23.3.1 相似三角形
【学习目标】
1、掌握相似三角形的有关概念及表示方法；
2、能够熟练地找出相似三角形的对应角和对应边；
3、了解相似三角形与全等三角形的关系。
【学习重难点】
1、掌握相似三角形的有关概念及表示方法；
2、能够熟练地找出相似三角形的对应角和对应边
【学习过程】
一、课前准备
1.填空
（1）相等，成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的比叫做相似比.
（2）四边形ABCD相似与四边形A′B′C′D′,AB=6,BC=8，∠B=50°，A′B′=9，则B′C′=___________∠B′=___
（3）和都相同的两个三角形是全等三角形.
2.选择
⑴两个多边形相似的条件是：（）
A: 对应边相等 B: 对应角相等或对应边相等 C: 对应角相等 D: 对应角相等且对应边成比例
⑵下列结论正确的是（）
A: 任意的两个等腰直角三角形都相似 B: 有一个角对应相等的等腰梯形都相似
C: 任意的两个长方形都相似 D:任意的两个菱形都相似。
二、学习新知
自主学习：
⒈相似三角形相关概念：
（1）定义：相似三角形是相似多边形中的一类，因此，相似三角形的定义可仿照相似多边形的定义来归纳：相等，成比例的两个三角形叫做相似三角形.
（2）表示：如△ABC与△A DE相似，记作△ABC △A DE其中对应顶点要写在。
数学语言：∵∠A= ,∠B= ,∠C=
= =
∴△ABC∽△ADE
（3）相似比：叫做相似比.
想一想：已知:⊿ABC∽⊿DEF, 你能得到哪些结论？
结论：相似三角形对应边，对应角。
实例分析：
例1、在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE//BC，DE=5.求BC的长.
【随堂练习】
1、有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长都是3.5cm，求该草坪其他两边的实际长度。
2、如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_____
3、若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△A′B′C′的最大边长是_____
4、（★）若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是（）
A.3AB=4DE
B.4AC=3DE
C.3∠A=4∠D
D.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）
5、若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C’的度数是（）
A.55°
B.100°
C.25°
D.不能确定
【中考连线】
如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）
A．12m B．10m C．8m D．7m
【参考答案】
随堂练习
1、其他两边都是14米；
2、全等；
3、24；
4、D；
5、C
中考连线
由题意可知两个三角形相似，可得
8 3.2
,12.. 822
x cm A
x
=∴=
+
所以选
华师大版2020九年级数学上册第23章图形的相似单元综合能力提升训练题（附答案详解） 1．定义：直线a 与直线b 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线a 与直线b 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．如图，正方形中，为上一点，，交的延长线于点．若，，则的长为（ ） A ．18 B ． C ． D ． 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，12 AD DB =，DE=4，则BC 的长是（ ） A ．8 B ．10 C ．11 D ．12 4．如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为( )m ． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5．如图，已知AOB ?和11A OB ?是以点O 为位似中心的位似图形，且AOB ?和11A OB ?的周长之比为1:2，点B 的坐标为()1,2-，则点1B 的坐标为（ ）． A ．()2,4- B ．()1,4- C ．()1,4- D ．()4,2-
6．下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ） A ．a=6，b=4，c=10，d=5 B ．a=3，b=7，c=2，d= 9 C ．a=2，b=4，c=3，d=6 D ．a=4，b=11，c=3，d=2 7．已知点A （﹣3，2）与点B （x ，y ）在同一条平行x 轴的直线上，且B 点到y 轴的距离等于2，则B 点的坐标是（ ） A ．（﹣2，2） B ．（2，﹣2） C ．（﹣2，2）或（﹣2，﹣2） D ．（﹣2，2）或（2， 2） 8．如图，在ABC △中，两条中线BE ，CD 相交于点O ，则:DOE BOC S S ∠为（ ） A ．1:4 B ．3:4 C ．1:2 D ．2:3 9．下列说法错误的是（ ）． A ．平行于x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同 B ．若点P (a ，b)在x 轴上，则a=0 C ．平行于y 轴的直线上的所有点的横坐标相同 D ．(-3，4)与(4，-3)表示两个不同的点 10．点M 为第二象限内的点，且到x 轴距离为5，到y 的距离为3，则点M 的坐标为 （ ）A ．()3,5 B ．()5,3- C ．()3,5- D ．()3,5- 11．下列各组图形中，不是位似图形的是 A ． B ． C ． D ． 12．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点．射线CF 交AB 于点E ，且16AE EB =，则AF FD 等于________．
2020-2021学年华东师大新版九年级上册数学《第23章 图形的 相似》单元测试卷 一．选择题 1．在平面直角坐标系中，点P （n 2+2， ）一定在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．在平面直角坐标系中，点（2，0）关于原点对称的点的坐标为（ ） A ．（﹣2，0） B ．（0，2） C ．（0，﹣2） D ．（2，﹣2） 3．若△ABC ∽△DEF ，且S △ABC ：S △DEF ＝5：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ） A ．5：4 B ．4：5 C ．2： D ．：2 4．下列各组线段中，能组成比例线段的（ ） A ．2，3，4，5 B ．2，3，4，6 C ．2，3，5，7 D ．3，4，5，6 5．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，如果AB 长为20，则AC 为（ ） A ．10﹣10 B ．10﹣10 C ．30﹣10 D ．20﹣10 6．如图，AD ∥B E ∥C F ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．已 知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则EF 的长为（ ） A ．2.4 B ．3 C ．3.6 D ．4.8 7．如图，在正方形ABCD 中，点E 为边AD 上的一个动点（与点A 、D 不重合），∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线AC 于点G ，交边CD 于点M ，那么下列结论中，错误的是（ ）
