2.3.2 塑性本构模型
模型要以良好的本构材料性能为基础。Karabinis and Kiousis 成功模拟了不同箍筋布置的混凝土柱的性能。Rochette and Labossiere 最早进行了复合材料约束的尝试并利用关联性DP 破坏准则进行了增量计算。自此，众多学者通过本构模型对FRP 约束混凝土柱的性能进行了研究（Lan 等）。Deniaud and Neale 通过比较素混凝土和FRP 包裹的大尺寸钢筋混凝土柱的试验数据，对FRP 约束混凝土的非线性弹性模型和DP 弹塑性模型进行了评估。他们得出结论，弹塑性本构模型最适合于数值分析。在不同的塑性模型中，DP 塑性模型可以相当准确的模拟混凝土受压时的应力—应变性能（Aboussalah and Chen ）。一些研究者认为DP 模型在颗粒状材料中的适用性和材料参数的相对简单是其最主要的优势。在近十年里，研究者主要研究了FRP 约束混凝土的三个主要参数，即塑性膨胀率（塑性膨胀角），摩擦角和粘聚力。综述将按照文献中三大参数出现的顺序来展开。
2.3.2.1 塑性膨胀率（塑性膨胀角）
塑性膨胀率α描述的是在应变空间里塑性应变的发展情况。表达式如下
α=1p′d √J 2p′=−√3(dεc p +2dεl p )(dεc p −dεl p ) 式中，I 1p′、J 2p′分别是塑性应变张量第一不变量和塑性偏应变第二不变量。在均匀约束的情况下，塑性膨胀率决定了横向塑性应变εl p 与轴向塑性应变εc p 的比值。早期研究始于钢筋约束混凝土。Karabinis and Kiousis 建立的膨胀率模型为渐进线型，也就是说，将塑性应变作为独立变量的单调函数。他们也发现对于未约束混凝土或钢筋约束圆柱，在一定的合理的变形范围内，膨胀率可大致认为是常数。Oh 也从主动约束的经验模型中得到数据，并进而回归出膨胀率的单调函数。膨胀率进而从以下几个方面延伸至FRP 约束混凝土中。 渐近线模型
Karabinis and Kiousis （1996）提出了描述钢筋约束混凝土塑性膨胀率变化规律的渐进关系。模型之后也被Karabinis and Kiousis （2002）拓展用于FRP 约束混凝土。 α=α0−ε̂
1K α−ε̂αu −α0
ε̂=∫√dεp T dεp
式中，α0、αu 分别为α的初始值和极限值。K α为α的初始切线模量。变量ε̂为塑性应变轨迹。Karabinis and Kiousis （2002）根据FRP 的泊松比，从横向塑性应变与轴向塑性应变为-0.28中
得出α0为-0.6。αu取值为−√3。另外竖向的压力将会导致横向压应变，这在physically unacceptable. FRP外包层的材料特性并没有考虑在内。
恒定值
在早期的研究中，分析中采用关联性流动准则（Lan; Fang）。关联性流动准则高估了混凝土的膨胀，因此不适用于受压的混凝土（Mirmiran等、Oh、Chen and Lan ）。Mirmiran指出了这一问题并通过反复试验法从一件试块中计算出了数值。他们发现塑性膨胀率为0可以很好的预测围裹6层FRP的C29.6混凝土柱的应力—应变曲线。之后Shahawy也采用了塑性膨胀率为0。然而Mirmiran等（2000）指出塑性膨胀率为常数不能准确得描述FRP约束混凝土的膨胀反应和体积变化。Rousakis(2007) 也使用非零的常数值来模拟FRP约束混凝土方柱。如此一来，随性膨胀角与FRP的性能无关。Eid and Paultre（2007）首先提出膨胀角的函数在加载过程中为常数，但随着FRP刚度的增加而线性减小。Paultre等（2008）第一个绘制出了在加载过程中不断变化的塑性膨胀率图像。膨胀角突然增加之后进入一个稳定的值。他们建议将此稳定值作为塑性膨胀角的特征值。而此特征值与约束模量E l，（E l=2E frp t frp/D）和未约束混凝土的强度f c0有关。他们将FRP材料的性能和未约束混凝土的强度考虑在内，采用对数函数来描述塑性膨胀参数α。
α=(−80.481x2+6.64448x−1.0373)×ln(E l
1000000E f0
)−646.27x2+78.251x
−7.9847
式中，α≤1.5，x=f c0/100f cm0，f cm0=10MPa，E f0=10MPa
分析模型
Yu等（2010）指出塑性膨胀率除非反应了约束力的增长率（当由FRP提供约束力时则与FRP刚度有关），否则并不能准确得预测主动约束及被动约束混凝土的膨胀性能。Teng 等（2007）利用分析型应力—应变模型来解释膨胀角β(β=α/6)的特征曲线，并发现被动约束的膨胀角与FRP刚度有直接关系，辅助以有限元分析后，证明了恒定的膨胀角并不能准确预测FRP约束混凝土的塑性变形及应力—应变行为。文中认为膨胀角β与塑性应变ε̃p及FRP约束混凝土的约束模量有关，如下式所示：
β=β(2E frp t frp
D
,ε̃p)
文中根据横向应变—轴向应变函数，提出了可得到势函数参数变化的计算程序。在已有的膨胀率（膨胀角）模型中，并没有既考虑侧向约束效应又考虑加载历史的模型。图2.1总结了现有膨胀角模型曲线。然而这些模型并没有精确得捕捉到在FRP约束下混凝土膨胀的变化
（详见第5章）。虽然Yu 等（2010）系统得解释了塑性膨胀角应具有的主要特征，但并没有提出易于工程使用的明确模型。 2.3.2.2摩擦角
与岩石力学相比FRP 提供的约束很小，因此认为摩擦系数与静水压力无关。也就是说在应力空间中，后继屈服面是斜率相同的一组直线。在主动约束混凝土的研究中，认为摩擦角与约束力大小无关。在FRP 约束混凝土中，多数研究者认为摩擦角在加载过程中为材料常数（Mirmiaran 等2000；Shahawy 等2000；Karabinis 和Rousakis2002；Montoya 等2004；Eid 等2007；Eid 和Paultre2007；Rousakis 等2007、2008；Karabinis 等2008；Koksal 等2009；Yu 等2010）。从莫尔—库伦准则的内摩擦角或约束效率系数k e 可推导出摩擦角的准确值。 下式即为总的DP 准则方程，可更好得解释摩擦角。
