圆锥曲线的综合问题（一）
最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.
1.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量
y )的一元方程，
即?????Ax ＋By ＋C ＝0，F （x ，y ）＝0
消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C 相交；
Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0?直线与圆锥曲线C 相离.
(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长
设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2|
＝
1＋1
k
2·|y 1－y 2|
例题精讲（考点分析）
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1，
0)，且点P (0，1)在C 1上.
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2
＝4x 相切，求直线l 的方程. 解 (1)椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，∴c ＝1， 又点P (0，1)在曲线C 1上，
∴0a 2＋1b
2＝1，得b ＝1，则a 2＝b 2＋c 2
＝2，
所以椭圆C 1的方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，
由?????x 2
2＋y 2＝1，y ＝kx ＋m
消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，
所以Δ1＝16k 2m 2
－4(1＋2k 2
)(2m 2
－2)＝0. 整理得2k 2
－m 2＋1＝0.①
由?????y 2
＝4x ，y ＝kx ＋m
消去y ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切，
所以Δ2＝(2km －4)2
－4k 2m 2
＝0，整理得km ＝1.② 综合①②，解得?????k ＝22，m ＝2或?????
k ＝－22，
m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝
22x ＋2或y ＝－2
2
x － 2. 规律方法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x 2
项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.
【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程；
(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，若直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，求实数k 的取值范围.
解 (1)设点M (x ，y )，依题意|MF |＝|x |＋1， ∴（x －1）2
＋y 2
＝|x |＋1，化简得y 2
＝2(|x |＋x )，
故轨迹C 的方程为y 2
＝?
????4x （x ≥0），0（x ＜0）.
(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2
＝4x (x ≥0)；C 2：y ＝0(x ＜0). 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2). 由方程组???
?
?y －1＝k （x ＋2），y 2
＝4x ，
可得ky 2
－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①
①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝1
4
.
故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点? ??
??14，1. ②当k ≠0时，方程①的Δ＝－16(2k 2
＋k －1)＝－16(2k －1)(k ＋1)，② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则
由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1
k
.③
(ⅰ)若?
????Δ＜0，x 0＜0，由②③解得k ＜－1，或k ＞12.
所以当k ＜－1或k ＞1
2时，直线l 与曲线C 1没有公共点，与曲线C 2有一个公共点，故此时直
线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.
(ⅱ)若?
????Δ＝0，x 0≥0，即????
?2k 2
＋k －1＝0，2k ＋1k
＜0，解集为?.
综上可知，当k ＜－1或k ＞1
2
或k ＝0时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.
考点二 弦长问题
【例2】 (2016·四川卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直
角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2
＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值.
(1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2
b 2＝1.
由方程组?????x 2
2b 2＋y 2
b 2＝1，y ＝－x ＋3，
得3x 2－12x ＋(18－2b 2
)＝0.①
方程①的判别式为Δ＝24(b 2
－3)，由Δ＝0，得b 2
＝3，
此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 2
3＝1.点T 的坐标为(2，1).
(2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y ＝1
2x ＋m (m ≠0)，
由方程组?????y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得?????x ＝2－2m
3，y ＝1＋2m 3
.
所以P 点坐标为? ????2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2
＝89m 2.
设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).
