如图，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在D处，AD交OC于E．
（1）求OE的长；
（2）求过O，D，C三点抛物线的解析式；
（3）若F为过O，D，C三点抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t（秒）为何值时，直线PF把△FAC分成面积之比为1：3的两部分．
解析（1）已知四边形OABC是矩形，证明△CDE≌△AOE推出OE2+OA2=（AD-DE）2求出OE．（2）本题要借助辅助线的帮助，证明△DGE≌△CDE．根据线段比求出DG，EG以及点D的坐标．列出解析式求出a，b的值．
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把顶点坐标代入求出k，b．证明△AMH∽△AOC推出m的值．
答案
（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠CDE=∠AOE=90°，OA=BC=CD．
又∵∠CED=∠OEA，
∴△CDE≌△AOE．
∴OE=DE．
∴OE2+OA2=（AD-DE）2，
即OE2+42=（8-OE）2，
解之，得OE=3．
（2）EC=8-3=5．如图，过D作DG⊥EC于G，
∴△DGE∽△CDE．
∴，．
∴DG=，EG=．
∴D（．
因O点为坐标原点，
故可设过O，C，D三点抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∴
解之，得
（3）∵抛物线的对称轴为x=4，
∴其顶点坐标为．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则解之，得
∴．
设直线FP交直线AC于H（m，m-4），过H作HM⊥OA于M．∴△AMH∽△AOC．
∴HM：OC=AH：AC．
∵S△FAH：S△FHC=1：3或3：1，
∴AH：HC=1：3或3：1，
∴HM：OC=AH：AC=1：4或3：4．
∴HM=2或6，
即m=2或6．
∴H1（2，-3），H2（6，-1）．
直线FH1的解析式为y=x-．
当y=-4时，x=．
直线FH2的解析式为．
当y=-4时，x=．
∴当t=秒或秒时，
直线FP把△FAC分成面积之比为1：3的两部分．
初中中考数学难题 1. 几何题： 例如，已知一个等边三角形ABC，边长为6cm，点D是BC边的中点，连接AD并延长到E，使得AE=AB，求三角形ADE的面积。 解答，首先，连接AC和BE，得到一个平行四边形ABEC。由于AE=AB，所以AEBC是一个菱形，且AC是对角线。又因为AC是等边三角形ABC的边长，所以AC=6cm。根据菱形的性质，对角线的垂直平分线相交于菱形的顶点，所以AD是AC的垂直平分线。因此，三角形ADE是一个直角三角形，且AD=3cm，DE=6cm。根据直角三角形的面积公式，三角形ADE的面积为(1/2) AD DE = (1/2) 3cm 6cm = 9cm²。 2. 代数题： 例如：已知方程组： 2x + y = 7。
3x 2y = 4。 求解x和y的值。 解答，可以使用消元法或代入法来解这个方程组。首先，将 第一个方程的系数乘以2，得到4x + 2y = 14。然后将第二个方程 的系数乘以3，得到9x 6y = 12。将这两个方程相加，消去y的项，得到13x = 26，即x = 2。将x的值代入第一个方程，得到22 + y = 7，解得y = 3。所以，方程组的解为x = 2，y = 3。 3. 概率题： 例如，一个标准的扑克牌中，从中随机抽取5张牌，求抽到 一对（即两张点数相同的牌）的概率。 解答，首先计算一副扑克牌中一对的可能情况。有13种点数，对于每种点数，有4张牌。所以一对的可能情况有13（C(4,2)）= 78种。接下来计算抽取5张牌的总的可能情况。一副扑克牌中共 有52张牌，抽取5张的组合数为C(52,5) = 2598960。所以，抽到 一对的概率为78/2598960，约为0.00003。
如图，在直角坐标系中，以点A(3，0)为圆心，以32为半径的圆与x 轴交于B 、C 两点， 与y 轴交于D 、E 两点. （1）求D 点坐标． （2）若B 、C 、D 三点在抛物线c bx ax y ++=2 上，求这个抛物线的解析式． （3）若⊙A 的切线交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点N ，切点为P ，∠OMN=30º，试判断直线MN 是否经过所求抛物线的顶点？说明理由． 28、（12分）某企业有员工300人，生产A 种产品，平均每人每年可创造利润m 万元（m 为大于零的常数）。为减员增效，决定从中调配x 人去生产新开发的B 种产品，根据评估，调配后，继续生产A 种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B 种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m 万元。 （1）调配后，企业生产A 种产品的年利润为_________万元，企业生产B 种产品的年利润为_________万元（用含x 和m 的代数式表示）。若设调配后企业全年总利润为y 万元，则y 与x 之间的关系式为y ＝____________。 （2）若要求调配后，企业生产A 种产品的年利润不小于调配前企业年利润的 5 4 ，生产B 种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案 ？