√J 2+θI 1−κ=0
J 2为第二偏应力不变量，I 1为第一应力不变量，θ为摩擦角。
内部摩擦角
如果假定DP 屈服圆锥面限定住了摩尔—库伦理论中的六棱锥，则当DP 屈服准则中的θ与内部摩擦角∅满足下列关系时会屈服。
θ=
2sin ∅√3(3−sin ∅) 之前的研究（Vermeer 和deBorst1984,Goodman1989）在研究承载力极限状态的内部摩擦角时，采用30°到45°之间不同的值。很多研究（Mirmiaran 等2000；Shahawy 等2000；Karabinis 和Rousakis2002；Rousakis 等2007）中采用了经验常数。Dahl （1992）以及Mahboubi 和Ajorloo （2005）在试验中发现内部摩擦角随着混凝土强度的增加而会有少量下降。Li 等（2003）认为混凝土圆柱在单轴受压试验中的破坏模式是剪切破坏，并且破坏角与混凝土强Rousakis 等(2008)
随约束模量的增长而变化
塑性膨胀率
塑性应变
Rousakis 等(2008)
Karabinis 和Rousakis(2002)
度有关。简单起见，∅用未约束混凝土的强度f c0的线性函数来表示，后来Rousakis等2008才借用了这个表达式：
∅=36°+1°f c0
35
≤45°
Nielsen（1984）认为摩擦角随着约束力的增加而减小。Eid等2007根据极限状态时的试验结果简化了表达式：
∅=50°−90°f lu
f c0
≥32°
式中f lu为最大横向约束力。在FRP约束混凝土和钢筋约束混凝土柱（Eid等2007，Eid和Paultre2007）的本构模型中，他们都采用了这个表达式。
约束效率系数k
约束混凝土的传统强度模型如下式
f cc=f c0+k e f l
式中f l为侧向约束力；f c0、f cc分别为未约束混凝土和约束混凝土的强度；k即为约束效率系数。将上式与DP塑性屈服准则（√J2+θI1−κ=0）联系起来，则可以得到摩擦角的表达式如下：
θ=
k−1√3(k e+2)
Richart等（1927）通过钢筋约束混凝土柱的试验结果最先提出k取值为4.1。后来研究（Miyauchi等1997，Lam和Teng2003，Teng等2007）表明取值4.1高估了FRP约束混凝土的性能。Yu等（2010）通过对Teng等（2007）的FRP约束混凝土圆柱的试验结果回归出了k的取值，并由此求出了摩擦角。
摩尔—库伦理论是内部摩擦角的基础，一般用来描述脆性材料的性能。当材料的脆性减小时，内部摩擦角也会减小。最近的研究（Sammaan等1998，Saffi等1999，Toutanji1999，Xiao和Wu2000）表明k并不是常数，而是随FRP约束混凝土约束率的变化而变化。Vermeer 和de Borst（1984）指出当摩擦角为常数时，粘聚力强化/软化准则并不能准确描述混凝土的性能。因为这样就会导致混凝土偏应力（轴向应力与横向约束力的差别）的初始屈服点随着恒定侧向约束的增长而增长，这与混凝土的力学性能不符。也就是说摩擦角的变化还有待确定。
2.3.2.3粘聚力
在采用DP模型建立的混凝土本构模型中，粘聚力κ决定了后继屈服面的发展。κ为静水压力为0时的偏应力，实际上即为粘性剪切强度。根据DP模型和MC（摩尔—库伦）模型等价的屈服准则，粘聚力与MC准则中的内摩擦角∅及粘聚力c有关。
κ=
6c cos∅√3(3−sin∅)
Mirmiaran等（2000）、Shahawy等（2000）、Eid等（2007），Eid和Paultre（2007）采用了理想弹塑性的假设，即粘聚力取为常数，由主动约束下混凝土的破坏面计算而来。因此FRP约束混凝土在每个横向约束力时的应力与相同约束力下的主动约束力的峰值应力相同。当粘聚力取为常数时，DP模型的精度很大程度上取决于FRP的刚度及对于膨胀的准确预测
（Yu等（2010））。另外，这种方法并不能应用到应变软化的情况上。其他的研究者认为粘聚力是塑性应变或者约束水平的函数。
未约束混凝土的应力—应变模型
Karabinis等（2008）将未约束混凝土的轴向应力—轴向塑性应变关系引入到粘聚力方程中，ABAQUS等商业软件也是采用类似方法。将屈服准则运用在一维应力状态的情况中，将未约束混凝土的轴向应力σc与摩擦角组合在一起得到粘聚力。
κ=(√3
3
−θ)σc
因此，粘聚力是应力无关的。在不同应力路径下的典型曲线是完全相同的。Karabinis和Kiousis的模型（1994）
Karabinis和Rousakis（2002）及Rousakis等（2007、2008）将Karabinis和Kiousis的模型（1994）延伸至FRP约束混凝土的有限元分析中。模型最初是运用在钢筋约束柱中。模型将塑性变形（以ε̂为特征值）和约束力σl考虑到粘聚力中，建立了六参数模型：
κ=(√3
3
−θ)(f
y
′+ε
̂
1
E p+
ε̂
f
u
′−f
y
′
−R(σl)∙K∙ε̂)
R(σl)=eγσl
式中，E p为粘聚力曲线的初始割线模量；f y′为初始屈服应力；f u′为极限强度或者残余强度。R和K反映了由约束水平σl决定的粘聚力的渐进速率。由于应力相关性，参数R可反映出约束效应对混凝土的渐进的损伤过程。内置的材料参数γ控制了损伤的速率。通过模型可知损伤在初始塑性变形阶段发展很快，之后速率随着进一步积累的塑性应变而减小。应力相关性导致粘聚力的硬化或者软化。然而模型在模拟一组横向约束水平下的混凝土圆柱时高估了混凝土强度。约束有效率高达6.89，特征曲线如图2.2所示。