由方程组?????x 26＋y 2
3＝1，
y ＝12x ＋m ，
可得3x 2
＋4mx ＋(4m 2
－12)＝0.②
方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2
)， 由Δ>0，解得－322 2. 由②得x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝4m 2 －12 3. 所以|PA |＝? ????2－2m 3－x 12＋? ?? ??1＋2m 3－y 12 ＝ 52??????2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52???? ??2－2m 3－x 2. 所以|PA |·|PB |＝54??????? ????2－2m 3－x 1? ????2－2m 3－x 2 ＝54?????? ? ????2－2m 32－? ????2－2m 3（x 1＋x 2）＋x 1x 2 ＝54??????? ????2－2m 32－? ????2－2m 3? ????－4m 3＋4m 2－123 ＝109 m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2 ＝λ|PA |·|PB |. 规律方法 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法： 涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解. 【训练2】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为1 2，左、右焦点分别为 F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). (1)求椭圆的方程； (2)若直线l ：y ＝－1 2x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且 满足|AB ||CD |＝534 ，求直线l 的方程. 解 (1)由题设知?????b ＝3， c a ＝1 2，b 2 ＝a 2 －c 2 ， 解得a ＝2，b ＝ 3，c ＝1， ∴椭圆的方程为x 24＋y 2 3 ＝1. (2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2 ＋y 2 ＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝ 2|m |5 ，由d ＜1，得|m |＜5 2.(*) ∴|CD |＝21－d 2 ＝2 1－45m 2＝25 5－4m 2 . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由?????y ＝－1 2x ＋m ，x 2 4＋y 2 3＝1， 得x 2 －mx ＋m 2 －3＝0， 由根与系数关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2 －3. ∴|AB |＝ ???? ??1＋? ????－122[m 2－4（m 2 －3）] ＝ 152 4－m 2 . 由|AB ||CD |＝53 4 ，得4－m 2 5－4m 2＝1，解得m ＝± 3 3 ，满足(*). ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33 . 考点三 中点弦问题 【例3】 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ， B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) ＋y 236＝1 ＋ y 2 27 ＝1 ＋y 2 18 ＝1 ＋y 2 9 ＝1 (2)已知双曲线x 2 －y 2 3 ＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线 y 2＝18x 上，则实数m 的值为________. 解析 (1)因为直线AB 过点F (3，0)和点(1，－1)， 所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2 a 2＋y 2 b 2＝1消去y ，得? ????a 2 4＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2 ＝0， 所以AB 的中点的横坐标为32 a 2 2? ????a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2 ， 又a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则?????x 21－y 21 3＝1， ① x 22 －y 22 3＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1 ＋y 2 ＝2y 0 ， ④ 由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝1 3(y 2－y 1)(y 2＋y 1)， 显然x 1≠x 2.∴ y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0 x 0 ＝3， ∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1， ∴y 0＝－3x 0.又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ? ?? ??－m 4，3m 4， 代入抛物线方程得916m 2＝18·? ????－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合. 答案 (1)D (2)0或－8 规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋ x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2 x 1－x 2 三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求 得斜率. (2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解. 【训练3】 设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程； (2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－1 2平分，设弦MN 的垂 直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围. 解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y ). 再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2 ＋y 2 ＝4， 所以轨迹C 的方程为x 2 ＋y 2 4 ＝1. (2)设弦MN 的中点为P ? ?? ??－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点， 可知? ????4x 2 M ＋y 2 M ＝4， 4x 2N ＋y 2N ＝4. 两式相减，得 4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0， 将x M ＋x N ＝2×? ?? ??－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y N x M －x N ＝－1k 代入上式得k ＝－y 0 2 . 又点P ? ?? ??－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上， 所以y 0＝－1 2k ＋m . 所以m ＝y 0＋12k ＝3 4 y 0. 由点P ? ????－12，y 0在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′ ＜y 0＜y B ，也即－3＜y 0＜ 3. 所以－334＜m ＜33 4 ，且m ≠0. 基础过关 1.过抛物线y 2 ＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2， 则这样的直线( ) A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有且只有四条 解析 ∵通径2p ＝2，又|AB |＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝3＞2p ，故这样的直线有且只有两条. 答案 B 2.直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( ) 或2 解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b a x 平行，所以它与双曲线只有1个交点. 答案 A 3.经过椭圆x 2 2＋y 2 ＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →·OB → 等于( ) A.－3 B.－13 C.－1 3 或－3 D.