熟练运用旋转解决平面几何中的问题
平面几何的证题方法多种多样．利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果．
例图1中以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE
及正方形ACFG，连结BG、CE．
求证：(1)BG=CE；(2)BG⊥CE．
分析：一般的证法是证明△ABG与△AEC全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B，点C绕点A 逆时针旋转90°为点G，从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG，故有BG=CE，BG ⊥CE．本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。
一、按旋转的角度进行区分
1、90°角旋转
例1 如图2，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD—
上的点，且△CEF的周长是2．求∠EAF的大小。
解：将△ABE绕点A作逆时针旋转90°，则AB边与AD边重合，设旋转后E→E′，由条件△CEF的周长为2，即CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+ DF=2，且显然有BE=DE′，故CE+ CF+FE′=2．从而必有EF=FE′，又AE= AE′，AF=AF，故△AEF≌△AE'F，∴∠EAF=E'AF，又从作图知∠EAE′=90°，故∠EAF=45°。
例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P 为正方形ABCD 内一点，若
PA =1，PB =2，PC =3 ，求:(1)∠APB 的度数;(2)正方形ABCD 的面积．
分析:三条已知的线段PA 、PB 、PC 具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形．但是当把△ABP 按顺时针方向旋转90°后，即会出现等腰直角三角形，于是PA 旋转后的线段与
PC 构成了一个新的三角形．
解:(1)将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转90°得△CBQ ． 则△ABP ≌ △CBQ 且PB ⊥QB ．
于是PB =QB =2a ，PQ =2．
在△PQC 中，∵PC 2=9a 2，PQ 2＋QC 2=9a 2
． ∴PC 2
=PQ 2
＋QC 2
． ∴∠PQC =90°． ∵△PBQ 是等腰直角三角形， ∴∠BPQ =∠BQP =45°．
故∠APB =∠CQB =90°＋45°=135°．
(2)∵∠APQ =∠APB ＋∠BPQ =135°＋45°=180°， ∴三点A 、P 、Q 在同一直线上．
在Rt △AQC 中，AC 2
=AQ 2
＋QC 2
=(a ＋)2
＋a 2
=(10＋a 2
．
故S 正方形ABCD =
12
AC 2
=(5＋a 2． 思考 例2中，如果把△CBP 绕点B 逆时针方向旋转90°得△ABM ，怎样解以上问题?(答: (1)△PBM 是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得∠APM =90°;(2)过点B 作
BN ⊥AP ，垂足为N ．则PN =BN ，于是在△ABN 中可求出边长AB 的平方，即得正方形的
面积．)
2、60°角旋转．
例1 如图3，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作等边三
角形ABD及等边三角形ACE。连结BE、CD。设M、N分别是BE、
CD的中点。求证：△AMN是等边三角形。
证明：由条件可知，△ADC绕点A逆时针旋转60°为△ABE。
即线段CD绕点A逆时针旋转60°得BE中点M，故AN=AM，∠NAM二60°，即△AMN是等边三角形。
例2 如图4，P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，
PC=5．求∠APB的大小。
解：将△APC绕点A顺时针旋转60°，由ABC为等边三角形知，
此时所得新三角形—边与AB重合。设P旋转后为P′，则△APP′
的边长为3的等边三角形，P'B=PC=5，又PB=4，故pp'2+PB2=P′B2．从
而△P'PB是以∠P′PB为直角的直角三角形，从而∠APB=∠APP′+
∠P'PB=60°+90°=150°。
例3 如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证
明:BD2=AB2＋BC2．
分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形．因
此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中．
证:连接AC．
∵AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形．
故将△DCB绕点C顺时针方向旋转60°时可得△ACE．连接BE．
于是△DCB≌△ACE且CB=CE，∠BCE=60°．
∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°．
∵∠ABC=30°，∴∠ABE=90°．
故AB2＋BC2=AB2＋BE2=AE2=BD2．
练习．已知：如图，M 是等边△ABC 内的一个点，且MA=2cm ，MB=cm ，MC=4cm ，求：△ABC 的边AB 的长度。
3、旋转到特殊位置
例1 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =25°，以点C 为旋转中心将△ABC 旋转α角到△A 1B 1C 的位置，使B 点恰好落在A 1B 1上．求旋转角α的度数．
分析:将△ABC 旋转到点B 落在A 1B 1上的特殊位置时，即确定了旋转角α的大小．于是∠A 1BB 1是平角，它是解题的切入点，通过平角可列方程求出角α ．
解:∵△ABC ≌△A 1B 1C (旋转前后的图形全等)． ∴∠A =∠A 1且CB =CB 1．
∵∠ADC =∠A 1DB ， ∴∠A 1BD =α ． 在△ABC 中，∠ABC =90°－25°=65°．
∵∠BCB 1=α(对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角)． ∴∠CBB 1=
1
2
(180°－α) ∵点A 1、B 、B 1在同一直线上， ∴α＋65＋
1
2
(180－α)=180． 解之得α=50°．
思考 例1中，若∠A =θ，那么α与θ有何数量关系?(答: α=2θ)
二、按计算要求进行区分
1、求角度
例1（青岛）、如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB
分析：由题中已知条件中的 6、8、10这组勾股数联想到直角 三角形，于是设法将PA 、PB 、PC 集中到一个三角形中，可以将△APC
绕着A 点逆时针旋转60°得到△AFB ， 图1 图2 从而可得∠APB=∠APF+∠BPF ，然后设法求出∠APF 、∠BPF 的度数即可。
解：将△APC 绕点A 逆时针旋转60°后，得△AFB ，连接FP （如图2），则FB=PC=10，FA=PA=6，∠FAP=60°。∴△FAP 是正三角形，FP=PA=6，在△PBF 中，PB 2
+PF 2
=82
+62
=102
=BF 2
，∴∠BPF=90°，∠APB=∠APF+∠FPB=60°+90°=150°。
