例1．有公共顶点C 的△ABC 和△CDE 都是等边三角形.
（1）求证：AD=BE
；
（2）如果将△CDE 绕点C 沿顺时针方向旋转一个任意角，AD=BE 还成立吗？
推广：四边形ABDE 和ACFG 都是正方形，连结EC,BG ，如果将ABDE 绕点A 旋转一个任意角，问EC 与BG 有何关系.
例2.课本例题推广：
（1）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD=∠BCD=90°，且四边形ABCD 的面积36，求线段BC 与CD 的和.
（2）已知：在五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＋DE ＝CD ，∠ABC ＋∠AED ＝180°．
求证：AD 是∠CDE 的平分线．
（3）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且BC ＞AD ；∠D ＝90°，BC ＝CD ＝12，∠ABE ＝45°．若AE ＝10，求CE 的长．
例3．已知E 、F 分别在正方形ABCD
边AB 和BC 上，AB=1，∠EDF=45°.求
△BEF 的周长. 例4. 已知：在△ACB 中，∠ACB ＝90°，
AC ＝BC ，D 、E 在AB 边上，且使得∠DCE ＝45°．求
证：AD 、DE 、EB 三条线段确定的数量
关系 练习：
1． 在△ABC 中，AB=AC ，如图，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 .
求DE 的长.
拓展：如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ， （1）P 是三角形内的一点，且∠APB=∠APC ．求证：PB=PC ．
（2）D 是三角形内一点，若∠ADB ＞∠ADC ．求证∠DBC ＞∠DCB ．
（3）若P 为正方形ABCD 内一点，PA ∶PB ∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135°
2．（正方形中的三角形旋转）已知：如图，E 是正方形ABCD 边BC 上任意一点，AF 平分∠EAD 交CD 于F ，试说明BE+DF=AE.
拓展：已知：在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，
（1）如图（1），若有BE+DF=EF ，求：∠EAF 的度数.
（2）如图（2），若有∠EAF =45o.求证：BE+DF=EF.
（3）如图（3），若∠EAF=45o，AH ⊥EF ．求证：AH=AB ．
（4）如图（4），若正方形ABCD 边长为1，△CEF 的周长为2．求∠EAF 的大小．
（5）如图（5），若AB=3，且∠BAE=30o，∠DAF=15o，求△AEF 的面积．
（6）如图（6），正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成4个小矩形，P 是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍．试确定∠HAF 的大小，写出推导的过程．
（1） （2） （3）
（4） （5）
练习：（答案）
1．在△ABC 中，AB=AC ，如图，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 .求DE 的长.
拓展：如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，
（1）P 是三角形内的一点，且∠APB=∠APC ．求证：PB=PC ．
（2）D 是三角形内一点，若∠ADB ＞∠ADC ．求证∠DBC ＞∠DCB ．
A E D C
B A
分析: 将△ABC 以A 为中心逆时针旋转一角度∠BAC ，到△ACE 的位置．连DE ，由∠ADB ＞∠ADC ，得 ∠AEC ＞∠ADC ．又 ∠ADE=∠AED ，相减，得 ∠DEC ＞∠EDC ．
∴ CD ＞CE ．
即 CD ＞BD ，从而∠DBC ＞∠DCB ．
拓展（3）若P 为正方形ABCD 内一点，PA ∶PB ∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135°．
分析:利用正方形的特点设法经过旋转使AP 、PB 、PC 相对集中，为简单起见不妨设PA=1， PB=2，PC=3．绕B 点顺时针旋转90o，使△CBP 到△ABE 的位置，这时BE=2，AE=3，∠PBE=90o→PE=22，∠BPE=45o.又222981AE PE AP ==+=+
∴ ∠APE=90°．于是 ∠APB=135°．
拓展（4）在等边三角形内有一点P ．连接P 与各顶点的三条线段的长为3、4、5.求正三角形的边长.（答
案：31325＋
） P C
B A D
P
C
B
A 分析:将△CP
B 旋转到△AP ′B ，连接PP ′，延长BP ，过A 作AD
⊥BD.易知△APP ′是直角三角形，因为∠BPP ′=60o，所以∠APD=30o，则AD=2，DP=32.