A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABG∽△CFB D．△ABF∽△CBG 8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为（） A．8cm2B．12cm2C．16cm2D．20cm2 9．若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条． A．1B．2C．3D．4 10．如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（） A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差 B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差 C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差 D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差 二．填空题 11．平面直角坐标系中，点P的坐标是（2，﹣1），则点P关于原点对称的点的坐标是．12．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，AC＝6，DE＝3，则EF的长为．
华师大版2020九年级数学上册第23章图形的相似自主学习能力达标测试卷A 卷（附答案详解） 1．在图（1）、（2）所示的△ABC 中，AB=4，AC=6．将△ABC 沿图示中的虚线剪开裁剪办法已在图上标注，对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是（ ） A ．只有（1）中的与△ABC 相似 B ．只有（2）中的与△AB C 相似 C ．都与△ABC 相似 D ．都与△ABC 不相似 2．如图，在扇形CAB 中，CA=4，∠CAB=120°，D 为CA 的中点，P 为弧BC 上一动点（不与C ，B 重合），则2PD+PB 的最小值为（ ） A ． B ． C ．10 D ． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，有两点()4,2A ，()3,0B ，以原点为位似中心， ''A B 与AB 的相似比为1 2 ，得到线段''A B ．正确的画法是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．如图，已知?ABCD 中，点M 是BC 的中点，且AM=6，BD=12，AD=45，则该平行四边形的面积为（ ）
5 ．将如图所示的箭头缩小到原来的 1 2 ，得到的图形是下图中的( ) A ． B ． C ． D ． 6．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接BE,CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①DE BC =1 2 ;② DOE COB C C = 1 2;③AD OD =AB OC ;④ ODE ADE S S = 1 4 ，其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．如果ab=cd ，则下列正确的是( ) A ．a ∶d=c ∶b B ．a ∶c=b ∶d C ．a ∶b=c ∶d D ．d ∶c=b ∶a 8．如图，在ABC 中，//DE BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E ．若1AD =，2DB =，则ADE 的面积与ABC 的面积的比等于（ ） A ． 1 2 B ． 14 C ．1 8 D ．1 9 9．如图，四边形ABCD ∽四边形1111A B C D ，12AB =，15CD =，119A B =，则边 11C D 的长是（ ） A ．10 B ．12 C ． 454 D ．36 5 10．横坐标与纵坐标符号相同的点在（ ） A ．第二象限内 B ．第一或第三象限内 C ．第二或第四象限内 D ．第四象限 11．在△ABC 中,AB=BC ,∠B=90°,将△ABC 沿BC 方向平移,得到△A'CC',以C 为位似中心,作△DEC 与△ABC 位似,位似比为1∶2,若F 为CC'的中点,连接DF ,A'F ,则'A F DF 的值为
课题相似三角形的判定(一) 【学习目标】 1．初步掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题； 2．经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，以及动手、动脑、手脑协调一致的习惯； 3．发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识，体会数学思维的价值． 【学习重点】 掌握有两个角相等的相似三角形判定定理． 【学习难点】 应用三角形相似的判定定理． 一、情景导入生成问题 问题：1.根据相似多边形的定义，你知道什么样的两个三角形相似吗？ 2．还有判断两个三角形相似的方法吗？ 3．思考：有没有其他简单的办法判断两个三角形相似？ 二、自学互研生成能力 知识模块一两角对应相等的两个三角形相似 阅读教材P64～P67的内容． 问题：已知：如右图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1.求证：△ABC∽△A1B1C1. 证明：在边AB或它的延长线上截取AD＝A1B1，过点D作BC的平行线交AC于点E，则△ADE∽△ABC.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.在△ADE与△A1B1C1中，∵∠A＝∠A1，∠ADE＝∠B＝∠B1，AD＝A1B1，∴△ADE≌△A1B1C1，∴△ABC∽△A1B1C1. 问题：如果两个三角形仅有一个角对应相等，那么这两个三角形相似吗？ 归纳：三角形相似的判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似． 知识模块二两角对应相等的两个三角形相似的应用 范例：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C与∠C′都是直角，∠A＝∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′.