例2、如图所示，△ABC 中，∠ACB=120°，将该图形绕点C 按顺时针旋转30°后，得到△A ’B ’C ，则∠AB ’C 的度数是 。
分析：根据旋转的性质可以知道∠BCB ’是旋转角，它的度数应该是30°，∠AB ’C 可以看成是∠ACB 和∠BCB ’的和，所以∠AB ’C=120°＋30°=150°。
答：∠AB ’C 的度数是150°。
2、求线段间的关系或长度
例1（旅顺）操作：如图3，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连MN 。探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明。
分析：本题要探究的三条线段不在同一个三角形之中，必须设法将
它们集中到一个三角形中。易知∠DBA=∠DCA=90°，BD=CD ，于是将△DBM 绕D 点顺时针旋转120°到△DCP 的位置，则BM=CP ，DM=DP ，再证MN=NC+CP 即可得证。
解：∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°， 又∵∠BDC=120°，DB=DC ，∴∠DBC=∠DCB=30°。 ∴∠DBM=∠DCN=90°。于是将△DBM 绕D 点顺时针
B'
A'
C
B 图3
旋转120°到△DCP 位置，则BM=CP 、DM=DP 、∠MDP=120°， 又∵∠MDN=60°，∴∠PDN=60°，∴∠PDN=∠MDN ，∵DN=DN ， ∴△MDN ≌△PDN ，∴MN=NP=NC+CP ，∴BM+NC=MN 。
答：∠AB ’C 的度数是150°。
例2、如图4所示，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFGH ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是 。
分析：由旋转的性质可以知道∠BFC=∠DCG=30°，所以∠FCD=60°，可以连结线段HC （如图4所示），由已知可知∠F=∠D=90°，FC=DC ，HC 是Rt △FHC 和Rt △DHC 公共的斜边，根据HL 公理可以判断Rt △FHC ≌Rt △DHC ，所以∠FHC=∠DHC=30°，所以HC=2DH ，根据勾
股定理可得222
DH DC HC +=，即()2
22DH DC DC +=，因为DC=3，所以
答：DH
3、求面积 图3
例1、如图4，△ABC 是等腰直角三角形，D 为AB 的中点，AB=2，扇形ADG 和BDH 分别是以AD 、BD 为半径的圆的
4
1
，求阴影部分面积。 分析：从表面上看图形异常繁杂，若想 直接求阴影部分面积则不可能，若将扇形BDH
和△BDC 绕D 点顺时针旋转180°，问题就迎刃而解了。
解：将扇形BDH 和△BDC 绕D 点顺时针 图4 图5 旋转180°变成图5。
∴S 阴=S 半圆－S △AEF =
21π×12－21×12=2
1（π－1）。 A
A
B
H
C C
C D
D E
E
F
F
G
G
H
H
G
D
B
A
F E
图4 H
G
D
C
B
A
F E
图5
例2、如图所示，△AOB 中，OA=3cm ，OB=1cm ，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°
到△A ’OB ’，那么AB 扫过的区域的面积是 。
分析：AB 扫过的区域是一个不规则的图形，要想计算它的面积，可以将它分割为①和③两部分（如图2所示），根据旋转可以知道区域②和区域③的面积是相等的，所以可以将①＋③转化为①＋②，而区域①＋②的面积=扇形OAA ’的面积－扇形ODD ’的面积，又因为OD=OD=1，OA=3，所以区域①＋②的面积=
214OA π?－21
4
OD π?=22cm π。 答：AB 扫过的区域的面积是2
2cm π。 4、进行图形分割
例4（厦门）如图6，在四边形ABCD 中，∠A=90°，∠ABC 与∠ADC 互补。
（1）求∠C 的度数；（2）若BC ＞CD 且AB=AD ，请在图上画一条线段，把四边ABCD 分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由。
析解：本题设计新颖，巧妙把直 观感知、操作确认和逻辑推理结合起来， 第（1）问可根据四边形内角和直接求解； 第（2）问则∠ABC+∠ADC=180°，以及要
把四边形分成两部分，使得这两部分能够 图6 图7
拼成一个正方形，则新图必须有四个直角，由∠C=90°，又AB=AD ，因此猜想过点A 作AE ⊥BC 于E ，又得一个直角。把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°，这时AB 与AD 重合，则被分成两部分拼成一个正方形。
5、构造平行四边形
例5（天津）如图8，已知四边形纸片ABCD ，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片。如果限定裁剪线最多有两条，能否做到： （用“能”或“不能”
A
B C
D B'
A'
O
B
A
图
1
D'
A
填空）。若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。
分析：本题旨在通过操作与几何说理，拓展学生思考与探索空间，主要考四边形的分割和平行四边形的判定知识，其中包含着深刻的图形变换思想，
需要丰富观察能力、抽象思维能力、动手操作能力和解决实际问 图8 图9 图10
题能力。本题通过连接四边形对边中点，构造线段相等并利用四边形内角和为360°，借助旋转、平移变换，可达到剪拼的目的。
解：能。如图9、图10，取四边形ABCD 各边的中点E 、G 、F 、H ，连接EF 、GH ，则EF 、GH 为裁剪线，EF 、GH 将四边形分成1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H 、F 各旋转180°，3平移，拼成的四边形满足条件。
三、按旋转类型进行区分
1、正三角形类型
在正ΔABC 中，P 为ΔABC 内一点，将ΔABP 绕A 点按逆时针方向旋转600
，使得AB 与AC 重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a ）中的PA 、PB 、PC 三条线段集中于图（1-1-b ）中的一个ΔP 'CP 中，此时ΔP 'AP 也为正三角形。
A
B
C P
?
A
C P '
图（1-1-a ） 图（1-1-b ）
例1. 如图：（1-1）：设P 是等边ΔABC 内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，
则∠APB 的度数是________.
A P
34
5
?
'
图（1-1） 图（1-2） 简解：在ΔABC 的外侧，作∠BA P '=∠CAP ，且A P '=AP=3，连结P 'B 。
则ΔBA P '≌ΔCAP 。易证ΔAP P '为正三角形，ΔPB P '为Rt Δ ∴∠APB=∠AP P '+∠P 'PB=60
+90
=1500
2、正方形类型
在正方形ABCD 中，P 为正方形ABCD 内一点，将ΔABP 绕B 点按顺时针方向旋转900
，使得BA 与BC 重合。经过旋转变化，将图（2-1-a ）中的PA 、PB 、PC 三条线段集中于图（2-1-b ）中的ΔCP P '中，此时ΔBP P '为等腰直角三角形。
D
C
B
A
?
D
'
图（2-1-a ） 图（2-1-b ）
例2 . 如图（2-1）：P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离
分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD 面积。
A
B C
D
P
?
