旋转问题
1.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，底面ABCD 的对角线BD 在平面α内，则正方体在平面α内的射影 构成图形面积的取值范围为
2.已知正四棱锥V ABCD -可绕AB 任意旋转，//CD 平面α，若，则正四棱锥V ABCD - 在平面α内的投影的面积的取值范围为
3在Rt ABC ?
中，,1,2C AC BC π
∠=== D 是边AB 上的动点，设BD x =，把BDC ?沿翻折为B DC '?，若
存在某个位置，使得异面直线B C '与AD 所成的角为3
π，则实数x 的取值范围是. B A.
0x <<
B.
2x << C.
0x << D.
2x <<
A
立体几何题中的角度问题 一．异面直线所成的角 例1.（2011年宁波）正方体1111D C B A ABCD -中， （1）.求D A AC 1与所成角的大小. （2）.若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求11C A 与EF 所成角大小. 练习：1.A 是ΔBCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，AC ⊥BD.AC=BD.求EF 与BD 所成的角. 2.如图，在三棱锥S�ABC 中，，SA=AC=BC.求异 面直线SC 与AB 所成角的大小。 3.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角的余弦值。
二．直线与平面所成角 例 2.（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ; (Ⅱ)若G 是PC 的中点,求DG 与APC 所成的角的正切值; (Ⅲ)若G 满足PC⊥面BGD,求 PG GC 的值. 练习：1（2013年高考天津卷（文））如图, 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱 长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点. (Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ; (Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1; (Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值. 错误！未指定书签。 2（2013年高考大纲卷（文））已知正四棱柱 1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （ ） A ． 23 B ． 33 C ． 23 D ． 13
高中数学“立体几何”教学研究 一 . “立体几何”的知识能力结构 高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的，在必修2中，先从对空间几何体的整体认识入手，主通过直观感知、操作确认，获得空间几何体的性质，此后，在空间几何体的点、直线和平面的学习中，充分利用对模型的观察，发现几何体的几何性质并通过简单的“推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质，从微观上为进一步深入研究空间几何体做了必要的准备.在选修2-1中，首先引入空间向量，在必修2的基础上完善了几何论证的理论基础，在此基础上对空间几何体进行了深入的研究. 首先安排的是对空间几何体的整体认识，要求发展学生的空间想像能力，几何直观能力，而没有对演绎推理做出要求. 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中，以长方体为模型，通过说理（归纳出判定定理，不证明）或简单推理进行论证（归纳并论证明性质定理）， 在“空间向量与立体几何”的学习中，又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合，完善了空间几何推理论证的理论基础，并对空间几何中较难的问题进行证明. 可见在立体几何这三部分中，把空间想像能力，逻辑推理能力，适当分开，有所侧重地、分阶段地进行培养，这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，同时降低学习立体几何的门槛，同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念. 二. “立体几何”教学内容的重点、难点 1.重点： 空间几何体的结构特征：柱、锥、台、球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：几何体的三视图和直观图的画法； 空间几何体的表面积与体积：了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式； 空间点、直线、平面的位置关系：空间直线、平面的位置关系； 直线、平面平行的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳； 直线、平面垂直的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳. 2.难点： 空间几何体结构特征的概括：柱、锥、台球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：识别三视图所表示的几何体； 空间点、直线、平面的位置关系：三种语言的转化； 直线、平面平行的判定及其性质：性质定理的证明； 直线、平面垂直的判定及其性质：性质定理的证明.
