一、混凝土本构关系模型
1.混凝土单轴受压应力-应变关系
（1）Saenz等人的表达式
Saenz等人（1964年）所提出的应力-应变关系为：
（2）Hognestad的表达式
Hognestad建议模型，其上升段为二次抛物线，下降段为斜直线。所提出的应力-应变关系为：
（3）我国《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）中的混凝土受压应力-应变曲线，其表达式为：
，
，
是混凝土单轴受压时的应力应变曲线在下降段的参数值，
是混凝土单轴抗压的强度代表值，
是与单轴抗压强度
相对应的混凝土峰值压应变。
2.混凝土单轴受拉应力-应变关系
清华大学过镇海等根据实验结果得出混凝土轴心受拉应力-应变曲线：
3.混凝土线弹性应力-应变关系
张量表达式，对于未开裂混凝土，其线弹性应力应变关系可用不同材料常数表达，其中用材料弹性模量E和泊松比v表达的应力应变关系为：
用材料体积模量K和剪变模量G表达的应力应变关系为：
4.混凝土非线弹性全量型本构模型
5.混凝土非线弹性增量型本构模型
各向同性增量本构模型：
（1）在式
中，假定泊松比
为不随应力状态变化的常数，而用随应力状态变化的变切线模量
取代弹性常数E，并采用应力和和应变增量，则可得含一个可变模量Et的各向同性模型，增量应力应变模型关系为：
（2）在式
中，如用随应力状态变化的变切线体积模量Kt和切线剪变模量Gt取代K和
G,并采用偏应力和偏应变增量，则可得含两个可变模量Kt和Gt的各向同性模型，
采用偏应力和偏应变增量，则可得以下应力应变关系：
双轴正交各向异性增量本构模型：
混凝土在开裂，尤其是接近破坏时，不再表现出各向同性性质，而呈现出明
显的各向异性性质。因此，用各向异性描述混凝土开裂后的性能更为合理。
混凝土双轴受压时，由于泊松效应及混凝土内部裂缝受到约束，其强度和刚
度均可提高。该模式假定，混凝土为正交各向异性材料，且各级荷载增量內应力-
应变呈线弹性关系，其关系式为：
6.混凝土弹塑性本构模型
弹塑性增量理论需要对屈服准则、流动法则和硬化法则作出假定。设屈服条件用下式表示：
材料进入塑形阶段后的应变增量由弹性应变增量和塑形应变增量组成，即：
采用与屈服条件相关联的流动法则确定，即
增量理论的弹塑性本构矩阵一般表达式为
混凝土弹塑性全量理论基本假设
（1）假设体积的改变是弹性的，且与平均应力成正比，而塑形变形时体积不可压缩，即
（2）假设应变增量
和应力偏量
相似且同轴。即
（3）单一曲线假设：对于同一种材料，无论应力状态如何，其等效应力与等效应变之间有确定的关系，即
弹塑性应力应变关系采用下式：
弹性阶段
塑性阶段
2、钢筋本构关系模型
1.单向加载下钢筋的应力-应变关系模型
硬钢钢筋的应力应变曲线可以分为三段：弹性段、软化段、后续段，根据试验资料得到的应力应变关系式为：
。
2.反复加载下钢筋的应力-应变关系模型
（1）加藤模型
该模型对软化段曲线取局部坐标
，原点为加载或反向加载的起点，软化段试验曲线的方程为：
初始斜率与割线斜率之比为：
（2）Kent-Park模型
该模型采用Ramberg-Osgood应力应变曲线的一般表达式
r=1时，为反映弹性材料的直线；r=
时，为理想弹塑性材料的二折线；
时为逐渐过渡的曲线。
经变换后可得:
,取决于此前应力循环产生的塑性变形，经验计算公式为：
三、钢筋与混凝土的粘结-滑移本构模型
（1）锚固粘结强度计算模型
这种计算模型用于确定钢筋的锚固长度、搭接长度和保护层厚度，所用的试验资料为拔出试验或梁式试验结果。给出了适合于我国月牙纹钢筋的微滑移粘结强度、劈裂粘结强度、极限粘结强度及残余粘结强度计算公式，
（2）反复荷载下粘结-滑移本构模型
清华大学腾智明等提出的计算模型上升段为曲线，下降段为双直线，其数学模型为：