∴△ABC∽△A′B′C′(两角分别相等的两个三角形相似)．仿例1：如右图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.求证：△ADE∽△EFC. 证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.又∵EF∥AB，∴∠EFC＝∠B，∴∠ADE ＝∠EFC，∴△ADE∽△EFC(两角分别相等的两个三角形相似)． 仿例2：如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂线交BC于D，交AC于E，交BA的延长线于F， 求证：BD·DC＝DE·DF. 证明：∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，∵FD⊥BC，∴∠BDF＝∠CDE＝90°，∠B＋∠F＝ 90°，∴∠F＝∠C，∴△BDF∽△EDC，∴BD DE＝ DF DC，∴BD·DC＝DE·DF 三、交流展示生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一两角对应相等的两个三角形相似 知识模块二两角对应相等的两个三角形相似的应用 仿例(方法二)还可利用对顶角相等：∠AEF＝∠CED 四、检测反馈达成目标 见《名师测控》学生用书． 五、课后反思查漏补缺 1．收获：____________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________ 课题相似三角形的判定(二) 【学习目标】 1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力． 2．掌握“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”及“三边对应成比例，两个三角形相似”的判定方法．
第二十三章达标测试卷 (时间：120分钟 分数：120分) 得分：______________ 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列四条线段为成比例线段的是( ) A ．a ＝10，b ＝5，c ＝4，d ＝7 B ．a ＝1，b ＝ 3 ，c ＝ 6 ，d ＝ 2 C ．a ＝8，b ＝5，c ＝4，d ＝3 D ．a ＝9，b ＝ 3 ，c ＝3，d ＝ 6 2．如图，已知直线a∥b∥c，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ， b ， c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12 ，则DE EF ＝( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．1 （第2题图） （第3题图） （第4题图） 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 位于第二象限，点A 的坐标是(－2，3)，先把△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 1B 1C 1再作与△A 1B 1C 1关于x 轴对称的△A 2B 2C 2，则点A 的对应点A 2的坐标是( ) A ．(－3，2) B ．(2，－3) C ．(1，－2) D ．(－1，2) 5．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A 1B 1C 1相似的是 ( ) A B C D 6．小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星 A 、目标 B 在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A′，若OA ＝0.2米，OB ＝40米，AA ′＝0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B 的长度BB′为( ) A ．3米 B ．0.3米 C ．0.03米 D ．0.2米 （第6题图） （第7题图） （第8题图） （第9题图） 7．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，BE 与CD 相交于点G ，则DG∶GC 的值为( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3 8．如图，△A ′B ′C ′是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是4∶9，则OB′∶OB 为( ) A ．2∶3 B ．3∶2 C ．4∶5 D ．4∶9 9．(如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC 的面积为
沪教版九年级上册数学第二十四章相 似三角形含答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（） A. B. C. D. 2、如图，E为▱ABCD的边BC延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G．若BC＝2CE，则AF：FG的值是（） A.3：2 B.2：3 C.5：3 D.4：3 3、如图，将△ABC沿DE翻折，折痕DE∥BC，若＝， BC=6，则DE长等于（） A.1.8 B.2 C.2.5 D.3
4、如图，已知点A是一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象在第 一象限内的交点，AB⊥x轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且∠ACB＝∠OAB，△OAB的面积为4，则点C的坐标为（） A.（﹣8，0） B.（﹣6，0） C.（﹣，0） D.（﹣，0） 5、如图，网格中有一个△ABC，下图中与△ABC相似的三角形的个数有 （） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6、如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，则下列三角形中与△BOC一定相似的是 A.△ABD B.△DOA C.△ACD D.△ABO 7、如图，点E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点，连接DE交BC于点F，则下列结论一定正确的是（）
A. B. C. D. 8、如图，是直角三角形，，，点A在反比例函数的图象上．若点B在反比例函数的图象上，则k的值为（） A.2 B.-2 C.4 D.-4 9、已知△A 1B 1 C 1 ，△A 2 B 2 C 2 的周长相等，现有两个判断： ①若A 1B 1 ＝A 2 B 2 ， A 1 C 1 ＝A 2 C 2 ，则△A 1 B 1 C 1 ≌△A 2 B 2 C 2 ； ②若∠A 1＝∠A 2 ，∠B 1 ＝∠B 2 ，则△A 1 B 1 C 1 ≌△A 2 B 2 C 2 ， 对于上述的两个判断，下列说法正确的是（） A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①，②都错 误 D.①，②都正确 10、如图，在中，对角线与相交于点，点是的中点，与相交于点，则的值为（） A. B. C. D. 11、如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若光源到幻灯片的距离为30cm，光源到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（）