立体几何中组合问题的几种解法 解决几何组合问题时，应准确灵活使用加法原理和乘法原理，要分类分步进行，做到不重复不遗漏。 1 直接求解法 例1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有多少种? 分析：正面考虑本题各步骤的方法比较复杂，计算困难，应运用逆向思维，即先考虑从10个点任意取出4个点的方法，再减去从10个点中取出4点共面的的方法即可。 解：从10个点中找出4个点的方法有Ｃ410=210种，其中在四面体的四个面内各有6个点，取出共面的4个点的方法有4Ｃ4■=60种；相邻面各棱的中点4点共Ｃ410面的有3种；一条棱上三点与其相对棱中点也共面，共6种。 ∴所求方法N=210-60-3-6=141(种) 本题应注意“哪些点共面?”共有几种情况?[1] 例2：从平面Ⅱ上取6个点，再从平面B上取4个点，这10个点最多可确定多少个三棱锥? 解法①：分三种情况考虑：第一种情况从平面a上的6个点中任取一个再与从平面β上的4个点中任取3个点构成的三棱锥有Ｃ1■Ｃ■■个；第二种情况，从平面a上的6个点中任取2个与平面13上的4个点中任取2个点构成的三棱锥有Ｃ2■Ｃ2■个；第三种情况，从平面a上的6个点中任取3个点与平面β上的4个点中任取1个点构成的三棱锥有Ｃ■■Ｃ1■个。根据加法原理共有Ｃ1■Ｃ■■+Ｃ2■Ｃ2■ +Ｃ■■Ｃ1■ =24+90+80=194(个)。 解法②：逆向思维：从10个点中任取4个点的组合数Ｃ410中，去掉4个点共面的两种情况即4点在平面a上的Ｃ4■个，4点在平面β上的Ｃ4■个。其余的任4点都能构成一个三棱锥。因此，可构成三棱锥Ｃ410-Ｃ4■-Ｃ4■=210-15-1=194(个)。 2 从几何概念上求解［2］ 例3：空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，其余无四个点共面，则这些可以组成四棱锥的个数有多少个? 此题易错解，仿上例。
立 体 几 何 中 的 求 角 问 题 集美中学数学组 刘 海 江 一、记一记，填一填，这些知识你掌握了吗？ 1、 两条异面直线所成的角θ的范围是 ，当θ= 时，这两条异面直线互相垂直。 ☆异面直线所成角的求法： （1）平移(做平行线)其中一条或两条直线，使之同在某一三角形中，通过解三角形求出所求的角。 （2）利用向量夹角来求：设异面直线b a ,的方向向量为,，则直线b a ,的夹角θ由公式||||cos b a ?=θ， 2、 斜线AO 与它在平面α内的射影AB 所成的角1θ叫做 。设AC 是α内的一条直线，AO 与AC 所成的角为θ，AB 与AC 所成的角为θ2，则θ1、θ2、θ的余弦值关系是________________. 3、平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成的角中__________. 如果直线和平面垂直，那么就说_______________. 如果直线和平面平行或在平面内，那么说______________. 4、直线和平面所成的角的范围为_____________. 5、斜线和所交平面所成的角的范围为__________. 6、直线与平面所成的角（设为θ） （1）斜线与平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的_____________ 所成的________________，叫做这条直线和这个平面所成的角。 （2）当一条直线__________于平面时，规定它们所成的角是直角；当一条直线和平面 ___________或_________时，规定它们所成的角为________________. (3)填写下表: 在直线与平面所成的角的定义中体现_________和___________数学思想. （4）斜线和平面所成的角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的_____________来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线就是斜线在平面上的___________________.在平面内经过斜足的直线有无数条，；它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的____________来定
2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何 1、（2010一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α?=? ，即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .
连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中，OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、（2011一试6）在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 【解析】 因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ． 在△DMN 中，332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM ．学科*网 由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN ， 故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD ．故球O 的半径3=R ． 3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 二面角的求法 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 例1（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 练习1（山东）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成 最大角的正切值为 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 例2．(山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 (1)证明：直线EE 1//平面FCC 1； (2)求二面角B-FC 1-C 的余弦值。 练习2（天津）如图，在四棱锥ABCD P - 中，底面ABCD 是矩形． 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小． 三．补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决 例3（湖南）如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是 CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ; （Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 （1）求证：AC 1⊥BC ； （2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 A B C E D P E A B C F E A B C D D 高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定 立体几何中“折叠问题”的解题策略[例题]如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥BC，BD∥DC，点E是BC边的中点，将∥ABD沿BD折起，使平面ABD∥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体． (1)求证：AB∥平面ADC； (2)若AD＝1，二面角C-AB-D的平面角的正切值为6，求二面角B-AD-E的余弦值. [解](1)证明：因为平面ABD∥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，BD∥DC，DC∥平面BCD， 所以DC∥平面ABD. 因为AB∥平面ABD，所以DC∥AB. 又因为折叠前后均有AD∥AB，DC∩AD＝D， 所以AB∥平面ADC. (2)由(1)知AB∥平面ADC， 所以二面角C-AB-D的平面角为∥CAD. 又DC∥平面ABD，AD∥平面ABD， 所以DC∥AD. 依题意tan∥CAD ＝CD AD ＝ 6. 因为AD ＝1，所以CD ＝ 6. 设AB ＝x (x ＞0)，则BD ＝x 2＋ 1. 