压轴题 经典难题（1）
1、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）
2、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、
CC 1、DD 1的中点．
求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
经典难题（二）
D 2 C 2
B 2 A 2
D 1 C 1 B 1
C B D
A A 1 A F
G C
E
B
O D A P C D B
F
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O
（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB
及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
3、如果上题把直线MN 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC CBFG ，点P 是EF 的中点．
求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
经典难 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝求证：CE ＝CF ．（初二）
2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．
求证：AE ＝AF ．（初二）
3、设P 是正方形ABCD 一边
求证：PA ＝PF ．（初二）
4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF
B 、D ．求证：AB ＝D
C ，BC ＝A
D ．（初三）
经典难
1、已知：△ABC 是正三角形，P
求：∠APB 的度数．（初二）
2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）
3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝
4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二） 经典难题（五）
1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝
≤L ＜2．
2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC
3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a
4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC
0，
∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．
经典难题（一）
1.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠即△GHF ∽△OGE,可得
EO GF =GO GH =CO
CD
,又CO=EO ，所以CD=GF 得证。
2. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等，可得△PDG 为等边△，从而可得 △DGC ≌△APD ≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG ＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC 是正三角形
3.如下图连接BC
1和AB
1
分别找其中点F,E.连接C
2
F与A
2
E并延长相交于Q点，
连接EB
2并延长交C
2
Q于H点，连接FB
2
并延长交A
2
Q于G点，
由A
2E=1
2
A
1
B
1
=1
2
B
1
C
1
= FB
2
，EB
2
=1
2
AB=1
2
BC=F C1 ，又∠GFQ+∠Q=900和
∠GE B2+∠Q=900,所以∠GE B2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，
可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，
又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,
从而可得∠A2B2 C2=900 ，
同理可得其他边垂直且相等，
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠
DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
经典难题（二）
1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD，
可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。
由于
2
2
AD AC CD FD FD AB AE BE BG BG
，
由此可得△ADF ≌△ABG ，从而可得∠AFC=∠AGE 。
又因为PFOA 与QGOA 四点共圆，可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ ， ∠AOP=∠AOQ ，从而可得AP=AQ 。
4.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。可得PQ=
2
EG
FH 。
由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI ，由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI 。 从而可得PQ=
2
AI BI
=
2
AB
，从而得证。
经典难题（三）
1.顺时针旋转△ADE ，到△ABG ，连接CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B ，G ，D 在一条直线上，可得△AGB ≌△CGB 。 推出AE=AG=AC=GC ，可得△AGC 为等边三角形。
∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。又∠EFC=∠DFA=450+300=750.
可证：CE=CF。
2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH，
可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，
又∠FAE=900+450+150=1500，
从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。
3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。
tan∠BAP=tan∠EPF=X
Y
=
Z
Y X Z
，可得YZ=XY-X2+XZ，
即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ，得到PA＝PF ，得证。
经典难题（四）
1.顺时针旋转△ABP 600，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=1500。
2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.
