轴交于点H(如图) ∵点A 在椭圆上 112 2AF AA =∴ 112 (cos )2 FH AF θ=+ 12 2cos 2AF θ=+ 12cos AF θ =-∴ 同理 12cos BF θ =+ 专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直 线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)+∞ D.(2,+∞) 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（ B ） A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( A ) A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双 曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（B ） (A) 4 3 (B) 5 3 (C)2 (D) 73 5．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 32 . 6．设椭圆方程为142 2 =+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP uuu r (21=OA +u u u r )OB u u u r ，点N 的坐标为)21 ,21(，当l 绕点M 旋转时， 求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP uuu r 的最小值与最大值. 【专家解答】（1）法1：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1. 记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组 ?? ? ??=++=141 2 2y x kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx -3=0， 所以??? ???? +=++-=+.48,42221221k y y k k x x 于是).44 ,4()2,2()(212 22121 k k k y y x x ++-=++=+= ① ② 圆锥曲线中的最值问题 主讲：秦岭老师 9816秦岭数学18届群：307181356 9816秦岭数学19届群：151219471 9816秦岭数学20届群：481591151 一、知识回顾 1．圆锥曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．即：|MF1|＋|MF2|＝2a>2c＝|F1F2|； （2）平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．即：||MF1|－|MF2||＝2a<2c=|F1F2|； （3）平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．即：|MF|=d . 2. 直线与圆锥曲线的位置关系 将直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c＝0)． (1)当a≠0，考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0?直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0?直线与圆锥曲线相离． (2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点， ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 3．圆锥曲线的弦长 设斜率为k (k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 寒假文科强化（四）：圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法 【基础知识】 1、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决. 2、在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效. 题型一 ：定点问题 法一：特殊探求，一般证明； 法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，建立坐标满足的方程（组），求出相应的直线（曲线），然后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。 例1 设点A 和B 是抛物线?Skip Record If...?上原点以外的两个动点，且?Skip Record If...?，求证直线?Skip Record If...?过定点。 解：取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程； 再取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程；最后求出两条直线 的交点，得交点为?Skip Record If...?。 设?Skip Record If...?，直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?， 由题意得?Skip Record If...?两式相减得 ?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?，整理得?Skip Record If...? ① 又?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? O A B 圆锥曲线中的最值问题 一、圆锥曲线定义、性质 1.(文)已知F 是椭圆 x225＋y2 9 ＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( ) A ．6 B ．15 C ．20 D ．12 [答案] D [解析] S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤1 2 |OF |·2b ＝12. 2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 解析：设椭圆 x2a2＋y2 b2 ＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝1 2×2c ×b ＝bc ＝1≤b2＋c22＝a22 .∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D. 3、(文)(2011·山东省临沂市质检)设P 是椭圆 x2 25 ＋ y29 ＝1上一点，M 、N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9,12 B ．8,11 C ．8,12 D ．