常用土体本构模型及其特点小结 山中一草线弹性模型 线弹性模型遵从虎克定律，只有2个参数，即弹性模量E和泊松比V,它是最简单的应力-应变关系，但无法描述土的很多特征，主要应用于早期的有限元分析及解析方法中，可用来近似模拟较硬的材料如岩土。 Duncan-Chang（ DC 模型 DC模型是一种非线性弹性模型，它用双曲线来模拟土的三轴排水试验的应力-应变关系（图1）。它侧重于刻画土体应力-应变曲线非线性的简单特征，通过弹性参数的调整来近似地考虑土体的塑性变形。但所用的理论仍然是弹性理论而没有涉及到任何塑性理论，故仍不能反映如应力路径对变形的影响、土体的剪胀特性和球应力对剪应变的影响等土体的很多重要性质。由于DC模型是在二为常 数的常规三轴试验基础上提出的，比较适用于围压不变或变化不大、轴压增大的情况，如模拟土石坝和路堤的填筑。 图】IK模型关于三轴试验的应力-应变关系Fig.l Duncan-Chang approxiniathm of the siress-strain rd nt kinship Ln ft standard drained triAxt*! te&l Mohr-Coulomb （MC）模型 MC模型是一种弹-理想塑性模型，它综合了胡克定律和Coulomb破坏准则。有5个参数，即控制弹性行为的2个参数：弹性模量E和泊松比v及控制塑性行为的3个参数：有效黏聚力c、有效内摩擦角和剪胀角。MC模型采用了弹塑性理论，能较好地描述土体的破坏行为但却认为土体在达到抗剪强度之前的应力-应变关系符合胡克定律，因而并不能较好地描述土体在破坏之前的变形行为，且不能考虑应力历史的影响及区分加荷和卸荷。故MC模型能较好地模拟土体的强度问题，MC模型的六凌锥形屈服面（图2）与土样真三轴试验的应力组合形成的屈服面吻合得较好，因此MC模型适合于低坝、边坡等稳定性问题的分析。
运筹学模型的类型 运筹学模型是指通过数学方法来描述和解决复杂问题的一种工具。根 据问题的性质和要求，运筹学模型可以分为以下几种类型： 1. 线性规划模型（Linear Programming Model，简称LP）：线性规划是一种优化问题，它的目标是在满足一些约束条件下，使某个线性 函数取得最大或最小值。线性规划模型广泛应用于生产调度、资源分配、物流运输等领域。 2. 整数规划模型（Integer Programming Model，简称IP）：整数 规划是线性规划的扩展，它要求决策变量只能取整数值。整数规划模 型常用于生产调度、排产计划、网络设计等问题。 3. 非线性规划模型（Nonlinear Programming Model，简称NLP）：非线性规划是一种优化问题，它的目标函数和约束条件都可以是非线 性的。非线性规划模型广泛应用于经济学、金融学、工程学等领域。 4. 动态规划模型（Dynamic Programming Model，简称DP）：动 态规划是一种优化方法，它将一个复杂问题分解为若干个子问题，并 逐步求解这些子问题。动态规划模型常用于生产调度、资源分配、投 资决策等问题。
5. 排队论模型（Queuing Theory Model，简称QT）：排队论是一种研究等待线性的数学理论，它可以用来描述和分析顾客到达、服务时间、系统容量等因素对系统性能的影响。排队论模型广泛应用于交通运输、通信网络、医疗卫生等领域。 6. 决策树模型（Decision Tree Model，简称DT）：决策树是一种分类和回归的方法，它可以将一个问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。决策树模型常用于金融风险评估、医学诊断、市场营销等领域。 总之，不同类型的运筹学模型适用于不同的问题领域和求解目标，选择合适的模型可以帮助我们更好地解决实际问题。
岩土本构模型原理及应用简述 摘要：简述了岩土本构模型中弹性本构模型、弹塑性本构模型及粘弹塑性模型的建立、应用范围和局限性。认为当前的岩土本构模型，简单便于计算的模型不能反映岩土真实的力学性状，而精细复杂的模型参数难以确定，难以推广应用。直至现阶段还没有一种能适应任何条件的普遍本构模型，目前岩土本构模型研究有必要向这方面发展。 关键词：岩土弹性本构模型弹塑性本构模型粘弹塑本构模型 在实际工程中岩土体常常有很复杂的应力-应变特性，如非线性、弹性、塑性、粘性以及剪胀性、应变硬化（软化）、各向异性等，同时受到应力路径、应力历史以及岩土的状态、组成、结构和温度不同程度的影响。因此为了反映岩土真实的力学性状，必须建立较为复杂的本构模型。而实际工程应用中，在满足一定的精度条件下，又要求简单实用。虽然至今的岩土本构模型达数百种，但大体上分为下述几类：弹性模型、弹塑性模型、粘弹塑性模型等。 1 弹性本构模型 弹性模型是建立在弹性理论基础上的本构模型。最简单的是线弹性模型，即广义胡克定律。非线性弹性模型一般可分为三类：Cauchy弹性模型、超弹模型和次弹性模型。非线性弹性模型是线弹性模型的推广，按照拟合应力-应变曲线的形状分为：折线型、双曲线型、对数曲线型等。按照采用的弹性系数又可分为E-μ（弹性模量-泊松比）非线性弹性模型，K-G（体积变形模量-切变模量）非线性弹性模型，以及用其他形式表示的弹性模型。 1.1 线弹性本构模型 弹性是一种理想的固体特性。实际土体在外载荷作用下，只有在应变很小时才发生弹性变形。模拟土体应力应变性质的最古老、最简单的方法是采用线弹性模型，即假设土体应力一应变之间存在一一对应的线形关系：σij=F（εij），反映在土体应力一应变关系矩阵式{σ}=[D]{ε}中，弹性模量矩阵[D]是常量。 由于土体弹性性质的方向性决定了各线弹性模型独立弹性常数个数。对一般的均质连续各向异性弹性体，有21个独立弹性常数，正交各向异性线弹性模型具有9个独立弹性常数，横观各向同性线弹性模型具有5个独立弹性常数，最简单的各向同性线弹性模型（虎克定律）具有2个独立弹性常数。 由于实际土体几乎不存在线弹性特性，严格讲，线弹性模型不适合于土体的变形分析，应用范围小。从土体本构模型的发展来看，在土体非线性本构模型还不够完善的时期，线弹性模型对分析和解决岩土工程问题起过一定作用。同时，正因为线弹性模型是最简单的土体本构模型，它也是建立其它土体本构模型的基础。
基础问题 ?If如果互斥或者对立就不要两个if并列，而用Else连接， 避免当前一个if处理后对后一个if的判断造成影响 ?注意快排的mid是数值而不是下标【经常犯错】 ●Map:.clear();.insert(pair