旋转讲解2
例1：（05大连）如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M ．（1）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．
（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
①DM 的延长线交CE 于点N ，且AD =NE ；②将正方形CGEF 绕点C 逆时针旋转45°（如图2），其他条件不变；③在②的条件下，且CE =2AD ．
（3）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角度后（如图3），其他条件不变．探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．
练：1.（08北京）请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一条
直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG 、PC .若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，探
究PG 与PC 的位置关系及PG PC
的值. 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过
A B C D F M G E A
B C D
F M
G E A B C F M G E
图1 图３ Ｄ 图２
图1
中考数学几何旋转压轴 题 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
中考数学几何旋转综合题 1、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）求证：EG =CG ； （2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o ，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明） 2. 在△ABC 中，＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，将△ABC 绕点B 顺时针旋转角(0°＜＜90°)得△A 1BC 1，A 1交AC 于点E ，A 1C 1分别交AC ，BC 于D ，F 两点． (1)如图22－4(a)，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA 1与FC 是怎样的数量关系?并证明你的结论； 图23－4(a) (2)如图23－4(b)，当＝30°时，试判断四边形BC 1DA 的形状，并说明理由； 图23－4(b) (3)在(2)的情况下，求ED 的长． 3. 如图23－8(a)，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别为EB ，CD 的中点，易证：CD ＝BE ，△AMN 是等边三角形． 图23－8 (1)当把△ADE 绕A 点旋转到图23－8(b)的位置时，D ，E ，B 三点共线，CD ＝BE 是否仍然成立?若成立请证明；若不成立请说明理由； (2)当△ADE 绕A 点旋转到图23－8(c)的位置时，D ，E ，B 三点不共线，△AMN 是否还是等边三角形?若是，请给出证明；并求出当AB ＝2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由． 4. 如图23－9(a)，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(－8，0)，直线BC 经过点B (－8，6)，C (0，6)，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转得到四边形OA ′B ′C ′，此时直线OA ′，直线B ′C ′分别与直线BC 相交于点P ，Q ． 图23－9 (1)四边形OABC 的形状是______， 当＝90°时， BQ BP 的值是______； (2)①如图23－9(b)，当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴的正半轴上时，求 BQ BP 的值； A D E G D F A D C E G F A C E
例1．有公共顶点C 的△ABC 和△CDE 都是等边三角形. （1）求证：AD=BE ； （2）如果将△CDE 绕点C 沿顺时针方向旋转一个任意角，AD=BE 还成立吗？ 推广：四边形ABDE 和ACFG 都是正方形，连结EC,BG ，如果将ABDE 绕点A 旋转一个任意角，问EC 与BG 有何关系. 例2.课本例题推广： （1）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD=∠BCD=90°，且四边形ABCD 的面积36，求线段BC 与CD 的和. （2）已知：在五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＋DE ＝CD ，∠ABC ＋∠AED ＝180°． 求证：AD 是∠CDE 的平分线． （3）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且BC ＞AD ；∠D ＝90°，BC ＝CD ＝12，∠ABE ＝45°．若AE ＝10，求CE 的长． 例3．已 知E 、F 分别在正方形ABCD 边AB 和BC 上，AB=1，∠EDF=45°.求 △BEF 的周长. 例4.已知：在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 、E 在AB 边上，且使得∠DCE ＝45°．求证：AD 、DE 、EB 三条线段确定的数 量关系 练习： 1． 在△ABC 中，AB=AC ，如图，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 . 求DE 的长. 拓展：如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ， （1）P 是三角形内的一点，且∠APB=∠APC ．求证：PB=PC ． （2）D 是三角形内一点，若∠ADB ＞∠ADC ．求证∠DBC ＞∠DCB ． （3）若P 为正方形ABCD 内一点，PA ∶PB ∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135° P C B A D C B A F E D C B A 2．（正方形中的三角形旋转）已知：如图，E 是正方形ABCD 边BC 上任意一点，AF 平分∠EAD 交CD 于F ， F C M A E D C B A
初中数学几何专题——旋转 一．选择题（共5小题） 1．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（） A．B．2 C．D． 2．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（）A．菱形B．矩形C．等腰梯形D．正五边形 3．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（） A．4 B．8 C．16 D．8 4．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（） A．1： B．1：2 C．：2 D．1： 5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（） A．1﹣ B．1﹣ C．D． 二．填空题（共5小题） 6．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ=3，当CQ= 时，四边形APQE的周长最小． 7．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是．
8．如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A 1B 1 C 1 ．若BC=3，，则BB 1 = ． 9．已知一个直角三角板PMN，∠MPN=30°，MN=2，使它的一边PN与正方形ABCD 的一边AD重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点P旋转，使点M落在直线BC上一点F处，则CF的长为． 10．如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，E为对角线BD上一点，且DE=2BE，过E作FG⊥BD，分别交AB、CD于F、G．将四边形BCGF绕点B旋转180°，在此过程中，设直线GF分别与直线CD、BD交于点M、N，当△DMN是以∠MDN为底角的等腰三角形时，则DN的长是． 三．解答题（共6小题） 14．已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP= 时，四边形BCDP是矩形； （2）将点B绕点E逆时针旋转． ①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形； ②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积． 15．问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D 作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系 拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立如果成立，请就图中给出的情况加以证明． 问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD=2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC 所在的直线垂直时BD的长． 16．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A 1B 1 C 1 O的
