新苏科版九年级数学下册第六章《相似三角形复习》导学案
一、知识要点：
1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形；
应注意：△ABC ∽△C B A '''与△C B A '''∽△ABC 的相似比互为倒数，当k=1时，两个三角形全等。 2、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，
这是今后证明三角形相似的重要依据。
3、三角形相似的判定定理：
定理1：两角对应相等，两三角形相似；定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 定理3：三边对应成比例，两三角形相似。推论1：斜边和直角边对应成比例，两直角三角形相似； 推论2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 4、黄金分割、位似图形、中心投影和平行投影、实际应用。 二、典型例题： （一）、求线段长或线段比
例1 雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m 远一块小积水处，他看到了旗杆的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40 m ，该生眼睛的高度是1.5 m ，那么旗杆的高度是______．
例2 如图2所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于点E ，若AF ： FD ＝1：3，则AE ：EB ＝___________；若AF ：FD ＝1：n(n>0)，则AE ：EB ＝________．
解析 过D 作DG ∥AB 交CE 于G ．由于D 是BC 的中点，可知DG 是BCE 的中位线，
解：
（二）、求周长与面积或周长与面积比
例3 如图，已知：△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB ，P 点在AC 上(与点A 、C 不重合)，Q 点在BC 上． (1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长；
(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；
例 4 如图3所示，在□ABCD 中，E 为DC 边的中点，AE 交BD 于D ．
若S △DOE ＝9 cm 2，则S △AOB 等于( )
(A)18 cm 2 (B)27 cm 2 (C)36 cm 2 (D)45 cm 2
（三）、证明比例线段
例5 如图4所示，已知正方形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点， ∠DAC 的平分线AP 于点P ，∠BDC 的平分线DQ 交AC 于点Q ，求证：BD AP
CD BQ
=． （四）、实际应用举例
例6 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB 走去，他发现教学楼后面有一水塔DC ，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔
了？”心
里很是纳闷，经过了解，教学楼、水塔的高分别是20 m 和30 m ，它们之间的距离为30 m ，小张身高为1.6 m ，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？
三、易混淆概念
1、比例线段的相关概念
在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：
a
d c b =． ②()a c
a b c d b d
==在比例式
：：中，
a 、d 叫比例外项，
b 、
c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、
d 叫比例后项， d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2
b ad =。 黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即
2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=
≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：51
2
-长短＝＝全长 注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形
2、比例的性质
合、分比性质：
a c a
b
c
d b d b d
±±=⇔=． 等比性质：如果
)0(≠++++====n f d b n
m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ．
3、位似图形
（1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3） 位似图形的对应边互相平行或共线.
（4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. 注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外， 或在图形上（图形边上或顶点上）。②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）。
（5） 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为k （k>0）,原图形上点的坐标为（x,y ）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky), 四、基本图形
1、相似三角形的几种基本图形：
（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）
（1）平行线型相似
(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（3）如图：称 “垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）
（3）图 （4）图
(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
2、基本图形的具体应用：
（1）若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC
（2）射影定理 若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）
则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=AD·AB ，CD 2=AD·BD ，BC 2=BD·AB ；
E A D C
B
E
A D
C
B
A
D C
B
（3）满足①AC 2=AD·AB ，②∠ACD=∠B ，③∠ACB=∠ADC ，都
可判定△ADC ∽△ACB ． （4）当
AD AE
AC AB
=或AD·AB=AC·AE 时，△ADE ∽△ACB ．
练习
一、填空题
1、如图1，E 是平行四边形ABCD 的一边BA 延长线上的一点，CE 分别交AD 、BD 于F 、G ，图中共有______对相似三角形，按照对应顺序写出图中的相似形_________________________________________.
2、一个三角形的三边分别为8cm 、6cm 、12cm ，另一个与它相似的三角形最长边为6cm ，则其余两边为________
3、已知，如图2，，在△ABC 中，DE//BC ，AD=EC ，BD=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，DE=＿＿＿＿
4、如图3、AB//C D//EF ，则图中相似三角形的对数为＿＿＿＿＿
5、已知：如图4，在△ABC 中，∠BAC 的外角平分线交BC 于D ，过D 作AB 的平行线交AC 于E ，若AB=m ，AC=n ，则DE=＿＿＿＿＿
6、如图5，在△ABC 中，AB=5cm ，AC=4cm ，AD 是∠BAC 的外角平分线，DE//AB 交AC 的延长线于点E ，那么CE=＿＿＿＿
7、如图6、AD 、BE 是锐角△ABC 的两条高，AD=BD 连接DE ，若DE ：AB=1：2，则∠C 的度数为＿＿＿＿＿ 8、若P 为△ABC （AB ＞AC ）的边AB 上一点，则添加一个条件使△A CP ∽△ABC ，那么这样的条件是＿＿＿＿＿或＿＿＿＿＿或＿＿＿＿＿
9、如图7，四边形ABCD 、DCEF 、EFHG 是三个正方形，则________321=∠+∠+∠