塑性断裂理论 1.背景简介 断裂力学起源于金属材料的断裂，最早将断裂力学用于混凝土研究的是Kaplain 。随后的工作几乎都是在混凝土为线弹性的假定下，运用断裂力学对混凝土断裂参量的研究。但是由于没有弄清混凝土断裂破坏的特殊性质，所以导致了很多相互矛盾的结果。不同研究所获得的混凝土断裂韧度的测定值，其离散性之大已经引起很多学者产生线弹性断裂力学能否应用于混凝土材料的怀疑。例如，Glucklich 证明，临界应变能释放率要比混凝土的表面能的2倍大得多。其他越来越多的试验结果也表明，泥凝土的KIC 值随着试件尺寸的变化而变化，并与裂纹长度和相对缺口深度有关。不仅如此，KIC 还随骨料体积、形状、水灰比和龄期的不同而不同。后者由于材料性质的变化而引起KIC 的变化。单就尺寸变化引起的KIC 的不同结果，就值得怀疑线弹性断裂力学对混凝土的适用性。然而，随着近年来对大尺寸混凝土试件(h>2m)实验结果的分析，人们已经认识到，以往对混凝土断裂参量的测定，实际上并不真正代表混凝土的断裂韧度，而仅仅是名义值。由于混凝土复杂的组织结构，只有在试件尺寸大到一定程度后，才能够测定出不随尺寸而变化的稳定的KIC 值，这才真正反映了混凝土的断裂韧度。但是大尺寸混凝土实验比较因难，一般实验室难以做到。基于断裂力学的混凝土的研 究尚无法进入实用[3] 。 2.模型建立： ①应变空间塑性方程 kl kl ij ijkl ij d ]F G h 1C [d εεεσ????- = 其中()]G F F G W F G F [ h ij kl p pq p min εεαεαεεεε????-??-????+????-=ij rs rs rs e kl mnpq c D ②理想断裂模型 kl mn mn kl ij f ijkl f ij e ij ij d )F/() F/)(F/(dH dW 2C )d (d d εεεεεσσσ??????-=-+= ③塑性断裂理论本构方程 kl kl ij ijkl ij d ]F G h 1C [d εεεσ????- = 其中]G )T 21T (W F G T C F [ h kl f mnkl p mnkl p mn pf kl p mnkl 1ijkl pf ij εεεε??+??+????-=- 3.应用范围 在统一框架下模拟混凝土裂缝起裂，稳定扩展，不稳定扩展直至断裂破坏的不同裂缝扩展阶段，适于追踪混凝土裂缝的全过程。
ABAQUS中的三种混凝土本构模型 2010-05-12 22:19:14| 分类：ABAQUS | 标签：|字号大中小订阅 资料来自SIMWE论坛shanhuimin923，特表示感谢！ ABAQUS 用连续介质的方法建立描述混凝土模型不采用宏观离散裂纹的方法描述裂纹 的水平的在每一个积分点上单独计算其中。 低压力混凝土的本构关系包括： Concrete Smeared cracking model (ABAQUS/Standard) Concrete Brittle cracking model (ABAQUS/Explicit) Concrete Damage plasticity model 高压力混凝土的本构关系： Cap model 1、ABAQUS/Standard中的弥散裂缝模型Concrete Smeared cracking model (ABAQUS/Standard)： ——只能用于ABAQUS/Standard中 裂纹是影响材料行为的最关键因素，它将导致开裂以及开裂后的材料的各向异性用于描述：单调应变、在材料中表现出拉伸裂纹或者压缩时破碎的行为 在进行参数定义式的Keywords： *CONCRETE *TENSION STIFFENING *SHEAR RETENTION *FAILURE RATIOS 2、ABAQUS/Explicit中脆性破裂模型Concrete Brittle cracking model (ABAQUS/Explicit) ：适用于拉伸裂纹控制材料行为的应用或压缩失效不重要，此模型考虑了由于裂纹引起的材料各向异性性质，材料压缩的行为假定为线弹性，脆性断裂准则可以使得材料在拉伸应力过大 时失效。 