旋转基础练习一 一、选择题 1．在26 个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）A．6 个B．7 个C．8 个D．9 个 2．从 5 点15 分到 5 点20 分，分针旋转的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．36° 3．如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点 C 为旋转中心，将△ABC 旋转到△A′B′的C位置，其中A′、B′分别是A、B 的对应点，且点 B 在斜边A′B上′，直角边CA′交AB 于D，则旋转角等于（）A．70°B．80°C．60°D．50° (图1) (图2) (图3) 二、填空题． 1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________． 2．如图2，△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，∠ C 和∠AED 都是直角，点 E 在AB 上，如果△ABC 经旋转后能与△ADE 重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________． 3．如图3，△ABC 为等边三角形， D 为△ABC 内一点，△ABD 经过旋转后到达△ACP 的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）旋转角度是________；（3）△ADP 是________ 三角形． 三、解答题． 1．阅读下面材料： 如图4，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置． 如图5，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置． (图4) (图5) (图6) (图7) 如图6，以A 点为中心，把△ABC 旋转90°，可以变到△AED 的位置，像这样，其中 一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置， 不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．
巧用旋转法解几何题 将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的 图形全 等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相 等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点， 旋转另一位置的引辅助线的方法, 主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三 角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参 考。 例1.如图，在Rt △ ABC 中，/ C=90°, D 是AB 的中点，E , F 分别 AC 和BC 上，且 DEL DF, 求证：EF 2=A ^+B F" 分析：从 所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到 EF , AE BF 三条线段不在同一个三角 形中，由于D 是中点，我们可以考虑以 D 为旋转中心，将 BF 旋转到和AE 相邻的位置，构造一个直 角三角形，问题便迎刃而解。 证明：延长 FD 到G 使DG=DF 连接AG EG ?/ AD=DB / ADG=/ BDF ???" ADd " BDF ( SAS ???/ DAG=/ DBF BF=AG ? AG// BC ???/ C=90°A Z EAG=90 ? EG=Ah+AG=AE+BF ?/ DEI DF ? EG=EF 2 2 2 ? EF=AE+BF 例 2,如图 2,在"ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC P 是"ABC 内一点，且 PA=3 PB=1, PC=2 求/ BPC 的度数. 分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中， 故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于" ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点 C 为旋转 中心。 解：作 MC L CP,使 MC=CP 连接 PM , BM F E A
中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型 一、教学目标： 1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征． 2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题． 3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题． 二、教学重难点： 1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等． 2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择． 三、教学过程： 1.复习旧知 师：如图，△ABD ，△BCE 为等边三角形，从中你能得出哪些结论？ 生：（1）△ABE ≌△DBC （2）△ABG ≌△DBF （3）△CFB ≌△EGB （4）△BFG 为等边三角形 （5）△AGB ∽△DGH （6）∠DHA ＝60°（7）H ，G ，F ，B 四点共圆 （8）BH 平分∠AHC …… 师：我们再来重点研究△ABE 与△DBC ，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？ 生：它们有同一个字母B ，即同一个顶点B ． 师：我们也可以把△DBC 看作由△ABE 经过怎样的图形运动得到？ 生：绕点B 逆时针旋转60°得到． 2.引入新课 师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？ 生：对应边相等． 师：我们可以称之为“等线段”． 生：有同一个顶点． 师：我们可以称之为“共顶点”． 师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？ 生：旋转． H G F E D C B A
师：“手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转． 3.小题热身 图1 图2 图3 1．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C，则AF＝____BE．2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______．3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BE＝3，DF＝5，则EF＝_______． 师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．生：题1中，等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD．题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE． 师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？ 生：没有． 师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？ 生：等线段是AD，AB，共顶点是A． 师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？ 生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°． 师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？ 生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形，AB绕点A逆时针旋转90°即为AD，那么将AE逆时针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等． 师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？ 生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条“共顶点”的线段，将其旋转． 师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？ 生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致． 师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？ 步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”．
几何图形旋转常见问题 一、填空题 1.如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于． 2．如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是cm． 3.正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为cm． 4.如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD 以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是． 二、解答题 5.如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP； (2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .
6.如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车的第一个叶 片F 1，然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转180°得到第二个叶片F 2 ，再将F 1 、F 2 同时 绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F 3、F 4 .根据以上过程，解答下列问题： (1)若点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(2，1)，写出此时点B的坐标； (2)请你在图6－2中画出第二个叶片F 2 ； (3)在(1)的条件下，连接OB，由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中，线段OB扫过的图形面积是多少？ 7.如图7，在直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1,0)，将线段OP 按逆时针方向旋转 45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1 ；又将线段OP 1 按逆时针方向旋转45°， 长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2 ；如此下去，得到线段OP 3 ，OP 4 ，…，OP n （n为正整数）. （1）求点P 6 的坐标； （2）求△P 5OP 6 的面积； （3）我们规定：把点P n (x n ,y n )（n=0,1,2,3,…）的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后 得到的新坐标(|x n |,|y n |)称之为点P n 的“绝对坐标”．根据图中点P n 的分布规律，请你猜 想点P n 的“绝对坐标”，并写出来． 8.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H （如图8）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
旋转几何综合中考真题汇编[解析版] 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°． （1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系； ②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长． 【答案】（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由详见解析；（2）DE＝5 3 ． 【解析】 【分析】 （1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案； ②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G 在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案； （2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD ＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可． 【详解】 解：（1）∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADC+∠ADG＝90° ∴F、D、G共线， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠DAG+∠DAF＝45°， 即∠EAF＝∠GAF＝45°，
巧用旋转法解几何题
∵AD=DB ，∠ADG=∠BDF ∴⊿ADG ≌⊿BDF （SAS ） ∴∠DAG=∠DBF ，BF=AG ∴AG ∥BC ∵∠C=90°∴∠EAG=90° ∴EG 2 =AE 2 +AG 2 =AE 2 +BF 2 ∵DE ⊥DF ∴EG=EF ∴EF 2 =AE 2 +BF 2 例2，如图2，在⊿ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是⊿ABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 的度数. 分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于⊿ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点C 为旋转中心。 解：作MC ⊥CP ，使MC=CP ，连接PM ，BM ∵∠ACB=90°，∠PCM=90°∴∠1=∠2 ∵AC=BC ， ∴⊿CAP ≌⊿CBM （SAS ） ∴MB=AP=3 G F E D C B A
∵PC=MC ，∠PCM=90° ∴∠MPC=45° 由勾 股定理 PM== 2 2MC PC = 2 2PC =22， 在⊿MPB 中，PB 2 +PM 2 =（22）2 +12=9=BM 2 ∴⊿MPB 是直角三角形 ∴∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135° 例3，如图3，直角三角形ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,∠EAF=45°，求证：EF 2=BE 2+CF 2 分析：本题求证的结论和例1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE ，CF 转移到同一个直角三角形中，由于⊿BAC 是等腰直角三角形，不妨以A 为旋转中心，将∠BAE 和∠CAF 合在一起，取零为整。 证明：过A 作AP ⊥AE 交BC 的垂线CP 于P ，连结 PF ∵∠EAP=90°，∠EAF=45° ∴∠PAF=45° ∵∠BAC=90° ∴∠BAE=∠PAC A P M C B A