可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等）。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：
BE BC =
AD
AC
，即AD•BC=BE•AC，①
又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得
AB AC =
DE
DC
，即AB•CD=DE•AC，②
由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
4.过D 作AQ ⊥AE ，AG ⊥CF ，由ADE S
=
2
ABCD
S
=DFC
S
，可得：
2AE PQ =2
AE PQ
，由AE=FC 。 可得DQ=DG ，可得∠DPA ＝∠DPC （角平分线逆定理）。
经典难题（五）
1.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上，
即如下图：可得最小L=；
（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。
由于∠APD>∠ATP=∠ADP，
推出AD>AP ①
又BP+DP>BP ②
和PF+FC>PC ③
又DF=AF ④
由①②③④可得：最大L< 2 ；
由（1）和（2）既得：≤L＜2 。
2.顺时针旋转△BPC 600，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，
即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。
既得213(
1) = 2
3=
4
23
=
2
31) = 1)2 =
62
。
3.顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：
既得正方形边长L = 22
22(2
)(
)a = 522a 。
4.在AB 上找一点F ，使∠BCF=600 ，
连接EF ，DG ，既得△BGC 为等边三角形，
可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE ≌△ACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。
推出 ： △FGE 为等边三角形 ，可得∠AFE=800 ，
既得：∠DFG=400 ① 又BD=BC=BG ，既得∠BGD=800 ，既得∠DGF=400 ② 推得：DF=DG ,得到：△DFE ≌△DGE ， 从而推得：∠FED=∠BED=300 。
压轴题 经典难题（1） 1、已知：如图，P 是正方形ABCD 点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 2、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、 DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典难题（二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A F G C E B O D A P C D B
F 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ． （初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边， 在△ABC 点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 经典难 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC 求证：CE ＝CF ．（初二）
2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．如图，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于E． （1）如图1，猜想∠QEP＝； （2）如图2，若当∠DAC是锐角时，其他条件不变，猜想∠QEP的度数，并证明； （3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长． 2．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为中线，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接BE交直线AD于点F，连接CF． （1）若∠BAC＝30°，则∠FBC＝°； （2）若∠BAC是钝角时， ①请在图2中依题意补全图形，并标出对应字母； ②探究图2中△BCF的形状，并说明理由；③若AB＝5，BC＝8，则EF＝． 3．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（不与点B、点C重合），将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，作射线BA与射线CE，两射线交于点F．（1）若点D在线段BC上，如图1，请直接写出CD与EF的关系． （2）若点D在线段BC的延长线上，如图2，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，连接DE，G为DE的中点，连接GF，若tan∠AEC＝，AB＝，求GF的长． 4．已知△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，直线DE与直线AC交于点F，连接FB． （1）如图1，当∠BAC＜45°时， ①求证：DF⊥AC； ②求∠DFB的度数； （2）如图2，当∠BAC＞45°时， ①请依意补全图2； ②用等式表示线段FC，FB，FE之间的数量关系，并证明． 5．实验探究： 如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD、CE延长线交于点P． 【问题发现】 （1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD、CE的关系是（“相等”或“不相等”），请直接写出答案； 【类比探究】
