熟练运用旋转解决平面几何中的问题
平面几何的证题方法多种多样．利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果．
例图1中以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE
及正方形ACFG，连结BG、CE．
求证：(1)BG=CE；(2)BG⊥CE．
分析：一般的证法是证明△ABG与△AEC全等，然后应用全
等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知
可知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B，点C绕点A逆时针旋转90°为点G，从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG，故有BG=CE，BG⊥CE．本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。
一、按旋转的角度进行区分
1、90°角旋转
例1 如图2，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD—
上的点，且△CEF的周长是2．求∠EAF的大小。
解：将△ABE绕点A作逆时针旋转90°，则AB边与AD边重
合，设旋转后E→E′，由条件△CEF的周长为2，即CE+EF+CF=2，
又BE+CE+CF+ DF=2，且显然有BE=DE′，故CE+ CF+FE′=2．从而必有EF=FE′，又AE= AE′，AF=AF，故△AEF≌△AE'F，∴∠EAF=E'AF，又从作图知∠EAE′=90°，故∠EAF=45°。
例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P为正方形ABCD内一点，若
PA=a，PB=2a，PC=3a(a＞0)，求:(1)∠APB的度数;(2)正方形ABCD的面积．分析:三条已知的线段PA、PB、PC具有一个共公顶点，且它们不能构成
三角形．但是当把△ABP按顺时针方向旋转90°后，即会出现等腰直角三角
形，于是PA旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形．
解:(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ．
则△ABP ≌△CBQ且PB⊥QB．
于是PB=QB=2a，PQ a．
在△PQC中，∵PC2=9a2，PQ2＋QC2=9a2．
∴PC 2=PQ 2＋QC 2
． ∴∠PQC =90°． ∵△PBQ 是等腰直角三角形， ∴∠BPQ =∠BQP =45°．
故∠APB =∠CQB =90°＋45°=135°．
(2)∵∠APQ =∠APB ＋∠BPQ =135°＋45°=180°， ∴三点A 、P 、Q 在同一直线上．
在Rt △AQC 中，AC 2=AQ 2＋QC 2=(a ＋)2＋a 2=(10＋a 2．
故S 正方形ABCD =
12
AC 2=(5＋a 2．
思考 例2中，如果把△CBP 绕点B 逆时针方向旋转90°得△ABM ，怎样解以上问题?(答: (1)△PBM 是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得∠APM =90°;(2)过点B 作
BN ⊥AP ，垂足为N ．则PN =BN ，于是在△ABN 中可求出边长AB 的平方，即得正方形的
面积．)
2、60°角旋转．
例1 如图3，分别以△ABC 的边AB 、AC 为一边向外作等边三角形ABD 及等边三角形ACE 。连结BE 、CD 。设M 、N 分别是BE 、CD 的中点。求证：△AMN 是等边三角形。
证明：由条件可知，△ADC 绕点A 逆时针旋转60°为△ABE 。
即线段CD 绕点A 逆时针旋转60°得BE 中点M ，故AN=AM ，∠NAM 二60°，即△AMN 是等边三角形。
例2 如图4，P 是等边三角形ABC 内一点，且PA=3，PB=4，
PC=5．求∠APB 的大小。
解：将△APC 绕点A 顺时针旋转60°，由ABC 为等边三角形知，此时所得新三角形—边与AB 重合。设P 旋转后为P ′，则△APP ′的边长为3的等边三角形，P'B=PC=5，又PB=4，故pp'2
+PB 2
=P ′B 2
．从而△P'PB 是以∠P ′PB 为直角的直角三角形，从而∠APB=∠APP ′+∠P'PB=60°+90°=150°。
例3 如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证
明:BD2=AB2＋BC2．
分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形．因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中．
证:连接AC．
∵AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形．
故将△DCB绕点C顺时针方向旋转60°时可得△ACE．连接BE．
于是△DCB≌△ACE且CB=CE，∠BCE=60°．
∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°．
∵∠ABC=30°，∴∠ABE=90°．
故AB2＋BC2=AB2＋BE2=AE2=BD2．
练习．已知：如图，M是等边△ABC内的一个点，且MA=2cm，
MB=cm，MC=4cm，求：△ABC的边AB的长度。
3、旋转到特殊位置
例1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，以点C为旋转中心将△ABC旋转α角到△A1B1C的位置，使B点恰好落在A1B1上．求旋转角α的度数．
分析:将△ABC旋转到点B落在A1B1上的特殊位置时，即确定了旋转角α的大小．于是∠A1BB1是平角，它是解题的切入点，通过平角可列方程求出角α．
解:∵△ABC≌△A1B1C(旋转前后的图形全等)．
∴∠A=∠A1且CB=CB1．
∵∠ADC=∠A1DB，∴∠A1BD=α．
在△ABC 中，∠ABC =90°－25°=65°．
∵∠BCB 1=α(对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角)． ∴∠CBB 1=
12
(180°－α)
∵点A 1、B 、B 1在同一直线上， ∴α＋65＋
12
(180－α)=180．
解之得α=50°．
思考 例1中，若∠A =θ，那么α与θ有何数量关系?(答: α=2θ)
二、按计算要求进行区分
1、求角度
例1（青岛）、如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB 的度数。
分析：由题中已知条件中的 6、8、10这组勾股数联想到直角 三角形，于是设法将PA 、PB 、PC 集中到一个三角形中，可以将△APC
绕着A 点逆时针旋转60°得到△AFB ， 图1 图2 从而可得∠APB=∠APF+∠BPF ，然后设法求出∠APF 、∠BPF 的度数即可。
