初三数学难题
初三数学作为初中阶段的重要科目之一，在学生中普遍被认为是最具挑战性的学科之一。作为数学学科的核心，数学难题一直是学生们感到头疼的问题之一。下面就让我们来看看初三数学中的一些难题吧。
1. 解方程
解方程是初三数学中的一个难点。虽然解方程本质上是一个基础的数学概念，但是在实际操作中却需要学生能够掌握大量的数学知识和技巧。此外，解方程也需要学生具备较强的逻辑思维和分析能力，这对于初中生来说是一项较为困难的任务。
2. 几何问题
几何问题也是初三数学中的难点之一。初三的几何学内容包括平面几何和立体几何两部分。其中，平面几何主要涉及到角度、三角形、四边形、圆形等概念的运用，需要学生能够熟练掌握相关的定理和公式。而立体几何主要涉及到空间几何中的各种图形和关系，需要学生具备较强的空间想象力和几何直觉。
3. 统计概率
统计概率也是初三数学中的难点之一。统计概率涉及到随机事件的概率、概率的加法和乘法原理、样本空间等概念，需要学生具备熟练的计算能力和较强的数学思维能力。此外，统计概率还需要学生能够理解和应用相应的概率分布函数和统计方法，对于初中生来说是一项相对较难的任务。
总的来说，初三数学中的难点主要集中在解方程、几何问题和统计概率等方面。对于学生来说，要想取得好成绩，需要下大力气加强相关知识的学习和掌握，同时也要注重实践和应用。只有通过不断的努力和提高，才能够在初三数学中取得优异的成绩。
如图，在直角坐标系中，以点A(3，0)为圆心，以32为半径的圆与x 轴交于B 、C 两点， 与y 轴交于D 、E 两点. （1）求D 点坐标． （2）若B 、C 、D 三点在抛物线c bx ax y ++=2 上，求这个抛物线的解析式． （3）若⊙A 的切线交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点N ，切点为P ，∠OMN=30º，试判断直线MN 是否经过所求抛物线的顶点？说明理由． 28、（12分）某企业有员工300人，生产A 种产品，平均每人每年可创造利润m 万元（m 为大于零的常数）。为减员增效，决定从中调配x 人去生产新开发的B 种产品，根据评估，调配后，继续生产A 种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B 种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m 万元。 （1）调配后，企业生产A 种产品的年利润为_________万元，企业生产B 种产品的年利润为_________万元（用含x 和m 的代数式表示）。若设调配后企业全年总利润为y 万元，则y 与x 之间的关系式为y ＝____________。 （2）若要求调配后，企业生产A 种产品的年利润不小于调配前企业年利润的 5 4 ，生产B 种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案 ？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时，运算过程可保留3个有效数字）。 （3）企业决定将（2）中的年最大总利润（设m ＝2）继续投资开发新产品。现有6种产品可供选择（不得重复投资同一种产品）各产品所需资金及所获年利润如下表： 如果你是企业决策者，为使此项投资所获年利润不少于145万元，你可以投资开发哪些产品？请写出两种投资方案。 25．解：（1）连结AD ，得OA=3，AD=23 ……………………1分 ∴OD =3， D(0，-3) ………………………………………………2分 （2）由B (-3，0)，C (33，0)，D (0，-3)三点在抛物线c bx ax y ++=2 上， (3) 分 得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-=c c b a c b a 333270330 解得 ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎧-=-==3 33231c b a ………………………………5分 x
初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题(含答案)附答案 一、圆的综合 1．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC． （1）若∠G=48°，求∠ACB的度数； （2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF； （3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若 tan∠CAF= 1 2，求1 2 S S的值． 