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时，运算过程可保留3个有效数字）。 （3）企业决定将（2）中的年最大总利润（设m ＝2）继续投资开发新产品。现有6种产品可供选择（不得重复投资同一种产品）各产品所需资金及所获年利润如下表： 如果你是企业决策者，为使此项投资所获年利润不少于145万元，你可以投资开发哪些产品？请写出两种投资方案。 25．解：（1）连结AD ，得OA=3，AD=23 ……………………1分 ∴OD =3， D(0，-3) ………………………………………………2分 （2）由B (-3，0)，C (33，0)，D (0，-3)三点在抛物线c bx ax y ++=2 上， (3) 分 得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-=c c b a c b a 333270330 解得 ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎧-=-==3 33231c b a ………………………………5分 x
一、 如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF ∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值． 解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得， ，解得， 故抛物线为y=﹣x2+2x+3 又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得
，解得 故直线AC为y=x+1； （2）作N点关于直线x=3的对称点N'，则N'（6，3）， 由（1）得D（1，4）， 故直线DN'的函数关系式为y=﹣x+， 当M（3，m）在直线DN'上时， MN+MD的值最小，则m=﹣×=； （3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2） ∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）， ①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上， ∴x+3=﹣x2+2x+3， 解得，x=0或x=1（舍去） ∴E（0，1）； ②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1） 由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3 解得x=或x=
∴E（，）或（，） 综上，满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（，）；（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q； 过点C作CG⊥x轴于点G，如图1设Q（x，x+1）， 则P（x，-x2+2x+3） ∴PQ=（-x2+2x+3）-（x﹣1）=-x2+x+2 又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ·AG=（-x2+x+2）×3=-（x﹣）2+ ∴面积的最大值为．
如图，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在D处，AD交OC于E． （1）求OE的长； （2）求过O，D，C三点抛物线的解析式； （3）若F为过O，D，C三点抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t（秒）为何值时，直线PF把△FAC分成面积之比为1：3的两部分． 解析（1）已知四边形OABC是矩形，证明△CDE≌△AOE推出OE2+OA2=（AD-DE）2求出OE．（2）本题要借助辅助线的帮助，证明△DGE≌△CDE．根据线段比求出DG，EG以及点D的坐标．列出解析式求出a，b的值． （3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把顶点坐标代入求出k，b．证明△AMH∽△AOC推出m的值． 答案 （1）∵四边形OABC是矩形， ∴∠CDE=∠AOE=90°，OA=BC=CD． 又∵∠CED=∠OEA， ∴△CDE≌△AOE． ∴OE=DE． ∴OE2+OA2=（AD-DE）2， 即OE2+42=（8-OE）2， 解之，得OE=3．
（2）EC=8-3=5．如图，过D作DG⊥EC于G， ∴△DGE∽△CDE． ∴，． ∴DG=，EG=． ∴D（． 因O点为坐标原点， 故可设过O，C，D三点抛物线的解析式为y=ax2+bx． ∴ 解之，得 （3）∵抛物线的对称轴为x=4， ∴其顶点坐标为． 设直线AC的解析式为y=kx+b， 则解之，得 ∴． 设直线FP交直线AC于H（m，m-4），过H作HM⊥OA于M．∴△AMH∽△AOC． ∴HM：OC=AH：AC． ∵S△FAH：S△FHC=1：3或3：1， ∴AH：HC=1：3或3：1， ∴HM：OC=AH：AC=1：4或3：4． ∴HM=2或6， 即m=2或6． ∴H1（2，-3），H2（6，-1）． 直线FH1的解析式为y=x-．