解：将△APC 绕点A 逆时针旋转60°后，得△AFB ，连接FP （如图2），则FB=PC=10，FA=PA=6，∠FAP=60°。∴△FAP 是正三角形，FP=PA=6，在△PBF 中，PB 2+PF 2=82+62=102=BF 2，∴∠BPF=90°，∠APB=∠APF+∠FPB=60°+90°=150°。
例2、如图所示，△ABC 中，∠ACB=120°，将该图形绕点C 按顺时针旋转30°后，得到△A ’B ’C ，则∠AB ’C 的度数
是 。
分析：根据旋转的性质可以知道∠BCB ’是旋转角，它的度数应该是30°，∠AB ’C 可以看成是∠ACB 和∠BCB ’的和，所以∠AB ’C=120°＋30°=150°。
答：∠AB ’C 的度数是150°。
A
F
P
B
C
C
B'
A '
C
B
A
图3
2、求线段间的关系或长度
例1（旅顺）操作：如图3，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连MN 。探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明。
分析：本题要探究的三条线段不在同一个三角形之中，必须设法将
它们集中到一个三角形中。易知∠DBA=∠DCA=90°，BD=CD ，于是将△DBM 绕D 点顺时针旋转120°到△DCP 的位置，则BM=CP ，DM=DP ，再证MN=NC+CP 即可得证。
解：∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°， 又∵∠BDC=120°，DB=DC ，∴∠DBC=∠DCB=30°。 ∴∠DBM=∠DCN=90°。于是将△DBM 绕D 点顺时针
旋转120°到△DCP 位置，则BM=CP 、DM=DP 、∠MDP=120°， 又∵∠MDN=60°，∴∠PDN=60°，∴∠PDN=∠MDN ，∵DN=DN ， ∴△MDN ≌△PDN ，∴MN=NP=NC+CP ，∴BM+NC=MN 。
答：∠AB ’C 的度数是150°。
例2、如图4所示，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFGH ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是 。
分析：由旋转的性质可以知道∠BFC=∠DCG=30°，所以∠FCD=60°，可以连结线段HC （如图4所示），由已知可知∠F=∠D=90°，FC=DC ，HC 是Rt △FHC 和Rt △DHC 公共的斜边，根据HL 公理可以判断Rt △FHC ≌Rt △DHC ，所以∠FHC=∠DHC=30°，所以HC=2DH ，根据勾股
定理可得222
DH DC HC +=，即()2
22DH DC DC +=，因为DC=3，所以
。
P
H
G
D
C B
A
F E 图4
H
G
D
C
B
A
F
E
图5
答：DH
3、求面积 图3
例1、如图4，△ABC 是等腰直角三角形，D 为AB 的中点，AB=2，扇形ADG 和BDH 分别是以AD 、BD 为半径的圆的
4
1，求阴影部分面积。
分析：从表面上看图形异常繁杂，若想
直接求阴影部分面积则不可能，若将扇形BDH
和△BDC 绕D 点顺时针旋转180°，问题就迎刃而解了。
解：将扇形BDH 和△BDC 绕D 点顺时针 图4 图5 旋转180°变成图5。
∴S 阴=S 半圆－S △AEF =
2
1π×12－
2
1×12=
2
1（π－1）。
例2、如图所示，△AOB 中，OA=3cm ，OB=1cm ，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°
到△A ’OB ’，那么AB 扫过的区域的面积是 。
分析：AB 扫过的区域是一个不规则的图形，要想计算它的面积，可以将它分割为①和③两部分（如图2所示），根据旋转可以知道区域②和区域③的面积是相等的，所以可以将①＋③转化为①＋②，而区域①＋②的面积=扇形OAA ’的面积－扇形ODD ’的面积，又因为OD=OD=1，OA=3，所以区域①＋②的面积=
2
14
O A π?－
214
O D π?=2
2cm π。
答：AB 扫过的区域的面积是2
2cm π。 4、进行图形分割
例4（厦门）如图6，在四边形ABCD 中，∠A=90°，∠ABC 与∠ADC 互补。
（1）求∠C 的度数；（2）若BC ＞CD 且AB=AD ，请在图上画一条线段，把四边ABCD 分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由。
A
A
B
H
C C
C
D
D
E
E
F
F
G
G
H
B'
A '
O
B
A
图1
D'
B
A
析解：本题设计新颖，巧妙把直 观感知、操作确认和逻辑推理结合起来， 第（1）问可根据四边形内角和直接求解； 第（2）问则∠ABC+∠ADC=180°，以及要
把四边形分成两部分，使得这两部分能够 图6 图7
拼成一个正方形，则新图必须有四个直角，由∠C=90°，又AB=AD ，因此猜想过点A 作AE ⊥BC 于E ，又得一个直角。把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°，这时AB 与AD 重合，则被分成两部分拼成一个正方形。
5、构造平行四边形
例5（天津）如图8，已知四边形纸片ABCD ，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片。如果限定裁剪线最多有两条，能否做到： （用“能”或“不能”填空）。若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由。
分析：本题旨在通过操作与几何说理，拓展学生思考与探索空间，主要考四边形的分割和平行四边形的判定知识，其中包含着深刻的图形变换思想，
需要丰富观察能力、抽象思维能力、动手操作能力和解决实际问 图8 图9 图10
题能力。本题通过连接四边形对边中点，构造线段相等并利用四边形内角和为360°，借助旋转、平移变换，可达到剪拼的目的。
解：能。如图9、图10，取四边形ABCD 各边的中点E 、G 、F 、H ，连接EF 、GH ，则EF 、GH 为裁剪线，EF 、GH 将四边形分成1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H 、F 各旋转180°，3平移，拼成的四边形满足条件。
三、按旋转类型进行区分
1、正三角形类型
在正ΔABC 中，P 为ΔABC 内一点，将ΔABP 绕A 点按逆时针方向旋转600，使得AB 与AC 重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a ）中的PA 、PB 、PC 三条线段集中于图（1-1-b ）中的一个ΔP 'CP 中，此时ΔP 'AP 也为正三角形。
A
B
C
D
A
B
C
P
?
A
B
C
P '
图（1-1-a ） 图（1-1-b ）
例1. 如图：（1-1）：设P 是等边ΔABC 内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，
则∠APB 的度数是________. A B C
P 34
5
?