10、如图8，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O 点，E 是BC 的中点，DE 交AC 于F ，若DE=12，则EF=
＿＿＿＿ 二、选择题
1、如图9，在梯形ABCD 中，AD//BC ，且AC 、BD 相交于点O ，过O 点作EF//AD 分别交AB 、CD 于E 、F ，
则图中有相似的三角形的对数为………………………………（ ） A 、5 B 、4 C 、3 D 、2
2、如图10，在△ABC 中，中线CD 、BE 相交于点O ，P 、Q 分别是BE 、CD 的中点，则PQ ：BC=（ ） A 、1：2 B 、1：3 C 、1：4 D 、1：6
3、下列说法中：①全等三角形都是相似三角形；②相似三角形都是全等三角形③所有等边三角形都相似；④所有等腰三角形都相似；⑤所有直角三角形都相似；⑥所有等腰直角三角形都相似，其中正确的个数是…….（ ） A 、6个 B 、4个 C 、3个 D 、2个
4、已知△ABC ∽C B A '''∆，且BC ：C B A C A AC C A AC C B '''∆=''=''=''，则，若8.13: 与△ABC 的相似比为………….（ ）
A 、2：3
B 、3：2
C 、5：3
D 、3：5 A
D
C
B
E
A D
C
B
5、在直角三角形中，两直角边分别为3、4，则这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比为…………（ ） A 、25：12 B 、5：12 C 、5：4 D 、5：3
6、如图11，在相似的直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=,6AD=2，则AB 的长为……（ ） A 、3 B 、32 C 、3或32 D 、以上都不对
7、如图12，0
90,.AOB OA OB BC BD ∠====则下列结论一定成立的是………………………（ ） A 、△OAB ∽△OCA B 、△OAB ∽△ODA C 、△BAC ∽△BDA D 、△OAC ∽△ODA 8、下列四个命题中,真命题的个数为…………………………………………（ ）
①如果一个三角形的两边与夹角的角平分线同另一个三角形的两边与夹角的角平分线对应成比例，那么这两个三角形相似；②如果一个三角形的两边与第三边上的中线同另一个三角形的两边与第三边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似；③如果一个三角形的两边与第三边上的高同另一个三角形的两边与第三边上的高对应成比例，那么这两个三角形相似；④两个等边三角形相似。
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
9、如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的
是………………………（ ）
A ．∠ACD=∠
B ； B ．CH=CE=EF ；
C ．CH=H
D ； D ．AC=AF
10、下列四个命题中,真命题的个数为………………………………………………( )
①,平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似;②,如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似;③,如果一个三角形的两边与其中一条边上的中线与另一个三角形的两边及其中一条边上的中线对应成比例,那么这两个三角形相似;④,如果一个三角形的两边及第三边上的高与另一个三角形的两边及第三边上的高对应成比例,那么这两个三角形相似
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
三、解答题
1、如图，已知∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB ；求证：△ABC ∽△DBE
2、已知：如图，D 是AC 边上一点，AD ：DC=1：2，E 是BD 上一点，BE ：ED=1：2， AE 的延长线交BC 于F ，求BF ：FC 的值。
3、如图，△ABC 中，DE//BC ，DF//AC ，AF 与DE 交于点M ，DF 与BE 交于点N ，求证：MN//AB 。
4、如图，等腰Rt △ABC 中，AB=2，∠A=90°，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF ⊥BE 。 求△CEF 的面积。
5、如图，正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，以M 为顶点作∠BMN=∠MBC ，MN 交CD 于N 。求证：DN=2NC 。
6、如图（1），在△ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 边上的点，过D 作DG//BC EH//CA 、FI//AB 。 ①求证：△HIG ∽△ABC ； ②如图（2），如果将题目已知中的平行变为DG ⊥AB ，EH ⊥BC ，FI ⊥CA ，那么 △HIG 与△ABC 相似还成立吗？请证明你的结论。
7、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，CE 的延长线交AB 于F ，FG//AC 交AD 于G 。求证：FB=2CG
（第7题图）
8、阅读下面材料，并回答所提出的问题。三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。 已知：如图，△ABC 中，AD 是角平分线。求证：AC
AB
DC BD = 分析：要证
AC
AB
DC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在的三角形相似，现在B 、
D 、C 在一直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑别的方法换比。在比例式
AC
AB
DC BD =
中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE//AD ，交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、DC 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明AC
AB
DC BD =
就可以转化成证AE=AC 。
A 、数形结合思想
B 、转化思想
C 、分类讨论思想 （3）、用三角形内角平分线性质定理解答问题：
已知：如图，△ABC 中，AD 是角平分线，AB=5cm ，AC=4cm ，BC=7cm ，求BD 的长
9、如图，在△ABC 中，AB=AC ，直线DEF 分别交AB 、BC 于D 、E ，交AC 的延长线于F ，求证：DE CF BD EF =。
10、如图，等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ＝DC ，且AB ⊥AC ，高DE 交AC 于F 点，BA 、ED 的延长线交于点G ，求证：EG EF DE ⋅=2
11、如图，已知AD 、BE 是△ABC 的两条高，∠C=60°，F 是AB 的中点。 求证：DE=DF
12. 如图,一圆柱形油桶,高1.5米,用一根长2米的木棒从桶盖小口A 处斜插桶内另一端的B 处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,则桶内油面的高度为( )
(A)0.9米 (B)0.8米 (C)0.7米 (D)0.6米
（12题图） （13题图）
13. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度( )
(A)增大1.5米 (B)减小1.5米 (C)增大3.5米 (D)减小3.5米
14. 如图，在离树AB 3米远处竖一长为2米的杆子CD ，站在离杆子1米远的EF 处的人刚好越过杆顶C 看到树顶A ，已知EF 高1.5米，则树高为______.
15. 赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为______米.
16、如图，小莉发现垂直地面的电线杆AB 的影子落在地面上和斜坡上，经测得BC=20米，CD=8米，CD 与地面成30°角.此时垂直于地面的1米长的标杆的影长为2米，求电线杆的高.
19、如图所示，点D 在△ABC 的边AB 上，满足怎样的条件时，△ACD 与△ABC 相似？试分别加以列举.
20、如图所示，已知△ABC 中，AD 是高，矩形EFGH 内接于△ABC 中，且长边FG 在BC 上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm ，AD=10cm.求矩形
EFGH 的面积.