◆先说顺序DP， ●一维、线性DP的特点就是某个状态由下标在之前状态的得出，主要枚举前面的下 标。EG:f[i]=eto(f[i-j]+Q); 必要时利用单调队列对最值DP进行时间优化。 ●二维、线性DP的特点就是某个状态可能由f[i-1][j-1]、f[i-1][j]、f[i][j-1] 得到，要注意，考虑时一般有抽屉原理的运用，必要时要加多一维的[k]，用于判 断状态的层次。当然，在必要时还是要引入k，即考虑类似f[i][j-k]的状态。对 于某些状态的加减叠加判重，应该对于各种状态转移进行一个逆运算，看看前面 的状态有没有可能出现与此时加减或予以处理的状态重叠 ●而其次，要确定线性拓扑序，方法：首先设有两个状态，而现在需要一个映射， 假定其处于同一个决策，求一个序列保证不存在说后面的元素存在可能向前求解， 即除了这关键次序外，别的次序不影响决策。所以这两个状态必然符合某个次序， 如果是基数次序[eg:大小]，则可以分别将两个假设条件分别写出来，》《==之类的 表示出来，然后观察两个不等式，两式处理后和在一起加减乘除，找出关键次序。 至于逻辑顺序也可以以类似基数次序这样设两个状态然后…… ◆其次为分段DP ◆分段DP有多种实现方法，记忆化搜索，小规模到大规模，EG方程为： f[i][j]=f[i][k]+-*/f[k][j].对于这种类型的DP一定要做好初始化，就是最小规模的处理。 ◆树状DP：主要手段通过多叉转二叉【左儿子右兄弟】，这样就可以方便的动态规划， 只需考虑最优状态是来自儿子还是兄弟。由叶节点或根节点开始，定向check，通常 用f[I,j]来表示以I为根节点当时，某个状态j的最优值。必要时运用背包思想，例如opt{f[l[i],k],f[r[i],j-k]}，对于无环的无向图，应该利用vis[]数组来记录那些节点已经访问，其次，一般对于最优或者说最终结果，应该check一下测试多个根 节点。 ◆特殊的：讲一下位压DP，凡是见到跟组合集合有关的，都可以考虑用位压DP来【eg： 例如：见到两种东西组合配对，就可以用dp[i][j],i是前i个A东西，j是一个二进制数，表示使用哪几种i个B东西与之对应】 ◆各种优化： ●斜率优化：如果一条DP方程可以看成f(x)=kx+b,【其中k,b是定值，之前已经求 出，只需要维护上（max）\下（min）凸壳，然后看x的位置】 ?eg:f[i]=max(f[j]+x[j]*(y[i]-y[j])) ●单调队列 ◆递推：整数拆分f[n,k]=f[n-k,k]+f[n,k-1](f[n,k]表示整数n被拆分成最大项不超 过k的方案数)-->DP常常要通过0和1的考虑，好像这里，就只要考虑小于和等于。 ◆关于矩阵DP:有时需要对矩阵进行旋转45度，并且进行行列标色，黑白分别处理，对 问题的处理比较有利 ◆关于状态：只需要关心对后面状态有影响【或者说，会改变的部分】的部分，同时状 态的表示经常有包含关系，可以尽量减少数组维数。其次要明确DP的元素有那几个需要表示（拔河问题，【发掘题目要素】），哪些无关（队伍、放车问题） ●其次还要关注状态表示中的隐藏含义，例如NOIP2011模拟第四题dp[i][i]即表示 由第一次转移 贪心 ◆首先是做贪心主要问题是找反例，然后弥补，主要有多种手法，排序[在相关数列处理
关于弹塑性DP模型参数设置的一点体会 ANSYS中能用于岩土材料的模型只有DP模型。DP模型是理想弹塑性模型，理想弹塑性即应力（复杂应力情况下应该是等效应力吧）达到屈服极限以后，应力不再增大，但是应变会一直增长。 ANSYS中设定DP模型需要输入3个参数，粘聚力c，内摩擦角fai，膨胀角faif，其中的膨胀角faif 是用来控制体积膨胀的大小的。在岩土工程中，一般密实的砂土和超强固结土在发生剪切的时候会出现体积膨胀，因为颗粒重新排列了；而一般的砂土或者正常固结的土体，只会发生剪缩。所以在使用DP模型的时候，对于一般的土，膨胀角faif 设置为0度是比较符合实际的。 对于另外的两个参数粘聚力c，内摩擦角fai，DP模型中指定了如下的关系 （为简化，内摩擦角fai记为x，即sin（fai）=sinx） 屈服方程：西格玛（应力符号）=6ccosx/[3^0.5*(3-sinx)] ,其中的3^0.5表示3的平方根运算，*号为乘号 假定cosx不等于零，将屈服方程的分子分母同时除以cosx，得到下面的式子 西格玛（应力符号）=12^0.5c/(3/cosx- tanx) 假定西格玛达到最大值，对其进行求导运算，由于西格玛数值曲线的斜率为零，可以得知，在x取为19.47度的时候，可以有最大的屈服极限（屈服应力）。 根据屈服方程再进一步计算有下面的关系（假定c=20kpa，内摩擦角fai（x）不断变化，膨胀角faif） 角度/ 屈服应力 0 /23.094 10 / 24.14 19.47 / 24.495 最大值 20 /24.494 30 /24 40 /22.515 50 /19.935 60 /16.233 70 / 11.501 80 /5.970 90 / 0 由上面的数值可以看出，在粘聚力一定的情况下，在0度~30度的范围以内，屈服应力其实变化不大。在这种情况下，粘聚力的影响相对来说要大很多。 所以对于采用DP模型来进行弹塑性计算的朋友来说，当内摩擦角在这一定的范围以内时，如果屈服极限很小，要调整参数来增大屈服极限（或者是延迟塑性出现），调整内摩擦角作用不大，即使从10度调整到30度，其变化很小，所以基本没什么作用。但是如果调整粘聚力c值的话，效果就很可观了。 由于本人进行弹塑性计算的时候，经常发现塑性出现过早，塑性区过大，或者是屈服极限比较低（都容易出现变形过大，计算不收敛的问题），所以发此贴。但这只是计算的一点技巧而已，真正的计算中还是要采用实际的参数，符合实际才行。
经 济 数 学 模 型 论 文 谢杜杜 06信管（1）班 2006429020149