B
'
图（1-1） 图（1-2） 简解：在ΔABC 的外侧，作∠BA P '=∠CAP ，且A P '=AP=3，连结P 'B 。
则ΔBA P '≌ΔCAP 。易证ΔAP P '为正三角形，ΔPB P '为Rt Δ ∴∠APB=∠AP P '+∠P 'PB=60 +90 =1500
2、正方形类型
在正方形ABCD 中，P 为正方形ABCD 内一点，将ΔABP 绕B 点按顺时针方向旋转900，使得BA 与BC 重合。经过旋转变化，将图（2-1-a ）中的PA 、PB 、PC 三条线段集中于图（2-1-b ）中的ΔCP P '中，此时ΔBP P '为等腰直角三角形。
D
C
B
A
?
D
A
'
图（2-1-a ） 图（2-1-b ）
例2 . 如图（2-1）：P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离
分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD 面积。
A
B
C
D P
?
A B
C
E
F
图（2-1） 图（2-2）
简解：作ΔAED 使∠DAE=∠BAP ，AE=AP 连结EP ，则ΔADE ≌ΔABP （SAS ）
同样方法，作ΔDFC 且有ΔDFC ≌ΔBPC 。 易证ΔEAP 为等腰直角三角形，又∵AP=1 ∴
同理，
PF=3
∵∠EDA=∠PBA ，∠FDC=∠PBC 又∵∠PBA+∠PBC=900
∴∠EDF=∠EDA+∠FDC+∠ADC= 900+900=1800 ∴点E 、D 、F 在一条直线上。 ∴EF=ED+DF=2+2=4，
在ΔEPF 中，EF=4，
EP=，
由勾股定理的逆定理，可知ΔEPF 为Rt Δ ∴S
正方形ABCD =S Rt ΔEPF +S Rt ΔEPA +S Rt ΔPFC =3+
12
+9
2
=8 例3 .如图（3-1）正方形ABCD 中,边长
点E 、F 分别在BC 、CD 上,且∠BAE=300
,
∠DAF=150
。求ΔAEF 的面积。(第十一届希望杯邀请赛试题)
A B
C
D E F
F '
图（3-1）
简解： 延长CB 至F '使得B F '=DF ，连结A F '，则Rt ΔAB F '≌Rt ΔADF （SAS ）。
∴∠F 'AE =300 +150=450，∠FAE=900 -300 -150=450
易证ΔF 'AE ≌ΔFAE(SAS) ∴∠F 'EA =∠FEA=600，∴∠FEC=600, ∵在Rt ΔABE 中
，∠BAE=300 ∴
∴ E F '
-1) 所以,S ΔAEF = S △AF ’E =
12
AB ·E F '=
12
3、等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC 中，∠C=Rt ∠, P 为ΔABC 内一点，将ΔAPC 绕C 点按逆时针方向旋转900，使得AC 与BC 重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b ）中的一个ΔP 'CP 为等腰直角三角形。
A
B
C
P
?
A
B
图（3-1-a ） 图（3-1-b ）
例4．如图（4-1），在ΔABC 中，∠ACB =900，BC=AC ，P 为ΔABC 内一点，且PA=3，PB=1，
PC=2。求∠BPC 的度数。
1
23
A
B C P
?
A
图（4-1） 图（4-2）
简解：在Rt ΔABC 的外侧，作∠BC P '=∠ACP ，且C P '=CP=2，连结P 'P 。
则ΔBC P '≌ΔACP 。易证Rt ΔCP P '为等腰直角三角形，在ΔPB P '中，B P '=3，BP=1，P P '
ΔP 'PB 为Rt Δ为Rt Δ，∠P 'PB=900 ∴∠BPC=∠CP P '+∠P 'PB=450+90
=1350
例5. 如图（5-1），在ΔABC 中，∠BAC =900，AB=AC ，ΔABC 内一点O ，AO=2cm,如果把ΔABO
绕A 点按逆时针方向转动900，使AB 与AC 重合，则O 点经过的路径长为__________。
A
B
C
O
O '
图（5-1）
例6． 如图（6-1），五边形ABCDE 中， ∠ABC=∠AED=900
，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五
边形ABCDE 的面积等于______________。（2003年宁波市至诚杯竞赛题）
A
B
C
D
E
?
A
B
C
D
E
C '
图（6-1） 图（6-2）
简解：延长DE 至C '使得E C '=BC ，连结A C '，则ΔAE C '≌ΔABC （SAS ）
∵AB=CD=AE=BC+DE=1，∴CD =C 'D ∴ΔCAD ≌ΔC 'AD （SSS ）
∴S ABCDE =2 S △C ’DA =2?（
12
?1?1）=1
4、 三角形与圆混合类型
将ΔCAD 绕A 点按顺时针方向旋转600到ΔBA D '，经过旋转变化，将图（3-1-a ）中的DC 与BD 组合在一条直线上，见图（3-1-b ）此时∠D 'BD 是个平角，ΔAD D '为正三角形。
A
B
C
D
o
?
A
B
C
D
o
D
'
图（3-1-a ） 图（3-1-b ）
例7． 如图（7-1），正三角形ABC 内接于⊙O ，P 是劣弧 BC
上任意一点，PA=2，则四边形
ABPC 的面积为______________。
A
B
C
P
o
?
A
B
C
P
o
P
'
图（7-1） 图（7-2）
简解：延长PB 至P '使得P 'B=PC ，连结A P '，则ΔA P 'B ≌ΔAPC （SAS ）
∴A P '=AP ，∠P 'AB=∠PAC ， 又 ∵∠BAC=600 ∴ΔP 'AP 为正三角形 ∴
S
四边形ABPC
= S △AP ’P
四、与旋转有关的探索型题目
1、条件探索型
条件探索型的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件.解题时，一般需要从结论出发，逆向思维解(即执果索因).
例1:（遂宁）如图1,把正方形ACFG 与Rt △ACB 按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2, ∠BAC=600,若把Rt △ACB 绕直角顶点C 按顺时针方向旋转,使斜边AB 恰好经过正方形ACFG 的顶点F,得△A ′B ′C ′，A B 分别与A ′C,A ′B ′相交于D 、E,如图(乙)所示. ⑴. △ACB 至少旋转多少度才能得到△A ′B ′C ′?说明理由.