【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4 【解析】 【分析】 （1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论； （2）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得 »»» CD PB PD ==，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论； （3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则 OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=3 4 x，代入面积公式可得结 论． 【详解】 （1）连接CD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∴∠ACB+∠BCD=90°， ∵AD⊥CG， ∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°，∵∠BAD=∠BCD， ∴∠ACB=∠G=48°；
（2）∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB， ∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC，由（1）得：∠G=∠ACB， ∴∠BCG=∠DAC， ∴»» CD PB =， ∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC， ∴»» CD PD =， ∴»»» CD PB PD ==， ∴∠BAD=2∠DAC， ∵∠COF=2∠DAC， ∴∠BAD=∠COF； （3）过O作OG⊥AB于G，设CF=x， ∵tan∠CAF=1 2= CF AF ， ∴AF=2x， ∵OC=OA，由（2）得：∠COF=∠OAG，∵∠OFC=∠AGO=90°， ∴△COF≌△OAG， ∴OG=CF=x，AG=OF， 设OF=a，则OA=OC=2x﹣a， Rt△COF中，CO2=CF2+OF2， ∴（2x﹣a）2=x2+a2， a=3 4 x， ∴OF=AG=3 4 x， ∵OA=OB，OG⊥AB，∴AB=2AG=3 2 x， ∴1 213 ··3 22 1·24· 2 AB OG x x S S x x CF AF ===．
压轴题 经典难题（1） 1、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 2、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典难题（二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A F G C E B O D A P C D B
F 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 经典难 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝求证：CE ＝CF ．（初二）
初三数学难题总结 1。如图1所示,四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB,CD 的中点，且AD=BC,延长MN,AD 交与E 点，延长BC ，MN 交与F 点。求证:∠DEN ＝∠F ． A B C D M N F E 图 1 2。如图2平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=10,BC 边上的高AM=4,E 为BC 边上的一个动点，且不与B,C 两点重合,过E 作AB 的垂线，垂足为F ，FE 与DC 的延长线交与G ,连接DE ，DF 。 （1)求证:BE*CG=BF*CE. (2)当点E 在BC 上运动时，三角形BEF 和三角形CEG 的周长之间有什么关系？并说明理由。 (3)设BE 为x ，三角形DEF 的面积为y,求出y 与x 之间的函数关系式,并求出x 为什么值得时候，y 有最大值，最大值为多少？ D C B A F M E G 图 2 3。在数学工具中，三角板经常用到，如图3.1所示,将三角板ABC 与三角板DEF 摆放在一起，A 与D 重合，C 与E 重合，然后将三角板
DEF的一个直角顶点放在边AC上，如图3.2所示，旋转一定角度,使DE与AB边交与P，DF与AC边交与Q，若CE：AE=1:1，连接PQ，判定三角形EPQ的形状，并说明理由. A，D B C ，E F D F C A B Q P E 图3.1图3.2 4。如图4所示,在梯形ABCD中，AB//CD,AB=7,CD=1，AD=BC=5，点M,N分别在AD,BC上移动，保持MN//AB，ME垂直ＡＢ于Ｅ，ＮＦ垂直于ＡＢ于Ｆ。 （１）求梯形ＡＢＣＤ的面积. （2）求四边形MEFN面积的最大值。 （3）试判断MEFN能否为正方形，若能，求出面积，若不能，说明理由。 D C A B E F M N 图 4 5.如图5所示，AB是半圆O上的直径，E是错误!的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O切线交OE的延长线于点F。已知BC=8，DE=2. ⑴求⊙O的半径；⑵求CF的长;⑶求 tan∠BAD 的值.