A
B C
E
F
图（2-1） 图（2-2）
简解：作ΔAED 使∠DAE=∠BAP ，AE=AP 连结EP ，则ΔADE ≌ΔABP （SAS ）
同样方法，作ΔDFC 且有ΔDFC ≌ΔBPC 。
易证ΔEAP 为等腰直角三角形，又∵AP=1 ∴
同理，
∵∠EDA=∠PBA ，∠FDC=∠PBC 又∵∠PBA+∠PBC=900
∴∠EDF=∠EDA+∠FDC+∠ADC= 900
+900
=1800
∴点E 、D 、F 在一条直线上。 ∴EF=ED+DF=2+2=4，
在ΔEPF 中，EF=4，
EP=
由勾股定理的逆定理，可知ΔEPF 为Rt Δ ∴S
正方形ABCD
=S Rt ΔEPF +S Rt ΔEPA +S Rt ΔPFC =3+12+92
=8
例3 .如图（3-1）正方形ABCD 中,边长
点E 、F 分别在BC 、CD 上,且∠BAE=300
,
∠DAF=150。求ΔAEF 的面积。(第十一届希望杯邀请赛试题)
A
B
C
D E F
F
图（3-1）
简解： 延长CB 至F '使得B F '=DF ，连结A F '，则Rt ΔAB F '≌Rt ΔADF （SAS ）。
∴∠F 'AE =300 +150=450，∠FAE=900 -300 -150=450
易证ΔF 'AE ≌ΔFAE(SAS)
∴∠F 'EA =∠FEA=600
，∴∠FEC=600
, ∵在Rt ΔABE 中
∠BAE=30
∴
∴ E F '
所以,S ΔAEF = S △AF ’E =
12AB ·E F '=1
2
3、等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC 中，∠C=Rt ∠, P 为ΔABC 内一点，将ΔAPC 绕C 点按逆时针
方向旋转900
，使得AC 与BC 重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b ）中的一个ΔP 'CP 为
等腰直角三角形。
A
B C
P
?
A
B
图（3-1-a ） 图（3-1-b ）
例4．如图（4-1），在ΔABC 中，∠ACB =900
，BC=AC ，P 为ΔABC 内一点，且PA=3，PB=1，
PC=2。求∠BPC 的度数。
1
2
3
A
B C P
?
图（4-1） 图（4-2）
简解：在Rt ΔABC 的外侧，作∠BC P '=∠ACP ，且C P '=CP=2，连结P 'P 。
则ΔBC P '≌ΔACP 。易证Rt ΔCP P '为等腰直角三角形，在ΔPB P '中，B P '=3，BP=1，
P P '
ΔP 'PB 为Rt Δ为Rt Δ，∠P 'PB=900
∴∠BPC=∠CP P '+∠P 'PB=450
+90 =135
例5. 如图（5-1），在ΔABC 中，∠BAC =900
，AB=AC ，ΔABC 内一点O ，AO=2cm,如果把Δ
ABO 绕A 点按逆时针方向转动900
，使AB 与AC 重合，则O 点经过的路径长为__________。
A
B
C O
O '
图（5-1）
例6． 如图（6-1），五边形ABCDE 中， ∠ABC=∠AED=900
，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五
边形ABCDE 的面积等于______________。（2003年宁波市至诚杯竞赛题）
A
B
C D
E
? A
B
C
D
E
C '
图（6-1） 图（6-2）
简解：延长DE 至C '使得E C '=BC ，连结A C '，则ΔAE C '≌ΔABC （SAS ）
∵AB=CD=AE=BC+DE=1，∴CD =C 'D ∴ΔCAD ≌ΔC 'AD （SSS ）
∴S ABCDE =2 S △C ’DA =2?（
1
2
?1?1）=1 4、 三角形与圆混合类型
将ΔCAD 绕A 点按顺时针方向旋转600
到ΔBA D '，经过旋转变化，将图（3-1-a ）
中的DC 与BD 组合在一条直线上，见图（3-1-b ）此时∠D 'BD 是个平角，ΔAD D '为正三角形。
A
B
C D
o
?
A
B
C D
o
D
'
图（3-1-a ） 图（3-1-b ）
例7． 如图（7-1），正三角形ABC 内接于⊙O ，P 是劣弧 BC
上任意一点，PA=2，则四边形ABPC 的面积为______________。
A
B
C P
o
?
A
B
C P
o
P
'
图（7-1） 图（7-2）
简解：延长PB 至P '使得P 'B=PC ，连结A P '，则ΔA P 'B ≌ΔAPC （SAS ）
∴A P '=AP ，∠P 'AB=∠PAC ， 又 ∵∠BAC=600
∴ΔP 'AP 为正三角形 ∴
S
四边形ABPC
= S △AP ’P
四、与旋转有关的探索型题目
1、条件探索型
条件探索型的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件.解题时，一般需要从结论出发，逆向思维解(即执果索因).
例1:（遂宁）如图1,把正方形ACFG 与Rt △ACB 按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2, ∠BAC=600
,若把Rt △ACB 绕直角顶点C 按顺时针方向旋转,使斜边AB 恰好经过正方形ACFG 的顶点F,得△A ′B ′C ′，A B 分别与A ′C,A ′B ′相交于D 、E,如图(乙)所示. ⑴. △ACB 至少旋转多少度才能得到△A ′B ′C ′?说明理由.
⑵.求△ACB 与△A ′B ′C ′的重叠部分(即四边形CDEF)的面积(若取近似值,则精确到0.1)
解： ⑴∵ACGF 是正方形，A ′B ′经过点F ，∴ A ′C=CF ．
又∵∠A ′=60°, ∴ △A ′CF 是等边三角形.又∵ ∠A ′CF=60°
∴ ∠ACA ′=90°一60°=30°,∴ △ABC 至少旋转30°才能得到△A ′CB ′. (2)∵ ∠ACA ′=30° ,∠BAC=60°,∴ ∠A ′DE=90°. 又∵ AC=2，可求得
∴A ′D=2
在Rt △A ′DE 中 , DE=A ′Dtan60°=(2一
3．
_ G
_ B
_
_ C
_ A
(甲)
_ E
_ D
_ G
_ B
_ F
_ C
_ A
(乙) 图1
B '
A '
∴ △A ′DE 的面积为：
12A ′D ·DE=12(2
·
6. 又∵ A'B ′=4， A ′F= 2,∴ F 是A ′B ′的中点． ∴ △A ′CF 的面积=1
2
△ABC 的面积 , 而B ′C=A ’C ·tan60°
∴ S △ABC =
1
2
×2×
S △A ’CF
∴ 四边形DCFE
6
一5
2
(若取近似值，则结果应约为1．7．) 2、探索结论型
结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；解结论探索型题的方法是由因导果.
例2:（衡阳市）已知，如图2，平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=1，BC=5，对角线AC 、BD 交于O 点，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC 、AD 于点E 、F. ⑴证明：当旋转角为0
90时，四边形是平行四边形； ⑵试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；
⑶在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由：如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数. 解:⑴证明:当∠AOF=090时, AB ∥EF,又∵AF ∥BE, ∴四边形ABEF 为平行四边形.
⑵∵AO=CO, ∠FAO=∠ECO, ∠AOF=∠COE. ∴△AOF ≌△COE. ∴AF=EC.
⑶四边形BEDF 可是是菱形. 理由:如图2,连接BF 、DE.