在进行参数定义式的Keywords *BRITTLE CRACKING, *BRITTLE FAILURE, *BRITTLE SHEAR 3、塑性损伤模型Concrete Damage plasticity model： 适用于混凝土的各种荷载分析，单调应变，循环荷载，动力载荷，包含拉伸开裂(cracking)和压缩破碎(crushing)，此模型可以模拟硬度退化机制以及反向加载刚度恢复的混凝土力学 特性 在进行参数定义式的Keywords： *CONCRETE DAMAGED PLASTICITY *CONCRETE TENSION STIFFENING *CONCRETE COMPRESSION HARDENING *CONCRETE TENSION DAMAGE *CONCRETE COMPRESSION DAMAGE
高等混凝土结构学课程报告 学生：汤鹏 学号：2010202100018 班级：硕士一班 老师：何英明教授 日期：2011.8
混凝土非线性弹性本构模型 有三种不同形式的基于弹性的本构模型用在一般公式中，它们是： (1)Cauchy 型；(2)Green(超弹性)型；(3)增量(亚弹性)型。 1) Cauchy 型的全应力—应变公式 在Cauchy 弹性材料模型中，将当前的应力状态σij 惟一地表示成当前应变状态εkl 的函数，即σij =F ij (εkl ) 上式描述的弹性性质是可逆的和路径无关的，从这种意义上讲，应力由应变的当前状态惟一确定，反之亦然，材料性质与达到当前应力或应变状态的应力或应变历史没有相关性。然而，一般地，应力由应变惟一确定或相反，而逆命题不一定正确。而且，应变能W (εij )和余能密度函数Ω(σij )的可逆性和与路径无关的情况通常不能保证，0 ()()ij ij ij ij ij ij ij ij W d d εσεσεσεσ= Ω= ? ? 已经证明，Cauchy 型弹性模型在加载－卸载循环中要产生能量。这就是说，这类模型违背了热力学原理(实际上是不能接受的)，这自然就让人想到第二类公式，Green 超弹性型。 一般说来，Cauchy 型各向异性线弹性模型有36个材料弹性模量。对于最简单的各向同性线弹性材料，这个数目将减少到两个(E 和μ，或K 和G)，相应的应力—应变关系简化为熟悉的广义虎克定律。 2) Green(超弹性)型的全应力—应变公式 严格地说，弹性材料必须满足热力学平衡方程。由此附加要求表
征的弹性模型就叫做Green 超弹性型，此类模型的基础是假定有如下的应变能W (εij )和余能密度函数Ω(σij ) ij ij ij ij W σεεσ??Ω= = ?? 式中，W 和Ω分别是当前应变张量和应力张量分量的函数，这就保证了在加载循环过程中没有能量产生，热力学准则总能满足。 对初始各向同性弹性材料，w 或Ω分别用任意三个独立的应变或应力张量εij 或σij 的不变量表示。一般地，如果Ω用下面三个应力张量不变量表示 1kk I σ= 212km km I σσ= 313 km kn m n I σσσ= 则有 1232312 3ij ij ij im jm ij ij ij I I I I I I εφδφσφσσ σσσ?Ω??Ω??Ω?= + + =++??????1 ()j i i i I I φφ?Ω== ? j i j i I I φφ??= ?? 在各向同性线弹性材料情况下，Cauchy 弹性公式和Green 超弹性公式都可简化为用两个独立材料常数表示的广义虎克定律。然而，在一般的各向异性线弹性材料中，Cauchy 型公式有36个材料常数，而在Green 公式中，仅需要21个材料常数。 概括起来说，上面描述的Cauchy 和Green 超弹性两种基于弹性