《反比例函数—三角形》难度题 1、如图，已知点A 是双曲线y = x 4 在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线x k y = （k ＜0）上运动，则k 的值是 ﹣12 ． 2、如图，已知点A 是双曲线6 y x = 在第三象限分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在双曲线k y x = 上运动，则k 的值是 63- 【解】∵双曲线6 y = A 与点 B 关于原点对称．∴OA ＝OB ．连接O C ，如图所示．∵△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ．∠BAC ＝60°．∴3OC tan OAC OA ∠= =．∴，3OC OA =，过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F ，∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ，∴∠AEO ＝∠OFC ，∠AOE ＝90°－∠FOC ＝∠OCF ．∴△OFC ∽△AEO ．相似比3OC OA =3OFC AEO S S = ．∵点A 在 第一象限，设点A 坐标为
（a ，b ），∵点 A 在双曲线6y x =上，∴S △AEO ＝12ab ＝62，∴S △OFC ＝1 2 FC OF ⋅= 362．∴设点C 坐标为（x ，y ），∵点C 在双曲线k y x =上，∴k ＝xy ∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝－y ．∴FC•OF ＝x•（－y ）＝－xy ＝－36 6．∴xy ＝－36．．故答案为：－36． 3、如图，已知点A 是双曲线x y 4 = 在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线x k y = （k ＜0）上运动，则k 的值是 ﹣4 ． 4、如图，等腰直角三角形OAB 和BCD 的底边OB 、BD 都在x 轴上，直角顶点A 、C 都在反 比例函数y ＝ k x 图象上，若D （－8，0），则k ＝___8-_______． 【方法】利用特殊形的角度、长度与坐标的关系，巧设坐标，联立方程求值 A （－a , a ），C （－4－a , 4－a ） 82 -=-=a k 5、如图，等边三角形OAB 和BCD 的底边OB 、BD 都在x 轴上，直角顶点A 、C 都在反比例 x y A C D B O
初三数学九上压轴题难题提高题培优题 一•解答题(共8小题) 1 •如图，抛物线y=a«+bx+c (a^0)经过点A (-3, 0)、B (1, 0)、C (- 2, 1),交y 轴于点M . (1)求抛物线的表达式； (2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E,交线段AM 于点F,求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标； (3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△ MAO相似(不包括全等)？若存在，求点P的坐标；若不存在， 2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx (a>0)经过点A 和x轴正半轴上的点B, AO=OB=4 / AOB=120. (1)求这条抛物线的表达式； (2)联结OM，求/ AOM的大小； (3)如果点C在x轴上，且△ ABC与△ AOM相似，求点C的坐标. 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A (2, 0), B (6, 0)两点，交y轴于点■■-二-. (1)求此抛物线的解析式； (2)若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D,作。D与x轴相切D交y 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长； (3)P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G,试确定P点的位置，使得△ PGA的面积被直线AC分为1: 2两部分？
已知点 A (- 2, - 4), 0B=2 抛物线 y=af+bx+c (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 若点M 是抛物线对称轴上一点，试求 AM+0M 的最小值； (3) 在此抛物线上，是否存在点 P ,使得以点P 与点0、A 、B 为顶点的四边形 是梯形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.5. 已知抛物线y=-貳+bx+c 经过点A (0，1 )，B (4，3). (1) 求抛物线的函数解析式； (2) 求 tan / AB0 的值； (3) 过点B 作BC 丄x 轴，垂足为C ,在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线 段AB 于点N,交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标. 6. 如图1,已知抛物线的方程 G ： y=-L (x+2) (x - m ) (m >0)与x 轴交于点 ID B 、C ,与y 轴交于点E ,且点B 在点C 的左侧. (1) 若抛物线G 过点M (2, 2),求实数m 的值； (2) 在(1)的条件下，求△ BCE 的面积； 4.如图，在平面直角坐标系中, 经过点A 、0、B 三点.