初三数学九上压轴题难题提高题培优题 一•解答题(共8小题) 1 •如图，抛物线y=a«+bx+c (a^0)经过点A (-3, 0)、B (1, 0)、C (- 2, 1),交y 轴于点M . (1)求抛物线的表达式； (2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E,交线段AM 于点F,求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标； (3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△ MAO相似(不包括全等)？若存在，求点P的坐标；若不存在， 2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx (a>0)经过点A 和x轴正半轴上的点B, AO=OB=4 / AOB=120. (1)求这条抛物线的表达式； (2)联结OM，求/ AOM的大小； (3)如果点C在x轴上，且△ ABC与△ AOM相似，求点C的坐标. 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A (2, 0), B (6, 0)两点，交y轴于点■■-二-. (1)求此抛物线的解析式； (2)若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D,作。D与x轴相切D交y 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长； (3)P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G,试确定P点的位置，使得△ PGA的面积被直线AC分为1: 2两部分？
已知点 A (- 2, - 4), 0B=2 抛物线 y=af+bx+c (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 若点M 是抛物线对称轴上一点，试求 AM+0M 的最小值； (3) 在此抛物线上，是否存在点 P ,使得以点P 与点0、A 、B 为顶点的四边形 是梯形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.5. 已知抛物线y=-貳+bx+c 经过点A (0，1 )，B (4，3). (1) 求抛物线的函数解析式； (2) 求 tan / AB0 的值； (3) 过点B 作BC 丄x 轴，垂足为C ,在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线 段AB 于点N,交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标. 6. 如图1,已知抛物线的方程 G ： y=-L (x+2) (x - m ) (m >0)与x 轴交于点 ID B 、C ,与y 轴交于点E ,且点B 在点C 的左侧. (1) 若抛物线G 过点M (2, 2),求实数m 的值； (2) 在(1)的条件下，求△ BCE 的面积； 4.如图，在平面直角坐标系中, 经过点A 、0、B 三点.
初三数学难题总结 1。如图1所示,四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB,CD 的中点，且AD=BC,延长MN,AD 交与E 点，延长BC ，MN 交与F 点。求证:∠DEN ＝∠F ． A B C D M N F E 图 1 2。如图2平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=10,BC 边上的高AM=4,E 为BC 边上的一个动点，且不与B,C 两点重合,过E 作AB 的垂线，垂足为F ，FE 与DC 的延长线交与G ,连接DE ，DF 。 （1)求证:BE*CG=BF*CE. (2)当点E 在BC 上运动时，三角形BEF 和三角形CEG 的周长之间有什么关系？并说明理由。 (3)设BE 为x ，三角形DEF 的面积为y,求出y 与x 之间的函数关系式,并求出x 为什么值得时候，y 有最大值，最大值为多少？ D C B A F M E G 图 2 3。在数学工具中，三角板经常用到，如图3.1所示,将三角板ABC 与三角板DEF 摆放在一起，A 与D 重合，C 与E 重合，然后将三角板
DEF的一个直角顶点放在边AC上，如图3.2所示，旋转一定角度,使DE与AB边交与P，DF与AC边交与Q，若CE：AE=1:1，连接PQ，判定三角形EPQ的形状，并说明理由. A，D B C ，E F D F C A B Q P E 图3.1图3.2 4。如图4所示,在梯形ABCD中，AB//CD,AB=7,CD=1，AD=BC=5，点M,N分别在AD,BC上移动，保持MN//AB，ME垂直ＡＢ于Ｅ，ＮＦ垂直于ＡＢ于Ｆ。 （１）求梯形ＡＢＣＤ的面积. （2）求四边形MEFN面积的最大值。 （3）试判断MEFN能否为正方形，若能，求出面积，若不能，说明理由。 D C A B E F M N 图 4 5.如图5所示，AB是半圆O上的直径，E是错误!的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O切线交OE的延长线于点F。已知BC=8，DE=2. ⑴求⊙O的半径；⑵求CF的长;⑶求 tan∠BAD 的值.