1 横向配筋的作用 混凝土结构中的配筋有两种：直接钢筋和间接钢筋。直接配筋即沿构件轴力或主应力方向设置的纵向钢筋，直接承担拉力或者压力，钢筋的应力与轴力方向一致；间接配筋又称横向配筋，沿与压应力与最大主压应力垂直的方向设置，通过约束混凝土的横向变形，提高轴向抗压承载力。 横向配筋有多种，比如螺旋（圆形）箍筋、矩形箍筋、钢管、焊接网片等。其主要作用是约束其内部混凝土的横向变形，使之处于三轴受压应力状态，从而提高了其强度和变形能力。 下面就箍筋对混凝土的约束作用做以简单分析。 箍筋的作用有许多种， ?抗剪。除了直接承受剪力外，还间接限制了斜裂缝的开展宽度，增强了腹部混凝土的骨料咬合力；还约束了纵筋对混凝土保护层的撕脱，增大了 钢筋的销栓力；同时，纵筋与腹筋形成的骨架使内部混凝土受到约束， 这也有利于抗剪； ?通过减小纵筋的自由长度，防止纵筋受力后压屈，充分发挥其抗压强度，同时也起到固定纵筋位置的作用； ?对于密排箍筋，通过约束核心区混凝土，提高了混凝土的抗压强度及延性（极限变形能力）； ?长期荷载作用下，可以承受因混凝土收缩和环境湿度变化等产生的横向应力，以防止或减少纵向裂缝； 其中，通过约束核心区混凝土，提高受压混凝土的抗压强度及延性，对于地震区的混凝土结构尤为重要。适当地增加箍筋和改进构造形式成为提高结构抗震性能的最简单、经济和有效的措施之一。 2 影响箍筋约束作用的因素 箍筋对约束混凝土的增强作用，除了受被约束混凝土自身强度的影响外，主要取决于它能够施加在核心区混凝土表面的约束力的大小。约束力越大，对混凝土的增强就越多。约束力主要受以下几个因素影响： ?体积配箍率。体积配箍率隐含反应了四个因素：箍筋强度、直径、间距及（计算配箍方向的）核心区宽度（对于螺旋或圆形配箍的圆形截面，指 核心区直径）。箍筋的强度和直径直接决定了箍筋所能提供的约束力的 大小，箍筋间距及核心区宽度则影响约束力在相邻箍筋间的分布。对于 矩形截面，通常两个方向上的尺寸和配箍形式不一样，因此提供的约束 力也不一样，所以应分别计算两个方向的配箍率。
混凝土的动力本构关系和破坏准则 最常用的混凝土本构模型是弹性本构模型和塑性本构模型。弹性本构模型假设混凝土材料遵循胡克定律，即应力与应变成线性关系。这个模型适用于小应变范围内的研究，但不适合描述混凝土的变形和破坏行为。塑性本构模型则假设混凝土材料在达到弹性极限后发生塑性变形，这个模型能够较好地描述混凝土的非线性行为。 除了弹性本构模型和塑性本构模型，还有一些更复杂的本构模型可以用来描述混凝土的力学行为。比如，粘弹性本构模型可以描述混凝土的粘弹性行为，损伤本构模型可以描述混凝土受损后的力学行为。这些本构模型可以更准确地描述混凝土的动力学行为，但也更加复杂。 混凝土的破坏准则是指混凝土材料在力学载荷下发生破坏的判据。混凝土的破坏准则一般可以分为两类：强度准则和能量准则。 强度准则是指当混凝土材料达到一定应力或应变时发生破坏。常用的强度准则有极限强度准则和屈服强度准则。极限强度准则假设混凝土在达到一定应力或应变时发生破坏，这个准则较为简单，但是不能很好地描述混凝土的非线性破坏行为。屈服强度准则则是假设混凝土在达到一定应力或应变时发生塑性变形，这个准则对于描述混凝土的破坏行为较为准确。 能量准则是指混凝土材料在吸收一定能量后发生破坏。常用的能量准则有断裂能量准则和剩余应变能量准则。断裂能量准则假设混凝土在吸收一定能量后发生破裂，这个准则能够较好地描述混凝土的破坏行为。剩余应变能量准则是假设混凝土在吸收一定能量后发生破坏，这个准则也能够较好地描述混凝土的破坏行为。
总的来说，混凝土的动力学本构关系和破坏准则是研究混凝土材料力学行为的重要内容。混凝土的本构关系可以通过试验获得，常用的本构模型有弹性本构模型和塑性本构模型。混凝土的破坏准则可以分为强度准则和能量准则，常用的破坏准则有极限强度准则和断裂能量准则。这些本构关系和破坏准则对于混凝土力学行为的研究和工程实践具有重要意义。