我们知道：数学与经济学息息相关，可以说每一项经济学的研究、决策，都离不开数学的应用。特别是自从诺贝尔经济学奖创设以来，利用数学工具来分析经济问题得到的理论成果层出不穷，经济学中使用数学方法的趋势越来越明显。当代西方经济学认为，经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系，建立经济模型，从中引申出经济原则和理论，进行预测、决策和监控。在经济领域，数学的运用首要的问题是实用性和实践性问题，即能否用所建立的模型去概括某一经济现象或说明某一经济问题。因而，数学模型分析已成为现代经济学研究的基本趋向，经济数学模型在研究许多特定的经济问题时具有重要的不可替代的作用，在经济学日益计量化、定量分析的今天，数学模型方法显得愈来愈重要。 一、经济数学模型的基本内涵 数学模型是数学思想精华的具体体现，是对客观实际对象的数学表述，它是在一定的合理假设前提下，对实际问题进行抽象和简化，基于数学理论和方法，用数学符号、数学命题、图形、图表等来刻画客观事物的本质属性及其内在联系。当数学模型与经济问题有机地结合在一起时，经济数学模型也就产生了。所谓经济数学模型，就是把实际经济现象内部各因素之间的关系以及人们的实践经验，归结成一套反映数量关系的数学公式和一系列的具体算法，用来描述经济对象的运行规律。所以，经济数学模型是对客观经济数量关系的简化反映，是经济现象和经济过程中客观存在的量的依从关系的数学描述，是经济分析中科学抽象和高度综合的一种重要形式。 经济数学模型是研究分析经济数量关系的重要工具，它是经济理论和经济现实的中间环节。它在经济理论的指导下对经济现实进行简化，但在主要的本质方面又近似地反映了经济现实，所以是经济现实的抽象。经济数学模型能起明确思路、加工信息、验证理论、计算求解、分析和解决经济问题的作用，特别是对量大面广、相互联系、错综复杂的数量关系进行分析研究，更离不开经济数学模型的帮助。运用经济数学建模来分析经济问题，预测经济走向，提出经济对策已是大势所趋。 在经济数学模型中，用到的数学非常广泛，有些还相当精深。其中包括线性规划、几何规划、非线性规划、不动点定理、变分发、控制理论、动态规划、凸集理论、概率论、数理统计、随机过程、矩阵论、微分方程、对策论、多值函数、机智测度等等，它们应用于经济学的许多部门，特别是数理经济学和计量经济学。 二、建立经济数学模型的基本步骤 1、模型准备。首先要深入了解实际经济问题以及与问题有关的背景知识，对现实经济现象及原始背景进行细致观察和周密调查，以获取大量的数据资料，并对数据进行加工分析、分组整理。 2、模型假设。通过假设把实际经济问题简化，明确模型中诸多的影响因素，并从中抽象最本质的东西。即抓住主要因素，忽略次要因素，从而得到原始问题的一个简化了的理想化的自然模型。 3、模型建立。在假设的基础上，根据已经掌握的经济信息，利用适当的数学工具来刻画变量之间的数学关系，把理想化的自然模型表述成为一个数学研究的题材——经济数学模型。 4、模型求解。使用已知的数学知识和观测数据，利用相关数学原理和方法，求出所建模型中各参数的估计值。 5、模型分析。求出模型的解后，对解的意义进行分析、讨论，即这个解说明了什么问题？是否达到了建模的目的？根据实际经济问题的原始背景，用理想
2.3.2 塑性本构模型 模型要以良好的本构材料性能为基础。Karabinis and Kiousis 成功模拟了不同箍筋布置的混凝土柱的性能。Rochette and Labossiere 最早进行了复合材料约束的尝试并利用关联性DP 破坏准则进行了增量计算。自此，众多学者通过本构模型对FRP 约束混凝土柱的性能进行了研究（Lan 等）。Deniaud and Neale 通过比较素混凝土和FRP 包裹的大尺寸钢筋混凝土柱的试验数据，对FRP 约束混凝土的非线性弹性模型和DP 弹塑性模型进行了评估。他们得出结论，弹塑性本构模型最适合于数值分析。在不同的塑性模型中，DP 塑性模型可以相当准确的模拟混凝土受压时的应力—应变性能（Aboussalah and Chen ）。一些研究者认为DP 模型在颗粒状材料中的适用性和材料参数的相对简单是其最主要的优势。在近十年里，研究者主要研究了FRP 约束混凝土的三个主要参数，即塑性膨胀率（塑性膨胀角），摩擦角和粘聚力。综述将按照文献中三大参数出现的顺序来展开。 2.3.2.1 塑性膨胀率（塑性膨胀角） 塑性膨胀率α描述的是在应变空间里塑性应变的发展情况。表达式如下 α=1p′d √J 2p′=−√3(dεc p +2dεl p )(dεc p −dεl p ) 式中，I 1p′、J 2p′分别是塑性应变张量第一不变量和塑性偏应变第二不变量。在均匀约束的情况下，塑性膨胀率决定了横向塑性应变εl p 与轴向塑性应变εc p 的比值。早期研究始于钢筋约束混凝土。Karabinis and Kiousis 建立的膨胀率模型为渐进线型，也就是说，将塑性应变作为独立变量的单调函数。他们也发现对于未约束混凝土或钢筋约束圆柱，在一定的合理的变形范围内，膨胀率可大致认为是常数。Oh 也从主动约束的经验模型中得到数据，并进而回归出膨胀率的单调函数。膨胀率进而从以下几个方面延伸至FRP 约束混凝土中。 渐近线模型 Karabinis and Kiousis （1996）提出了描述钢筋约束混凝土塑性膨胀率变化规律的渐进关系。模型之后也被Karabinis and Kiousis （2002）拓展用于FRP 约束混凝土。 α=α0−ε̂ 1K α−ε̂αu −α0 ε̂=∫√dεp T dεp 式中，α0、αu 分别为α的初始值和极限值。K α为α的初始切线模量。变量ε̂为塑性应变轨迹。Karabinis and Kiousis （2002）根据FRP 的泊松比，从横向塑性应变与轴向塑性应变为-0.28中
牛顿流体的本构方程 牛顿流体是一种介质，它由流动态变化的相组成。这一性质使它有可能以多种形式存在，如气体、液体、固体等。牛顿流体的物理性质取决于温度、压力和其他外部因素的变化。为了研究牛顿流体的性质，物理学家卡尔牛顿（Carl Newton）提出了一种有关牛顿流体的本构方程，称为“牛顿本构方程”。在这篇文章中，我将介绍牛顿本构方程，它的性质和应用。 二、牛顿本构方程 牛顿本构方程是一种定义牛顿流体的方程。它描述了牛顿流体的流变特性如何受到温度、压力和其他影响因素的影响。这种方程有两个版本：一种是简单的牛顿本构方程，另一种是经典的牛顿本构方程。 (1)单的牛顿本构方程：它是牛顿在1738年提出的，用于研究介质流动时线性模型的本构方程，它是一个简单的可积分方程，如下： dv/dt=(η/ρ)dP/dx 其中v表示流体速度，P表示压力，ρ表示密度，η表示粘度，t表示时间，x表示位置。 (2)典的牛顿本构方程：它是由狄拉克在1845年提出的，用于研究介质流动时的非线性模型的本构方程，它有如下形式： du/dt=(η/ρ)2u +P 其中u表示流体速度，P表示压力，ρ表示密度，η表示粘度，t表示时间，2表示二阶偏导数。 三、性质