⑵.求△ACB 与△A ′B ′C ′的重叠部分(即四边形CDEF)的面积(若取近似值,则精确到0.1)
_ G
_ B
_ F
_ C
_ A
(甲)
_ E
_ D
_ G
_ B
_ F
_ C
_ A
(乙) 图1
B '
A '
解：⑴∵ACGF是正方形，A′B′经过点F，∴ A′C=CF．
又∵∠A′=60°, ∴△A′CF是等边三角形.又∵∠A′CF=60°
∴∠ACA′=90°一60°=30°,∴△ABC至少旋转30°才能得到△A′CB′.
(2)∵∠ACA′=30° ,∠BAC=60°,∴∠A′DE=90°.
又∵ AC=2，可求得
.∴A′D=2
.
在Rt△A′DE中 , DE=A′Dtan60°=(2一
)
3．
∴△A′DE的面积为：1
2
A′D·DE=
1
2
(2
)·
6.
又∵ A'B′=4， A′F= 2,∴ F是A′B′的中点．
∴△A′CF的面积=1
2
△ABC的面积 , 而B′C=A’C·tan60°
,
∴ S
△ABC =
1
2
×2×
2
S
△A’CF
∴四边形DCFE
6
一
5
2
(若取近似值，则结果应约为1．7．)
2、探索结论型
结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；解结论探索型题的方法是由因导果.
例2:（衡阳市）已知，如图2，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=1，BC=5，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.
⑴证明：当旋转角为0
90时，四边形是平行四边形；
⑵试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
⑶在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由：如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
解:⑴证明:当∠AOF=0
90时, AB∥EF,又∵AF∥BE,
∴四边形ABEF为平行四边形.
⑵∵AO=CO, ∠FAO=∠ECO, ∠AOF=∠COE. ∴△AOF≌△COE. ∴AF=EC.
⑶四边形BEDF可是是菱形.
理由:如图2,连接BF、DE.
D
由(2)知△AOF ≌△COE.得OE=OF,∴EF 与BD 互相平分. 当EF ⊥BD 时,四边形BEDF 为菱形.
在Rt △ABC 中,AC=215=-,∴OA=1=AB . 又AB ⊥AC ∴∠AOB=045，∴∠AOF=045. ∴AC 绕点O 顺时针旋转045时,四边形BEDF 为菱形. 3、存在性探索型
存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论.
例1.（河北）如图1－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图1－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF 旋转到如图1－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成
分析：本题主要考查旋转图形的性质，解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律.对于（1）问，经测量后可知BM =FN ．然后利用三角形全等证明即可；对于（2）问，要明确，在继续旋转的过程中，虽然△OBM 和△OFN 都发生了变化，但二者之间全等的关系没变.
故结论成立.
解：（1）BM =FN ．
图1－2
图1－3
图1－1
A ( G )
B ( E )
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABD=∠F=45°，OB = OF．
又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN．
∴ BM=FN．
（2）BM=FN仍然成立．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．
∴∠MBO=∠NFO=135°．
又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN．
∴ BM=FN．
评注：本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让同学们体验图形旋转变换的性质，同时也考查了同学们空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目.
例2. （黑龙江鸡西）已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=2OC．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．
图2-1 图2-2 图2-3
分析：由于在旋转的过程中，虽然点O的位置发生了变化，但∠AOC和∠COE的大小不变，都是45°，因此可过C分别作OA、OB的垂线，从而转化为等腰直角三角形（图1）来处理.对于图3可仿图2处理.
解：图2结论：OD+OE=2OC.
证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q．
△CPD≌△CQE，DP=EQ. OP=OD+DP ，DQ=OE-EQ.
又OP+0Q=20C ，即OD+DP+OE-EQ=20C. ∴ OD+OE=20C ． 图3结论：OE-OD=2OC.
评注：从以上两例可以看出，解决这类问题的关键是要把握以下两点：
1.在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清变与不变的量；
2.再解决这类问题时，我们通常将其转换成全等形求解，根据旋转变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的
.
练习部分 一、选择题
1、（2009年泸州）如图1，P 是正△ABC 内的一点，若将△PBC 绕点B 旋转到△P ’BA ，则∠PBP ’的度数是 （ ）
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
2、(2009年陕西省) 如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，△A ’OB ’可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到的，若点A ’在AB 上，则旋转角α的大小可以是 （ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
3、（2009年桂林市、百色市）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转90°，得A B O ''△ ，则点A '的坐标为（ ）． A ．（3，1） B ．（3，2） C ．（2，3） D ．（1，3）
x
y
1 2 4 3 0 -1
-2 -3 1
2 3
A
B
4、、（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等腰梯形
B ．平行四边形
C ．正三角形
D ．矩形
5、（2009年台州市）单词NAME 的四个字母中，是中心对称图形的是（ ） A ．N B ．A Ｃ．M D ．E
6、（2009年广西钦州）某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（ ） A ．等腰三角形
B ．正三角形
C ．等腰梯形
D ．菱形
7、如图，在Rt △ABC 中，
AB AC
=，D 、E 是斜边BC 上两点， 且
∠DAE =45°，将△AD C 绕点A 顺时针旋转90?后，得到△AFB ，连接E F ，下列结论：
①△AED ≌△AEF ；②△ABE ≌△A C D ；③BE D C D E
+=；④2
22
BE DC DE
+=
其中正确的是（ ）
A ．②④；
B ．①④；
C ．②③；
D ．①③
8、 (2009年四川省内江市)已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180O
后得到图2，则旋转的牌是（ ）
9、(2009成都)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2，3)，若将OA 绕原点O 逆时针旋转180°得到0A′，则点A ′在平面直角坐标系中的位置是在 （ ）
(A)第一象限 (B)第二象限 (c)第三象限 (D)第四象限
10、（2009年崇左）已知点A 的坐标为()a b ，，O 为坐标原点，连结O A ，将线段O A 绕点
O 按逆时针方向旋转90°得1O A ，则点1A 的坐标为（ ）．
A ．()a b -，
B ．()a b -，
C ．()b a -，
D ．()b a -， 二、填空题
1、（2009肇庆）在平面直角坐标系中，点(23)P -，关于原点对称点P '的坐标是 ．
图1
图
2
A ．
B ．
C ．
D ．
B
C
D
E
F
A
2、（2009年衡阳市）点A 的坐标为（2，0），把点A 绕着坐标原点顺时针旋转135o到点B ，那么点B 的坐标是 _________ ．
3、 （2009年枣庄市）如图，直线443
y x =-
+与x 轴、y 轴
分别交于A 、B 两点，把AO B △绕点A 顺时针旋转90°后得到
A O
B ''△，则点B '的坐标是 ．
4、(2009年抚顺市)如图所示，在平面直角坐标系中，O A B △三个顶
点的坐标是(00)3452O A B ，、(，)、（，）
．将O A B △绕原点O 按逆时针方
向旋转90°后得到11O A B △，则点1A 的坐标是 ． 三、解答题
1．如图，P 是正方形内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP ′重合，若BP=3，求PP ′．
2．正方形
ABCD 内一点P ，使得PA ：PB ：PC=1：2：3
3、如图P 是等边△ABC 内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB=
4、（2009年河南）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，
BC =2．点0是AC 的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始，
绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于
x
C
点E ，设直线l 的旋转角为α.