钢筋混凝土结构的本构关系及有限元 模式共3篇 钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式1 钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式 钢筋混凝土是建筑结构中广泛使用的材料之一。在结构设计与分析过程中，了解钢筋混凝土的本构关系和有限元模式是十分重要的。本文将从理论和实践两个层面介绍钢筋混凝土结构的本构关系及有限元模式。 一、理论基础 1.1 本构关系 本构关系是描述材料应力和应变之间关系的数学模型。对于钢筋混凝土结构来说，其本构关系可以分为弹性和塑性两个阶段。 如图1所示，该曲线表现了材料的应变和应力之间的关系。在开始阶段，钢筋混凝土材料表现出弹性行为，即在一定范围内，应变和应力呈线性关系，在这个范围内，应力的变化只取决于外力的变化。 当荷载增加时，材料进入塑性阶段，即出现残余变形，弹性不再适用。此时，应变和应力的关系呈现非线性态势，应力会逐渐增大，直至材料失效。
图1 钢筋混凝土的本构关系曲线 1.2 有限元分析 有限元分析是一种近似解微分方程的数值分析方法。该方法将问题分解成一个有限数量的小区域，在每个小区域内建立数学模型，通过连接小区域，组成总体的数学模型。对于钢筋混凝土结构的有限元分析，可以采用三维有限元模型或二维\轴对称有限元模型等。 二、实践操作 2.1 有限元模型的建立 在进行有限元分析前，需要建立合适的有限元模型。在钢筋混凝土结构的有限元分析中，通常采用ABAQUS、ANSYS软件进行模拟。 有限元模型的建立需要考虑结构的几何形状、材料特性、加载条件等，在模型建立的过程中需要进行模型分析和后处理，如应力监测、应变监测、变形量分析等。 2.2 本构关系的采用 在建立有限元模型时需要设置材料弹性模量、泊松比、破坏应力等本构关系参数，这些参数可以通过试验数据和经验公式进
ABAQUS钢筋混凝土本构模型 钢是各向同性材料，其本构关系理论比较成熟，考虑了其弹性、弹塑性、强化、断裂和包辛格效应并得到充分验证。 基本参数： 密度：ρ=7800kg/m^3 弹性模量：E_s=2.07×10^5 泊松比：ν =0.3 1.2 混凝土 混凝土在拉压方向上的力学性能不同，存在着强化、软化、开裂、损伤等复杂的力学行为。如何在有限元程序中准确模拟混凝土的本构关系，对于后续有限元计算结构的合理性和准确性尤为重要。 基本参数： 密度：ρ=2200~2400kg/m^3 弹性模量：E_c(与强度有关) 泊松比：ν =0.18～0.22(建议取0.2) Ψe fb0/fc Kυ 30°0.11.160.6677.5e-04 2 混凝土单轴应力-应变关系 2.1 混凝土单轴受压应力-应变关系
混凝土材料在单轴压缩下的应力-应变关系由弹性段、强化段和软化段组成。 图1 混凝土单轴应力-应变关系 ε_{c0}^{el}——未损伤或者未考虑损伤的混凝土受压弹性应变，材料无损时的弹性应变 ε_c^{el}——考虑损伤的混凝土受压弹性应变（损伤导致刚度减小，相应的弹性应变就增大了） ε_c^{pl}——混凝土受压塑性应变（总应变减去考虑损伤的受压弹性应变） ε_c^{in}——混凝土受压非弹性应变（包括了一部分塑性应变和受压损伤导致的刚度变小产生的应变等） 1.弹性段定义——确定初始切线模量E0 (1) 确定弹性极限点 （ε_{c,e0},σ_{c,e0}） \\ 建议一般取 σ_{c,e0}=f_c/3 \\ 则初始切线弹性模量为 E_0=ε_{c,e0}/σ_{c,e0} \\ (2) 混凝土的弹性模量Ec (3) 也可以采用如下方法进行确定：首先计算混凝土拉伸开裂时的割线模量，并按此割线模量取值确定混凝土压缩应力-应变关系曲线上升段中割线模量的等值点，以此作为混凝土受压