依题意∥ABD ∥∥DCB ，所以AB AD ＝CD BD ， 即x 1＝6x 2＋1 ，解得x ＝2， 故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝BD 2＋CD 2＝3. 以D 为坐标原点，射线DB ，DC 分别为x 轴，y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ， 则D (0,0,0), B (3,0,0), C (0,6，0), E (23,2 6 ,0）, A ( 33,0,3 6）， 所以DE ―→＝(2 3,2 6,0），DA ―→＝(3 3,0,3 6 ）. 由(1)知平面BAD 的一个法向量n ＝(0,1,0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由?? ? m·DE ―→＝0，m·DA ―→＝0， 得??? 32x ＋6 2y ＝0， 33x ＋6 3z ＝0. 令x ＝6，得y ＝－3，z ＝－3， 1 / 4word. 立体几何中的排列组合问题解法举隅 立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新. 因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力. 因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题. 解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏. 下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考. 一、分步求解 例1 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（ ） A. 12对 B. 24对 C. 36对 D. 48对 解 由于六棱锥的6条侧棱交于一点, 底面六边形的6条边共面, 因而只能将侧 棱与底边相搭配. 第一步, 从6条侧棱中任取一条有1 6C 种; 第二步, 从底面6 条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有14C 种, 由乘法原理知有1416C C =24对, 故选B. 二．分类求解 例2 四边形的一个顶点为A, 从其它顶点与各棱的中点中取3点, 使它们和点A 在同一平面上, 不同取法有( ) A. 30种 B. 33种 C. 36种 D. 39种 解 符合条件的取法可分为两类: ①4个点(含A)在同一个侧面上,有3033 5 C 种；②4个点（含A ）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种. 由加法原理知不同取法共有33种，故选B. 例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿. 立体几何知识点 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 （3）棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 23 1π=圆锥 '1()3 V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π 立体几何中的折叠问题 1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题. 2.折叠问题分析求解原则： (1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系； (2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变。 （最值问题）1、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为_______. （两点间距离，全品83页）2、把长宽分别为2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成60o 的二面角，求顶点B 和D 的距离。 3、（全品70页）给出一边长为2的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，并用虚线标在图中，并求该三棱锥的体积。 4、（2005江西文）矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B — AC —D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ） A ． π12 125 B ． π9 125 C ． π6 125 D ． π3 125 A B C E M N 解决折叠问题的关键是弄清折叠前后哪些量没有变化，折叠后位置关系怎样变化，通过空间想象折叠成的几何体的形状来分析已知和待求，是培养空间想象能力的很好的题型。 高考题中的折叠问题 1、在正方形SG 1G 2G 3中E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点,D 是EF 的中点,现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使G 1、G 2、G 3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S —EFG 中必有 (A)SG ⊥△EFG 所在平面 (B)SD ⊥△EFG 所在平面 (C)GF ⊥△SEF 所在平面 (D)GD ⊥△SEF 所在平面 2、如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ， EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．0° 3、（2005浙江理科）12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如下图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_____． 4、（2006山东）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为 (A) 2734π (B)26π (C)86π (D)24 6π 5、（2009浙江）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ?沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ． 例析立体几何中的排列组合问题 春晖中学过月圆 在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。 1 点 1．1 共面的点 例1（1997年全国高考（文）） 四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（） A．30种 B．33种 C．36种 D．39种 解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。 所以与点A共面的四点组合共有个。 答案：B 点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。 1．2 不共面的点 例2（1997年全国高考（理）） 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（） A．150种 B．147种 C．144种 D．141种 解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。 以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。答案：D。 点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。 2 直线 例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理）） 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（） A．18对 B．24对 C．30对 D．36对 分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。 解析：法一：一条底面棱有5条直线与其异面。 例：与AB异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。 侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线； 例：与BB1异面的直线分别是AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5条与其异面的直线； 题型五立体几何中的空间角问题 1.