．本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几
1、90°角旋转
例1 如图2，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、
CD—上的点，且△CEF的周长是2．求∠EAF的大小。
解：将△ABE绕点A作逆时针旋转90°，则AB边与AD边
重合，设旋转后E→E′，由条件△CEF的周长为2，即
CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+ DF=2，且显然有BE=D E′，故
CE+ CF+F E′=2．从而必有EF=F E′，又AE= A E′，AF=AF，故
△AE F≌△AE'F，∴∠EAF=E'AF，又从作图知∠EA E′=90°，
故∠EAF=45°。
例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P为正方形ABCD内一点，若
P A=a，PB=2a，PC=3a(a＞0)，求:(1)∠APB的度数;(2)正方形ABCD的面积．分析:三条已知的线段P A、PB、PC具有一个共公顶点，且它们不能构
成三角形．但是当把△ABP按顺时针方向旋转90°后，即会出现等腰直角三
例2 如图4，P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，
PC=5．求∠APB的大小。
解：将△APC绕点A顺时针旋转60°，由ABC为等边三角形
知，此时所得新三角形—边与AB重合。设P旋转后为P′，则△
AP P′的边长为3的等边三角形，P'B=PC=5，又PB=4，故
pp'2+PB2=P′B2．从而△P'PB是以∠P′PB为直角的直角三角形，
从而∠APB=∠AP P′+∠P'PB=60°+90°=150°。
例3 如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证明:BD2=AB2＋BC2．
分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形．因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中．
．
∴α＋65＋
1
2
(180－α)=180． 解之得α=50°．
思考 例1中，若∠A =θ，那么α与θ有何数量关系?(答: α=2θ)
二、按计算要求进行区分
1、求角度 例1（青岛）、如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB
的度数。
分析：由题中已知条件中的 6、8、10这组勾股数联想到直角
三角形，于是设法将PA 、PB 、PC 集中到一个三角形中，可以将△APC A
A F
P P B B
C C
答：∠AB ’C 的度数是150°。
例2、如图4所示，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFGH ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是 。
分析：由旋转的性质可以知道∠BFC=∠DCG=30°，所以∠FCD=60°，可以连结线段HC （如图4所示），由已知可知∠F=∠D=90°，FC=DC ，HC 是Rt △FHC 和Rt △DHC 公共H
G
D
C
B
A
F E
图4 H
G
D
C
B
A
F E
图5
③两部分（如图2所示），根据旋转可以知道区域②和区域③的面积是相等的，所以可以将①＋③转化为①＋②，而区域①＋②的面积=扇形OAA ’的面积－扇形ODD ’的面积，又因为OD=OD=1，OA=3，所以区域①＋②的面积=
214OA π?－21
4
OD π?=22cm π。 答：AB 扫过的区域的面积是2
2cm π。
4、进行图形分割
例4（厦门）如图6，在四边形ABCD 中，∠A=90°，∠ABC 与∠ADC 互补。 （1）求∠C 的度数；（2）若BC ＞CD 且AB=AD ，请在图上画一条线段，把四边ABCD 分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由。
析解：本题设计新颖，巧妙把直 观感知、操作确认和逻辑推理结合起来， 第（1）问可根据四边形内角和直接求解；
第（2）问则∠ABC+∠ADC=180°，以及要 ，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。
A A
B B
C C
D D F
B
C P
?
B
C P
图（1-1-a ） 图（1-1-b ） 例1. 如图：（1-1）：设P 是等边ΔABC 内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，
则∠APB 的度数是________.