ABQUS中的三种混凝土本构模型 ABAQUS 用连续介质的方法建立描述混凝土模型不采用宏观离散裂纹的方法描述裂纹的水平的在每一个积分点上单独计算其中。 低压力混凝土的本构关系包括： Concrete Smeared cracking model (ABAQUS/Standard) Concrete Brittle cracking model (ABAQUS/Explicit) Concrete Damage plasticity model 高压力混凝土的本构关系： Cap model 1、ABAQUS/Standard中的弥散裂缝模型Concrete Smeared cracking model (ABAQUS/Standard)：——只能用于ABAQUS/Standard中 裂纹是影响材料行为的最关键因素，它将导致开裂以及开裂后的材料的各向异性 用于描述：单调应变、在材料中表现出拉伸裂纹或者压缩时破碎的行为 在进行参数定义式的Keywords： *CONCRETE *TENSION STIFFENING *SHEAR RETENTION *FAILURE RATIOS 2、ABAQUS/Explicit中脆性破裂模型Concrete Brittle cracking model (ABAQUS/Explicit) ： 适用于拉伸裂纹控制材料行为的应用或压缩失效不重要，此模型考虑了由于裂纹引起的材料各向异性性质，材料压缩的行为假定为线弹性，脆性断裂准则可以使得材料在拉伸应力过大时失效。 在进行参数定义式的Keywords *BRITTLE CRACKING, *BRITTLE FAILURE, *BRITTLE SHEAR 3、塑性损伤模型Concrete Damage plasticity model： 适用于混凝土的各种荷载分析，单调应变，循环荷载，动力载荷，包含拉伸开裂(cracking)和压缩破碎(crushing)，此模型可以模拟硬度退化机制以及反向加载刚度恢复的混凝土力学特性 在进行参数定义式的Keywords： *CONCRETE DAMAGED PLASTICITY *CONCRETE TENSION STIFFENING *CONCRETE COMPRESSION HARDENING *CONCRETE TENSION DAMAGE *CONCRETE COMPRESSION DAMAGE
混凝土本构关系模型 一、线弹性本构模型 1、 线弹性均质的本构模型 当混凝土无裂缝时，可以将混凝土看成线弹性均质材料，用广义胡克定律来表达本构关 系： kl ijkl ij C εσ= 式中， ijkl C 为材料常数，为一四阶张量，一般有81个常数，如果材料为正交异性时，常 数可减少至9个，如材料为各向均质时，可用两个常数λ、μ来表达，λ、μ称为Lame 常数。 ij kk ij ij δλεμεσ+=2 当j i =，μ λσε23+= kk kk ，代入上式 ()kk ij ij ij σ μμλλσσε2232/+-= E 、ν、λ、μ之间的关系如下： ()ν213-= E K ， ()ν+= 12E G G K KG E += 39，()G K G K +-=3223ν 在工程计算中采用下列形式 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= E E E 332211 11σσ νσε 同样可写出22ε、33ε的表达式。 ()1212 1112τντγE G += = 同样可写出22γ、33γ的表达式。 如上述各式用张量表示可写成： ij kk ij ij E E δσν σνε-+= 1，()()ij kk ij ij E E δενννενσ2111-+-+= 用矩阵形式表达时，可写成
张量描述 用矩阵形式表达，可写成： 3、正交异性本构模型 矩阵描述 分块矩阵描述 1.3横观各向同性弹性体本构模型 其中[]D 表达式为 kl ijkl ij C εσ=