中考数学几何压轴题及答案 一、解答题（共30小题） 1.观察猜想 （1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝； 探究证明 （2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程； 拓展延伸 （3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论 2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC （1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝； （2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由 （3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长
3．（1）问题发现 如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE 填空： ①的值为；②∠DBE的度数为． （2）类比探究 如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案． 4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以 点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE 和AF数量关系． （2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α（0°＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在（2）的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．
几何图形综合题 类型一动点问题 1.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC 于点G. (1)求证：△CDE≌△CBF； 1时，求CG的长； (2)当DE＝ 2 (3)连接AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由． 第1题图 （1）证明：如解图，在正方形ABCD中，DC＝BC， ∠D＝∠CBA＝∠CBF＝∠DCB＝ 90°， ∴∠1＋∠2＝ 90°， ∵CF⊥CE， ∴∠2＋∠3＝ 90°，
∴∠1＝ ∠3， 在△CDE 和△CBF 中， ?? ? ??∠=∠=∠=∠31BC DC CBF D ， ∴△CDE ≌△CBF (ASA ); 第1题解图 (2)解：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴△GBF ∽△EAF ， ∴ AF BF AE BG =， 由(1)知，△CDE ≌△CBF ， ∴BF ＝ DE ＝ 1 2 ， ∵正方形ABCD 的边长为1， ∴AF ＝AB ＋BF ＝ 3 2 ，
AE ＝AD －DE ＝ 1 2 ， ∴2 32121 BG ， ∴BG ＝16 ， ∴CG ＝BC －BG ＝ 5 6； (3)解：不能． 理由：若四边形CEAG 是平行四边形，则必须满足AE ∥CG ，AE ＝ CG ， ∴AD －AE ＝BC －CG ， ∴DE ＝BG ， 由(1)知，△CDE ≌△CBF ， ∴DE ＝BF ，CE ＝CF ， ∴△GBF 和△ECF 是等腰直角三角形， ∴∠GFB ＝ 45°，∠CFE ＝ 45°， ∴∠CF A ＝ ∠GFB ＋∠CFE ＝ 90°， 此时点F 与点B 重合，点D 与点E 重合，与题目条件不符， ∴在点E 运动过程中，四边形CEAG 不能为平行四边形． 2.已知四边形ABCD 是菱形，AB ＝ 4，∠ABC ＝ 60°， ∠EAF 的两边分别与射线CB ，DC 相交于点E ，F ，且∠EAF ＝ 60°. (1)如图①，当点E 是线段CB 的中点时，直接写出线段AE ，EF ，AF 之间的数
2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题（角度问题） 1．已知：正方形ABCD ，以A 为旋转中心，旋转AD 至AP ，连接BP DP 、． (1)若将AD 顺时针旋转30︒至AP ，如图1所示，求BPD ∠的度数？ (2)若将AD 顺时针旋转α度()090α︒<<︒至AP ，求BPD ∠的度数？ (3)若将AD 逆时针旋转α度()0180α︒<<︒至AP ，请分别求出090α︒<<︒、90α=︒、90180α︒<<︒三种情况下的BPD ∠的度数（图2、图3、图4）． 2．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF ，裁成一个边长为4的正方形ABCD 和一个长为4、宽为2的长方形CEFD 如图2．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为a ． (1)当点D 恰好落在EF 边上时，求旋转角a 的值； (2)如图3，G 为BC 中点，且0°＜a ＜90°，求证：GD E D ''=； (3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中， DCD '与CBD '△存在两次全等，请你帮助小军直接写出当DCD '与CBD '△全等时，旋转角a 的值．
3．图1是边长分别为a 和()b a b >的两个等边三角形纸片ABC 和CDE 叠放在一起（C 与C '重合）的图形． (1)操作：固定ABC ，将CDE 绕点C 按顺时针方向旋转20°，连结AD ，BE ，如图2，则ECA ∠=___ ___度，并直接写出线段BE 与AD 的数量关系____ ． (2)操作：若将图1中的CDE ，绕点C 按顺时针方向旋转120°，使点B 、C 、D 在同一条直线上，连结AD 、BE ，如图3． ①线段BE 与AD 之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE 与AD 之间的数量关系； ②求APB ∠的度数． (3)若将图1中的CDE ，绕点C 按逆时针方向旋转一个角()0360αα<<︒，当α等于多少度时，BCD △的面积最大？请直接写出答案． 4．我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B 'C '，当a +β＝180°时，我们称△AB 'C '是△ABC 的“旋补三角形”，△AB 'C 边B 'C '上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”． (1)[特例感知]在图2，图3中，△AB 'C ′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形，且BC ＝6时，则AD 长为 ． ②如图3，当∠BAC ＝90°，且BC ＝7时，则AD 长为 ．