【中考必备】初三数学难题集锦 初中数学难题集锦 1((本小题满分10分) 如图，AB为?O的直径，点C在?O上，过点C作?O的切线交AB的延长线于点D，已知?D,30?. 求?A的度数; 若点F在?O上，CF?AB，垂足为E，CF,43，求图中阴影部分的面积. 2. 先阅读下面材料，然后解答问题:(本小题满分10分) 【材料一】:如图?，直线l上有A1、A2两个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点A1、A2的距离之和最小，很明显点P的位置可取在A1和A2之间的任何地方，此时距离之和为A1到A2的距离. 如图?，直线l上依次有A1、A2、A3三个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点A1、A2、A3的距离之和最小，不难判断，点P的位置应取在点A2处，此时距离之和为A1到A3的距离. (想一想，这是为什么,) 不难知道，如果直线l上依次有A1、A2、A3、A4四个点，同样要确定一点P，使它到各点的距离之和最小，则点P应取在点A2和A3之间的任何地方;如果直线l上依次有A1、A2、A3、A4、A5五个点，则相应点P的位置应取在点A3的位置. 1图? 2l12图? 3l 【材料二】:数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为 【问题一】:若已知直线l上依次有点A1、A2、A3、……、A25共25个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在 ;
若已知直线l上依次有点A1、A2、A3、……、A50共50个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在 . 【问题二】:现要求的最小值， 根据问题一的解答思路，可知当x值为时，上式有最小值为 . 3. (本小题满分10分) 如图?，一条笔直的公路上有A、B、C 三地，B、C 两地相距 150 千米，甲、乙两辆汽车分别从B、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C、B 两地(甲、乙两车到A 地的距离y1、y2(千米)与行驶时间 x(时)的关系如图?所示( y(千米) 乙 甲图? x(时) 图? 根据图象进行以下探究: 请在图?中标出 A地的位置，并作简要的文字说明; 求图?中M点的坐标，并解释该点的实际意义( 在图?中补全甲车的函数图象，求甲车到 A地的距离y1与行驶时间x的函数关系式( ?A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内(含15千米)时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间( 4((本小题满分10分) 2已知抛物线的顶点在直线上，且过点A(4，0)( 2 求这个抛物线的解析式;
文档从网络中收集，已重新整理排版word 版本可编辑•欢迎下载支持. 1. __________________________________________________________________________________________ （20 06,泉州）如图b AABC 为。0的内接三角形,AB 为。0的直径，点D 在00上,ZBAC=35°，则ZADC 二 _____________ 2. （2006,哈尔滨市）^AABC 中，AB 二AC 二5,且AABC 的而积为12,则Z\ABC 外接圆的半径为 ________ ・ 3. （2006,南京市）如图 2,矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的00 交于点 G 、B 、F 、E, GB 二8cm, AG 二lcm, DE 二2cm,则 EF 二 cm. 4. （2006,旅顺口区）如图3,点D 在以AC 为直径的00上，如果ZBDC 二20° ,那么ZACB 二 __________ 5. （2006,盐城）已知四边形ABCD 内接于00,且ZA ： ZC=1： 2,则ZB0D 二 ________ ・ 6. （2006,大连）如图 4,在00 中，ZACB 二ZD 二60° , AC 二3,则ZkABC 的周长为 _______ 8. 如图6, 9. （2006,重庆）如图7, A ABC 内接于O0, ZA 所对弧的度数为120° , ZABC 、 于点D 、E, CE 、BD 相交于点F.®COS ZBFE =1 : ®BC= BD ：③AFD ：④BBF.其中结论-定正确的序号是— 10・（2006,海淀区）如图&已知A 、B. C 是00上，若ZC0A=100° ,则ZCBA 的度数是（） A. 40° B. 50° C. 80° D. 200° 11・（2006,温州）如图9, AB 是00的直径，点C 在00上，ZB=70°，贝IJZA 的度数是（） 2006年中考“ 热点题型分类解析 A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° ZACB 的角平分线分别交AC 、AB C 7. (2006, O0的直径AB=8cm, C 为00上的一点, ZBAC 二30° ,则 BC 二 ___ cm. P