(1) ①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________； ②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________； (2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．
5、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90o，AC ＝BC ＝1，将△ABC 绕点C 逆时针旋转角α。
(0o＜α＜90o)得到△A 1B 1C 1，连结BB 1.设CB 1交AB 于D ，A l B 1分别交AB 、AC 于E 、F.
(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明
(△ABC 与△A 1B 1C 1全等除外)； (2)当△BB 1D 是等腰三角形时，求α； (3)当α＝60o时，求BD 的长．
6、（13分） 已知R t ABC △中，90A C B C C D ==?，∠，为A B 边的中点，90ED F ∠=°， ED F ∠绕D 点旋转，它的两边分别交A C 、C B （或它们的延长线）于E 、F ．
当ED F ∠绕D 点旋转到D E A C ⊥于E 时（如图1），易证12
D E F C E F A B C S S S +=
△△△．
当ED F ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，D EF S △、C E F S △、A B C S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
A
E
D
A
D
A
D
7．已知正方形ABCD 和正方形AEFG 有一个公共点A,点G 、E 分别在线段AD 、AB 上. (1) 如图1, 连接DF 、BF,若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转,判断命题:“在旋转的过程中线段DF 与BF 的长始终相等.”是否正确,若正确请说明理由,若不正确请举反例说明;
(2) 若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转, 连接DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG 的长始终相等.并以图2为例说明理由.
8、将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放.
（1）将图1中△DEC 绕点C 顺时针旋转任意角度， 则 ∠ACB 1+∠BCA 1=____________
（2）、将图1中△11A B C 绕点C 顺时针旋转45°得图2，点11P A C 是与AB 的交点。
①求出图中△ACP 1的各个内角的度数；
②求证：11C P AP 2
＝
；
（3）、将图2中△11A B C 绕点C 顺时针旋转30°到△22A B C （如图3），点
22P A C 是与
AB 的交点。
图1
图2
微专题26 解析几何中的最值与范围问题 1. 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆中的部分范围问题． 2. 构造函数模型研究长度及面积相关的范围与最值问题． 3. 根据条件或几何特征构造不等关系解决与离心率相关的范围问题． 4. 熟悉线段的定比分点、弦长、面积等问题的处理手段，深刻体会数形结合、等价转化的数学思想方法的运用． 考题导航 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆 2. 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.则y x 的最大值为________；y －x 的最小 值为________；x 2＋y 2的最小值为________． 1. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 1. 已知A 、B 分别是椭圆x 36＋y 20＝1长轴的左、右端点，F 是椭圆的右焦点，点P 在 椭圆上，且位于x 轴的上方，PA ⊥PF.设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于MB ，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________． 1. 已知双曲线为C ：x 24－y 2 ＝1，P 为双曲线C 上的任意一点．设点A 的坐标为(3，0)， 则PA 的最小值为________．
1. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是________． 1. 椭圆M ：x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上的任意一点， 且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2 ，3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是_______． 1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别 为F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆C 于另一点Q ，设PF 1→ ＝λF 1Q → .若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈??? ?12，22，求实数λ的取值范围．
中考数学几何图形旋转典型试题 一、填空题 1.（日照市）如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于． 2．（成都市）如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB 上，那么此三角板向右平移的距离是cm． 3.（连云港市）正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R 与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针 连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径 的长为cm． 4.（泰州市）如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝ 3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是． 二、解答题 5.（资阳市）如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP； (2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 . 6.（武汉市）如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车
解析几何中的定点定值问题 考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。 一、 定点问题 解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。 例1、已知A 、B 是抛物线y 2 =2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β= 4 π 时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。 解析： 设A （ 121 ,2y p y ），B （222 ,2y p y ），则 2 1 2tan , 2tan y p y p ==βα，代入1)tan(=+βα 得2 21214)(2p y y y y p -=+ （1） 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则 022222 =+-????=+=pb py ky px y b kx y ∴k p y y k pb y y 2,22121= += ，代入（1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点（-)2,2p p 说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。 例2．已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>> ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的 圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程； ⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．
百度文库-让每个人平等地提升自我 巧用旋转法解几何题 将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的 图形全 等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相 等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点， 旋转另一位置的引辅助线的方法, 主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三 角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参 考。 例1.如图，在Rt △ ABC 中，/ C=90°, D 是AB 的中点，E , F 分别 AC 和BC 上，且 DEL DF, 求证：EF 2=A ^+B F" 分析：从 所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到 EF , AE BF 三条线段不在同一个三角 形中，由于D 是中点，我们可以考虑以 D 为旋转中心，将 BF 旋转到和AE 相邻的位置，构造一个直 角三角形，问题便迎刃而解。 证明：延长 FD 到G 使DG=DF 连接AG EG ?/ AD=DB / ADG=/ BDF ???" ADd " BDF ( SAS ???/ DAG=/ DBF BF=AG ? AG// BC ???/ C=90°A Z EAG=90 ? EG=Ah+AG=AE+BF ?/ DEI DF ? EG=EF 2 2 2 ? EF=AE+BF 例 2,如图 2,在"ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC P 是"ABC 内一点，且 PA=3 PB=1, PC=2 求/ BPC 的度数. 分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中， 故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于" ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点 C 为旋转 中心。 解：作 MC L CP,使 MC=CP 连接 PM , BM F E A