平面几何的最值问题 阅读与思考 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证． 2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理． 3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等． 例题与求解 【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．（四川省竞赛试题） 解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值． 【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题） A D M N 解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小． 【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值． （永州市竞赛试题） P D A B Q
人教版九年级数学中考几何压轴题专题提升训练 1．如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E（9，2），则cos B的值等于（） A．B．C．D． 2．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，BE＜BC，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（） A．96cm2B．84cm2C．72cm2D．56cm2 3．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（） A．B．2C．2D．3
4．如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝，把Rt△ABC 沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED＝，则线段DE的长度（） A．B．C．D． 5．如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论： ①CP与QD可能相等； ②△AQD与△BCP可能相似； ③四边形PCDQ面积的最大值为； ④四边形PCDQ周长的最小值为3+． 其中，正确结论的序号为（） A．①④B．②④C．①③D．②③ 6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（） A．B．C．D．
中考数学几何综合压轴题初三难题训练 1. （2015金华中考）如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于eO , EF 与BC , CD 分别相交 于点 G ， H ，则-EF 的值是（） GH A.—— B. 2 C. . 3 D. 2 2 2.（2015遵义中考）将正方形 ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转 30°，得正方形 AB 1GD 1，B^!交CD 于点E ， AB 3，则四边形A^ED 的内切圆半径为（ ） D ， E 分别是OA ，OB 的中点，则图中影阴部分的面积为 ___________ cm 2 . A. D. 3. （2015遵义中考）如图，在圆心角为 90°的扇形OAB 中，半径 OA 2cm ，C 为弧AB 的中点 , 6 Di
到E ，且有 EBD CAB • (1) 求证：BE 是eO 的切线； (2 )若BC 3 , AC 5，求圆的直径 AD 及切线BE 的长. 5. (2016岳阳中考)数学活动 旋转变换 (1) 如图①，在 VABC 中， ABC 130°，将VABC 绕点C 逆时针旋转500得到VABC ，连接 BB ，求 ABB 的大小； (2) 如图②，在 VABC 中， ABC 150° , AB 3, BC 5，将VABC 绕点C 逆时针旋转 60° 得到VABC ，连接BB ，以A 为圆心，AB 长为半径作圆. (I)猜想：直线 BB 与e A 的位置关系，并证明你的结论； (H)连接AB ，求线段AB 的长度； (3) 如图③，在 VABC 中， ABC 90° 180° , AB m , BC n ，将 VABC 绕点 C 逆 180°得到VABC ，连接AB 和BB ，以A 为圆心，AB 长为半 与角 满足什么条件时，直线 BB 与e A 相切，请说明理由，并求此条件 下线段AB 的长度(结果用角 或角 的三角函数及字母 m , n 所组成的式子表示 ) 时针旋转2角度0° 2 径作圆，问：角
1（一）. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等 腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME （1）如图1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是 （2）如图2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有 怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； （3） 在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图3中补全图形，并直接判断△MED 的形状． （1）MD=ME ． 解：∵△ADB 和△AEC 是等腰直角三角形， ∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90° 在△ADB 和△AEC 中， ，∴△ADB ≌△AEC （AAS ），∴BD=CE ，AD=AE ， ∵M 是BC 的中点，∴BM=CM ．∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ， ∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE ，即∠DBM=∠ECM ． 