相似三角形 【知识与技能】 1.知道相似三角形的概念； 2.能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角； 3.会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长； 4.掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似”来判断两个三角形相似. 【过程与方法】 在探索活动中，发展发现问题、解决问题的意识和合作交流的习惯. 【情感态度】 培养学生严谨的数学思维习惯. 【教学重点】 掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似. 【教学难点】 熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数. 一、情境导入，初步认识 复习：什么是相似形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？
二、思考探究，获取新知 1.相似三角形的有关概念： 由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似. 三角形是最简单的多边形.由此可以说什么样的两个三角形相似？ 如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠A=A ′,∠B=∠B ′,∠C=∠C ′， C A AC C B BC B A AB ' '=''=''，那么△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′.“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两个三角形相似就读作“△ABC 相似于△A ′B ′C ′”. 由于∠A=∠A ′,∠B=∠B ′,∠C=∠C ′，所以A 与A ′是对应顶点，B 与B ′是对应顶点，C 与C ′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边.如果记 C A AC C B BC B A AB ' '=''=''=k ，那么这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比.相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系.如△ABC ∽△A ′B ′C ′，它的相似比为k ，即指B A AB ' '=k ，那么△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比应是 B A AB ' '，就不是k 了，应为多少呢？同学们想一想. 如果△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比k=1，你会发现什么呢？
华师大版九年级上册数学第23章图形 的相似含答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、下列说法正确的有（）个。 ①所有的直角三角形都相似；②所有的正方形都相似；③所有的等腰三角形都相似；④所有的菱形都相似. A.1 B.2 C.3 D.4 2、如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，且CE=2BE．连接BD、DE、AE，且AE交BD于F，OG为△BDE的中位线．下列结论：①OG⊥CD；②AB=5OG；③ ；④BF=OF；⑤ ，其中正确结论的个数是（） A.2 B.3 C.4 D.5 3、把矩形对折后，和原来的矩形相似，那么这个矩形的长、宽之比为（） A.2：1 B.4：1 C. ：1 D. ：1 4、如图，在中，点D在边AB上，交AC于点E.连接BE， 交AC于点F.若，，则与的面积之比为（） A. B. C. D. 5、如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是(3，﹣1)和(﹣3，1)，那么“卒”的坐标为（）
A.(﹣2，﹣1) B.(﹣2，﹣2) C.(2，﹣1) D.(2，1) 6、如右图，由下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（） A. B. C. D. 7、如图，在平行四边形中，F是上一点，且，连结 并延长交的延长线于点G，则的值为（） A. B. C. D. 8、如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交X轴于点M，交Y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧 在第二象限交于点P.若点P的坐标为（3a－1，b），则a与b的数量关系为（）
A. B. C. D. 9、如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠A＝∠C，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 10、如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2， △ADC的面积为1，则△BCD的面积为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11、在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则 的值是（） A.-1 B.1 C.20 D.-20 12、如果4a=5b（ab≠0），那么下列比例式变形正确的是（） A. = B. = C. = D. = 13、已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（）
相似三角形的应用 【知识与技能】 会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度.自己设计方案测量高度,体会相似三角形在解决实际问题中的广泛应用. 【过程与方法】 通过利用相似解决实际问题，进一步提高学习应用数学知识的能力. 【情感态度】 【教学重点】 构建相似三角形解决实际问题. 【教学难点】 把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形来解决. 一、情境导入，初步认识 复习 1.相似三角形有哪些性质？ 2.如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF,DE⊥BF,AC∥DF.