(1)度、压力、流体密度和粘度等因素会影响牛顿流体的流变特性，牛顿本构方程可以描述这种影响。 (2)顿本构方程可以用于描述牛顿流体的流动过程，如气体和液体的传输过程。 (3)顿本构方程的解可以用于求解牛顿流体的流动特性，如流速、流量和压力等物理量。 四、应用 (1)顿本构方程可以用于描述流体流动过程，因此在流体力学中有着广泛的应用。 (2)顿本构方程也可以用于描述气体传输过程，如空气动力学、宇宙物理和气象科学等领域的研究。 (3)顿本构方程还可以用于描述液体传输过程，如地质学、海洋学等领域的研究。 (4)顿本构方程还可以用于结构力学研究，如分析材料的拉伸和压缩特性。 五、结论 牛顿本构方程是由物理学家卡尔牛顿提出用来研究牛顿流体物 理性质的方程。这一方程可以用来描述牛顿流体的流变特性是如何受温度、压力和其他影响因素的影响的。它是流体力学和空气动力学、宇宙物理学和气象学研究中不可或缺的一环，也是结构力学研究的重要手段。
高中物理动量十个模型 物理学中的动量（Momentum）是指物体的运动具有的受力的力量，它的定义可以追溯到古希腊及其后的哲学家，而今日科学家们则将其普遍地应用于科学当中，并且发展出了以下十种模型，来帮助我们更好地理解动量。 1、绝对动量：绝对动量是物体移动前后动量的变化，它表示物体的大小和运动方向。绝对动量可以用公式m = m0 + Ft来表示，其中m0表示物体的质量，Ft表示物体受到的力的大小和持续时间。 2、相对动量：相对动量是物体运动的变化，它表示物体的大小和方向的相对性。相对动量可以用公式p = mv来表示，其中m表示物体的质量，v表示物体的速度。 3、动角动量：动角动量是物体运动时物体能量的变化，它表示物体运动时物体能量的大小和方向。动角动量可以用公式L = r mv 来表示，其中r表示物体的距离，m表示物体的质量，v表示物体的速度。 4、动量守恒：动量守恒是一个物理定律，它表示物体在它们的相互作用中保持不变的总动量。动量守恒可以用公式p1 + p2 = p3来表示，其中p1表示第一个物体的动量，p2表示第二个物体的动量，p3表示两个物体共同受到的力的大小。 5、动量定理：动量定理是一个数学定理，它表示一个物体的运动路线只能向一个方向发展，假定物体的力是均匀的，且没有受到
外来的力的影响。动量定理可以用公式F = mv/t来表示，其中m表示物体的质量，v表示物体的速度，t表示物体运动的时间。 6、惯性动量：惯性动量是物体随着时间改变运动方向和大小的动量变化，它与动角动量的区别在于它不仅考虑物体的大小和方向，还考虑物体的总惯性。惯性动量可以用公式I = mv2/2来表示，其中m表示物体的质量，v表示物体的速度。 7、有限动量：有限动量是物体受到其他力作用后产生的瞬时动量，它表示物体瞬时运动的大小和方向。有限动量可以用公式F = dp/dt来表示，其中dp表示物体在一段时间内受到的力的大小，dt 表示物体受力的持续时间。 8、有限动量守恒：有限动量守恒是一种物理定律，它表示物体在一段时间内的动量的总和不变，也就是说，物体受到的力的大小和持续时间不变，物体的动量也不会发生变化。有限动量守恒可以用公式F = dp/dt = constant来表示，其中dp表示物体在一段时间内受到的力的大小，dt表示物体受力的持续时间。 9、做功动量：做功动量是物体受力作用发生变形时产生的动量，它表示物体受力发生变形的量的大小和方向。做功动量可以用公式W = F d来表示，其中F表示物体受力的大小，d表示物体受力发生变形的量。 10、反作用动量：反作用动量是物体产生反作用力的动量，它表示物体反作用力的大小和方向。反作用动量可以用公式R = F dt 来表示，其中F表示物体受力的大小，dt表示物体受力的持续时
循环荷载三面本构模型及与实验结果比较 张静;王哲 【摘要】为探求形式简洁,参数较少,便于工程应用的循环本构模型,本文基于边界 面模型和多面模型理论,建立了一个可描述金属材料三轴循环加载力学行为的三面本构模型.把塑性应变分解成塑性应变1和塑性应变2,塑性应变1对应于一套屈服面-边界面模型,塑性应变2对应于一套单屈服面模型.提出了当前应力点与边界面 上对偶点之间距离的演变公式,基于一致性条件得出边界面模型中塑性模量的计算与运动硬化准则的联系.采用塑性应变作为硬化参数,应用关联流动法则计算塑性应变.相比于经典的边界面模型,本文模型形式简明;相比于前人修正随动硬化准则模型,本文模型需要的材料参数较少.结合金属稳定材料U71Mn的单轴循环实验结果,对其4种力学行为进行模拟,分析了非对称应力循环下平均应力和应力幅值对稳定材料棘轮效应的影响,以及对称应变循环下材料的最大应变幅值记忆效应.研究结果表明,本文模型的模拟结果与前人文献的实验结果一致性较好,可为研究材料的本构行为提供一条新的途径.%Based on the theories of bounding surface and multiple surface, a three-surface cyclic constitutive model, which is applicable for engineering because of the simple form and less parameters, was established to describe metal material behavior under the triaxial cyclic loadings.The plastic strain was decomposed into plastic strain 1 corresponding to a bounding surface model and plastic strain 2 corresponding to a single yield surface model.An evolution formula of the distance between the current stress and the image stress on the bounding surface was developed, which makes the plastic modulus calculation be coupled with the kinematic hardening rule through the consistency