在△DBM 和△ECM 中， ，∴△DBM ≌△ECM （SAS ），∴MD=ME ． （2）如图，作DF ⊥AB ，EG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ． 因为DF 、EG 分别是等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形 ACE 斜边上的高，所以F 、G 分别是AB 、AC 的中点． 又∵M 是BC 的中点，所以MF 、MG 是△ABC 的中位线． ∴ ， ，MF ∥AC ，MG ∥AB ． ∴∠BFM=∠BAC ，∠MGC=∠BAC ．∴∠BFM=∠MGC ．所以∠DFM=∠MGE ． ∵DF 、EG 分别是直角三角形ABD 和直角三角形ACE 斜边上的中线， ∴ ， ．∴MF=EG ，DF=MG ． 在△DFM 与△MGE 中， ，∴△DFM ≌△MGE （SAS ）．∴DM=ME ． ∠FMD=∠GEM ∴∠DME=∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC+∠GME M B C A E D M B C A E D M B C A 图1 图2
中考数学几何图形专题训练50题含答案 (单选、填空、解答题) 一、单选题 1．如图，是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） A ．三棱柱 B ．三棱锥 C ．球 D ．圆锥 2．如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，30C ∠=︒，AC ∥EF ，则1∠=（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 3．如图是每个面上都标有一个汉字的正方体的表面展开图，在此正方体上与“爱”字相对的面上的汉字是（ ） A ．保 B ．定 C ．古 D ．城 4．如图，已知AC BC ⊥，190A ∠+∠=︒，则2∠与A ∠的关系是（ ）
A．2 ∠大C．相等D．无法确定∠大B．A 5．若一个锐角的余角比这个角大30°，则这个锐角的度数是（） A．30︒B．150︒C．60︒D．155︒6．图中的立方体展开后，应是下图中的（） A．B． C． D． 7．如图，直线与相交于点，，则与（） A．是对顶角B．相等C．互余D．互补8．如图由四个相同的小立方体组成的立体图像，它的主视图是（）．
A ． B ． C ． D ． 9．如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．120︒ 10．如图，将直角三角形绕其一条直角边所在直线l 旋转一周，得到的几何体是（ ） A ． B ． C ． D ． 11．如图，在长方形ABCD 中，点 E ，点 F 分别为BC 和AB 上任意一点，点B 和点M 关于EF 对称，EN 是MEC ∠的平分线，若60BFE ∠=︒，则MEN ∠的度数是( ) A ．30︒ B ．60︒ C ．45︒ D ．50︒
初中数学几何题（超难）与答案分析 几何经典难题 1、已知：如图，O 是半圆的圆心， C、E 是圆上的两点，CD ⊥ AB ，EF⊥ AB ，EG⊥ CO．求 证： CD＝ GF．（初三） C E A G O F B D 2、已知：如图， P 是正方形 ABCD 内点，A D ∠ PAD＝∠ PDA ＝ 150．P 求证：△ PBC 是正三角形．（初二） B C 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C1D 1都是正方形， A 2、 B 2、 C2、D 2分别是 AA 1、 BB 1、 CC1、 DD 1 的中点． A D 求证：四边形 A 2B2C2D2是正方形．（初二） A 2D2 A1 D1 B 1 C1 B 2C2 B C 4、已知：如图，在四边形ABCD 中， AD ＝ BC， M、 N 分别是 AB 、 CD 的中点， AD 、BC 的延长线交 MN 于 E、F．
求证：∠ DEN ＝∠ F． E N C D A B M 5、已知：△ ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM ⊥ BC 于 M ． （ 1）求证： AH ＝2OM ；A （ 2）若∠ BAC ＝ 600，求证： AH ＝ AO ．（初三） O · H E 6、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作OA ⊥MN 于 A ，自 A 引圆的两条直线，交圆于 B 、 C 及 D 、 E ，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P 、Q ． G 求证： AP ＝ AQ ．（初三） E C O · B D M N P A Q 7、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC 、 DE ，设求证： AP ＝ AQ ．（初三）
中考数学重难点题型 ---12道几何探究题解析 考点1 三角形几何探究 1．如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若△ABC 是“准互余三角形”，∠C ＞90°，∠A ＝60°，则∠B ＝15°； (2)如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝5.若AD 是∠BAC 的平分线，不难证明△ABD 是“准互余三角形”．试问在边BC 上是否存在点E(异于点D)，使得△ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE 的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝7，CD ＝12，BD ⊥CD ，∠ABD ＝2∠BCD ，且△ABC 是“准互余三角形”，求对角线AC 的长． 解：(1)∵△ABC 是“准互余三角形”，∠C ＞90°，∠A ＝60°，∴2∠B ＋∠A ＝90°，解得∠B ＝15°. (2)如答图1，在Rt △ABC 中，∵∠B ＋∠BAC ＝90°，∠BAC ＝2∠BAD ，∴∠B ＋2∠BAD ＝90°， ∴△ABD 是“准互余三角形”． ∵△ABE 也是“准互余三角形”， ∴只有2∠B ＋∠BAE ＝90°. ∵∠B ＋∠BAE ＋∠EAC ＝90°，∴∠CAE ＝∠B. ∵∠C ＝∠C ＝90°， ∴△CAE ∽△CBA ，∴CA 2＝CE·CB， ∴CE ＝165，∴BE ＝5－165＝95 .