初三数学难题集锦 初中数学难题集锦 1．（本小题满分10分） 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，已知∠D ＝30°. ⑴求∠A 的度数； ⑵若点F 在⊙O 上，CF ⊥AB ，垂足为E ，CF ＝34，求图中阴影部分的面积. 2．（本小题满分10分） 已知抛物线2 y ax bx =+(a ≠0)的顶点在直线1 12 y x =- -上，且过点A (4，0)．⑴求这个抛物线的解析式； ⑵设抛物线的顶点为P ，是否在抛物线上存在一点B ，使四边形OPAB 为梯形？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由. ⑶设点C (1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D ，使AD CD -的值最大，请直接写出点D 的坐标. 3．（本小题满分12分） 已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB =40cm ，AD =BC =20cm ，∠ABC =120°．点P 从点B 出发以1cm/s 的速度沿着射线BC 运动，点Q 从点C 出发以2cm/s 的速度沿着线段CD 运动，当点
Q 运动到点D 时，所有运动都停止. 设运动时间为t 秒． ⑴如图1，当点P 在线段BC 上且△CPQ ∽△DAQ 时，求t 的值； ⑵在运动过程中，设△APQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； 图1Q P D C B A 参考答案 1．（本小题满分10分） ⑴解：连结OC，∵CD切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°. (1分) ∵∠D＝30°，∴∠COD＝60°. …………………(2分) ∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°. ………………(4分) ⑵∵CF⊥直径AB，CF＝3 4，∴CE＝(5分) ∴在Rt△OCE中，OE＝2，OC＝4. ……………………(6分) ∴ 2 BOC 6048
1如果将点P 绕定点M 旋转180 °后与点Q 重合，那么称点 P 与点Q 关于点M 对称，定点 M 叫做对称中心。此时， M 是线段PQ 的中点。如图，在平面直角坐标系中，△ ABO 的顶点A B , 0的坐标分别为（1，0），（ 0，1），（ 0，0）。点列P l ，P 2, P 3,…中的相邻两点都关于△ ABO 的一个顶点对称：点 P i 与点F 2关于点A 对称，点P 2与点P 3关于点B 对称，点 R 与点P 4关 于点O 对称，点P 4与点P5关于点A 对称，点P 5与点P 6关于点B 对称，点P 6与点P 关于点O 对 称…对称中心分别是 A , B , 0, A , B , O,…，且这些对称中心依次循环。已知点 P i 的坐标是 （1 , 1 ），则点P 2017的坐标为 ___________ 。 解：P 2的坐标是（1 , -1 ） , P 20仃的坐标是（1 , -1 ）。又回到原来P 1的坐标，P 7 （ -1 , -1 ）；由此可知，每 6个点为一个周期，作一次循环， 336次后又回到了原来 P 1的坐标，故P 2017的坐标与P 1的坐标一样为（1, 1）。 点评：此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点 环是解题关键. 2、如图①，已知△ ABC 是等边三角形，点 E 在线段AB 上，点D 在直线BC 上，且DE=EC 将厶BCE 绕点C 顺时针旋 转60°至厶ACF 连接EF 。试证明：AB=DB+AF 【类比探究】 （1） 如图②，如果点 E 在线段AB 的延长线上，其它条件不变，线段 AB DB AF 之间又有怎样的数量关系？请说 明理由。 （2） 如果点E 在线段BA 的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出 AB, DB AF 之 证明：DE=CE=CF △ BCE 由旋转60 °得厶ACF, •••/ ECF=60 , BE=AF , CE=CF • △ CEF 是等边三角形， • EF=CE • DE=EF / CAF=/ BAC=6C ° , •••/ EAF=Z BAC+Z CAF=120° , •••/ DBE=120 , •••/ EAF=Z DBE 又••• A, E , C , F 四点共圆， •••/ AEF=Z ACF, 又••• ED=DC •••/ D=Z BCE / BCE=Z ACF , •••/ D=Z AEF, • △ EDB^ FEA • BD=AF AB=AE+BF • AB=BD+AF 类比探究 (1) DE=CE=CF △ BCE 由旋转 60° 得厶ACF, •••/ ECF=60 , BE=AF CE=CF •••△ CEF 是等边三角形， • EF=CE • DE=EF Z EFC 玄 BAC=60 , Z EFC=/ FGC+Z FCG Z BAC=/ FGC+ Z FEA • Z FCG Z FEA 又Z FCG Z EAD Z D=Z EAD • Z D=Z FEA 由旋转知 Z CBE=/ CAF=120° , • Z DBE=/ FAE=60° •••△ DEB^A EFA • BD=AE EB=AF --BD=FA+AB 即 AB=BD-AB 考点点评：（1）此题主要考查了几何变换综合题：旋转变化，等边三角形，三角形全，考查了分析推理能力，考 查了空间想象 间数量关系，不必说明理由。 图① 圉③ 理由：作R 关于A 点的对称点，即可得到 P 2 ( 1, -1 ), P 3 ( -1 , 3), P 4 ( 1 , -3 ), P 5 ( 1 , 3), P 6 ( -1 , -1 ), 2017 - 6= 336 …1，循环了 P 的坐标每6个一循 (2) AF=BD+AB(或 AB=AF-BD