第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题 高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求. 真 题 感 悟 (2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2 ＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围； (2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO → ，求证：1λ＋1μ 为定值. 解 (1)因为抛物线y 2 ＝2px 过点(1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2 ＝4x . 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0). 由? ????y 2 ＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2 ×1>0， 解得k <0或0 解析几何最值问题的赏析 丹阳市珥陵高级中学数学组：李维春 教学目标：１．掌握解析几何中图形的处理方法和解析几何中变量的选择； ２．掌握利用基本不等式和函数的思想处理最值问题． 重点难点：图形的处理和变量的选择及最值的处理． 问题提出： 已知椭圆方程：14 32 2=+y x ，A ，B 分别为椭圆的上顶点和右顶点。过原点作一直线与线段AB 交于点G ，并和椭圆交于E 、F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值。 问题分析： 1、 图形的处理： 不规则图形转化为规则图形（割补法） ABF ABE AENF S S S ??+= BEF AEF AENF S S S ??+= 2、 变量的选择： （1） 设点：设点),(00y x E 则),(00y x F --，可得到二元表达式； （2） 设动直线的斜率k （可设AF,BF,EF,AE,BE 中任意一条直线的斜率），可得 一元表达式。 3，最值的处理方法： （1） 一元表达式可用基本不等式或函数法处理； （2） 二元表达式可用基本不等式或消元转化为一元表达式。 X 问题解决： 解法一： 由基本不等式得62 24)34(2322 02000==+≤+=y x y x S 时取“＝” 当且仅当0032 y x = 解法二： 00000 0(,),(,),(0,0)x y F x y x y -->>设E ，四边形的面积为S (0,2),A B 因为,12 y += 20x +-=即1d =点E 到直线的距离：00( ,)x y 因为E 在直线AB 的上方，0020x ->所以1d =所以2d =点F 到直线的距离：00(,)x y --因为F 在直线的下方2d =所以)(21)(212121d d AB d AB d AB S +=+=002S x =+所以AB =因为00(,)F x y 又因为22134 x y +=在椭圆上22004312x y +=所以max S =所以 解析几何中的定值定点问题 一、定点问题 【例1】．已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>> ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 与直线0x y -+=相切． ⑴求椭圆C 的方程； ⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 解：⑴由题意知c e a ==2222 2234c a b e a a -=== ，即224a b = ，又因为1b ==，所以22 4,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214 x y +=． ⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22 (4)14 y k x x y =-???+=??消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ?=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意， 所以直线PN 的斜率的取值范围是0k << 或0k <． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为21 2221 ()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221 () y x x x x y y -=- +，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ② 由得①2212122232644 ,4141k k x x x x k k -+== ++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)． 【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨 迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 解：⑴∵点M 到(),0 ，) ,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为的椭圆，其方程为2 214 x y +=． 中考旋转问题汇编（经典） 一、选择题 1.如图，把一个斜边长为2且含有300 角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900 到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是（ ） A ．π B ． 34π D ．1112π 2.如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转 中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④ AOBO S 四形边AOC AOB S S += ．其中正确的结论是（ ） A ．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 3.如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（ ）。 A ．1：2 B ．1：2 C ．3：2 D ．1：3 4.点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30° 5.如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于 点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相 切于点D 的位置，则⊙O 自转了：（ ） A ．2周 B ．3周 C ．4周 D ．5周 二、填空题 6.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=900 ,AB=AD,若四边形ABCD 的面积是24cm 2 .则AC 长是 cm. 第十一讲 解析几何范围最值问题 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 一、几何法求最值 【例1】 抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足＋＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线的方程； (2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值． [满分解答] (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)． 由????? y ＝kx －2，x 2＝－2py ， 得x 2＋2pkx －4p ＝0 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 所以＋＝(－4，－12)，所以??? ? ? －2pk ＝－4，－2pk 2 －4＝－12， 解得? ???? p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y . (2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)． 此时点P 到直线l 的距离d ＝ |2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2 ＝45＝4 5 5. 由? ???? y ＝2x －2， x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝ 1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋22·(－4)2－4·(－4)＝4 10. 于是，△ABP 面积的最大值为12×4 10×4 55＝8 2. 二、函数法求最值 【示例】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝ 2 3 ，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程； (2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． (1)由e ＝c a ＝ a 2－ b 2 a 2＝ 23，得a ＝3 b ，椭圆C ：x 23b 2＋y 2 b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2， 一．方法综述 解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下； （1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性； 一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果； 另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。 （2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。 二．解题策略 类型一定值问题 【例1】（2020?青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（） A．B．C．2p D． 【答案】D 【解析】分析：直接利用直线和曲线的位置关系式的应用建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣）， 解析几何中的最值问题 解析几何中的最值问题是很有代表性的一类问题，具有题形多样，涉及知识面广等特点。解决这类问题，需要扎实的基础知识和灵活的解决方法，对培养学生综合解题能力和联想思维能力颇有益处。本文通过实例，就这类问题的解法归纳如下： 一、 转化法 例1、 点Q 在椭圆 22 147 x y +=上，则点Q 到直线32160x y --=的距 离的最大值为 （ ） A B C D 分析：可转化为求已知椭圆平行于已知直线的切线，其中距离已知直线较远的一条切线到该直线的距离即为所求的最大值。 解：设椭圆的切线方程为 3 2 y x b =+，与 22 147 x y +=消去y 得 224370x bx b ++-=由?=01272=+-b 可得4(4)b b ==-舍去，与 32160x y --=平行且距离远的切线方程为3280x y -+= 所以所求最大值为d = = ，故选C 二 、配方法 例2、 在椭圆 22 221x y a b +=的所有内接矩形中，何种矩形面积最大？ 