(3)如答图2，将△BCD沿BC翻折得到△BCF， ∴CF＝CD＝12，∠BCF＝∠BCD，∠CBF＝∠CBD. ∵∠ABD＝2∠BCD，∠BCD＋∠CBD＝90°， ∴∠ABD＋∠DBC＋∠CBF＝180°，∴点A，B，F共线， ∴∠A＋∠ACF＝90°，∴2∠ACB＋∠CAB≠90°， ∴只有2∠BAC＋∠ACB＝90°，∴∠FCB＝∠FAC. ∵∠F＝∠F，∴△FCB∽△FAC，∴CF2＝FB·FA，设FB＝x，则有x(x＋7)＝122， ∴x＝9或x＝－16(舍去)， ∴AF＝7＋9＝16，在Rt△ACF中，AC＝AF2＋CF2＝162＋122＝20. 2．将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝2 3 cm. (1)求GC的长； (2)如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H，C作AB的垂线，垂足分别为M，N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想． (3)在(2)的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过(1)中的点G时，请直接写出DD′的长度． 解：(1)在Rt△ABC中，∵BC＝23，∠B＝60°， ∴AC＝BC·tan60°＝6，AB＝2BC＝43， 在Rt△ADG中，AG＝ AD cos30° ＝4，
2022年春苏科版九年级数学中考复习几何压轴题专题训练（附答案） 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，点F在DE的延长线上，点G在线段AD上，且∠BGF＝60°． （1）若DE＝2，求AC的长； （2）证明：DF＝AD+DG． 2．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF． 3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 4．如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足+（b﹣2）2＝0，
（1）求A点坐标； （2）分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，如图1试判定线段AC和DC 的数量关系和位置关系． （3）如图2过A作AE⊥x轴于E，F，G分别为线段OE，AE上的两个动点，满足∠FBG ＝45°，试探究的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由． 5．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．
2022-2023学年九年级数学中考复习几何部分解答题专题训练（附答案） 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，过点B作BD⊥BC，交CF的延长线于点D． （1）求证：△BDC≌△CEA； （2）若AC＝20cm，求BD的长． 2．如图1，在△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高线，M，N分别是线段BC，DE 的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并说明理由． （3）若将锐角三角形ABC变为钝角三角形ABC，其余条件不变，如图2，直接写出∠BAC与∠DME之间的关系． 3．如图，已知A（4，0），B（0，﹣2），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC． （1）如图1，直接写出C点坐标； （2）如图2，当点P在线段OA（不与A重合）上，连接BP，作等腰直角△BPQ，∠PBQ ＝90°，连接CQ，求证：P A＝CQ； （3）在（2）的条件下： ①若C、P、Q三点共线，直接写出此时∠APB的度数及P点坐标．
②直接写出△BPQ面积的最小值和此时CQ的长度． 4．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若CD＝AE＝2，，求⊙O的半径． 5．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝5cm，OC＝12cm．求： （1）∠BOC的度数； （2）BE+CG的长； （3）⊙O的半径． 6．探究题 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是； （2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数
2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练（附答案）1．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α． （1）如图①，若α＝90°，求AA′的长； （2）如图②，若α＝120°，求点O′的坐标； （3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）． 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，将△ABD 绕点A逆时针旋转90°，得到△ACE．AF平分∠DAE，交BC于点F，连接EF．（1）求证：△ADF≌△AEF； （2）直接写出线段BD、DF、FC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若BD＝3，CF＝4，则AD＝． 3．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，连接AD，将△ACD沿AD翻折得到△AED，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF． （1）若∠CAD＝20°，求∠CBF的度数； （2）若∠CAD＝α，求∠CBF的大小； （3）猜想CF，BF，AF之间的数量关系，并证明．