相似图形必考题复习 一、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（3分）已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第三个数是（只需写出一个即可）． 2．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，如果要在AB 上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝． 第2题第3题第4题3．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC∽△ACB，那么可添加的条件是． 4．（3分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，请你添加一个条件，使△ABC 与△AED相似，你添加的条件是． 5．（3分）下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似；其中真命题是（把所有真命题的序号都填上）． 6．（3分）如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C 与A不重合），当点C的坐标为或时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）． 第6题第7题第8题7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝4cm，E为AD的中点，在AB 上取一点F，使△CBF∽△CDE，则AF＝cm． 8．（3分）如图，DE与BC不平行，当＝时，△ABC与△ADE相似． 二、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 9．（3分）给出4个命题： ①三边对应成比例的两个三角形相似； ②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似； ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似； ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似，其中正确的命题是（） A．①③B．①④C．①②④D．①③④10．（3分）如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．B．C．D． 11．（3分）如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（） A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB C．BE＝CD，AB＝AC D．AD：AC＝AE：AB
新苏科版九年级数学下册第六章《相似三角形复习》导学案 一、知识要点： 1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形； 应注意：△ABC ∽△C B A '''与△C B A '''∽△ABC 的相似比互为倒数，当k=1时，两个三角形全等。 2、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似， 这是今后证明三角形相似的重要依据。 3、三角形相似的判定定理： 定理1：两角对应相等，两三角形相似；定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 定理3：三边对应成比例，两三角形相似。推论1：斜边和直角边对应成比例，两直角三角形相似； 推论2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 4、黄金分割、位似图形、中心投影和平行投影、实际应用。 二、典型例题： （一）、求线段长或线段比 例1 雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m 远一块小积水处，他看到了旗杆的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40 m ，该生眼睛的高度是1.5 m ，那么旗杆的高度是______． 例2 如图2所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于点E ，若AF ： FD ＝1：3，则AE ：EB ＝___________；若AF ：FD ＝1：n(n>0)，则AE ：EB ＝________． 解析 过D 作DG ∥AB 交CE 于G ．由于D 是BC 的中点，可知DG 是BCE 的中位线， 解： （二）、求周长与面积或周长与面积比 例3 如图，已知：△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB ，P 点在AC 上(与点A 、C 不重合)，Q 点在BC 上． (1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长； (2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长； 例 4 如图3所示，在□ABCD 中，E 为DC 边的中点，AE 交BD 于D ． 若S △DOE ＝9 cm 2，则S △AOB 等于( ) (A)18 cm 2 (B)27 cm 2 (C)36 cm 2 (D)45 cm 2 （三）、证明比例线段 例5 如图4所示，已知正方形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点， ∠DAC 的平分线AP 于点P ，∠BDC 的平分线DQ 交AC 于点Q ，求证：BD AP CD BQ =． （四）、实际应用举例 例6 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB 走去，他发现教学楼后面有一水塔DC ，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔 了？”心 里很是纳闷，经过了解，教学楼、水塔的高分别是20 m 和30 m ，它们之间的距离为30 m ，小张身高为1.6 m ，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？ 三、易混淆概念 1、比例线段的相关概念 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =． ②()a c a b c d b d ==在比例式 ：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项， d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2 b ad =。 黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即 2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-= ≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：51 2 -长短＝＝全长 注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 2、比例的性质 合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=⇔=． 等比性质：如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 3、位似图形 （1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3） 位似图形的对应边互相平行或共线. （4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. 注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外， 或在图形上（图形边上或顶点上）。②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）。 （5） 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为k （k>0）,原图形上点的坐标为（x,y ）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky), 四、基本图形 1、相似三角形的几种基本图形：
27.2相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第3课时相似三角形的判定（3） 【知识与技能】 1.掌握“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法以及直角三 角形中特有的判定相似的方法. 2.能运用相似三角形的判定方法解决具体问题. 【过程与方法】 在观察、动手探究等活动中，掌握判定三角形相似的方法，体会转化思想. 【情感态度】 经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的探究、交流能力和推理能力. 【教学重点】 掌握相似三角形的判定定理3及直角三角形中特有的相似判定方法. 【教学难点】 探究两个判定定理的过程及其证明方法. 一、情境导入，初步认识 观察展示教师用的大三角板（45°和45°) 及学生用小三角尺（45°和45°)，请学生们观察这样的两个三角形相似吗？
对应相等，这样的两个三角形相似吗？ 【教学说明】教师简要回顾学过的相似三角形的判定方法1，2后，提出“还有没有其它的 方法来判定两个三角形相似呢？”，进而展示所准备好的三角尺，让学生获得感性认识，顺理成章地提出思考，激发学生求知欲望. 二、思考探究，获取新知 问题1 作△ABC 和△A ′B ′C ′，使∠A=∠A ′,∠B=∠B ′，分别度量这两个三角形的边长，计算C A AC C B BC B A AB ' '''''，，的值，你有什么发现？ 由此你能作出一个怎样的猜想？ 【教学说明】让全班同学动手画图，并按要求独立完成探索过程，获得结论后，与同伴交流；只要画图和测量尽可能准确，则会得到它们 的比值相等，从而初步了解“有两个角对应相等的两个三角形相似”的结论.教师巡视，对出现偏差的结论应予以帮助，查找问题，尽量让他们也能获得正确结论. 问题2 如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′,∠B=∠B ′，则△ABC ～△A ′B ′C ′吗？说说你的理由. 【教学说明】教师应引导学生论证上述结论，在学生动笔前给予适当点拨，让学生能独立完成说理.在巡视时，对有困难的学生给予指导，并给出足够的时间，锻炼学生的合情推理能力.