10,12 解析：由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点，且|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴(|PM |＋|PN |)min ＝10－2＝8，(|PM |＋|PN |)max ＝10＋2＝12，故选C. 点评：∵圆外一点P 到圆上所有点中距离的最大值为|PC |＋r ，最小值为|PC |－r ，其中C 为圆心，r 为半径，故只要连接椭圆上的点P 与两圆心M 、N ，直线PM 、PN 与两圆各交于两点处取得最值，最大值为|PM |＋|PN |＋两圆半径和，最小值为|PM |＋|PN |－两圆半径和． 4、(2010·福州市质检)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A ．5 B ．8 C.17－1 D.5＋2 [答案] C [解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF|，∴|PQ|＋d ＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1. 5 、 已知点F 是双曲线 x2 4 － y212 ＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 解析 如图所示，根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝4，即|PF |－4＝|PF ′|.又|P A |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5， 将|PF |－4＝|PF ′|代入，得|P A |＋|PF |－4≥5，即|P A |＋|PF |≥9，等号当且仅当A ，P ，F ′三点共线， 即P 为图中的点P 0时成立，故|PF |＋|P A |的最小值为9.故填9.答案 9 6、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值 是（ ） 圆锥曲线中的最值和范围问题 高考在考什么 【考题回放】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)+∞ D.(2,+∞) 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( ) A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右 支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ） (A) 4 3 (B) 5 3 (C)2 (D) 73 5．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 . 6．设椭圆方程为14 2 2 =+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA +)OB ，点N 的坐标为)2 1 ,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的 轨迹方程；（2）||NP 的最小值与最大值. 高考要考什么 【考点透视】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 突破重难点 【范例1】已知动点P 与双曲线13 22 2=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为9 1 -． （１）求动点P 的轨迹方程； （２）若已知D (0,3)，M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=，求实数λ的取值范围． 【范例2】给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆2212516x y +=上的动点，F 是右焦点，当53 AB BF + 圆锥曲线中的最值问题 一 重点：求圆锥曲线中的各种最值问题。 二 难点：题目中各种基本思想方法的灵活应用。 三 基本方法：本节所用到换元、数形结合、目标函数等数学思想和方法。 四 例题 １．几何法 （Ⅰ）有关点的最值问题 【练习１】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的点到原点距离的最大值是 ；最小值是 ；相应点的坐标是 ． 【练习２】双曲线22 221x y a b -=上的点到原点距离的最小值是 ；相应点的坐标是 ． 【练习３】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的点到焦点距离的最大值是 ；最小值是 ；相应点的坐标是 ． 【练习４】双曲线22 221x y a b -=上的点到焦点距离的最小值是 ；相应点的坐标是 ． 【练习５】抛物线22(0)y px p =>上的点到焦点距离的最小值是 ；相应点的坐标是 ． 【例１】点P 为抛物线上24x y =上一动点，定点(8,7)A ，则点P 到x 轴与到A 点的距离之和的最小值为 ，并求此时点P 的坐标 。 【解析】1019PB PA PC BC PA PF PA BC FA BC +=-+=+-≥-=-=，当且仅 当点P 是抛物线与FA 的交点时，9PB PA +=最小。此时，由243440x y x y ?=?-+=?解得(4,4) P 或1 (1,)4 P -（舍去．但，是PF PA -的最大值点．P 在线段外，有向线段方向问题。 PF PA -的最小值点即线段AF 的垂直平分线与抛物线的交点）。 【评析】（１）如何判断点A 的位置。参照区域判断方法。 （２）折线和化为直线段。 （３）此题无最大值。 （４）若点A 在抛物线内部，如何？（过A 作x 轴的垂线，垂线段长即为所求，垂线与抛物线的交点即为P 点。此情况也无最大值。）PF PA -的最大、最小值点？ 专题30 圆锥曲线中的最值问题 【考情分析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展 【备考策略】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞ 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为7 3．抛物线y=-x 2 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是 43 4．已知抛物线y 2 =4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12 +y 2 2 的最小值是 32 . 5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||2PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?u u u r u u u r 的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支， 所求方程为：22 x y 122 －＝ （x >0） （Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0， 此时A （x 02 x 2－），B （x 020 x 2－，OA OB ?u u u r u u u r ＝2 4 / 4 圆锥曲线中的定值问题 1.