由(2)知△AOF ≌△COE.得OE=OF,∴EF 与BD 互相平分. 当EF ⊥BD 时,四边形BEDF 为菱形.
在Rt △ABC 中,AC=215=-,∴OA=1=AB . 又AB ⊥AC ∴∠AOB=0
45，∴∠AOF=0
45. ∴AC 绕点O 顺时针旋转0
45时,四边形BEDF 为菱形. 3、存在性探索型
存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.解存在性探
索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论.
例1.（河北）如图1－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是
BD 中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图1－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF 旋转到如图1－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成
分析：本题主要考查旋转图形的性质，解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律.对于（1）问，经测量后可知BM =FN ．然后利用三角形全等证明即可；对于（2）问，要明确，在继续旋转的过程中，虽然△OBM 和△OFN 都发生了变化，但二者之间全等的关系没变.故结论成立.
解：（1）BM =FN
．
证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF ． 又∵∠BOM =∠FON ，
∴ △OBM ≌△OFN ．
∴ BM =FN ． （2）BM =FN 仍然成立．
证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴∠DBA =∠GFE =45°，OB =OF ．
图1－2
图1－3
图1－1
A ( E )
∴∠MBO=∠NFO=135°．
又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN．
∴ BM=FN．
评注：本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让同学们体验图形旋转变换的性质，同时也考查了同学们空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目.
例2. （黑龙江鸡西）已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=2OC．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．
图2-1 图2-2 图2-3
分析：由于在旋转的过程中，虽然点O的位置发生了变化，但∠AOC和∠COE的大小不变，都是45°，因此可过C分别作OA、OB的垂线，从而转化为等腰直角三角形（图1）来处理.对于图3可仿图2处理.
解：图2结论：OD+OE=2OC.
证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q．
△CPD≌△CQE，DP=EQ.
OP=OD+DP，DQ=OE-EQ.
又OP+0Q=20C，即OD+DP+OE-EQ=20C.
∴ OD+OE=20C．
图3结论：OE-OD=2OC.
评注：从以上两例可以看出，解决这类问题的关键是要把握以下两点：
1.在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清变与不变的量；
2.再解决这类问题时，我们通常将其转换成全等形求解，根据旋转变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的
.
练习部分 一、选择题
1、（2009年泸州）如图1，P 是正△ABC 内的一点，若将△PBC 绕点B 旋转到△P ’
BA ，则∠PBP ’的度数是 （ ）
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
2、(2009年陕西省) 如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，△A ’OB ’可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到的，若点A ’在AB 上，则旋转角α的大小可以是 （ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
3、（2009年桂林市、百色市）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转90°，得A B O ''△ ，则点A '的坐标为（ ）． A ．（3，1） B ．（3，2） C ．（2，3） D ．（1，3）
4、、（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等腰梯形
B ．平行四边形
C ．正三角形
D ．矩形
5、（2009年台州市）单词NAME 的四个字母中，是中心对称图形的是（ ） A ．N B ．A Ｃ．M D ．E
6、（2009年广西钦州）某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符
x
y
1 2 4
3 0 -1
-2 -3 1
2 3
A
B
合条件的是（ ） A ．等腰三角形
B ．正三角形
C ．等腰梯形
D ．菱形
7、如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点， 且
∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90?后，得到△AFB ，连接
EF ，下列结论：
①△AED ≌△AEF ；②△ABE ≌△ACD ；③BE DC DE +=；④222BE DC DE += 其中正确的是（ ）
A ．②④；
B ．①④；
C ．②③；
D ．①③
8、 (2009年四川省内江市)已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180O
后得到图2，则旋转的牌是（ ）
9、(2009成都)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2，3)，若将OA 绕原点O 逆时针旋转180°得到0A′，则点A ′在平面直角坐标系中的位置是在 （ ）
(A)第一象限 (B)第二象限 (c)第三象限 (D)第四象限
10、（2009年崇左）已知点A 的坐标为()a b ，，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得1OA ，则点1A 的坐标为（ ）
． A ．()a b -， B ．()a b -，
C ．()b a -，
D ．()b a -， 二、填空题
1、（2009肇庆）在平面直角坐标系中，点(23)P -，关于原点对称点P '的坐标是 ．
2、（2009年衡阳市）点A 的坐标为（2，0），把点A 绕着坐标原点顺时针旋转135o到点B ，那么点B 的坐标是 _________ ．
3、 （2009年枣庄市）如图，直线4
43
y x =-
+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB △绕点A 顺时针旋转90°后得到
AO B ''△，则点B '的坐标是 ．
图1
图
2
A ．
B ．
C ．
D ．
B C
D E F
A
4、(2009年抚顺市)如图所示，在平面直角坐标系中，OAB △三个顶点的坐标是(00)3452O A B ，、(，)、（，）．将OAB △绕原点O 按逆时针方向旋转90°后得到11OA B △，则点1A 的坐标是 ． 三、解答题
1．如图，P 是正方形内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP ′重合，若BP=3，求PP ′．
2．正方形
ABCD 内一点P ，使得PA ：PB ：PC=1：2：3
3、如图P 是等边△ABC 内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB=
4、（2009年河南）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，
BC =2．点0是AC 的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始，
绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α.
(1) ①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________；
②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________；
(2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．
x
C
5、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90o，AC ＝BC ＝1，将△ABC 绕点C 逆时针旋转角α。
(0o＜α＜90o)得到△A 1B 1C 1，连结BB 1.设CB 1交AB 于D ，A l B 1分别交AB 、AC 于E 、F.