2012-2013学年铁中府河八年级数学学案 相似三角形 一、比例的性质 1、线段的比 若d c b a ,,,是成比例线段，那么用比例可表示为____________。 2、比例的基本性质 如果d c b a =，根据比例的基本性质可得____________。 3、比例的合比性质 若d c b a =，则______________； 4、比例的等比性质 若n m d c b a === ，当______________时，有_____________________； 典型题型 1、已知3 52=-b b a ，求b b a +的值。 2、若75===f e d c b a ，且032≠++f d b ，则=++++f d b e c a 3232___________； 3、已知c b a ,,是△ABC 的三边，若4 8 2334+= +=+c b a ，且12=++c b a ，试判断△ABC 的形状。
二、黄金分割点 2.1 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果_________,点C 称为线段AB的黄金分割点。 2.2 判断黄金分割点的方法有 ①________ ②__________ ③___________ ④_____________; 典型题型 1、已知AB=6cm，点C为AB的黄金分割点，求AC的长度。 2、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC,且BC=()55 15-cm，试求线段AB的长。 三、相似三角形的判定与性质 3.1 相似三角形的定义：_________________________________; 3.2 相似三角形的判定 ①___________________________________; ②____________________________________; ③____________________________________; 3.3 相似三角形的性质 ①___________________________________;（对应边、对应角） ②____________________________________;（对应三线） ③____________________________________;（对应周长、面积）
江苏省镇江实验学校2022年初三中考 数学复习教学案：6 主备：罗彬课型：新授严玲凤 班级姓名学号 【学习目标】 1、使学生了解中心投影的意义。 2、通过测量活动，综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，增强用数学的意识加深对判定三角形相似的条件和三角形相似的性质的明白得。 3、通过操作、观看等数学活动，探究中心投影与平行投影的区别，并运用中心投影的相关知识解决一些实际问题。 【重点难点】运用三角形相似的判定和性质解决实际问题。 【自主学习】 读一读：阅读课本79-80页 想一想： 1.如图所示，在房子外的屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区在（） A、△ACE B、△ABD C、四边形BCED D、△BDF 练一练：
E D 某人身高1.6m,在路灯A 的照耀下影长为DE,他与灯杆AB 的距离BD=5m, 求（1）AB=6m.求DE(精确到0.1m) (2)DE=2.5m ，求AB 【例题教学】 1、为了测量路灯（OS ）的高度, 把一根长1.5米的竹竿（AB ）竖直立在水平地面 上,测得竹竿的影子（BC ）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB ‘）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（B ‘C ‘）为1.8米,求路灯离地面的高度. 2、小华同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发觉身后的影子顶部刚好触到AC 的底部，当他向前再步行12m 到达Q 点时，发觉身前的影子的顶端接触到路灯BD 的底部．已知小华身高为1.6m ，两个路灯的高度差不多上9.6m ． （1）求两个路灯之间的距离． （2）当小华同学走到路灯BD 处时，他在路灯AC 下的影子长是多少？ 【课堂检测】 1、下列说法错误的是 ( ) A:太阳光线能够看成平行光线. B:在平行光线的照耀下,不同物体的物高与影长成比例. C:在点光源的照耀下,不同物体的物高与影长成比例
相似三角形的复习 复习目标 1.了解相似形的概念及性质，探索三角形相似的条件； 2.通过证明三角形相似，掌握证明线段或角之间关系的方法； 3.了解图形的位似与相似的联系，能够利用位似将一个图形放大或缩小. 复学指导 看课本P.69-70练习前面的内容，自学要求： 1.结合图6-29，经历探索定理的过程；体会由特殊到一般的数学思想. 2.弄清两个相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系； 3.看例1时理解所列式的意义. 6分钟后，比谁能正确完成自学检测题！ 知识点： 1.相似形：形状相同，大小不一定相等的图形称为_____. 2.相似多边形的特征：对应边________,对应角___. 3.成比例线段：如果四条线段a,b,c,d中，某两条线段的长度的比与另两条线段的长度的 比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。如a:b=c:d,则a,b,c,d叫_______; 若a,b,c,d成比例，即a:b=b:c,则称b是a和c的________. 4.黄金分割：若线段AB上一点P分线段成AP与PB两条线段，且，那么称线段AB被点 P______.点P叫线段AB的______,一条线段有____个黄金分割点. 5.两条直线被一组平行线所截，所得的_____. 6.相似三角形的判定方法： （1）两角对应相等，两三角形相似. （2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似. （3）三组边对应成比例，两三角形相似. 7.三角形重心的定义：_________________. 8.相似三角形的性质: （1）相似三角形的三边__________,三角____________. （2）相似三角形的______________,_________与________都等于相似比. （3）相似三角形周长之比等于_________,相似三角形面积之比等于______. 9.位似图形：如果两个图形不仅是_____图形，而且每组对应点所在的直线都_____,那么 这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做____,这时的相似比又称为_______. 10.在平行光线的照射下，物体所产生的影称为_______，在平行光线的照射下，不同物 体的_____成比例.在点光源的照射下，物体所产生的影为_______. 小题热身 1.下列线段能构成比例线段的是（） A.1cm ,2cm,3cm,4cm B.1cm, 3 cm,2 cm,2cm C.1cm, 2 cm, 2cm,4cm D.2cm,5cm,3cm,4cm 2.根据下列条件能判断△ABC和△DEF相似的是（） A.∠A=52°, ∠B=58°, ∠E=58°, ∠F=60° B. ∠C=78°, ∠E=78°, C. ∠A= ∠F=90°,AC=5, BC=13, FD=10, ED=26 D.AB=1, AC=1.5, BC=2, EF=8, DE=10, FD=16 3.如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，图中共有（）对相似三角形