旋转专题 1. （2012广东佛山3分）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】 A ．π B．3 C ．33+42π D ．113+124 π 2. （2012广东汕头4分）如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若 ∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是【 】 A ．110° B．80° C．40° D．30° 3. （2012福建龙岩4分）如图，矩形ABCD 中，A B=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周 所得圆柱的侧面积为【 】 A ．10π B ．4π C ．2π D ．2 4. （2012湖北十堰3分）如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④AOBO S =6+33四形边；⑤AOC AOB 93S S 6++=．其中正确的结论是【 】 6题 7题 A ．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 5. （2012湖南娄底3分）如图，矩形绕它的一条边MN 所在的直线旋转一周形成的几何体是【 】 A ． B ． C ． D ． 6. （2012四川绵阳3分）如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=【 】。
数学九年级上册 旋转几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点 E 关于AB 的对称点，连接A F 、BF ． （1）求AF 和BE 的长； （2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ?<
中考数学几何图形旋转试题 一、填空题 1.(日照市）如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于． 2．（成都市）如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC,绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是cm． 3.（连云港市）正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC,CA顺时针连续翻转(如图3所示)，直至点P第一次回到原来的位置，则点P 运动路径的长为cm． 4。(泰州市）如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC ＝3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE， CE,则△ADE的面积是． 二、解答题 5.（资阳市）如图5-1,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD 于点F. (1）求证:BP=DP； （2）如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请给予证明;若不是，请用反例加以说明； （3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论。 6.（武汉市）如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案:在图6－2中，先画线段OA,将线段OA平移至CB处，得到风车的第一个叶片F1，然后将第一个叶片OABC 绕点O逆时针旋转180°得到第二个叶片F2,再将F1、F2同时绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F3、F4。根据以上过程，解答下列问题： （1）若点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为（2，1)，写出此时点B的坐标；
几何旋转综合题练习 1、如图，已知ABC ?是等边三角形. （1）如图（1），点E 在线段AB 上，点D 在射线CB 上，且ED=EC.将BCE ?绕点C 顺时针旋转60°至ACF ?,连接EF.猜想线段AB,DB,AF 之间的数量关系; （2）点E 在线段BA 的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段AB,DB,AF 之间的数量关系; （3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明. 2、如图1，△ACB 、△AED 都为等腰直角三角形，∠AED ＝∠ACB ＝90°，点D 在AB 上，连CE ，M 、N 分别为BD 、CE 的中点(1)求证：MN ⊥CE (2)如图2将△AED 绕A 点逆时针旋转30°，求证：CE ＝ 2MN 第1题图(1)第1题图(2)
3、在等腰Rt△ABC 和等腰Rt△A 1B 1C 1中,斜边B 1C 1中点O 也是BC 的中点。(1)如图1，则AA 1与CC 1的数量关系是；位置关系是。 (2)如图2，将△A 1B 1C 1绕点O 顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论。(3)如图3，在（2）的基础上，直线AA 1、CC 1交于点P ，设AB=4，则PB 长的最小值是。 4、已知，正方形ABCD 的边长为4，点E 是对角线BD 延长线上一点，AE ＝BD ．将△ABE 绕点A 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△AB ′E ′，点B 、E 的对应点分别为B ′、E ′(1)如图1，当α＝30°时，求证：B ′C ＝DE (2)连接B ′E 、DE ′，当B ′E ＝DE ′时，请用图2求α的值 (3)如图3，点P 为AB 的中点，点Q 为线段B ′E ′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ 长度的取值范围为 _______________ 1 A 1 A 1 A 1 图1
旋转知识点归纳 知识点1:旋转的定义及其有关概念 在平面内，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，定点O 称为旋转中心，转动的角称为旋转角;如果图形上的点P 经过旋转到点 P ',那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB 绕点O 顺时针转动090得到B A '',这就是旋转,点O 就是旋转中心,A AO B BO '∠'∠,都是旋转角. 说明: 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向. 知识点2:旋转的性质 由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质： ⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同. ⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. ⑶对应点到旋转中心的距离相等. ⑷对应线段相等，对应角相等. 例1 、如图2，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ADB 绕点A 逆时针方向旋转到△C D A '的位置，则ADD '∠的度数是（ ） Ａ．25o Ｂ．30o Ｃ．35o Ｄ．45o 知识点3:旋转作图 例2 如图3，小明将△ABC 绕O 点旋转得到△C B A '''，其中点C B A '''、、分别是A 、 B 、 C 的对应点.随即又将△ABC 的边AC 、BC 及旋转中心O 擦去(不留痕迹),他说他还能把旋转中心O 及△ABC 的 位置找到,你认为可以吗?若可以,试确定旋转中心及的位置;如不可以,请说明理由. 评注:旋转角相等及对应点到旋转中心的距离相等是解决这类问题的关键. 考点4:钟表的旋转问题 钟表的时针与分针每时每刻都以轴心为旋转中心作旋转运动, 其中时针12小时旋转一周,则每小时旋转 图1 A 图3 图2