(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明
(△ABC 与△A 1B 1C 1全等除外)； (2)当△BB 1D 是等腰三角形时，求α； (3)当α＝60o时，求BD 的长．
6、（13分） 已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==?，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°， EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．
当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证1
2
DEF CEF ABC S S S +=
△△△． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
A
E
C
F B
D
图1
图3
A
D
F
E
C
B
A
D
B
C
E 图2
F
微专题26 解析几何中的最值与范围问题 1. 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆中的部分范围问题． 2. 构造函数模型研究长度及面积相关的范围与最值问题． 3. 根据条件或几何特征构造不等关系解决与离心率相关的范围问题． 4. 熟悉线段的定比分点、弦长、面积等问题的处理手段，深刻体会数形结合、等价转化的数学思想方法的运用． 考题导航 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆 2. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.则y x 的最大值为________；y －x 的最小 值为________；x 2＋y 2的最小值为________． 1. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 1. 已知A 、B 分别是椭圆x 36＋y 20＝1长轴的左、右端点，F 是椭圆的右焦点，点P 在 椭圆上，且位于x 轴的上方，PA ⊥PF.设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于MB ，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________． 1. 已知双曲线为C ：x 24－y 2 ＝1，P 为双曲线C 上的任意一点．设点A 的坐标为(3，0)， 则PA 的最小值为________．
1. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是________． 1. 椭圆M ：x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上的任意一点， 且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2 ，3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是_______． 1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别 为F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆C 于另一点Q ，设PF 1→ ＝λF 1Q → .若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈??? ?12，22，求实数λ的取值范围．
旋转类几何变换 一几何变换——旋转 旋转中的基本图形 利用旋转思想构造辅助线 ? ? ? （一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”) 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 自检自查必考点
二 利用旋转思想构造辅助线 （1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质： （1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同 （3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ． 考点一 旋转与最短路程 ?考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。 【例1】 如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ?是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60?得到BN ，连接AM 、CM 、EN ． ⑴求证：AMB ENB ??≌ ⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小； ②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长． 中考满分必做题 E N M D C B A
【例2】 阅读下列材料 对于任意的ABC ?，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点。 ①若三角形内有一个内角大于或等于120?，这个内角的顶点就是费马点 ②若三角形内角均小于120?，则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=?时，点P 既为费马点 解决问题： ⑴如图，ABC ?中，三个内角均小于120?，分别以AB 、AC 为边向外作等边ABD ?、ACE ?，连接CD 、BE 交于点P ， 证明：点P 为ABC ?的费马点。(即证明120APB BPC APC ∠=∠=∠=?)且PA PB PC CD ++= P E D C B A Q A B C D E P ⑵如图，点Q 为三角形内部异于点P 的一点，证明：QA QC QB PA PB PC ++>++ ⑶若30ABC ∠=?，3AB =，4BC =，直接写出PA PB PC ++的最小值 考点二 利用旋转求点的坐标 ?考点说明：利用全等三角形的性质进行边与角的转化。 【例3】 正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针方向旋转90?后，B 点 的坐标为（ ） A.(22)-， B.(41)， C.(31)， D.(40)， 【例4】 如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB ?的顶点A 的坐标为(31)，， 若将OAB ?绕点O 逆时针旋转60?后，B 点到达'B 点，则'B 点的坐标是________ D C B A O y x y x B A O
中考数学几何图形旋转典型试题 一、填空题 1.（日照市）如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于． 2．（成都市）如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB 上，那么此三角板向右平移的距离是cm． 3.（连云港市）正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R 与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针 连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径 的长为cm． 4.（泰州市）如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝ 3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是． 二、解答题 5.（资阳市）如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP； (2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 . 6.（武汉市）如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车
【例1】 如图，在Rt ABC ?中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上 的点，且CE AF =．如果62AED ∠=?，那么DBF ∠=__________． F C B A 【答案】28? 【例2】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥． P F E D C B A 【答案】在ABE ?和BCF ?中 AB BC ABE BCF BE CF =?? ∠=∠??=? ∴ABE BCF ??≌ ∴BAE CBF ∠=∠ ∵90BAE AEB ∠+∠=? ∴90CBF AEB ∠+∠=? ∴AE BF ⊥ 【例3】 E 、F 、 G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=． G A B C D E F 【例4】 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩 形周长为16，且CE EF =，求AE 的长． E D C B F A 【答案】∵FE EC ⊥，∴90AEF DEC ∠+∠=?． ∵90AEF AFE ∠+∠=?， ∴AFE DEC ∠=∠． 在三角形AFE 与DEC ?中，FE CE =，90A D ∠=∠=?， AFE DEC ∠=∠， ∴AFE DEC ??≌． ∴AE DC =．
∵矩形周长为16， ∴8AD DC +=． ∵AD AE DE =+， ∴且2DE =．∴28AE DE =-． 即3AE = 【例5】 如图，已知ABC ?中，90ABC AB BC ∠=?=，，三角形的顶点在相互平行的三条直 线123l l l ，，上，且12l l ，之间的距离为2，23l l ，之间的距离为3，则AC 的长是______． C B A l 3 l 2 l 1 【答案】 【例6】 两个全等的30?、60?的三角板ADE 、BAC ，如右下图所示摆放，E 、A 、C 在 一条直线上，连结BD ．取BD 的中点M ，连结ME 、MC ，试判断EMC ?的形状，并说明理由． M E D C B A 【解析】判断EMC ?是等腰直角三角形．理由： 如图，连结AM ． D M B C A E ∵30DAE ∠=?，60BAC ∠=?，∴90DAB ∠=? ∵ADE BAC ??≌，∴AD AB = 又∵M 是BD 的中点，∴AM DM BM == ∴45ADM MAB ∠=∠=? ∴6045105EDM EDA ADM ∠=∠+∠=?+?=? ∴4560105MAC MAB BAC ∠=∠+∠=?+?=? ∴EDM MAC ∠=∠ ∵ED CA =，∴EDM CAM ??≌ ∴EM CM =，DME AMC ∠=∠ 而90DME EMA ∠+∠=?，∴90AMC EMA ∠+∠=? 即90EMC ∠=?，∴EMC ?是等腰直角三角形．