A B C
P
34
5
? A B C
P P '
34
533
同样方法，作ΔDFC且有ΔDFC≌ΔBPC。易证ΔEAP为等腰直角三角形，又∵AP=1
∴PE=2同理，PF=32
∵∠EDA=∠PBA，∠FDC=∠PBC
又∵∠PBA+∠PBC=900
∴∠EDF=∠EDA+∠FDC+∠ADC= 900+900=1800∴点E、D、F在一条直线上。
∴EF=ED+DF=2+2=4，
在ΔEPF中，EF=4，EP=2，FP=32
由勾股定理的逆定理，可知ΔEPF为RtΔ
∴S正方形ABCD =S RtΔEPF+S RtΔEPA+S RtΔPFC=3+1
2
+9
2
=8
例4．如图（4-1），在ΔABC 中，∠ACB =90，BC=AC ，P 为ΔABC 内一点，且PA=3，PB=1，
PC=2。求∠BPC 的度数。
1
2
3
A
B C P
?
C A
B P P ’
1
2
3
2
3
图（4-1） 图（4-2）
简解：在Rt ΔABC 的外侧，作∠BC P '=∠A C P ，且C P '=CP=2，连结P 'P 。
则ΔBC P '≌ΔACP 。易证Rt ΔCP P '为等腰直角三角形，在ΔPB P '中，B P '=3，BP=1，
P P '=22，由勾股定理的逆定理可知，ΔP 'PB 为Rt Δ为Rt Δ，∠P 'PB=900
4、 三角形与圆混合类型
将ΔCAD 绕A 点按顺时针方向旋转600
到ΔBA D '，经过旋转变化，将图（3-1-a ）中的DC 与BD 组合在一条直线上，见图（3-1-b ）此时∠D 'BD 是个平角，ΔAD D '为正三角形。
A B
C D
o
?
A
B
C D
o
D
'
图（3-1-a ） 图（3-1-b ）
例7． 如图（7-1），正三角形ABC 内接于⊙O ，P 是劣弧 BC
上任意一点，PA=2，则四边
解： ⑴∵ACGF 是正方形，A ′B ′经过点F ，∴ A ′C=CF ．
又∵∠A ′=60°, ∴ △A ′CF 是等边三角形.又∵ ∠A ′CF=60°
∴ ∠ACA ′=90°一60°=30°,∴ △ABC 至少旋转30°才能得到△A ′CB ′. _ B
_ F
_ C
(甲)
_ E
_ D
_ B
_ F
_ C
(乙) 图1
B '
A '
中考数学几何图形旋转典型试题 一、填空题 1.（日照市）如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于． 2．（成都市）如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB 上，那么此三角板向右平移的距离是cm． 3.（连云港市）正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R 与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针 连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径 的长为cm． 4.（泰州市）如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝ 3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是． 二、解答题 5.（资阳市）如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP； (2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 . 6.（武汉市）如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车
百度文库-让每个人平等地提升自我 巧用旋转法解几何题 将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的 图形全 等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相 等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点， 旋转另一位置的引辅助线的方法, 主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三 角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参 考。 例1.如图，在Rt △ ABC 中，/ C=90°, D 是AB 的中点，E , F 分别 AC 和BC 上，且 DEL DF, 求证：EF 2=A ^+B F" 分析：从 所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到 EF , AE BF 三条线段不在同一个三角 形中，由于D 是中点，我们可以考虑以 D 为旋转中心，将 BF 旋转到和AE 相邻的位置，构造一个直 角三角形，问题便迎刃而解。 证明：延长 FD 到G 使DG=DF 连接AG EG ?/ AD=DB / ADG=/ BDF ???" ADd " BDF ( SAS ???/ DAG=/ DBF BF=AG ? AG// BC ???/ C=90°A Z EAG=90 ? EG=Ah+AG=AE+BF ?/ DEI DF ? EG=EF 2 2 2 ? EF=AE+BF 例 2,如图 2,在"ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC P 是"ABC 内一点，且 PA=3 PB=1, PC=2 求/ BPC 的度数. 分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中， 故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于" ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点 C 为旋转 中心。 解：作 MC L CP,使 MC=CP 连接 PM , BM F E A
中考旋转问题汇编（经典） 一、选择题 1.如图，把一个斜边长为2且含有300 角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900 到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是（ ） A ．π B ． 34π D ．1112π 2.如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转 中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④ AOBO S 四形边AOC AOB S S += ．其中正确的结论是（ ） A ．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 3.如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（ ）。 A ．1：2 B ．1：2 C ．3：2 D ．1：3 4.点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30° 5.如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于 点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相 切于点D 的位置，则⊙O 自转了：（ ） A ．2周 B ．3周 C ．4周 D ．5周 二、填空题 6.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=900 ,AB=AD,若四边形ABCD 的面积是24cm 2 .则AC 长是 cm.