±13 解析 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 2 2＋y 2＝1并整理得3x 2 －4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交 点坐标分别为(0，－1)，? ????43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也 可得OA →·OB → ＝－13. 答案 B 4.抛物线y ＝x 2 到直线x －y －2＝0的最短距离为( ) 解析 设抛物线上一点的坐标为(x ，y )，则d ＝|x －y －2|2 ＝ |－x 2 ＋x －2|2 ＝ ???? ?? －? ????x －122－742 ， ∴x ＝12时， d min ＝728. 答案 B 5.(2017·石家庄调研)椭圆ax 2＋by 2 ＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则a b 的值为( ) 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 中点M (x 0，y 0)， 由题设k OM ＝y 0 x 0＝ 32 . 由? ????ax 2 1＋by 2 1＝1，ax 22＋by 2 2＝1，得（y 2＋y 1）（y 2－y 1）（x 2＋x 1）（x 2－x 1）＝－a b . 又 y 2－y 1x 2－x 1＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝2y 02x 0＝3 2. 所以a b ＝ 32 . 答案 A 6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭 圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________. 解析 由题意得?????c ＝2，b 2 a ＝1，a 2 ＝b 2 ＋c 2 ， 解得???a ＝2，b ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 2 4＋y 2 2＝1. 答案 x 24 ＋y 2 2 ＝1 7.已知抛物线y ＝ax 2 (a ＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________. 解析 由题设知p ＝12a ＝2，∴a ＝14 . 抛物线方程为y ＝14x 2 ，焦点为F (0，1)，准线为y ＝－1. 联立?????y ＝14x 2， y ＝x ＋1， 消去x ， 整理得y 2 －6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6，∵直线过焦点F ， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案 8 8.过椭圆x 216＋y 2 4＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________. 解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由于A ，B 两点均在椭圆上， 故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 22 4＝1， 两式相减得 （x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2） 4＝0. 又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝ y 1－y 2x 1－x 2＝－3 4 . ∴直线AB 的方程为y －1＝－3 4(x －3). 即3x ＋4y －13＝0. 答案 3x ＋4y －13＝0 三、解答题 9.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与 E 相交于A ，B 两点，且|A F 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率； (2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝4 3 a ， l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组?????y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2 b 2＝1，消去y ，化简得(a 2 ＋ b 2 )x 2 ＋2a 2 cx ＋a 2 (c 2 －b 2 )＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2 c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2 （c 2 －b 2 ） a 2＋ b 2 . 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[（x 1＋x 2）2 －4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2 a 2＋b 2， 故a 2＝2b 2 ， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝2 2 . (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝ x 1＋x 2 2＝－a 2 c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c 3 . 由|PA |＝|PB |，得k PN ＝－1，即 y 0＋1 x 0 ＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 2 9 ＝1. 10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为2 2 .直线y ＝k (x －1)与 椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为 10 3 时，求k 的值. 解 (1)由题意得?????a ＝2，c a ＝2 2，a 2 ＝b 2 ＋c 2 . 解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2 2 ＝1. (2)由?????y ＝k （x －1），x 24＋y 2 2 ＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2 －4＝0. 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 2 1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2 －4 1＋2k 2， 所以|MN |＝（x 2－x 1）2 ＋（y 2－y 1）2 ＝（1＋k 2 ）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝2（1＋k 2 ）（4＋6k 2 ） 1＋2k 2 又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝ |k |1＋k 2 ， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 2 1＋2k 2，由|k |4＋6k 2 1＋2k 2 ＝10 3 ，解得k ＝±1. 能力提高 11.已知椭圆x 24＋y 2 b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) 解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2，由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8， 所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3. 由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2 a ＝3，可求得b 2 ＝3，即b ＝ 3. 答案 D 12.(2016·四川卷)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2 ＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值是( ) 解析 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 2 0＝2px 0， 即x 0＝y 20 2p . 设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF → ， 得?????x ′－x 0＝2? ????p 2－x ′，y ′－y 0＝2（0－y ′）， 解之得x ′＝ p ＋x 0 3，且y ′＝y 0 3 . ∴直线OM 的斜率k ＝ y ′x ′＝y 0p ＋y 02p ＝2p 2p 2y 0 ＋y 0 又y 0＋2p 2 y 0 ≥22p ，当且仅当y 0＝2p 时取等号. ∴k ≤ 2p 22p ＝ 22，则k 的最大值为22 . 答案 C 13.设抛物线y 2 ＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________. 