百度文库-让每个人平等地提升自我 巧用旋转法解几何题 将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的 图形全 等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相 等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点， 旋转另一位置的引辅助线的方法, 主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三 角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参 考。 例1.如图，在Rt △ ABC 中，/ C=90°, D 是AB 的中点，E , F 分别 AC 和BC 上，且 DEL DF, 求证：EF 2=A ^+B F" 分析：从 所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到 EF , AE BF 三条线段不在同一个三角 形中，由于D 是中点，我们可以考虑以 D 为旋转中心，将 BF 旋转到和AE 相邻的位置，构造一个直 角三角形，问题便迎刃而解。 证明：延长 FD 到G 使DG=DF 连接AG EG ?/ AD=DB / ADG=/ BDF ???" ADd " BDF ( SAS ???/ DAG=/ DBF BF=AG ? AG// BC ???/ C=90°A Z EAG=90 ? EG=Ah+AG=AE+BF ?/ DEI DF ? EG=EF 2 2 2 ? EF=AE+BF 例 2,如图 2,在"ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC P 是"ABC 内一点，且 PA=3 PB=1, PC=2 求/ BPC 的度数. 分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中， 故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于" ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点 C 为旋转 中心。 解：作 MC L CP,使 MC=CP 连接 PM , BM F E A
解析几何最值问题的赏析 丹阳市珥陵高级中学数学组：李维春 教学目标：１．掌握解析几何中图形的处理方法和解析几何中变量的选择； ２．掌握利用基本不等式和函数的思想处理最值问题． 重点难点：图形的处理和变量的选择及最值的处理． 问题提出： 已知椭圆方程：14 32 2=+y x ，A ，B 分别为椭圆的上顶点和右顶点。过原点作一直线与线段AB 交于点G ，并和椭圆交于E 、F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值。 问题分析： 1、 图形的处理： 不规则图形转化为规则图形（割补法） ABF ABE AENF S S S ??+= BEF AEF AENF S S S ??+= 2、 变量的选择： （1） 设点：设点),(00y x E 则),(00y x F --，可得到二元表达式； （2） 设动直线的斜率k （可设AF,BF,EF,AE,BE 中任意一条直线的斜率），可得 一元表达式。 3，最值的处理方法： （1） 一元表达式可用基本不等式或函数法处理； （2） 二元表达式可用基本不等式或消元转化为一元表达式。 X
问题解决： 解法一： 由基本不等式得62 24)34(2322 02000==+≤+=y x y x S 时取“＝” 当且仅当0032 y x = 解法二： 00000 0(,),(,),(0,0)x y F x y x y -->>设E ，四边形的面积为S (0,2),A B 因为,12 y += 20x +-=即1d =点E 到直线的距离：00( ,)x y 因为E 在直线AB 的上方，0020x ->所以1d =所以2d =点F 到直线的距离：00(,)x y --因为F 在直线的下方2d =所以)(21)(212121d d AB d AB d AB S +=+=002S x =+所以AB =因为00(,)F x y 又因为22134 x y +=在椭圆上22004312x y +=所以max S =所以
第2讲几何变换——旋转 典型例题 【例1】C是线段AE上的点，以AC、CE为边在线段AE的同侧作等边三角形ABC、CDE， △是等设AD的中点是M，BE的中点是N，连结MN、MC、NC，求证：CMN 边三角形．Array【例2】如图，两个正方形ABCD和AKLM有一个公共点A．求证：这两个正方形的中心以 及线段BM，DK的中点是某正方形的顶点． L
【例3】 已知：如图，ABC △、CDE △、EHK △都在等边三角形，且A 、D 、K 共线， AD DK =．求证：HBD △也是等边三角形． 【例4】 ABC △是等边三角形，P 是AB 边的中点，Q 是AC 边的中点，R 为BC 边的中点， M 为RC 上任意一点，且PMS △是等边三角形，S 与Q 在PM 的同侧，求证： RM QS =． E C H D B A Q ? S M P C B A R
【例5】 ABCD 是正方形，P 是ABCD 内一点，1PA =，3PB = ，PD =求正方形ABCD 的面积． 【例6】 P 是等边三角形ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =．求ABC △的边长． D
【例7】 设O 是等边ABC △内一点，已知115AOB ?∠=，125BOC ?∠=，求以线段OA 、OB 、 OC 为边所构成的三角形的各内角大小． 【例8】 如图，在ABC △中，90ACB ?∠=，AC BC =，P 是ABC △内一点，3PA =，1PB =， 2PC =，求BPC ∠． A P C
如图，已知ABC △中，90A =，AB AC =，D 为BC 上一点，求证：2222BD DC AD +=． 【例9】 如图，在等腰直角ABC △中，90ACB ?∠=，CA CB =，P 、Q 在斜边AB 上，且 45PCQ ?∠=，求证：222PQ AP BQ =+． A D C B A Q B C P
几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? 等腰三角形 手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形） 等边三角形（包含费马点） 特殊角 旋转变换对角互补模型 一般角 特殊角 角含半角模型 一般角 等线段变换（与圆相关） 【练1】（2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BACα ∠=（060 α ?<
【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=， ，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数； （2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜 想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．
考点1：手拉手模型：全等和相似 包含： 等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种 位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来 （1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等） （2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等） （3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等） （4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似） 例题精讲
中考旋转问题汇编（经典） 一、选择题 1.如图，把一个斜边长为2且含有300 角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900 到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是（ ） A ．π B ． 34π D ．1112π 2.如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转 中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④ AOBO S 四形边AOC AOB S S += ．其中正确的结论是（ ） A ．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 3.如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（ ）。 A ．1：2 B ．1：2 C ．3：2 D ．1：3 4.点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30° 5.如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于 点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相 切于点D 的位置，则⊙O 自转了：（ ） A ．2周 B ．3周 C ．4周 D ．5周 二、填空题 6.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=900 ,AB=AD,若四边形ABCD 的面积是24cm 2 .则AC 长是 cm.
解析几何中的最值问题 解析几何中的最值问题是很有代表性的一类问题，具有题形多样，涉及知识面广等特点。解决这类问题，需要扎实的基础知识和灵活的解决方法，对培养学生综合解题能力和联想思维能力颇有益处。本文通过实例，就这类问题的解法归纳如下： 一、 转化法 例1、 点Q 在椭圆 22 147 x y +=上，则点Q 到直线32160x y --=的距 离的最大值为 （ ） A B C D 分析：可转化为求已知椭圆平行于已知直线的切线，其中距离已知直线较远的一条切线到该直线的距离即为所求的最大值。 解：设椭圆的切线方程为 3 2 y x b =+，与 22 147 x y +=消去y 得 224370x bx b ++-=由?=01272=+-b 可得4(4)b b ==-舍去，与 32160x y --=平行且距离远的切线方程为3280x y -+= 所以所求最大值为d = = ，故选C 二 、配方法 例2、 在椭圆 22 221x y a b +=的所有内接矩形中，何种矩形面积最大？ 分析：可根据题意建立关系式，然后根据配方法求函数的最值。 解：设椭圆内接矩形在第一象限的顶点坐标为A (),x y ，则由椭圆对称性，矩形的长为2x ，宽为2y ，面积为4xy ，与 22 221x y a b +=消去 y 得： 22b S x a =?=