旋转知识点归纳 知识点1:旋转的定义及其有关概念 在平面内，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，定点O 称为旋转中心，转动的角称为旋转角;如果图形上的点P 经过旋转到点P ',那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB 绕点O 顺时针转动090得到B A '',这就是旋转,点O 就是旋转中心,A AO B BO '∠'∠,都是旋转角. 说明: 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向. 知识点2:旋转的性质 由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质： ⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同. ⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. ⑶对应点到旋转中心的距离相等. ⑷对应线段相等，对应角相等. 例1 、如图2，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ADB 绕点A 逆时针方向旋转到△C D A '的位置，则ADD '∠的度数是（ ）Ｄ Ａ． 25 Ｂ． 30 Ｃ． 35 Ｄ． 45 知识点3:旋转作图 1.明确作图的条件:(1)已知旋转中心;(2)已知旋转方向与旋转角. 2.理解作图的依据:(1)旋转的定义: 在平面内，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转;(2)旋转的性质:经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等. 3.掌握作图的步骤:(1)分析题目要求,找出旋转中心、旋转角；（2）分析图形，找出构成图形的关键点；（3）沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，找出各个关键点；（4）连接作出的各个关键点，并标上字母；（5）写出结论. ' 图1 D 图2
九年级上册旋转几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． （1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值． 【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492 ． 【解析】 【分析】 （1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE = ，1 2 PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系； （2）先判断出ABD ACE ???，得出BD CE =，同（1）的方法得出1 2 PM BD = ，1 2 PN BD = ，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论； （3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ?的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ?的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论． 【详解】 解：（1） 点P ，N 是BC ，CD 的中点， //PN BD ∴，1 2 PN BD = ， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，
最新中考数学几何旋转综合题专题练习 1、如图，已知?ABC 是等边三角形. （1）如图（1），点 E 在线段 AB 上，点 D 在射线 CB 上，且 ED=EC.将?BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至?ACF , 连接 EF.猜想线段 AB,DB,AF 之间的数量关系; （2）点 E 在线段 BA 的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段 AB,DB,AF 之间的数量关系; （3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明. 第 1 题图(2) 2、如图 1，△ACB 、△AED 都为等腰直角三角形，∠AED ＝∠ACB ＝90°，点 D 在 AB 上，连 CE ，M 、N 分别为 BD 、CE 的中点 (1) 求证：MN ⊥CE (2) 如图 2 将△AED 绕 A 点逆时针旋转 30°，求证：CE ＝2MN 第 1 题图 (1)
3、在等腰 Rt △A B C 和等腰 Rt △A 1B 1C 1 中,斜边 B 1C 1 中点 O 也是 B C 的中点。 (1)如图 1，则 AA 1 与 CC 1 的数量关系是 ；位置关系是 。 (2)如图 2，将△A 1B 1C 1 绕点 O 顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论。 (3)如图 3，在（2）的基础上，直线 AA 1、CC 1 交于点 P ，设 A B =4，则 P B 长的最小值是 。 B B 1 O 图 1 C 1 C 1 4、已知，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是对角线 BD 延长线上一点，AE ＝BD ．将△ABE 绕点 A 顺时针旋转α度 （0°＜α＜360°）得到△AB ′E ′，点 B 、E 的对应点分别为 B ′、E ′ (1) 如图 1，当α＝30°时，求证：B ′C ＝DE (2) 连接 B ′E 、DE ′，当 B ′E ＝DE ′时，请用图 2 求α的值 (3) 如图 3，点 P 为 AB 的中点，点 Q 为线段 B ′E ′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段 PQ 长度的取值范围为