初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题附详细答案 一、圆的综合 1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°． （1）OC的长为； （2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=； （3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标． 【答案】（1）4；（2）3510 ；（3）点E的坐标为（1，2）、（，）、（4，2）．533 【解析】 分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有 OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可． （2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则 MN=MB=MD=r．在△Rt BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在△Rt ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°， ②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题． 详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH． ∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4． ∵∠BHA=90°，∠BAO=45°， ∴tan∠BAH=BH HA=1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4． 故答案为4． （2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）．
1：如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF． （1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四 =3S△EDF，求AE的长； 边形ECBF （2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA． ①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论； ②求EF的长； （3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE=，求的值．
2：如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD． （1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论； （2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD 分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM 与PN的数量关系，并加以证明．
3：已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC ∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM． （1）如图一，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM=AN； （2）①如图二，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP ⊥BN和AM=AN是否成立？（不需说明理由） ②是否存在满足条件的点P，使得PC=？请说明理由．
圆所有经典难题 一，选择题 1.下列命题中正确的有( )个 (1) 平分弦的直径垂直于弦 （2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 （3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半 （4）平面内三点确定一个圆 （5）三角形的外心到各个顶点的距离相等 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 2.AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE ＝19°，则∠AFB 的度数为何？（ ） A ．97° B ．104° C ．116° D ．142° 3.下列说法正确的是 （ ） A 、三点确定一个圆。 B 、一个三角形只有一个外接圆。 C 、和半径垂直的直线是圆的切线。 D 、三角形的内心到三角形三个顶点距离相等。 4.在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（ ） A 、60º或120º B. 30º或120º C. 60º D. 120º 5.如图4，⊙O 的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为（ ） Ａ、２ Ｂ、３ Ｃ、４ Ｄ、５ 6.与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的 （ ） A 、 三条中线的交点， B 、三条角平分线的交点， C 、三条高的交点， D 、三边的垂直平分线的交点。 7.圆的半径为5cm ，圆心到一条直线的距离是7cm ，则直线与圆（ ） A 、有两个交点， B 、有一个交点， C 、没有交点， D 、交点个数不定。 8.两圆的半径比为 2 cm 与3cm ，圆心距等于小圆半径的2倍，则两圆的关系为 （ ） A 、相离， B 、外切， C 、相交， D 、内切或内含 9.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ）， A B P O