解析 直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，联立???y ＝－3x ＋23， x ＝－2， 得y ＝43，所以P (6， 43).由抛物线的性质可知|PF |＝6＋2＝8. 答案 8 14.已知抛物线C ：y 2 ＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝5 4|PQ |. (1)求C 的方程； (2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且 A ，M ， B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解 (1)设Q (x 0，4)，代入y 2 ＝2px 得x 0＝8p . 所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8 p . 由题设得p 2＋8p ＝54×8 p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2 ＝4x . (2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0).代入y 2 ＝4x 得y 2 －4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2 ＋1，2m )， |AB |＝m 2 ＋1|y 1－y 2|＝4(m 2 ＋1). 又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2 ＋3. 将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2 ＋3)＝0. 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4 m ， y 3y 4＝－4(2m 2＋3). 故MN 的中点为E ? ?? ??2 m 2＋2m 2＋3，－2m ， |MN |＝ 1＋1 m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2 ＋1 m 2 . 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝1 2|MN |， 从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2 ， 即4(m 2 ＋1)2 ＋? ????2m ＋2m 2＋? ?? ??2m 2＋22 ＝4（m 2＋1）2（2m 2 ＋1） m 4 . 化简得m2－1＝0， 解得m＝1或m＝－1. 所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄，则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 （C ） I （D ） 2. 设F 为抛物线 c ： y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= （ k>0）与C 交于点P , PF 丄x 轴，则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C ： T a 2 y_ 1(a 0,b 0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 '、3，贝U C 的 焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C ： 0）的左右焦点为 F i ,F 2，离心率为 丄3，过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3，则 C 的方程为（） 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0）的一条渐近线平行于直线 I ： y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为（ 也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， c 3x 2 1 C.— 25 占 八、、 的焦点， uu uuu OA OB A 、2 （其中O 为坐标原点），则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（ ） x 1 (D) 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程， 圆锥曲线的基本定义性质与结论 考点一 圆锥曲线的定义 (一) 椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2.椭圆的标准方程： ①x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21 c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． ② y 2a 2+ x 2b 2 =1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． 3.椭圆的几何性质（用标准方程x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)研究）： 1）范围：?a ≤x ≤a ，?b ≤y ≤b ； 2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； 3）椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的2121,,,B B A A ； 4）长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的A 1A 2；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段B 1B 2． 5）椭圆的离心率：e =c a ，焦距与长轴长之比，0 圆锥曲线的综合问题 【考纲要求】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入 和设而不求的思想． 2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向 量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 【基础梳理】 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时 为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或 变量y )的一元方程． 即?? ?==++0 ),(0y x F c By Ax ,消去y 后得02 =++c bx ax (1)当0≠a 时，设方程02 =++c bx ax 的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切；Δ＜0?直线与圆锥曲线C 无公共点． (2)当0=a ，0≠b 时，即得一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点， 此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线， 则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做 圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB | ＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝]4))[(1(212212x x x x k -++=a k ? ? +2 1=1＋1 k 2·|y 1－y 2|. (抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2 θ ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． 3、一种方法 点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率， 专题10.4 圆锥曲线的综合应用试题 文 【三年高考】 1. 【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为 '2222 ( ,)y x P x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题： 若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. 单元圆上的“伴随点”还在单位圆上. 若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③ 线分别为2222( ,)0y x f x y x y -=++与 2222 (,)0y x f x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x 其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④，直线 y kx b =+上取点后得其伴随点2222 ( ,)y x x y x y -++消参后轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③. 2．