几何专题（二）——旋转与折叠（习题）1.如图，在平面直角坐标系中，点A(0，4)，B(3，0)，连接AB， 将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′ 处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为________________． 第1题图第2题图 2.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为 EF，若AB=4，BC=2，则线段EF的长为___________． 3.如图1，有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直 径的半圆，正好与对边BC相切．如图2，将矩形纸片ABCD 沿DE折叠，使点A落在BC边上的点A′处，则图中阴影部分的面积为______________． 图1图2 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=3x经过点A，作 AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为(2，0)，则点C的坐标为（）A．(-1，3)B．(-2，3)C．(3 -，2) -，1)D．(3
5.如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =2，将△ABC 绕点 A 沿顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′ B ，则C′B 的长为（ ）A ．22-B ．3 2C ．31-D ．1 第5题图 第6题图6.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =4，BC =8，点E ，F 分别在 AD ，BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的点H 处，点D 落在点G 处，连接CE ，CH ．有下列四个结论：①四边形CFHE 是菱形；②CE 平分∠DCH ；③线段BF 的取值范围是3≤BF ≤4；④当点H 与点A 重合时，EF =25．其中正确结论的序号是______________． 7.如图，四边形ABCD 是矩形，AB =6cm ，BC =8cm ，把矩形沿 直线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 与AD 相交于点F ，连接AE ．下列结论：①△BDF 是等腰三角形；②四边形ABDE 是等腰梯形；③图中有6对全等三角形；④四边形BCDF 的周长为 532cm ；⑤725AE BD =；⑥AE 的长为145 cm ．其中正确的结论有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个
人教版九年级数学上册 旋转几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角 00)90(θ??<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy 规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B ， 若点A 在x 轴对应的实数为a ，点B 在y 轴对应的实数为b ，则称有序实数对(),a b 为点 P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy 中，已知60θ?=，点P 的斜坐标是()3,6，点C 的斜坐标是()0,6. （1）连接OP ，求线段OP 的长； （2）将线段OP 绕点O 顺时针旋转60?到OQ （点Q 与点P 对应），求点Q 的斜坐标； （3）若点D 是直线OP 上一动点，在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心，DC 长为半径作 D ，当⊙D 与x 轴相切时，求点D 的斜坐标， 【答案】（1）37OP =2）点Q 的斜坐标为（9，3-）；（3）点D 的斜坐标为： （ 3 2 ，3）或（6，12）． 【解析】 【分析】 （1）过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，由平行线的性质，得∠PAC=60θ=?，由AP=6，则 AC=3，33PC =OP 的长度； （2）根据题意，过点Q 作QE ∥OC ，QF ∥OB ，连接BQ ，由旋转的性质，得到OP=OQ ，∠COP=∠BOQ ，则△COP ≌△BOQ ，则BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ 是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3，则OE=9，OF=3，即可得到点Q 的斜坐标； （3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时，此时点D 是对角线的交点，求出点D 的坐标即可；②取OJ=JN=CJ ，构造直角三角
旋转法解题例析 （一）正三角形类型 在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。 例1. 如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4， PC=5，∠APB的度数是________. （二）正方形类型 在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP' 为等腰直角三角形。
例4 如图，P是正方形ABCD内一点，且满足PA：PD：PC=1：2：3，则 ∠APD= . 分析与解：设PA=k，则PD=2k，PC=3k(k>0)，而PA、PD、PC三条线段较为分散，故可考虑旋转法，目的就是将三条线段以等线段替换方式集中在一个三角形中． 3、直角三角形 例1 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，M、N是斜边AB上的点，且 ∠MCN= 45°，AM=3，BN=5，则MN= ． 分析：基于在△ABC中，∠C=90°，AC=BC及AM、BN、MN共线特点的考虑，选择旋转法解答，目的就是设法将这三条线段以等线段替换的方式集中在一个三角形中
例2 如图，四边形ABCD中， ∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边 形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式为（） A． B． C． D． 练习 :如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）