初三几何证明经典难题 初三几何证明经典难题是指在初三数学教学中常见的难题，需要通过几何证明的方式来解答。本文将介绍一些常见的初三几何证明经典难题，并给出相应的解答方法。 难题1：等腰三角形顶角平分线与底边重合 问题描述： 已知等腰三角形ABC中，顶角A的平分线和底边BC重合，证明该等腰三角形是等边三角形。 解答方法： 首先，连接AC和AB两条边。由于等腰三角形ABC中，顶角A的平分线和底边BC重合，所以平分线AD与AC重合，且平分线AD与AB垂直。根据垂直线的性质，可得∠DAC = ∠DCA，且∠ADB = ∠DAB。又因为三角形ABC是等腰三角形，所以∠ABC = ∠ACB。根据三角形内角和定理，可得∠ADC = 180° - ∠DAC - ∠DCA = 180° - ∠DAB - ∠DAB = ∠ADB。综上所述，∠ADC = ∠ADB，而∠ABC = ∠ACB，所以三角形ADC与三角形ABC相
似。由于ADC为等腰三角形，所以三角形ABC也是等腰三角形。 又因为∠ABC = ∠ACB，所以三角形ABC是等边三角形。证毕。 难题2：三角形内切圆的性质 问题描述： 在三角形ABC中，已知三角形的内切圆与三边AB、BC、CA 相切于点D、E、F，证明三线段AD、BE、CF交于一点。 解答方法： 设三线段AD、BE、CF交于一点G。根据相切的定义，点D、E、F分别位于三角形ABC的三边中点处。因此，可得线段AG = DG，线段BG = EG，线段CG = FG。又因为三角形ABC的内切圆 与三边AB、BC、CA相切，所以内切圆的圆心O为三角形ABC的内心。根据内心的定义，可以得知线段AO、BO、CO分别垂直于 边BC、AC、AB，并交于一点O。由此可知，线段AG、BG、CG 分别平分∠BAC、∠ABC、∠BCA，并交于一点G。证毕。 难题3：平行线之间的夹角关系
解决问题难题 1.铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90． （1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？ 2.某产品每千克的成本价为20元，其销售价不低于成本价，当每千克售价为50元时，它的日销售数量为100千克，如果每千克售价每降低（或增加）一元，日销售数量就增加（或减少）10千克，设该产品每千克售价为x（元），日销售量为y（千克），日销售利润为w（元）．（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）写出w关于x的函数解析式及函数的定义域； （3）若日销售量为300千克，请直接写出日销售利润的大小． 3.某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式y=a（x﹣h）2+k，二次函数y=a（x﹣h）2+k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为﹣16、20．（1）试确定函数关系式y=a（x﹣h）2+k； （2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润； （3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？
4.某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价y （元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y=60+2x，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用． （1）若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为_________（元/千克），获得的总利润为_________（元）； （2）设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润w（元）与保存时间x（天）之间的函数关系式； （3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润． 5.我区的某公司，用1800万元购得某种产品的生产技术、生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到200元之间为合理．当单价在100元时，销售量为20万件，当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件；设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为W（万元）． （年利润=年销售总额﹣生产成本﹣投资成本） （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）求第一年的年获利W与x之间的函数关系式，并请说明不论销售单价定为多少，该公司投资的第一年肯定是亏损的，最小亏损是少？ （3）在使第一年亏损最小的前提下，若该公司希望到第二年的年底，弥补第一年的亏损后，两年的总盈利为1490万元，且使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
F 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线 EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
1．矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4． （1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由； （2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．