初中数学几何专题——旋转 一．选择题（共5小题） 1．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（） A．B．2 C．D． 2．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（）A．菱形B．矩形C．等腰梯形D．正五边形 3．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（） A．4 B．8 C．16 D．8 4．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（） A．1： B．1：2 C．：2 D．1： 5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（） A．1﹣ B．1﹣ C．D． 二．填空题（共5小题） 6．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ=3，当CQ= 时，四边形APQE的周长最小． 7．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是．
8．如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A 1B 1 C 1 ．若BC=3，，则BB 1 = ． 9．已知一个直角三角板PMN，∠MPN=30°，MN=2，使它的一边PN与正方形ABCD 的一边AD重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点P旋转，使点M落在直线BC上一点F处，则CF的长为． 10．如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，E为对角线BD上一点，且DE=2BE，过E作FG⊥BD，分别交AB、CD于F、G．将四边形BCGF绕点B旋转180°，在此过程中，设直线GF分别与直线CD、BD交于点M、N，当△DMN是以∠MDN为底角的等腰三角形时，则DN的长是． 三．解答题（共6小题） 14．已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP= 时，四边形BCDP是矩形； （2）将点B绕点E逆时针旋转． ①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形； ②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积． 15．问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D 作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系 拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立如果成立，请就图中给出的情况加以证明． 问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD=2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC 所在的直线垂直时BD的长． 16．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A 1B 1 C 1 O的
初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练专练3 最短路径模型——旋转最值类 基本模型图: 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连 结B′D，则B′D的 最小值是（）． A． B.6 C. D.4 【思路探究】根据E为AB中点，BE＝B′E可知，点A、B、B′在以点E为圆心，AE长为半径的圆上，D、E为定点，B′是动点，当E、B′、D三点共线时，B′D的长最小，此时B′D＝DE－EB′，问题得解. 【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为圆心，AB长为直径的圆上，如图所示. B′D的长最小值= DE－EB′.故选A． 22 -=-
【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B′、D 三点共线B D DE B E ''≤-时，等号成立. 【典例2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是 . 【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解. 【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中 点O ，OD 交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝， OD ＝，∴DH 的最小值为112 AB =OD －OH . 1【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH .当然此题也可利用的基本模型解决. DH OD OH ≤-【针对训练 】 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在轴正半轴上运动时，点C 随之在轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大x y 距离为（ ）. A B C ． D ．31
几何图形旋转常见问题 一、填空题 1.如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于． 2．如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是cm． 3.正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为cm． 4.如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD 以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是． 二、解答题 5.如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP； (2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .
6.如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车的第一个叶 片F 1，然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转180°得到第二个叶片F 2 ，再将F 1 、F 2 同时 绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F 3、F 4 .根据以上过程，解答下列问题： (1)若点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(2，1)，写出此时点B的坐标； (2)请你在图6－2中画出第二个叶片F 2 ； (3)在(1)的条件下，连接OB，由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中，线段OB扫过的图形面积是多少？ 7.如图7，在直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1,0)，将线段OP 按逆时针方向旋转 45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1 ；又将线段OP 1 按逆时针方向旋转45°， 长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2 ；如此下去，得到线段OP 3 ，OP 4 ，…，OP n （n为正整数）. （1）求点P 6 的坐标； （2）求△P 5OP 6 的面积； （3）我们规定：把点P n (x n ,y n )（n=0,1,2,3,…）的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后 得到的新坐标(|x n |,|y n |)称之为点P n 的“绝对坐标”．根据图中点P n 的分布规律，请你猜 想点P n 的“绝对坐标”，并写出来． 8.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H （如图8）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
初中几何旋转典型例题归类 1、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长？ 解： 将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ 因为△BAP≌△BCQ 所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC 因为四边形DCBA是正方形 所以∠CBA＝90° 所以∠ABP＋∠CBP＝90° 所以∠CBQ＋∠CBP＝90° 即∠PBQ＝90° 所以△BPQ是等腰直角三角形 所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45 因为PA=a，PB=2a，PC=3a 所以PQ＝2√2a，CQ＝a 所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2 所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2 所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90° 所以∠BQC＝90°＋45°＝135° 所以∠BPA＝∠BQC＝135° 作BM⊥PQ 则△BPM是等腰直角三角形 所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a 所以根据勾股定理得： AB^2＝AM^2＋BM^2 ＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2 ＝[5＋2√2]a^2 所以AB＝[√(5＋2√2)]a 三个已知距离为1、2、3的问题： 2、在正方形ABCD中有一点P，PA=2，PB=4，角APB=135度，求PC的长？
解： 将△ABP旋转到△BCM，连接PM 显然BP＝BM＝4，CM＝PA＝2，∠ABP＝∠CBM，∠BMC＝∠APB＝135° 所以∠PBM＝∠ABC＝90° 所以△PBM是等腰直角三角形 所以PM＝√2*PB＝4√2，∠PBM＝45° 所以∠PMC＝135°－45°＝90° 所以三角形是直角三角形 根据勾股定理得：PC^2＝PM^2＋CM^2＝36 所以PC＝6 3、有正方形ABCD,E是其内一点，且E到B,C,D距离之比为3：2：1，求角CED=？ 解： 将△CDE绕C点旋转90°使CD与CB重合，E点旋转后到F点，连接EF 因为△CDE≌△CBF 所以DE＝BF，CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，∠CED＝∠CFB 因为四边形ABCD是正方形 所以∠BCD＝90° 所以∠DCE＋∠BCE＝90° 所以∠BCF＋∠BCE＝90° 即∠ECF＝90° 所以△CEF是等腰直角三角形 所以EF＝√2*CE，∠CFE＝45 因为BE∶CE∶DE＝3∶2∶1 所以可设BE＝3K，CE＝2K，DE＝K 所以EF＝2√2K，BF＝K