相似三角形中考备考复习导学案 第19课时相似三角形 【课标要求】 1、比例的基本性质，线段的比。成比例线段 2、认识图形的相似，探索相似图形的性质 3、相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方 4、两个三角形相似的概念，图形的位似 5、探索两个三角形相似的条件 6、利用位似将一个图形放大或缩小 【知识要点】 一、相似三角形的定义 三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法若DE∥BC（A型和X型）则______________． 2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____．两个角对应相等的两个三角形_ _________．两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．三边对应成比例的两个三角形
___________． 三、相似三角形的性质相似三角形的对应边_________，对应角________． 2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用 k表示．相似三角形的对应角平分线，对应边的 ________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．【典型例题】 1.（2012山东省荷泽市）如图，∠DAB=∠CAE，请你再补充一个条件____________,使得△ABC∽△ADE，并说明理由. 2.（2012贵州遵义）如图，在△ABC中，EF∥BC， = ，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（） （A）9 （B）10 （C）12 （D）（湖南株洲）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C 重合，直线MN交AC于O. （1）、求证：△COM∽△CBA； （2）、求线段OM的长度如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正 方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分 别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ 5．如图，在中，，，，动点从点开始沿边
课题：6.6 用相似三角形解决问题（2） 班级：姓名： 学习目标： 1.了解中心投影的意义，通过测量活动，综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，增强用数学的意识， 2.通过操作、观察等数学活动，探究中心投影与平行投影的区别，并运用中心投影的相关知识解决一些实际问题． 学习重点、难点： 重点：掌握中心投影的相关知识，用相似三角形的知识解决问题． 难点：将实际问题抽象、建模以辅助解题． 【创设情境】 观察：夜晚，当人在路灯下行走时，会看到：离开路灯越远，影子就越 . 【合作探究】 1.在的照射下，物体所产生的影称为中心投影. 2.在点光源的照射下，不同物体的物高与影长成比例吗？____________ 例题讲解： 例1：三根底部在同一直线上的旗杆竖立在地面上， 第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图， 请你在图上画出光源的位置，并画出第三根 旗杆在该灯光下的影长。 例2：如图.有一路灯杆AB，小明在灯光下看到自己的影子DF.
（1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出. （2）如果已知BD=3m,DF=1m,小明身高为1.6m,你能求得路灯杆的高吗？ 例3：如图，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长DF＝ 3 m，沿BD方向前进到点F处测得自己的影长FG＝ 4 m．设小丽的身高为1.6 m， 求灯杆AB的高度． 例4：如图，两颗树的高度分别为AB＝6m，CD＝8m，两树的根部间的距离AC＝4m，小强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m，当小强与树AB的距离小于多少时，就不能看到树CD的树顶D？ 【当堂反馈】 1.在同一时刻的阳光下,小明的影长比小强的影子长,那么在同一路灯下( ) A.小明的影子比小强的影子长 B.小明的影子比小强的影子短 C.小明的影子和小强的影子一样长 D.俩人的影长不确定 2.如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，他沿着树影BA由点B向点A走去， 当走到点C
6.7相似三角形的应用（1） 一、教材分析： 相似三角形的知识是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，相似三角形承接全等三角形，从特殊的相等到一般地成比例予以深化，学好相似三角形的知识，为今后进一步的学习打下良好的基础。相似三角形在现实生活中有着广泛的应用，本节教材将相似三角形的应用与投影知识和物高的测量有机结合起来，是教材的一个重要特色。通过本节学习能培养学生用数学的意识，动手实践的能力，提高学习数学的兴趣。 二、教学目标： （一）知识与技能 1、了解平行投影的意义。知道在平行光线的照射下，同一时刻不同物体的物高与影长成比例。 2、了解平行投影的意义和平行投影在现实生活中的运用，主动运用所学知识解释生活现象，解决实际问题，增强用数学的意识。 1、通过实验与证明，理解平行投影的性质，能用来解决有关问题。 2、通过测量活动，综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，增强应用数学意识，加深对判定三角形相似的条件和性质的理解。 （三）情感态度与价值观 通过相关问题多种解法的交流以及学生自编问题的交流，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，激发学生学习数学的兴趣。 三、教学重难点 重点： 平行投影的意义和性质，应用平行投影的性质和相似三角形解决测量问题。 难点： 构造相似三角形解决有关测量问题。 四、教学方法与教学手段： 采用探究发现式教学，提供适当的问题情境．给学生自主探究交流的空间，引导学生有方向地探索。 五、教学过程：
一、情境创设 光在直线传播过程中，遇到不透明的物 体，在这个物体的后面光线不能到达的区域便产生影子。 【定义】太阳光线可以看成是_________。在平行光线的照射下，物体所产生的影称为____________。学生通过生活中的 经验，了解影子的形 成，从而得出数学中 平行投影的含义。 将生活与数学 联系起来，从而让 学生能够更加生动 的理解平行投影的 含义。物理中也学 习过这方面的内 容。 二、学习探究 如图，在太阳光线的照射下，已知建筑物AB 的影长为BC，请你画出在同一时刻的建筑物A1B1的影长B1C1 我们发现：在【同一时刻的阳光】下，物体越高，物体的影子就越长。 【思考】那么它们有什么具体关系呢？ 【结论】平行投影的性质：在平行光线的照射下，同一时刻的物高与影长成比例. 强调：这里的影长并不是指实际的影长，主要还是根据两个三角形相似，得到对应线段成比例。 根据平行投影 的含义，学生完成操 作。 学生根据图形， 说出发现，并利用相 似三角形将发现进 行证明，得到本节课 的主要结论。 一般写成： 2 2 1 1 影长 物高 影长 物高 = 学生根据操作 题能够进一步理解 平行投影的含义， 并且引出本节课的 主要内容。 学生根据相似 三角形的相关结论 证明从图中得到的 结论，感受从发现 到论证的整个过 程。 小试牛刀： （1）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为 ( ) A.7.5米 B.8米利用 2 2 1 1 影长 物高 影长 物高 = 的结论进行解题。 通过两道简单的题 目，感受 2 2 1 1 影长 物高 影长 物高 =的 结论，并突出结论