（1）△DEF与△ABC相似吗？为什么？ （2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？ （（1）△DEF∽△ABC.（2）AB=5） 二、思考探究，获取新知 第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长.人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度. 例1 古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′=1米,A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB. 【分析】因为太阳光是互相平行的，易得△A′O′B′∽△AOB，从而求得OB的长度. 解：∵太阳光是平行光线即O′A′∥OA, ∴∠OAB=∠O′A′B′.又∵∠ABO=∠A′B′O′=90°, ∴△OAB∽△O′A′B′. 答：金字塔的高度OB为137米.
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一这一边上选定点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D ，此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB. 解：∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD ∽△ECD （两角分别相等的两个三角形相似），∴ABEC=BDCD,解得AB=6050120⨯=⨯CD EC BD =100（米）. 答：两岸间的大致距离为100米. 这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法. 例3 如图，已知D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且∠ADE=∠C.求证：AD ·AB=AE ·AC. 【分析】把等积式化为比例式 AB AC AE AD =,猜想△ADE 与△ABC 相似，从而找条件加以证明. 证明：∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,
相似三角形判定和性质 1．两条线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ,CD 的长度分别是m ,n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB :CD =m :n ，或写成AB m CD n =. 2. 比例线段 对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果____________________与____________________(如 d c b a =)，那么称这四条线段是成比例线段，简称__________________． 3. 比例性质 如果d c b a =，那么__________ 4.平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的_____________. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 5．相似图形 ________________________是相似图形. 6.相似多边形 相似多边形____________相等，____________相等. 反过来，如果两个多边形满足____________，____________那么这两个多边形相似． 7. 黄金分割 一般地，点C 把线段AB 分成两条线段 AC 和 BC （如图）， 如果AC BC AB AC =，那么称线段 AB 被点 C ________， 点C 叫做线段 AB 的________，AC 与AB 的比叫做_______． 8．相似三角形判定定理 ______三角形一边的______和其他两边______，所构成的三角形与原三角形相似． 如果两个三角形的______对应边的______，那么这两个三角形相似． 如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相似. 如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似．
第4课时 相似三角形的性质 学前温故 1．如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 2．如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应______，并且夹角____，那么这两个三角形相似． 3．如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应______，那么这两个三角形相似． 4．相似三角形对应边的比叫______． 新课早知 1．相似三角形的性质 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，周长比都等于______，面积比等于____________． 2．相似三角形对应角平分线的比为0.2，则相似比为__________，周长比为__________，面积比为__________． 3．两个相似三角形对应中线比为3∶4，则它们对应的角平分线的比为__________． 4．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为13 ，若△A′B′C′的面积为18 cm 2 ，那么 △ABC 的面积为__________． 答案：学前温故 2．成比例 相等 3．成比例 4.相似比 新课早知 1．相似比 相似比的平方 2．1∶5 1∶5 1∶25 3．3∶4 4.2 相似三角形的性质 【例题】 如图所示，已知PN∥BC，AD⊥BC 交PN 于E ，交BC 于D ． (1)若AP∶PB＝1∶2，S △ABC ＝18 cm 2 ，求S △APN 的值； (2)若S △APN S 四边形PBCN ＝12，求AE AD 的值． 分析：由于题目中有PN∥BC， ∴△APN∽△ABC．结合AP∶PB＝1∶2及S △ABC ＝18 cm 2 ，可用相似三角形面积比等于其相似比的平方解；第(2)题实质是已知相似三角形的面积比，求对应高的比． 解：(1)∵PN∥BC，∴△PAN∽△BAC．