旋转知识点归纳 知识点1:旋转的定义及其有关概念 在平面内，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，定点O 称为旋转中心，转动的角称为旋转角;如果图形上的点P 经过旋转到点P ',那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB 绕点O 顺时针转动090得到B A '',这就是旋转,点O 就是旋转中心,A AO B BO '∠'∠,都是旋转角. 说明: 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向. 知识点2:旋转的性质 由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质： ⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同. ⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. ⑶对应点到旋转中心的距离相等. ⑷对应线段相等，对应角相等. 例1 、如图2，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ADB 绕点A 逆时针方向旋转到△C D A '的位置，则ADD '∠的度数是（ ）Ｄ Ａ．25 Ｂ．30 Ｃ．35 Ｄ．45 知识点3:旋转作图 1.明确作图的条件:(1)已知旋转中心;(2)已知旋转方向与旋转角. 2.理解作图的依据:(1)旋转的定义: 在平面内，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转;(2)旋转的性质:经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角,对 ' 图1 图2
细说旋转变换在几何证明中的运用 将平面图形绕某一点旋转一定角度，到另一个新位置，这种图形变换称之为旋转变换。它能使某些线段或角相对集中，为解决问题带来极大的方便。下面略举几例说明它在几何中的运用。 1、 如图：E 为等边三角形ABD 的BD 边上一点，是AE 延长线上一动点， 问∠BCD 等于多少度时，有CD+BC=AC. 2、如图：∠ABC=30O ，∠ADC=600，AD=CD 。 求证： 2 2 2 BC AB BD += 3、在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=900，P 为形内一点，且PB=1,PC=2,PA=3, 求：∠BPC 的度数。 4、已知点E,F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且∠DAF=∠EAF, 求证：DF+BE=AE 。
5、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD, ∠BAE=∠BCD=1200, ∠ABC+∠AED=1800,求证：AD平分∠CDE。 6、如图，E、F为△ABC中BC边的三等分点，BM是AC边的中线， AE、AF分BM为x、y、z三部分，（x＞y＞z）,求x：y：z。 7、在△ABC中，∠A=200,AB=AC, ∠DBC=500∠ECB=600, 求∠DEC。
旋转及旋转变换 1.如图，王虎使一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A 位置变化为 12A A A →→，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成 30°角， 则点A 翻滚到A 2位置时共走过的路径长为（ ） A ．10cm B ．4cm π C ．72 cm π D ．52cm 2.（2003 黄冈市）如图4－4－10，把直角△ABC 的斜边AB 放在定直线l 上，按顺时针的方向在直线l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置，设AC=3，BC=1，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线与直线l 围成的面积为________． 3.如图：已知ABC △中，AB AC = ， 90BAC =∠，直角EPF ∠的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下五个结论：①AE CF =②APE CPF =∠∠③ EPF △是等腰直角三角形④EF AP = ⑤1 2 ABC AEPF S S =△四边形．当EPF ∠在ABC △内绕顶点P 旋 转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论中始终正确的序 号有 ． 4. 如图，直线y=33 -x +2与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ． 将△ AOB 绕点O 按顺时针方向旋转α角(0°<α≤360°)， 可得△COD. (1)求点A ，B 的坐标； (2)当α=30° (如图2)，CD 与OA ，AB 分别相交于点P ，M ， OD 与AB 相交于点N ，试求△COD 与△AOB 的重叠部分 (即四边形OPMN)的面积． A 2 A 1 A ╮ A A A B C C 3 B 1 图4－4－10 l A C F E
运用旋转解决平面几何中的问题 1、正三角形类型 在正ΔABC 中，P 为ΔABC 内一点，将ΔABP 绕A 点按逆时针方向旋转600 ，使得AB 与AC 重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a ）中的PA 、PB 、PC 三条线段集中于图（1-1-b ）中的一个ΔP 'CP 中，此时ΔP 'AP 也为正三角形。 A B C P ? A C P ' 图（1-1-a ） 图（1-1-b ） 例1. 如图：（1-1）：设P 是等边ΔABC 内的一点，PA=3， PB=4，PC=5， 则∠APB 的度数是________. A P 34 5 ? ' 图（1-1） 图（1-2） 简解：在ΔABC 的外侧，作∠BA P '=∠CAP ，且A P '=AP=3，连结P 'B 。 则ΔBA P '≌ΔCAP 。易证ΔAP P '为正三角形，ΔPB P '为Rt Δ ∴∠APB=∠AP P '+∠P 'PB=60+90=1500 2、正方形类型 在正方形ABCD 中，P 为正方形ABCD 内一点，将ΔABP 绕B 点按顺时针方向旋转900 ，使得BA 与BC 重合。经过旋转变化，将图（2-1-a ）中的PA 、PB 、PC 三条线段集中于图（2-1-b ）中的ΔCP P '中，此时ΔBP P '为等腰直角三角形。 D C B A ? D ' 图（2-1-a ） 图（2-1-b ）