相似三角形（相似动点）分类 一、证明线段相等 1.在面积为24的△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F、G分别在BC、AC上。 （1）若AE＝8，DE＝2EF，求GF的长；（2）若∠ACB＝90°，如图2，线段DM、EN分别为△ADG和△BEF的角平分线，求证：MG＝NF；（3）请直接写出矩形DEFG 的面积的最大值。 2、在△ABC中，点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B出发，在BC边上以相同的速度向C运动，过点D作DE∥BC交AC于点E．运动时间为t秒． （1）若AB＝5，BC＝6，当t为何值时，四边形DFCE为平行四边形；（2）连接AF、CD．若BD＝DE，求证：∠BAF＝∠BCD；（3）AF交DE于点M，在DC上取点N，使MN∥AC，连接FN． ①求证：BF CF =DN CN ；②若AB＝5，BC＝6，AC＝4，当MN＝FN时，请直接写出t的值．
3.如图，Rt▲ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC边交于点E，EF⊥AB，垂足为F.D为AC的中点，连结BD交EF于G. (1)求证:ED是⊙O的切线; (2)求证:EG=FG; (3)若DG=DA=4，求O的半径. 二、最值问题 1. 1.如图，在Rt▲ABC中，∠A=30°,AC=8，以C为圆心，4为半径作⊙C. (1)试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由; (2)点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD=2，试说明▲FCD :▲ACF; FA的最小值. (3)点E是AB边上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+1 2
2.如图，抛物线y=a 2 -3ax+c （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，交y 轴于点C ，其中A （－1，0），C （0，3）. (1) 求抛物线的解析式 (2) 点P 是线段BC 上方抛物线上一动点（不与B ，C 重合），过点P 作PD ⊥x 轴，垂足为D ，交BC 于点E ，作PF ⊥直线BC 于点F ，设点P 的横坐标为x ，△PEF 的周长记为l,求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值及此时点P 的坐标 (3) 点H 是直线AC 上一点，该抛物线的对称轴上一动点G ，连接OG ，GH ，则两线段OG ，GH 的长度之和的最小值等于______,此时点G 的坐标为_____（直接写出答案。） 3.如图,Rt △ABC 中.∠BAC=90°，AB=1，AC=2√2.点D,E 分别是边BC.AC 上的动点， 则DA+DE 的最小值为 92 16.92 8.916 .98 .D C B A
相似三角形的判定复习导学案 学习目标：1、掌握相似三角形的概念，性质和判定三角形相似的条件 2、能利用相似比、相似的性质进行计算，判断是否相似 重点：掌握相似的性质、判定三角形相似的条件 难点：相似的性质的应用，判断是否相似 知识梳理 1.相似三角形的定义：三角 ，三边 的两个三角形叫做相似三角形。 如图，在ABC ∆与DEF ∆中，如果D A ∠=∠，E B ∠=∠，F C ∠=∠且FD CA EF BC DE AB ==， 那么我们说ABC ∆与DEF ∆是 三角形，记为ABC ∆ DEF ∆， 2.相似三角形的性质：相似三角形对应角 ，对应边 。 ∵ABC ∆∽DEF ∆∴A ∠＝ B ∠＝ C ∠＝ ； 3.三角形相似的条件:（1） 对应相等，两个三角形相似（AA ） （2）三边对应 ，两个三角形相似（SSS ） （3）三角形两边对应成比例，且 相等，两个三角形相似（SAS ） 课堂学习检测 一、填空题 1．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果∠A ＝56°，∠B ＝28°，∠A ′＝56°，∠C ′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________． 2．在△ABC 和△A 'B ′C ′中，如果∠A ＝48°，∠C ＝102°，∠A ′＝48°，∠B ′＝30°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________． 3．在△ABC 和△A 'B ′C ′中，如果∠A ＝34°，AC ＝5cm ，AB ＝4cm ，∠A ′＝34°，A 'C ′＝2cm ，A ′B ′＝1.6cm ，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是____________________． 4．在△ABC 和△DEF 中，如果AB ＝4，BC ＝3，AC ＝6；DE ＝2.4，EF ＝1.2，FD ＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________． 5．如图所示，△ABC 的高AD ，BE 交于点F ，则图中的相似三角形共有______对． 5题图 6．如图所示，□ABCD 中，G 是BC 延长线上的一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，此 F E D C B A ()()()()AB DE ==
课时46 探索三角形相似的条件（3） 教学目标： 1．探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法，并能运用解题； 教学重点：掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”． 教学难点： 1．“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法的证明； 2．能恰当地运用判定方法判定三角形是否相似． 教学形式：启发式 教学过程： 一、复习回顾：我们学过哪些判定三角形相似的方法？ 二、合作探究： 如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A ＝∠A'，12A B A C AB AC '''' == ． 能判断△ABC 与△A'B'C' 相似吗？ 如果把21 换成其他数值，再试一试． 已知：AB AC k A B A C ==''''，∠A ＝∠A'．求证：△ABC ∽△A'B'C'． 探索三角形相似的条件： 两边_________________________的两个三角形相似． 交流讨论： 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠B ＝∠E ，要 使△ABC ∽△DEF ，需要添加什么条件？ 三、例题讲解： 1、如图, 若AD·AB=AE·AC,则△_______∽△______,且∠B=_____.