在圆锥曲线问题中,定值问题是常考题型,解题的一般步骤为:（1）设出直线的方程b kx y +=或t my x +=、点的坐标;（2）通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,将需要用到的所有中间结果(如弦长、距离等)表示成直线方程中引入的变量，转化成函数问题。通过计算得出目标变量为定值或者最值。 2.解析几何大题计算过程中经常用到弦长公式,下面给出常用的计算弦长的公式: (1)若直线AB 的方程设为(),,),,(,2211y x B y x A m kx y +=则 ()a k x x x x k x x k AB ??+=-+?+=-?+=22122122121411 (2)若直线AB 的方程设为(),,),,(,2211y x B y x A t my x +=,则 ()a m y y y y m y y m AB ??+=-+?+=-?+=22122122121411 注:其中a 指的是将直线的方程代入圆锥曲线方程后,化简得出的关于x 或y 的一元二 次方程的平方项系数,?指的是该方程的判别式.通常用a k AB ??+=21或 a m AB ??+=21计算弦长较为简便 【例1.】设抛物线,:2x y C =直线l 经过点） （0,2且与抛物线交于A 、B 两点，证明：?为定值。 4 / 4 【例 2.】已知椭圆)0(1:22 22>>=+b a b y a x C 的离心率为 AOB O b B a A ?),0,0(),0),0,(2 3，（，的面积为1. （1）求椭圆C 的方程； （2）设P 为C 上一点，直线PA 与y 轴交于点,M 直线PB 与x 轴交于点.N 求证：BM AN ?为定值。 高考中圆锥曲线最值问题求解方法 圆锥曲线最值问题是高考中的一类常见问题，体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的横向联系。解此类问题与解代数中的最值问题方法类似，。由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关，所以利用曲线性质求解是其特有的方法。下面介绍几种常见求解方法。主要类型：（1）两条线段最值问题。（2）圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值。（3）圆锥曲线上点到x 轴（y 轴）上某定点的距离的最值。（4）求几何图形面积的最值等。 一、定义法 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。 例1、已知抛物线 2 4y x =，定点A(3,1)，F 是抛物线的焦点 ，在抛物线上求一点 P,使|AP|+|PF|取最小值 ，并求的最小值 。 分析：由点A 引准线的垂线，垂足Q ，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值。 解： 如图， 24,2y x p =∴=, 焦点F(1,0) 。 由点A 引准线x= -1的垂线 ，垂 足Q ，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值. min (||||)4AP PF +=. 由 241 { y x y ==, 得 1 (,1)4 P 为所求点. 若另取一点P ' ， 显然 ||||||||||||AP P F AP P Q AP PQ '''''+=+>+ 。 [点悟] 利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强，但可以避繁Q ' p ' O F(1,0) x A(3,1) y Q P 高三二轮一一圆锥曲线中的“定值”问题 概念与用法 圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难 点.解决这个难点的基本思想是函数思想， 可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、 比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求 的定值?具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去 变量即得定值. 基本解题数学思想与方法 在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中， 不受相关变元的制约而恒定不变， 则称该变量具有定值特征. 解答此类问题的基本策略有以下两种： 1、 把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量 的定值，再证明结论与特定状态 无关. 2、 把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关. 题型示例 一?证明某一代数式为定值： 1、如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. 解：由已知条件，得 F(0, 1), Z>O ?设 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2).由 AF =入FB , 即得 (一x 1, 1 — y) = ?(X 2, y 2 — 1),所以 —X1=入2 ① 1 — y1 =心2— 1)② 若M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值; 解：设M (y 0 ,y o ),直线 ME 的斜率为 k(l>0)，直线 MF 的斜率为—k , 直线 ME 方程为y y o k(x y (). ???由 y o k (x yo) ，消 x 得 ky 2 y o (i ky o ) o 解得 y F 1 ky o X F 2 (1 ky o ) 厂； 同理 1 ky ,X F 1 ky 2 y E y F X E X F 1 k (1 ky 。) ky o 1 ky o 2 (1 ky °) 2 k 4ky o 2y o (定值) k 2 所以直线EF 的斜率为定值 k 2 ▲利用消元法 2、已知抛物线x 2= 4y 的焦点为 F , A 、B 是抛物线上的两动点, 且AF =入FB B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M .证明FM -AB 为定值高考圆锥曲线中的最值和范围问题的专题
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(完整版)微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)
1圆锥曲线中的定值问题
圆锥曲线最值问题
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