例2 . 如图（2-1）：P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离 分别为PA=1， PB=2，PC=3。求此正方形ABCD 面积。 A B C D P ? A B C E F 图（2-1） 图（2-2） 简解：作ΔAED 使∠DAE=∠BAP ，AE=AP 连结EP ，则ΔADE ≌ΔABP （SAS ） 同样方法，作ΔDFC 且有ΔDFC ≌ΔBPC 。 易证ΔEAP 为等腰直角三角形，又∵AP=1 ∴ 同理， ∵∠EDA=∠PBA ，∠FDC=∠PBC 又∵∠PBA+∠PBC=900 ∴∠EDF=∠EDA+∠FDC+∠ADC= 900 +900 =1800 ∴点E 、D 、F 在一条直线上。 ∴EF=ED+DF=2+2=4， 在ΔEPF 中，EF=4， 由勾股定理的逆定理，可知ΔEPF 为Rt Δ ∴S 正方形ABCD =S Rt ΔEPF +S Rt ΔEPA +S Rt ΔPFC =3+1 2+92 =8 3、等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形ΔABC 中，∠C=Rt ∠, P 为ΔABC 内一点，将ΔAPC 绕C 点按逆时针方向旋转900 ， 使得AC 与BC 重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b ）中的一个ΔP 'CP 为等腰直角三角形。 A B C P ? A B 图（3-1-a ） 图（3-1-b ） 例3．如图（4-1），在ΔABC 中，∠ACB =900 ，BC=AC ，P 为ΔABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠BPC
专题34 中考几何旋转类问题 1．旋转的定义：在平面内，将一个图形绕某一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 2. 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 3．旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。 4．中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。这个点就是它的对称中心。 5．中心对称的性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 【例题1】（2020?青岛）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（）
A ．（0，4） B ．（2，﹣2） C ．（3，﹣2） D ．（﹣1，4） 【对点练习】（2019?河南）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （﹣3，4），B （3，4），将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ） A ．（10，3） B ．（﹣3，10） C ．（10，﹣3） D ．（3，﹣10） 【例题2】（2020?孝感）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，连接EF ，过点A 作EF 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点G ．若BG ＝3，CG ＝2，则CE 的长为（ ） A ．54 B ．154 C ．4 D ．92
巧用旋转法解几何题 将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。 例1．如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E，F分别AC和BC上，且DE⊥DF， 求证：EF2=AE2+BF2 分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF，AE，BF三条线段不在同一个三角形中，由于D是中点，我们可以考虑以D为旋转中心，将BF旋转到和AE相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。 证明：延长FD到G，使DG=DF，连接AG，EG ∵AD=DB，∠ADG=∠BDF Array∴⊿ADG≌⊿BDF（SAS） ∴∠DAG=∠DBF，BF=AG ∴AG∥BC ∵∠C=90°∴∠EAG=90° ∴EG2=AE2+AG2=AE2+BF2 ∵DE⊥DF ∴EG=EF ∴EF2=AE2+BF2 例2，如图2，在⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是⊿ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数. 分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于⊿ACB是等腰直角三角形，宜以直角顶点C为旋转中心。 解：作MC⊥CP，使MC=CP，连接PM，BM
1.旋转—线段 1.在ABC 中，AB AC =，060BAC α α∠=??（＜＜），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60?得到线段BD ． （1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）； （2）如图2，150BCE ∠=?，60ABE ∠=?，判断ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE ，若45DEC ∠=?，求α的值． 解析：（1） 60ABD ABC ∠=∠-? 又18019022 ABC αα?-∠==?- 1190603022 ABD αα∴∠=?--?=?- （2）ABE 是等边三角形 证明：连接AD 、CD ∵60DBC ∠=?，DB BC = ∴BCD 是等边三角形，60BDC ∠=?，BD DC = 又∵AB AC =，AD AD =，∴ABD ACD ≌ ∴ADB ADC ∠=∠，∴150ADB ∠=?