4．如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE与CF交于点D．（1）若∠BAC＝74°，则∠BDC＝； （2）如图2，∠BAC＝90°，作MD⊥BE交AB于点M，求证：DM＝DE； （3）如图3，∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，若点G为CD的中点，点M在直线BC上，连接MG，将线段GM绕点G逆时针旋转90°得GN，NG＝MG，连接DN，当DN最短时，直接写出∠MGC的度数． 5．在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，点A与点C关于y轴对称． （1）如图1，OA＝OB，AF平分∠BAC交BC于F，BE⊥AF交AC于E，请直接写出EF与EC的数量关系为； （2）如图2，AF平分∠BAC交BC于F，若AF＝2OB，求∠ABC的度数； （3）如图3，OA＝OB，点G在BO的垂直平分线上，作∠GOH＝45°交BA的延长线于H，连接GH，试探究OG与GH的数量和位置关系． 6．小明同学在一次数学活动课中对直角三角形的折叠问题进行了探究，请你一起思考并完成以下问题． （1）如图1，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，将直角三角形纸片ABC沿某条直线折叠，使顶点C落在斜边AB上，EF为折痕，且EF∥AB．若EC＝3，FC＝4，则CD的长为； （2）如图2，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，将直角三角形纸片ABC沿某条直线折叠，使直角顶点C落在斜边中点D的位置，EF为折痕，CD与EF交于H．若EC＝4，FC＝3，求AB的长． （3）如图3，在Rt△ABC，∠C＝90°，CA＝3，BC＝4．点E为斜边AB上一点，将直角三角形纸片ABC沿CE折叠，使得点A的对应点D落在BC边上，连接ED．请把图
2020年中考数学冲刺难点突破几何问题 专题尺规作图中的综合问题 1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M 和N，再分别以点M和N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．则下列结论：①AD是△ABC的角平分线；②点D在线段AB的垂直平分线上；③∠ADC＝60°；④S△ADC：S△ABC＝1：3；⑤AB＝2CD，其中正确结论的个数是（） A．2个B．3个C．4个D．5个 【答案】D． 【分析】由题意可知AD平分∠CAB，求出∠DAB，∠CAD，利用直角三角形30°角的性质以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°， 由作图可知：AD平分∠CAB故①正确， ∴∠DAB＝∠CAB＝30°＝∠B， ∴DA＝DB， ∴点D在ZB的垂直平分线上，故②正确， ∵∠ADC＝∠DAB+∠B＝60°，故③正确， ∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD＝2CD， ∴CD＝BC， ∴S△ADC：S△ABC＝1：3，故④正确， 设CD＝a，则AD＝BD＝2a，BC＝3a， ∴AB＝＝2a＝2CD，故⑤正确， 故选：D． 2、如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，张老师要求学生利用所学知识作出一个菱形．甲、乙两位同学的作法如下： 甲：如图1，连接AC，作AC的中垂线交BC、AD于点E、F，则四边形AECF是菱形．乙：如图2，分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形． 则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（） A．仅甲正确B．仅乙正确 C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误 【答案】C． 【分析】首先证明△AOM≌△CON（ASA），可得MO＝NO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定判定四边形ANCM是平行四边形，再由AC⊥MN，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出ANCM是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB＝AF，所以四边形ABEF 是菱形． 【解答】解：甲的作法正确；
2021年中考数学几何教学重难点专题： 平面展开—最短路径问题（一） 1．如图1，一只蚂蚁要从边长为1cm正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？请完成下列问题： （1）图2是将立方体表面展开的一部分，请将正方体的表面展开图补充完整；（画一种即可） （2）在图2中画出点A到点B的最短爬行路线，最短路径为：； （3）在图2中标出点C，并画出A、C两点的最短爬行路线（画一种即可），最短路径为． 2．如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）．
（1）请问彩带的长度是多少？ （2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？ （注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答） 3．如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B与点C之间的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖． （1）求出点A到点B的距离； （2）求蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？
4．如图，长方体的长AB＝5cm，宽BC＝4cm，高AE＝6cm，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A出发到点G处．蚂蚁甲的行走路径S甲为：翻过棱EH后到达G处（即A→P→G），蚂蚁乙的行走路径S乙为：翻过棱EF后到达G处（即A→M→G），蚂蚁丙的行走路径S丙为：翻过棱BF后到达G处（即A→N→G）． （1）求三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是多少？ （2）三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？ 5．如图a，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线： 路线1：高线AB+底面直径BC，如图a所示，设长度为l1． 路线2：侧面展开图中的线段AC，如图b所示，设长度为l2．