经典例题精析
类型一：求曲线的标准方程
1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.
思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.
解析：
方法一：因为有焦点为，
所以设椭圆方程为，,
由，消去得，
所以
解得
故椭圆标准方程为
方法二：设椭圆方程,,,
因为弦AB中点,所以，
由得,（点差法）
所以
又
故椭圆标准方程为.
举一反三：
【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.
【答案】依题意设椭圆标准方程为()，
并有，解之得，,
∴椭圆标准方程为
2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；
（2）与双曲线有公共焦点，且过点
解析：
（1）解法一：设双曲线的方程为
由题意，得，解得，
所以双曲线的方程为
解法二：设所求双曲线方程为（），
将点代入得，
所以双曲线方程为即
（2）解法一：设双曲线方程为－=1
由题意易求
又双曲线过点，∴
又∵，∴，
故所求双曲线的方程为.
解法二：设双曲线方程为，
将点代入得，
所以双曲线方程为.
总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.
(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的
关系，并注意方程思想的应用.
(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为
（）.
举一反三：
【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.
（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.
【答案】
（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方
程为，
∵点在双曲线上，
∴，解得，
∴所求双曲线方程为.
（2）由已知设, ,则()
依题意，解得.
∴双曲线方程为或.
3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点；
（2）焦点在直线：上
思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：
（1）∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左
当抛物线开口方向左时，
设所求的抛物线方程为（），
∵过点，∴，
∴，∴，
当抛物线开口方向上时，
设所求的抛物线方程为（），
∵过点，∴，
∴，∴，
∴所求的抛物线的方程为或，
对应的准线方程分别是，.
（2）令得，令得，
∴抛物线的焦点为或
当焦点为时，，∴，
此时抛物线方程；
焦点为时，，∴，
此时抛物线方程为
∴所求的抛物线的方程为或，
对应的准线方程分别是，.
总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.
举一反三：
【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
（1）焦点为F(4,0)；
（2）准线为；
（3）焦点到原点的距离为1；
（4）过点（1，－2）；
（5）焦点在直线x-3y+6=0上.
【答案】
（1）所求抛物线的方程为y2=16x；
（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；
（3）所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y；
（4）所求抛物线的方程为或；
（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.
【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.
【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为
由，解得两交点坐标,
∴，解得.
∴抛物线方程为.
类型二：圆锥曲线的焦点三角形
4．已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.
思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有
，易求之.
解析：设,,
依题意有
(1)2-(2)得，
即.
∴.
举一反三：
【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）
A．B．C．D．
【答案】依据双曲线的定义有，
由得、，
又，则，即，
所以，故选A.
【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.
【答案】：由双曲线的定义有: ，，
两式左、右分别相加
得(.
即
∴.
故的周长.
【变式3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.
①求椭圆的方程；
②设点P在椭圆上,且,求.
【答案】
① .
②设
则，
又
.
【变式4】已知双曲线的方程是.
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小
【答案】
（1）由得，
∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为.
（2），
∴
∴
【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.
（1）求椭圆与双曲线的方程；
（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.
【答案】
（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，
则，解得
∵,∴, .
故所求椭圆方程为，双曲线方程为.
（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、.
由椭圆、双曲线的定义有:
解得
由余弦定理有.
类型三：离心率
5．已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当，
（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.
思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.
解析：设椭圆方程为（），，
，
则，即.
∵，∴，
即，∴.
又∵，
∴.
总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求.
（1）可直接求出、；
（2）在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；
（3）若求的取值范围，则想办法找不等关系.
举一反三：
【变式1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和
是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】连接，则是直角三角形，且，
令，则，，
即，，
所以，故选D.
【变式2】已知椭圆（）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.
法一：,,
∵, ∴,
又,，代入上式，得，
利用代入，消得,即
由，解得,
∵,∴.
法二：在ΔABF中，∵，，
∴，即下略）
【变式3】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.
【答案】设椭圆的方程为（），焦距为,
则直线l的方程为:,
由，消去得,
设点、,
则
∵＋, ∴C点坐标为.
∵C点在椭圆上,∴.
∴∴
又∴
∴
【变式4】设、为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若，则椭圆离心率为_____.
【答案】如图，点满足，且.
在中，有：
∵，∴,
令此椭圆方程为
则由椭圆的定义有,,
∴
又∵，∴，，
∴
∴，∴，即.
6．已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；
解析：如图，令, ,,
则在中，由正弦定理，
∴，
令此椭圆方程为(),则,,
∴即（），
∴, ∴,
∵,且为三角形内角，
∴，∴,
∴, ∴.
即此椭圆离心率的取值范围为.
举一反三：
【变式1】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，
使，求其离心率的取值范围.
【答案】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，
由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①
又|PF1|+|PF2|=2a ②
联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴
【变式2】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
【答案】由得，即，解得，
故离心率.所以选D.
【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．
【答案】e∈[,1)
【变式4】双曲线(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c．求双曲线的离心率e的取值范围．【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0．
由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线的距离．
同理得到点(-1,0)到直线的距离．
=．
由s≥c,得≥c,
即5a≥2c2．
于是得5≥2e2．
即4e4-25e2+25≤0．
解不等式,得≤e2≤5．
由于e＞1,
所以e的取值范围是．
类型五：轨迹方程
7．已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.
思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视
解法一：设动点,且,
则、边上两中点、的坐标分别为,.
∵,
∴,
即.
从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30，
故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆，
挖去点.
∴动点的轨迹方程是().
解法二：设的重心，,动点,且，
则.
∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆（挖去点），
且,,.
其方程为().
又, 代入上式，得()为所求.
总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.
举一反三：
【变式1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心
的轨迹方程.
【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.
（1）动圆与圆外切时，，
（2）动圆与圆内切时，，
由（1）、（2）有.
∴动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲
线，
且,,.
故动圆圆心的轨迹方程为.
【变式3】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.
【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，
由两圆外切的条件可得：，.
∴.
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴b2=12，
故所求轨迹方程为.
【变式4】若动圆与圆:相外切，且与直线:相切，求动圆圆心的轨迹方程.
法一：设,动圆半径，动圆与直线切于点，点.
依题意点在直线的左侧，故
∵,
∴.
化简得, 即为所求.
法二：设,作直线：.
过作于，交于，
依题意有, ∴,
由抛物线定义可知，点的轨迹是以为顶点，
为焦点，：为准线的抛物线.
故为所求.