∵60ABE DBC ∠=∠=?，∴ABD EBC ∠=∠ 又∵BD BC =，150ADB ECB ∠=∠=? ∴ ABD EBC ≌，∴AB EB = ∴ABE 是等边三角形 （3）解：∵ BDC 是等边三角形，∴60BCD ∠=? ∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=? 又∵45DEC ∠=?，∴EC DC BC ==, ∴1801801501522 BCE EBC CEB ?-∠?-?∠=∠===?, ∵ 302EBC ABD a ∠=∠=?- , ∴30α =?. 2.在ABC 中，BA BC =，BAC α∠=，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若60α=?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ,请补全图形，并写出CDB ∠的度数； （2）在图2中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．
巧用“旋转”求解一类几何最值问题 【模型1】如图，正方形ABCD的边长为√2，在对角线BD上有一点P，求当PA+PC+PB 的值最小时，则这个最小值为多少？ 【解析】 如图，将△ABP以点B为中心逆时针旋转60o，得到△EBQ，连接PQ，则△BPQ和△ABE均为等边三角形。设y=PA+PC+PB，则y=EQ+QP+PC，故当点E、Q、P、C在同一条直线上时y最小，即y的最小值为CE的长度。 过点E作EM⊥BC，交CB延长线于点M，易知，∠EBM=30o， ∴EM=√2/2，BM=√3·√2/2=√6/2； ∴CE2=（√2/2）2+（√6/2+√2）2
=4+2√3=（√3+1）2，∴CE=√3+1， 即当PA+PC+PB的和最小时，最小值为√3+1。 通过求解过程我们发现，点P在不在BD上与结果并无关系，可以认为点P为△ABC 内部的一点，当∠ABC=90o，BA=BC=√2时，PA+PB+PC的最小值仍然是√3+1。 于是我们设想当∠ABC为其他特殊角，BA和BC不相等时，PA+PB+PC的最小值可以求得吗？ 【模型2】在△ABC中，∠BAC=30o，AB=6，AC=8，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。 【解析】如图，将△ABP以点A为中心逆时针旋转60o，得到△AB′P′，连接PP′。 则△APP′为等边三角形。则PA+PC+PB=B′P′+PP′+PC，故当PA+PC+PB最小时，点B′、P′、P、C在同一条直线上，即PA+PC+PB的最小值为B′C的长度。 易知，∠B′AC=30o+60o=90o，AB′=AB=6， ∴B′C=10，即当PA+PC+PB的和最小时，最小值为10。
九年级数学上册旋转几何综合易错题（Word版含答案） 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6． （1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为． （2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ； （3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由． 【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3． 【解析】 【分析】 （1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论； （3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AD， ∴AD＝2BC＝12， ∴△ABD的面积＝1 2 AD?BC＝ 1 2 12×6＝36， 故答案为：36； （2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，
九年级上册旋转几何综合易错题（Word版含答案） 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD 上，∠EAF=45°． （1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE △绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程； （2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有 EF=BE+DF； （3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案； （2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即 180 ADG ADF ∠+∠=?，即180 B D ∠+∠=?； （3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长． 【详解】 （1）解：如图， ∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是： 如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°； （3）解：∵△ABC中，2BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22 AB AC +，