2．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图． （1）已知点A的坐标为（1，0）， ①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积； ②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为 2 ，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N 的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．
3．问题背景： 如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC，BC，CD 之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C 分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝ 2 CD，从而得出结论：AC＋BC＝ 2 C D． 简单应用： （1）在图①中，若AC＝ 2 ，BC＝2 2 ，则CD＝___________． （2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，⌒ AD＝ ⌒ BD，若AB＝13，BC＝12，求 CD的长． 拓展规律： （3）如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示） （4）如图⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为AB的中点，若点E满足AE＝1 3AC，CE ＝CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是_______________________．
练习一 1．已知BC 是半径为2cm 的圆内的一条弦，点A 为圆上除点B C ， 外任意一点，若BC =，则BAC ∠的度数为 ． 2．若a b ， 均为整数，当1x =时，代数式2x ax b ++的值为0，则b a 的算术平方根 为 ． 3．如图（1），在等腰三角形ACB 中，5AC BC ==，8AB =，D 为底边AB 上一动点（不与点A B ，重合），DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E F ，，则DE DF + 44条，从位置A 出右行进，两步向上行进，如果用用数字“1”表示向右行进，数字“2”表示向上 行进，那么“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，请你思考后回答：符合要求的不同走法共有 种． 5．（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果n a （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a = ，n a = ； （2）如果欲求232013333+++++的值，可令 232013333S =+++++……………………………………………………① 将①式两边同乘以3，得 ………………………………………………………② 由②减去①式，得 S = ． （3）用由特殊到一般的方法知：若数列123n a a a a ，，，，，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q ，则n a = （用含1a q n ，，的代数式表示），如果这个常数1q ≠，那么123n a a a a ++++= （用有含1a q n ，，的代数式表示）． 练习二 1．如图（4），在ABC △中，5AB =，3BC =，4AC =，动点E （与点A C ，不重合）在AC 边上，EF AB ∥交BC 于F 点． （1）当ECF △的面积与四边形EABF 的面积相等时，求CE 的长； （2）当ECF △的周长与四边形EABF 的周长相等时，求CE 的长； （3）试问在AB 上是否存在点P ，使得EFP △为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF 的长． 图（2） 图（1）
《反比例函数—三角形》难度题 1、如图，已知点A 是双曲线y = x 4 在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线x k y = （k ＜0）上运动，则k 的值是 ﹣12 ． 2、如图，已知点A 是双曲线6 y x = 在第三象限分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在双曲线k y x = 上运动，则k 的值是 63- 【解】∵双曲线6 y = A 与点 B 关于原点对称．∴OA ＝OB ．连接O C ，如图所示．∵△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ．∠BAC ＝60°．∴3OC tan OAC OA ∠= =．∴，3OC OA =，过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F ，∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ，∴∠AEO ＝∠OFC ，∠AOE ＝90°－∠FOC ＝∠OCF ．∴△OFC ∽△AEO ．相似比3OC OA =3OFC AEO S S = ．∵点A 在 第一象限，设点A 坐标为