【2016高考山东文数】已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2 . （I ）求椭圆C 的方程； (Ⅱ)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B . (i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>，由()0,M m ，可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 所以 直线PM 的斜率 002m m m k x x -= = ，直线QM 的斜率0023'm m m k x x --==-.此时'3k k =-，所以' k k 为定值3-. (ii)设()()1122,,,A x y B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+.联立 22142 y kx m x y =+???+ =?? ，整理得()222214240k x mkx m +++-=.由20122421m x x k -=+可得()()212 02221m x k x -=+ ，所以() ()2112 02221k m y kx m m k x -=+= ++，同理() ()() ()22222 2 2262,181181m k m x y m k x k x ---= = +++.所以 () ()() ()() ()()2222212 2 2 2 00 22223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----= - = ++++， ()()()()()()()() 2 2 2 2 21 2 2 2 2 622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ，所以2212161116.44AB y y k k k x x k k -+??===+ ?-?? 由00,0m x >>，可知0k >，所以1626k k +≥，等号当且仅 圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 ， ，代入方程，然 后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点 及 ，求线段 的中点 P 的轨迹方程。 （2 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 ，为焦点，，。 （1 （2）求 的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是： （1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用. （2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求． （3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题 1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ） 2.（2003京春理，7）椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x （?为参数）的焦点坐标为（ ） A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2 ＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A.－1 B.1 C. 5 D. － 5 5.（2002全国文，11）设θ∈（0，4 π），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值范围为 （ ） A.（0，2 1） B.（ 2 2 ,21） C.（ 2,2 2 ） D.（ 2，＋∞） 6.（2002北京文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A.x ＝± y 215 B.y ＝± x 215 C.x ＝±y 4 3 D.y ＝±x 4 3 7.（2002天津理，1）曲线???==θ θ sin cos y x （θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ） A.21 B.22 C.1 D.2 （北师大版）高二数学《圆锥曲线》基础测试试题 一、选择题 1.已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2. 椭圆32x 2+16 y 2 =1的焦距等于（ ）。 A ．4 B 。8 C 。16 D 。123 3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ） A ． 116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 4．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 5．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 6．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ） A ．25 B ．5 C ．2 15 D ．10 7. 抛物线y 2=8x 的准线方程是（ ）。 （A ）x =－2 （B ）x =2 （C ）x =－4 （D ）y =－2 8．已知抛物线的焦点是F (0，4)，则此抛物线的标准方程是( ) （A ）x 2＝16y （B ）x 2＝8y （C ）y 2＝16x （D ）y 2＝8x 9.经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ） （A ）y 2＝4x （B ）x 2＝ 21y (C ) y 2＝4x 或x 2＝2 1 y (D ) y 2＝4x 或x 2＝4y 10．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-± 第三讲圆锥曲线的综合问题 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0 时，直线与双曲线相离． ②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法： 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，用Δ判定，方法同上． ②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2．有关弦的问题 (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点 弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2 |x2－x1|或|P1P2|＝1＋1 k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： |x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2， |y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2. ②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 3．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 F1、F2为椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有 专题30圆锥曲线中的最值问题 【考情分析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 江苏高考试题结构平稳，题量均匀?每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分 值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广.虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体.俗话说：他山之石可以攻玉.在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性?比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传 统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解.再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展 【备考策略】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； (2)不等式(组)求解法：利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围； (3)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 (4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】 2 2 1. 