练习一 1．已知BC 是半径为2cm 的圆内的一条弦，点A 为圆上除点B C ， 外任意一点，若BC =，则BAC ∠的度数为 ． 2．若a b ， 均为整数，当1x =时，代数式2x ax b ++的值为0，则b a 的算术平方根 为 ． 3．如图（1），在等腰三角形ACB 中，5AC BC ==，8AB =，D 为底边AB 上一动点（不与点A B ，重合），DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E F ，，则DE DF + 44条，从位置A 出右行进，两步向上行进，如果用用数字“1”表示向右行进，数字“2”表示向上 行进，那么“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，请你思考后回答：符合要求的不同走法共有 种． 5．（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果n a （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a = ，n a = ； （2）如果欲求232013333+++++的值，可令 232013333S =+++++……………………………………………………① 将①式两边同乘以3，得 ………………………………………………………② 由②减去①式，得 S = ． （3）用由特殊到一般的方法知：若数列123n a a a a ，，，，，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q ，则n a = （用含1a q n ，，的代数式表示），如果这个常数1q ≠，那么123n a a a a ++++= （用有含1a q n ，，的代数式表示）． 练习二 1．如图（4），在ABC △中，5AB =，3BC =，4AC =，动点E （与点A C ，不重合）在AC 边上，EF AB ∥交BC 于F 点． （1）当ECF △的面积与四边形EABF 的面积相等时，求CE 的长； （2）当ECF △的周长与四边形EABF 的周长相等时，求CE 的长； （3）试问在AB 上是否存在点P ，使得EFP △为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF 的长． 图（2） 图（1）
1、如果将点P 绕定点M 旋转180°后与点Q 重合,那么称点P 与点Q 关于点M 对称,定点M 叫 做对称中心.此时,M 是线段PQ 的中点.如图,在平面直角坐标系中,△ABO 的顶点A,B,O 的坐标分别为〔1,0〕,〔0,1〕,〔0,0〕.点列P 1,P 2,P 3,…中的相邻两点都关于△ABO 的一个顶点对称：点P 1与点P 2关于点A 对称,点P 2与点P 3关于点B 对称,点P 3与点P 4关于点O 对称,点P 4与点P 5关于点A 对称,点P 5与点P 6关于点B 对称,点P 6与点P 7关于点O 对称…对称中心分别是 A,B,O,A,B,O,…,且这些对称中心依次循环.点P 1的坐标是〔1,1〕,如此点P 2017的坐标为. 解：P 2的坐标是〔1,-1〕,P 2017的坐标是〔1,-1〕. 理由：作P 1关于A 点的对称点,即可得到P 2〔1,-1〕,P 3〔-1,3〕,P 4〔1,-3〕,P 5〔1,3〕,P 6〔-1,-1〕,又回到原来P 1的坐标,P 7〔-1,-1〕；由此可知,每6个点为一个周期,作一次循环,2017÷6＝336…1,循环了336次后又回到了原来P 1的坐标,故P 2017的坐标与P 1的坐标一样为〔1,1〕. 点评：此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质,以与找规律问题,根据得出点P 的坐标每6个一循环是解题关键． 2、如图①,△ABC 是等边三角形,点E 在线段AB 上,点D 在直线BC 上,且DE=EC,将△BCE 绕点C 顺时针旋转60°至△ACF,连接EF.试证明：AB=DB+AF. [类比探究] 〔1〕如图②,如果点E 在线段AB 的延长线上,其它条件不变,线段AB 、DB 、AF 之间又有怎样的数量关系？请说明理由. 〔2〕如果点E 在线段BA 的延长线上,其他条件不变,请在图③的根底上将图形补充完整,并写出AB,DB,AF 之间数量关系,不必说明理由. 证明：DE=CE=CF,△BCE 由旋转60°得△ACF, ∴∠ECF=60°,BE=AF,CE=CF, ∴△CEF 是等边三角形, ∴EF=CE, ∴DE=EF,∠CAF=∠BAC=60°, ∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°, ∵∠DBE=120°, ∴∠EAF=∠DBE, 又∵A,E,C,F 四点共圆, ∴∠AEF=∠ACF, 又∵ED=DC, ∴∠D=∠BCE,∠BCE=∠ACF, ∴∠D=∠AEF, ∴△EDB ≌FEA, ∴BD=AF,AB=AE+BF, ∴AB=BD+AF. 类比探究 〔1〕DE=CE=CF,△BCE 由旋转60°得△ACF, ∴∠ECF=60°,BE=AF,CE=CF, ∴△CEF 是等边三角形, ∴EF=CE, ∴DE=EF,∠EFC=∠BAC=60°, ∠EFC=∠FGC+∠FCG,∠BAC=∠FGC+ ∠FEA, ∴∠FCG=∠FEA, 又∠FCG=∠EAD ∠D=∠EAD, ∴∠D=∠FEA, 由旋转知∠CBE=∠CAF=120°, ∴∠DBE=∠FAE=60° ∴△DEB ≌△EFA, ∴BD=AE,EB=AF, ∴BD=FA+AB. 即AB=BD-AF. 〔2〕AF=BD+AB 〔或AB=AF-BD 〕考点点评：〔1〕此题主要考查了几何变换综合题：旋转变化,等边三角形,三角形全,考查了分析推理能力,考查了空间想象能力,考查了数形结合方法的应用,要熟练掌握． 