2、如图，点D 在△ABC 内，点E 在△ABC 外，且 ∠1=∠2，∠3=∠4. △DBE 与△ABC 相似吗？为什么？ 四、随堂练习： 1、如图，在△ABC 中，D 在AB 上，要说明△ACD ∽△ABC 相似，已经具备了条件 ， 还需添加的条件是 ，或 或 。 2．如图，△ABC 与△A'B'C' 相似吗？有哪些判断方法？ 3、已知：如图，AE 2=AD •AB ，且∠ABE =∠ACB 。 证明：（1）△ADE ∽△AEB ； （2）DE ∥BC ； （3）△BCE ∽△EBD 。 五、思考与探索： 如图，在△ABC 中，AB ＝4cm ，AC ＝2cm ． （1）在AB 上取一点D ，当AD ＝______时，△ACD ∽△ABC ； （2）在AC 的延长线上取一点E ，当CE ＝ 时，△AEB ∽△ABC ； 此时，BE 与DC 有怎样的位置关系？为什么？ 六、拓展延伸： 有一池塘，周围都是空地．如果要测量池塘两端A 、B 间的距离，你能利用本节所学 的知识解决这个问题吗？ 小结 课作：课时作业本 家作：课课练 课后反思 B C'B'A' C B A A C D B D B E A C
新苏科版九年级数学下册第六章《探索三角形相似的条件(4) 》导学案 学习重点、难点：会用三角形相似的条件,解决有关问题，有条理的推理能力. 教学流程： 一、复习导入、激发兴趣： 探索两个三角形相似，可以从哪几个方面考虑找条件？两个全等三角形一定相似吗？如果相似，相似比是多少？两个相似三角形一定全等吗？对照判定两个三角形全等的方法，猜想判定两个三角形相似还可能有什么方法？ 二、自主探究、合作交流 已知△ABC （1）画△A ′B ′C ，使2AB BC CA A B B C C A ==='''''' . （2）比较∠A 与∠A '的大小. 由此，能判断△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？为什么？ 设 AB BC CA k A B B C C A ==='''''' ，改变k 值的大小，再试一试，上述结论是否改变？ 如图，在△ABC 与△A ′B ′C 中，如果AB BC CA A B B C C A ==''''''，那么△ABC ∽△A ′B ′C ′ 你能说明这两个三角形相似的理由吗？ 归纳： 的两个三角形相似. 几何语言： 三、学以致用、巩固新知 活动1、根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C 是否相似，并说明理由。 (1)∠A=100°，AB=5cm ，AC=10cm ，∠A′=100°，A ′B ′=8cm ，A ′C ′=12c m ； (2) AB=4cm ，BC=6cm ，AC=8cm ，A ′B ′=12cm ，B ′C =18cm ，A ′C ′=24cm 学习目标： 1．类比三角形全等（边边边）的判定探索三角形相似的条件(3) ， 并运用条件解决有关问题； C'A'B' C A C' A'B'C A
数学教学设计 第6章图形的相似小结与思考（1） 教学目标1．对图形的相似全章复习巩固，形成相似图形的知识体系；2．通过变式训练学生的数学思维水平，提高解决问题的水平；3．经过学生之间的交流、探究，有效发展数学核心素养． 教学重点构建相似图形的知识体系，形成分析问题、解决问题的水平． 教学难点对综合问题的探究水平，数学思维的形成，主动探究意识的提高，交流、协作水平的发展． 教学过程（教师）学生活动设计思路 一、知识体系完善 请同学们回顾本节课所学知识，并形成知识体系，完成知识结构图。 （明确本章分成三块内容，今天主要是训练第一块“相似三角形的性质和判定”）在老师的引导下回顾并完成． 通过回顾本章主要知识 点，让学生构建起该章的知识 体系，为下面的探索学习打下 知识基础． 二、引题打基础 引题:如图1，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，若△ABC的 BC边上的高为6，面积为24，求EF边上的高及△DEF的面积． 1．独立思考后根据相似三角形性质和判定解决引题． 2．同时让每位同学清楚，解决此题用到了本章的具体哪 个知识点？ 相似三角形的性质和判 定是后续学习“图形位似” “锐 角三角函数”等知识的重要基 础，所以起始题起点较低，重 在知识整合与关联，又兼顾可 延伸性．
三、变式训练 变式1:若将△DEF平移使得点D与点A 重合，点E、F分别落在边AB和AC上，那么例题中的“AB=2DE，AC=2DF”能够改成 “_______________________”，问题依然可求．变式2:如图，EF是△ABC的中位线，连接BF、CE交于点M，若S△MEF=1，那么还能求出哪些图形的面积？请并说明理由． 1．对于变式1，要求独立完成，同时关联了“三角形的中 位线性质”． 2．小组交流变式2，这是一道结论开房题，组内同学相互 交流补充，这样答案比较全面． 3．解题过程中有什么困难，解决得如何？ 根据原题中两三角形边 之间的特殊关系，将三角形的 中位线导入，变式1既关联了 三角形中位线性质，又为变式 2、3做铺垫。变式2被设计 为一道开放题，给学生留出充 分地思考空间，例如:S△BMC、 S△BEM、S△MCF、S△BEC、S△BFC 等，是对相似三角形的性质全 面、灵活地使用． 四、提高训练 变式3:如图，EF是△ABC的中位线，边BC=8，BC边上的高AD=6，若以EF为一边作正方形EFGH，求GH与BC之间的距离． 变式4:如图，在△ABC中，BC=8，高AD=6，点E、F分别在AB、AC上，点G、H在BC 上，当四边形EFGH是正方形时，求EF的长．变式5:如图，在△ABC中，BC=8，高AD=6，点E、F分别在AB、AC上，点G、H在BC 上，当四边形EFGH是矩形，且EF=2EH时，求EF的长（或求矩形EFGH的周长）. 变式6:如图，在△ABC中，BC=8cm，高AD=6cm，点E、F分别在AB、AC上，点G、H在BC上，当四边形EFGH是矩形，求S矩形 在老师的引导下: 1．小组内同学之间相互协作，数学思维逐渐上升； 2．小组之间相互交流，对于解题难度比较大的难题，通过 互相补充的形式予以解决； 3．变式训练要求学生的数学思维顺势而上。 变式3沿着变式2顺势而 上，以中位线为边作正方形， 由中位线EF与边BC的关系， 能知道EF到BC边的距离， 从而能够求得GH与BC之间 的距离为1，正方形的相关性 质就顺利进入问题，为变式4 埋下伏笔；变式4能够看作是 前题中正方形的动态上移，根 据EF//BC得到 △AEF∽△ABC，再根据相似 三角形对应边上高的比等于 相似比解决问题；变式5是将 变式4中的正方形一般化，变