已知双曲线务-每=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲 a2 b2 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2, ?：：) 2 2 2. P是双曲线—-y 1的右支上一点，M N分别是圆(x + 5)2+ y2= 4和(x —5)2+ y2= 1上 9 16 的点，贝U |PM| —|PN|的最大值为乙 24 3. 抛物线y=-x上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是一 2 4. 已知抛物线y2=4x,过点F(4,0)的直线与抛物线相交于A(X1,y",B(x 2,y 2)两点，贝U y^+y?2 的最小值是32 . 5. 已知点M-2 , 0), N2,0)，动点P满足条件| FM |-|PN |=2、.2.记动点F的轨迹为W (I)求W的方程；_1 (n)若A, B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA OB的最小值. 解：(I)依题意，点P的轨迹是以M N为焦点的双曲线的右支， 2 2 所求方程为：———=1 (x 0) 2 2 (n)当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为斗x= x o, 此时A (x o,?林0 —2 ), B (X0, —丿X。一2 ), (A(B' = 2 1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: １. 直线方程的形式 （１）直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式： 2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=－１ ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 距离式方程2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程 :|2a = (３)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足 221=-MF MF 则动点Ｍ的轨迹是( ) Ａ、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） （6)、记住焦半径公式:(1） 00 ;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 （6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 １、点差法（中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 绝密★启用前 2013-2014学年度12月练考卷 圆锥曲线 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．F 1，F 2是双曲线22 22:1(,0)x y C a b b a b -=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与 双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ） A B C ．2 D 【答案】A 【解析】 试题分析： 22||:||:||3:4:5AB BF AF =，令)0(3>=m m AB ，m BF 4||2=， m AF 5||2=， ∴2BF AB ⊥， 由双曲线的定义a AF AF 2||||12=-，a BF BF 2||||12=-， a m AF 25||1-=∴，a m BF 24||1+=， ||||||11AB AF BF +=， ∴m a m a m 32524+-=+，即a k =， ∴由勾股定理知，222)2()4()6(c a a =+，求得 13=a c （负值舍去）， 故13=e . 考点：双曲线的定义，性质. 2．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线2 21x y m +=的离心率为 （ ） D.56 或7 【答案】C 【解析】 试题分析：因为，实数4,,9m 构成一个等比数列，所以， 6m ==±. 当6m =时，圆锥曲线22 1x y m +=为2216 x y +=， 表示焦点在x 轴的椭圆，其离心率6 e ==； 当6m =-时，圆锥曲线22 1x y m +=为-2216 x y -+=表示焦点在y 轴的双曲线，其离 心率为e ==C ． 考点：椭圆、双曲线的几何性质. 3．中心在原点的双曲线，一个焦点为(0F ，1，则双曲线的方程是（ ） A ．22 1 2x y - = B ．22 12y x -= C ．221x = D ．221y -= 【答案】A 【解析】 试题分析：由焦点为(0F ，所以，双曲线的焦点在y 轴上，且c ，焦点到 1，所以，a 1）＝1，所以，b = ， 所以，双曲线方程为：2 2 12 x y -=.本题容易错选B ，没看清楚焦点的位置，注意区分. 考点：双曲线的标准方程及其性质. 4．设12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若 a PF PF 6||||21=+，且12PF F ?的最小内角为30，则C 的离心率为（ ） ) 圆锥曲线 一、填空题 1、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①由线C 不可能表示椭圆； ②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜2 5 其中所有正确命题的序号为_____________. ？ 2、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满 足021=?PF PF ，2tan 21=∠F PF ，则该椭圆的离心率为 3.若0>m ，点?? ? ??25,m P 在双曲线15422=-y x 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为 . 4、已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是 （4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ． 6. 在ABC 中,7 ,cos 18 AB BC B ==- ．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 7.已知ABC ?的顶点B ()-3,0、C ()3,0，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且5|GF |+|GE |=，则点G 的轨迹方程为 8.离心率3 5 = e ，一条准线为x ＝3的椭圆的标准方程是 . 9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________; 10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为 . ^ 11、抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 . 12.已知F 1、F 2是椭圆2 2 22)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10＝的两个焦点，B 是短轴的一个端 点，则△F 1BF 2的面积的最大值是 13.设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 是抛物线上的一点， 与x 轴正向的夹角为60°，则||为 . 14.在ABC △中，AB BC =，7 cos 18 B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率e = ． 二.解答题 15、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值1 2 -. . （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C. （Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=3 2 4时，求直线l 的方程. 圆锥曲线的综合应用及其求解策略 有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。 解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。 一、定点、定值问题： 这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。 ★【例题1】（2007年高考〃湖南文科〃19题〃13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的 动直线与双曲线相交于A 、B 两点，又已知点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA 〃CB 为常数；（II ）若动 点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程． ◆解：由条件知(20)F ， ，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可求得点A 、B 的坐标分别为(2 ，(2， ，此时则有 (12)(11CA CB =?