主 题 第一讲 相似形和比例线段 教学内容 学习目标： 1．知道相似形的概念，理解相似多边形的意义； 2．理解两条线段的比和比例线段的概念； 3．掌握比例的性质，了解黄金分割的概念． 互动：（此环节设计时间在40－50分钟） 知识导入： 给你一粒白米尺寸为长0.5公分，宽0.3公分，你能在上面雕刻出5 只“熊猫”及“二〇〇八北京奥运”字样吗？也许你会瞠目结舌：那得多小 呀！太难啦！如果借助放大镜有人能办到，你信吗？——右图是：台湾毫芒 雕刻第一人陈逢显在高倍放大镜下拍摄的针孔里雕刻出来的成果。 其实在放大镜下的米粒和实际的米粒只是大小不同，而形状却完全相 同，它们是相似的图形。 思考：①你还能举几个生活中常见的相似形吗？ 如： ； ②在你所举的例子中，发现相似形是 相同， 不一定相同的图形．（形状，大小） 案例：如图，将ABC ∆放大后得111A B C ∆，将111A B C ∆缩小后得ABC ∆；图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形。 如图：ABC ∆与111A B C ∆相似, 测量∠A= ，∠B= ，∠C= , ∠A 1= ，∠B 1= ，∠C 1= , 测量AB= ， BC= ，CA= ， A 1 B 1= ，B 1 C 1 = ，C 1A 1=
从以上测量结果可以得到怎样的结论？ 1．如果两个多边形是相似的，那么这两个多边形的对应角____ __，对应边___ ______． 2．当两个相似多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值___ _____． 知识点归纳： 1．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形。 3．如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1。 试一试： 1．如图，已知五边形ABCDE 与五边形'''''A B C D E 相似，且点A 与'A 、点B 与'B 、点C 与'C 、点D 与' D 、点 E 与'E ，分别是对应顶点，则x = ，y = ，z = ，'A ∠= ，'C ∠= ． 2．已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，与它相似的三角形的最小边长15，那么它的另两边长分别为 。 3．下列各组图形一是相似形的有 。 ①两个等边三角形 ②两个等腰三角形 ③两个等腰直角三角形 ④两个锐角三角形 ⑤两个矩形 ⑥两个直角三角形 ⑦两个圆 参考答案：1．0.6； 0.8； 0.9； 128；58 ； 2．20；25； 3．①③⑦ 4116°58° 72° 1.21.81.6 B C A E D y z x 2 166°D'E'A'C'B'
第2课时 相似三角形的判定(2) 1．掌握相似三角形的判定定理2：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 2．掌握相似三角形的判定定理3：三条边对应成比例的两个三角形相似． 3．能依据条件，灵活应用相似三角形的判定定理，正确判断两个三角形相似． 重点 相似三角形的判定定理2，3的推导过程，掌握相似三角形的判定定理2，3并能灵活应用． 难点 相似三角形的判定定理的推导及应用． 一、情境引入 复习 1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？ 有两种方法：(1)根据定义；(2)有两个角对应相等的两个三角形相似． 2．如图，在△ABC 中，点D ，E 是AB ，AC 上的三等分点(即AD ＝13AB ，AE ＝1 3AC)，那么 △ADE 与△ABC 相似吗？你用的是哪一种方法？ 由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量得什么后可以判断它们是否相似？ 【教学说明】可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例，无论哪一种，都应肯定他们是正确的，要求同学们说出是应用哪一种方法判断出的． 二、探究新知 同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE∽△ABC.从已知条件看，△ADE 与△ABC 有一对对应角相等，即∠A＝∠A(是公共角)，而一个条件是AD ＝13AB ，AE ＝1 3AC ，即 是AD AB ＝13，AE AC ＝13，因此AD AB ＝AE AC .△ADE 的两条边AD ，AE 与△ABC 的两条边AB ，AC 对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗？我们再做一次实验，观察教材图，如果有一点E 在边AC 上，那么点E 应该在什么位置才能使△ADE 与△ABC 相似呢？ 图中的两个三角形的一组对应边AD 与AB 的长度的比值为1 3，将点E 由点A 开始在AC 上移动，可以发现当AE ＝1 3 AC 时，△ADE 与△ABC 相似，此时
2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《23.3相似三角形》同步练习题（附答案）一．选择题 1．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（） A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•AB C．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD 2．如图，在▱ABCD中，F是BC边上一点，延长DF交AB的延长线于点E，若AB＝3BE，则BF：CF等于（） A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5 3．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（） A．B． C．D． 4．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（） A．60mm B．mm C．20mm D．mm
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，＝，DE＝10，则BC的长为（） A．16B．14C．12D．11 6．如图，AB∥CD，AB＝6，CD＝9，AD＝10，则OD的长为（） A．4B．5C．6D．7 7．下列各组图形中可能不相似的是（） A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形 8．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（） A．2B．3C．4D．5 9．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，连接DE与AC交于点F，则CF的长等于（） A．B．C．D．