--- dpmodeler 操作手册 1. 介绍 dpmodeler 是一款功能强大的数据建模工具，它能够帮助用户进行高效的数据分析和建模工作。本文将为您全面介绍 dpmodeler 的操作 方法和应用技巧，以帮助您更好地利用这一工具进行数据建模。 2. 安装与配置 在开始正式使用 dpmodeler 之前，首先需要进行安装和配置。您可 以从官方全球信息湾上下载 dpmodeler 的安装程序，并按照指导逐 步进行安装。安装完成后，您可能需要根据自己的需求进行一些配置，比如选择默认语言、设置工作目录等。 3. 数据导入与处理 dpmodeler 支持多种数据源的导入，包括文本文件、数据库、Excel 等。在导入数据后，可以使用 dpmodeler 提供的丰富功能进行数据 处理，如数据清洗、变量转换、缺失值处理等。通过这些功能，可以 使原始数据更适合进行建模分析。 4. 模型建立与评估 dpmodeler 提供了各种建模算法，包括回归分析、决策树、支持向量
机等。用户可以根据自己的需求选择合适的算法，并进行模型的建立 和评估。在建立模型后，还可以使用 dpmodeler 提供的评估工具对 模型进行评估，并进行模型的优化和改进。 5. 模型部署与应用 在模型建立和评估完成后，用户可以使用 dpmodeler 进行模型部署 和应用。dpmodeler 提供了多种部署方式，如导出模型、生成代码等。通过这些功能，用户可以将建立好的模型应用到实际的数据中，进行 预测和分析。 总结与展望 通过本文的介绍，您对 dpmodeler 的操作方法和应用技巧应该有了 更深入的了解。使用 dpmodeler 进行数据建模可以帮助您更高效地 进行数据分析和模型建立，提高工作效率。希望本文能够对您有所帮助，也欢迎您共享自己的观点和理解。 个人观点与理解 作为一款数据建模工具，dpmodeler 的功能丰富、操作简便，非常适合数据分析和建模工作。通过使用 dpmodeler，我能够更轻松地进行数据导入、处理、建模和部署，极大地提高了我的工作效率和建模质量。希望未来 dpmodeler 能够继续完善自身功能，为用户提供更好 的数据建模体验。
六、最优控制模型：（动态优化模型， DP ――Dynamical programming ） Ⅰ. 最速升降问题（或登月飞船软着陆问题） 问题：① 设有一个物体M （例如：直升飞机、升降机、 电梯）作垂直升降运动（设物体M 的质量为m ）； ② M 内部装有一个控制器，产生一个控制作用力 )t (u （时间的函数），用以控制M 的上下运动，由 于作用力)t (u 大小有限，故满足一个约束不等式： x const k k )t (u =≤ 问题：是要寻找一个合适的作用力)t (u 的变化规律，使得S M =最快的速度达到地点，而且： 已知elevation 的初始状态在0t t =时，M 离开地面的高度为M ,)t (x 0的垂直运动速 度为)t (x 0 。 解：物体M 应满足的运动规律（即与时间变量t 有关的动态过程），因此，为描述物体运动 的状态，令： )t (x )t (x 1=：为物体M 离开地面的高度（t 时刻） dt ) t (dx )t (x 12= ：为物体M 在t 时刻的速度 于是物体在t 时的运动状态可描述成为： 状态方程： f )t (u m f (t)a a m f g )t (u dt )t (dx )t (x dt ) t (dx 221⎪⎪⎩ ⎪ ⎪⎨ ⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴⋅=-==为控制函数）（ 同时应满足初始状态： ⎩⎨⎧==初始速度 初始高度 0x )t (x 0x )t (x 20 2101 路径条件(终值状态)： ⎩⎨ ⎧==终端速度 终端高度 0)t (x 0)t (x f 2f 1 控制约束： const)(k k )t (u =≤ 目标函数：寻找一个U )t (u ∈(闭的函数类)，使你所用的总时间0f t t -最短，即使 ()0f t t t t dt )t (u J J f 0 -===⎰ 取最小值 本文由无忧数模网QQ1105758397提供
双相钢车身板DP780的温热成形本构模型 冷杨松;李迪;曹凡;李耀民;韩蒙;殷凤仕 【摘要】为了研究双相钢车身板DP780的温热成形力学行为并对温热成形过程进行数值模拟,基于温热拉伸实验,分别获取温度为293、573、673、773、873 K,应变率为6.67×10-4、3.33×10-3、6.67×10-3 s-1条件下双相钢车身板DP780的真实应力-应变曲线,并对其进行分析;求解、修正温热状态双相钢车身板DP780的井上胜郎本构模型参数,以单向拉伸模型为例,基于FORTRAN语言将所得材料参数编入ABAQUS软件的VUMAT子程序进行温热拉伸数值模拟.结果表明,所得井上胜郎模型预测值与实验值吻合较好,证明了所求模型的有效性与准确性. 【期刊名称】《济南大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2019(033)004 【总页数】7页(P301-307) 【关键词】双相钢车身板;温热成形;本构模型;单向拉伸实验;VUMAT子程序 【作者】冷杨松;李迪;曹凡;李耀民;韩蒙;殷凤仕 【作者单位】山东理工大学交通与车辆工程学院,山东淄博 255049;山东理工大学交通与车辆工程学院,山东淄博 255049;山东理工大学交通与车辆工程学院,山东淄博 255049;山东理工大学交通与车辆工程学院,山东淄博 255049;山东理工大学交通与车辆工程学院,山东淄博 255049;山东理工大学机械工程学院,山东淄博255049 【正文语种】中文