1、Cauchy 模型 Cauchy 模型建立的各向同性一一对应的应力应变关系为 () kl ij ij F εσ= 可展开为： +++=jk ik ij ij ij εεαεαδασ210 根据Caley-Hamilton 定理有： jk ik ij ij ij εεϕεϕδϕσ210++= 但Cauchy 模型在)2,1,0(=i i ϕ时，一般不能满足ij kk ij ij δλεμεσ+=2。因而，Cauchy 模型在不同加载途径下得到的应变能和余能表达式不是唯一的或者不存在，不能满足弹性体能量守恒定律，但在单调比例加载途径下还是适用的。 2、 Green 模型 Green 模型是应用应变能和余能原理建立的各向同性材料非弹性本构关系。 其中 3、 全量式应力应变关系采用s K 、s G 的模型 这种模型与线弹性均质材料的应力应变关系相似，但采用割线模量s K 、s G 代替K 、G 。 对于平面应力状态有： ()()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+-++= ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x s s s s s s s s s s s s s s s s s s xy y x G 3K 4G 4G 3K 0 0 0 1 G 3K 22G 3K 0 G 3K 22G 3K 1 4G 3K G 3K 4G γεετσσ 4、Kotsovos-Newman 全量式应力应变本构模型 Kotsovos-Newman 全量式应力应变本构模型基本特点是八面体正应力只产生八面体正应变，不产生八面体剪应变；八面体剪应力除了产生八面体剪应变外，还产生八面体正应变。
作业1：总结典型的混凝土本构模型类型，并就每种类型给出有代表性的几个模型 按照力学理论基础的不同，已有的本构模型大致分为以下几种类型：以弹性理论为基础的线弹性和非线性弹性本构模型；以经典塑性理论为基础的弹全塑性和弹塑性硬化本构模型；用内时理论描述的混凝土本构模型等。 1、 混凝土单轴受力应力—应变关系 1.1 混凝土单向受压应力—应变关系 1、 saenz 等人的表达式 saenz 等人（1964年）所提出的应力—应变关系为 023 0000 = 1(2)(21)()()S E E E ε σεεε αααεεε++---+ 图1 混凝土单轴 受压应力--应变关系 2、 Hognestad 的表达式 Hognestad 建议的模型，其应力—应变曲线的上升段为二次抛物线，下降段为斜直线，如图2所示，表达式为 2000 =[2 ()]εε σσεε- 0εε≤ 0 00 =[1-0.15( )]cu εεσσεε-- 0cu εεε≤≤
图2 Hognestand 建议的应力--应变关系 3、 GB50010—2002建议公式 我国《混凝土结构设计规范》所推荐的混凝土轴心受压应力—应变关系为0 1ε ε≤（上升段） 3000 [(32)(2)()]a a a εε σααασεε=+-+- 0 1ε ε>（下降段） 0 0200 /(-+c εεσσεεαεε= 1） 式中，a α表示应力—应变曲线的上升段参数；c α为下降段参数。 4、 CEB —FIP 建议公式 CEB —FIP 模式规范建议的单轴受压应力—应变关系为 2 0000(/)(/)1(2)(/) k k εεεεσσεε-=+- 式中，k 为系数，00(1.1)(/)C k E εσ=,C E 为混凝土纵向弹性模量。 2、混凝土非线性弹性本构模型 1、 混凝土非线性弹性全量型本构模型 当材料刚度矩阵[]D 用材料弹性模量E 和泊松比ν表达，则为全量E-ν型；如果材料的刚度矩阵[]D 用材料模量K 和剪变模量G 表达，则为全量K —G 型。 在全量本构模型中，关键是要合理确定材料参数E 和ν随应力状态变化的规律。 Ottosen 本构模型的建立过程可分为四个步骤：建立强度和开裂准则；定义非线性指标 β；建议采用的割线模量S E ;建议采用的泊松比s ν。