（a ，b ），∵点 A 在双曲线6y x =上，∴S △AEO ＝12ab ＝62，∴S △OFC ＝1 2 FC OF ⋅= 362．∴设点C 坐标为（x ，y ），∵点C 在双曲线k y x =上，∴k ＝xy ∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝－y ．∴FC•OF ＝x•（－y ）＝－xy ＝－36 6．∴xy ＝－36．．故答案为：－36． 3、如图，已知点A 是双曲线x y 4 = 在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线x k y = （k ＜0）上运动，则k 的值是 ﹣4 ． 4、如图，等腰直角三角形OAB 和BCD 的底边OB 、BD 都在x 轴上，直角顶点A 、C 都在反 比例函数y ＝ k x 图象上，若D （－8，0），则k ＝___8-_______． 【方法】利用特殊形的角度、长度与坐标的关系，巧设坐标，联立方程求值 A （－a , a ），C （－4－a , 4－a ） 82 -=-=a k 5、如图，等边三角形OAB 和BCD 的底边OB 、BD 都在x 轴上，直角顶点A 、C 都在反比例 x y A C D B O
数学好题难题精选 分式： 一：如果abc=1,求证11++a ab +11++b bc +1 1 ++c ac =1 解：原式= 11 ++a ab +a ab abc a +++ab abc bc a ab ++2 =11++a ab +a ab a ++1+ab a ab ++1 =1 1 ++++a ab a ab =1 二：已知a 1+b 1= )(29b a +，则a b +b a 等于多少？ 解： a 1+ b 1=) (29b a + ab b a +=) (29b a + 2(b a +)2 =9ab 22 a +4a b +22 b =9ab 2（2 2 b a +）=5ab ab b a 22+=2 5 a b +b a =2 5 三：一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。 解：设小水管进水速度为x ，则大水管进水速度为4x 。 由题意得： t x v x v =+82
解之得：t v x 85= 经检验得：t v x 85=是原方程解。 ∴小口径水管速度为t v 85，大口径水管速度为t v 25。 五：已知M ＝222y x xy -、N ＝2 222y x y x -+，用“+”或“－”连结M 、N,有三种不同的 形式，M+N 、M-N 、N-M ，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x ：y=5：2。 解：选择一：22222222()()()xy x y x y x y M N x y x y x y x y x y ++++=+==--+--， 当x ∶y =5∶2时，52x y =，原式=5 7 2532 y y y y +=-． 选择二：22222222()()()xy x y x y y x M N x y x y x y x y x y +----=-==--+-+， 当x ∶y =5∶2时，52x y =，原式=532572 y y y y - =-+． 选择三：22222222()()()x y xy x y x y N M x y x y x y x y x y +---=-==--+-+， 当x ∶y =5∶2时，52x y =，原式=5 32572 y y y y -=+． 反比例函数： 一：一张边长为16cm 正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E ”图案如图1所示．小矩形的长x （cm ）与宽y （cm ）之间的函数关系如图2所示： （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）“E ”图案的面积是多少？
文档从网络中收集，已重新整理排版word 版本可编辑•欢迎下载支持. 1. __________________________________________________________________________________________ （20 06,泉州）如图b AABC 为。0的内接三角形,AB 为。0的直径，点D 在00上,ZBAC=35°，则ZADC 二 _____________ 2. （2006,哈尔滨市）^AABC 中，AB 二AC 二5,且AABC 的而积为12,则Z\ABC 外接圆的半径为 ________ ・ 3. （2006,南京市）如图 2,矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的00 交于点 G 、B 、F 、E, GB 二8cm, AG 二lcm, DE 二2cm,则 EF 二 cm. 4. （2006,旅顺口区）如图3,点D 在以AC 为直径的00上，如果ZBDC 二20° ,那么ZACB 二 __________ 5. （2006,盐城）已知四边形ABCD 内接于00,且ZA ： ZC=1： 2,则ZB0D 二 ________ ・ 6. （2006,大连）如图 4,在00 中，ZACB 二ZD 二60° , AC 二3,则ZkABC 的周长为 _______ 8. 如图6, 9. （2006,重庆）如图7, A ABC 内接于O0, ZA 所对弧的度数为120° , ZABC 、 于点D 、E, CE 、BD 相交于点F.®COS ZBFE =1 : ®BC= BD ：③AFD ：④BBF.其中结论-定正确的序号是— 10・（2006,海淀区）如图&已知A 、B. C 是00上，若ZC0A=100° ,则ZCBA 的度数是（） A. 40° B. 50° C. 80° D. 200° 11・（2006,温州）如图9, AB 是00的直径，点C 在00上，ZB=70°，贝IJZA 的度数是（） 2006年中考“ 热点题型分类解析 A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° ZACB 的角平分线分别交AC 、AB C 7. (2006, O0的直径AB=8cm, C 为00上的一点, ZBAC 二30° ,则 BC 二 ___ cm. P