分析：可根据题意建立关系式，然后根据配方法求函数的最值。 解：设椭圆内接矩形在第一象限的顶点坐标为A (),x y ，则由椭圆对称性，矩形的长为2x ，宽为2y ，面积为4xy ，与 22 221x y a b +=消去 y 得： 22b S x a =?= 可知当x a = 时，max 2S ab = 三、 基本不等式法 例3、 设21,F F 是椭圆14 22 =+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF ?的最大值是 解： 124PF PF += 由12PF PF +≥得 44 )(2 2121=+≤ ?PF PF PF PF 即21PF PF ?的最大值是4 。 四、 利用圆锥曲线的统一定义 例4 、设点A (-，P 为椭圆22 11612 x y +=的右焦点，点 M 在椭 圆上，当取2AM PM +最小值时，点M 的坐标为 （ ） A (- B (- C D 解：由已知得椭圆的离心率为1 2 e = ， 过M 作右准线L 的垂线，垂足为N ，由圆锥曲线的统一定义得 2MN PM = 2AM PM AM MN ∴+=+ 当点M 运动到过A 垂直于L 的直线上时， AM MN +的值最小，此时点M 的坐标为，故选 C 五、 利用平面几何知识 例5 、平面上有两点(1,0),(1,0)A B -，在圆22 (3)(4)4x y -+-=上取一点 P ，求使22 AP BP +取最小值时点P 的坐标。 初中数学几何专题——旋转 一．选择题（共5小题） 1．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（） A．B．2 C．D． 2．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（）A．菱形B．矩形C．等腰梯形D．正五边形 3．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（） A．4 B．8 C．16 D．8 4．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（） A．1： B．1：2 C．：2 D．1： 5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（） A．1﹣ B．1﹣ C．D． 二．填空题（共5小题） 6．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ=3，当CQ= 时，四边形APQE的周长最小． 7．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是． 8．如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A 1B 1 C 1 ．若BC=3，，则BB 1 = ． 9．已知一个直角三角板PMN，∠MPN=30°，MN=2，使它的一边PN与正方形ABCD 的一边AD重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点P旋转，使点M落在直线BC上一点F处，则CF的长为． 10．如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，E为对角线BD上一点，且DE=2BE，过E作FG⊥BD，分别交AB、CD于F、G．将四边形BCGF绕点B旋转180°，在此过程中，设直线GF分别与直线CD、BD交于点M、N，当△DMN是以∠MDN为底角的等腰三角形时，则DN的长是． 三．解答题（共6小题） 14．已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP= 时，四边形BCDP是矩形； （2）将点B绕点E逆时针旋转． ①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形； ②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积． 15．问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D 作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系 拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立如果成立，请就图中给出的情况加以证明． 问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD=2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC 所在的直线垂直时BD的长． 16．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A 1B 1 C 1 O的 A ．() 1,2 B ． ( ) 2,2 C ．()1,2 D ． ( ) 2,+∞ 2．（2020·湖北高考模拟（理））设椭圆222 14 x y m +=与双曲线22 214x y a -=在第一象限的交点为12,,T F F 为其共同的左右的焦点，且14TF <，若椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则22 12e e +的取值范围为 A ．262, 9? ? ??? B ．527, 9?? ??? C ．261, 9?? ??? D ．50,9?? +∞ ??? 3.（2020六安市第一中学模拟）点在椭圆上， 的右焦点为，点在圆 上，则 的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 类型二 通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围 【例2】（2020·玉林高级中学高考模拟（理））已知椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为,A B ，F 为椭圆 C 的右焦点，圆22 4x y +=上有一动点P ，P 不同于,A B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则PB QF k k 的取 值范围是（ ） A ．33,0,44????-∞- ? ? ????? B ．()3,00,4??-∞? ??? C ．()(),10,1-∞-? D ．()(),00,1-∞ 【举一反三】 1.抛物线上一点 到抛物线准线的距离为 ，点关于轴的对称点为，为坐标原点， 的内切圆与 切于点，点为内切圆上任意一点，则 的取值范围为__________． 2.（2020哈尔滨师大附中模拟）已知直线 与椭圆： 相交于，两点，为坐标原点. 当的面积取得最大值时，（ ）A ． B ． C ． D ． 类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围 解析几何题型2——《解析几何中的定值定点问题》 题型特点： 定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点。解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。这类试题考查的是在运动变化过程中寻找不变量的方法。 典例 1 如图，已知双曲线)0(1:222 >=-a y a x C 的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，OB AB ⊥，OA BF //（O 为坐标原点）。 （1）求双曲线C 的方程； （2）过C 上一点),(00y x P 的直线1: 020=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，NF MF 恒为定值，并求此定值。 典例2 已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8。 （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2）已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点。 典例3 已知直线6:+=x y l ，圆5:2 2=+y x O ，椭圆)0(1:2222>>=+b a b x a y E 的离心率33=e ，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等。 （1）求椭圆E 的方程； （2）过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值。 典例4 椭圆的两焦点坐标分别为)0,3(1-F 和)0,3(2F ,且椭圆过点)23,1(- 。 （1）求椭圆方程； （2）过点)0,5 6(-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断MAN ∠的大小是否为定值，并说明理由。 解析几何中的最值问题 一、教学目标 解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景，以函数和不等式等知识作为工具，具有较强的综合性，这类问题的解决没有固定的模式，其解法一般灵活多样，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。基本内容：有关距离的最值，角的最值，面积的最值。 二、教学重点 方法的灵活应用。 三、教学程序 1、基础知识 探求解析几何最值的方法有以下几种: (1)函数法（设法将一个较复杂的最值问题，通过引入适当的变量能归为某初等函数（常见）的有二次函数和三角函数）的最值问题，然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。 (2)不等式法：（常用的不等式法主要有基本不等式等） (3)曲线定义法：利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点（或定直线）距离之间的不变关系，一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法 （4）平面几何法：有些最值问题具有相应的几何意义（如分式最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式等等） （1）函数法 例1、已知P 点在圆()2241x y +-=上移动，Q 点在椭圆2 219 x y +=上移动,试求PQ 的最大值。 分析：两个都是动点，看不出究竟，P 、Q 在什么位置时|PQ|最大 故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ| 的最大值，只要求|OQ|的最大值。 说明：函数法其我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。 例2 在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 是椭圆2 213 x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值 （2）不等式法 解析几何中的范围问题 一般解题思路是，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。 一、“题设条件中的不等式关系” 题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。 例1、（2004全国卷 I ）椭圆 的两个焦点是 ，且 椭圆上存在点P 使得直线 垂直.