例1．有公共顶点C 的△ABC 和△CDE 都是等边三角形. （1）求证：AD=BE ； （2）如果将△CDE 绕点C 沿顺时针方向旋转一个任意角，AD=BE 还成立吗？ 推广：四边形ABDE 和ACFG 都是正方形，连结EC,BG ，如果将ABDE 绕点A 旋转一个任意角，问EC 与BG 有何关系. 例2.课本例题推广： （1）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD=∠BCD=90°，且四边形ABCD 的面积36，求线段BC 与CD 的和. （2）已知：在五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＋DE ＝CD ，∠ABC ＋∠AED ＝180°． 求证：AD 是∠CDE 的平分线． （3）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且BC ＞AD ；∠D ＝90°，BC ＝CD ＝12，∠ABE ＝45°．若AE ＝10，求CE 的长． 例3．已知E 、F 分别在正方形ABCD 边AB 和BC 上，AB=1，∠EDF=45°.求 △BEF 的周长. 例4. 已知：在△ACB 中，∠ACB ＝90°， AC ＝BC ，D 、E 在AB 边上，且使得∠DCE ＝45°．求 证：AD 、DE 、EB 三条线段确定的数量 关系 练习： 1． 在△ABC 中，AB=AC ，如图，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 . 求DE 的长. 拓展：如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ， （1）P 是三角形内的一点，且∠APB=∠APC ．求证：PB=PC ． （2）D 是三角形内一点，若∠ADB ＞∠ADC ．求证∠DBC ＞∠DCB ． （3）若P 为正方形ABCD 内一点，PA ∶PB ∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135° 2．（正方形中的三角形旋转）已知：如图，E 是正方形ABCD 边BC 上任意一点，AF 平分∠EAD 交CD 于F ，试说明BE+DF=AE. 拓展：已知：在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点， （1）如图（1），若有BE+DF=EF ，求：∠EAF 的度数. （2）如图（2），若有∠EAF =45o.求证：BE+DF=EF. （3）如图（3），若∠EAF=45o，AH ⊥EF ．求证：AH=AB ． （4）如图（4），若正方形ABCD 边长为1，△CEF 的周长为2．求∠EAF 的大小． （5）如图（5），若AB=3，且∠BAE=30o，∠DAF=15o，求△AEF 的面积． （6）如图（6），正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成4个小矩形，P 是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍．试确定∠HAF 的大小，写出推导的过程． （1） （2） （3） （4） （5） 练习：（答案） 1．在△ABC 中，AB=AC ，如图，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 .求DE 的长. 拓展：如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ， （1）P 是三角形内的一点，且∠APB=∠APC ．求证：PB=PC ． （2）D 是三角形内一点，若∠ADB ＞∠ADC ．求证∠DBC ＞∠DCB ． A E D C B A
熟练运用旋转解决平面几何中的问题 平面几何的证题方法多种多样．利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果． 例图1中以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE 及正方形ACFG，连结BG、CE． 求证：(1)BG=CE；(2)BG⊥CE． 分析：一般的证法是证明△ABG与△AEC全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B，点C绕点A 逆时针旋转90°为点G，从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG，故有BG=CE，BG ⊥CE．本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。 一、按旋转的角度进行区分 1、90°角旋转 例1 如图2，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD— 上的点，且△CEF的周长是2．求∠EAF的大小。 解：将△ABE绕点A作逆时针旋转90°，则AB边与AD边重合，设旋转后E→E′，由条件△CEF的周长为2，即CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+ DF=2，且显然有BE=DE′，故CE+ CF+FE′=2．从而必有EF=FE′，又AE= AE′，AF=AF，故△AEF≌△AE'F，∴∠EAF=E'AF，又从作图知∠EAE′=90°，故∠EAF=45°。
例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P 为正方形ABCD 内一点，若 PA =1，PB =2，PC =3 ，求:(1)∠APB 的度数;(2)正方形ABCD 的面积． 分析:三条已知的线段PA 、PB 、PC 具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形．但是当把△ABP 按顺时针方向旋转90°后，即会出现等腰直角三角形，于是PA 旋转后的线段与 PC 构成了一个新的三角形． 解:(1)将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转90°得△CBQ ． 则△ABP ≌ △CBQ 且PB ⊥QB ． 于是PB =QB =2a ，PQ =2． 在△PQC 中，∵PC 2=9a 2，PQ 2＋QC 2=9a 2 ． ∴PC 2 =PQ 2 ＋QC 2 ． ∴∠PQC =90°． ∵△PBQ 是等腰直角三角形， ∴∠BPQ =∠BQP =45°． 故∠APB =∠CQB =90°＋45°=135°． (2)∵∠APQ =∠APB ＋∠BPQ =135°＋45°=180°， ∴三点A 、P 、Q 在同一直线上． 在Rt △AQC 中，AC 2 =AQ 2 ＋QC 2 =(a ＋)2 ＋a 2 =(10＋a 2 ． 故S 正方形ABCD = 12 AC 2 =(5＋a 2． 思考 例2中，如果把△CBP 绕点B 逆时针方向旋转90°得△ABM ，怎样解以上问题?(答: (1)△PBM 是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得∠APM =90°;(2)过点B 作 BN ⊥AP ，垂足为N ．则PN =BN ，于是在△ABN 中可求出边长AB 的平方，即得正方形的 面积．)