可知当x a = 时，max 2S ab = 三、 基本不等式法 例3、 设21,F F 是椭圆14 22 =+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF ?的最大值是 解： 124PF PF += 由12PF PF +≥得 44 )(2 2121=+≤ ?PF PF PF PF 即21PF PF ?的最大值是4 。 四、 利用圆锥曲线的统一定义 例4 、设点A (-，P 为椭圆22 11612 x y +=的右焦点，点 M 在椭 圆上，当取2AM PM +最小值时，点M 的坐标为 （ ） A (- B (- C D 解：由已知得椭圆的离心率为1 2 e = ， 过M 作右准线L 的垂线，垂足为N ，由圆锥曲线的统一定义得 2MN PM = 2AM PM AM MN ∴+=+ 当点M 运动到过A 垂直于L 的直线上时， AM MN +的值最小，此时点M 的坐标为，故选 C 五、 利用平面几何知识 例5 、平面上有两点(1,0),(1,0)A B -，在圆22 (3)(4)4x y -+-=上取一点 P ，求使22 AP BP +取最小值时点P 的坐标。
初中数学几何专题——旋转 一．选择题（共5小题） 1．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（） A．B．2 C．D． 2．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（）A．菱形B．矩形C．等腰梯形D．正五边形 3．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（） A．4 B．8 C．16 D．8 4．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（） A．1： B．1：2 C．：2 D．1： 5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（） A．1﹣ B．1﹣ C．D． 二．填空题（共5小题） 6．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ=3，当CQ= 时，四边形APQE的周长最小． 7．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是．
8．如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A 1B 1 C 1 ．若BC=3，，则BB 1 = ． 9．已知一个直角三角板PMN，∠MPN=30°，MN=2，使它的一边PN与正方形ABCD 的一边AD重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点P旋转，使点M落在直线BC上一点F处，则CF的长为． 10．如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，E为对角线BD上一点，且DE=2BE，过E作FG⊥BD，分别交AB、CD于F、G．将四边形BCGF绕点B旋转180°，在此过程中，设直线GF分别与直线CD、BD交于点M、N，当△DMN是以∠MDN为底角的等腰三角形时，则DN的长是． 三．解答题（共6小题） 14．已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP= 时，四边形BCDP是矩形； （2）将点B绕点E逆时针旋转． ①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形； ②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积． 15．问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D 作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系 拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立如果成立，请就图中给出的情况加以证明． 问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD=2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC 所在的直线垂直时BD的长． 16．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A 1B 1 C 1 O的
解析几何中的最值问题 一、教学目标 解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景，以函数和不等式等知识作为工具，具有较强的综合性，这类问题的解决没有固定的模式，其解法一般灵活多样，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。基本内容：有关距离的最值，角的最值，面积的最值。 二、教学重点 方法的灵活应用。 三、教学程序 1、基础知识 探求解析几何最值的方法有以下几种: (1)函数法（设法将一个较复杂的最值问题，通过引入适当的变量能归为某初等函数（常见）的有二次函数和三角函数）的最值问题，然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。 (2)不等式法：（常用的不等式法主要有基本不等式等） (3)曲线定义法：利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点（或定直线）距离之间的不变关系，一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法 （4）平面几何法：有些最值问题具有相应的几何意义（如分式最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式等等） （1）函数法 例1、已知P 点在圆()2241x y +-=上移动，Q 点在椭圆2 219 x y +=上移动,试求PQ 的最大值。 分析：两个都是动点，看不出究竟，P 、Q 在什么位置时|PQ|最大 故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ| 的最大值，只要求|OQ|的最大值。 说明：函数法其我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。 例2 在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 是椭圆2 213 x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值 （2）不等式法
第4课 几何变换(2)：旋转与中心对称 一、例题选讲 例1、如图，如果四边形CDEF 绕某点P 旋转以后与正方形ABCD 重合，则这样的点P 有几个？ B A 例2、如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，比较DEF S ?与（B D F A D E S S ??+）的大小并说明理由。 B C F 例3、如图，P 是等边△ ABC 内一点，P A =2，PB =PC =4，则△ABC 的边长是多少？ A B 例4、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上两点，且BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数。 F D A C
例5、如图，Rt △ABC 中，O 是斜边AB 的中点，P 、Q 分别是AC 、BC 上的点，且OP ⊥OQ ，证明：AP 2+BQ 2=PQ 2. Q B A P 例6、定点P 到等边△ABC 的定点距离A P=2,BP =3,当此三角形的边长、位置都可以改变时，求PC 的最大值，并证明你的结论。 C 例7、△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠BAC =1200，△ADE 是等边三角形，点D 在BC 边上，且BD :DC =2:3,若△ABC 的面积是50，求△ADE 的面积。 C B B
二、巩固练习 1、两家共有一块平行四边形田地 ，中间有一用于灌溉的圆形池塘，现在两家需要把这块地均分，并且中间的池塘也要均分，你能为他们想个办法吗？ 2、7个相同的圆按照图示的位置排列，把这个图形分成面积相等的两块 . 3、设P 是边长为1的等边△ABC 内的任意一点，记l =P A+PB+PC ,求证：23≤≤l . B 4、如图,正方形ABCD 中,∠MAN =45°,求证:MN=BM+DN . C N 5、已知△ABC 中,AB =5,AC =13,边BC 上的中线AD =6,则BD 的长是多少 ? C
第十一讲 解析几何范围最值问题 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 一、几何法求最值 【例1】 抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足＋＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线的方程； (2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值． [满分解答] (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)． 由????? y ＝kx －2，x 2＝－2py ， 得x 2＋2pkx －4p ＝0 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 所以＋＝(－4，－12)，所以??? ? ? －2pk ＝－4，－2pk 2 －4＝－12， 解得? ???? p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y . (2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)． 此时点P 到直线l 的距离d ＝ |2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2 ＝45＝4 5 5. 由? ???? y ＝2x －2， x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝ 1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋22·(－4)2－4·(－4)＝4 10. 于是，△ABP 面积的最大值为12×4 10×4 55＝8 2. 二、函数法求最值 【示例】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝ 2 3 ，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程； (2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． (1)由e ＝c a ＝ a 2－ b 2 a 2＝ 23，得a ＝3 b ，椭圆C ：x 23b 2＋y 2 b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2，