相似三角形 教学目标：1．掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似；2．能根据相似比进行计算．能力训练要求：1．能根据定义判断两个三角形是否相似， 训练学生的判断能力；2．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．情 感与价值观要求：通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领 会特殊与一般的关系． 重点：相似三角形的定义及运用． 难点：根据定义求线段长或角的度数． 教学过程： 一、创设问题情境，引入新课 上节课我们学习了相似多边形的定义及记法．现在请大家回忆一下． 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比． 相似多边形指的是哪些多边形呢？ 由此看来，相似三角形是相似多边形的一种．今天，我们就来研究相似三角形． 二、新课讲解 1．相似三角形的定义及记法 因为相似三角形是相似多边形中的一类，因此，相似三角形的定义可仿照相似多边形的定义给出． 三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。 其中对应顶点要写在对应位置，如A与D，B与E，C与F相对应．AB∶DE等于相似比．知道了相似三角形的定义，下面我们根据定义来做一些判断． 2．想一想 如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？（独立完成后交流） 3．议一议 （1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？ （2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？ （3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？ 由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似． ①两个全等三角形一定相似．②两个等腰直角三角形一定相似．③两个等边三角形一定相 似．④两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似．（利用相似三角形的定义说出理由） 4．例题 （1）有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长都是3.5cm，求该草坪其他两边的实际长度．（14m）（2）如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝70cm，∠BAC＝45°，∠ACB ＝40°，求（1）∠AED和∠ADE的度数；（2）DE的长． （独立完成后教师讲解）
6.7用三角形相似解决问题（1） 教学目标：1．通过用相似三角形有关知识解决实际问题的过程，提高学生分析、解决实际问题的能力； 2．学会建构“用相似三角形解决问题”的基本数学模型； 3．通过知识拓展，激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与探索活动，体验成功的喜悦，培养科学的数学观． 教学重点：根据实际问题，依据相似三角形的有关知识，构建数学模型，解决实际问题． 教学难点：将实际问题抽象、建模以辅助解题． 教学过程： 一、课前专训 1．在比例尺为1：38 000的城市交通地图上，某条道路的长为5cm，则它的实际长度为（） A．0.19 km B．1.9 km C．19 km D．190 km 2．若a、b、c、d是成比例线段，其中a=5cm，b=2.5cm，c=8cm，则线段d的长为（） A．2cmB．4cm C．5cm D．6cm 要求：掌握成比例线段，为本节课新授内容作铺垫． 三、新知： 1．情景引入 （1）当人们在阳光下行走时，会出现一个怎样的现象？生：影子． （2）你能举出生活中的例子吗？生：…… 要求：学生思考教师出示的问题，积极回答问题．从实际生活情境出发，设计问题，引导学生积极思考． 2．活动探究 活动一、实验探究 1．阅读“平行投影”的概念，了解平行投影； 2．数学实验：测量阳光下物体的影长． 结论：
1．在阳光下，在同一时刻，物体高度与物体的影长存在的关系是：物体的高度越高，物体的影长就越长． 2．在平行光线照射下，不同物体的物高与影长成比例． 要求：学生阅读概念，认识平行投影．通过数学实验探究物体影长和物高之间的关系．展示平行投影的图片说明，帮助学生直观的了解所学内容．3．思考操作 如图6-42中，甲木杆AB在阳光下的影长为BC．试在图中画出同一时刻乙、丙两根木杆在阳光下的影长． 思考：如何用相似三角形的知识说明在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例？ 要求：根据“太阳光可以看成平行光线”的表述，画出与图中虚线平行的线段．引导学生通过观察、分析寻找画乙、丙两个木杆影长的办法． 四、例题 背景故事：古埃及国王为了知道金字塔的高度，请一位学者来解决这个问题．在某一时刻，当这位学者确认在阳光下他的影长等于他的身高时，要求他的助手测出金字塔的影长，这样他就十分准确地知道了金字塔的高度． 问题：如图6-43，AC是金字塔的高，如果此时测得金字塔的影DB的长为32 m，金字塔底部正方形的边长为230 m，你能计算这座金字塔的高度吗？ 拓展：你能用这种方法测量出学校附近某一物体的高度吗？
【教学课题】相似三角形专题 【教学目标】1. 了解相似三角形的判定定理与性质定理，并利用它们进行计算或推理． 2. 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 【教学过程】 一、知识梳理 相似三角形的性质是什么？ 二、典型例题 考点一相似三角形的判定 例1 (2017·枣庄)如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿各选项中的虚线剪开，剪下的阴影部分的三角形与原三角形不相似的是( ) 例2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E. （1）求证：△BDE∽△CAD； （2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长. 考点二相似三角形的性质
例3 (2018·重庆)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm、 6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边长为( ) A. 3 cm B. 4 cm C. 4.5 cm D. 5 cm 例4 (2018·随州)如图，平行于BC的直线DE把△ABC 分成面积相等的两部分，则 BD AD的值为( ) A. 1 B. 2 2 C. 2－1 D. 2＋1 例5．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8． （1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF 交AD于点K． ①求的值； ②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值； （2）若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长． (2) 当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC. 三、回扣目标 考点三相似三角形的性质与判定的综合应用 例6 (2017·宿迁)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点E，F分别在边BC，AC上． (1) 求证：△BDE∽△CEF；