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点． (1)求证：AF∥平面BCE； (2)求证：平面BCE⊥平面CDE； (3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值． 2．(2011·湖南)如图，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，C是AB的中点，D为AC的中点． (1)证明：平面POD⊥平面P AC； (2)求二面角B—P A—C的余弦值． 答案 1．(1)证明 设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为z 轴，建立如图所示的直角坐 标系A —xyz ， 则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )． 因为F 为CD 的中点， 所以F ??? ?32a ，32a ，0. AF →＝??? ?32a ，32a ，0，BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a,0，－a )． 因为AF →＝12 (BE →＋BC →)，AF ?平面BCE ， 所以AF ∥平面BCE . (2)证明 因为AF →＝??? ?32a ，32a ，0，CD →＝(－a ，3a,0)， ED →＝(0,0，－2a )，故AF →·CD →＝0， AF →·ED →＝0，所以AF →⊥CD →，AF →⊥ED →. 所以AF →⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE . (3)解 设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由n ·BE →＝0，n ·BC →＝0， 可得x ＋3y ＋z ＝0,2x －z ＝0，取n ＝(1，－3，2)． 又BF →＝??? ?32a ，32a ，－a ，设BF 和平面BCE 所成的角为θ， 则sin θ＝|BF →·n ||BF →||n |＝2a 2a · 22＝24. 所以直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24 . 2．方法一 (1)证明 如图，连接OC ，因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD . 又PO ⊥底面⊙O ，AC ?底面⊙O ， 所以AC ⊥PO . 立体几何简答题练习 1、正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ。求证:PQ∥平面BCE.（用两种方法证明） 2、如图所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、F分别在PA、BD上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF∥平面PBC. 3、如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 的棱BC，CC 1 ，C 1 D 1 ，AA 1 的中点。 求证：（1）EG∥平面BB 1D 1 D； （2）平面BDF∥平面B 1D 1 H． 4、如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l. (1)求证：l ∥BC ； (2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论。 5、如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA=SB ，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC ，且交SC 于点N 。 （1）求证：SB ∥平面ACM ； （2）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （3）求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由. 7、如图,在四棱柱ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中,底面ABCD是等腰梯形,∠ DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点。 (1)求证:C 1M∥平面A 1 ADD 1 ; (2)若CD 1垂直于平面ABCD且CD 1 =3,求平面C 1 D 1 M和平面ABCD所成的角(锐角) 的余弦值。 8、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点． （1）证明：PA∥平面EDB； （2）证明：BC⊥DE． 立体几何的动态问题之二 ———翻折问题 立体几何动态问题的基本类型： 点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等 一、面动问题（翻折问题）： （一）学生用草稿纸演示翻折过程: （二）翻折问题的一线五结论 .DF AE ⊥一线：垂直于折痕的线即 五结论： 1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变； 折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 2--D HF D H F ''∠）是二面角的平面角； 3D DF '）在底面上的投影一定射线上； 二、翻折问题题目呈现： （一）翻折过程中的范围与最值问题 1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD 中， ， CD=CB= 且AD AB ⊥， 现将△ABD 沿对角线BD 翻折成'A BD ?，则在'A BD ?折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为_______ . 解：由题意知点A 运动的轨迹是以E 为圆心,EA 为半径的圆，当点A 运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以tan 'A CB ∠= 【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误 1 2 进行分析，找出错误的原因。 2、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F 。现将△ABD 沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是 D A B E C D A B C 4) ''D H DH 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；5AD'E AE .）面绕 翻折形成两个同底的圆锥C A.( ,)63 ππ B. (,]62 ππ C. ( ,]32 ππ D. 2( ,)3 3 ππ 分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。 方法一：特殊值法（可过F 作FH 平行BE,找两个极端情形） 方法二：定义法：利用余弦定理： 222254cos 243 FH FC CH FHC CH FH FC +-∠==- ，有344CH ≤≤ 11cos ,22CFH ?? ∴∠∈-???? 异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是(,] 32ππ 方法三：向量基底法： 111 ()()222BE FC BA BD FC BA FC BF FA FC =+==+ 111cos ,cos ,,222BE FC FC FA ?? <>= <>∈-???? 方法四：建系： 3、（2015年浙江·理8）如图，已知ABC ?，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ?折成 A CD '?，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则 （ B ） A. A DB α'∠≤ B. A DB α'∠≥ C. A CB α'∠≥ D. A CB α'∠≤ 方法一：特殊值 方法二：定义法作出二面角，在进行比较。 方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。 4、 （14 年1月浙江省学业学考试题）如图在Rt △ABC 中，AC ＝1，BC ＝x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程 B 专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问 题 1.