【中图分类】TG142 随着汽车行业的蓬勃发展，环境与能源问题也日益凸显，全球汽车制造厂商开始积极推动汽车产品朝着低碳、节能、环保和安全等方向不断拓展。先进高强度钢板具有质量小、强度高、成本低等优点，因此广泛用于汽车车身结构件和承重梁，不仅使汽车车身质量得到有效减小，还在很大程度上改善了汽车安全性[1-3]。高强度钢板主要应用于强度要求较高的车身结构，如A柱、B柱、C柱、前后保险杠、车门槛、车身横梁和纵梁、车门侧板等[4]。 温热成形温度是指材料的成形温度低于材料的再结晶温度，其成形温度介于冷成形温度与热成形温度之间，具体材料的成形温度各不相同，并没有统一的界定。与冷成形相比，温成形的成形力小，成形性能好，不需要中间软化的过程，零件的尺寸精度高；与热成形相比，温成形的成形温度较低，氧化、脱碳倾向小，模具寿命长[5-6]。 随着温热成形技术广泛应用于镁铝合金、钛合金等材料冲压成形，部分专家学者开始研究不同温度范围内先进高强度钢板的力学行为及成形性能。文献[5]中通过温拉伸及温胀形实验，建立了先进高强度双相钢DP590的应力-应变模型和温成形韧性破裂准则；文献[6]中基于刚模胀形实验建立了双相钢车身板DP780(DP780钢板)温热状态下的成形极限曲线；文献[7]中通过温拉胀成形得出超高强度钢板Docol 1200M最合适的温拉胀成形温度为400 ℃。虽然上述文献对先进高强度钢温热成形均有一定的研究，但研究温度范围较小，并且没有建立工程应用简单、方便的温热成形本构模型。为了提高双相钢车身板温冲压成形数值模拟的精度，本文中以先进高强度DP780钢板为研究对象，探究DP780钢板温热状态下的力学行为，通过热拉伸实验建立DP780钢板温热成形的本构关系，并对所建立的关系进行实例验证。
Profibus-DP规范（草案）
1范围和目的 (4) 1.1目的 (4) 1.2范围 (4) 1.3术语 (4) 1.4概述 (6) 2规范性引用文件 (7) 3物理层定义 (7) 3.1 RS-485物理传输方式 (7) 3.2电气特性 (7) 3.3总线连接器 (7) 3.4总线电缆 (8) 3.5接地，屏蔽 (8) 3.6总线终端器 (9) 3.7物理层和介质冗余 (9) 4链路层定义 (10) 4.1数据传输功能 (10) 4.2帧结构 (11) 4.2.1帧字符（UART字符） (11) 4.2.2传输规则 (11) 4.2.3位同步 (12) 4.3帧格式 (12) 4.3.1无数据字段的固定长度的帧SD1 (12) 4.3.2有数据字段的固定长度的帧SD3 (13) 4.3.3有可变数据字段长度的帧SD2 (13) 4.3.4令牌帧SD4 (14) 4.4循环和系统响应时间 (15) 4.4.1令牌循环时间(Token Cycle Time) (15) 4.4.2报文循环时间(Message Cycle Time) (15) 4.4.3系统反应时间(System Reaction Times) (16) 5 PROFIBUS-DP通信模型 (17) 5.1协议结构 (17) 5.2通信关系 (19) 5.3功能概述 (21) 6 PROFIBUS-DP应用层实现 (23) 6.1 Prifibus DP从站状态机 (23) 6.2 Prifibus DP从站初始化报文过程 (23) 6.2.1检查从站是否存在 (23) 6.2.2初始化前的诊断信息 (23) 6.2.3设置从站参数 (24) 6.2.4校验组态数据 (24) 6.2.5初始化后的诊断信息 (25) 6.2.6数据交换 (25) 6.2.7从站参数化中Watchdog时间因子 (26) 6.3保护测控装置数据在Profibus-DP中的映射 (26)
第六章土的弹塑性模型 6 . 1 引言 根据弹塑性理论，总应变可分成弹性应变和塑性应变两部分，其增量形式为： d ij d i e j d ij p（ 6.1.1 ） 弹性应变可以应用广义虎克定律计算，塑性应变可以应用塑性增量理论计算。应用塑性增量理论计算塑性应变需要已知材料的屈服函数，流动规则和硬化规律，对服从不相关联流动规则的材料，还需要已知材料的塑性势函数。弹塑性本构方程可以采用下述形式表示： d ij D ijkl d kl （ 6.1.2 ） 式中D i e jk p l ——弹塑性模量张量。 在上一章已得到弹塑性模量张量的一般表达式为： D ijkl D ijkl D ijkl g rskl pq rs（ 6.1.3 ） A D mnuv g mnuv mn uv 式中g——塑性势函数； —屈服函数； A——硬化参数； D ijkl ——弹性模量张量。 近年来，根据弹塑性理论建立上的弹塑性模型发展很快，各国学者提出的弹塑性本构模型很多，在这一章只能通过几个典型例子的分析，介绍根据弹塑性理论建立土的本构模型的基本思路。下面几节分别介绍理想弹塑性模型，剑桥模型，修正剑桥模型，Lade-Duncan （1975）模型，以及多重屈服面模型和边界面模型的基本概念。
6 . 2 理想弹塑性模型 在这一节，首先介绍理想弹塑性本构方程的普遍表达式，然后介绍几个典 型的理想弹塑性模型。 6.2.1 本构方程的普遍表达式 对理想弹塑性材料，塑性势函数与屈服函数相同，下面用 F 表示，硬化参 数A 恒等于零，于是式 6.1.3 可改写为： F D D rskl D mnuv mn 理想弹塑性材料本构方程也可用其它形式表达，下面介绍另一种表达 形式 弹性应变增量 d i e j 可表示为： 式中 I 1 ——应力张量第一不变量； S ij —— 应力偏张量； K,G ——分别为体积弹性模量和剪切弹性模量。 D ijpq ep ijkl D ijkl pq rs 6.2.1 ） uv d i e j dI 1 9K ij 21 G dS ij 6.2.2 ） 式 6.2.2 两边乘以 ij ，注意到 ij ij d k e k 弹性应变偏增量可表示为： de i e j 屈服函数记为： F 3 ，可得： 1 dI 1 （ 6.2.3 ） 3K 1 21 G dS ij i j （ 6.2.4 ） （ 6.2.5 ）