几何结构之折叠、旋转（讲义） ? 知识点睛 1. 折叠（轴对称）的思考层次 （1）全等变换：对应边相等、对应角相等． （2）对应点与对称轴：对称轴所在直线是对应点连线的垂直平分线．（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点到对应点的距离相等） （3）常见组合搭配 ①矩形背景下的折叠常出现等腰三角形； B A 1 F E D (B ) C A ②两次折叠往往会出现特殊角：45°，60°，90°等． G F E D C B A O N M F E C B A D B O A C P Q B' C' （4）应用，作图（构造） 核心是确定对称轴和对应点，一般先确定对应点和对称轴，然后再补全图形． 特征举例： ①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上； ②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线． 2. 旋转思考层次 （1）全等变换：对应边相等、对应角相等． （2）对应点与旋转中心 旋转会出现等线段共端点（对应点到旋转中心的距离相等）； 对应点与旋转中心的连线所夹的角等于旋转角； 对应点所连线段的垂直平分线都经过旋转中心； 旋转会产生圆（圆弧）． （3）常见组合搭配 旋转会出现相似的等腰三角形； 旋转60°会出现等边三角形；旋转90°会出现等腰直角三角形；
60°C' B' C B A C' B'C B A 相似三角形对应点重合时会出现旋转放缩模型． （4）应用，作图（构造） 当题目（背景）中出现等线段共端点时，会考虑补全旋转构造全等．（常见背景有正方形、等边三角形、等腰三角形） 注：读题标注时，往往要弄清楚旋转三要素； 旋转方向不确定需要分类讨论； 常将图形的旋转转化为点、线段的旋转进行操作．（有时 只需保留研究目标即可）
初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练专练3 最短路径模型——旋转最值类 基本模型图: 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连 结B′D，则B′D的 最小值是（）． A． B.6 C. D.4 【思路探究】根据E为AB中点，BE＝B′E可知，点A、B、B′在以点E为圆心，AE长为半径的圆上，D、E为定点，B′是动点，当E、B′、D三点共线时，B′D的长最小，此时B′D＝DE－EB′，问题得解. 【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为圆心，AB长为直径的圆上，如图所示. B′D的长最小值= DE－EB′.故选A． 22 -=-
【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B′、D 三点共线B D DE B E ''≤-时，等号成立. 【典例2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是 . 【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解. 【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中 点O ，OD 交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝， OD ＝，∴DH 的最小值为112 AB =OD －OH . 1【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH .当然此题也可利用的基本模型解决. DH OD OH ≤-【针对训练 】 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在轴正半轴上运动时，点C 随之在轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大x y 距离为（ ）. A B C ． D ．31
常见解析几何中的一些最值问题 张凤仙 （贵州师范大学 数学与计算机科学学院 贵州贵阳 550001） 摘要：有关解析几何中的最值问题，在中学数学中较为常见，相对高中数学的其他分科如代数、立体几何、三角中的最值问题，它亦占据了相当的比重，以下将从具体的实例出发，分析并介绍几种比较典型的解题方法，找出一般的解题程序与技巧。 关键词：最值；函数解析式；二次函数；自变量；已知量 引言： 中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各学科中，在生产实践当中也有广泛的应用，也是历届各类考试的热点。学习如何利用一定的数学方法来解决这类问题，能够提高分析问题和解决问题的能力，也是进一步为学习高等数学中的最值问题打下基础。下面将针对解析几何中的最值问题，作出几种具体分类讨论： 一、利用二次函数的知识求最值 关于二次函数： y=ax2+bx+c （a≠0），x ∈R 当x= -a b 2时，y=a b ac 442 -为最值。 当a>0时，有ymin 当a<0时，有ymax 但通常二次函数有相应的定义域，自变量x 的具体取值范围有所不同，讨论最值的方式也有所不同。主要有两种情况： 1、x ∈R ，当a>0，则有ymin=a b ac 442 - 当a<0，则有ymax=a b ac 442- 2、当x 定义在闭区间，即x ∈[a ，b]（a,b 为常数），则应当看对称轴x= -a b 2 是否在此区间，如果x 在此区间，则函数同时有最大值与最小值，如果x 不在此区间，则函数的最大值与最小值必定分别取在该区间两个端点上（具体由函数单调性决定）。 当x 定义在一个含参数的闭区间即∈x [t, t+a]（t 为参数，a 为常数）时，需要对参数进行讨论。 例1.1 已知二次函数y=x2-x 2sec α+αα 2 cos 22sin 2+（α为参数，cos α≠0） ①求证此抛物线系的顶点轨迹为双曲线。 ②求抛物线y=x2+2x+6到上述双曲线的渐近线的最短距离。 分析：由于该二次函数y 的定义域为R ，所以这道题应归结于上述类别1。 对于问题①虽然所给解析式中含有参数，（为抛物线系）但实际上它是一个关于自变量x 的二次函数，通过配方，可对其变形，得到该抛物线的顶点，观察后可以判断这是一个含有参数α的轨迹方程。此时，消掉参数即可求解；对于问题②，已知某抛物线方程及已经求得的双曲线方程，要求该抛物线到该双曲线的渐近线的最短距离即为求某动点到定直线的距离，首先应该把该动点设出，其次要确定该直线的方程，这样方可根据点到直线的距离公式，得出所求最值的函数对象，从而求得最值。随之确定这个点。 解：① 由y=x2-2xsec α+αα 2 cos 22sin 2+ ?y=x-2xsec α+sec2 αααα22cos 22sin 2sec ++ -
几何图形旋转变换 1.已知：在ABC ?中，AC BC >，动点D 绕ABC ?的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ． （1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明） ． （2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明． 图2 图3 图1 A D
2、已知：在四边形ABCD中，A D∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上， 且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系。 （1）如图1，若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系为______________; （2）如图2，若AB=BC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明； （3）如图3，若AB=KBC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.
L 3．如图1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且A C B C =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =． （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系； （2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交 AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足 图1 的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP △沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长 线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所 猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立， 图2 给出证明；若不成立，请说明理由． L
几何变换的类型? 2012 菁优网
一、选择题（共20小题） 1、（2011?钦州）如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（） A、把△ABC向右平移6格 B、把△ABC向右平移4格，再向上平移1格 C、把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格 D、把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格 2、（2011?莱芜）观察如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（） A、平移 B、轴对称 C、旋转 D、位似 3、（2011?贺州）如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（） A、把△ABC向右平移6格 B、把△ABC向右平移4格，再向上平移1格 C、把△ABC绕着点A顺时针方向90°旋转，再右平移7格 D、把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转，再右平移7格 4、（2010?双流县）在如图的方格纸中，小树从位置A经过旋转平移后到位置B，那么下列说法正确的是（） A、绕A点逆时针旋转90°，再向右平移7格 B、绕A点逆时针旋转45°，再向右平移7格 C、绕A点顺时针旋转90°，再向右平移7格 D、绕A点顺时针旋转45°，再向右平移7格 5、（2010?佛山）如图，把其中的一个小正方形看作基本图形，这个图形中不含的变换是（） A、对称 B、平移 C、相似（相似比不为1） D、旋转 6、（2009?江西）在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是（）
A、位似 B、旋转 C、轴对称 D、平移 7、（2007?双流县）在方格纸中，图（1）中的图形N经过旋转平移后的位置如图（2）所示，那么下列说法正确的是（） A、绕A点顺时针旋转90°，再向下平移3个单位 B、绕A点逆时针旋转90°，再向下平移3个单位 C、绕A点顺时针旋转90°，再向下平移5个单位 D、绕A点逆时针旋转90°，再向下平移4个单位 8、（2007?长春）一根单线从钮扣的4个孔中穿过（每个孔只穿过一次），其正面情形如图所示，下面4个图形中可能是其背面情形的是（） A、B、 C、D、 9、（2006?苏州）对如图的几何体变换位置或视角，则可以得到的几何体是（） A、B、 C、D、 10、（2006?嘉峪关）下列各物体中，是一样的为（）