〔2〕此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握． 3、在⊙O 中,直径AB=6,BC 是弦,∠ABC=30°,点P 在BC 上,点Q 在⊙O 上,且OP ⊥PQ. 〔1〕如图1,当PQ ∥AB 时,求PQ 的长度； 〔2〕如图2,当点P 在BC 上移动时,求PQ 长的最大值. 解：〔1〕连结OQ,如图1, ∵PQ ∥AB,OP ⊥PQ, ∴OP ⊥AB, 求OP 的方法1：OP 2＋32＝<2×OP> 2 求得OP=3 求OP 的方法2：在Rt △OBP 中,∵tan ∠B=OB OP , ∴OP=3tan30°=3, 在Rt △OPQ 中,∵OP=3,OQ=3, ∴PQ=OP OQ 22-=6； 〔2〕连结OQ,如图2, 在Rt △OPQ 中,PQ=OP OQ 22-=OP 92-, 当OP 的长最小时,PQ 的长最大, 此时OP ⊥BC,如此OP=21OB=2 3, ∴PQ 长的最大值为)23(92-=233.[点评]此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了勾股定理和解直角三角形. 4、如图,一条公路的转弯处是一段圆弧错误!.错误! 〔1〕用直尺和圆规作出错误!所在圆的圆心O ；〔要求保存作图痕迹,不写作法〕 X y 0 -1 P 1 1 B 1A
1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为〔3，0〕，∠ABO=60°. 〔1〕假设△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标. 〔2〕假设点C的坐标为〔-1，0〕，试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明. 〔3〕二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式. 2 如图〔4〕，正方形 111 OA B C的边长为1，以O为圆心、 1 OA为半径作扇形 1111 OAC AC ， 与 1 OB相交于点 2 B，设正方形 111 OA B C与扇形 11 OAC之间的阴影局部的面积为 1 S；然后以2 OB为对角线作正方形 222 OA B C，又以O为圆心，、 2 OA为半径作扇形 22 OA C， 22 A C与 1 OB相交于点 3 B，设正方形 222 OA B C与扇形 22 OA C之间的阴影局部面积为 2 S；按此规律 继续作下去，设正方形 n n n OA B C与扇形 n n OA C之间的阴影局部面积为 n S． 〔1〕求 123 S S S ，，； 〔2〕写出 2008 S； 〔3〕试猜想 n S〔用含n的代数式表示，n为正整数〕． 1 B2 B3 A1 A2 A3 O C C C 图4 S2 S1 S3
(第4题图) H E D B O A C 3 (10分)如图，点I 是△ABC 的内心，线段A I 的延长线交△ ABC 的外接圆于点D ，交BC 边于点E ． 〔1〕求证：I D =BD ； 〔2〕设△ABC 的外接圆的半径为5，I D =6，AD x =，DE y =，当点A 在优弧 上运动 时，求y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围． 4 如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2， EC ＝1． 〔1〕求证：DEC △∽ADC △； 〔3分〕 〔2〕试探究四边形ABCD 是否是梯形？假设是，请你给予 证明并求出它的面积；假设不是，请说明理由． 〔4分〕 〔3〕延长AB 到H ，使BH ＝OB ． 求证：CH 是⊙O 的切线． 〔3分〕
《反比例函数—四边形》中等难度题型训练2 【典型例题1】 如图，在平面直角坐标系中，A (1 , 0)，B (0 , 3)，以AB 为边在第一象限作正方形ABCD ，点D 在双曲线y = k x (k ≠0)上，将正方形沿x 轴负方向平移 m 个单位长度后，点C 恰好落在双曲线 上，则m 的值是
【类型训练1A 】 如图，在平面直角坐标系中，A (2 , 0)，B (0 , 6)，以AB 为边在第一象限作矩形ABCD ，AD=10， 点D 在双曲线y = k x (k ≠0)上，将矩形沿x 轴负方向平移 a 个单位长度后，点C 恰好落在双曲 线上，则a 的值是
3、难点分析（哪一步出错或没有想出？）： 【类型训练1B】 （2016达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点D，且与边BC交于点E，则 点E的坐标为． 解题步骤：1、基本知识（公式、定义、公理等）： 2、数学方法（解题技巧、思维方法等）： 3、难点分析（哪一步出错或没有想出？）：
【变式训练1 】如上图，已知反比例函数x y 1 的图像上有一点P （P 点在第一象限） ，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，使四边形OAPB 为正方形。又在反比例函数的图像上有一点P 1，过点P 1分别作BP 和y 轴的垂线，垂足分别为A 1、B 1，使四边形BA 1P 1B 1为正方形，则点P 1的坐标是 。
【变式训练2】正方形的A 1B 1P 1P 2顶点P 1、P 2在反比例函数x y 2 = （x ＞0）的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数 x y 2 = （x ＞0）的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ． 1、基本知识（公式、定义、公理等）： 2、数学方法（解题技巧、思维方法等）：