=-，． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，则有 2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根， 所以212241k x x k +=-，2122421 k x x k +=-，于是 212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2) CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2 2 2 1212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++22222 22 (1)(42)4(21)4111 k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-． ∴ 综上所述，CA CB 为常数1-． （II ）设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由 CM CA CB CO =++得：121213x x x y y y -=+-??=+?，即1212 2x x x y y y +=+??+=?，于是AB 的中点坐标为222x y +?? ???，． 第三讲圆锥曲线的综合问题 考点整合 1. 直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 直线与椭圆的位置关系的判定法： 将直线程与椭圆程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次程?若少0,则直线与椭圆相交；若A= 0,则直线与椭圆相切；若A<0,则直线与椭圆相离. (2) 直线与双曲线的位置关系的判定法： 将直线程与双曲线程联立，消去y或x)，得到一个一元程ax2+ bx+ c= 0(或ay2+ by+ c =0) ? ①若a工0，当A>0时，直线与双曲线相交；当A= 0时，直线与双曲线相切；当A<0 时，直线与双曲线相离. ②若a= 0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点. (3) 直线与抛物线的位置关系的判定法： 将直线程与抛物线程联立，消去y(或x)，得到一个一元程ax2+ bx+ c= 0(或ay2+ by+ c =0) ? ①当a z 0时，用△判定，法同上. ②当a= 0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点. 2. 有关弦的问题 (1) 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算. ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P i(x i,y i), P2(x2, y2)，则所得弦长|P i P2|=』1 + k2 |x2- X1或|P1P2= - , 1 +胡2—y1|,其中求|x2- X1|与|y2- y11时通常使用根与系数的关系, 即作如下变形： |x2 —X1 = \/ X1 + X2 2—4X1x2 , ②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式). (2) 弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算. 3. 圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 4.2 解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2 －2y 2 ＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A. ????22，0 B.????52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 解析：∵原方程可化为x 21－y 2 1 2＝1，a 2＝1， b 2＝12， c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴右焦点为????6 2 ，0. 答案：C 2．(2010·天津)已知双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个 焦点在抛物线y 2 ＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2 108－y 2 36＝1 D.x 2 27－y 2 9 ＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴b a ＝ 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③ 由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 2 27＝1. 答案：B 4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝() A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－3(x－2)， 当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)． 当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6， ∴P(6,43)， ∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B. 解法二：∵P A⊥l，∴PA∥x轴． 又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°， 又由抛物线定义知P A＝PF， ∴△P AF为等边三角形． 又在Rt△AFF′中，FF′＝4， ∴F A＝8，∴P A＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为() A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，BA P A DC PC ，从而 PC＝2P A.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得(x－5)2＋y2＝2(x＋5)2＋y2 化简得x2＋y2＋50 3 x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆． 圆锥曲线综合练习 一、 选择题： 1．已知椭圆221102 x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 2．直线220x y -+=经过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ） A B ．12 C ．2 3 3．设双曲线22 219 x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2 2 1y x m +=的离心率是（ ） A B C D 5．已知双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ， 两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A B 6．已知点12F F ，是椭圆2 2 22x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +u u u r u u u u r 的最小值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．7．双曲线221259 x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ） A ．22或2 B ．7 C ．22 D ．2 8．P 为双曲线22 1916 x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点， 则||||PM PN -的最大值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 9．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =u u u r u u u r ，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ） A B 1 C 1 D 1 11．两个正数a b ，的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2b y x a =-的焦点坐标是（ ） A ．5(0)16- ， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1 (0)5 ， 12．已知12A A ，分别为椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案
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