求实数m 的取值范围； 分析：对于（1），要求m 的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为标准方程，应有 ， 便是特设条件 中隐蔽的不等关系. 解：（1）由题设知 设点P 坐标为 ，则有 得① 将①与 联立，解得 ∵m>0，且 ∴m≥1 即所求m 的取值范围为 . 二、“圆锥曲线的有关范围” 椭圆、双曲线和抛物线的“范围”，是它们的第一几何性质。 例2、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线x y 162 =的焦点P 为其一个焦点，以双曲线19 162 2=-y x 的焦点Q 为顶点。 (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点)0,1(),0,1(B A -，且C ，D 分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M 是线段CD 上的动点，求BM AM ?的取值范围。 解：(1)抛物线x y 162 =焦点P 为(4，0)，双曲线19 162 2=-y x 的焦点Q 为(5，0) ∴可设椭圆的标准方程为122 22=+b y a x （a>b>0），且a=5，c=4 916252 =-=∴b ，∴椭圆的标准方程为 19 252 2=+y x (2)设),(00y x M ，线段CD 方程为135=+y x ，即353+-=x y )50(≤≤x 点M 是线段CD 上，∴35 3 00+-=x y )50(0≤≤x ),1(00y x AM +=，),1(00y x BM -=，12 020-+=?∴y x AM ， 将35300+- =x y )50(0≤≤x 代入得BM ?1)35 3(202 0-+-+=x x BM AM ??85 182534020+-= x x 34191 )3445(253420+-=x 500≤≤x ， BM AM ?∴的最大值为24，BM AM ?的最小值为34 191 。 BM AM ?∴的范围是]24,34 191 [。 三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件” 在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。因此，对于有关一元二次方程的判别式△>0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导出该量的不等式的原始不等关系。 例3、如图，直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝23，BC ＝2 1 ．椭圆C 以A 、B 为焦点且经过点D ． （1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程； （2）若点E 满足EC 2 1 = AB ，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME =，若存在，求 出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由． 解：（1）以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系，则 A （-1，0），B （1，0） 设椭圆方程为：12222=+b y a x 令c b y C x 2 0=?= ∴?? ?==??????= =322 31 2 b a a b C ∴ 椭圆C 的方程是：13 42 2=+y x 。 （2）1(02EC AB E =?，)2 1 ，l ⊥AB 时不符，设l ： y ＝kx ＋m （显然k ≠0） 解析几何中的定点和定值问题 【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不 变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用． 【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学方法】讨论式 【教学过程】 一、基础练习 1、过直线4x =上动点P 作圆224O x y +=：的切线PA PB 、，则两切点所在直线 AB 恒过一定点．此定点的坐标为_________． 【答案】(1,0) 【解析】设动点坐标为(4,t P ），则以OP 直径的圆C 方程为：(4)()0x x y y t -+-= ， 故AB 是两圆的公共弦，其方程为44x ty +=． 注：部分优秀学生可由200x x y y r += 公式直接得出． 令440 x y -=?? =? 得定点(1,0). 2、已知PQ 是过椭圆22:21C x y +=中心的任一弦，A 是椭圆C 上异于P Q 、的 任意一点．若AP AQ 、 分别有斜率12k k 、 ，则12k k ?=______________． 【答案】-2 【解析】设00(,),(,)P x y A x y ，则(,)Q x y -- 22 0001222 000y y y y y y k k x x x x x x -+-?=?= -+-， 又由A 、P 均在椭圆上，故有：22 002221 21x y x y ?+=??+=?? ， 两式相减得2 2 2 2 002()()0x x y y -+-= ，22 0122202y y k k x x -?==-- 3、 过右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点， AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则_______.1=24 e 【解析】 设直线AB 斜率为k ，则直线方程为()3y k x =-, 从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景 解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。 背景之一：题目所给的条件 利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。 例1：椭圆),0(1 22 22为半焦距c b c a b y a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点P(x , y )为其 上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。 解：设P(x 1, y )，∠F 1PF 2是钝角?cos∠F 1PF 2 =||||2||||||2 12 212221PF PF F F PF PF ?-+ 222212221)(||||||0y c x F F PF PF ++?<+?<2)(c x -+2 2224y x c y +?<+22 22222222 2 )(x a b a c x a a b x c -?<-+?<)(2 222222b c c a x b c - 解析几何中的定值定点问题（一） 一、定点问题 【例1】．已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>> ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 与直线0x y -+=相切． ⑴求椭圆C 的方程； ⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值围； ⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 解：⑴ 由题意知c e a ==2222 2234c a b e a a -=== ，即224a b = ，又因为1b ==，所以22 4,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214 x y +=． ⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22 (4)14 y k x x y =-???+=??消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ?=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意， 所以直线PN 的斜率的取值围是0k << 或0k <． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为21 2221 ()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221 () y x x x x y y -=- +，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ② 由得①2212122232644 ,4141k k x x x x k k -+== ++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)． 【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨 迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 解：⑴∵点M 到(),0 ，) ,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为的椭圆，其方程为2 214 x y +=． 高中数学解析几何中求参数取值范围的方法 近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点P(x0 , 0) 求证:-a2-b2a ≤x0 ≤a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B 满足的范围求解. 解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令y=0得x0=x1+x22 ?a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 ∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a ∴-a2-b2a ≤x0 ≤a2-b2a 例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题. 解: 依题意有 ∴tanθ=2S ∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4 又∵0≤θ≤π ∴π4 <θ< p> 例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( ) A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p> 分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解. 解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a 得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0 ∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立 又∵y02≥0 而2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )解析几何最值问题
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