(2020河北石家庄5月检测,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图 2. (1)求证:平面A1CD⊥平面A1BC; (2)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值. 2. (2020贵州贵阳适应性训练,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,F为棱PD的中点. (1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE?并说明理由; (2)若PA=PD=AB,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值. 3.(2020浙江台州模拟,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=3,AA1=2.以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD,连接DA1和DC1. (1)求证:A1D∥平面BCC1B1; (2)在线段BC上是否存在点F,使平面DA1C1与平面A1C1F垂直?若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由. 4.(2020云南昆明一中模拟,19)图1是由边长为4的正六边形AEFBCD,矩形DCGH组成的一个平面图形,将其沿AB,DC折起得几何体ABCD-EFGH,使得CG⊥AD,且平面EFGH∥平面ABCD,如图2. (1)证明:在图2中,平面ACG⊥平面BCG; (2)设M为图2中线段CG上一点,且CM=1,若直线AG∥平面BMD,求图2中的直线BM与平面AHB 所成角的正弦值. 5.(2020北京通州一模,18)如图1,已知四边形ABCD为菱形,且∠A=60°,取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG,使得∠AEG=90°,如图2. (1)求证:AE⊥平面EBHG; (2)求二面角A-GH-B的余弦值; (3)若点F满足=λ,当EF∥平面AGH时,求λ的值. 第2讲 立体几何中的空间角问题 高考定位 以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查，高考注重以传统方法解决空间角问题，但也可利用空间向量来求解. 真 题 感 悟 (2017·浙江卷)如图，已知四棱锥P －ABCD ，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC ＝AD ＝2DC ＝2CB ，E 为PD 的中点. (1)证明：CE ∥平面P AB ； (2)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值. 法一 (1)证明 如图， 设P A 中点为F ，连接EF ，FB . 因为E ，F 分别为PD ，P A 中点， 所以EF ∥AD 且EF ＝1 2AD ， 又因为BC ∥AD ，BC ＝1 2AD ， 所以EF ∥BC 且EF ＝BC ， 即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF . 又因为CE ?平面P AB ，BF ?平面P AB ， 因此CE ∥平面P AB . (2)解 分别取BC ，AD 的中点为M ，N ， 连接PN 交EF 于点Q ，连接MQ . 因为E ，F ，N 分别是PD ，P A ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点， 在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE . 由△P AD 为等腰直角三角形得PN ⊥AD . 由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD . 因为PN ∩BN ＝N ，所以AD ⊥平面PBN . 由BC ∥AD 得BC ⊥平面PBN ， 因为BC ?平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，则QH ⊥平面PBC .连接MH ，则MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角.设CD ＝1. 在△PCD 中，由PC ＝2，CD ＝1，PD ＝2得CE ＝2， 在△PBN 中，由PN ＝BN ＝1，PB ＝3得QH ＝1 4， 在Rt △MQH 中，QH ＝1 4，MQ ＝2， 所以sin ∠QMH ＝2 8， 所以，直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是2 8. 法二 过P 作PH ⊥CD ，交CD 的延长线于点H .不妨设AD ＝2，∵BC ∥AD ，CD ⊥AD ，则易求DH ＝1 2，过P 作底面的垂线，垂足为O ，连接OB ，OH ，易得OH ∥BC ，且OP ，OB ，OH 两两垂直.故可以O 为原点，以OH ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. (1)证明 由PC ＝AD ＝2DC ＝2CB ，E 为PD 的中点，则可得： D ? ????－1，12，0，C ? ????－1，32，0，P ? ????0，0，32，A ? ????1，12，0，B ? ? ???0，32，0，E ? ?? ??－12，14，34， 专题13 立体几何中的截面 【基本知识】 1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。 2、正六面体的基本斜截面： 3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。 【基本技能】 技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题； 技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； 技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等； 技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。 例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能 ．．． 是（） 分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。 例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面EFGH的面积不改变； ③棱A1D1始终与水面EFGH平行； ④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值； 其中正确的命题序号是______________ A C B D 分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为 BC BF BE V ??= 2 1 水是定值，又BC 是定值，所以BE ·BF 是定值，即④正确。所以正确的序号为①③④. 例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ） A ． 21 B ．87 C ．12 11 D ．4847 分析 本题很容易认为当水面是过E 、F 、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图（1），最大值为 8 7 12121211=???- =V 立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图（2）△EB 1C 时容器的容积最大，最大容积为1211 112121311=????-=V ， 故选C 。 例4 正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是P 在底面上的射影，6, PO Q =是 AC 上的一点，过Q 且与, PA BD 都平行的截面为五边形EFGHL ，求该截面面积的最大值. C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图（1） C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图（2）立体几何——面角问题方法归纳
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