混凝土本构关系 混凝土本构关系是描述混凝土材料在受力作用下的变形和破坏规律的数学模型，它是混凝土力学研究的重要内容之一。混凝土本构关系的研究对于工程结构的设计和分析具有重要的指导意义。 混凝土是一种复杂的非线性材料，其本构关系可以用应力-应变曲线来描述。在混凝土受到外力作用时，会产生应变，而应变与应力之间存在一定的关系。在弹性阶段，混凝土的应力-应变关系可以近似为线性关系，即应力与应变成正比。然而，在超过弹性极限后，混凝土会出现非弹性变形，此时应力-应变关系变得复杂起来。 混凝土的本构关系可分为两个阶段：弹性阶段和非弹性阶段。在弹性阶段，混凝土的应力-应变关系遵循胡克定律，即应力与应变成线性关系。弹性模量是描述混凝土在弹性阶段的刚度的参数，可以通过试验获得。在非弹性阶段，混凝土的应力-应变关系变得复杂。此时，混凝土会出现塑性变形、损伤和破坏等现象。 混凝土的非弹性阶段可以分为两个阶段：塑性阶段和损伤破坏阶段。在塑性阶段，混凝土的应力-应变关系不再是线性的，而是呈现出曲线状。混凝土的塑性变形主要是由于混凝土内部的微裂缝的闭合和扩展所引起的。在损伤破坏阶段，混凝土的应力-应变关系更加复杂，混凝土会出现明显的损伤和破坏现象。混凝土的破坏模式可以分为拉伸破坏、压碎破坏和剪切破坏等。
混凝土的本构关系对于工程结构的设计和分析具有重要的意义。通过研究混凝土的本构关系，可以确定混凝土结构的受力性能和变形特性，为工程结构的设计提供可靠的依据。此外，混凝土的本构关系还可以用于分析混凝土结构在不同工况下的响应和变形情况，为工程结构的安全评估提供支持。 混凝土本构关系是描述混凝土材料在受力作用下的变形和破坏规律的数学模型。混凝土的本构关系可以分为弹性阶段和非弹性阶段，其中非弹性阶段又可以分为塑性阶段和损伤破坏阶段。混凝土的本构关系对于工程结构的设计和分析具有重要的指导意义，可以为工程结构的安全评估提供支持。
一、混凝土本构关系模型 1.混凝土单轴受压应力-应变关系 （1）Saenz 等人的表达式 Saenz 等人（1964年）所提出的应力-应变关系为： ])()()( /[30 200εεεεεεεσd c b a E +++= （2）Hognestad 的表达式 Hognestad 建议模型，其上升段为二次抛物线，下降段为斜直线。所提出的应力-应变关系为： cu cu εεεσσεεσσεεεεεεεε≤≤-=≤-=--000 02,)]( 15.01[,])(2[0 00 （3）我国《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）中的混凝土受压应力-应变曲线，其表达式为： 1,)1(1 ,)1(2>+-=≤+-= x x x x y x x n nx y c n α r c x ,εε= ，r c f y ,σ= ，r c r c c r c c f E E n ,,,-=εε c α是混凝土单轴受压时的应力应变曲线在下降段的参数值，r c f ,是混凝土单轴抗压的 强度代表值，r c ,ε是与单轴抗压强度r c f ,相对应的混凝土峰值压应变。 2.混凝土单轴受拉应力-应变关系 清华大学过镇海等根据实验结果得出混凝土轴心受拉应力-应变曲线： 1 ],)1(/[)/(1 ,])(2.0)(2.1[7 .16≥+-⨯=≤-=t t t t t t t t t t εεεεεεεεεεεεασεεσσσ 3.混凝土线弹性应力-应变关系 张量表达式，对于未开裂混凝土，其线弹性应力应变关系可用不同材料常数表达，其中用材料弹性模量E 和泊松比v 表达的应力应变关系为： ij kk E ij E ij ij kk E ij E ij δσσεδεεσν ν νννν-=+=+-++1)21)(1(1 用材料体积模量K 和剪变模量G 表达的应力应变关系为： ij K ij G ij ij kk ij ij kk s K Ge δεδεσσ9212+= += 4.混凝土非线弹性全量型本构模型 5.混凝土非线弹性增量型本构模型 各向同性增量本构模型： （1）在式